岩石的断裂准则概述

断裂力学部分

岩石的断裂准则及其应用

传统的力学方法通常假定材料是连续的，不存在任何缺陷或裂纹。一般的做法是，根据结构的实际受力情况，计算出其中最危险区域的应力，乘以安全系数，若其小于屈服强度或极限强度，这认为该结构是安全的，反之则是不安全的。但是在实际结构中许多脆性材料，包括岩石，混凝土、陶瓷、玻璃等，其构件在远低于屈服应力的条件下发生断裂，即所谓的“低应力脆断”。研究表明，这种脆性破坏是由于宏观缺陷或裂纹的失稳扩展而引起的，由对这些内容的研究形成断裂力学。

目前研究裂纹的扩展有两种不同的观点：一种是从能量分析出发，认为物体在裂纹扩展中所能够释放出来的弹性能，必须与产生新的断裂面所消耗的能量相等。另一种是应力强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态，是由裂纹前缘的应力场的强度达到临界值来表征的。这两种观点有着密切的联系，但并不总是等效的。

1基于能量分析的断裂理论

1.1格里菲斯（Griffith ）断裂理论

脆性材料的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低得多，为了解释产生这种现象的原因，早在19世纪20年代Griffith 就运用能量平衡原理对吹响材料作断裂强度分析，认为固体的破坏是裂纹扩展的结果。固体材料内部存在大量形状、大小、方向各不相同的裂纹，当收到外力作用时在裂纹的边缘部位会产生应力集中现象，当其中任何一点的应力达到材料的临界值，裂纹就开始扩展。裂纹扩展的临界条件是裂纹扩展时所需要的表面力正好等于由裂纹扩展时系统释放的弹性应变能，即得著名的Griffith 裂纹失稳的临界条件：

a

Er c πσ2= (1) 其中a 为裂纹半长，c σ裂纹扩展的临界应力，r 为单位面积的表面能。 对于三维裂纹，如以a 为半径的钱币型裂纹，亦可用同样的方法求的断裂强度c σ与a 的关系式：

()212νπσ-=s c r E a (2)

利用公式（2），Griffith 很好的解释了材料的实际断裂迁都远低于其理论强度的原因，定量说明了裂纹尺寸对断裂强度的影响。但是由于他的这一理论是基于玻璃等脆性很大的材料，未能很好的考虑塑性变形与应力集中在能量平衡中所起的作用。

1.2 奥罗文（Orowan ）修正理论

对于大多数金属材料，虽然裂纹尖端由于应力集中，局部应力很高，但是一旦应力超过材料的屈服强度，就会在局部产生塑性变形。因此裂纹扩展过程中所释放的能量除了要支付形成新表面所需的能量，而且还要支付裂纹扩展前产生塑性变形所耗的能量。因此以p r 代表裂纹扩展每单位面积所需的塑性变形能，则Griffith 公式可以修正为：

平面应力条件下：

a a Er c 82πρπσ∙=

(3) 对三维裂纹：

a r r E p s c πσ)(2+=

(4) 比较式（1）和（3）可知，当18=a πρ时，即a π

ρ8=时，Orowan 公式就变成Griffith 公式。由此可见Griffith 公式适用于裂纹尖端曲率半径 a π

ρ8<，即裂纹尖端只能产生很小塑性变形的材料，而当a π

ρ8>时，由于裂纹尖端塑性变形较大，p r 控制着裂纹的扩展这时要采用Orowan 的修正公式。

1.3裂纹扩展的能量判据

无论是格里菲斯（Griffith ）断裂理论还是奥罗文（Orowan ）修正理论起本质都是从能量的角度出发，认为裂纹扩展中所释放出的能量，必须与产生新的变化所要消耗的能量相等。设裂纹扩展单位面积所消耗的能量为R ，则对Griffith 试验情况来说s r R 2=，对Orowan 试验情况)(2p s r r R +=。定义

E

c E c c c u G πσπσ222)2()2(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-=∂∂-= (5)

表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。

则裂纹扩展的判据可以表示为：

c G G I I ≥，其中，⎪⎩⎪⎨⎧+=I 修正理论断裂理论Orowan )(22p s

s c r r Griffith r G 这就是断裂的能量判据。原则上讲，对不同形状的裂纹，其I G 是可以计算的，而材料的性能c G I 是可以测定的。因此可以从能量平衡的角度研究材料的断裂是否发生。

2、基于应力强度观点的断裂理论

2.1三种断裂类型

在断裂力学中，裂纹常按其受力及裂纹扩展途径分为三种类型，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型。

Ⅰ型裂纹即张开型裂纹，如图1（a ）所示，外加正应力σ垂直于裂纹扩展面，裂纹上下表面沿作用力方向张开，裂纹沿裂纹面向前扩展。工程中属于这类裂纹的如板中有一穿透裂纹，其方向与板所受拉应力方向垂直，或一压力容器中的纵向裂纹等。

x

z

x

z τ

x

z

（a ）I 型（张开型） （b ）II 型（滑移型） （c ）III 型（撕裂型）

图1 裂纹扩展的3中类型

Ⅱ型裂纹，即为滑开型裂纹也叫纵向剪切型裂纹。其特征为裂纹的扩展受切应力控制，切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行花开扩展，如图1（b ）所示。属于这类裂纹的如齿轮或长健根部沿切线方向的裂纹引起的开裂；受扭转的薄壁圆管上贯穿管壁的环向裂纹在扭转力的作用下引起的开裂等。

Ⅲ型裂纹即为撕开型裂纹也叫横向剪切型裂纹。在平行于裂纹面与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下，裂纹面产生沿裂纹面的撕开扩展，如图1（c ）所示。

如果体内裂纹同时受到正应力和剪应力的作用，或裂纹面和正应力成一角度，这时就同时存在Ⅰ型和Ⅱ型（或Ⅰ型和Ⅲ型）裂纹，成为复合型裂纹。

实际工程构件中裂纹形式大多属于Ⅰ型裂纹，也是最危险的一种裂纹形式，最容易引起低应力脆断。

2.2伊尔文（Irwin ）理论

Griffith 理论与Orowan 修正理论的不足之处就是未能很好的考虑裂纹存在的应力集中对断裂的影响，也未曾分析裂纹前缘区域的应力场与变形场的特点，因而也未能揭示裂纹扩展和断裂的物理力学本质。这两者都是以能量作为衡量固体材料强度的准则。而Irwin 则主张用裂纹前缘区域应力场的强弱程度来判断固体的裂纹扩展和断裂以及固体的强度。也就是一次作为固体材料的强度准则。为了解决这一问题，他从分析裂纹前缘区域的立场的位移场入手。

以Ⅰ型裂纹为例，如图2所示，设一无限大平板中心含有一长为2a 的穿透裂纹，垂直于裂纹方向平板受均匀的拉伸荷载作用。当板很薄时按平面应力问题处理。当板很厚时按平面应变问题处理。其应力分量与位移分量分别表示为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=I 23s i n 2s i n 12c o s 2θθθπσr

K x (6) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=I 23s i n 2s i n 12c o s 2θθθπσr

K y (7) 23sin 2sin 2cos 2θθθπτr

K xy I = (8) ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=I 2s i n 212c o s 222θθπK r G K u (9) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=

I 2c o s 212s i n 222θθπK r G K v (10)