排列组合专题复习及经典例题详解
(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A --B ．1555n A -C ．1569n A -D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。
38种 D 。
108种 【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N ＊，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ )A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81100n A -,选C4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。
7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。
其中偶数的个数为 ( ） A 。
56 B. 96 C. 36 D 。
360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4,或者6，首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 ( ）A. 280种B. 240种 C 。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析资料
排列组合知识点总结+ 典型例题及答案解析排列组合知识点总结+典型例题及答案解析'•基本原理1加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2. 乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二.排列：从n个不同元素中，任取m( m< n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列，所 有排列的个数记为A^1. 1.公式：1. A ! n n 1 n n! n m ! 2 V m 刚三为(於■ 1)3 ■ 2) (2)规定：0!(1) n ! n (n 1)!,( n 1) n! (n 1)!n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!; ⑶(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n! 1(n 1)! 三.组合：从n 个不同元素中任取 m(m <n )个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1公式：c m A m n n 1……n m 1A m m! m! n n! J 人 m ! 规定：C ° 12.组合数性质：c_m c ：m , c m c m 1 Cm , c n C ；C ： 2n rr 「 r 「「；「 「 「 「「；「 r 「「；注： c r c r 1 c r 2 L c n 1 c n c r 1 c r 1 c r 2 L c n 1 c nc r 2 c r 2 L c n 1 c n c n 1 若 C 「1四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序③分步还是分类。
2. 解排列、组合题的基本策略(1) 两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
(完整版)排列组合知识点总结典型例题及解析
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
g a o o 2. ! ①；②；③；④[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2 28步，那么共有C＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A．24种B．36种 C．38种D．108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有213种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然132后再分到两部门去共有C A种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组213人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种13213方法，由分步乘法计数原理共有2C A C＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34 C．35 D．36123[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A＝12个；1233②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A＋A＝18个；13③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72 B．96 C．108 D．144213223[解析] 分两类：若1与3相邻，有A·C A A＝72(个)，若1与3不相邻有forsos的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选。
排列组合12种题型归纳(解析版)
第30讲 排列组合12类【题型一】 人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，22423245C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A ．30 B ．36 C ．60 D ．72【答案】C【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A 的排法种数为()242448n A A A ==，记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==，事件:A B ⋂女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A B 的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种，故选C ．2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．48【答案】B【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相邻的排法，相减可得．【详解】先考虑只有3个歌舞类节目不相邻，排法有3334144A A=种，再考虑3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有：22322324A A A=，因此同类节目不相邻的排法种数是14424120-=．故选：B．3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【答案】B【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有132312C A=种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有22224A A=种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有1112 222216C C C A=种排法；综上：共有32种排法满足题意.故选：B.【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7 答案：D55315232553555351235125122404==4207;(2)4----+++2A C C A C C C C C ----⨯⨯涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE 作为“三角形”1、用了5色：A 、用了4色：(1)先涂ABE:A 用第色：（3）D 用第4种：（相同）3、用了3色：同先涂ABE:A 结束。
排列组合知识总结+经典题型
(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）:完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）:完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类"与“类"之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步"有关，要注意“步"与“步"之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏.3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 4．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：（1）规定0！= 1（2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,….。
.an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于。
例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素。
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组"，前者有顺序关系，后者无顺序关系。
（2）典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1）甲不站两端；（2)甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；(4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；(6）甲不站左端，乙不站右端。
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解【典型例题】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．【答案】24【解析】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种．故答案为：24例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）【答案】11760【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数48A ，故所有排法种数为487A 11760⨯=． 故答案为：11760．例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．【答案】192【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有2123223496A C A A =（种）排列方法，同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，∴共有192种排列方法．故答案为：192本课结束。
排列组合学习知识点学习总结计划典型例题及答案解析
摆列组合知识点总结+典型例题及答案分析一．基来源理1．加法原理：做一件事有n类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。
二．摆列：从n个不一样元素中，任取 m（m≤n）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数A n m.1.公式：1.A n m nn1n2⋯⋯nm1n !m !2. 规定：0! 1(1)n! n (n 1)!,(n 1) n! (n 1)! (2) n n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!；(3)n n 11n1111(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!三．组合：从n个不一样元素中任取m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n个不一样的m 元素中任取m个元素的组合数，记作Cn。
1.公式：m A n m nn1⋯⋯nm1n!01 C n mm!m!n定：C nA m m!2.合数性：C n m C n nm，C n m C n m1C n m1，C n0C1n⋯⋯C n n2n①；②；③；④注：C r r C r r1C r r2C n r1C n r C r r11C r r1C r r2C n r1C n rC r r12C r r2C n r1C n r C n r11若C n m1C n m2m1=m2或m1+m2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。
2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。
这是解决摆列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类办理：当问题整体不好解决时，常分红若干类，再由分类计数原理得出结论。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
排列组合问题经典题型解析版
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
例1．ABCDE 五人并排站成一排，如果,AB 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,AB 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，A44=种， 答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A26种，不同的排法种数是A55=3600种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3． ABCDE 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（AB 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数 的一半，即60551 A 种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种。
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案.doc
排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .例 1.A,B,C, D, E五人并排站成一排，如果A, B必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（）A 、 60 种B 、 48 种 C、 36 种D、 24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、 1440 种B 、 3600 种C 、 4820 种D 、 4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排， 如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B可以不相邻）那么不同的排法有 （）A 、 24 种B 、 60 种C 、 90 种 D、 120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 .例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有（ ） A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 . 例 5. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务， 不同的选法种数是（ ） A 、 1260 种 B 、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种（ 2） 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（ ）A 、 C 124C 84C 44 种B 、 3C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 DC 124 C 84C 44、A 33种6. 全员分配问题分组法 :例 6. （ 1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（ 2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、 480 种B、 240 种C、120 种D、 96 种第 1 页 共 9 页7.名分配隔板法 :例 7： 10 个三好学生名分到7 个班，每个班至少一个名，有多少种不同分配方案？8. 限制条件的分配分法:例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建，其中甲同学不到川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元分法：元素多，取出的情况也多种，可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
[解析] 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A25＝20(种)排法，其余 5 人再进行排列，有 A55 ＝120(种)排法，所以共有 20×120＝2400(种)安排方法．
11．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有________
Cr n1
Cnr
C r1 r 1
Cr r 1
Cr r2
Cnr1
Cnr
C r1 r2
Cr r2
Cnr1
Cnr
C r1 n1
若
C m1 n
C m2 n
则m1
=m
2或m1
+m
2
n
例 1.电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求
2．从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 （1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人，
有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男
生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有 种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有
女生，有
种选法
分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是
中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12 种
（B）18 种
（C）36 种
（D）54 种
【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解分组问题【典型例题】例1．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）A ．91B ．101C ．111D ．121【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有25220C ⨯=种，（2）若编号为1123310++++=，则有215330C C ⨯=种，（3）若编号为1122410++++=，则有225330C C ⨯=种，（4）若编号为1113410++++=，则有315220C C ⨯=种，（5）若编号为2222210++++=，则有1种，所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种．故选：B ．例2．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =分配问题【典型例题】例1．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A 项目，若A 项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有2232C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案，若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有12C 种，再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有1222C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案．故答案为：10．例2．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】180【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有26C 种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有14C 种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有13C 种选法， 所以共有211643C C C 180=种选法．故答案为： 180．例3．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有225322C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有35C 10=种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有33A 6=种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
最新排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ )种Ａ。
７20 B。
３6０ C. 240 D。
12０解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=２40种不同排法，选C。
评注:从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”,就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大"元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有６个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?（只要求写出式子，不必计算）解:先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法．由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种.评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法.三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号.现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是___＿_＿_＿（用数字作答）.解:５面旗全排列有种挂法，由于３面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种)．评法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）种A. 6种 B。
９种 C. 11种Ｄ. 2３种解：此题可以看成是将数字1，２,3，4填入标号为1，2，3,４的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
所以先将１填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它３个方格,又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法.故共有3×３×１＝9种填法，而选Ｂ．评注:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法．2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法．特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列.4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示.5．排列数公式：）、（+∈≤-=+---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)!(!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒：规定0!=16．组合：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个不同元素的一个组合.7．组合数：从n 个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号m n C 表示.8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m m n m n-=+---== 组合数的两个性质：①m n n m n C C -= ；②11-++=m nm n m n C C C 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种=P P方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425=P P 方法三：若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(48025566种=-P P （2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种=P P 方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有)(240221544种=P P P（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为（种）4802544=P P 此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255=P P 种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种=-=-P P P .（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有（种））（14432244=⨯P P 站法. 方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有（种）144223324=P P P 站法. （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P 种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P 种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422=P P 站法. 方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P 种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P 种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422=P P 站法. （6）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P 种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P -255P +44P =504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414P P P 种，故共有55P +441414P P P =504（种）站法.考点二:组合问题 例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为（种）1202436=C C .（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614=+++C C C C C C C C . 方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510=-C C . （3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为48C ；“只有女队长”的选法为48C ；“男、女队长都入选”的选法为38C ；所以共有248C +38C =196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有510C 种选法.其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少1名队长”的选法为510C -58C =196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4548C C -种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849=-+C C C 种.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种14422132414=P C C C ；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有24C 种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类： 第一类有序不均匀分组有8221134=P C C 种方法；第二类有序均匀分组有622222224=⨯P P C C 种方法. 故共有842222222422113424=⨯+）（P P C C P C C C 种. 当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A.70 种B.80种C.100 种D.140 种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有7024151425=+C C C C 种．解题策略：合理分类与准确分步的策略．2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种B.12种C.18种D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212=P C C 种选法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222=P 种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有633=P 种方法．故共有363322331212=+P P P C C 种选法．解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．②.合理分类与准确分步的策略．③.排列、组合混合问题先选后排的策略．3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48B.12C.180D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有12C 种方法，②.从3个奇数中选两个，有23C 种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C 种方法；④.其他的3个数字进行全排列，有33P 种排法，根据乘法原理共有10833132312=P C C C 种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有23C 种不同的选法，③然后把4个元素全排列，共44P 种排法，不含0 的排法有724423=P C 种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有345121625261315=+C C C C C C 种选法．解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有62224=C C 种．⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有414=C 种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有61213=C C 种选法，由分步计数原理此时共有24121314=C C C 种．最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种． 故选C ．法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有362424=C C 种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有624=C 种选法，所以至少有一门不相同的选法为30242424=-C C C 种不同的选法． 解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324B.328C.360 D .648【解析】：第一类个位是0，共29P 种不同的排法；第二类个位不是0，共181814C C C 种不同的解法．故共有29P +181814C C C =328（个）．解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85B.56C.49D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有1722C C 种选法，甲、乙有一个被选中，有2712C C 种不同的选法，共1722C C +2712C C =49种不同的选法．解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.4B.18C.24D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有24C 种不同的分法，然后三组进行全排列共33P 种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共33P 种不同的排法．所以总的排法为24C 33P -33P =30种．注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。
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排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式：n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒：规定0!=116．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.1P种1个，有【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选45P种站法，根据分步乘法计数原理，共个位置上作全排列有站法，然后其余5人在另外5551)种?PP480(有站法：542P种有5个人中选2个人站，方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5424480?P（种）PP站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：45465PP2种站法，从总方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有5656)(种?2P?480P数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：565P种人进行全排列有2（）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余45252)种?240(PPP共有有种站法，根据分步乘法计数原理，乙进行全排列，站法，再把甲、2524P个空档中选出一个供甲、种站法，再在个人作全排列，有方法二：先把甲、乙以外的45424112)种(?PPPP240P种方法，最后让甲、乙全排列，有乙放入，有种方法，共有25452 2（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人24PP 种站个空档（含两端）中，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5站队，有5424480P?（种）P法，故共有站法为546P）知甲、乙相邻有2种站法，由（此外，也可用“间接法”，6个人全排列有652652?720?240?480?240P(?P种PPP).种站法，所以不相邻的站法有226554P乙按条件插入站队，种，4个人作全排列，有然后将甲、（4）方法一：先将甲、乙以外的4242?（种）3PP（3P）?144.有站法种，故共有4222P种，乙之间的两个位置上，有方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、43P最后对甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，然后把甲、32322144P（种）PP?P.站法乙进行排列，有种方法，故共有24322P人在中间位置作）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有4种，再让其他（5242448?P（种）PP.种，根据分步乘法计数原理，共有站法全排列，有4422P个位种站法，然后考虑中间方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有4242448?（种）PPP.置，由剩下的4人去站，有站法种站法，由分步乘法计数原理共有44255PP种，甲在左端而且乙在右端（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有556544PPPP. =504的站法有+种，故甲不站左端、乙不站右端共有-2（种）站法56445P个位置之一，种站法，②甲在中间方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有451141145PPPPPPP. 而乙又不在右端有=504种，故共有+（种）站法5444444组合问题:考点二例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.32（种）CC?120.1【解析】：（）选法为46 3（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 14233241（种）CC?CC?CC?CC?246.由分类计数原理可得总选法数为66664444方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.55CC.5人有种种选法，其中全是男运动员的选法有从10人中任选10655246??（种）CC.名女运动员”的选法所以“至少有1610（3）方法一：可分类求解：44CC；“男、女队长都入选”的选；“只有女队长”的选法为“只有男队长”的选法为88334CCC. ；所以共有2法为=196+（种）选法88855CC.种种选法.其中不选队长的方法有方法二：间接法：从10人中任选5人有10855CC.=196名队长”的选法为所以“至少1种-1084C种选法；（4）当有女队长时，其他人任意选，共有944CC种，共有而且其中不含女运动员的选法有种选法，不选女队长时，必选男队长，5844C?C. 种选法所以不选女队长时的选法共有58444191C)?C?(C?.所以既有队长又有女运动员的选法共有种598考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步1212CCCP?144种；乘法计数原理，共有2443（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.2C）两类：2，2，个球放进个空盒有种方法；42个盒子可分成（31）、（23（）确定42138?PCC第一类有序不均匀分组有种方法；214 422CC224?P?6种方法第二类有序均匀分组有. 22P222CC212232484?CP??P）C（C. 故共有种当堂测试女医生都有，要求其中男、名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，224412P21.从5名男医生、4 ）则不同的组队方案共有（种 D.140 C.100 种 B.80A.70 种种212170?CCCC?种．【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有4554合理分类与准确分步的策略．解题策略：年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分20202.别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其）（余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 D.36种 C.18种 A.48 种 B.12种人，人入选，先从两人中选1【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有131124P?CC 种选然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有32222?P种方法，然后在剩）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有法．（2232113336PP?PP?6CC?故共有种选法．人做后两项工作，有种方法．余的3人中选2332322特殊元素优先安排的策略．：①.解题策略合理分类与准确分步的策略．②. 排列、组合混合问题先选后排的策略．③.这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位54，21，，3，3.从0，）数的个数为（D.162 C.180 A.48 B.121C种方法，）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有1【解析】：分为两大类：（22C百位上选，安排一个位置，只能在个、十、有③种方法；.给0.②从3个奇数中选两个，331PC种排法，根据乘法原理共有个数字进行全排列，有.其他的3有种方法；④3323121C?108CCCP种不2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有种方法．（3233342472?CPP种．根的排法有同的选法，③然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 434108+72=180个据加法原理把两部分加一块得名女同学．若从甲、乙两组中各26名男同学，名女同学；乙组有甲组有4.5名男同学，3 ） 142选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（5A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙112211CCC?CCC?345种选法．组，则所有不同的选法共有265356解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有22CC?6种．24⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的14?C门，门中任选1乙从最后剩余的门中任选课程，有1门，2种选法，②甲从剩余的341111124C??6CCCC种．有种选法，由分步计数原理此时共有22433最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．2236?CC种方法，然后再把两个人法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有44门中任选两门有4全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从22226?C30CC??C种不同的选法．种选法，所以至少有一门不相同的选法为4444解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.6482111CCPC种不同的种不同的排法；第二类个位不是0，共【解析】：第一类个位是0，共89481211CCPC（个）．解法．故共有=328+8498.解题策略：合理分类与准确分步的策略人入选，而丙没有入选的3人担任村长助理，则甲、乙至少有17.从10名大学毕业生中选）不同选法的总数为（D.28B.56 A.85C.492121CCCC种乙有一个被选中，有有甲、：【解析】合理分类，乙全被选中，甲、种选法，72272211CCCC=49种不同的选法．不同的选法，共+72721（解题策略：）合理分类与准确分步的策略2）特殊元素优先安排的策略；（. 68.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.4 B.18 C.24D.302C种不同的分法，然后三组进行【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有433PP种不同的排种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共全排列共33332PPC=30法．所以总的排法为种．-334注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．7。