曲线和方程练习题

y P
（1）若| PF | 3 ，求点 M 的坐标； （2）求 ABP 面积的最大值.
B MF
A
0
x
【解题提示】（1）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可
求点 M 的坐标；
（2）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，
利用导数即可求出三角形面积的最值．
三、解答题
1.（2014·高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分 12 分）
已知曲线 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y 3 的距离小 2. （1）求曲线 的方程； （2）曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A.直线 y 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N ，以 MN 为 直径作圆 C ，过点 A作圆 C 的切线，切点为 B ，试探究：当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合） 时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 【解题指南】（1）由题意曲线 符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点 P 的坐标表示直线 l
y2
ty
m
0
，所以
y1 y2
m ，又
OAOB 2 x1x2 y1y2 2 ( y1y2)2 y1y2 2 0 ，因为点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
所以 y1 y2 2 ，故 m 2 ，于是
SABO SAFO
1 2
x1 y2 x2 y1
11 24
y1
12 2
x ty m
【解题提示】
设
AB
方程：
x
ty
m
联立
y
2
x
结合 OAOB 2 求出 m
求 SABO SAFO 的最小值
【解析】选 B.
可设直线
AB
的方程为：
x
ty
m
，点
A(
x1
,
y1
)
，
B(
x2
,
y2
)
，又
F
(
1 4
,
0)
，则直线
AB
与
x
轴的交点 M
x ty
(m, 0) ，由
y
2
x
m
x2
,
y2
)
，又
F
(
1 4
,
0)
，则直线
AB
与
x
轴的交点
M
(m, 0) ，由
x ty
y
2
x
m
y2
ty
m
0
，所以
y1 y2
m
，又
OAOB 2 x1x2 y1y2 2 ( y1y2)2 y1y2 2 0 ，因为点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
所以 y1 y2 2 ，故 m 2 ，于是
4
4
2
2
OAB= 1 3 ·(m+n)= 9 .故选 D.
24
4
4. （2014·高考理科·Ｔ10）已知 F 为抛物线 y 2 x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
OAOB 2 （其中 O 为坐标原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B.3 C. 17 2 D. 10 8
【解题提示】将三角形 OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出 AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.
【解析】选 D.设点 A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可
得 ,2m=2 · 3 + 3 m,2n=2 · 3 - 3 n, 解 得 m= 3 (2+ 3 ),n= 3 (2- 3 ), 所 以 m+n=6. 所 以 S △
2 设切点 B(x0 , y0 ) ，由题意，在第一象限 y2 8x y 2 2x ．由导数的几何意义可知切线
的斜率为 kAB y xx0
2 x0
，而切线的斜率也可以为 kAB
y0 3 x0 (2)
又因为切点 B(x0 , y0 ) 在曲线上，所以 y02 8x0 ．由上述条件解得 x0 y0 8 ． 即 B(8,8) ．从而直线 BF 的斜率为 8 0 4 ．
渐近线方程为 y x，b a
c2 a2
1
1.
答案： y x
4.(2014·高考文科·T11)抛物线 y2=4x 的准线方程为
.
【解题指南】根据抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=- 可以得到所求准线方程. 【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1. 答案:x=-1
解得
x0 y0
6k 4 6k 2
3m
，由
x02
4 y0
k2
，得
1 5
m
1 15
，
1m 4
由△＞0，k＞0 得 3
3，
又因为 AB 4 1 k 2 k 2 m ，
m 1
d
点 F 到直线 AB 的距离
1 k2 ，
SABP 4SABF 8 m 1
所以
k 2 m 16 15
3m3 5m2 m 1
的方程为
y
y0
1 2
x0 (x
x0 )
，即
y
1 2
x0 x
1 4
x02
.
由
y
1 2 x0 x
y0
1 4
x02
，得
A( 1 2
x0, 0)
.
由
y
1 2
x0
x
y3
1 4
x02
，得
M
(1 2
x0
6 x0
, 3)
.
又
N
ห้องสมุดไป่ตู้
(0, 3)
，所以圆心 C(1 4
x0
3 x0
, 3)
，
半径 r
1 2
|
MN
||
程为
.
【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出 a,b 之
间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.
【解析】 由题意知 P c2 a2 b ， 2
抛
物线准线
与双曲
线的一
个交点
坐标为
c,
P 2
，
即 c, b代入双曲线方程为
c2 a2
b2 b2
1，得
c2 a2
2，
原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B.3 C. 17 2 D. 10 8
x ty m
【解题提示】
设
AB
方程：
x
ty
m
联立
y
2
x
结合 OAOB 2 求出 m
求 SABO SAFO 的最小值
【解析】选
B.可设直线
AB
的方程为：
x
ty
m
，点
A(
x1
,
y1
)
，
B(
【解析】根据椭圆的右焦点坐标 F(2，0)得 p=4,所以抛物线的准线方程为 x=-2.
答案：x=-2.
3. （2014·高考文科·Ｔ15）
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b 0 的焦距为
2c ，右顶点为
A ，抛物线
x2
2py p
0 的焦
点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ，且 FA c ，则双曲线的渐近线方
y1 y2
11 24
y1
=
y1
2 y1
1 8
y1
9 8
y1
2 y1
2
9 8
y1
2 y1
3 ，当且仅当 9 8
y1
2 y1
y1
4 3
时取“ ”，
所以 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3 .
5. （2014·高考文科·Ｔ10）与（2014·高考理科·Ｔ10）相同
已知 F 为抛物线 y 2 x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2 （其中 O 为坐标
，
f (m) 3m3 5m2 m 1, ( 1 m 4)
设
3
3，
则
f
(m)
9m2
10m 1令
f
(m)
9m2
10m
1=0，解得 m1
1 9
, m2
1
，
( 1 , 1)
（2）设直线 AB 的方程为 y kx m ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，
y kx m
由
x
2
4y
得 x2 4kx 4m 0 ，
于是 16k 2 16m 0, x1 x2 4k, x1 x2 4m
即 AB 的中点 M 的坐标为（2k，2k2+m）
由 PF 3FM ，得 ( x0 ,1 y0 ) 3(2 k, 2 k2 m1)
SABO SAFO
1 2
x1 y2 x2 y1
11 24
y1
12 2
y1 y2
11 24
y1
=
y1
2 y1
1 8
y1
9 8
y1
2 y1
2
9 8
y1
2 y1
3 ，当且仅当 9 8
y1
2 y1
y1
4 3
时取“ ”，
所以 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3 .
6. （2014·高考理科·Ｔ10）已知点 A(2,3) 在抛物线 C : y2 2 px 的准线上,过点 A 的直线
所以曲线 的方程为 x2 4 y .
（2）当点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线 的方程为 y 1 x2 ， 4
设
P(x0 ,
y0 )(x0
0)
，则
y0
1 4
x02
，
由 y' 1 x ，得切线 l 的斜率 k y' 2
x x0
1 2
x0
，
所以切线 l
【解析】（1）由题意知焦点 F(0,1) ，准线方程为 y 1，
设 P(x0 , y0 ) ，由抛物线的定义可知 PF y0 1，解得 y0 2 ，所以 x0 2 2 ，即 P(2 2, 2) 或 (2 2, 2)
M ( 2 2 , 2) M (2 2 , 2)
由 PF 3FM ，得
3 3或 3 3。
82 3
二、填空题
1. （2014·高考理科·Ｔ15）如图，
正 方 形 ABCD和正方形DEFG 的 边 长 分 别 为 a,b(a b) ， 原 点 O 为 AD 的 中 点 ， 抛 物 线 y2 2 px( p 0) 经过 C, F两点，则 b
a 【解题提示】有正方形的边长给出点 C,F 的坐标带入抛物线方程求解。
1 4
x0
3 x0
|，
| AB |
| AC |2 r2
[1 2
x0
(1 4
x0
3 )]2 x0
32
(1 4
x0
3 )2 x0
6.
所以点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变.
方法二：
（1）设 S(x, y) 为曲线 上任意一点，
则| y (3) | (x 0)2 ( y 1)2 2，
【解析】由题可得
C(a 2
,a)
，
F(a 2
b, b)
，则
a 2
b
2
pa 2 p(a
2
, b)
a b
2 1。
答案: 2 13.
2. （2014·高考理科·Ｔ4）
若抛物线y2 2 px的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方 95
程为_________ .
【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出 p 的值，即得抛物线的准线方程.
的方程，求出点 A，点 M 的坐标，进而求出圆 C 的圆心和半径，表示出 AB 的长，经过计算为定值．
【解析】.方法一（1）设 S(x, y) 为曲线 上任意一点，
依题意，点 S 到 F(0,1) 的距离与它到直线 y 1的距离相等，
所以曲线 是以点 F(0,1) 为焦点，直线 y 1为准线的抛物线，
与 C 在第一象限相切于点 B ,记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为
(A) 1 2
(B) 1 3
(C) 3 4
(D) 4 3
【解题提示】由抛物线的定义知 p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结
合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线 BF 的斜率
【解析】选Ｄ. 根据已知条件得 p 2 ，所以 p 4. 从而抛物线方程为 y2 8x ，其焦点 F (2, 0) ．
4
4
2
2
AB=AF+BF=2m+2n=12.故选 C.
3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交
C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )
A. 3 3 B. 9 3 C. 63 D. 9
4
8 32 4
曲线和方程练习题
一、选择题
1、（2014·高考文科·Ｔ3）抛物线 y 1 x2 的准线方程是（ ） 4
A. y 1
B. y 2
C. x 1
D. x 2
【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。
【解析】选 A。 y 1 x2 4
x2 4 y ，所以抛物线的准线方程是 y=-1.
2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设 F 为抛物线
依题意，点 S(x, y) 只能在直线 y 3 的上方，所以 y 3 ，
所以 (x 0)2 ( y 1)2 y 1，
化简得，曲线 的方程为 x2 4 y .
（2）同方法一.
2. （2014·高考文科·Ｔ22）已知 ABP 的三个顶点在抛物线 C： x2 4 y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点， PF 3FM ；
C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,则 AB = ( )
A. 30 B.6C.12 3
D. 7 3
【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解.
【解析】选
C.设
AF=2m,BF=2n,F
3 4
,
0
.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,
2m=2· 3 + 3 m,2n=2· 3 - 3 n,解得 m= 3 (2+ 3 ),n= 3 (2- 3 ),所以 m+n=6.