多元函数的极值与最优化问题

g (±2)= f (±2,0)= 4，最小值为
g (0)= f (0,0)= 0.
-2
y L2
O L1 2 x
在边界L2 : x2 y2 4( y 0)上，记 h( x) f ( x, 4 x2 ) x4 5x2 8 (2 x 2)
由 h( x) 4 x3 10x 0 (2 x 2)得驻点:
P0 ,
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
设函数 且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
A<0 时是极大值;
A>0 时是极小值.
2) 当 AC B2 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能判定 , 需另行讨论.
即有
f ( x0 , y0 )
A 0, 极小值
0
A 0, 极大值 是极值
0
非极值
0
不定(需用其他方法确定)
( AC B2 )
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 1 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的点； 2 判断
dz dx
x x0
(
fx
fy
d y) d x x x0
fx ( x0 ,
y0 )
fy ( x0 ,
y0
)
[
x y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
]
fx ( x0 ,
y0
)
[
f
y y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
]
x
(
x0
,
y0
)
0
令λ f y ( x0 , y0 )，则 f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
2º 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为多元函数的驻点.
驻点
可导函数的极值点
例如: 点(0,0)是函数 z xy 的驻点，但不是极值点.
(1) 当a 0 时，
驻点
A
(0,0) 9a2 0
z(x, y) 非极值
(a, a)
27a2 0
6a
(a 0) (a 0)
极小值 极大值
即当a 0时，z x3 y3 3axy 在(0,0)不
取得极值. 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
得极小值：z(a,a) a3; 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
x y
3x2 3 y2
3ay 3ax
0 0
① ②
当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0)
当 a 0 时， ① – ②：( x2 y2 ) a( x y) 0
( x y)( x y a) 0
x ya0
否则 x y a 0
x y 代入①，
z x 3[ x2 a( x a)]
最小者为最小值m.
情形2 z f ( x, y)是实际问题中的目标函数. 若 f ( x, y)的最值客观上存在，且f ( x, y)
在D内有唯一的驻点，则认为该驻点即为 f (x, y)
的最值点. 不必求 f ( x, y)在D的边界上的最值.
也 无 须 判 别 该 驻 点 是 否为 极 值 点.
(0,0)不是 z x3 y3的极值点.
当a =0 时，
z x3 y3 3axy 无极值.
-o + x
二、多元函数的最值
假设: 目标函数可微且只有有限个驻点. 求最值的一般方法：
情形1 D是有界闭区域，z f ( x, y)在D上连续.
1 求出函f (数x, fy)在在有D界内闭部区的域极D值上可连疑续点，
由问题性质知存在最小值, 而驻点唯一,
所以点 8 ,16 即为所求. 5 5
例7 求函数 f (x, y) = x2 + 2y2 - x2y2 在区域 D {( x, y) x2 y2 4, y 0 }
上的最大值和最小值.
y
解 (方法1) 1 先求 f (x, y)在D内的驻点
由
fx fy
得极大值：z(a,a) a3.
(2) 当a =0 时，在唯一驻点(0,0)处，
AC B2 (36xy 9a2 ) 0
(0,0)
充分判别法失效！
此时，z x3 y3 , z(0,0) 0
当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) 当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) y
其中为某一常数.
2º解方程组
拉格朗日函数
FFxy
fx(x, y) x (x, y) 0 fy(x, y) y(x, y) 0
(1)
F ( x, y) 0
解出 x0, y0, ，得极值可疑点：( x0 , y0 )
3º判断 ( x0 , y0 )是否为极值点.
原理：设 f , 在某U (P0 )内有连续的一阶偏导数，
问题的实质：求 U ( x, y) ln x ln y
在条件: 8x 10 y 200 下的极值点. 一般地，所谓条件极值，就是求 z f ( x, y)
在附加条件：φ( x, y) 0 下的极值，即求
z f (x, y)
( x, y) 0
所确定的函数 z z( x)的极值.
求条件极值的方法主要有两种：
得 x2 ax 0, x 0, x a
有驻zz点xy ：
3x2 3(0y,20),
3ay 3(aa,xa
)
0 0
① ②
3( x2 ax a2 ) 0
2º判断 zx 3 x 2 3ay , z y 3 y2 3ax A zxx 6x, B zxy 3a, C zyy 6 y, AC B2 36xy 9a2
计
算
：f
(
函数( xfi xi , yi )
,在y(i该i)区1(,域i2,D1上,,2n一,);定, n取) 得最值
2 求 f ( x, y)在D的边界上的最值m0 , M0;
(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件
方程)
3 比较函数值 f ( xi , yi ) (i 1,2,, n) 与 m0 , M0的大小，则最大者为最大值M，
y ( x0 , y0 )
fx ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0来自百度文库) 0
( x0 , y0 ) 0
这正是(1)式.
条件极值的 必要条件
1. 将条件极值转化为无条件极值
即由 ( x, y) 0, 解出y y( x),
再代入 f ( x, y)中，转化成求
z f [x, y( x)]
的无条件极值.
2. 拉格朗日乘数法
找函数 z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0
下的极值可疑点.
步骤： 1 构造函数
拉格朗日乘子
F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U ( P ))
(1) 利用极值的充分条件判定,
(2) 若充分条件不满足，则利用极值的定义.
例4 z x2 y2
zx (0,0), z y (0,0)均不存在，
但 z x2 y2在(0,0)处取得极小值 z(0,0) 0.
例5 求 z x3 y3 3axy (a为常数)的极值.
解 1º求驻点
z z
例6 在xOy平面上求一点, 使它到x 0, y 0及
x 2 y 16 0三直线的距离平方之和最小.
解 所求点一定在 x=0, y=0, x+2y-16=0 三直线
所围三角形的内部. 设(x,y)为该三角形内任一点,
则它到三直线的距离平方和为:
D x2 y2 ( x 2 y 16 )2
事实上， zx y, z y x,
z z
x y
(0,0) (0,0)
0 0
(0,0)是 z xy 的驻点.
但当 xy 0（一、三象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0 当 xy 0（二、四象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0
(0,0)不是 z xy 的极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
y
1 22
8 x+2y-16=0
(x, y)
x
o
16
目标函数
D 6 x2 9 y2 4 xy 32 x 64 y 162 . 555 55 5
D x
12 5
x
4 5
y
32 5
0,
D y
18 5
y
4 5
x
64 5
0.
解得
x 8 , y 16 . 55
8，16 为唯一驻点， 5 5
由 h( x) 4 x3 10x 0 (2 x 2)得驻点:
x1 0, x2
5, 2
x3
5, 2
y L2
h(0) f (0,2) 8
h( 5) f ( 5, 3) 7 .
2
22 4
-2 O
在L2上,
f (x, y) 的最大值为8，最小值为 7 . 4
L1 2 x
综上, f (xh,(yx))在 Df 上( x的, 最4 大x值2 )为8，最小值为0.
( f ( x, y) f ( x0 , y0 ))
则称函数在点
取得极大值 (f极( x小0 ,值y0).f ( x0 , y0 ).
极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点
称为极值点.
推广：n 元函数 f (P ), 极小值 f (P0 )：f (P0 ) f (P )
(
P
U
( P0
),
P0( x0 , y0 ), y ( x0 , y0 ) 0.
z
f ( x,
(x, y) y) 0
在点(
x0
,
y0
)处取得
极
值
z f [ x, y( x)]在x x0处取得极值.
dz dx
x x0
(
fx
fy
d d
y) x x x0
0
而 dy
x ( x0 , y0 )
d x x x0 y ( x0 , y0 )
定理8.11(充分条件)
若函数z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某邻域内
具有二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 记 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则 1)当 AC B2 0 时,
x4 5x2 8 (2 x 2)
三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例 小王有200元钱，他决定用来购买两种 急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 设他购买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达 到最佳效果，效果函数为：
U ( x, y) ln x ln y
设每张磁盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他 如何分配这 200 元以达到最佳效果．
第九节
第八章
多元函数的极值
与最优化问题
一、多元函数的无条件极值 二、多元函数的最值
三、多元函数的条件极值—— 拉格朗日乘数法
一、 多元函数的无条件极值
观察二元函数
z
xy ex2 y2
的图形
1. 极值定义
定义8.10 若函数
的某
邻域内有定义且满足
f ( x, y) f ( x0, y0 ) ( ( x, y) U (P ))
2x 4y
2xy2 2x2 y
0, 0.
-2 O
2x
得D内驻点为：( 2,1), ( 2,1),
且 f ( 2,1) 2.
2 再求 f (x, y)在D边界上的最值
在边界L1 : y 0 (2 x 2)上，记 g( x) f ( x,0) x2
在L1上, f (x, y) 的最大值为
令 ( x) f ( x, y0 ), 则
( x) ( x0 ) ( x U ( x0 )) ( x) f ( x, y0 )在x x0处可导
( x0 ) 0
即 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
注 1º 推广： 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )具有偏导数，则它在点 P( x0 , y0 , z0 )处有极值的必要条件为: