定积分的概念PPT课件

b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积 的负值
y
a
A2
o
A1
b
A3
x
它是介于x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代数 和 ． 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ；在 x 轴 下 方 的 面 积取负号．
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
(可推广到有限个的情形.)
3）. 若把[a , b]分为两部分[a , c]和[c , b] , 则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注 : 若分点c在区间[a,b]之外 , 则f (x)在
设某质点作直线运动，速度v v(t ) 是时间 间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的路程.
对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间
解决变速运动的路程的基本思路
把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速 度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加， 便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分 过程求得路程的精确值．
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和
i
的取法是任意的
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、x b所围成.
Ai f (i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
求和
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
取极限
实例2 路程问题（Distance Problem)
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
分割
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限
积分和
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
被 积分下限 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
(1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限
一、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
(2) 近似 ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（3）求和 s v( i )ti
i 1
（4）取极限 max{t1,t2 , ,tn }
路程的精确值
n
s
lim
0
Hale Waihona Puke Baidu
i 1
v(
i
)ti
n
A?
x轴与两条直线x a 、
o
a
bx
x b所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
其 面积A等 于函 数f ( x)在 区间[a, b]上 的定 积 分， 即
b
A a f ( x)dx
设某质点作直线运动，速度 v v(t)是时间间 隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，物体在这段时
间内所经过的路程.
S T2v(t)dt T1
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
定积分的概念
目的与要求
❖理解定积分的概念及性质。 ❖理解定积分作为变上限的的函数及其求导定理。 ❖熟悉牛顿-莱布尼茨((Newton-Leibuniz)公式。 ❖熟练掌握定积分的换元积分法,分部积分法。
一、 定积分的概念
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y
y f (x)
y f (x),( f (x) 0)
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
二、定积分的几何意义
y f ( x) 0,
y f ( x) 0,
oa
bx
oa
bx
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
三、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
1）.
b
kf (x)dx k
b
f (x)dx,
(k为常数)
a
a
2）.
b
[ f (x) g(x)]dx