高数第七章题库微分方程 (2).doc
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
高等数学第七章资料
ln y ln( x 2) lnC 所以方程的通解为
y C( x 2)
例1 求方程 ( x 2) dy y dx
解2 方程改写为
的通解
y C e P( x)dx
dy 1 y 0 dx x 2
所以
p( x) 1 x2
由公式得通解
y
y2 C(1 x2 ) 1
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐（显）式通解.
作业 P304习题7-2 1(1)(3)(7)(8)， 2(1)(2)
第三节 齐次方程
一、齐次方程
定义1 可化为形如 dy f ( y ) 的一阶微分方程称为 dx x 齐次方程.
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
y' 2x
①
由①得
y x1 2
② (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2, 问
（1）开始制动后多少时间列车才能停住？ （2）在这段时间内列车行驶了多少路程？
解 分离变量
两边积分
ey ex C
即 (ex C )ey 1 0 ( C < 0 )
2、 求微分方程 dy 1 x y2 xy2 的通解 dx
解 方程可化为 分离变量,得 两边积分,得 得通解
dy (1 x)(1 y2 ) dx
dy 1 y2
y C1C2e x e2x是否 y 3 y 2 y 0的通解?
高数第七章题库微分方程
第十二章 微分方程答案一、选择题1．以下不是全微分方程的是C1A. (x 2 y)dx ( x 2 y)dy 0B.( y 3x 2 )dx (4 y x)dyC. 3(2x 33xy 2 ) dx 2(2 x 2 y y 2 )dy0 D.2x( ye x 2 1)dxe x 2dy2. 若 y 3 是二阶非齐次线性方程 (1):y P(x) y Q (x) f ( x) 的一个特解， y 1, y 2 是对应的齐次线性方程 (2) 的两个线性没关的特解，那么以下说法错误的选项是（c 1 , c 2 ,c 3 为随意常数）C 2A. c 1 y 1 c 2 y 2 是 (2) 的通解B.c 1 y 1 y 3 是 (1) 的解C. c 1 y 1c 2 y 2 c 3 y 3 是 (1) 的通解D.y 2 y 3 是(1) 的解3．以下是方程 xdx ydyx 2y2dx 的积分因子的是 D2A. x 2y 2B.1 y 2C.x 2 y 2D.1y 2x 2x 2d 3 yxd 2 y 2 x1 的通解应包括得独立常数的个数为（ B ） .14．方程e dx 2edx 3(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 05．已知方程 y ' p(x) y 0 的一个特解 y cos 2x ，则该方程知足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ） .2(A)y cos 2x2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2 x (D)y 2cos x6．方程 d 3 ye x d 2 ye 2 x1 的通解应包括得独立常数的个数为（ B ） . 1dx 3dx 2(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 07．设线性没关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是微分方程 y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为 （ D ） .2(A)y c1 y1c2 y2y3(B)y c1 y1c2 y2(c1c2 ) y3 (C)y c1 y1c2 y2(1c1c2 ) y3(D)y c1 y1c2 y2(1c1 c2 ) y38．设方程y '' 2 y '3y f ( x) 有特解y *，则其通解为（B）.1(A)c1e x c2 e3 x(B)c1e x c2e3x y *(C)c1xe x c2xe3x y *(D)c1e x c2e 3 x y * 9．微分方程y 'y cot x0 的通解为（A）.1(A)y c sin x (B)yc(C)y c cosx(D)c sin xycosx10.方程y cos x的通解为 ( C)1(A)ysin x c1 x c2(B)y sin x c1x c2(C)y cosx c1x c2(D)y cos xc1x c211.y e x的通解为(C)1(A) e x(B) e x(C) e x c1 x c2(D) e x c1 x c2y 2y312.微分方程y x y4的阶是 (B)1(A)1(B)2(C)3(D)413.以下微分方程中，属于可分别变量方程的是(C)1(A)xsin xy dx ydy0(B)y ln x ydy xsin y y 1 y e x y2(C)dx(D)x14. 方程y 2 y0 的通解是（C）1A.y sin 2x；B.y4e2 x；C.y ce2x；D.y e x c 。
高数下册 第七章 微分方程习题课 (一)(二)
dy y (3) = dx 2( ln y − x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) + x y − x3 y3 = 0 dx z = y−2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy − x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + =0 x2 + y2 提示: 提示 为全微分方程 , 通解
B = −417
原方程通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 原方程通解为 思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 提示 特解设法有何变化 ?
故 y * = Acos 2x + Bsin 2x + D
24
′′ − a y′2 = 0 y P327 题4(2) 求解 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q Q = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
7
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
dp dp = f ( x, p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 x2 y′′ + px y′ + qy = f (x) d t 令 x = e ,D= dt [D(D −1) + pD+ q] y = f (et ) 练习题: P327 题 2 练习题
高数下册第七章微分方程一、二、三节
Xxyy
x y y x ,即 yy2x0 思考与练习 P263 (习题12-1)
Qo
P xx
1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6
8
例3. 已知函数 y x 是微分方程 y y ( x )
ln x
xy
A 的解,
则
(
x y
)
的表达式为（
）
(A)
y2 x2
当G(y) 与F(x) 可微且 G (y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝ (x) 是①的解.同样,当F (x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝ (y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
11
例1. 求微分方程 d y 3 x2 y 的通解. dx
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
10
分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的 则有恒等式
解, g (( x ) ( ) x ) d x f ( x ) d x
两边积分, 得 g(y)dyf(x)dx
则有
G( y)
F(x)
G (y)F (x )C ②
f( x ) 1 2 ( 1 x 2 ) [ l n ( 1 x 2 ) 1 ]
13
例3. 求下述微分方程的通解: ysi2(n xy1 )
解: 令 uxy1,则 u1y
故有
1u si2u n
即
se2cududx
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ) ( x C ( C 为任意常数 )
《高等数学》 第七章
分离变量得 dy tan xdx ． y
两边积分，得 ln y ln cos x ln C1， 故 y C1 cos x ． 变换常数 C1 ，令 y C(x) cos x 是原方程的解，则
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
为自由项（或非齐次项）．
① 若 Q(x) 0 时，方程（3）变为 dy P(x) y 0 ． dx
（4）
方程（4）称为一阶线性齐次微分方程．
② 若 Q(x) 0 时，方程（3）称为一阶线性非齐次微分方程，并称方程（4）
为对应于方程（3）的线性齐次微分方程．
第二节 一阶微分方程
接下来就是来求它的通解．首先求（4）的解，它是一阶线性齐次微分方程， 并且是可分离变量的方程，分离变量得 dy = P( x)dx ．
为可分离变量的微分方程．
第二节 一阶微分方程
现在介绍齐次微分方程的解法：
第一步，引入新的未知量 u ，令 u y （这样 u 就是关于 x 的函数），则 y ux ， x
两边同时对 x 求导数得 dy u x du ；
dx
dx
第二步，将上面的式子代入方程（2），得 u x du f (u) ， dx
第二节 一阶微分方程
例 5 求方程 x dy 2 xy y (x 0) 的通解． dx
解 首先将方程进行变形，化为比较熟的形式．
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
高等数学第七章微分方程试题及答案汇编
第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
高数 第七章 微分方程常微分方程
5．微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定 解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件： y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始 条件。
(
y) x
的方程，称为齐次方程。
例如（1）2xy d y (x2 y2 ) d x 0
（2）(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2．齐次方程的求解：
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后，再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中，令 u y ，化简并整
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第一讲 微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程方 程
授课题目（章节）§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程 教学目的与要求： 了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念； 2．会识别变量可分离的一阶微分方程，熟练掌握可分离
用常数变易法，令：y ueP(x)dx ，其中u u(x) 为待定函数，
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ，可解
得：u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此，非齐次微分方程 d y P(x)y
解为： d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x
高等数学 第七章 常微分方程
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
衰变规律
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
M M 0 e t
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x( t )% 在 [t , t dt ]内,
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
同济高数（第七版）--第七章
第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。
高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
O hdh
即 设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容 以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
通过适当的变量代换，一阶线性微 分方程可化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是 已知函数。
一阶线性方程全微分方程的解的存在性与唯一性定理
1 2
解的存在性
如果一阶线性微分方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在某区间上连续，那么在该区间内必定存在原方 程的解。
解的唯一性
如果一阶线性微分方程满足初始条件 $y(x_0) = y_0$，那么在给定区间内，原方程的解是唯一的。
3
解的连续性与可微性
一阶线性微分方程的解在其定义域内是连续且可 微的。
一阶线性方程全微分方程的通解与特解
通解
一阶线性微分方程的通解是包含 任意常数的解，它表示了原方程
所有可能的解。
特解
满足特定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 的解称为特解，它是通解
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法包括降阶法、特征根法、常数变易法等，其中降阶法是通过变量 代换将高阶方程化为低阶方程来求解。
高阶线性微分方程的性质
高阶线性微分方程具有线性性、叠加性、齐次性等性质，这些性质在求解过程中起着重要 作用。
非线性微分方程简介
非线性微分方程的定义
非线性微分方程是指微分方程中未知函数或其导数出现高次幂、 乘积、分式等非线性形式的方程。
高数下册第七章微分方程一、二、三节
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
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第十二章微分方程答案一、选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A. ( x2 y)dx ( x 2 y)dy 0B. ( y 3x2)dx (4 y x)dy 0C.3(2 x3 3xy2 )dx 2(2 x2 y y2 )dy 0D. 2x( ye x2 1)dx e x2 dy 02. 若y3是二阶非齐次线性方程(1): y P(x) y Q(x) f (x) 的一个特解， y1, y2是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（c1 ,c2 , c3为任意常数） C 2A. c1y1 c2 y2是(2)的通解B. c1y1 y3是(1)的解C. c1 y1 c2 y2 c3 y3是(1)的通解D. y2 y3是(1)的解3．下列是方程xdx ydy x2 y2 dx 的积分因子的是 D 2A. x2 y2B. 1y 2 C. x2 y2 D. 1y2x2 x24．方程d3 y x d 2 y 2 x1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx2 e(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程y ' p(x) y 0 的一个特解y cos 2x ，则该方程满足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ）. 2(A) y cos2x 2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2x (D) y 2cos x6．方程d3 y x d 2 y 2 x1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx2 e(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数y1, y2, y3都是微分方程y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为（D）. 2(A) y c1 y1 c2 y2 y3 (B) y c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3(C) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 (D) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y38．设方程y '' 2 y ' 3y f ( x) 有特解y *，则其通解为（ B ） . 1(A) c1e x c2e3x (B) c1e x c2 e3 x y *(C) c1 xe x c2 xe3 x y * (D) c1e x c2e 3 x y * 9．微分方程y ' y cot x 0 的通解为（ A ） . 1(A) y c sin x (B) yc(C) y c cosx (D)c sin xycosx10. 方程y cos x的通解为 ( C ) 1(A) y sin x c1x c2(B) y sin xc1x c2(C) y cosxc1 x c2 (D) y cos x c1 x c2 11. y e x 的通解为 ( C ) 1xe x(A) e (B)x c 1 x c 2 x 1 x c 2(C) e (D) e cy 2 y y 3 x y 4012. 微分方程 B ) 1的阶是 ((A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A)x sin xy dx ydy 0 (B) y ln x ydy x sin y y 1 y e x y2(C) dx (D) x14.方程y 2 y 0 的通解是（ C ） 1A. y sin 2x ；B. y 4e2x；C. y ce2x；D. y e x c 。
15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式y 7 y 12 y 0 的解。
1A. y x3；B. y x2；C. y e2x；D. y e3x。
16. 以 e x和 e xsin x为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（ D ） 2（A） y 2 y y 0 （B） y 2 y 2 y 4（C）yy 0 （D）无这样的方程。
17.y2yy x 21*可设为(C ) 2的特解 y(A) y * e x A x 2Bx C (B)y*A x 3B x 2 Cx D(C)y* A x 2 Bx C(D)y* x e x A x 2Bx Cyt cos 2tsin 2t 的一个特解，则该方程的通解是（18. 若4 是方程y4 yA）yc 1 sin 2t c 2 cos 2ttcos2tyc 1sin 2ttcos 2t（A ）4（ B ）4（ C ） yc1c2te 2ttcos 2t（ D ） yc 1e2tc 2e2 ttcos 2t4419. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（B）1（ A ） xyy 2 x（ B ） yxy sin x（ C ）yyx（ D ） y2xy 020. 方程y2 y 5 ysin 2x的特解可设为（D）2（ A ）y x a sin 2x（ B ）y a sin 2x（ C ）yx a sin 2x b cos 2x（ D ）yasin 2x b cos2x二、 填空题1、以 yc 1 c 2t c 3t 2 e t （ c 1, c 2 , c 3 为任意常数）为通解的常微分方程是d 3y3 d 2 y 3 dyy 02dt 3dt 2dt2、若 1, x 2, x 4 是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是c 1 ( x 2 1) c 2 ( x 4 1) 1 （ c 1, c 2 为任意常数）13. 微分方程 dyy 2cosxdx 的通解 :y11sin x c4. 微分方程 xdyydx y 2e ydy 的通解是 : xy( c e y ) 15.微分方程 ydx+(y-x)dy=0 的通解是 :x ln yc2y6．以 y cos 2xsin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是y ''4y 0 。
2dyf yy u, y7．解形如dxxxu xu的微分方程， 求解时可作的变量代换18 ． 微 分 方 程y4y 3y的 通 解y=1x2 3xC eC e19．微分方程 y"+2y ˊ+2y=0的通解是 y e x C 1 cosx C 2 sin x。
110、微分方程 y10 y 34 y 0 的通解是ye 5 x(c 1 cos3x c 2 sin 3x)1三、 计算题1．解方程 (x1) dy ny e x ( x 1)n 1 ，这里 n 为常数。
2dx解： 将方程改写为dyn y e x ( x 1)n 。
dxx 1首先求齐次方程dy x n y 0 的通解为 y c( x 1)ndx 1再设 yc( x)( x 1)n，于是dydc( x) (x 1)n n( x 1)n 1 c( x) ，带入原方程，得dc( x)dx dxe x ，即 c( x) e x C ， C 为任意常数。
dx于是原方程通解为y (e x C)( x 1)n 。
5 ＃d 3xx 022．解方程dt 3解： 特征方程为31 0 ，它的根为1, 1 3i 。
2 2于是原方程解为c 1e t1 t33ze 2 (c 2 cos t c 3 sin t ) 。
c 1 , c 2 , c 3 为任意常数4＃2 23．解方程dyy tgy2dxx x解： 作变量代换y , dydu x du utgu 。
即xdxdxdxdu dx，解得 sin ue c x ，此外还有解tgu 0 ，即 sin u0 。
于是方程通解为tguxsinu cx ，这里 c 为任意常数。
代回原来变量，得原方程通解sinycx5＃xdyy24．解方程2xy 2dx解： 将原方程改写为dx 2x y 22x y 。
dy，即dxydy y先求出齐次方程 dx2x 的通解为 x cy 2 。
dyy再设 xc( y) y 2 ， dx dc( y) y 2 2c( y) y ，代入原方程得 dc( y) 1dy dydy y解得 c( y) ln y C ， C 为任意常数。
所以原方程通解为x y 2 (C ln y )5 ＃5．解方程： xdy2 xy y( x 0)2dx解： 将方程改写为dy 2 y y( x 0) ，作代换yu,dyx duu ，则原方程dx xxxdxdx变为du 2du dx。
xu 。
即uxdx2于是得此方程通解为u ln( x) c ，即 u [ln( x) c] 2 ， (ln( x) c0) ，这里 c 为任意常数。
此外方程还有解u 0 。
代回原来的变量，得原方程通解y x[ln( x) c]2 (ln( x) c0) 与 y 05 ＃6．解方程 d 4x2 d 2 xx 02dt 4dt 2解：特征方程为 ( 21)2 0 ， 有 两 个 二 重 根 i ，原方程的四个实值解分别是cost ,t cost,sin t ,t sin t 。
故通解为x (c 1 c 2t )cos t (c 3 c 4t )sin t ， c 1, c 2 , c 3, c 4 为任意常数4＃7. 设二阶可微函数 y 满足方程 y 6y4e 4 x，y(0)=1'(0) 1, 求 y3, y 2解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r 26r解得r 10 ， r 26于是对应齐次方程的通解为yc 1 c 2e 6x设非齐次方程的特解为： Y*ke4 x把它代入所给方程，得k1214x所以： Y *e21y c 16x 4x故已知方程的通解为c 2 e 2 e11又 f '(0) 1 故 c 1 c 2， f (0)=2 1 (12即： y e 6 x e 4x ) 7 ＃28. 求微分方程 y''4 y'3 y 2ex的通解3解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r 243 0r解得r 11 ， r 23于是对应齐次方程的通解为y c 1e x c 2e3x因 1Y*axex是特征根，故设非齐次方程的特解为：把它代入所给方程，得 a 1 , 所以： Y*xex故已知方程的通解为 y c 1exc 2 e3xxex7＃ 9. 求微分方程 y''2 y'y xe x的通解3解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r22r1 0 ，解得 r 1 r2 1 。
于是对应齐次方程的通解为y c 1exc 2 xex因1是重特征根，故设非齐次方程的特解为：Y*( ax b) x 2 ex把它代入所给方程，得a1 , 所以：Y*1 3 e x，b=06 x6故已知方程的通解为y c1e x x 1 3ex7＃c2 xe 6 x10．求微分方程y'' 3 y 3xe x的通解。