maple_chap3

60复合数据类型 第三章 本章将介绍Maple 软件中常用的复合数据类型，这些复合数据类型是进一步学习和灵活掌握Maple 的基础，也是学习用Maple 进行程序设计的必要知识。

本章具体包括以下内容：Maple 中的序列Maple 中的集合Maple 中的有序表Maple 中的数组复合数据类型的定义和结构复合数据类型的基本运算复合数据类型的相互转换。

61．通过前面几章的学习，读者朋友一定已经初步地掌握了在Maple 中对单个数据元素的运算；同时，您也一定早已发觉，要灵活的应用Maple 进行符号演算，光靠数据元素是不够的。

在数学中，我们也有着各种各样的抽象复合数据类型，比如矩阵、集合等等。

为了能更好地理解Maple 中的复合数据类型，我们在开始新的内容之前，有必要先花一点时间系统地介绍一下Maple 中常用的复合数据类型。

元素级的数据类型，我们已经接触过许多种，如多项式（polynom ）、有理式（ratpoly ）等；复合数据类型是若干个元素级数据类型按照一定规则的组合，例如序列（sequence ）、集合（set ）、有序表（list ）、数组（array ）等，它们的作用是把这些元素作为整体进行运算或者相关的操作。

3.1 序列在前面，我们曾经不止一次地见到过表达式组成的序列。

实际上，表达式序列（expseq）作为一种表观数据类型，就是我们所最常见的序列。

例如，取元素函数op( )的结果就往往是一个序列——什么是序列，我们有了一个直观印象——一组用逗号相互隔开的对象。

我们还在什么地方看到过用逗号相互隔开的对象？对了，多参数的函数调用的括弧中，每个参数之间都用逗号隔开——是的，函数的参数也构成了一个序列。

序列这种数据形式在Maple 中是如此地常见。

在下面的例子中，解方程函数solve( )的参数和结果都是序列。

需要注意的是，每一个序列本身都是一个完整的对象：它们在系统内部都是由一个数据向量来表示的。

其中“↑表达式1”，“↑表达式2”，……，分别表示指向存储各个表达式的数据结构的指针。

一个序列中的各个元素并不一定具有相同的数据类型，两个不同类型的序列完全可以合并成一个序列——只要你觉得有必要。

连接两个序列的操作十分简单，只需要把两个序列。

62．写在一起，中间用逗号相隔开就可以了。

序列是由若干个元素组成的，这个“若干”个，当然也可以是0个——者在数学上没问题，Maple 中当然也允许。

Maple 中的空序列（0个元素的序列），有一个专门名称——NULL 。

具有一定规律的序列，也就是可以写出通项的序列，可以用函数seq( )来生成：函数调用seq( f(i), i = m..n )可以生成这样的序列：f(m), f(m+1), f(m+2), …, f(n)。

上面例子中用到了函数ithprime(i)，它是用来获得第i 个素数的。

Maple 还提供了一个具有和seq 函数几乎相同功能的操作符$。

我们在介绍高阶导数时曾经遇到过这个操作符，那时，我们用diff(f, x$3)表示f 对x 的3阶导数；现在，我们知道x$3实际上是生成了一个3个元素的序列，函数调用实际上就成了diff(f, x, x, x)，自然表示f 对x 的3阶导数了。

我们利用$操作符，可以完成和seq 函数一样的功能。

但是，作为操作符的使用，有时很容易发生错误。

比如上面的例子中，假如已经对i 赋过值了，那得到的结果将会是20个相同的数了，因为运算符的优先级决定了运算的次序，而$操作符的优先级是很低的。

所以，除了在diff 中使用之外，我们不提倡使用$操作符来生成序列。

函数seq( )第二个参数的等式右边部分还可以不是一个范围，它可以是一个任意表达式甚至一个复合数据类型——这时，代表元素（上面例子中的i ）将遍取该表达式或复合数据类型中的所有元素。

例如：复合数据类型的目的是为了把一组数据作为整体来操作，但是，我们关心的往往还是单个的元素。

怎样获得一个序列中的一个特定的元素呢？我们可以用选择操作符“[ ]”。

比如我们要选择上一例中第二个元素：选择操作符中间不仅可以是单个的数，还可以是一个范围，比如a..b ，这时，选择的结果将仍旧是一个序列：。

63．如果你学过Matlab 或者Fortran90程序设计语言，你会发觉Maple 表示范围的方式和它们是如此的相似。

实际上，Maple 中对于这种表示方式的应用要灵活得多。

Maple 中范围类型（range ）的表达式具有这样的标准形式：left_expression ..right_expression在前面介绍积分和级数时，我们曾经使用过这样的数据类型，用它来表示积分区间和求和的范围。

我们知道，它的左表达式left_expression 和右表达式right_expression 都可以时表达式或者未赋值的变量，仅这一点，就是Matlab 和Fortran90所望尘莫及的。

当然，在用来生成序列时，它们就必须是数值型的，而且必须是整数了。

顺便提一句，范围表达式的中间可以是两点，也可以是更多的点——只要你愿意——当然，一点表示变量名的联合，不要搞混了。

3.2 集合在Maple 中，集合类型（set ）最常用的场合是解方程组。

Maple 的代数方程组求解函数solve 的参数是一个方程的集合和一个未知变量的集合；而它的结果，通常情况下也是一个由集合（一组解）组成的一个序列。

Maple 中表实际和的方法和我们的数学语言完全相同——用一对花括弧“{ }”把一个序列括在当中。

和我们在数学中集合的定义相同，Maple 中，集合中的元素不能重复——系统会将重复的元素去掉，集合的中的元素相互之间也没有先后次序——显示是按照内部存储地址顺序显示的。

从上面后一个例子中我们可以看到，对于经过形式变换（实际上是内部存储结构变换）后相等的表达式，Maple 认为是不同的表达式，它们在内存中存储在不同的位置，所以没有把它们从集合中去掉。

Maple 的集合类型当然也包括空集。

没有元素的集合，自然就是空集；但要注意，Maple 并没有定义phi （ ）为空集。

系统内部，集合的数据结构是这样的：。

64．数学中集合的基本运算——交、并、差——在Maple 中都有对应的操作符，分别为intersect 、union、minus 。

利用函数member( )，可以判断一个特定的元素是否属于一个集合，如果是的话，还可以确定它在集合中的位置。

位置的数值对于集合来说是没有意义的，它只表示Maple 中存储的地址顺序，但是，利用它可以引用集合中的元素。

和序列一样，我们可以用选择操作符“[ ]”，当然也可以使用我们早已知道的函数op( )。

上面的例子中，我们用到了组合数学工具包combinat 中的函数powerset ，顾名思义，它是用来生成幂集的函数。

前面，我们用元素在集合中的位置来选择该元素。

有时，我们须要选择一个集合中满足某种条件的元素，这时，使用Maple 函数select( )就会很有用。

它的调用格式是这样的：select ( criterion , set , extra_arguments )其中criterion 是一个返回值为布尔型的函数，它是我们用来决定选择与否的准则，set 是有待筛选的集合，extra_arguments 是调用函数criterion 所需的附加参数。

65．3.3 有序表有序表（list ）在Maple 中的表示形式是一对方括弧“[ ]”把一个序列括在其中。

在多变量多项式的合并同类项函数collect( )中，可以把这种数据类型作为参数，表示合并同类项的变量。

我们看到，当元素出现的顺序不同时，有序表也不同。

也正因为此，我们称其为有序表。

因为元素在有序表中具有先后顺序关系，所以有序表中的元素是可以重复的，这是有序表和集合之间的最大区别了。

我们也可以人为地对有序表进行排序，和集合中的顺序一样，这里的排序也是相对于存储地址而言的。

和空集相对应，有序表也有空表的概念：有序表的内部存储结构和集合极为相似：下面，我们将有序表的常用操作依次列出，并附以简单的使用例子：求有序表的长度。

✧在有序表中查找一个元素。

✧选择有序表中的一个或多个元素。

✧在有序表中加入元素。

✧联接有序表。

✧替换有序表中的一个元素。

✧替换有序表中所有指定的元素。

✧有序表重排序。

66．。

67．3.4 数组在这一节中，我们将简要的介绍Maple 中的数组类型（array ），以及一些相关的对象，比如向量（vector ）和矩阵（matrix ）。

在下一章中，我们将进一步对它们作详细介绍。

在这里，我们暂时局限于讨论这些数据结构的生成。

和其他大多数常规编程语言一样，在Maple 中有着一维、二维和三维的数组。

下面的例子中，就生成了一个具有数组类型的对象：在构造数组的函数array( )中，我们首先指定的是数组在两个维度上的指标范围。

Maple 中的数组的指标范围可以任意指定，在一定程度上和Pascal 语言中的数组有点相似。

然后，我们以一个有序表的形式指定数组中的一些元素（并不一定要指定所有元素）。

在这里，尤其需要注意方括弧和园括弧的用法。

在生成一个数组时，我们用园括弧括起来的数对指定数组的各个元素；而在引用一个数组的某个元素时，我们还是使用前面曾经用过多次的选择操作符“[ ]”。

数组数据类型，实际上是另一种数据类型——查找表（table ）的特例。

查找表这种数据结构在Maple 的内部很常用，例如我们上一章中曾经提到过的积分变换公式表。

顺便提一句，Maple 的内部查找表是用数据结构中称为哈希表的结构实现的。

乍一看，数组合我们学过的数据类型——有序表极为相象。

而实际上，数组可以由有序表直接转化而来。

我们看到，特别是在输出的表达式上，一维数组和有序表几乎一模一样，但它们的内部存储结构是不同的，我们必须加以区分。

二维、三维的数组以同样可以由有序表直接生成。

用有序表直接转化生成数组，可以省去许多不必要的输入——每个元素的指标。

另外，如果省略每一维的指标范围不写，则默认的指标范围是从1开始的。

68．从上面的结果中，我们不难发现，Maple 中的2、3维数组都是按照指标从后向前变化排列的，从这种意义上来说，它的数组和C 、Pascal 都比较相似，但和Fortran 中的数组不同。

在数学中，我们常常把二维和三维数组分别称为向量和矩阵；在Maple 中也是，它们的类型名称分别是vector 和matrix 。

和我们通常在数学中的概念有所不同，Maple 中的vector 仅仅指行向量，而对于列向量，也就是n 1的矩阵，Maple 不把它认作是vector 。

在Maple 的线性代数工具包linalg 中，有函数vector( )和matrix( )可以直接生成向量和矩阵。