九年级数学寒假班精品尖子班讲义

《全等三角形及三角形全等的条件》

【知识精讲】

全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.

重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：

(1) 满足一个条件⎩

⎨

⎧一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1(

(3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等

三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？

(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相

两直角边对应相等（

(2) 两锐角对应相等（×）

(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）

【典例剖析】

1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。

2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )

A. 甲和乙

B. 乙和丙

C. 只有乙 D 只有丙

3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

b a

c a c c a 丙

72︒

50︒

乙50︒甲50︒

C B

A 50︒72︒58︒

4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.

5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.

若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？

【王牌例题】

1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。

(1) 当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.

(2) 将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF，AE，BF之间的关系. ①AD>BD；②AD=BD；③AD

(答案：当l交AB于D，且AD>BD时，EF=AE-BF；当l交AB于D，且AD=BD时，EF=0，AE=BF；当l交AB于D，且AD

3．如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的平分线AD、CE相交于O.求证：DC＋AE ＝AC.

【课堂回顾】

掌握三角形全等的判定方法；

重视证明三角形全等的书写格式及分析思路。

多观察、归纳、总结等，从而掌握快速、准确的方法，获得用数学的思想方法处理问题的能力。

课堂练习

1. 如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，BE＝CD,求证：BD＝CE.

题目解析

证明：

过B作BG⊥CA于G，作CF⊥BA于F，

则∠BGA＝∠CFA＝90°，又∠BAG＝∠CAF，AB＝AC，

∴△BAG≌△CAF，∴BG＝CF，

又BE=CD，∴RT△BGE≌RT△CFD，

∴∠BEG＝∠CDF，

又∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，

又AB＝AC，

∴AB-AD＝AC-AE，

∴BD＝CE.

解析：

课后作业

1.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

正确答案：B

题目解析

解析:

如图①，在DE上方作∠A1DE=∠B，∠A1ED=∠C，

根据ASA可知△A1DE ≌△ABC，

根据对称性可知在DE的下方也存在一个这样的三角形与△ABC全等；

如图②，在DE上方作∠A2DE=∠C，∠A2ED=∠B，

根据ASA可知△A2ED ≌△ABC，

同样在下方也存在一个这样的三角形与△ABC全等.

所以共可作4个三角形与△ABC全等.

题目解析

3.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损，只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．

题目解析

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解析：

只要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C的度数和边BC的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．