九年级数学寒假班精品尖子班讲义

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九年级数学寒假班培优精品讲义

个性化教学辅导教案学生姓名年级九年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题圆的有关概念教学目标1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2．探索并掌握垂径定理及其推论．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．教学过程教师活动学生活动1．圆的基本概念：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．2．圆的有关性质：(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．3．圆心角和圆周角：(1)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．1．如图，CD是⊙A．AE＝BE2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为( ) A．20°B．40° C．50° D．80°3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB BMO＝120°，则⊙C的半径长为( )取线，上一点，OD⊥AC，教学目标：1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2、探索并掌握垂径定理及其推论．3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．⑦掌握圆内接四边形的性质知识点梳理：1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

北师大版九年级数学寒假班讲义(基础班)

第一讲锐角三角函数一．正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做A 的锐角三角函数。

（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。

（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。

令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0︒︒<0A函数的增减性分别为：<90①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而减小③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大.例题：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．同步练习：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA= ．二．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值主要是指︒︒60︒，这三个角的三角函数值，如下表：30，45例题：1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于度．2.4cos30°++|﹣2|= ．同步练习：1．计算：tan45°+= ；2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣．三．解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。

初中数学九年级寒假尖子班专题讲义

初中数学九年级寒假尖子班专题讲义导言初中九年级寒假尖子班专题讲义旨在为学生提供全面系统的数学知识，帮助他们在寒假期间巩固和拓展数学基础，为高中数学研究打下坚实的基础。

课程目标- 深入研究数学的重要概念和方法；- 培养学生的数学思维和问题解决能力；- 掌握九年级数学的重点知识和技能。

课程安排单元一：代数与函数- 知识点：- 代数运算规律- 一元一次方程与一元一次不等式- 线性函数与二元一次方程组- 练和应用：- 解一元一次方程和不等式- 解二元一次方程组- 理解线性函数在实际问题中的应用单元二：数与式- 知识点：- 数的整数指数与实数指数幂- 实数的开方与乘方运算- 练和应用：- 计算数的整数指数与实数指数幂- 计算实数的开方与乘方运算- 解决实际问题中的数与式的计算和应用单元三：几何与观察- 知识点：- 平面图形的性质和判断- 空间图形的性质和判断- 练和应用：- 分析和判断平面图形的性质- 分析和判断空间图形的性质- 解决几何问题和观察问题单元四：概率与统计- 知识点：- 事件的概率与频率- 数据的收集与整理- 练和应用：- 计算事件的概率与频率- 收集和整理数据- 进行简单的统计分析和推断研究方法与建议- 积极参与课堂讲解和练，与同学合作研究；- 多做题和练，通过实践巩固和加深理解；- 提前预和复教材内容，保持研究的连贯性；- 请及时向老师提问和寻求帮助，解决研究中的困难。

结语初中数学九年级寒假尖子班专题讲义将为学生提供高质量的数学学习资源，帮助他们在寒假期间提升数学水平，为顺利完成初中数学学业奠定坚实基础。

希望学生们能够积极参与学习，取得优异的成绩！。

九年级数学精讲班讲义

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

初三数学寒假讲义第1讲.三角形教师版

1中考第一轮复习三角形中考大纲剖析本讲结构12一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．2．特殊直角三角形知识导航3三.尺规构造等腰三角形和直角三角形四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.五.相似三角形相似三角形的性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．34⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似．相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”，使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.【例1】（1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为．（2010顺义一模）（3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，连接DE 交BC 于F ．求证：DF EF =．（2012海淀期中）模块一特殊三角形夯实基础ACFEDB5（4）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 .【解析】（1）C ，“两圆一垂”；（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；（3）证明：过D 点作AC 的平行线交BC 于点G ，则∠B =∠ACB =∠BGD ；∴BD =DG =CE ；易证△DFG ≌△EFC ；∴DF =EF .注：本题方法很多，还可以过D 作BC 平行线，或过E 作AB 的平行线，由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.（4）y = –x +6；提示：延长BQ 与射线EF 相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.【例2】（1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）（2010宣武一模） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ． 222+B ．52C ．62D ． 6（2010西城二模）以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，ABC △为等边三角形，边长AB =4，点A 、C 分别在x 轴、y轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是________.【探究2】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________.能力提升6【探究3】如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值为_______，最小值为_______.【解析】（1）C ，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM 、CM 、CM 、AM 均等于FQ 的一半，于是M 的轨迹围成一个半径为1的圆；（2）A ，如右图1，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当OD 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究1：AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2：如右图2，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O D 、B 三点共线时，OB 2；探究3：“△ABC 绕点C 旋转”等价于“CD 绕点C 旋转”，如下图1，连结CP ，当PD=PC+CD 时， PD 最大，当PD =︱PC-CD ︱时，PD 最小. 如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为2，如图3，当CP ⊥AB 时，PD 2. 图1图2图3PD CBAPDCBAP ()ABCD【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段AP 的最大或最小值）；（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P 是线段BC 上的动点，求线段AP 的最大或最小值）.P 2(P 1)CB AP模块二全等三角形PDC B A图1图27【例3】 △ABC 与△CDE 均为等边三角形，点C 为公共顶点，连结AD 、BE 相交于点P ，BE 交AC于点M ，AD 交CE 于点N ，（1）如图1，当点B 、C 、D 在同一直线上，请证明以下结论：① AD =BE ；② 连结PC ，则PC 平分∠BPD ； ③ 60APB ∠=︒；④ 连结MN ，则△MCN 为等边三角形； ⑤ PB=P A+PC ，PD=PE+PC（⑥ 连结AE ，点P 为△ACE 的费马点. 学生版上没有）（2）如图2，当△CDE 绕点C 旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？图1图2ABCDNPMENMPEDCBA【解析】（1）由ACD BCE △≌△可得①；过点C 分别作AD 、BE 边上的高，由“全等三角形面积相等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得②；由“八”字模型倒角证得③；由BMC ACN △≌△或者CND CME △≌△得CN=CM ，证得④；由120APC EPC ∠=∠=︒，在四边形ABCP 和EDCP 中利用旋转可证得⑤；由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE ，120APC EPC APE ∠=∠=∠=︒，点P 到△ACE 的三个顶点的距离和最小，即可证得⑥. （2）结论①②③⑤⑥均成立.【例4】在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明；能力提升夯实基础8图3图2图12n-1B 2C 2A CB 1C 1C 1B 1C B A（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值. （2013北京中考）【解析】（1）1302α︒-；（2）ABE △为等边三角形，连接AD 、CD 、EB∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD 则BC BD =，60DBC ∠=︒ 又∵60ABE ∠=︒∴160302ABD DBE EBC α∠=︒-∠=∠=︒-且BCD △为等边三角形.在ABD △与ACD △中AB ACAD AD BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACD △（SSS ） ∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=∵150BCE ∠=︒ ∴11180(30)15022BEC αα∠=︒-︒--︒=在ABD △与EBC △中BEC BAD EBC ABD BC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌EBC △（AAS ）∴AB BE = ∴ABE △为等边三角形（3）∵60BCD ∠=︒，150BCE ∠=︒∴1506090DCE ∠=︒-︒=︒又∵45DEC ∠=︒ ∴DCE △为等腰直角三角形 ∴DC CE BC == ∵150BCE ∠=︒∴(180150)152EBC ︒-︒∠==︒ 而130152EBC α∠=︒-=︒ ∴30α=︒【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若BAC DAE ∠=∠ ①ABC △为等腰三角形（AB=AC ）； ②ADE △为等腰三角形（AD=AE ）；③ABD ACE △≌△以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证ABE △为等边三角形，已知DBC △为等边三角形，则需证ABD △≌EBC △即可.【例5】（1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、nB B B ，夯实基础模块三相似三角形BABCDE912......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（）【解析】（1）1,2a a ,12na 提示：由“A”字相似模型来求B n C n 的长；（2）D 提示：“三垂”相似模型；【例6】如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q .（1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．(2012东城期末)能力提升10【解析】（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2， ∴ ∠B =∠C，BC =又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠, ∴ ∠DEB =∠EQC . ∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴BP CEBE CQ=．设BP 为x ，CQ 为y ， ∴y =． ∴ 2y x =自变量x 的取值范围是0＜x ＜1．（2）解：∵ ∠AEF =∠B =∠C ,且∠AQE ＞∠C ,∴ ∠AQE ＞∠AEF . ∴ AE ≠AQ .当AE =EQ 时，可证△ABE ≌ECQ . ∴ CE =AB =2 . ∴ BE =BC -EC=2. 当AQ =EQ 时，可知∠QAE =∠QEA =45°.∴ AE ⊥BC . ∴ 点E 是BC 的中点. ∴ BE. 综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时BE长为2.【思维拓展训练】提高班训练1. 如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . （1）DE 的长为；（2）将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【解析】4，4训练2. ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABC DABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ，连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．（2010房山二模）【解析】（1）设对角线交点为O ，连结OE ，用面积法证明；（2）CH=EF-EG ；（3）连结AC 交BD 于点O ，由（1）的结论可知CO=EF+EG ，于是12BD EF EG =+；（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造. 训练3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ．⑴ 求证：DE BF EF -=．⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由． ⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．图2图1ABCDG G FEDCB A【解析】（1）由AED BFA △≌△可得；（2）EF =2GF ，易证AFB BFG ABG △∽△∽△，于是2AB AF BFBG BF FG===，所以AF =2BF ， BF =2FG ，所以EF =2FG ；（3）DE+BF=EF .模块一特殊三角形课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ．【解析】（1）C ；（2）7或11；（3【演练2】如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．实战演练图1EDCB AG FEDCBA模块二全等三角形课后演练【演练3】在ABC △中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．⑴ 在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵ 当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）【解析】⑴ BF CG =；在ABF ∆和ACG ∆中，∵90F G FAB GAC AB AC ∠=∠=︒∠=∠=，，， ∴(AAS)ABF ACG ∆∆≌， ∴BF CG =． ⑵ DE DF CG +=；过点D 作DH CG ⊥于点H （如图4）． ∵DE BA ⊥于点E ，90G DH CG ∠=︒⊥，，∴四边形EDHG 为矩形，∴DE HG DH BG =，∥，∴GBC HDC ∠=∠， ∵AB AC =，∴FCD GBC HDC ∠=∠=∠，又∵90F DHC CD DC ∠=∠=︒=，， ∴(AAS)FDC HCD ∆∆≌，∴DF CH =．∴GH CH DE DF CG +=+=，即DE DF CG +=． ⑶ 仍然成立．（注：本题还可以利用面积或三角函数来证明，比如⑵中连结AD ）【演练4】图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请你说明理由．图2图1EHABCFGMN NMGF ECBAE 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【解析】⑴ ∵3090A ACB ∠=︒∠=︒，，D 是AB 的中点，∴BC BD =，60B ∠=︒∴△BCD 是等边三角形．又∵CN DB ⊥，∴12DN DB =，∵90EDF ∠=︒，BCD ∆是等边三角形．∴30ADG ∠=︒，而30A ∠=︒，∴GA GD =．∵GM AB ⊥，∴12AM AD =又∵AD DB =，∴AM DN =．⑵ ∵DF AC ∥，∴30BDF A ∠=∠=︒，90AGD GDH ∠=∠=︒，∴60ADG ∠=︒．∵60B ∠=︒，AD DB =，∴ADG DBH ∆∆≌，∴AG DH =，又∵BDF A ∠=∠，GM AB ⊥，HN AB ⊥， ∴AMG DNH ∆∆≌．∴AM DN =．模块三相似三角形课后演练【演练5】如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．【解析】()211n +第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。

中考数学九年级寒假尖子班专题讲义

第一单元：数与式 (2)第一关：规律探究 (5)第二关：数与式求值 (7)第三关：解方程与不等式（组） (10)第四关：方程应用 (12)第二单元：函数 (15)第一关：利用图象求解相关题型 (16)1-1 利用图象求值 (16)1-2 利用图象判断式子的正误 (19)1-3 双图象问题 (20)第二关：函数解析式求法 (22)第三关：函数与实际问题 (25)第四关：函数综合 (28)第三单元：几何 (36)第一关：三角形 (38)1-1 三角形三线 (38)1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明 (39)1-3 全等三角形 (42)1-5 解直角三角形 (56)第二关：四边形 (60)第三关：圆 (68)第四单元：专题复习 (77)专题一：新定义问题 (77)专题二：动点问题 (88)专题三：中考作图题 (103)专题四：阅读理解问题 (108)一、考点透视1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值.3. 能利用数轴解决与实数有关的问题.4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数.5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小.6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示.7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化.8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算.9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件.12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合运算与分式的化简求值.13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系.15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二次方程化成一般形式.16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的图象解法感受它们的关系.17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程.第一章数与式的解.19.熟练运用二元一次方程组的两种基本解法:代入法消元法和加减消元法.20.能将简单问题(数学问题和实际问题)中的数量关系,通过建立方程模型加以解决,并能检验结果是否合理,体会方程是刻画现实世界一个有效的数学模型.21.能说出不等式的基本性质,并能运用基本性质进行不等式的变形.22.熟练掌握一元一次不等式(组)的解法,并会在数轴上正确表示其解集.23.能根据具体问题问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组)解决有关的实际问题,并能根据问题的实际意义检验结果是否合理.24.通过具体实例理解一元一次不等式,一元一次程和一次函数的内在联系.25.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)的根,能结合实例解释分式方程产生增根的原因,能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题.二、方法突破1.实数是整个数学的基石，它涉及的核心概念较多，运算法则较多，因此代数运算是这部分内容的重点，考试一般以填空题、选择题和难度很小的解答出现，形式相对单一，变化较少.重点考查的是学生对实数有关概念、运算法则的掌握情况.复习中应不断提高自己的代数运算能力，做到准、快、巧，练好数学运算的基本功.解决与实数有关的计算问题时，首先要回忆相关概念和相应的运算法则，正确使用概念和法则进行计算.在完成混合运算问题时.要特别关注运算结果的符号,提高计算的准确性.在解决与数轴有关的问题时,一般采用数形结合的思想方法.2.这部分内容是代数式的全部，突出对字母的运算技能,一般情况下,试题难度中等偏易,多数以填空和选择题以及以化简求值的形式呈现,用字母表示数的能力、代数运算能力渗透在数学的其他领域之中,因此它是提高数学学习质量的关键.进行整式运算时必须遵循相应的运算法则,正确处理运算符号,求代数式的值一般情况要对所给代数式进行化简,然后再代入字母的值进行计算,对于特殊结构的代数式,应结合具体问题选择合理的方法进行化简与计算,探索数字规律时,常采用（1）类比分数四则运算进行分式的四则运算.（2）分式运算时一般行将分式的分子、分母进行因式分解,以简化运算过程.（3）二次根式被开方数的取值范围及简单的二次根式化简运算.3．方程的思想与方法贯穿于初中数学内容的始终,它与实数运算、代数式的变形、函数等内容紧密相关.以方程为解决问题的工具的试题有一定的综合性.解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质.要正确解一元一次方程，二元一次方程组的一般步骤，并能根据题目的特点灵法运用.一般地,解一元二次方程时,应该根据方程的特点灵活地选择不同的解法.另外,利用函数图象,结合数形结合,也是我们对方程的解进行估算的好方法.将分式方程转化为整式方程的方法一般有两种:其一是去分母,其二是换元.基本思想是”转化”一元一次不等(组)是研究两个常量之间不等关系的重要数学模型,在近年的中考试题中,关于一元一次不等式(组)的常见题型有:填空题、选择题、解答题以及综合题等题型,其中容易题占较大比例,以函数为载体、分析解决简单的实际问题这两类有一定难.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,比在数轴上表示数又前进了一步,可以形象、直观地看到不等式(组)有无数多个解,并易于确定不等式(组)的解集,这体现了数形结合的思想方法.解不等式(组)的应用题时,将应用题里关于”已知量”、”未知量”之间的关系用明确的不等关系表示出来,并关注应用题中字母所表示的实际意义.应加强一元一次不等式、一元一次方程、一次函数等内容之间的联系,形成自己的知识结构,使数学思维综合化,提高分析、解决问题的能力.第一关规律探究例题1. 观察下列各式： 1²+1=1×2 2²+2=2×3 3²+3=3×4 …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来．练习1.1.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．练习1.2. 观察下列等式： 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 …这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示大于等于1的自然数，用关于n 的等式表示出来________________________．例题2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图2图11694110631他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225练习2. 在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n=．例题3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣2，则最后输出的结果是（）A．352 B．160C．112D．198练习3.1．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种练习3.2．已知f（x）=1+1x ，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+11，f（2=1+12，f（a）=1+1a，则f（1）•f（2）•f（3）…•f（50）=（）A．50B．51C．251D．512例题4.按一定规律排列的一列数依次为：45，12，411，27，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．练习7．若分式22923x x x -+-的值为0，则（）A ．x =±3B ．x =3C ．x =-3D ．x 取任意值例题8. 当a 为何整数时，代数式421a a -+的值是整数，并求出这个整数值．练习8. 当整数x = 时，分式8921x x +-的值是整数.例题9. 已知：115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值．练习9.1若2310a a -+=，则代数式221a a +的值为__________，441a a-的值为__________．练习9.2. 已知：234x y z==，求22223xy yz xz x y z +-++的值．练习9.3. 已知a 、b 、c 为实数，且111345ab bc ca a b b c c a ===+++，，，那么abcab bc ca++的值是多少？例题10. 先化简÷428m m -+·22m m -+，再选择一个你喜欢的数代入m 求值.2216168m m m -++练习2. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？例题3.在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．练习3. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）例题4.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．例题5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？⑴若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？⑵该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？⑶在⑵的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？一、考点透视1. 能结合事例说明在一个变化过程中常量、变量的实际意义，感受两个变量之间相互依存的关系；能用文字，表格，图象和公式表示具体问题中的函数关系。

上海九年级数学上册复习寒假班讲义-圆与圆,圆与正多边形(学生版)

数学辅导讲义学员学校：年级：初三课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题圆与圆、圆与正多边形授课时间：备课时间：教学内容知识精要1、用数量关系识别两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) 即：两圆外离d R r⇔>+；(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))即：两圆外切d R r⇔=+；(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) 即：两圆相交R r d R r⇔-<<+；(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))即：两圆内切d R r ⇔=-； (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)) 即：两圆内含0d R r ⇔≤<-。

2、按公共点的个数分类可分为三类①相离 ②相切 ③相交圆与圆的位置关系两圆位置关系外离外切相交内切内含（包括同心）公共点d 与,R r 的关系外公切线内公切线3、相交、相切两圆的性质定理相切两圆的性质定理：（1）两圆相切连心线必过切点。

（2）两圆外（内）公切线长相等。

相交两圆的性质定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

（一）正多边形的概念 1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

有n 条边的正多边形(n 是正整数，且错误！未找到引用源。

)就称作正n 边形. 当n 为奇数时，正n 边形不是中心对称图形；当n 为偶数时，正n 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点。

2019年初三数学寒假讲义

初三数学寒假讲义目录第一讲中考一轮复习之数与式 (2)第二讲中考一轮复习之不等式与方程 (8)第三讲中考一轮复习之分式方程与二次方程 (16)第四讲中考第一轮复习之一次函数与反比例题函数 (26)第五讲中考一轮复习之解三角形 (35)第六讲中考一轮复习之多边形与四边形 (46)第七讲中考一轮复习之二次函数 (59)第八讲中考一轮复习之圆 (68)第九讲中考一轮复习之相似三角形 (80)第一讲中考一轮复习之数与式板块一实数的计算1．相关概念：（1）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系。

、2π-、…………，等都是无理数。

（2）相反数：若a 与b 是互为相反数，则，反之亦然。

（3）绝对值：（a ＞0） a ＝（a ＝0）（a ＜0）（4）当a ≠0时，a 的倒数为，若ab 互为倒数，则（5）科学记数法：科学记数法的一般形式是10(110)≤n a a ⨯< （6）平方根：若2x a =，则x ＝，x 叫做a 的平方根。

立方根：若3x a =，则x a 的立方根。

（7）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥⎩⎨⎧）（二次根式时，分式有意义，当分式多项式单项式整式代数式0a a 0____B B A（8）a a =2，a a =2)(，a a =33，a a =33)(b a b a ⋅=⋅，ba ba =，a a a =1，b a ba ba --=+1 （9）⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a ，⎩⎨⎧<-≥-=-ba ab ba b a b a ,,（10）)0(10≠=a a （11）)0(1≠=-a a a pp（11）特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ,45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，例题1：8的立方根为（）A.2B.±2C.4D.±4变式练习1：1.如图，数轴上点P 所表示的实数可能是（） AB.2.如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（） A ．0a b +> B ．0a b -> C ．0ab >； D ．||||0a b ->．例题2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000000195米，将该数据用科学计数法表示为_______________米。

初三寒假讲义

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧不等腰三角形角形只有两边相等的等腰三等边三角形等腰三角形三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形第一节三角形基础复习第一关三角形的概念、分类 ★☆☆☆☆☆【识记】1.三角形概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2.三角形分类：①按边分类：②按边分类：第二关三角形三边关系、三角定理 ★★☆☆☆☆【初级理解】过关指南：1.三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2.三角形三角定理：三角形内角和为180度。

目标题目示例：【本节进步目标】★☆☆☆☆☆对三角形的概念、分类达到【识记】级别★★☆☆☆☆对三角形三边关系、三角定理达到【初级理解】级别 ★★★☆☆☆对等腰、直角、等边三角形达到【高级理解】级别 ★★★★☆☆对全等三角形达到【高级运用】级别1.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L 的取值范围是( ) A.6<L<15 B.6<L<16 C.11<L<13 D.10<L<162.三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______；过关练习：1.如图，P 是△ABC 内一点,说明PA+PB+PC>21(AB+BC+AC).2.如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。

从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？第三关等腰、直角、等边三角形 ★★★☆☆☆【高级理解】过关指南：PCBA1. 等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形 2. 直角三角形⎧⎪⎫⎨⎬⎪⎭⎩三边关系--勾股定理--应用直角三角形的性质---应用直角三角形的判别3. 等边三角形三条边都相等，三个角都相等且都为60度。

九年级数学寒假辅导讲义第06讲四边形(解析版)

第6讲四边形中考分析解读四边形包含平行四边形、特殊平行四边形的边角的计算或证明，解题过程中涉及到了四边形的性质和判定，四边形的考查通常综合性强，常与三角形及全等、相似结合，考查形式多样，中考中分值约为14~18分.模块一平行四边形一、知识导图二、知识清单1、平行四边形（1）概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）性质①边：两组对边分别平行且相等；②角：两组对角分别相等；③对角线：对角线互相平分；④对称性：中心对称图形，对角线交点是对称中心；（3）判定①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形；基础演练一、选择题1．（2020•河南模拟）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．//AD BC ，AO CO =B ．AD BC =，AO OC =C ．AD BC =，CD AB =D ．AOD COD BOC S S S ∆∆∆==【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解．【解答】解：若//AD BC ，ADO CBO ∴∠=∠，且AO CO =，AOD BOC ∠=∠，()AOD COB AAS ∴∆≅∆ AD BC ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 选项不合题意；若AD BC =，CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不合题意；若AOD COD BOC S S S ∆∆∆==， AO CO ∴=，BO DO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键． 2．（2020•河南模拟）如图所示，已知ABCD 为平行四边形，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB 、AD 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAD ∠内交于点G ；③作射线AG ，交边BC 于点P ，若6CD =，3BP CP =，则平行四边形ABCD 的周长为( )A ．20B ．32C ．28D ．24【分析】直接利用基本作图方法得出AG 平分BAD ∠，再利用平行四边形的性质得出AB DC =，AD BC =，求出BC 的长，即可得出答案．【解答】解：由作图方法可得，AG 平分BAD ∠，则BAP DAP ∠=∠， ABCD 为平行四边形， 6AB DC ∴==，//AD BC =，DAP APB ∴∠=∠， BAP BPA ∴∠=∠，6AB BP ∴==， 3BP CP =， 2PC ∴=， 8BC AD ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长为：686828+++=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，正确得出BP AB =是解题关键． 3．（2020•潍坊）如图，点E 是ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3DE =，4DF =，则ABCD 的周长为( )A ．21B ．28C ．34D ．42【分析】根据平行四边形的性质得//AB CD ，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB ，AE ，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， //AB CF ∴，AB CD =，ABE DFE ∴∆∆∽，∴12DE FD AE AB ==， 3DE =，4DF =， 6AE ∴=，8AB =， 639AD AE DE ∴=+=+=，∴平行四边形ABCD 的周长为：(89)234+⨯=．故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答二、填空题4．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF ∆的面积为1，则四边形ABCE 的面积为．【分析】根据ABCD 的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC 是ABF ∆的中位线；然后证明ABF ECF ∆∆∽，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及ECF ∆的面积为1求得ABF ∆的面积；最后根据图示求得3ABF CEF ABCE S S S ∆∆=-=四边形．【解答】解：在ABCD 中，//AB CD ，点E 是CD 中点， EC ∴是ABF ∆的中位线；B DCF ∠=∠，F F ∠=∠（公共角）， ABF ECF ∴∆∆∽， 12EC EF CF AB AF BF ===， :4:1ABF CEF S S ∆∆∴=；又ECF ∆的面积为1， 4ABF S ∆∴=，3ABF CEF ABCE S S S ∆∆∴=-=四边形．故答案为：3．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC 是ABF ∆的中位线，从而求得ABF ∆与CEF ∆的相似比．三、解答题5．（2020•黄冈）已知：如图，在ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD CE =．【分析】只要证明()AOD EOC ASA ∆≅∆即可解决问题；【解答】证明：O 是CD 的中点， OD CO ∴=，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， D OCE ∴∠=∠，在ADO ∆和ECO ∆中， D OCE OD OCAOD EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOD EOC ASA ∴∆≅∆， AD CE ∴=．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．6．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠，交对角线BD 于点E ，F ．（1）若60BCF ∠=︒，求ABC ∠的度数；（2）求证：BE DF =．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到//AB CD ，根据平行线的性质得到180ABC BCD ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得到2BCD BCF ∠=∠，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，求得ABE CDF ∠=∠，根据角平分线的定义得到BAE DCE ∠=∠，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，180ABC BCD ∴∠+∠=︒， CF 平分DCB ∠， 2BCD BCF ∴∠=∠， 60BCF ∠=︒， 120BCD ∴∠=︒，18012060ABC ∴∠=︒-︒=︒；（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，BAD DCB ∠=∠， ABE CDF ∴∠=∠，AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠，12BAE BAD ∴∠=∠，12DCF BCD ∠=∠，BAE DCE ∴∠=∠，()ABE CDF ASA ∴∆≅∆，BE DF ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，//∠=∠．E是边BC上一点，且AD BC，B C=．=．求证：AD BEDE DC【分析】根据等边对等角的性质求出DEC C∠=∠，所以∠=∠得DEC B∠=∠，再由B CAB DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．//【解答】证明：DE DC=，∴∠=∠．DEC C∠=∠，B C∴∠=∠，B DEC∴，//AB DEAD BC，//∴四边形ABED是平行四边形．∴=．AD BE【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．8．（2020•广西）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB DE=，AC DF=．=，BE CF （1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）证出BC EF=，由SSS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出B DEF∠=∠，证出//=，即可得出结论．AB DE，由AB DE【解答】（1）证明：BE CF=，∴+=+，BE EC CF EC∴=，BC EF在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆；（2）证明：由（1）得：ABC DEF ∆≅∆，B DEF ∴∠=∠，//AB DE ∴，又AB DE =，∴四边形ABED 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．9．（2020•新疆模拟）如图，E 、F 是ABCD 对角线AC 上两点，AE CF =．（1）求证：ABE CDF ∆≅∆；（2）连结DE ，BF ，求证：四边形DEBF 是平行四边形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出BAE DCF ∠=∠，由SAS 证明ABE CDF ∆≅∆即可；（2）由全等三角形的性质得出BE DF =，同理：DE BF =，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =， BAE DCF ∴∠=∠，在ABE ∆和CDF ∆中，AE CFBAE DCFAB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）证明：连接DE 、BF ，如图所示：由（1）得：ABE CDF ∆≅∆，BE DF ∴=，同理：DE BF =，∴四边形DEBF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．能力提升一、选择题1．（2020•陕西）如图，在ABCD 中，5AB =，8BC =．E 是边BC 的中点，F 是ABCD 内一点，且90BFC ∠=︒．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若//EF AB ，则DG 的长为( )A ．52B ．32C ．3D ．2【分析】延长BF 交CD 的延长线于H ，可证EF 是BCH ∆的中位线，由中垂线的性质可得8BC CH ==，可求3DH =，由“AAS ”可证ABF GFH ∆≅∆，可得5AB GH ==，可求解．【解答】解：如图，延长BF 交CD 的延长线于H ，四边形ABCD 是平行四边形， 5AB CD ∴==，//AB CD ，H ABF ∴∠=∠，//EF AB ， //EF CD ∴，E 是边BC 的中点，EF ∴是BCH ∆的中位线， BF FH ∴=，90BFC ∠=︒， CF BF ∴⊥，CF ∴是BH 的中垂线， 8BC CH ∴==， 3DH CH CD ∴=-=，在ABF ∆和GHF ∆中， ABF H AFB GFH BF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABF GFH AAS ∴∆≅∆， 5AB GH ∴==， 2DG GH DH ∴=-=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2．（2020•泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2AG cm =，底边6BC cm =，45B ∠=︒，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=︒，则AF 的长为( )A ．1cmBC．3)cm D．(2cm【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG ，HE ，进而利用梯形的性质解答即可．【解答】解：过F 作FH BC ⊥于H ，高2AG cm =，45B ∠=︒，2BG AG cm ∴==， FH BC ⊥，30BEF ∠=︒，EH ∴=沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形， AF CE ∴=，AG BC ⊥，FH BC ⊥， //AG FH ∴， AG FH =，∴四边形AGHF 是矩形，AF GH ∴=，226BC BG GH HE CE AF ∴=+++=++，2)AF cm ∴=-，故选：D ．【点睛】此题考查梯形的性质，关键是根据直角三角形的三角函数得出BG ，HE 解答． 3．（2020•临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则( )A ．122SS S +> B ．122S S S +<C ．122S S S +=D ．12S S +的大小与P 点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S 和1S 、2S 之间的关系，本题得以解决．【解答】解：过点P 作EF AD ⊥交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=， S BC EF ∴=，12AD PE S =，22BC PFS =，EF PE PF =+，AD BC =，122S S S ∴+=，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则DEO ∆与BCD ∆的面积的比等于( )A ．12B ．14C ．16 D ．18【分析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为DBC ∆的中位线，利用三角形中位线定理可得出//OE BC ，12OE BC =，进而可得出DOE DBC ∆∆∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出DEO ∆与BCD ∆的面积的比．【解答】解：平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 为线段BD 的中点．又点E 是CD 的中点，∴线段OE 为DBC ∆的中位线，//OE BC ∴，12OE BC =， DOE DBC ∴∆∆∽，∴21()4DOE DBC S OE S BC ∆∆==．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质及三角形中位线定理，找出//OE BC 且12OE BC =是解题的关键． 5．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若2AF FD =，则BEEG的值为( )A ．12B ．13C ．23D ．34【分析】由2AF DF =，可以假设DF k =，则2AF k =，3AD k =，证明2AB AF k ==，DF DG k ==，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由2AF DF =，可以假设DF k =，则2AF k =，3AD k =，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，//AB CD ，AB CD =， AFB FBC DFG ∴∠=∠=∠，ABF G ∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABF CBG ∴∠=∠，ABF AFB DFG G ∴∠=∠=∠=∠， 2AB CD k ∴==，DF DG k ==， 3CG CD DG k ∴=+=， //AB DG ， ABE CGE ∴∆∆∽，∴2233BE AB k EG CG k ===，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题6．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ∠=︒，则BAC ∠的大小是．【分析】根据平行四边形的性质得到102ABC D ∠=∠=︒，AD BC =，根据等腰三角形的性质得到EAB EBA ∠=∠，BEC ECB ∠=∠，根据三角形外角的性质得到2ACB CAB ∠=∠，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， 102ABC D ∴∠=∠=︒，AD BC =，AD AE BE ==，BC AE BE ∴==，EAB EBA ∴∠=∠，BEC ECB ∠=∠，2BEC EAB EBA EAB ∠=∠+∠=∠， 2ACB CAB ∴∠=∠，3180180102CAB ACB CAB ABC ∴∠+∠=∠=︒-∠=︒-︒， 26BAC ∴∠=︒，故答案为：26︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF = ．【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBE BEC ∠=∠，即可得CB CE =，利用等腰三角形的性质可得BF EF =，进而可得GF 是ABE ∆的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，//AB CD ， ABE BEC ∴∠=∠．ABE CBE ∴∠=∠，CBE BEC ∴∠=∠， CB CE ∴=． CF BE ⊥，BF EF ∴=．G 是AB 的中点，GF ∴是ABE ∆的中位线， 12GF AE ∴=， 4AE =，2GF ∴=．故答案为2．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF 是ABE ∆的中位线是解题的关键．三、解答题8．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO ∠，利用角平分线的定义求出DAC ∠，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明()AEO CFO AAS ∆≅∆可得结论．【解答】（1）解：AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒， 50AOE ∠=︒， 40EAO ∴∠=︒，40∴∠=∠=︒，DAC EAO四边形ABCD是平行四边形，∴，//AD BC∴∠=∠=︒；40ACB DAC（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA OC∴=，⊥，CF BDAE BD⊥，∴∠=∠=︒，90AEO CFO∠=∠，AOE COF∴∆≅∆，()AEO CFO AAS∴=．AE CF【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2020•乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当30∠=︒时，试探究线段CF、AE、OEFOE之间的关系．【分析】（1）由“AAS”可证AEO CFO=；∆≅∆，可得OE OF（2）由题意补全图形，由“AAS”可证AOE COG=，由直角三角形的∆≅∆，可得OE OG性质可得OG OE OF==；（3）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE CH=，OE OH=，由直角三角形的性质可得12HF EH OE==，可得结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AO CO∴=，又90AEO CFO∠=∠=︒，AOE COF∠=∠，()AEO CFO AAS∴∆≅∆，OE OF∴=，故答案为：OE OF=；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，AE BP⊥，CF BP⊥，//AE CF∴，EAO GCO∴∠=∠，点O为AC的中点，AO CO∴=，又AOE COG∠=∠，()AOE COG AAS∴∆≅∆，OE OG∴=，90GFE∠=︒，OE OF∴=；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE CF AE=+，证明如下：如图，延长EO 交FC 的延长线于点H ，由（2）可知AOE COH ∆≅∆， AE CH ∴=，OE OH =，又30OEF ∠=︒，90HFE ∠=︒， 12HF EH OE ∴==， OE CF CH CF AE ∴=+=+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．模块二特殊的平行四边形一、知识导图二、知识清单1、矩形（1）概念有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等且互相平分；③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；④矩形具有平行四边形的所有性质.（3）判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2、菱形（1）概念有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；④菱形具有平行四边形的所有性质；⑤面积：面积等于对角线的乘积的一半.（3）判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形.（4）面积①菱形面积可以表示为：底×高；②面积还可以表示为：对角线乘积的一半.3、正方形（1）概念有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（2）性质①边：两组对边分别平行，四条边相等，相邻两边互相垂直；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；④正方形是轴对称图形，也是中心对称图形.（3）判定①一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；④四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形.基础演练一、选择题1．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB BC=；②AC BD⊥；=；③AC BD ④AC平分BAD∠，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是()A．①B．②C．③D．④【分析】根据矩形的判定进行分析即可．【解答】解：A．AB BC=，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC BD=，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；⊥，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；C．AC BDD．AC平分BAD∠，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．2．（2020•陕西模拟）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，//OE BC交CD于E，若3CE=，则矩形ABCD的周长()OE cm=，2A．10B．15C．20D．22【分析】由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，//∆的中OE BC，可得OE是ACD位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长．进而解答即可．【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA OCAD BC，∴=，//OE BC，//∴，//OE AD∆的中位线，OE∴是ACD3=，OE cm∴==⨯=．2236()AD OE cmCE=，24∴=，CD=，∴矩形ABCD的周长20故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，3∆沿直线AB=，点E在边BC上，将ABEAE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EAC ECA∠=∠，则AC的长是()A．B．4C．5D．6【分析】根据折叠的性质得到AF AB=，90∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到AFE BAF CF=，于是得到结论．【解答】解：将ABE∆沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，AF AB∴=，90∠=∠=︒，AFE BEF AC∴⊥，∠=∠，EAC ECA∴=，AE CEAF CF∴=，∴==，26AC AB故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．（2020•河北区模拟）如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，过对角线交点O作EF AC⊥交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A ．1B ．125C ．2D ．53【分析】连接CE ，由矩形的性质得出90ADC ∠=︒，4CD AB ==，6AD BC ==，OA OC =，由线段垂直平分线的性质得出AE CE =，设DE x =，则6CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接CE ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，4CD AB ==，6AD BC ==，OA OC =， EF AC ⊥， AE CE ∴=，设DE x =，则6CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得：2224(6)x x +=-，解得：53x =，即53DE =；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．5．（2020•新疆模拟）已知菱形的边长为6，一个内角为60︒，则菱形较长的对角线长是( )A ．B ．C ．3D ．6【分析】根据一个内角为60︒可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．【解答】解：如图，菱形的边长为6，一个内角为60︒， ABC ∴∆是等边三角形， 6AC ∴=， 132AO AC ∴==，在Rt AOB ∆中，BO =∴菱形较长的对角线长BD 是：2⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分的性质，根据一个内角是60︒，判断出较短的对角线与两邻边够成等边三角形是解题的关键．6．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为( ) A ．4:1B ．5:1C ．6:1D ．7:1【分析】如图，AH 为菱形ABCD 的高，2AH =，利用菱形的性质得到4AB =，利用正弦的定义得到30B ∠=︒，则150C ∠=︒，从而得到:C B ∠∠的比值．【解答】解：如图，AH 为菱形ABCD 的高，2AH =，菱形的周长为16，4AB ∴=，在Rt ABH ∆中，21sin 42AH B AB ===， 30B ∴∠=︒， //AB CD ， 150C ∴∠=︒， :5:1C B ∴∠∠=．故选：B ．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．7．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为( )A ．9+B ．9+C ．7+D ．8【分析】先利用菱形的性质得4AD AB ==，//AB CD ，30ADB CDB ∠=∠=︒，AO BD ⊥，利用含30度的直角三角形三边的关系得到2AO =，OD =然后计算出OE 、DE 的长，最后计算四边形AOED 的周长．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，4AD AB ∴==，//AB CD ，120BAD ∠=︒， 30ADB CDB ∴∠=∠=︒， O 是对角线BD 的中点，AO BD ∴⊥，在Rt AOD ∆中，122AO AD ==，OD =OE CD ⊥， 90DEO ∴∠=︒，在Rt DOE ∆中，12OE OD =3DE ==，∴四边形AOED 的周长4239=+=故选：B ．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．8．（2020•邯山区校级二模）如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：菱形ABCD ，134A ∠=︒， 18013446ABC ∴∠=︒-︒=︒， 11462322DBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，CE BC ⊥，902367BEC ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补解答．9．（2020•新华区校级二模）如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 点是AC 的中点，连接EF ．如果4EF =，那么菱形ABCD 的周长为( )A ．9B ．12C ．24D ．32【分析】由点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，4EF =，利用三角形中位线的性质，即可求得BC 的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，4EF =， 28BC EF ∴==，四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长是：4832⨯=．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题10．（2020•大连）如图，菱形ABCD中，40ACD∠=︒，则ABC∠=︒．【分析】由菱形的性质得出//AB CD，280BCD ACD∠=∠=︒，则180ABC BCD∠+∠=︒，即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD是菱形，//AB CD∴，280BCD ACD∠=∠=︒，180ABC BCD∴∠+∠=︒，18080100ABC∴∠=︒-︒=︒；故答案为：100．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．（2020•广东）如图，在菱形ABCD中，30A∠=︒，取大于12AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则EBD∠的度数为．【分析】根据EBD ABD ABE∠=∠-∠，求出ABD∠，ABE∠即可解决问题．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AD AB ∴=，1(180)752ABD ADB A ∴∠=∠=︒-∠=︒，由作图可知，EA EB =， 30ABE A ∴∠=∠=︒，753045EBD ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为45︒．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2CD BE =，DAE DEA ∠=∠，1EO =，则线段AE 的长为．【分析】设BE x =，则2CD x =，根据菱形的性质得2AB AD CD x ===，OB OD =，AC BD ⊥，再证明2DE DA x ==，所以312x x +=，解得2x =，然后利用勾股定理计算OA ，再计算AE 的长．【解答】解：设BE x =，则2CD x =，四边形ABCD 为菱形，2AB AD CD x ∴===，OB OD =，AC BD ⊥，DAE DEA ∠=∠，2DE DA x ∴==， 3BD x ∴=， 32OB OD x ∴==， OE BE BO +=， 312x x ∴+=，解得2x =，即4AB =，3OB =，在Rt AOB ∆中，OA =，在Rt AOE ∆中，AE =故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．13．（2020•浦口区模拟）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN ，若9AB =，6BE =，则MN 的长为．【分析】连接CF ，则MN 为DCF ∆的中位线，根据勾股定理求出CF 长即可求出MN 的长．【解答】解：连接CF ，正方形ABCD 和正方形BEFG 中，9AB =，6BE =， 6GF GB ∴==，9BC =， 6915GC GB BC ∴=+=+=，CF ∴===M 、N 分别是DC 、DF 的中点，2CF MN ∴=．【点睛】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．三、解答题14．（2020•聊城）如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD AF=，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABE FCE∆≅∆，从而得到AB CF=，根据对角线相等的平=；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC AF行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，AB CD∴，//∠=∠，∴∠=∠，ABE FCEBAE CFEE为BC的中点，∴=，EB EC∴∆≅∆，ABE FCE AAS()∴=．AB CFAB CF，//∴四边形ABFC是平行四边形，=，=，AD AFAD BC∴=，BC AF∴四边形ABFC是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2020•遂宁）如图，在ABC=，点D、E分别是线段BC、AD的中点，∆中，AB AC过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：BDE FAE∆≅∆；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到AFE DBE=，∠=∠，根据线段中点的定义得到AE DE根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF BD=，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到90∠=︒，于是得到结论．ADC【解答】证明：（1）//AF BC，∴∠=∠，AFE DBEE是线段AD的中点，AE DE∴=，∠=∠，AEF DEB∴∆≅∆；BDE FAE AAS()（2）BDE FAE∆≅∆，∴=，AF BDD是线段BC的中点，∴=，BD CD∴=，AF CDAF CD，//∴四边形ADCF是平行四边形，=，AB AC∴⊥，AD BCADC∴∠=︒，90∴四边形ADCF为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =．求证：BAE DAF ∠=∠．【分析】根据菱形的性质可得B D ∠=∠，AB AD =，再证明ABE ADF ∆≅∆，即可得BAE DAF ∠=∠．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，B D ∴∠=∠，AB AD =，在ABE ∆和ADF ∆中， AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE ADF SAS ∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．17．（2019•聊城）在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．求证：（1）ABF DAE ∆≅∆；（2）DE BF EF =+．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB AD =，//AD BC ，由平行线的性质得到BOA DAE ∠=∠，等量代换得到BAF ADE ∠=∠，求得ABF DAE ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE BF =，DE AF =，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，∴=，//AB ADAD BC，∴∠=∠，BPA DAEABC AED∠=∠，∴∠=∠，BAF ADE∠=∠，ABF BPF∠=∠，BPA DAE∴∠=∠，ABF DAE=，AB DA∴∆≅∆；ABF DAE ASA()（2）ABF DAE∆≅∆，=，AE BF∴=，DE AF=+=+，AF AE EF BF EF∴=+．DE BF EF【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，//DE BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE CF=；（2）若BE DE=，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD CBAD CB，从而可以得到=，//DE BF和等角的补角相等，从而可以得到AED CFB∠=∠，然后∠=∠，再根据//DAE BCF即可证明ADE∆和CBF=；∆全等，从而可以得到AE CF。

人教版九年级数学尖端班精品讲义

(2)已知 2m2
5m
1
0
，
1 n2

5 n

2

0 ，且
m≠n，求
1 m

1 n
的值．
题型二利用艰系关系构造例 5 (1)求一个一元二次方程，使它的两个根是 3 和 3．
2
(2)己知方程 x2－9x＋8＝0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．
(3)设 x2－px＋q＝0 的两实数根为、，求作以 3 、 3 为两根的一元二次方程．
练习已知关于 x 的方程 4x2＋4bx＋7b＝0 有两个相等的实数根，y1、y2 是关于 y 的方程
y2＋(2－b)y＋4＝0 的两个根，求以 y1 、 y2 为根、二次项系数为 2 的一元二次方程．
x1
+
x2

b a
，
x1 x2

b a
，由一元二次方程求根公式知：
x1,2

b

b2 4ac ． 2a
法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对 n＝2、3 的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理．
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性．
p、q，且

p2
q

pq2

6
，试求
这个二元二次方程．

九年级寒假综合.尖子班

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让学习更有效
相似—— 平行线分线段成比例
模块一
课前检测（5min）
1．一个不透明的袋子中装有 5 个红球和 3 个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出
4 个球出的 4 个球中至少有一个球是白球
B．摸出的 4 个球中至少有一个球是红球
A．（－3，7)
B．（－1，7)
C．(－4，10) D．(0，10)
4．如图，⊙O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作 PM ⊥
AB 于 M，PN⊥CD 于 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆圈走过 45°弧长时，点 Q 走过的路径长为
AB AC BC
AC AB BC
图③双
A
字型，结论：
DF EF
BG GC
，图④内含正方形
A 字形，结论
AH a AH
a BC
（
a 为正方形边长）
图①
图②
图③
典型例题
【例 1】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． ①求 EC 的值；②求证：AD•AG=AF•AB．
图④
【巩固】如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E、H 分别在 AB、AC 上，已知 BC=40cm，AD=30cm． ①求证：△AEH∽△ABC；②求这个正方形的边长与面积．
（）
A． 4
B． 2
C． 6
D． 3
5．已知，四边形 ABCD 顶点都在 4×4 正方形网格的格点上，如图，四边形 ABCD 的外接圆为⊙M，这个圆中 BC 所对的圆心角的度数是___________．

初三数学寒假高分班讲义

第一课时内容1 实数一、选择题1．2)6(-的平方根是（） A －6 B 36 C ±6 D ±62．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②a a =33；③64的立方根是2；④4)8(32±=±，其中正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个3．下列说法正确的是（） A 有理数只是有限小数 B 无理数是无限小数 C 无限小数是无理数 D3π是分数 4．下列运算中，错误的有（） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③22222-=-=-，④2095141251161=+=+ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5．在Rt △ABC 中，∠C = 90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简b a c c b a ---+-2)(2的结果为（）A. c b a -+3B. c b a 33+--C. c b a 33-+D. a 26．当41<<x 时，化简221x x +-－1682+-x x 结果是（） A 3- B. 3C. 2x －5D. 57．如图：点A ，B ，C ，D 表示数2-，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（） A AB 上 B BC 上 C CD 上 D O Ｂ上8．化简：)0,0(3><-b a b a 等于（） A ab a - B ab a - C ab a -- D ab a 一、填空题：1.“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售.小华购买一件标价为280元的运动服，打折后他比按标价购买节省元.2. 某校认真落实长沙市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有_________名.3.一组有规律排列的式子：―ab 2，25a b ,―38a b ,411a b …，（ab≠0），其中第7个式子是 , 第n 个式子是．（n 为正整数）4. 6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市元．5.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 .6.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的， ②中多边形是由正方形“扩展” 而来的，，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为．7.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（）内容2 实数的运算一、选择题1..小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（） A ．15号 B ．16号 C ．17号 D ．18号第7题图① ② ③ ④ 第6题图2.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2， 3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（） A.5049B. 99!C. 9900D. 2！二、填空题：3.已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：4. 2008(1)-+_______420=-．5.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．三、计算：(1)0(1)π-⋅sin 60°+321(2)()4-⋅(2)0113(()3---(3)9212)1(13+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--(4)1301()(2)39-+-+--(5)101453(2007π)2-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭(6)122(4)3-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(7)112)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°1112sin 452o -⎛⎫-++ ⎪⎝⎭内容3 每天一道压轴题如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题第二课时内容1 整式与分解因式一、选择题1．若的值为则2y -x 2,54,32==y xA.53 B. -2 C. 553 D. 56 2.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（） A ．a=1，b=5 B ．a=5，b=1 C ．a=11，b=5 D ．a=5，b=11 3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab ab a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.4．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．5．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）．三.解答题： 6.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．第一个图案第二个图案第三个图案 …第5题图 a图甲第3题14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值内容2 分式一、选择题1．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 2．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．1 3．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31 二、填空题.4．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．5．已知432z y x ==，求分式yx z y x 32534++-= 6．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为． 7．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是．三、解答题 8．化简：（1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+9．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．10．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．11、解分式方程. （1）01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x四、当m 为何值时，分式方程xxx m --=+-2142无解？内容3 每天一道压轴题如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．第三课时内容1 一元一次方程及二元一次方程（组）一、选择题 1．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（）A. 28B. 33C. 45D. 572．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x的解，则k 的值为（）A.43-B.43C.34D.34- 3．已知与是同类项，则与的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题4．在方程组中，m 与n 互为相反数，则5．如果那么 6．一个三位数的数字和为11，十位数字是x ，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是______________ ．三、解方程（组）7．35122--=+x x 8．9． 10．四．解答题10．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲．乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？⎩⎨⎧=+=+032ny x my x .__________=x ()()x x x x --=--320379,53=-y x .________38=+-y x ⎩⎨⎧=+-=8372y x x y ⎩⎨⎧=-=-74143y x y x m n m y x 344-yx n 5m n11、“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为13 ；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12 ．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子）内容2 一元二次方程一、填空题1．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是． 3．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是．4．若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．5．已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ．三、解方程：6．（1）（2）（3）2410x x +-=0132=--x x )1(332+=+x x7．试说明：不论m 为何值，关于x 的方程2)2)(3(m x x =--总有两个不相等的实数根．8．若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．9、已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．10、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件．（1）求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？内容3 每天一道压轴题已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．第四课时内容1 方程的应用一、选择题：1．中国人民银行宣布，从2013年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（） A ．50005000 3.06%x -=⨯B ．500020%5000(1 3.06%)x +⨯=⨯+C ．5000 3.06%20%5000(1 3.06%)x +⨯⨯=⨯+D ．5000 3.06%20%5000 3.06%x +⨯⨯=⨯2.有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg •和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，•若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（）900015000900015000..30003000900015000900015000..30003000A B x x x x C D x x x x==+-==+-3. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则依题意列方程为（）A ．25（1+x ）2=82.75B ．25+50x=82.75C ．25+75x=82.75D ．25[1+（1+x ）+（1+x ）]=82.75 三、解答题 4. 某供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段14小时，为8：00~22：00，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?5. “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，•该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，•总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍和1.5倍，恰好按时完成了这项任务．（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？（2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A ，B 两地，•由于两市通往A ，B 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如下表所示：请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．6．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．(1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？内容2 一元一次不等式（组）一、选择题1. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x 满足522841314x x x x +⎧+⎪⎨⎪-+⎩，则两圆的位置关系是（） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离2.直线y ＝k 1x ＋b 与直线y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（）A.x ＞1B.x ＜1C.x ＞－2D.x ＜－2k 1x ＋b二、填空题：3. 若关于x的不等式组3(2)224x xa xx--<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a的取值范围是．4.如果不等式组2223xax b⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x<≤，那么a b+的值为．三、解答题：5. 中国移动某公司组织一场篮球对抗赛．为组织该活动此公司已经在此前花费了费用120万元．对抗赛的门票价格分别为80元、200元和400元．已知2000张80元的门票和1800张200元的门票已经全部卖出．那么，如果要不亏本，400元的门票最低要卖出多少张？6.把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个. 问有几个孩子?有多少苹果?7、小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．8.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，右表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？内容3 每天一道压轴题使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。

九年级数学寒假上课讲义

n=-8,mn=-4823.如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D 是x轴正半轴上一动点(OD>1)，连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N.如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形。

(1)试找出图1中的一个损矩形；(2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；(3)随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；(4)在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标。

二次函数13.14.第13题图1.2.3.4.5. 6.7.8.综合运用1、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．4、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．5.如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．圆1、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是．2.如图，AB 为⊙O 的一条弦，OD AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，问：（1）若OC =1，OA =2，求AB 的长；（2）若∠AOD =50°，求∠DEB 的度数.3.如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 和点B ，点A 的坐标为（0，3），D 为⊙C 在第一象限内的一点且∠ODB =60°．求：（1）求线段AB 的长及⊙C 的半径；（2）求B 点坐标及圆心C 的坐标．4.已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC 于点D．若∠CPD=20°，则∠CAP 等于（）A．30°B．20°C．45°D．25°13.14.4.⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．5.如图，已知A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径BE=23，∠BCD=120°，A 为BE 的中点，延长BA 到点P ，使BA=AP ，连接PE ．（1）求线段BD 的长；（2）求证：直线PE 是⊙O 的切线．6、如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,12cm AC =，16cm BD =,动点N 从点D 出发,沿线段DB 以2cm/s 的速度向点B 运动,同时动点M 从点B 出发,沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止,设运动时间为(s)t (0)t >,以点M 为圆心,MB 长为半径的M 与射线BA ,线段BD 分别交于点E ,F ,连接EN .(1)求BF 的长(用含有t 的代数式表示),并直接写出t 的取值范围；(2)当t 为何值时,线段EN 与M 相切?(3)若M 与线段EN 只有一个公共点,求t 的取值范围C DO F M N A B E反比例函数10.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．13.11、一次函数y=kx+b 的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x 1，y 1)，D(x 2,y 2)，与轴交于点E ，且CD=CE ，求m 的值．)0(>=m x m y 12.如图，反比例函数y=xk （k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD ．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标．14.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h ）之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y 与时间x （0≤x ≤24）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？相似三角形1、给你一个锐角△ABC 和一条直线MN ；你能用直线MN 去截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似吗？2、如图，MN ∥BC ，DH ∥AC3、如图，若G 为BC 中点,EG 交AB 于点F,且EF:FG=2:3,求AF ：BF 的值。

(精品)数学讲义九年级寒假班第6讲：四边形-学生版

一、多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．由n 条线段组成的多边形就称为n 边形（3n ≥）．组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．2、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于()2180n -︒（3n ≥）．3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．多边形的外角和等于360°．四边形知识结构模块一：平行四边形知识精讲二、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分．简述为：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．三、特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．AB CDO 菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角．3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【例1】（2015学年·闵行区二模·第13题）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称____________．【例2】（2015学年·崇明县二模·第6题）下列判断错误的是( )A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形【例3】（2014学年·宝山区、嘉定区二模·第5题）下列命题中，真命题是( )A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．矩形的对角线互相垂直平分C ．对角线相等且垂直的四边形是正方形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形【例4】（2015学年·金山区二模·第14题）如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，请添加一个条件________________，可得□ABCD 是矩形．例题解析AB CDEO【例5】（2014学年·浦东新区二模·第6题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC 与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( )A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【例6】（2014学年·崇明县二模·第6题）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )A．AC = BD，AB // CD，AB = CD B．AD // BC，A C∠=∠C．AO = BO = CO = DO，AC BD⊥D．AO = CO，BO = DO，AB = BC【例7】（2015学年·宝山区、嘉定区二模·第5题）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是( )A．AB BC⊥B．AC BD⊥C．AB BC=D．AC BD=【例8】（2014学年·静安区、青浦区二模·第12题）从①AB//CD，②AD//B C，③AB=CD，④AD=BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是______．【例9】（2015学年·黄浦区二模·第17题）在平行四边形ABCD中，BC = 24，AB = 18，ABC∠和BCD∠的平分线交AD于点E、F，则EF =______．【例10】（2014学年·长宁区二模·第6题）如图，在四边形ABCD中，90ABC∠=︒，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，AOD ADO∠=∠，E是DC边的中点．下列结论中，错误的是( )A．12OE AD=B．12OE OB=C．12OE OC=D．12OE BC=【例11】（2014学年·杨浦区二模·第6题）设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③34a<<；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A．①④B．②③C．①②④D．①③④ABCDEABCEFABC DE 【例12】（2014学年·普陀区二模·第15题）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC上，ADE C ∠=∠，如果AE = 2，ADE ∆的面积是4，四边形BCDE 的面积是5，那么AB 的长是______．【例13】（2014学年·奉贤区二模·第23题）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，点E 是对角线AC 上一点，DEC ABC ∠=∠，且2CD CE CA =．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若FCE DCE ∠=∠，求证：四边形EFCD 是菱形．【例14】（2015学年·金山区二模·第23题）如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 在边AC上，AD = BD =DE ，联结BE ，72ABC DBE ∠=∠=︒．（1）联结CE ，求证：CE = BE ；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．GF EDBACHABCDEFGH 【例15】（2014学年·金山区二模·第23题）已知：如图，在中Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，AC = BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE = CD，延长BE交AD于F，过点C作CG//BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使HCE DCG∠=∠．（1）求证：BCE∆≌ACD∆；（2）求证：四边形FHCG是正方形．【例16】（2015学年·虹口区二模·第23题）如图，在四边形ABCD中，AB // DC，E、F 为对角线BD上两点，且BE = DF，AF // EC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD DC BH DG=．【例17】（2015学年·闵行区二模·第23题）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC 的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB 于点H．联结AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF = 2GO，求证：2GO DG GC=．A BCDEGOHABC DEFGABC D EMGH【例18】（（2014学年·杨浦区二模·第23题）已知：如图，Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M 为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ．（1）求证：MB =MD ；（2）当AB =BC ，DC =DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．【例19】 2014学年·黄浦区二模·第23题）如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC上，点F 在边BC 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC 于点G ，且DE =DG ．（1）求证：AE =CG ；（2）求证：BE //DF ．【例20】（2014学年·闸北区二模·第23题）已知：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE = AF ，AEC AFC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如图2，若AD = AF ，延长AE 、DC 交于点G ，求证：2AF AG DF =．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD ，交AG 于点H ，若HE = 4，EG = 12，求AH 的长．AC BDEF GAC BDEF 图1图2模块二：梯形知识精讲一、梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．二、等腰梯形的性质及判定1、等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等．（2）等腰梯形两条对角线相等．2、等腰梯形判定定理：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．三、梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．例题解析【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________形．【例22】（2014学年·黄浦区二模·第14题）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______．【例23】（2015学年·金山区二模·第15题）梯形ABCD中，AD // BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是______．8/ 14ABCDEFA B CDA BCDEF【例24】（2014学年·静安区、青浦区二模·第14题）如果梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F分别是AB 、CD 的中点，AD =1，BC =3，那么四边形AEFD 与四边形EBCF 的面积比是______．【例25】（2014学年·黄浦区二模·第22题）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，已知AD =2，4cot 3ACB ∠=，梯形ABCD 的面积是9．（1）求AB 的长；（2）求tan ACD ∠的值．【例26】已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 是边CD 的中点，点F 在边BC 上，EF // AB ．求证：()12BF AD BC =+．【例27】（2015学年·杨浦区二模·第23题）如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC // AB ，AB >CD >AD ，90A ∠=︒，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片；（1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG = CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形．AB CDE12AB CEF【例28】（2015学年·黄浦区二模·第23题）如图，在ABC∆中，D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD=CE，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若EC=2，BE=1，21AOD∠=∠，求AB的长．【例29】（2014学年·宝山区、嘉定区二模·第23题）如图，已知ABC∆和ADE∆都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结CE．（1）求证：60ACE∠=︒；（2）在边AB上取一点F，使BF = BD，联结DF、EF．求证：四边形CDEF是等腰梯形．【例30】（2014学年·静安区、青浦区二模·第23题）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD= BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG//AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当2AD CA CF=时，求证：AB AD AG AC=．ED CG FA BABCDABCDEFG【习题1】（2015学年·松江区二模·第5题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是( ) A ．AC BD ⊥ B ．AB AC =C ．90ABC ∠=︒D ．AC BD =【习题2】（2015学年·奉贤区二模·第16题）四边形ABCD 中，AD //BC ，90D ∠=︒，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD 是矩形，那么可以添加的条件是____________．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）【习题3】（2014学年·黄浦区二模·第6题）下列命题中真命题是( )A ．对角线互相垂直的四边形是矩形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是矩形D ．四个内角都相等的四边形是矩形【习题4】下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是( )A ．非正方形的矩形B ．非正方形的菱形C ．正方形D ．等腰梯形【习题5】（2014学年·普陀区二模·第23题）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF //AD 交BC 于点F ，且2BF BD BC =，联结FG ．（1）求证：FG // CE ；（2）设BAD C ∠=∠，求证：四边形AGFE 是菱形．随堂检测ABDAB CDABC DEF【习题6】已知，如图，在四边形ABCD中，AB = DC，AC = BD，AD BC≠．求证：四边形ABCD是等腰梯形．【习题7】如图，已知直角梯形ABCD中，AD // BC，90B∠=︒，3BC AD-=，CD = 5，AC = 8，求梯形ABCD的面积．【习题8】已知四边形ABCD中，AD // BC，AB = DC，AC与BD相交于点O，120BOC∠=︒，AD = 7，BD = 10，求四边形ABCD的面积．【习题9】（2014学年·虹口区二模·第23题）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交边BC于点F，联结BE．（1）求证：AB AD BF ED=；（2）若CD = CA，且90DAE∠=︒，求证：四边形ABEC是菱形．【习题10】（2015学年·奉贤区二模·第23题）已知：如图，梯形ABCD中，DC//AB，AD=BC= DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且BCE ACD∠=∠，联结CE．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：2AC AD AE=．ED CBAA BCD【作业1】（2015学年·静安区二模·第6题）在四边形ABCD 中，AD //BC ，B C ∠=∠，要使四边形ABCD 为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( ) A ．AB = CD B ．AC = BD C ．A D ∠=∠ D ．A B ∠=∠【作业2】（2014学年·松江区二模·第5题）已知在四边形ABCD 中，AB //CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ) A ．AD = BC B ．AC = BD C ．A C ∠=∠ D ．A B ∠=∠【作业3】（2014学年·徐汇区二模·第17题）已知四边形ABCD 是菱形，周长是40，若AC =16，则sin ABD ∠=______．【作业4】已知边长为4 cm 的菱形有一个内角是120°，那么这个菱形的较长的一条对角线的长是______cm ．【作业5】已知，梯形ABCD 中，AD // BC ，AD : BC = 1 : 2，这个梯形的面积是45 cm 2，高是6 cm ，那么AD =______cm ．【作业6】如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，120D ∠=︒，对角线CA 平分BCD ∠，且梯形的周长是20，求AC 的长．【作业7】（2014学年·崇明县二模·第23题）如图，ABC ∆中，2BC AB =，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，过点A 作AF // BC 交线段DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，联结DG ，GD 与AE 交于点H ．（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）求证：2DH HE HC =．课后作业ABDHGFECAB CDEFGOA BCDNM 【作业8】（2014学年·长宁区二模·第23题）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，联结EG、FG．（1）求证：BE=DF；（2）求证：四边形AEGF是菱形．【作业9】（2014学年·徐汇区二模·第23题）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，45MAN∠=︒，将MAN∠绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN．（1）求证：ABM∆∽ADN∆；（2）联结BD，当BAM∠的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．【作业10】（2014学年·浦东新区二模·第23题）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F．（1）如果AB=AD，求证：EF // BD；（2）如果EF// BD，求证：AB=AD．AB CDEF。

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《全等三角形及三角形全等的条件》【知识精讲】全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。

本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：(1) 满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1((3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相两直角边对应相等（(2) 两锐角对应相等（×）(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）【典例剖析】1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。

2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙 D 只有丙3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

b ac a c c a 丙72︒50︒乙50︒甲50︒C BA 50︒72︒58︒4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？【王牌例题】1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。

(1) 当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.(2) 将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF，AE，BF之间的关系. ①AD>BD；②AD=BD；③AD<BD.(答案：当l交AB于D，且AD>BD时，EF=AE-BF；当l交AB于D，且AD=BD时，EF=0，AE=BF；当l交AB于D，且AD<BD时，EF=BF-AE.)3．如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的平分线AD、CE相交于O.求证：DC＋AE ＝AC.【课堂回顾】掌握三角形全等的判定方法；重视证明三角形全等的书写格式及分析思路。

多观察、归纳、总结等，从而掌握快速、准确的方法，获得用数学的思想方法处理问题的能力。

课堂练习1. 如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，BE＝CD,求证：BD＝CE.题目解析证明：过B作BG⊥CA于G，作CF⊥BA于F，则∠BGA＝∠CFA＝90°，又∠BAG＝∠CAF，AB＝AC，∴△BAG≌△CAF，∴BG＝CF，又BE=CD，∴RT△BGE≌RT△CFD，∴∠BEG＝∠CDF，又∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，又AB＝AC，∴AB-AD＝AC-AE，∴BD＝CE.解析：课后作业1.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）A．2个B．4个C．6个D．8个正确答案：B题目解析解析:如图①，在DE上方作∠A1DE=∠B，∠A1ED=∠C，根据ASA可知△A1DE ≌△ABC，根据对称性可知在DE的下方也存在一个这样的三角形与△ABC全等；如图②，在DE上方作∠A2DE=∠C，∠A2ED=∠B，根据ASA可知△A2ED ≌△ABC，同样在下方也存在一个这样的三角形与△ABC全等.所以共可作4个三角形与△ABC全等.题目解析3.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损，只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．题目解析展开(收起)解析：只要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C的度数和边BC的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．4.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB交于F. （1）求证：△CEB≌△ADC;（2）若AD=9cm，DE＝6cm，求BE的长.题目解析（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ECA=90°.∵AD⊥CE于D，∴∠CAD+∠ECA=90°.所以∠BCE=∠CAD.∵BE⊥CE于E，∴∠BEC=∠CDA=90°.∵AC=BC，∴△CEB≌△ADC（AAS）.（2）解析：∵△CEB≌△ADC，∴CE=AD,BE=CD∵AD=9cm，∴CE=9cm.∵DE=6cm，∴CD=CE－DE=9－6=3（cm）.∴BE=3cm.角平分线的性质和判定【知识精讲】一、本节知识结构框图二、与角平分线有关的重要定理及性质1．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角的平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3．证明方法:(1) 证明线段相等的方法① 证明两条线段所在的两个三角形全等.② 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 证明角相等的方法① 利用平行线的性质进行证明.② 证明两个角所在的两个三角形全等. ③ 利用角平分线的判定进行证明.(3) 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法. 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义进行证明.【典例剖析】1．点D 在AC 上，∠BAD =∠DBC ，请作图探究下列问题：(1) △BDC 内部是否有到∠BAD两边等距离的点？如果有，有几个？ (2) △BDC 内部是否有到∠BAD 和∠DBC 两边等距离的点？如果有，有几个？ACDF EO2．如图，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F . 求证：DE =DF .3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE =BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠BAC .4．如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，P A =PC .求证：∠PCB +∠BAP =180°.【王牌例题】1．如图，在△ABC 中，AE 是∠A 的外角平分线，D 是这条角平分线上的一个动点，就D的位置而言，你能猜想出AB +AC 与BD +DC 的大小关系吗？并证明你的猜想.E FBC AD2．如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC 、AB 于C 、D 两点. 求证：AD =AB +DC.3.已知：P 为△ABC 中∠BAC 的平分线上的一点，BF ∥PC ，CE ∥PB .求证：BE ＝CF .【课堂回顾】由角平分线构造全等的方法：1．过D ，分别作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，如图1. 2．截取AE ＝AC ，如图2；延长AC ，使AE ＝AB ，如图3. 3．过D ，作EF ⊥AD ，如图4.ABCPF ED B C A 1 2E 图2 图3D B C A 1 2 E图4D BC A1 2FEE F 图1D BCA1 2课堂作业1．如图，已知D为等边△ABC内一点，且DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD的度数.难度：题目解析解析：连结CD，在△BCD和△ACD中，因为AC＝BC，DB＝DA，CD＝CD，所以△BCD≌△ACD.∴∠ACD=∠ BCD=∠BCA÷2=30º.又BP＝AB，而AB=BC，所以BP=BC.又因为∠DBP＝∠DBC，BD=BD，所以△BDP≌△BDC，所以∠BPD=∠BCD=30º.2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？解析：如图，过D作DE⊥AB于E，则点E为所求的点.下面证明：因为AD平分∠CAB，且∠C=90°，所以由角平分线的性质得，DC=DE，又AD为公共边，所以Rt△ACD≌Rt△AED.所以AC＝AE.在△ABC中，因为∠C=90°，AC=BC，所以∠B=45°.在△BDE中，因为∠DEB=90°，∠B=45°，所以DE=BE.所以△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.课后作业题目解析解析：因为D是∠BAC角平分线上的点，所以D到AB的距离等于D到AC的距离，而DC⊥AC，且CD＝2，所以点D到AB的距离是2.已有0名同学做过本题，正确率为0%难度：题目解析证明：（1）因为OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE，又在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，所以Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，所以OE＝OD（2）连结DE，由（1）知OD=OE.所以点O在线段DE的垂直平分线上，同理，点P在线段DE的垂直平分线上，所以OP垂直平分DE．即OC垂直平分DE．题目解析解析：∵∠C=90°，∴DC⊥BC于C.又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴ DC=DE. 在Rt△BCD与Rt△BED中，BD=BD，DC=DE，∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL）由已知，S△BCD:S△BCA=3:8∴S△ADE:S△BCA=（8-3-3）:8=1:4.4.如图,四边形ABCD中,AB＝AD,CA平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD. 求证：∠B=∠ADF.题目解析证明:∵CA平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,∴AE＝AF,∠AEB＝∠AFD＝90°.在Rt△ABE与Rt△ADF中,AE=AF,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴∠B=∠ADF.题目解析解析：等腰三角形【知识精讲】1. 等腰三角形的概念、性质及判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线.性质：等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；(简称三线合一)等腰三角形中相等的边所对的角也相等. (简称“等边对等角”)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.2. 等边三角形及其性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形.性质：（1）等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；（2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°；（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质.判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例剖析】例1 有关等腰三角形的计算：（1）等腰三角形中，若底角是65º，则顶角的度数是.（2）等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其它两边长分别为.（3）等腰三角形一个内角为70º，则其它两个角分别是.（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20º，则等腰三角形的底角等于度.例2 （1）已知：如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AC =BC =BD ，AD =AE ，DE =CE ，求∠B 的度数.（2）等腰三角形的周长为20cm ，求腰长x （cm ）的取值范围.EDCBA例3 如图，在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM //AB ，ON //AC ，BC =10cm.则△OMN 的周长= .OCN M BA例4 （1）等腰三角形中，底角为15º，腰长为4cm ，则这个三角形的面积 .（2）如图，已知AB =AC ，∠BAC =120º，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB 于E .求证：BF =12FC .例5 已知△ABC 与△ECD 都为等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上.（1）试比较BE 与AD 的大小，并证明你的结论；（2）判断△CMN 的形状，并说明理由；（3）试确定MN 与BD 的位置关系，并说明理由.C D【王牌例题】例1 如图所示．正三角形ABC 中，P ，Q ，R 分别为AB ，AC ，BC 的中点，M 为BC 上任意一点（不同于R ），且△PMS 为正三角形．求证：RM =QS ．例2 如图，在等边△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，BD 、CE 相交于P ，四边形ADPE 与△BPC 的面积相等，求∠BPE 的度数.PCBEA D例3 如图，已知等边三角形△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，且AE =DC ，连接AD 、BE 交于点P ，过B 作QB ⊥AD ，Q 为垂足，求证：BP =2PQ .PQEDCBA例4 在等边三角形ABC 中，AB =2，点P 是AB 边不与B 重合的点.过点P 作PE ⊥BC 于E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，过点F 作FQ ⊥AB 于Q . （1）何时BP =AQ ？（2）何时BP =2AQ ？QPE FBA例5 已知：如图△ABC中，∠B=2∠C，AD为∠A的平分线，求证：（1）AC=AB+BD.（2）AC＜2AB.【课堂回顾】1．知识回顾性质：（1）等腰三角形的两底角相等．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线重合．60．（3）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．60的等腰三角形是等边三角形．（3）有一个角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于2．注意对线段中垂线与角平分线进行比较：（1）两者所涉及的“距离”不同：前者是两点间的距离；后者是点到直线的距离. （2）线段的中垂线是直线，由“线段两端点距离相等”的两点确定；角平分线是射线，由角的顶点和“到角两边距离相等”的一点确定.（3）到三角形的三个顶点距离相等的点只有一个；到三角形三边距离相等的点有四个.课堂练习1.判断对错：（1）有一个外角是120º的等腰三角形是等边三角形. （）（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形. （）（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形. （）（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形. （）难度：题目解析解析：（1）√. 有一个外角是120º的等腰三角形，即有一个内角是60º的等腰三角形.（2）×. 所有等腰三角形都满足两个底角的外角相等.（3）×. 所有等腰三角形都满足底边上的高也是底边上的中线.（4）√. 三个外角都相等即三个内角都相等，因此满足条件的三角形是等边三角形.2. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm题目解析解析：等腰三角形三边长可能的情况可能为：（1）3cm，3cm，6cm；（2）3cm，6cm，6cm.根据三角形两边之和大于第三边知，第（1）情况不满足，故应舍去，所以满足条件的三角形的周长为3+3+6=15（cm）.已有0名同学做过本题，正确率为0%3. 如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，则∠ABC= 度.题目解析解析：∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠ADC=90°，∴∠HBD=∠DAC.∴△BHD≌△ADC，∴BD=AD，又AD⊥BC，∴∠ABC= 45°.4．如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，DM⊥BC 于M，求证：M是BE的中点.题目解析展开(收起)证明：∵AB=BC，D为AC中点，∴ BD⊥AC且BD平分∠ABC，∴∠DBC=30º.∵CE=CD且∠DCB=60º，∴∠E=30º，∴ DB=DE.又∵DM⊥BC于M，∴ M是BE的中点.5. 如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．解析：猜测AE=BD，AE⊥BD，理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB.∴△ACE≌△DCB.∴AE=BD，∠CAE=∠CDB.∵∠AFC=∠DFH，∴∠DHF=∠ACD=90°.∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．1.如图1，给你一张三角形纸片，其中AB=AC，∠A=36°，将此纸片按图2中的线剪开，可以将原三角形分成三个等腰三角形，那么：（1）仿照图2，再设计几种不同的分割方法，将原三角形纸片分为3个三角形，使得每个三角形都为等腰三角形.（2）仿照图2，再设计一种不同的分割方法，将原三角形纸片分为4个三角形，使得每个三角形都为等腰三角形．（要求：在图中标出分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）难度：题目解析解析：（1）如图3，4，5，6所示；（2）如图7所示．难度：题目解析解析：我答对了我答错了全等轴对称的综合运用【知识精讲】1．等腰三角形的概念、性质及判定. 2．等边三角形及其性质. 3．直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 4．轴对称与轴对称图形的联系与区别. 5．线段的垂直平分线及其结论. 6．轴对称和轴对称图形的性质. 7．轴对称变换.8．关于坐标轴对称的点的特点.【典例剖析】（一）等腰三角形中有关边、角数量关系的探究例1 等腰三角形ABC 的一边是另一边的2倍，且它的周长是40，则它的底边长为 . 例2 如图，△ABC 中，∠ACB =120°，点P 在△ABC 外，且P 、C 在AB 同侧，有AC =BC =PC ，∠APB 的度数是 .例3 如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，在BC 上任取一点D ，作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC于F ，M 是BC 中点，求证：△EFM 是等腰三角形.例4 如图，以△ABC 的两边AB 、AC 向外作等边三角形ABE 和等边三角形ACD ，连结BD 、BEFACB CPACE，相交于O.（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）BD和CE夹角的大小与△ABC的形状有关吗？说明理由.（二）轴对称在等腰三角形中的应用1.利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点例5 如图，在等边三角形ABC所在平面内找一点P，使△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，你能找出几个这样的点？请画出它们的位置.2.利用轴对称变换集中几何条件例6 已知：如图，在等腰直角△ABC的斜边上取两点M、N，使∠MCN＝45°，设AM=m，MN=x，BN＝n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状.AN例7在凸四边形ABCD中，AB＝CD，AC为对角线，∠DAC>∠BCA，且∠DAC与∠BCA 互补，∠BAC>∠ACD，且∠BAC与∠ACD互余，求∠B的度数.（三）运用“含30°锐角的直角三角形”解决航海问题例8 如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A 、B 处望小岛C ，测得∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？【王牌例题】例1 P 为等边ABC ∆外一点，求证：PA PB PC ≤+.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G . 求证：CF ＝GB .E GFDBAC例3 在△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 80°.如果P 为三角形內一点，令∠PBC = 10°，∠PCB= 30°，求∠P AC .【课堂回顾】（一）由于等腰三角形的特殊性，当题目条件不明确时，要注意分类讨论：1. 三角形的边没明确腰、底；2. 三角形内角没明确是顶角还是底角；3. 腰上的高分形内和形外.（二）积累常见的图式，对方法要不断归纳总结.1.等腰△ABC中，AB=2BC，且三角形周长为40，则AB的长是 .难度：您的答案：1题目解析展开(收起)解析：由两边和大于第三边知AB不可能为三角形底边，所以AB为三角形的腰，设等腰三角形的底边长为x，则腰长为2x，所以x+2x+2x＝40，解得x=8，所以AB＝2x=16.我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%2．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形顶角的度数是 .难度：您的答案：1题目解析展开(收起)解析：分两种情况：（1）如图1，当三角形为锐角三角形时，∠ACD＝45°，又CD⊥AB，所以∠A＝45°.（2）如图2，当三角形为钝角三角形时，∠ACD＝45°，又CD⊥AB，所以∠BAC＝135°.我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%3．P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C、D，则CD_____P 点到∠AOB两边距离之和．A．小于B．大于C．等于D．不能确定正确答案：B你的答案：A难度：题目解析展开(收起)解析：如图，过P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则在Rt△PMC中，PC>PM，在Rt△PND中，PD>PN，所以PC+PD>PM+PN，即CD>PM+PN.已有0名同学做过本题，正确率为0%4.如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，经过点D作DE⊥BC，E是垂足，并与CA的延长线相交于点F.求证：△ADF是等腰三角形.难度：您的答案：1题目解析展开(收起)证明：∵AB=AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠BDE=90°－∠B，∠F=90°－∠C.∴∠BDE=∠F.又∵∠BDE=∠ADF,∴∠F=∠ADF∴AF=AD，即△ADF是等腰三角形.我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.求证：AD平分∠BAC．难度：您的答案：1题目解析展开(收起)证明：∵BE=CF，BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折过来，C落在C′的位置，（1）在图中找出点C′，连结BC′；（2）如果BC＝4，求BC′的长.难度：您的答案：1题目解析展开(收起)解析：（1）由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称，所以C、C′关于直线AD对称，AD垂直平分CC′.如图，作CO垂直AB，并延长到C′，使得OC′＝OC，点C′即为所求.（2）连结C′D，由对称性得∠ADC′＝∠ADC＝60°，所以∠BDC′＝60°，又CD＝CD′，BD＝DC，所以CD′＝BD，所以△C′BD是等边三角形，所以BC′＝BD＝2.我答对了1. 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形ABCD所在平面内找一点P，使△PAB、△PAD、△PCD、△PBC都是等腰三角形，请在图中画出所有符合条件的P点．难度：您的答案：1题目解析展开(收起)解析：P点有9处，如图，以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形，则这些等边三角形的顶点为所作的P点，还有正方形的对角线的交点也满足条件．我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%2.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，点P为AD上任意一点，求证：AB－AC＞PB－PC.难度：您的答案：1题目解析展开(收起)证明：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，又因为AP＝AP，∠BAD＝∠CAD，所以△APE≌△APC.从而PE=PC，所以AB-AC=AB-AE=BE>PB-PE=PB-PC.我答对了我答错了已有0名同学做过本题，正确率为0%难度：您的答案：1题目解析展开(收起)我答对了我答错了函数观点看方程（组）与不等式主讲教师：杨丽敏【知识精讲】1、一次函数与一元一次方程的关系直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程0(0)kx b k +=≠的解。