RS编译码原理
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
RS码简介与编译码算法综述
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
RS编码
RS 编码RS(255,249) 码的生成多项式为G （x ）=∏=-5)(i ia x ，其中a 为本原元，是本原多项式p （x ）=12348++++xxxx 的根。
RS 系统编码器可看作是一个多项式除法器，首先用kn x-乘以消息多项式m （x ），，即在信息码后附加（n-k ）个“0”， ，将得到的结果kn x -m （x ）除以g （x ），得到余式，b （x ）=112210...----++++k n k n xb x b x b b 为所求的校验位，从而，可将码字多项式表示为c （x ）=kn x -m （x ）+b （x ）。
RS 译码由于RS 码是一种循环码，令码字多项式为c （x ），错误多项式为e （x ），则接收多项式可表示为r （x ）= c （x ）+ e （x ）。
存在校验矩阵H ，使c*TH=0，!，定义接收矢量的伴随式S= r*TH=（t s s s 221,...,,）。
可得伴随式：)()(jjj a e a r s ==j=1,2,3,…n 可知伴随式完全由噪声E 决定，充分反映了信道干扰的情况。
循环码编码循环码通常采用码多项式描述, 假设(7, 4)循环码的码字为(1001000), 就可用T(x)=1+x3 表示。
特别是用g(x)表示前k- 1 位皆为0 的码组, 称为生成多项式。
由循环码的性质可知, 循环码对生成矩阵可由码对生成多项式g( x) 及其循环移位构成, (7, 4)循环码生成多项式g(x)=1+x+x3(1011)或g(x)=1+x2+x3(1101), 以选1011 为(7, 4)CRC 码的生成多项式, 用矩阵表示如下式2- 1。
根据生成矩阵, 就可利用上面介绍的方法设计编码器了。
还可以利用循环码自身的循环性, 更方便地实现编码器。
(7, 4)循环码为例, 若输入信息码元为u(x)=1+x3, 则: kn x-u （x ）=63x x +=x+)1m od(22x x x ++因此, 码多项式为:o （x ）=r （x ）+kn x -u （x ）=x+632x xx++其中r(x)=x+x2 为信息码元置为高位后整除生成多项式的余式, 它正好对应于校验序列。
数字通信中RS码的Step-by-step译码算法及实现
数字通信中RS码的Step-by-step译码算法及实现朱晓;林基明;杨鑫【摘要】文章讨论了在数字通信系统中RS码的Step-by-step译码算法,给出了算法的基本原理并在现场可编程门阵列(FPGA)上实现了RS(7,3)码的编译码,给出了实际仿真的效果图.结果表明,所设计的电路能够纠正7位接收符号中的任意两位错误.采用此算法避开了求解错误定位多项式,使译码过程得以简化,并提高了译码速度,且易于用大规模可编程器件实现.【期刊名称】《光通信研究》【年(卷),期】2008(000)003【总页数】4页(P60-63)【关键词】Step-by-step译码;现场可编程门阵列;数字通信系统【作者】朱晓;林基明;杨鑫【作者单位】桂林电子科技大学,信息与通信学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,信息与通信学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,信息与通信学院,广西,桂林,541004【正文语种】中文【中图分类】TNG11.22RS 码是信道编码中一类纠错能力很强的多进制BCH 码，它可用于纠随机错误，也可用于纠突发错误，而纠突发错误的能力更强。
大规模可编程器件的出现以及电子设计自动化使得设计专用集成芯片过程非常简单，而将RS码的编译码算法设计成专用集成芯片的实用意义很大。
1999年Erl-hueilu 提出了一种Step-by-step 的译码算法，由于该算法在接收端纠错前忽略了求错误定位多项式这一步，所以其译码过程相对代数译码方法而言更简单,且易于用硬件实现。
本文在深入分析该算法的基础上，完成了RS(7,3) 的编译码,并给出了编译码设计的硬件构成框图以及仿真结果。
试验结果表明所设计的电路能够纠正7 位接收符号中的任意两位错误。
1 RS码的基本原理RS 纠错编码是在Galoias 域的基础上构建的。
域是一种数学的构建模型, 它是由一些非零元素组成的, 域中元素的个数称为域的阶,q阶的Galoias域通常用GF (q) 来表示。
RS码的性能分析与仿真
RS码的性能分析与仿真作者：鲁芳旭刘翠海来源：《数字技术与应用》2020年第08期摘要：主要介绍RS码的编译码原理，并基于Matlab进行仿真实现，同时构建了含有BPSK调制的通信系统，对有无编码的通信系统进行仿真和性能分析，发现该码型对通信系统的传输特性有一定程度的改善。
通過比较分析，对该码型的纠错性能有了更全面的认识，有利于更好的研究和应用RS码。
关键词：信道编码;RS码;纠错性能中图分类号：TN911.22 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2020）08-0025-030 引言RS码是一类纠错能力很强的多进制BCH码[1]，其纠错能力和编码效率在线性分组码中是最高的。
RS码特别适合用于多进制调制的场合[2]，同样适用于在衰落信道中纠正突发性错码[3]。
与此同时，RS码能用来构造其他码类，如级联码。
由于其具有以上优良性能，目前已被广泛应用在各种通信系统和计算机存储系统中。
1 RS码的编译码原理及数学模型构建RS码是一种特殊的多进制BCH码。
设p为素数，q=pm，那么由伽罗华域GF（q）产生的码就称作q进制码。
二进制BCH码的码长为n=2m-1，若要纠正t个错码，则需要2t个监督码元。
同理在q进制码中，码长为n=qs-1，若要纠正t个错码，则需要2st个监督码元，当s=1时的q元BCH码称为RS码，属于非二元BCH码。
1.1 RS码的编码RS码是循环码的一种，因此其编码方式与一般循环码的编码方式一致。
一个（n，k）RS码的生成多项式g（x）为：g（x）=（x-α）（x-α2）…（x-a2t）=（x-αi）其中αi是伽罗华域GF（2m）={0，α0，α1，…，α2m-2}中的一个元素，t为RS码能够纠正的错码个数。
信息多项式m（x）为：m（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m1x1+m0用m（x）除以g（x），所得余式为校验多项式h（x），将h（x）置于m（x）之后，即生成了RS码。
RS码的编译码算法及DSP实现
RS码的编译码算法及DSP实现
RS码作为一种多进制BCH码,具有同时纠正突发错误和随机错误的能力,因而被广泛地应用于数据通信和数据存储系统的差错控制中。
本文研究了RS码的编译码理论,在译码算法中重点对step-by-step译码和频域译码算法进行了探讨,将素因子分解的算法应用在IDFT过程中,理论分析和在CCS环境中的仿真结果表明这样做确实减少了有限域乘法和加法的次数,节省了所用的时钟周期数。
完成了基于TMS320VC5402系列DSP的RS码编译码器的硬件电路的设计,调试结果表明编译码器工作正常。
最后对RS码频域译码的性能进行了MATLAB仿真,结论是RS码能有效地纠正码字中的随机错误和突发错误。
RS
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靠 通信 和数 据 存 贮 领 域 得 到 广 泛 的应 用 Ｊ 。但 Ｒ Ｓ 码 的有 限域 的代数 结 构 使得 用 硬件 在 大 的域 进 行 实 时译 码 一 直 是 工 程 应 用 的难 题 。本 文 用 现 代 Ｅ ＤＡ 的设计 方 法 ， 用 ＶＨＤＬ高 级 硬 件 描 述 语 言 ， 别 采 分 从 行 为 级和 寄 存 器传 输 级 （ Ｌ） ＲＴ 设计 ＲＳ码 的 硬 件 译 码 器 ＿ 。 设 计 的 结 果 可 以 作 为 Ｉ Ｉｔｌｃｕｌ ３ Ｊ Ｐ（ ｎｅ ｅｔａ ｌ
维普资讯
第２ 卷第３ ３ 期
２００２年 ８月
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１ ＲＳ码 译 码 器 的 原 理 及 算 法 分 析 ［】
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对于跳频通信中RS编译码研究
对于跳频通信中RS 编译码研究梁彦霞，杨家玮西安电子科技大学信息科学研究所宽带无线通信实验室，陕西西安 （710071）E-mail ：zishuibingyue@摘 要：由于传输环境的恶劣，我们要选择合适的信道编码方式。
RS 码以其优良的纠错性能得到了编码者的青睐，并且在工程中得到了广泛的应用。
RS 码的编译码过程比较复杂，主要是因为其处理的数据域为迦罗华域，其译码到目前为止仍未能有特别好的方法。
本文叙述了跳频通信中信道部分RS 的编译码原理，更详细的揭示了RS 的译码过程中的Euclids 及其实现算法，更重要的是揭示了迦罗华域数据的计算方法，并且对RS 编译码部分进行了定性的仿真和分析。
关键词：跳频通信，RS 码，编译码原理，迦罗华域0 引言跳频通信具有较强的保密性和抗干扰性,在军事通信中得到广泛应用。
[1]在跳频通信中，信号传输环境非常恶劣，除了受到信道传输特性的不理想及加性噪声的影响外，还受到敌方故意恶性的电磁干扰，在这种环境下，我们就必须寻找一种有效的信道编码方案[2]。
RS 码具有极大最小距离特性，在工程应用中已经看到了其优秀的纠错能力，它的译码速度也很快，这些都是其它码所无法比拟的。
RS 码具有很强的纠突发错误和随机错误的能力，已经被广泛的应用于通信和数据存储[3]。
但是由于RS 码的处理域为迦罗华域，所以本文重点介绍了迦罗华域的一些计算规则，并且对RS 的编译码原理进行了详细的介绍，以及其性能的仿真。
图1 RS 编码电路1 RS 编码算法及迦罗华域的乘加运算[4]1.1RS 编码算法RS 编译码处理的都是迦罗华域的信号，即每m 个0、1符号对应于GF (2m )的一个符号，共有0~2m -1个符号，RS 编码是对每个符号进行的处理。
图1所示为迦罗华域符号的处理，其生成多项式为232()()()()()t g x x x x x αααα=−−−−L =20ti i i g x =∑。
RS编码rs(204,188)设计原理
11.9.2 RS(204, 188)译码器的设计RS码在通信系统、数字电视和计算机存储系统中应用很广泛。
例如，DVB（数字电视）标准中信道编/解码采用RS(204, 188)；ATM网络中使用RS(128, 124)作为前向纠错编码（Forward Error Correcting, FEC）。
本节将以DVB标准中定义的RS(204, 188)译码器为例，详细介绍基于改进的BM迭代算法、pipeline结构的译码的所有技术细节。
考虑到译码器的可扩展性、可维护性，实例中尽可能地使用参数化、模块化的设计。
读者可在实例代码基础上作很小的改动，就能实现不同需要的RS译码器。
1. 应用背景在数字通信、数字电视中，信道编码的使用提高了数据传输的质量。
虽然增加了传输带宽，但信道编码减小了数据传输出现误码的概率，同时也减小了所需要的信噪比（signal-to-noise rate）。
在大多数应用中，将RS码与卷积码级联使用进行纠错。
在自信源至接收的过程中，数字电视信号的编码包括信源编码、信道编码及加密。
信道编码又称做前向纠错编码，其目的是提高信息传送或传输的可靠性，当传输差错在一定范围内，接收机都能将误码纠正过来。
必须指出，信道编码并非指信号经上变频发送出去后，在传输信道中（有线、卫星或地面）进行编码，而是指经过编码后便匹配信道传输和减少差错。
因此，自信源编码后的所有编码包括能量随机化扰码、卷积、交织、Reed-Solomon编码等都可划为信道编码。
典型的数字电视信道编码如图11-73所示。
为信息位，t为能纠正误码的最大的码位，且RS外码编码的特点是纠正与本组有关的误码，尤其对纠正突发性的误码最有效。
通常，n、k、t分别为204、188和8。
如图11-74所示为"EN 300 429"有线数字电视（DVB-C）标准规定的发送端（Cable Head-end）框图，其中包括了数据帧结构（Framing structure）、信道编码及调制。
RS的BM迭代译码算法
BM迭代译码算法的基本原理时域上的RS译码的关键在于求解错误位置多项式,1966年伯利坎普（Berlekamp）提出了可以由伴随式计算错误位置多项式的迭代译码算法，这极大地加快了求解错误位置多项式的速度，该方法简单且易于实现，从而从工程上解决了RS译码的问题；1969年梅西（Massey）指出了该算法与序列的最短线形移位寄存器综合之间的关系，并进行了简化，因此，此译码算法就称为BM迭代译码算法。
如果由接收码组已经求出了伴随式S=［S1,S2,…,S2t］,其中，t为RS码的纠错距离,记S(x)=1+上式即为求解错误位置多项式的关键方程，且它其实说明了S(x)σ(x)的最高次数不会大于2t。
在上式中，S(x)是已知的，因此，可以利用上式进行迭代。
先人为设定σ(x)和ω(x)的初始值，然后以此初始值表示下一次迭代的结果，并使得下一迭代结果的次数不减，如此反复迭代求出满足(1)式的方程即可。
由于每一次迭代都使得σ(x)和ω(x)的次数不减，故迭代至第j步时，应有：通常，满足(2)式的每一步迭代都不是唯一的，因此必须对迭代过程加以条件限制。
在m进制无记忆离散对称信道中，如果信道转移概率p<1/m，则信道产生错误个数少的可能性最大，即σ(x)次数越低的可能性越大。
故如果每一次迭代都能保证求的σj(x)次数最低，且满足此时的译码结果就是满足译码错误概率最小的最大似然译码，并且此时的解是唯一的。
其中i是j前面的某一行，且满足最大，这样能保证每次迭代总是使σ(x)的次数最小化。
因此，令j=-1和0，得到两组初始值，利用(3)式求出d j，再结合(４)式和(５)式即可得到下一步的结果。
迭代步骤如下：否则，由(4)式和(5)式求出σj+1（x)、ωj+1 (x)，然后进行下一次迭代。
FPGA实现及调试1.FPGA实现电路该算法的FPGA实现电路如图1所示。
其中，Syndrome模块主要完成伴随式的计算，Dj和Di模块分别完成dj和dj/di的计算，Iterater模块则完成迭代的更新及计算，Sj和Oj分别为需要求出的σj(x)和ωj(x)。
RS编码和纠错算法
Ｇ （３ Ｆ２） 中的元素可计算 如下 ：
表 １ Ｇ （ 元 素表 Ｆ
０
Ｑ Ｏ Ｑ １
Ｑ ２
ｍｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝０ ｄＱ ） ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ。 １ ） ＝ ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ ） ｏ ｄ Ｑ。 ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ ） ｍｏ （ ＋ ａ ＋ １ ＝ ａ ＋ １ ｄａ ） ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ ） ＋ Ｑ ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ ） ＋ Ｑ ＋ Ｉ ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑ ） ＋ ｌ ｍｏ （ ＋ Ｑ＋ １ ＝ Ｑｏ ｄＱ ） ｏ ｄＱ ｒｏ （ ＋ Ｑ ＋ １ ＝ Ｑ ）
ＲＳ编码 和纠错 算 法
根 据 多 项 式 的运 算 ， 由 Ｇ（） Ｍ（） 司以得 出 ： ｘ和 ｘ
讲
ｍｘ ｎ 】 １ ＋ １【 ５ ｏ＝ ４
３ ＋
１ ）
（ Ｑ ）（－ ｘ Ｑ ）（－ Ｑ （） ｘ ｘ Ｑ ）（－ ｘ Ｑ ） ｘ －０ ２ ３
（） ６
当用 ｘ ：Ｑ。 ＝Ｑ 、ｘ 、ｘ 、ｘ 代 人 上 式 时 ，得 到 下 面 的方 程 组 ： ＝Ｑ ＝Ｑ
正 确 的 校 正 的码 字 ， 因此 ＲＳ码 成 为 一 种 很 重要 的纠 错 码 。
例如 ，（５ ， ２ ） Ｓ码表示码块 长度 共 ２ ５ ２ ５ ２ ３Ｒ ５ 个符号 ， 中信息代码 的长度为 ２ ３ 其 ２ ，检验
码 有 ３ 检 验 符 号 。在 这 个 由 ２ ５个 符 号 组 成 的码 块 中 ，可 以纠 正 在 这 个 码 块 中 出现 的 ｌ ２个 ５ ６
ａ ＝ （ ） ｏｏｏ ｏｏｏ １０
下面 以一个较简单 例子说 明域 的构造 。
rs编译码原理流程
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1. 词法分析：Rust 编译器将源代码解析为一系列称为词素的符号，包括标识符、关键字、标点符号和数字。
RS码译码算法及其实现的研究
RS码译码算法及其实现的研究RS码译码算法及其实现的研究摘要：纠错编码在信息传输中起到了至关重要的作用，其中纠错码是最常用的一种编码方式。
RS码作为一种具有高纠错能力的纠错码，被广泛应用于存储介质、数字通信和数据传输等领域。
本文将详细介绍RS码的编码和译码原理，以及RS 码译码算法的研究进展和实现方法。
一、引言在现代通信系统中，由于信道和介质的不完美性，信息传输过程中常常伴随着噪声和错误，导致数据传输错误率的增加。
为了提高数据传输的可靠性和冗余性，人们引入了纠错码，用于在数据传输过程中对错误进行修正。
二、RS码的原理RS码全称为Reed-Solomon码，是一种基于有限域的纠错码。
RS码利用了有限域GF(q)上的多项式编码理论，通过在数据流中引入冗余位进行编码和译码，从而实现错误的检测和纠正。
1. 编码原理RS码的编码原理是将信息数据流进行多项式编码，然后再添加纠错码，生成一个较长的编码后数据流进行传输。
具体编码流程如下：（1）将n个信息符号划分为m个长度为t的子串，其中m = n / t，t为RS码的最小距离；（2）将每个子串看作一个特定的数字，代入t-1次幂相乘的多项式中；（3）将每个子串多项式求模，得到t-1阶多项式；（4）在多项式后方添加r个纠错码位，使整个编码构成一个长度为t+r的新多项式；（5）重复以上步骤，直到对所有信息子串进行编码处理。
2. 译码原理RS码的译码原理是利用多项式除法实现。
译码时，首先接收到一个由编码器生成的编码后数据流，然后通过解码器进行解码，恢复原始信息数据流。
具体译码流程如下：（1）通过接收到的数据流计算相应的符号多项式；（2）使用Berlekamp-Massey算法，计算出多项式的最小生成多项式，从而确定修正多项式；（3）对错误位置进行定位，然后使用Forney算法计算纠错多项式；（4）使用译码器获得纠正后的数据流。
三、RS码的译码算法研究进展1. 经典的译码算法目前，根据实际应用需求，已经提出了许多RS码译码算法。
最新RS码编码及译码 (优选.)
wo最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本--------------------- 方便更改rdRS码的编码和译码算法的实现摘要：RS码是对突发错误具有良好纠错能力的通信信道编码。
本文主要讨论了RS码的编码和译码，主要推导了伽罗华域的生成方法和BM迭代译码算法。
关键词：RS码；伽罗华域；编码；BM译码1 RS码的基本介绍RS码是一类有很强纠错能力的BCH码，也是一类典型的代数几何码[1]，是由里德和索罗蒙于1960年构造出来的。
RS码是非二进制BCH码的一个重要子类，是一类最大距离可分组码。
RS码已经被广泛应用于通信和存储系统中，以进行差错控制。
的q进制的BCH码是q进制BCH码中最重要的一个子类。
这一子类的编码被称为里德—所罗门(Reed-Solomon,RS)码。
令α为GF(q)中的本原元。
符号取自GF(q)、纠正t个错误的RS码，其生成多项式g(x)以α，，…，为其全部的根。
由于是GF(q)中的元素，因此其最小多项式(x)即为。
因此，得到+其中GF(q)，由于α，，…，是-1的根，因此-1能够被g(X)整除。
所以，g(X)将生成恰好具有2t个奇偶校验符号、长度为n = q – 1的q 进制循环码[2]。
符号取自GF(q)、纠正t个错误的RS码具有如下参数：分组长度：n = q - 1奇偶校验符号数: n – k = 2t维数: k = q – 1 – 2t最小距离: = 2t + 1于是，我们看到RS码具有如下特性：（1）码的长度比码字母表的大小少1；（2）最小距离比奇偶校验符号数多1。
最小距离比奇偶校验符号数多1的编码称为极大最小距离可分（Maximum Distance Separable，MDS）码。
2 伽罗华域元素和二进制代码表的生成伽罗华域是以q=为元素的有限域，p为素数，m为正整数。
其特征是域中各元素可以用基本元素及其表达式来表示，并且域中各元素经过域内运算，其结果仍为域内元素。
RS(16,12)缩短码编译码原理及性能
2012年第02期，第45卷 通 信 技 术 Vol.45，No.02,2012 总第242期 Communications Technology No.242,Totally(16,12)RS缩短码编译码原理及性能分析赵 旸， 耿相铭（上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240）【摘 要】在各类数字通信系统以及计算机存储和运算系统经常利用差错控制编码降低误码率，提高通信质量，满足对数据传输通道可靠性的要求。
RS码是一种性能优良的前向纠错码，具有同时纠正随机错误和突发错误的能力，它的构造特点决定了其非常适合于纠正突发性错误。
文中在阐述RS系统码编译码原理的基础上，提出了(16,12)RS缩短码的编译码方法，利用MATLAB对(16,12)RS缩短码在高斯信道和瑞利信道条件下的纠错能力进行仿真，并分析其纠错性能。
【关键词】里德-所罗门码(RS码)；缩短码；编译码；瑞利信道；MATLAB仿真【中图分类号】TN918 【文献标识码】A 【文章编号】1002-0802(2012)02-0049-04 Encoding and Decoding Algorithm for(16,12)RS Shortened Codesand Its Performance AnalysisZHAO Yang， GENG Xiang-ming(SEIEE, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)【Abstract】In various digital communication systems and computer storage and computing systems, the error control coding is often used to reduce bit or symbol error rate, and thus to improve communication quality and meet the reliability requirements of data transmission. RS code, as an excellent forward error correction code, has the capability to correct both random error and burst error, and its structured characteristics feature its suitability for correcting burst errors. Based on description of the RS system code’s encoding and decoding principles, this paper proposes(16,12)RS shortened code’s encoding and decoding method. And with MATLAB the(16,12)RS shortened code’s error correction capability in the AWGN and Rayleigh fading channel conditions is simulated.【Key words】Reed-Solomon code; shortened code; encoding & decoding algorithm; Reyleigh fading channel; MATLAB simulation0 引言里德-所罗门码（RS码）是性能优良的多进制BCH码，相比于其他线性分组码，在同样的编码效率下，RS码具有较强的纠错能力，特别是在短的中等码长下，其性能很接近于理论值，不但可以纠正随机错误、突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码类，如RS码和卷积码构成的级联码已经被用在深空通信的下行链路中，因此RS码在数字存储和通信系统中获得了广泛应用，例如用于CD ROM-、DVD和陆地数字传输中定义在8(2)GF上的缩短RS码。
RS编译码的一种硬件解决方案
RS编译码的一种硬件解决方案
RS编码和解码是一种纠错编码和解码技术，通常用于在数据传输过程中检测和纠正错误。
硬件解决方案通常包括使用逻辑门电路和存储器等组件来实现RS编码和解码功能。
对于RS编码，硬件解决方案可以使用逻辑门电路来实现生成多项式的乘法和求模运算。
具体来说，可以使用计数器和移位寄存器等组件来实现多项式的乘法和求模运算。
然后，通过逻辑门电路将不同的输入数据映射到相应的编码数据。
对于RS解码，硬件解决方案可以使用逻辑门电路和存储器来实现。
具体来说，可以使用逻辑门电路来实现对接收到的编码数据进行纠错和解码操作。
通过逻辑门电路将接
收到的编码数据与纠错编码表进行比对，找出可能的错误位并进行纠正。
然后，根据RS编码的解码算法将编码数据还原为原始数据。
需要注意的是，硬件解决方案的具体实现方式会根据RS编码的具体要求和硬件平台的限制而有所差异。
上述解决方案只是一个简单的示例，实际的实现可能需要更复杂的
电路和算法。
RS码的时域编码频域译码技术
字是非 系统码 。对于 Ｒ 译 码 ， Ｓ 时域译码算 法要 比频域译 码 算法复杂 的多。在 时 域 译 码 算 法 中，在解 出错 位 多项 式
叶变换 （ Ｆ ） Ｇ （ 上的另一个 ２ ５维数组 ： Ｄ Ｔ 是 Ｆ ２） ５
Ｖ ＝ （ ５， ２ ， Ｉ ） ４ Ｖ ５ …， ’ ３
２４ ５
，—
间最小距离为 ＝２ ＋１＝ １ ， ｔ ７ 其生成多项式 ｇ ｘ 为 ： （）
ｇｘ （ ）＝ ｘ一口 （ ） 一 ２…（ —ａ—）＝ （ ） ｚ一口 （ 一 ） 口 ） ｚ—ａ６ …（ １）
需要一次多项式 除法 ， 频域 编码 只需要用 一次 Ｆ ， Ｆｒ 不同的 是， 用时域编码编出 的码 字是 系统码 ， 而频 域编 码编 出的码
每一个码字 多项式 ｃ ） （ 都是 ｇ ） （ 的倍式 ： ｃ ｚ）＝ ｃ ）・ （ （ （ ｇ ｘ）
２ ９ 码 由下 式 人手 ： ３）
收 稿 日期 ：０ ８０ —８ ２０ —３２
维普资讯
第 ２ 卷 第５ ６ 期 ２００８年 ９月
西安航空技术高等专科学校学报
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉａ ｒｔ ｈ ｉ ｌ ｏｌ ｅ ｏ ｒａ ｏ ’ｎＡｅｏｅ ｎｃ ｌ ｇ Ｘ ｃ ａＣ ｅ
Ｖ＿ ． ｏ ２６Ｎｏ． １ ５
Ｓｐ ｅ ｔ．２０ ０ ８
Ａ（ 后 ， Ｘ） 还需要求出 Ａ（ 的根 以找到错误位置 ， ） 再根据错
上式的左边是 ｇ ｘ）的倍 式 ， 以作为码字多项式 ： （ 可 若将 ｍ ｘ） 作为 由 ２ ９个信 息字节组成的信息 多项 式 ， ３
RS纠错编码原理及其实现方法
3
Zhengzhou Oriole Xinda Electronic Information Co.,Ltd.
由此可以得到域的所有元素
元素
0
0
二进制对应 码 0000
十进制对应 值 0
1
α0
0001
1
α1
α1
0010
2
α2
α2
0100
4
α3
α3
1000
8
α4
α +1
0011
3
α5
α (α +1) = α 2 + α (mod p(α ))
0 0 0 … 1
该矩阵具有 r 行和 n 列
故式(1-1)可以写成
HcT = 0 或 cH T = 0 H 矩阵称为[n,k,r]码的校验矩阵。
c r 发送矢量为 接收矢量为 若 rH T ≠ 0
则说明接收到的码有错误。
设错误图样为 e 则可写成以下关系式 r = c + e 为了纠错必须知道那些位上存在错误。这可由校正子（又称伴随式） s 来确定
参数 n 为码长一般 n = 2m −1，k 为信息码元个数。 例如 m=4, 码长 n＝15，信息码元长度为 9 GF(24)的本原多项式可以根据指令 >>rsgenpoly(15,9) 得到： ans = GF(2^4) array. Primitive polynomial = D^4+D+1 (19 decimal)
减法运算与加法相同
乘法例：α 8 •α 10 = α (8+10)mod15 = α 3
除法例：α 8 / α10 = α −2 = α −2+15 = α 13
RS编译码原理
1 RS码字RS码(Reed-solomon codes)一种低速率的前向纠错的信道编码，是一类具有强纠错能力的多进制BCH码，在线性分组码中，它的纠错能力和编码效率是最高的。
相比于其他线性分组码而言，在同样的效率下，RS的纠错能力是特别强的，特别是在短的中等码长下，其性能接近于理论值，它不但可以纠正随机错误，突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码型，如级联码。
其编码过程首先在多个点上对这些多项式求冗余，然后将其传输或者存储。
对多项式的这种超出必要值的采样使得多项式超定（过限定）。
当接收器正确的收到足够的点后，它就可以恢复原来的多项式，即使接收到的多项式上有很多点被噪声干扰失真。
1.1RS编码RS码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码。
对于任选正整数S 可构造一个相应的码长为n=q S-1的q进制BCH码，而q作为某个素数的幂。
当S=1，q>2时所建立的码长n=q-1的q进制BCH码，称它为RS码。
当q=2m(m>1)，其码元符号取自于GF(2m)的二进制RS码可用来纠正突发差错，它是最常用的RS码。
一个RS码有以下几个参数：码长：n=2^m-1个符号或者m(2m-1)比特信息段：k个符号或者mk个比特监督段：2t=n-k个符号2mt=m(n-k)个比特最小码距：d min=n-k+1个符号或者md min=m(n-k+1)例如，对RS（204,188）码来说，源数据被分割为188个符号为一组，经过编码变换后，成为204个符号长度的码字。
长度为16个符号的监督为可以纠正码字中出现的最多8个符号错误。
RS编码的框图如图所示：RS编码器的结构RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，并且使得对每个信息段计算得到的码字多项式都是g(x)的倍式，即使得码字多项式除以g(x)的余式为0。
这样，如果接收到的码字多项式除以g(x)的余式不是0，则知道接收码字的余式存在错误；而且通过进一步可以纠正最多t=(n-k)/2个错误。
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1 RS码字
RS码(Reed-solomon codes)一种低速率的前向纠错的信道编码，是一类具有强纠错能力的多进制BCH码，在线性分组码中，它的纠错能力和编码效率是最高的。
相比于其他线性分组码而言，在同样的效率下，RS的纠错能力是特别强的，特别是在短的中等码长下，其性能接近于理论值，它不但可以纠正随机错误，突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码型，如级联码。
其编码过程首先在多个点上对这些多项式求冗余，然后将其传输或者存储。
对多项式的这种超出必要值的采样使得多项式超定（过限定）。
当接收器正确的收到足够的点后，它就可以恢复原来的多项式，即使接收到的多项式上有很多点被噪声干扰失真。
1.1RS编码
RS码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码。
对于任选正整数S可构造一个相应的码长为n=q S-1的q进制BCH码，而q作为某个素数的幂。
当S=1，q>2时所建立的码长n=q-1的q进制BCH码，称它为RS码。
当q=2m(m>1)，其码元符号取自于GF(2m)的二进制RS码可用来纠正突发差错，它是最常用的RS码。
一个RS码有以下几个参数：
码长：n=2^m-1个符号或者m(2m-1)比特
信息段：k个符号或者mk个比特
监督段：2t=n-k个符号2mt=m(n-k)个比特
最小码距：d min=n-k+1个符号或者md min=m(n-k+1)
例如，对RS（204,188）码来说，源数据被分割为188个符号为一组，经过编码变换后，成为204个符号长度的码字。
长度为16个符号的监督为可以纠正码字中出现的最多8个符号错误。
RS编码的框图如图所示：
RS编码器的结构
RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，并且使得对每个信息段计算得到的码字多项式都是g(x)的倍式，即使得码字多项式除以g(x)的余式为0。
这样，如果接收到的码字多项式除以g(x)的余式不是0，则知道接收码字的余式存在错误；而且通过进一步可以纠正最多t=(n-k)/2个错误。
RS码生成多项式一般按照如下公式选择，即
g(x)=(x-a)(x-a2)(x-a3)···(x-a2t-1)(x-a2t)
式中，a i是GF(2m)中的一个元素。
如果用d(x)表示信息段多项式，则可以按照如下方法构造码字多项式c(x)。
首先计算商式h(x)和余式r(x)，得
x n-k d(x)/ g(x)= h(x) g(x)+ r(x)
取余式r(x)作为校验字，然后令
c(x)=x n-k d(x)+r(x)
即将信息位放置于码字的前半部分，监督位码字放在后半部分，则
c(x)/g(x)= x n-k d(x)/ g(x)+r(x)/g(x)
=h(x)g(x)+r(x)+r(x)= h(x)g(x)
因此，码字多项式c(x)，必可以被生成多项式g(x)整除。
如果在接收端检测不到余式为0，则可判断接收到的码字有错误。
由于这种RS能纠正t个m进制的错误码字，所以，RS码特别适用于突发错误的信道
以RS（7,3）码为例介绍RS码的编码过程。
RS（7,3）码利用3个信息符号得到长度为7的编码，码元符号取自GF（23）.即m=3。
域GF（23）的本原多项式为a3+a+1，RS码的生成多项式为g(x)=x4+3x3+x2+2x+3。
假如输入符号为[4 0 6]，则信息多项式d(x)=4x2+6。
生成码字的过程如下：
(1)由于码元符号取自域GF（23），所以一个符号可以由3比特表示，x4d(x)的二进制比特表示为[100 000 110 000 000 000 000]；
(2)g(x)的二进制比特表示为[001 011 001 010 011]；
(3)计算x n-k d(x)/ g(x)得到的余式r(x)的二进制比特表示为[100 010 010 000]，因此校验位为[4 2 2 0]；
(4)生成的码字即为[4 0 6 4 2 2 0].
1.2RS译码
RS码的译码算法是从BCH码的译码算法演变而来的。
与编码算法相比，译码算法比较复杂，需要的运算量也比较大。
其中，比较有代表性的算法是Berlekamp-Messay算法(简称BM算法)和Euclid算法。
在这两种算法的基础上，后来又派生出了一些修正算法或陕速算法。
RS码的译码可以按照下面的步骤来进行:
1.由接收多项式计算伴随式；
2.用BM算法或Euclid算法，由伴随式，求出错误位置多项式；
3.用Chien搜索法求伴随式的根，其倒数为错误位置数;
4.计算错误值；
5.接收多项式减去错误多项式，完成纠错。
如图所示
RS译码器原理框图
译码最关键和最复杂的一个步骤是求出错位置多项式，求取关键方程组的常用算法Berlekamp-Massey算法、Euclid算法。
以下是BM的算法流程。