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2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷08

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2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题(解析)

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题(解析)

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题一、单选题1．已知集合P x1x4，Q x2x3，则P Q（）A．x1x2【答案】B【分析】直接计算交集得到答案.【详解】因为P x1x4，Q x2x3，所以P Q x2x3，故选：B.2．命题“x1，x21”的否定形式是（）A．x1，x21C．x1，x21【答案】B【分析】全称命题的否定是特称命题【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.对“x1，x21”的否定形式是“x1，x21”.故选：B3．已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC BD”的（）A．充分不必要条件C．必要不充分条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件的定义对命题进行判断即可.【详解】若四边形ABCD为菱形，则AC BD；反之，若AC BD，则四边形ABCD不一定是菱形．故为充分不必要条件.故选：A．4．设z3 A．22i，则z的共轭复数的虚部为（）1iB．x2x3C．x3x4D．x1x4B．x1，x21D．x1，x21B．充要条件D．既不充分也不必要条件3B．i23C．23D．i2【答案】C【分析】先对复数z2i化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部1i【详解】因为z13i ，222i 2i 1i 13i 13i ，1i1i 1i222所以z3所以z 的虚部为，2故选：C 5．已知a 3，b2，若a b3，则a 与b 夹角的大小为（）A ．30°C ．120°【答案】C【分析】根据向量夹角公式直接计算即可.B ．60°D ．150°【详解】解：因为a3，b2，a b3,所以cos a,ba b a b31,322因为a,b 0,180，所以a,b 120.故选：C2ππx 6．函数y sinx ，的值域是（）.36A ．[1,1]【答案】B1B ．,1213C ．,223D ．,12【分析】判断y sinx 在确定值域；【详解】π2πx 上的单调性，确定y sinx 的最大值和最小值，从而63y sinxy sin x 在0，上单调递增，在，上单调递减22π2πy sin x 在，上单调递增，在，上单调递减x 636223当x=ymin时y sinx 取最大值y maxsin1222123sin ,sin 当x=时y sinx 取最大值sin =且sin =，3666232ymin sin 6122ππ1x ,1函数y sinx ，的值域是326故选：B 7．函数y 112x的定义域为（）1B ．,21C ．,21D ．,21A ．,2【答案】B【分析】由根式内部的代数式大于等于0及分母不等于0，列出不等式，即可求解.【详解】要使函数y 所以函数y 故选：B.1112x有意义，则12x 0，解得x1.21的定义域为,.12x2x 24,x 08．已知函数f(x)，则f[f(0)]（）x 4,x 0A ．1【答案】B【分析】带入数据计算得到f 04，再计算得到答案.B ．0C ．1D ．2x 24,x 0【详解】f(x)，故f 04，f[f(0)]f 4440.x 4,x 0故选：B.9．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球【答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A 错误；对于B ，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B 正确；对于C ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件B ．恰好有一个白球与都是红球D ．至少有一个白球与至少一个红球不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.10．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则N为（）A．16B．20C．24D．28【答案】D【分析】根据分层抽样的知识列方程，由此求得N的值.【详解】依题意165616N5642N985628.故选：D11．将函数y sin2x的图象向左平移4个单位后，所得图象对应的函数是（）A．y sin(2x2)B．y sin(2x4)C．y sin(2x2)D．y sin(2x4)【答案】C【分析】根据函数平移的原则即可求出.【详解】将函数y sin2x的图象向左平移4个单位后，可得y sin2x4sin2x2.故选：C.12．设a log54，b log53，c0.50.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b 【答案】B【分析】利用指数、对数函数的性质判断指对数式的大小.【详解】c0.50.21a log54b lo g53，即b a c.故选：B13．设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平而，下列命题正确的是（A．若m//,m//，则//B．若m//n,m//，则n//）C ．若m //n,m ，则nD ．若n ,n，则【答案】C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．【详解】解：对于A ，若m //,m //，则,相交或平行，故A 错误；对于B ，若m//n ,m //，则n //或n ，故B 错误；对于C ，若m //n,m ，则n，故C 正确；对于D ，若n ,n，则∕∕，故D 错误.故选：C.14．函数f x sin 2x的最小正周期是（）6A ．2B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】根据三角函数最小正周期的计算方法，即可求解.【详解】由题意，函数f xsin 2x，6根据正弦型函数的周期的计算方法，可得f x 最小正周期为T 故选：B.15．下列说法正确的是（）A ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线B ．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C ．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直D ．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面【答案】B【分析】根据圆锥、圆台和棱台的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A 错误；根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B 正确；由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C 错误；由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D 错误．故选：B.16．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积2.2为（）A ．14π【答案】A【分析】先求出长方体的外接球半径，进一步求出球的表面积．2，1，【详解】长方体的长，宽，高分别为3，设外接球的半径为R ，则(2R )212223214，解得R 14，2142)14．2B ．28πC ．42πD ．56π所以S球4(故选：A ．17．已知向量a 1,m ，b3,1，且2a b b ，则m（）A ．2【答案】A【分析】先求出2a b 的坐标，然后由2a b b ，可得2a b b 0，从而可求出m的值【详解】因为a 1,m ，b 3,1，所以2a b 2(1,m )(3,1)(1,2m1)，因为2a b b ，所以2a b b3(2m1)0，解得m 2，故选：A18．某人从出发点A 向正东走xm 后到B ，然后向左转150°再向前走3m 到C ，测得ABC 的面积为A ．3m 【答案】D【分析】由题意可得ABC 30，再由ABC 的面积为利用余弦定理求出AC 即可【详解】如图，由题意可得ABC 30，因为ABC 的面积为所以SB ．4C ．2D ．4332m ，此人这时离出发点的距离为（）4B ．2mC ．23mD ．3m332m ，求出AB 的长，然后4332m ，BC 3m ，ABxm ，4ABC 1333，解得x 3，AB BC sin ABCx 244由余弦定理得AC2AB2BC22AB BC cos ABC3923333，2所以AC3m，故选：D19．函数f x2lnx x6的零点所在区间为（）A．1,2【答案】C【分析】结合f x的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.【详解】f x在0,上递增，B．2,3C．3,4D．4,5f32ln33ln9lne30，f42ln422ln412ln4lne0，f3f40，所以f x的唯一零点在区间3,4.故选：Cx22x2,x020．设函数f(x)，则函数y f(x)1的零点个数为（）lgx,x0A．1个【答案】B【分析】由已知函数f(x)的解析式作出图象，把函数y f(x)1的零点转化为函数f(x)与y1的交点得答案．B．2个C．3个D．0个x22x2,x0【详解】由函数解析式f(x)lgx,x0由图可知，函数y f(x)1的零点的个数为2个．故选：B ．二、填空题21．已知x 1，求函数yx【答案】2【分析】由x1，得x 10，利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为x 1，所以x 10，1111x 12x 12，x 1x 1x 11当且仅当x 1，即x 0时，取等号.x 111的最小值是______．x 1则yx故答案为：2.22．在锐角ABC 中，a 2b 2c 22bc ，则角A 的大小为___________.【答案】4【分析】利用余弦定理表示出cosC ，把已知等式代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数.【详解】解：由a 2b 2c 22bc ，得b 2c 2a 22bc ，b 2c 2a 22bc 2由余弦定理：cosA，2bc2bc2又因为A 为锐角三角形的内角，所以A4，故答案为：.4223．已知函数f x x 2a 1x 3，在区间1,4上不单调，则实数a 的取值范围是___________．39【答案】,22【分析】由二次函数的单调性求解.2【详解】函数f x x2a1x3对称轴为x 2a1，2因为函数在区间1,4上不单调，2a14，239解得a，22所以139所以实数a的取值范围是,，2239故答案为：,2224．在三棱锥A BCD中，若平面ABC平面BCD，BD CD且BD CD.则直线CD 与平面ABC所成角的大小为_____________.【答案】；4【分析】过D作DO BC，交BC于O，推导出O是BC中点，且DO平面ABC，从而直线CD与平面ABC所成角为DCB，由此能求出直线CD与平面ABC所成角的大小．【详解】过D作DO BC，交BC于O，∵在三棱锥A BCD中，平面ABC平面BCD，BD CD且BD CD，∴△BCD为等腰直角三角形，O是BC中点，且DO平面ABC，∴直线CD与平面ABC所成角为DCB，∵在等腰直角三角形△BCD中DCB4，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为故答案为：．4．4【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则C与D相邻的概率为___________.【答案】【分析】先计算B，C，D三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“C与D不相邻”的情况，利用古典概型的概率公式，即得解3【详解】B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有A36种等可能情况，23要使C与D不相邻，则B必坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，所以根据古典概型求概率公式可知C与D相邻的概率为故答案为：三、解答题26．已知函数f x x 9，x1,6 x2 3622. 63（1）判断并用定义证明f x的单调性；（2）求f x的值域.9【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）8,.2【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤：取点、作差、判号；（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函数的值域.【详解】（1）f x为增函数，证明如下：x 1x2，x1,x21,6，f x1f x2x1x29x1x2x1x29x1x299x1x2x2x1x1x2x1x2因为x1x2x1x20，x1x2f x1f x2x1x29x1x20x1x2可得：f x1f x2所以f x在x1,6上为增函数.（2）由第一问可知该函数在x1,6上为增函数，则当x1，f x有最小值，当x6，f x有最大值.因为f18，f(6)99，所以函数f x值域为8,.2227．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝1，E，F分别是PB，AC的中点．(1)证明：EF//平面PCD；(2)求三棱锥E ABF的体积．【答案】(1)证明见解析(2)124【分析】（1）利用中位线定理即可证明EF//P D，从而得出EF//平面PCD；（2）计算E到平面ABCD的距离和三角形ABF的面积，代入棱锥的体积公式计算．(1)证明：四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，B，F，D三点共线，且F是BD的中点，又E是PB的中点，EF//P D，又EF平面PCD，PD平面PCD，EF//平面PCD．(2)解：PA平面ABCD ，E 是PB 的中点，E 到平面ABCD 的距离为11PA，22ABF四边形ABCD 是正方形，AB 1，S11S正方形ABCD ，441．24三棱锥EABF 的体积为：VE ABF11132428．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h ），可以把这批电子元件分成第一组100,200，第二组200,300，第三组300,400，第四组400,500，第五组500,600，第六组600,700.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：使用寿命频数频率100,200200,30030300,4000.2400,5000.4500,60020600,700(1)求图2中A 的值；(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于400,600内的产品中抽取5个作为样本，那么在400,500内应抽取多少个？【答案】(1)0.001(2)频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为0.5(3)4【分析】（1）根据题意得到0.1A 100，解得答案.（2）补全表格，画出频率分布直方图并计算面积得到答案.（3）根据分层抽样的比例关系得到答案.(1)由题意可知0.1A 100，所以A 0.001.(2)使用寿命频数频率补全后的频率分布直方图如图所示，100,200200.1200,300300.15300,400400.2400,500800.4500,600200.1600,700100.05阴影部分的面积为0.0041000.0011000.5.(3)由分层抽样的性质，知在400,500内应抽取50.44.0.40.1。

2021年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷及参考答案

2021年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷及参考答案

姓名考生号（在此卷上答题无效）机密2021年6月21日启用前2021年福建省普通高中学业水平合格性考试模拟卷数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差锥体体积公式Sh V 31=，])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数球的表面积公式24R S π=，柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高球的体积公式334R V π=，台体体积公式h S S S S V )(31+'+'=，其中R 为球的半径其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高第Ⅰ卷（选择题45分）一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分．每小题只有一个选项符合题意）1．若集合{}4,2,0=A ，{}2,1=B ，则=B A A．{}4,2,1,0B．{}4,2,1C．{}2D．φ2．右图是一个圆柱的侧面水平放置时的三视图，则该圆柱底面圆的半径长是A．3B．5.1C．2D．13．若三个数3，6，m 成等差数列，则实数=m A．2B．3C．9D．124．一组数据1，2，5，7，7，8的中位数是A．7B．6C．5D．25．如图，CD AB ,是圆O 的两条互相垂直的直径，在圆内随机撒一粒小黄豆，则它落在阴影部分的概率是A．43B．41C．31D．216．函数x y 2sin =的最小正周期是A．1B．2C．πD．π232正视图俯视图左视图(第2题)(第5题)7．函数)1lg(-=x y 的定义域为A．),0(∞+B．),1(∞+C．)1,(-∞D．),1()1,(∞+-∞ 8．不等式022≥+-y x 表示的平面区域是A．B．C．D．9．已知直线1l :12+-=x y ，2l :2-=kx y ，且21l l ⊥，则实数=k A．1-B．2-C．21D．110．化简MP MN PQ -+=A．M Q B．N Q C．Q P D．Q N 11．不等式22x x ≤的解集是A．{}0x x ≤B．{}2x x ≤C．{}02x x ≤≤D．{0x x ≤，或}2x ≥12．化简tan(2)πα-=A．tan α-B．tan αC．sin α-D．cos α13．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是A．1y x =-+B．1y x=-C．1y x =D．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭14．已知4log 3a =，0.5log 3b =，213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A．c a b <<B．c b a <<C．b a c <<D．b c a<<15．函数⎩⎨⎧≥<+=1211)(x x x x f x ，，，的图象大致为A．B．C．D．00x1O1Oy 11x1Ox1y Oy 11xy第Ⅱ卷（非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）16．已知向量(31)(01)a b ==-，，，，则a b +=．17．执行右边的程序框图，当输入x 的值为2-时，则输出y 的值是．18．函数])123[)(2lg()(，∈-=x x x f 的最大值是．19．函数3()f x x x =-的零点个数为．20．设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ，，，若6=a ，2=c ，41cos =A ，则=b ．三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分)已知1312cos =α，α是第一象限角．（Ⅰ）求αsin 的值；（Ⅱ）求)4sin(απ-的值．22．（本小题满分8分)如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，BC AD //，2==DC AD ，4==BC PA ,且090=∠BCD ．（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -的体积；（Ⅱ）若N 为PC 的中点，则DN 与平面PAB 的位置关系是．在下面三个中选取一个序号补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并给予证明.①DN ⊂平面PAB ；②//DN 平面PAB ；③DN 与平面PAB 相交．(第17题)PABCDN23．（本小题满分8分)新冠病毒“德尔塔”（Delta ）变异毒株传染性比普通株高很多。

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}22.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.26.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.17110.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π213.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A.3π2 B.3π4C.3πD.12π14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．17.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.18.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.19.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC A B C -的体积.23.已知函数2()31xf x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}2【答案】D【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{2}A B = ，故选：D2.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=【答案】C【分析】将等式合并计算结果,求出,a b 即可.【详解】解:由题知()()1i 23i 32i i a b ++-=-=+,,a b ∈R ,3,2a b ∴==-.故选:C 3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则3cos 5α===-.故选：D4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】解：由()20x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为()0,2.故选：B5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于a b ⊥，所以1120,2a b m m ⋅=-+== .故选：A6.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项.【详解】若1x >可以得出0x >，但0x >得不出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件，故选：A7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】C【分析】A.利用两直线的位置关系判断；B.利用两平面的位置关系判断；C.利用线面垂直的性质定理判断；D.利用两平面的位置关系判断.【详解】A.平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；B.平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；C.由线面垂直的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；D.垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；故选：C8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于B ，函数R u v v ==∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C ，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.10.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】()112121222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,∞+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ⋅<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得=sin sin BC AC A B，即sin 32B =，解得sin B =由于BC AC >，所以π3B <为锐角，所以π4B =.故选：B13.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（） A.3π2B.3π4C.3πD.12π【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.，所以球的直径322R R ==，所以球的表面积为24π3πR =.故选：C14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.a b c>>【答案】D【分析】根据对数函数在同一坐标系中作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象，结合图象即可比较函数值大小.【详解】解：如下图，作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象由图可知，当2x =时，345log 2log 2log 2>>，即a b c >>.故选：D.15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．【答案】4【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=，当且仅当4,2x x x==时等号成立.故答案为：417.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：9818.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】13【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1319.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）【答案】偏胖【分析】根据题意得到身高为175cm 的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.【详解】由题意得身高为175cm 的未成年男性平均体重为()51753521.022 1.0264⨯=⨯≈kg ，而641.276.878⨯=<，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】（1）π（2）()f x ，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x 的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】（1）()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .（2）310【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【小问1详解】试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .【小问2详解】抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310p =.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC AB C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由1AA ⊥平面ABC 可得1AA AB ⊥，勾股定理可证AC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可证结论.(2)由异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求出1AA ，再由体积公式计算三棱柱111ABC AB C -的体积.【小问1详解】1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，有1AA AB ⊥.AB =3，AC =4，BC =5，有222AB AC BC +=，由勾股定理得AC AB ⊥.1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴AB ⊥平面11ACC A 【小问2详解】由11//BB AA ，异面直线1BB 与1AC 所成的角即为1∠AA C ，130AA C ∠= ，又1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1AA AC ⊥，则1tan 30AC AA = ，得1AA =1134622ABC S AB AC =⋅=⨯⨯=△，所以三棱柱111ABC A B C -的体积16ABC V S AA =⋅=⨯= .23.已知函数2()31x f x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，然后计算12()()f x f x -，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a 的值.【小问1详解】证明：设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，则211212*********(33)()()31313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x a a --=+--=-=------，因为12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，所以2121330,310,310x x x x -<-<-<，则21122(33)0(31)(31)x x x x -<--，也即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，又因为12x x >，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，【小问2详解】要使函数2()31x f x a =+-有意义，则有310x -≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，若函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即22223031313113xx x x xa a a a -⋅+++=+++=----，解得：1a =，所以实数a 的值为1.。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)10

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2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（10）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2,0,2}，则A∪B＝()A．{0,2}B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}【解析】A∪B＝{－2,0,2,4}．2．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．3．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝()A．(3,1)B．(－3,7)C．(3，－7) D．(1，－1)【解析】a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．4．等差数列{a n}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝()A．7 B．8C．9 D．10【解析】公差为d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.5．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π5.C 【解析】由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π. 6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝cos xC ．yD ．y ＝－x 2【解析】函数y ＝－x 是奇函数，y ＝cos x 在(0，＋∞)上不具有单调性，y 在(0，＋∞)上单调递增、但不是偶函数，y ＝－x 2在(0，＋∞)上单调递减，故选D ．7．不等式x 2－9<0的解集为( )A ．{x |x <－3}B ．{x |x <3}C ．{x |x <－3或>3}D ．{x |－3<x <3}【解析】x 2－9<0，x 2<9，－3<x <3.8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 【解析】这组数据的平均数x －＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s 2＝16[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s ＝2. 9．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运动员的成绩好于乙运动员B ．乙运动员的成绩好于甲运动员C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D ．甲运动员的最低得分为0分9．A 【解析】由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2【解析】在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 11．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ）A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年11．D 【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项， 则70÷10＝7，则2019的天干为己，70÷12＝5余10，则2019的地支为亥，故选：D ．12．已知圆C 与y 轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x ＋5)2＋(y －5)2＝25C ．(x －5)2＋(y －5)2＝5或(x ＋5)2＋(y －5)2＝5D ．(x －5)2＋(y －5)2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25【解析】(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，r ＝5，又和y 轴相切于点(0,5)，a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝5，则方程为(x －5)2＋(y －5)2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.13．将函数y ＝cos x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为πB ．y ＝f (x )是偶函数C ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称D ．y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 【解析】将函数y ＝cos x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x 的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A ，B ，C 错误，D 正确．故选D ．14．求值：sin 45° cos15°＋cos 45°sin 15°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32【解析】sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32. 15．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( )A ．6B ．42C ．2 2D ．8【解析】∵2a >0,2b >0，a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝4 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．计算：log 21＋log 24＝___________．16．2 【解析】原式＝log 21＋log 222＝log 21＋2log 22＝0＋2×1＝2.17．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，则cos α＝___________．17．45 【解析】r，cos α＝x r ＝45. 18．已知直线l 1：ax ＋y －3＝0和直线l 2：3x －2y ＋3＝0垂直，则a ＝___________．18．23 【解析】由题意可知32×(－a )＝－1，∴a ＝23. 19．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则f (f (2))的值为___________． 19.2 【解析】f (f (2))＝f (log 3(22－1))＝f (1)＝2e 1－1＝2.三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)如图，三棱锥P ­ABC 中，P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，P A ＝PB ＝PC ＝2，E 是AC 的中点，点F 在线段PC 上．(1)证明：PB ⊥AC ；(2)若P A ∥平面BEF ，求四棱锥B ­APFE 的体积．(参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是底面积，h 是高．) 20. 【解析】(1)∵P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ∩P A ＝P ，∴PB ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴PB ⊥AC ．(2)∵P A ∥平面BEF ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝EF ，∴EF ∥P A ，∴四边形P AEF 为梯形，又∵P A ⊥PC ，∴四边形P AEF 为直角梯形，又∵E 是AC 的中点，∴F 为PC 的中点，∴PF ＝12PC ＝1，EF ＝12P A ＝1，∴直角梯形APFE 的面积S ＝AP ＋EF 2×PF ＝32. 由(1)知PB ⊥平面APFE . ∴四棱锥B ­APFE 的体积V ＝13S ·PB ＝1. 21．(12分)某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：(2)人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．21. 【解析】 (1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t 1、t 2，则t 1＝20×5＋25×10＋10×15＋5×2060＝10(小时)， t 2＝8×4＋16×8＋20×12＋16×1660(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：630×10＝2， 来自乙组的人数为：630×20＝4， 记来自甲组的2人为：a 、b ；来自乙组的4人为：c 、d 、e 、f ，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a ，b )，(a ，c ) ，(a ，d ) ，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f)，共9种，故所求的概率P＝915＝3 5.22．(12分)已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N*)．(1)证明数列{1a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；(2)记S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1，求S n.22. 【解析】(1)由已知，得a n＋1＝a n3a n＋1.∴1a n＋1＝1a n＋3.即1a n＋1－1a n＝3.∴数列{1a n}是首项1a1＝1，公差d＝3的等差数列．∴1a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴a n＝13n－2(n∈N*).(2)∵a n a n＋1＝13n－23n＋1＝13(13n－2－13n＋1)，∴S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n－2－13n＋1)]＝13(1－13n＋1)＝n3n＋1.。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07

2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2021年高中学业水平测试数学试卷(包含答案,让你百分百过)

2021年高中学业水平测试数学试卷(包含答案,让你百分百过)

2021年高中学业水平测试数学试卷(包含答案,让你百分百过) 高中学业水平测试数学试卷（四）一、选择题（本大题共30个小题，每小题2分，共60分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．请将正确答案的填在表格中。

1．设集合A ={0，1，2，4，5，7}，集合B ={1，3，6，8，9}，集合C={3，7，9}，则集合（A ∩B ）∪C 等于A ．{0，1，2，6，9}B ．{3，7，9}C ．{1，3，7，9}D ．{3，6，7，9} 2．下列各组函数中，表示相同函数的是 A ．xxy =与1=y B ．x y =与2)(x y = C ．2+=x y 与2 42--=x x y D ．||x y =与2x y =3．已知几何体的三视图如右图，则该几何体为（）A.正三棱柱B.三棱锥C.长方体D.三棱台4．已知函数y =x 2，那么它的反函数为（）A. y=x 2log （x>0）B. yx 2= C. y=2log x D. y x 2= 5．已知53cos =α，则α2cos 等于 A ．257 B ．257- C ．2516 D ．2516- 6．函数x y 2sin 4=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 7．抛物线y x 62 =的准线方程为( )23.-=y A 3.-=y B 23.=x C 3.=x D8．在空间下列命题中正确的是A ．同平行于同一个平面的两条直线平行B ．垂直于同始终线的两条直线平行A B 1C 正视图侧视图俯视图C. 平行于同始终线的两条直线平行 D ．与同一个平面成等角的两条直线平行 9．“两条直线a 、b 为异面直线”是“直线a 、b 不相交”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．将x y sin =的图象上全部点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，则得到的图象解析式为A ．)32sin(π+=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)32sin(π+=x y 11．假如直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0相互垂直，那么a 的值等于 A ．1B ．31- C ．32-D ．-2 12．复数ii z 1+=（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i13．在△ABC 中，已知a=4，A=45°B=60°则b 等于 A ． 364 B ．22 C ．32 D ．6214．直线043=+y x 与圆9)4()3(22=-++y x 的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且通过圆心 15．等轴双曲线122=-y x 的渐近线方程为（）x y A ±=. x y B =.xy C 21.±= x yD -=.16．已知向量a=（1，2），b=（-4，x ），且a ⊥b ，则x 的值是 A ．-8 B ．-2 C ．2 D ．817．已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成的角等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．70° 18．cos3000的值等于 A ．21 B ．-21 C ．23 D ．-2319．设a=0.7-0.1 b=0.7-0.2 c=log 30.7则下列结果正确的是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ． b ＜a ＜c20．若偶函数)(x f y =在]1,(--∞上是增函数，则下列各式成立的是 A ．)2()2(->f fB ．)3()2(f f >-C ．)()3(πf f 6 B.-3625.x,y满意约束条件 ??-≥≤+≤11y y x xy ，则目标函数z=2x+y 的最大值为（）A.3B.1.5C.-3D.026.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥的两个大事是.?A.至少有1个白球与都是白球B.至少有1个白球与至少有1个红球C.恰有1个红球与恰有1白球D.至少有1个白球与都是红球 27.若直线倾斜角是 45，且过点)2,1(，则其方程为（）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD.03=--y x28.某校有老师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样的方法从全部师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女生中抽取的人数为80人，则n=( ) A.192 B.200 C.33 D.24029.关于命题“矩形的对角线相等”的逆命题，否命题，逆否命题，下列说法正确的是（）A.逆命题真B.否命题真C.逆否命题假D.逆否命题真30.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正弦值为（）A.23 B.21 C.22 D.33二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，共12分）请将答案填在题中横线上 31．45与80的等比中项是32．已知一个球的半径R=3cm ，那么它的体积是 cm 333．过点P (－2,2) 和Q (－2,4)的直线的倾斜角为 34．函数)34(log 5.0-=x y 的定义域是35．已知双曲线 12222=-by a x 离心率 45=e ，实半轴长为4，则双曲线方程为36．已知→a =4，→b =3，且→→⊥b a ，则??- +→→→→b a b a 2=三、解答题（本大题共4个小题，共28分） 37．（本小题满分6分）已知等差数列{n a }中， 3a =9, 9a =3，求⑴1a 和公差d ；⑵前15项的和S 15。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)08

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)08

2021年广东省普通高中学业水平考试 数学科合格性考试模拟题（08）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．41．C 解析：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2．2．下列函数中，与函数y ＝1x 定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2D ．y ＝ln x 解析：函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D ．3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面3．D 解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．4． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A ．62 B ．32C ．54D ．1＋344．C 解析：原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54. 5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3. 6．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3＞b 3B ．1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜06．D 解析：由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b －a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A ．9．三个数a 2，b ＝log 2c ＝2之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A ． 12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5解析：r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8B ．m >8C ．m ≤8D ．m <8解析：x ＋4x －4＝⎝⎛⎭⎫x －4＋4x －4＋4≥424)44x x -⋅+-（＝8，故m ≤8.14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )C ．85,4解析：平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．16．43π解析：设正方体的棱长为a ，则由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 17．函数f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是________．17．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间．∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．18．25解析：基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25. 19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为________．19．6解析：记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比21=q 的等比数列，S 6=378，S 6=211)211(61--a =378∴ a 1=192，a 6=192×521=6. 三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0，(1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状．20．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B得a sin B ＝b sin A ≠0， 又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝⎛⎭⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值， ∴△ABC 是直角三角形．21．(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ；(2)平面PDC ⊥平面P AD ．21．证明 (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB ．又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ．而P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD ．22．(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．.解：（1）设()v x ax b =+，当420x ≤≤时，由题意得：200a b +=，又因为42a b +=，解得18a =-，52b =， 函数()v x 的表达式为2,04,()15,420,.82x x N v x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）22,04,()15,420,.82x x x N f x x vx x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⋅=⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时，max ()(4)8f x f ==；当420x ≤≤时，max 5252()()(10)122()8f x f f =-==⨯-. 综上所述，鱼的年生长量()f x 的最大值为252。

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷(含解析)

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷(含解析)

2021年广东省普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷01（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不．正确的是()A．a－d＞b－c B.ad＞bcC．a＋d＞b＋c D．ac＞bd1．【答案】C【解析】可利用不等式的基本性质一一验证．由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d＞1c＞0，又a＞b＞0，所以ad＞bc，即B正确；显然D正确．2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}2. 【答案】C【解析】借助数轴可得{x|2＜x＜3}．3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．13. 【答案】C【解析】函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.4．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b4. 【答案】D【解析】 a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 5．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 5. 【答案】B【解析】等差数列中，设S 2＝a 1＋a 2＝x ，则a 3＋a 4＝S 4－S 2＝4－x ，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.6．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2 B ．2－2 C.2－1D.2＋16．【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式知d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)7. 【答案】B【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C ．59 D ．538. 【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2kα＋α2＜α＜2kα＋34α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.1129．【答案】A【解析】随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求答案为A.10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 10. 【答案】B【解析】作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x ＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B.11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( ) A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－3 11. 【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．π4B ．π－22C ．π6 D ．4－π412. 【答案】D【解析】如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2 D ．T ＝2π，M ＝213. 【答案】A【解析】由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 14. 【答案】C【解析】∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5 15. 【答案】A【解析】一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．16. 【答案】15【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．17. 【答案】1.76【解析】由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．18．【答案】6766升【解析】设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升．19．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 19. 【答案】4【解析】∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.三、解答题(本大题共3个题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．20.解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4. (2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)已知四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 是P A 的中点．求证：(1)PC ∥平面EBD ； (2)平面PBC ⊥平面PCD ．21.证明：(1)连接AC 交BD 与O ，连接EO ，∵E ，O 分别为P A ，AC 的中点， ∴EO ∥PC .∵PC ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD . (2)∵PD ⊥平面ABCD BC ⊂平面ABCD ∴PD ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴BC ⊥CD 又∵PD ∩CD ＝D ∴BC ⊥平面PCD ∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PCD .22．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．22．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)．1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n}的前n 项和为－2n n ＋1.。

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题(解析版)

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题(解析版)

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题一、单选题 1．已知复数11i=+，则z 的虚部为（ ） A ．1i 2B ．1i 2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】根据复数的除法运算求出z ,即可得到其虚部. 【详解】11i 11i 1i (1i)(1i)22z -===-++-, 故虚部为12-，故选：D2．命题“()1,x ∀∈+∞，220x x +->”的否定为（ ） A ．()1,x ∀∈+∞，220x x +-≤ B ．(1,)x ∀∉+∞，220x x +-≤ C ．()1,x ∃∈+∞，220x x +-< D ．()1,x ∃∈+∞，220x x +-≤【答案】D【分析】利用全程命题的否定形式，即可判断选项.【详解】命题“()1,x ∀∈+∞，220x x +->”为全称量词命题，则命题的否定为()1,x ∃∈+∞，220x x +-≤，故选：D.3．已知集合{}3,2,1,2A =--，{}2560B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}3,2--D ．{}3,2,1--【答案】D【分析】由集合B 的描述求集合，应用集合的交集运算求A B .【详解】解：由2560x x +-≤得()()610x x +-≤，解得61x -≤≤，所以[]6,1B =-， 又{}3,2,1,2A =--，所以{}3,2,1A B =--， 故选：D4．已知两个单位向量a 与b 的夹角为θ，则“60θ=︒”是“12a b ⋅=”的（ ） A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：若60θ=︒,则由a 、b 是单位向量可知11cos601122a b a b =⨯⨯︒=⨯⨯=，即充分性得证； 必要性：若12a b ⋅=,则1cos 2a b a b θ=⨯⨯=由a 、b 是单位向量可知1cos 2θ=，因为0180θ︒≤≤︒,所以60θ=︒,必要性得证.所以“60θ=︒”是“12a b ⋅=”的充分必要条件. 故选：A 5．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．a b ab +< B ．a b > C ．22a b > D ．2ab b <【答案】C【分析】结合不等式的性质确定正确选项. 【详解】由11a b<<0，得b <a <0，故B 项正确；∴a 2<b 2，ab <b 2，故C 项不正确，D 项正确；∵a +b <0，ab >0，∴a +b <ab ，故A 项正确. 故选：C6．若角α的终边经过点()1,3P -，则tan a 的值为（ ）A ．13-B ．3-C ．D 【答案】B【分析】根据正切函数的定义可得选项.【详解】解：∵角α的终边经过点()1,3P -，∴tan 3α=-. 故选：B.7．已知sin cos αα+=ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=( )A B ．C ．D ．12【答案】B【分析】结合已知条件，对sin cos αα+=12sin cos 4αα=，然后对cos sin αα-平方求值，结合α的范围即可求解.【详解】∵()215s 2in cos sin cos 4αααα=++=，∴12sin cos 4αα=，∵()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=， ∴3cos sin 2αα-=±， 又∵ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0cos sin αα<<，即3cos sin 2αα-=-. 故选：B.8．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人､高二680人､高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( ) A ．15，16，19 B ．15，17，18 C ．14，17，19 D ．14，16，20【答案】B【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.【详解】由题意可知，三个年级共有6006807202000++=(人)， 则高一抽取的人数为60050=152000⨯， 高二抽取的人数为68050172000⨯=， 高三抽取的人数为72050182000⨯=. 故选：B.9．在同一个坐标系下，函数2x y =与函数12log y x =的图象都正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的单调性判断函数图象． 【详解】解：指数函数2x y =是增函数，对数函数12log y x=是减函数，故选：A.10．若函数()4sin()(0)3f x x πωω=->的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．0x =C ．6x π=-D ．23x π=【答案】A【分析】由函数的最小正周期为π，可得2ω=，令2,32x k k Z πππ-=+∈，分析即得解【详解】由题意，函数()4sin()(0)3f x x πωω=->的最小正周期为π，故22T ππωω==∴=即()4sin(2)3f x x π=-令2,32x k k Z πππ-=+∈即5,122k x k Z ππ=+∈ 令1k =-，可得12x π=-，故A 正确；BCD 选项中，不存在k Z ∈与之对应，故错误 故选：A11．若函数()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数，又()20f -=，则()0xf x >解集是（ ） A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),20,2-∞- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-【答案】C【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以有()0(2)2f f =-=-，因为奇函数()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以该函数在(0,)+∞上也是增函数， 当0x >时，由()0()0(2)2xf x f x f x >⇒>=⇒>， 当0x <时，由()0()0(2)2xf x f x f x >⇒<=-⇒<-， 所以不等式的解集为()(),22,-∞-⋃+∞ 故选：C12．在ABC 中，2cos sin sin B A C =，则ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】利用()sin sin C A B =+化简可得()sin 0A B -=，即可判断. 【详解】()2cos sin sin sin sin cos cos sin B A C A B A B A B ==+=+，sin cos cos sin 0A B A B ∴-=，即()sin 0A B -=， (),0,A B π∈，0A B ∴-=，即A B =，所以ABC 一定是等腰三角形. 故选：C.13．函数()12020(1x f x a a +=+>，且1a ≠)恒过定点（ ）A ．()0,1B ．()0,2021C ．()1,2022-D ．(1,0)-【答案】C【分析】利用指数函数恒过()0,1点即可求解.【详解】当1x =-时， ()1120211202120221f a -+=+=+=-，所以函数恒过定点()1,2022-. 故选：C14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足::2:4:5a b c =，则sin cos sin A C B等于（ ） A ．12-B ．516-C ．516D ．532-【答案】D【分析】利用余弦定理可求cos C ，再结合正弦定理即得.【详解】因为::2:4:5a b c =，不妨设2,4,5(0)a k b k c k k ===>， 则2222222416255cos ,21616a b c k k k C ab k +-+-===- 所以sin cos 155sin 21632A CB ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭ 故选：D15．已知1a b ==，向量a 与b 的夹角为60︒，则34a b -=（ ）A ．5B ．19C ．32D ．13【答案】D【分析】由已知先求出a b ⋅，然后根据223492416a b a a b b -=-⋅+，代值即可求解. 【详解】∵1a b ==，向量a 与b 的夹角为60︒ ∴1cos602a b a b ⋅=︒= ∴()2223434924169121613a b a b a a b b -=-=-⋅+=-+=故选：D.16．某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，则取到卡片上的数字之和不小于6的概率是（ ）A ．35B ．45C ．1336D ．925【答案】B【分析】基本事件总数21045n C ==，利用列举法求出取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有9个，利用对立事件概率计算公式能求出取到卡片上的数字之和不小于6的概率.【详解】解：某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，基本事件总数21045n C ==，取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有：（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），共9个，则取到卡片上的数字之和不小于6的概率P =941455-=. 故选：B.17．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，下列结论正确的个数为（ ）①//OM 平面PBC ②//OM 平面PCD ③//OM 平面PDA ④//OM 平面PBA A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】证明//OM PD ，即可证明②③正确；M ∈平面PBC ，故①错误，M ∈平面PAB ，故④错误．【详解】对于①，M ∈平面PBC ，故①错误；对于②，由于O 为BD 的中点，M 为PB 的中点，则//OM PD ， OM ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，则//OM 平面PCD ，故②正确；对于③，由于//OM PD ，OM ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则//OM 平面PAD ，故③正确；对于④，由于M ∈平面PAB ，故④错误． 故选：B18．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（ ）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．不确定【答案】B【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有//,//HG EF EH FG ，即知EFGH 的形状.【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知//,//HG EF EH FG ， ∴EFGH 为平行四边形. 故选：B19．如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 【答案】C【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.【详解】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE . 故选：C20．已知函数11,2()(2)1,2x a x f x a x x -⎧+≥=⎨-+<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为该函数为增函数， 所以211420232(2)11a a a a a ->⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-+≤+⎩， 故选：A 二、填空题21．已知向量(2,1)a =-，(,)b m m =，若()a a b ⊥+，则实数m =_______. 【答案】5【分析】利用向量的加法求得a b +的坐标，再根据()a a b ⊥+，利用数量积运算求解. 【详解】因为向量(2,1)a =-，(,)b m m =，所以()2,1a b m m +=-+， 因为()a a b ⊥+，所以()()()22110m m -⨯-++⨯=， 解得5m =， 故答案为：522．已知0a >，0b >，且234a b +=，则ab 的最大值为______． 【答案】23【分析】利用基本不等式即可得到答案.【详解】因为,0a b >，所以234a b +=≥解得23ab ≤，当且仅当1a =，23b =时，等号成立． 故答案为：23.23．函数8,0()(2),0x f x x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，则()2⎡⎤-=⎣⎦f f __________．【答案】1【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可. 【详解】∵20-<，∴(2)2(22)8f -=-⨯--=，即()()28f f f -=⎡⎤⎣⎦， ∵80≥， ∴8(8)18f ==，即()()281f f f -==⎡⎤⎣⎦． 故答案为：1．24．在ABC 中，已知3C π=，若52CB CA ⋅=，则ABC 的面积为______．【分析】先由52CB CA ⋅=求出CB CA ，然后再利用三角形的面积公式可求得结果 【详解】解：因为3C π=，52CB CA ⋅=， 所以5cos 32CB CA π=，得5CB CA =，所以111sin 5sin 52232ABCSCB CA C π==⨯=⨯=，25．已知tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+的值是______． 【答案】8π3【分析】由题可得tan tan αβ+=tan tan 4αβ⋅=，根据两角和的正切公式即可求出.【详解】tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan tan αβ+=tan tan 4αβ⋅=，()π,3παβ+∈．∴tan α、tan β均大于零，故α、3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2π,3παβ+∈．∵()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-⋅∴2π8π2π33αβ+=+=， 故答案为：8π3． 三、解答题26．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的最小正周期是π. （1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心； （3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg x 的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值； （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又0>ω，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-. ∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. （3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭， 由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈. ∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.27．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，且P A ⊥面ABCD ，E ，F 分别是棱PB ，PC 的中点.求证：（1）EF //平面P AD ；（2）面PBD ⊥面P AC .【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）由E ，F 分别是棱PB ，PC 的中点.则//EF BC 且12EF BC =， 又底面ABCD 是菱形，//BC AD ∴，//EF AD ∴，又EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴ EF //平面P AD .（2）由P A ⊥面ABCD ，,AC BD 是平面ABCD 的对角线，PA BD ∴⊥，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，AC BD ∴⊥，PA AC A =，且,PA AC ⊂平面P AC ，BD ∴⊥平面P AC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以面PBD ⊥面P AC28．已知12()22xx b f x +-=+是定义在R 上的奇函数. (1)求b 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；(3)若()211()0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1b =；(2)单调递减函数，证明见解析；(3)()2,1a ∈-.【分析】(1)根据函数()f x 是R 上的奇函数，可知()()f x f x -=- ，把0x =代入，即可得到结果；(2)利用减函数的定义即可证明．(3)根据奇函数的性质，可得()211()0f a f a -+-<成立，等价于()2(11)f a f a -<-成立，再根据()f x 在R 上是减函数，可得211a a ->-，由此即可求出结果．【详解】(1)因为()f x 是奇函数，所以()10002b f a-+=⇒=+，解得1b =，(2)证明：由(1)可得：()1211122221x x x f x +-+==-++ ． 设12x x ∀< ，∴21220x x >>，则()()()()211212121122021212121x x x x x x f x f x --=-=>++++， ∴()()12f x f x >．∴()f x 在R 上是减函数．(3)∵函数()f x 是奇函数．∴()211()0f a f a -+-<成立，等价于()22()11()1f a f a f a =-<---成立，∵()f x 在R 上是减函数，∴211a a ->-，所以()2,1a ∈-.【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题．。

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷

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广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(一)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合A={x ∈R |2x-3≥0},集合B={x ∈R |x 2-3x+2<0},则A ∩B= ( )A.{x |x ≥32}B.{x |1<x <2}C.{x |32≤x <2} D.{x |32<x <2} 2.下列函数中,与函数y=√x定义域相同的函数为 ( )A .y=1x B .y=√xC .y=x -2D .y=ln x3.已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2),则直线AB 的斜率为 ( ) A.3 B.-2 C.2 D.不存在4.已知a=log 0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则 ( ) A .a>b>c B.a>c>b C .c>a>b D .c>b>a5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 5=9,S 2=4,则a 2= ( ) A.1 B.2 C.3 D.56.函数f (x )=(12)x -x+2的零点所在的一个区间是 ( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3)7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 ( ) A .√34πB .√33πC .√32πD .√3π8.已知向量a ,b ,|a |=2,b =(3,4),a 与b 的夹角等于30°,则a ·b 等于 ( )A .5B .103√3 C .5√2 D .5√39.为了得到函数y=cos 13x 的图象,只需要把y=cos x 图象上所有的点的 ( ) A .横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的13,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的13,横坐标不变10.在[-3,3]中取一实数赋值给a ,使得关于x 的方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根的概率为 ( ) A .16 B .14 C .13 D .12 11.计算sin 240°的值为 ( )A .-√32B .-12C .12D .√3212.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边长分别是2,3,4,则cos B 的值为 ( ) A.78 B.1116 C.14D.-1413.设x ,y 满足约束条件{x +1≥0,x -2x ≥0,x +x -3≤0,则z=x-y 的最大值为( ) A.3 B.1 C.-1 D.-514.函数f (x )=12-cos 2(π4-x )的单调增区间是 ( )A.[2x π-π2,2x π+π2],k ∈ZB .[2x π+π2,2x π+3π2],k ∈ZC .[x π+π4,x π+3π4],k ∈Z D .[x π-π4,x π+π4],k ∈Z15.圆:x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最小值是 ( ) A .2 B .1+√2 C .√2-1 D .1+2√2二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.不等式x 2-3x+2<0的解集是 .17.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为 .18.计算log 28+log 212的值是 .19.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 018项和S 2 018= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos A=12.(1)求角A 的大小;(2)若b=2,c=3,求a 的值;(3)求2sin B+cos (π6+x )的最大值.21.如图所示,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB ,点E 为PB 的中点. (1)求证:PD ∥平面ACE ;(2)求证:平面ACE ⊥平面PBC.22.在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)nb n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n .答案：1.D 【解析】由题意可得,A={x |x ≥32},B={x |1<x <2},结合交集的定义可得A ∩B={x |32≤x <2}. 2.D 【解析】函数y=√x的定义域是(0,+∞),A 中函数的定义域是{x|x ≠0},B 中函数的定义域是{x|x ≥0},C 中函数的定义域是{x|x ≠0},D 中函数的定义域是(0,+∞).3.B 【解析】由直线的斜率公式得直线AB 的斜率为k=4-20-1=-2.4.B 【解析】log 0.60.5>1,ln 0.5<0,0<0.60.5<1,即a>1,b<0,0<c<1,故a>c>b ,故选B .5.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d , 则a 5=a 1+4d=9,S 2=2a 1+d=4, 解得a 1=1,d=2, ∴a 2=a 1+d=3.6.D 【解析】f (2)·f (3)=(12)2·[(12)3-3+2]=14·(18-1)<0.7.B 【解析】该几何体是底面直径和母线都为2的圆锥,其高为√32×2=√3,体积为13·π·(22)2·√3=√33π.故选B .8.D 【解析】b =(3,4)⇒|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos <a ,b >=2×5×√32=5√3.故选D .9.A 【解析】观察周期2π6π,所以横坐标伸长到原来的3倍,又值域没变,所以纵坐标不变.故选A .10.D 【解析】在[-3,3]中取一实数赋值给a ,则-3≤a ≤3,若方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根,则判别式Δ=16a 2-16(2-a )≥0,即a 2+a-2≥0,解得a ≥1或a ≤-2,故满足条件的概率P=-2-(-3)+3-13-(-3)=36=12.故选D .11.A 【解析】sin 240°=sin (180°+60°)=-sin 60°=-√32.故选A .12.B 【解析】由余弦定理得,cos B=22+42-322×2×4=1116.故选B . 13.B 【解析】作出可行域如图所示,y=x-z ,作l 0:y=x ,当l 0移至l 1,l 2两直线交点H 时截距-z 最小,即z 最大,H (-1,-2),z max =-1+2=1.故选B .14.C 【解析】f (x )=12-cos 2(π4-x )=12−1+cos (π2-2x )2=-12sin 2x ,即求g (x )=12sin 2x 的单调递减区间: 2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2,k ∈Z ,k π+π4≤x ≤k π+3π4,k ∈Z .故选C .15.C 【解析】把圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,∴圆心到直线x-y=2的距离d=√2=√2,则圆上的点到已知直线距离的最小值为d-r=√2-1. 故选C .16.(1,2) 【解析】∵x 2-3x+2<0,∴(x-2)(x-1)<0,∴{x|1<x<2}. 17.85 【解析】去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.18.2 【解析】log 28+log 212=log 2(8×12)=log 24=log 222=2log 22=2×1=2.19.1 009 【解析】根据题意,得a n +a n+1=1,n ∈N *且a 1=-1, 所以a 1+a 2=-1+a 2=1,即a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…, 所以数列的周期T=2,所以S 2 018=(-1+2)+(-1+2)+…+(-1+2)=20182=1 009.20.【解】(1)△ABC 中,∵cos A=12,∴A=π3. (2)若b=2,c=3,则a=√x 2+x 2-2xx ·cos x =√4+9-12×12=√7.(3)2sin B+cos (π6+x )=2sin B+√32cos B-12sin B=32sin B+√32cosB=√3sin (x +π6), ∵B ∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,5π6),故当B+π6=π2时,2sin B+cos (π6+x )取得最大值为√3. 21.【证明】(1)连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵四边形ABCD 为矩形,∴O 为BD 中点. ∵E 为PB 的中点,∴EO ∥PD. 又EO ⊂平面ACE ,PD ⊄平面ACE , ∴PD ∥平面ACE.(2)∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , ∴PA ⊥BC.∵底面ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB. ∵PA ∩AB=A ,∴BC ⊥平面PAB , ∵AE ⊂平面PAB ,∴BC ⊥AE.∵PA=AB ,E 为PB 中点,∴AE ⊥PB. ∵BC ∩PB=B , ∴AE ⊥平面PBC , 而AE ⊂平面ACE ,∴平面ACE ⊥平面PBC.22.【解】(1)设等差数列{b n }的公差为d ,则有{3+3x =3x ,3+12x =3x 2,解得{x =3,x =2或{x =1,x =0(舍). 所以a n =3n,b n =2n+1.(2)由(1)可知c n =(-1)n (2n+1)+3n, 则S 2n =(3+32+…+32n )+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3×(1-32x )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32x +1-32+2n.。

2021年湖南省高中学业水平考试合格性考试仿真模拟数学试卷

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湖南省高中学业水平考试合格性考试仿真模拟数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量90分钟,满分100分一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|0<x<5,x∈N*},B={x|x2-x-6=0},则A∩B=( )A.{x|1<x<3}B.{x|0<x<3}C. D.{1,2,3}2.等差数列{an }中,a3+a7=6,则{an}的前9项和等于( )A.-18B.27C.18D.-273.已知向量a=(-1,2),b=(m,-1),若a=λb(λ∈R),则m=( )A.-2B.-C. D.24.下面一段程序执行后的结果是( )A=2A=A*3PRINT AENDA.2B.3C.6D.85.圆x2+y2-2x-3=0的圆心坐标及半径分别为( )A.(-1,0)与B.(1,0)与C.(1,0)与2D.(-1,0)与26.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )A.y=-xB.y=cos xC.y=D.y=-x27.函数f(x)=2x+x-4的零点所在的区间是( )A.(-1,0)B.(2,3)C.(0,1)D.(1,2)8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16+2B.16+C.12+2D.12+9.若sin θ+cos θ=,则sin θcos θ=( )A. B.C.±D.-10.满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为( )A.1B.C.2D.4二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.11.已知两条平行直线3x+4y-6=0和3x+4y+a=0之间的距离等于2,则实数a的值为________.12.如图所示,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________.13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=,a=,b=,则△ABC的面积等于__________ .14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(1)=1,则f(2 019) =________.15.已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为________.三、解答题:本大题共4个小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分10分)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度是多少?(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数是多少?17.(本小题满分10分)某同学解答一道三角函数题:“已知函数f=2sin,且f=.(1)求φ的值;(2)求函数f在区间上的最大值及相应x的值.”该同学解答过程如下:解答:(1)因为f=2sin φ=,所以sin φ=.因为-<φ<,所以φ=.(2)因为-≤x≤,所以-≤x+≤.令t=x+,则-≤t≤.画出函数y=2sin t在上的图象,由图象可知,当t=,即x=时,函数f的最大值为f=2.下表列出了某些数学知识:任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数y=Asin的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.18.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是PA,PB的中点,求证:(1)MN∥平面ABCD;(2)CD⊥平面PAD.19.(本小题满分10分)土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题,污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收,并转入食物链影响大众健康.A,B两种重金属作为潜在的致癌物质,应引起特别关注.某中学科技小组对由A,B两种重金属组成的1 000克混合物进行研究,测得其体积为100立方厘米(不考虑物理及化学变化),已知重金属A的密度大于11 g/cm3,小于12 g/cm3,重金属B的密度为8.65 g/cm3.试计算此混合物中重金属A的克数的范围.参考答案1.C 易得B==,A==,所以A∩B=∩=.====27.2.B S93.C 因为向量a=(-1,2),b=(m,-1),a=λb(λ∈R),所以(-1,2)=λ(m,-1),所以所以m=.4.C 由程序可知A=2×3=6.5.C x2+y2-2x-3=0,配方得(x-1)2+y2=4,圆心坐标为(1,0),半径r=2.6.D 函数y=-x是奇函数,y=cos x在(0,+∞)上不具有单调性,y=是奇函数,y=-x2既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数.7.D 函数f(x)=2x+x-4,f(1)=21+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以f(1)·f(2)<0,即f(x)在(1,2)内有零点.8.A 由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF,放在长方体中如图所示,则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形,两个边长分别为,,2的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成,故几何体的表面积为4××2×3+2××2×+2×2=16+2.9.B 由sin θ+cos θ=两边平方得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,解得sin θcos θ=.10.C 由题意,可得+≤1⇒画出对应的平面区域,如图所示,其中四边形ABCD为正方形,因为AB=,所以S四边形ABCD=×=2,即+≤1所表示的图形的面积为2.11.【解析】两条平行线之间的距离d===2,故a=4或a=-16.答案:4或-1612.【解析】旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中圆柱、圆锥的底面半径、高均为3,所以V=V柱体-V锥体=π×32×3-×π×32×3=18π.答案:18π13.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 所以5=2+c2-2c,所以c=3或c=-1(舍去),所以S△ABC=bcsin A=.答案:14.【解析】由题意得f(x+4)=f(2-(x+2))=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)以8为周期,所以f(2 019)=f(3)=f(1)=1.答案:115.【解析】因为a∥b,所以4-n-2m=0,即n+2m=4,因为m>0,n>0,所以+=(n+2m)=≥=,当且仅当n=4m=时取等号,所以+的最小值是.答案:16.【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5(0.01+h+0.07+ 0.06+0.02)=1,解得h=0.04.…………………………5分(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.……………………10分17.【解析】首先-<φ<,这里出现了负角和弧度表示角,涉及的是任意角的概念和弧度制的概念;由sin φ=和φ的范围解出φ=,这里涉及的是任意角的正弦的定义;解题时所画的图象涉及的是函数y=sin x的图象;作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值,这里涉及的是三角函数的周期性,正弦函数在区间上的性质;用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想,这里涉及的是参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响.……………………5分所以,该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识为:任意角的概念,弧度制的概念,任意角的正弦的定义,函数y=sin x的图象,三角函数的周期性,正弦函数在区间上的性质,参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响.……………………10分18.【证明】(1)因为M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.又因为MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.……………………5分(2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.……………………10分19.【解析】设重金属A的密度为x g/cm3,此混合物中含重金属A为y克.由题意可知,重金属B为克,且+=100.解得y=.……………………4分因为y==135,所以当x>8.65时,y随x的增大而减小,因为11<x<12,所以135×<y=135<135×.……………………8分解得483<y<631.故此混合物中重金属A的克数的范围是大于483克,小于631克. ……………………10分。

2021年湖北省高中学业水平合格性考试数学试题及答案解析

2021年湖北省高中学业水平合格性考试数学试题及答案解析

2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学（满分100分，考试用时90分钟）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。

在试卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交。

一、单项选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B = （）A ．∅B ．{}2C ．{}2,4D ．{}2,4,8【答案】.C 【解析】A B 是两集合的所有公共元素．．．．构成的集合。

∴A B = {}2,4，故选.C 2．复数34i z =+所对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】.A 【解析】复数34i z =+对应点的坐标为()3,4，在第一象限，故选.A 3．已知向量()1,2=-a ，()1,1=b ，则3+=a b （）A ．()2,7B ．()2,7-C ．()2,5--D ．()2,5-【答案】.B 【解析】()()()()()331,21,13,61,12,7.+=-+=-+=-a b 4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】.B 【解析】从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数所构成的样本空间为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}3,5,3,7,3,11,3,13,5,7,5,11,5,13,7,11,7,13,11,13Ω=共有10个样本点。

2021年福建省高中学业水平合格性考试数学试卷真题(答案详解)

2021年福建省高中学业水平合格性考试数学试卷真题(答案详解)

2021年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的标准差s =x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式()13V S S h '=，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径第I 卷（选择题45分）一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,3A =-，{}1,0B =-，则A B = （）A ．{}1,0,3-B ．{}1,0-C ．{}1-D ．∅2．如图是由四个完全相同的正方体组合而成的几何体，则它的正视图是（）A ．B ．C ．D ．3．若数列{}n a 为等比数列，12a =，26a =，则公比q =（）A ．-4B ．13C ．3D ．44．函数tan y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π5．()sin πα-等于（）A ．-sin αB ．sin αC ．-cos αD ．cos α6．直线y x =y轴上的截距是（）AB ．1C ．-1D ．7．从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则甲同学被选中的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．168．如图的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成的角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知向量()1,1a =r ，()1,2b =-r ，则a b +=（）A ．()0,3B ．()2,1-C ．()1,0D ．110．函数1y x x=+在()0,∞+上的最小值是（）A ．-2B ．1C ．2D ．311．函数3x y =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12．不等式102x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集是（）A ．{}0x x <B ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．12x x ⎧⎫>⎨⎩⎭D ．102x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或13．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（）A ．21y x =-+B ．21y x =+C ．y =D ．2xy =14．已知3sin 5α=，α为锐角，则sin 2α=（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242515．已知0.53a =，129b =，3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．a c b <<D ．c b a<<第Ⅱ卷（非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分16．半径为1的球的体积为_________．17．已知向量a 与b互相垂直，则a b ⋅= ____________.18．数据1，2，2，2，3的中位数是____________.19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且1b =，45A =︒，30B =︒，则=a ____________.20．函数()1ln1xf x x+=-是____________（填写“奇”或“偶”）函数.三、解答题：本题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，且11a =，公差d 为2.(1)求2a ，3a 及3S ；(2)求通项公式n a .22．已知具有相关关系的两个变量x ，y 之间的几组数据如下表所示：x23456y457109(1)求x ，y ；(2)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；并估计当10x =时 y 的值.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.注：根据上表所给数据可算出 1.5b= .23．如图，在三棱锥P ABC -中，E ，F 分别是AB ，AP 的中点.(1)求证：//EF 平面PBC ；(2)若三棱锥P ABC -的各棱长均为2，求它的表面积.24．某市出租车的收费标准如下表：里程收费标准不超过3公里的部分10元（起步价）超过3公里但不超过8公里的部分每公里2元超过8公里的部分每公里3元(1)设里程为x 公里时乘车费用为y 元，请根据题意完善下列解题过程：①当03x <≤时，y =_________；②当38x <≤时，()1023y x =+-__________；③当8x >时，y =__________.综上，y 关于x 的函数关系式是________,03,________,38,________,8.x y x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩(2)若计价器中显示的里程数为5公里，问乘客需支付多少费用?(3)若某乘客微信支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少公里?25．已知圆C ：()2234x y -+=.(1)写出圆C 的圆心坐标及半径长；(2)设直线l ：()2x my m =+∈R .①求证：直线l 与圆C 恒相交；②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线?1．C 【分析】根据交集的定义计算．【详解】由已知{1}A B ⋂=-．故选：C ．2．D 【分析】由正视图的方向判断．【详解】正视图是从前向后看，因此为D ，故选：D ．3．C 【分析】根据等比数列定义进行求解.【详解】由题意得：21632a q a ===故选：C 4．B 【分析】根据正切函数的性质判断即可；【详解】解：函数tan y x =的最小正周期是π；故选：B 5．B 【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】()sin sin παα-=.6．A 【分析】令0x =求出y ，即可得到直线在y 轴上的截距；【详解】解：直线y x =，令0x =得y =y 故选：A 7．A 【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种，其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：甲乙、甲丙，共2种，故所求概率为23P =.故选：A.8．D 【解析】根据正方体的结构特征可得1AA ⊥平面ABCD ，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC∴⊥异面直线1AA 与BC 所成的角是90︒.故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，注意正方体的结构特征的应用，属于基础题.9．A根据平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得；【详解】解：因为()1,1a =r，()1,2b =-r ，所以()()()1,11,20,3a b +=+-= ；故选：A 10．C 【分析】求导，求出函数单调区间和极值，确定最小值.【详解】222111x y x x-'=-=，0x >，当1x >时，0y '>，当01x <<时，0y '<，故1y x x=+在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以1y x x=+在1x =处取得极小值，也是最小值，min 112y =+=故选：C 11．A 【分析】由单调性和所过定点作出判断.【详解】因为31>，所以3x y =单调递增，且恒过点()0,1，故A 为正确答案.故选：A 12．B 【分析】根据二次函数的性质确定不等式的解集．【详解】1(002x x x -=⇒=或12x =，1()2y x x =-的图象是开口向上的抛物线，所以不等式102x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集是1{|0}2x x <<．故选：B ．13．A 【分析】利用指数函数，幂函数相关知识直接进行判断【详解】21y x =-+在R 上单调递减，A 正确；21y x =+在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故B 错误；y =[)0,∞+上单调递增，故C 错误；2x y =在R 上单调递增，D 错误故选：A 14．D 【分析】由平方关系结合倍角公式求解即可.【详解】4cos 5α=，3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=故选：D 15．B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为100.5213339a b =<=<==，33log 0.2log 10c =<=，因此，c a b <<.故选：B.16．43π【分析】根据球的体积公式求解．【详解】根据球的体积公式344V 33R ππ==．【点睛】球的体积公式34V 3R π=17．0【分析】由向量数量积运算公式求出答案.【详解】由于a 与b 互相垂直，所以cos 900a b a b ⋅=⋅︒= 故答案为：018．2【分析】根据中位数的概念判断即可；【详解】解：数据从小到大排列为1、2、2、2、3，故中位数为2；故答案为：219【分析】由正弦定理求解．【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得sin 1sin 45sin sin 30b A a B ⨯︒===︒．．20．奇【分析】根据定义证明即可.【详解】10(1)(1)01x x x x+>⇒+->-，解得11x -<<，即()f x 定义域关于原点对称.11()ln ln ()11x x f x f x x x-+-==-=-+-，即函数()f x 为奇函数.故答案为：奇21．(1)23a =，35a =，39S =；(2)21n a n =-【分析】（1）根据等差数列定义求出2a ，3a ，两者与11a =相加求出3S ；（2）利用等差数列通项公式求出答案.(1)21123a a d =+=+=，32325a a d =+=+=，31231359S a a a =++=++=(2)由题意得：()1112221n a a n d n n =+-=+-=-.22．(1)4x =，7y =；(2)312y x =+，16【分析】（1）代入求平均数公式中进行计算；（2）代入公式求出ˆ32b =， 1a =，确定y 关于x 的线性回归方程；并代入10x =，求出答案.(1)2345645x ++++==，45710975y ++++==(2)()()()()()()()51521231201322341014ˆ2i ii i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-++⨯+⨯===++++-∑∑，312ˆ7ˆ4a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为312y x =+，当10x =时，310162ˆ1y =⨯+=.23．(1)证明过程见解析；(2)【分析】（1）由中位线证明线线平行，从而线面平行；（2）得出该三棱锥为正四面体，求出边长为2的等边三角形的面积，再乘以4即可（1）因为E ，F 分别是AB ，AP 的中点，所以EF 是三角形ABP 的中位线，所以EF //PB ，因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .（2）若三棱锥P ABC -的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为2424⨯=24．(1)答案见解析；(2)14元；(3)12公里．【分析】（1）根据表格分类讨论列出函数式可得；（2）在（1）所得函数式中令5x =计算即得；（3）确定分段函数在[3)+∞上单调递增，然后可确定选用哪个表达式计算．(1)根据收费标准列式，可得．03x <≤时，10y =；38x <≤时，102(3)24y x x =+-=+；8x >时，10(83)23(8)34y x x =+-⨯+-=-，所以10,0324,3834,8x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩，故答案为：①10；②24x +；③34x -；10；24x +；34x -(2)由（1）知5x =时，25414y =⨯+=；(3)由函数式知3x ≥时，函数为增函数，而28420⨯+=，所以32y =时，3432x -=，12x =．25．(1)圆C 的圆心坐标为()3,0，半径长为2(2)见解析【分析】（1）由圆的标准方程即可得出；（2）①由直线l 的定点在N 在圆C 内部，得出直线l 与圆C 恒相交；②由CM MN ⊥结合数量积公式得出点M 的轨迹方程.（1）由圆的标准方程可知，圆C 的圆心坐标为()3,0，半径长为2（2）①直线l ：()2x my m =+∈R 恒过点()2,0N 因为22(23)014-+=<，所以N 在圆C 内部，即直线l 与圆C 恒相交；②设(,)M x y ，因为CM MN ⊥，(3,),(2,)CM x y MN x y =-=--所以2(3)(2)0CM MN x x y ⋅=---= ，即22560x y x +-+=故点M 的轨迹方程为()2251,024x y y ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，它表示以5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为12的圆（去除与x 轴的交点）.。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)09

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)09

2021年普通高中学业水平考试 数学科合格性考试模拟题（09）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{－1,1,3,5}D ．{－3,5}解析：因为A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <4}，B ＝{－3，－1,1,3,5}，所以A ∩B ＝{－1,1,3}，故选A ．2．log 42－log 48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．22．B 解析：log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B ．3．函数f (x )＝2－x ＋x 的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0,2)D ．[0,2]3. 解析：D 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤2，故选D ．4．已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(x ，－1)，若a ⊥b ，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．14. 解析：B 由于两个向量垂直，故a ·b ＝x －3＝0，x ＝3.5．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．不确定解析：利用几何概型得P ＝13.6．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2的直线方程是( ) A ．x －y ＋2＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 解析：易知k ＝1，则直线方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0.7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．4π解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×π×⎝⎛⎭⎫122＋2π×12×1＝32π，故选A ． 8．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．48．C 解析： ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．9．把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 解析：把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故选A ． 10．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－24710．D 解析： cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2× ⎝⎛⎭⎫－34 1－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．254解析：因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.12．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 13．函数f (x )＝ln|x |＋1x的图象大致为( )解析：由四个选项的图象可知f (1)＝1，令x ＝1e ，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1＋e>1＝f (1)，由此排除C 选项．令x ＝e ，f (e)＝1＋1e >1＝f (1)，由此排除B 选项．由于f (－e 100)＝100－1e100>0，排除D 选项．故选A ．14．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选C ．15．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 4a 10＝16，则a 6＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：∵a 4＝a 6q 2，a 10＝a 6q 4，q ＝2，∴a 4a 10＝a 6q 2·a 6·q 4＝16，a 26＝16q 2＝164＝4， 又a 6>0，∴a 6＝2.故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．解析：40×400150＋150＋400＋300＝16.17．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．17.23 解析：两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为46＝23.18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________．.18.－22 解析：△ABC 中，∵3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－23ab 2ab ＝－13， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝223， 故tan C ＝sin Ccos C＝－2 2.19．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．19.23 解析：∵直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋2(a －1)＝0，即a ＋2a －2＝0，解得a ＝23.三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC;(2)AF ⊥平面EDB ．20.证明： (1)∵F 是BE 的中点，取BA 的中点M ，连接CM ，FM ，∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a ，∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM ，又CD ＝a ＝FM ， ∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ，FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ∴FD ∥平面ABC ．(2)因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB ，又EA 垂直于平面ABC ，∴CM ⊥AE ，又AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ，因F 是BE 的中点，EA ＝AB ，所以AF ⊥EB ． EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ． 21．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n 表示数列{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n ．21.解： (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题可知a 1·a 13＝a 24， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2，解得d ＝2， 则a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1． (2)由上述推理知S n ＝n (n ＋2)，则T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1(2)n n + ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12(1)n +－12(2)n + ＝34－232(1)(2)n n n +++. 22．(12分)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan αβH的值．22.解：由题图，知AB＝Htan α，BD＝htan β，AD＝Htan β及AB＋BD＝AD，得Htan α＋htan β＝Htan β，解得H＝h tan αtan α－tan β＝错误!＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.。

【高二】2021年秋高二数学学业水平检测模拟卷(带答案)

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【高二】2021年秋高二数学学业水平检测模拟卷（带答案）2021年广州市水平测试模拟卷提供的学校：47所中学，满分150分一、：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设P={x？x<4，q={x？<4.然后a．b．c．d．2.在以下四组功能中，代表相同功能的是a．b．c、 d。

3.已知平面向量，，且，则a、－3b.－1c.1d.34.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：c）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），所以在这100棵树中，底部周长小于110摄氏度的株数是a、 30b.60c．70d．805.序列1,3,6,10的通项公式a．an=n2-(n-1)b．an=n2-1c．an=d．an=6.如下图所示，在三角金字塔a-bcd中，e、F、G和H分别是边ab,ac,cd,bd的中点，且ad=bc，那么四边形efgh是a、平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形7.经过点（1，1）且在两轴上截距相等的直线是a、 x+y=2b.x+y=1c．x=1或y=1d．x+y=2或x=y8.要获得函数的图像，只需将函数的图像a.向左平行移动个单位b.向左平行移动个单位c、平行于右边移动单位D.平行于右边移动单位9.有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）abc。

d。

10.如图，在平面直角坐标系中，，映将平面上的点映射到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线移动时，在映射的作用下，移动点的轨迹是abc.d.二、问题：这个主要问题有5个小问题，考生回答4个小问题。

每个小问题5分，满分20分。

11.过点(0，1)，且与直线垂直的直线方程是12.在算术序列中，如果已知，则等于13.为圆上的动点，则的最大值等于14.如果已知内角为120o，且三条边的长度构成公差为4的等差序列，则_______________三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

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2021年广东省普通高中学业水平考试 数学科合格性考试模拟题（08）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．2D ．41．C 解析：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2． 2．下列函数中，与函数y ＝1x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2 D ．y ＝ln x2.D 解析：函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D ．3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面D ．相交或异面3．D 解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．4． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋344．C 解析：原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54.5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65.C 解析：因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3.6．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3 B ．1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜06．D 解析：由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b ，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b －a ＜1，lg(b－a )＜0，D 正确．7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．－37.D 解析：a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于直线y ＝－x 对称8.A 解析：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A ． 9．三个数a ＝0.62，b ＝log 20.6，c ＝20.6之间的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a9.C 解析：易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋110.B 解析：S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－911.A 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A ．12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝512.C 解析：r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. 13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8 B ．m >8 C ．m ≤8 D ．m <813.C 解析：x ＋4x －4＝⎝⎛⎭⎫x －4＋4x －4＋4≥424)44x x -⋅+-（＝8，故m ≤8.14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．214.A 解析：f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )789⎪⎪⎪⎪94 4 6 4 73A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.615.D 解析：平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．16．43π解析：设正方体的棱长为a ，则由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.17．函数f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是________． 17．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间．∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．18．25 解析：基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25.19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为________．19．6解析：记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比21=q 的等比数列，S 6=378，S 6=211)211(61--a =378∴ a 1=192，a 6=192×521=6.三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0， (1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状． 20．解 (1)由正弦定理a sin A ＝bsin B得a sin B ＝b sin A ≠0，又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1， 即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ，∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝⎛⎭⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值，∴△ABC 是直角三角形．21．(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ； (2)平面PDC ⊥平面P AD ．21．证明 (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB ．又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ．而P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD ．22．(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）． （1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．.解：（1）设()v x ax b =+，当420x ≤≤时，由题意得：200a b +=，又因为42a b +=，解得18a =-，52b =，函数()v x 的表达式为2,04,()15,420,.82x x N v x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）22,04,()15,420,.82x x x N f x x vx x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⋅=⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时，max ()(4)8f x f ==；当420x ≤≤时，max 5252()()(10)122()8f x f f =-==⨯-. 综上所述，鱼的年生长量()f x 的最大值为252。

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