二次函数最值问题(含答案)
(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)32页 ok
二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•杭州）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•黄石）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•漳州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•长春）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x ＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．二次函数最值解答题60题参考答案：1．解：因为顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3，与y轴交点为（0，38），因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8＜0，所以与x轴无交点．作图得：最值2．增减性：当x≥3时，y随x的增大而增大；当x≤3时，y随x的增大而减小2．解：由函数图象可得二次函数图象过点C（0，3），将A，B，两点代入函数解析式得解得：a=﹣1，b=2，c=3，可得二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；配方得：y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴x=1，最大值为43．解：二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图：顶点坐标为（，），（1）当﹣2＜a＜时，函数为减函数，最小值为当x=a时，y=a2﹣a﹣2．当a≥时，y min=﹣，（2）当a＞﹣2，且a+2＜，即：﹣2＜a＜﹣时，函数为减函数，最小值为：y x=a+2=（a+2）2﹣（a+2）﹣2，当a＜≤a+2，即﹣≤a＜时，函数的最小值为y=﹣4．解：配方y=（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x=﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴，解得a=2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴，解得a=﹣5．∴实数a的值为2或﹣55．解：原式=3（y﹣1）2+8，∵（y﹣1）2≥0，∴3（y﹣1）2+8≥8，∴有最小值，最小值为86．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30°，AB=x，∴AE=x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4﹣x，∴y=AE•BC=x（4﹣x）=﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵a=﹣，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为27．解：对称轴x=﹣=﹣=，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=0时，y最小，最小值y=2×02﹣a×0+1=1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x=时有最小值，最小值y=2×（）2﹣a×+1=1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x=1时，y最小，最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a8．解：依题意△=4a2﹣4（a+6）≥0，即a2﹣a﹣6≥0，∴a≤﹣2或a≥3，（3分）由m+n=2a，mn=a+6，y=m2+n2﹣2（m+n）+2=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣6a﹣10，=4（a﹣）2﹣，∴a=3时，y的最小值为8．（12分）故y的最小值为89．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣510．解：根据抛物线顶点坐标公式得：=1，解得：m=1011．解：（1）根据二次函数的定义可知：m2+2m﹣6=2，m+2≠0，解得：m=2或﹣4．（2）当m=2时，抛物线的开口向上，有最小值，此函数图象的顶点为最低点；（3）当m=﹣4时，抛物线的开口向下，有最大值，此函数图象的顶点为最高点12．解：设两数为x、y，两数的积为s，根据题意列方程组得，，整理得，s=x（6﹣x）=﹣x2+6x，配方得，s=﹣（x﹣3）2+9，可见，s的最大值为9．如图：由于函数为抛物线，其与x轴的交点坐标为：（0，0），（6，0），顶点为（3，9），对称轴为直线x=3，画出函数图象13．解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则S=x2+（20﹣x）（20﹣x）=（x﹣10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm214．解：由0≤a2﹣4a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6．由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=（x﹣2a）2+a2﹣3a，则最小值m=a2﹣3a=（a﹣）2﹣，它的图象的对称轴为a=．在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大．∴a=6时，原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815．解：根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时，函数才有意义，解得：x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4，此时函数y=x2﹣4x﹣9，图象如图：在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知，当x=3时，这个函数的最小值为﹣1216．解：由题意：对称轴为x=﹣．其次这是一个定区间（﹣1≤x≤1）动对称轴（x=﹣）的函数，所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论．第一种情况：0＜﹣≤1，不可能．因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到，因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到．联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2，均不符合条件，故舍去．第二种情况，﹣＜﹣1，即对称轴在区间外，此时a＞2，在区间内函数单调递减，故x=﹣1时y=0，x=1时y=﹣4，解得a=2，b=﹣2，满足a＞0的条件．解得：a=2，b=﹣217．解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，∴ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，∴﹣1≤y≤，即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18．解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8﹣x；S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣（8﹣x）]×12﹣×16×（12﹣x）﹣×x×（8﹣x）=x2﹣2x+48=（x﹣2）2+46；因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为4619．（1）证明：∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，=AC•OB+AC•OD，=AC（OB+OD）=AC•BD；（2）解：设AC=x，∵AC+BD=10，∴BD=10﹣x，∴四边形ABCD的面积=x（10﹣x）=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，此时AC=5，BD=520．解：（1）根据图象得：它的最小值是0；（2）根据图象得：它的最大值是0；（3）当a＞0时，y=ax2有最小值，当a＜0时，y=ax2有最大值21．解：设其中一段铁丝的长度为xcm，另一段为（156﹣x）cm，则两个正方形面积和S=x2+（156﹣x）2=（x﹣78）2+761，∴由函数当x=78cm时，S最小，为761cm2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm222．解：∵y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，∴y=（a+2）+1﹣，其对称轴为，因为a为正整数，故因，，因此，函数的最小值只能在x取a﹣2，a﹣1，时达到，（1）当a﹣1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；（2）a﹣2＜＜a﹣1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，当x=a﹣2时，y1=（a+2）（a﹣2）2﹣2（a2﹣1）（a﹣2）+1，当x=a﹣1时，y2=（a+2）（a﹣1）2﹣2（a2﹣1）（a﹣1）+1，又y1﹣y2=4﹣a，①当4﹣a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a﹣1，使y2为最小值；②当4﹣a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；③当4﹣a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a﹣2，使y1为最小值；综上，（其中a为整数）23．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得（a﹣2b）（3a﹣4b+5）=0，（6分）所以a﹣2b=0，或3a﹣4b+5=0．（8分）①当a﹣2b=0，即a=2b时，u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36（b+1）2﹣34，于是b=﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a=﹣2，b=﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5=0时，u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16（b+1）2+11，于是b=﹣1时，u的最小值为11，此时a=﹣3，b=﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣3424．解：∵y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2），∴y=4+1，（1）当0≤≤2，即0≤a≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去；（2）当＜0即a＜0时，令f（0）=3得：a2+1=3，解得：a=±，故a=﹣；（3）当＞2即a＞4时，令f（2）=3，即a2﹣8a+14=0，解得；a=4±，故a=4+；综上有；a=﹣或4+25．解：原式=（x）2+．∵（x）2≥0．∴原式＞0恒成立；当x=时，原式有最小值为26．解：由题意设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）分别代入二次函数解析式，得：解得所以函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2，配方得：y=﹣（x﹣）2+，所以二次函数有最大值且最大值为：27．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，．28．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值229．解：原式=（x﹣）2﹣，∴当x=时，原式有最小值为﹣30．解：（1）y=2x2﹣4ax+a2+2a+2，y=2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，当x=a时，y有最小值为3﹣（a﹣1）2；（2）当﹣1≤x≤2时，3﹣（a﹣1）2=2，解得a=0或a=2，当x＜﹣1时，则当x=﹣1时y=2，解得，当x＞2时，则当x=2时y=2，解得a=4，所以：a=0或a=2或或a=431．解：（1）当1≤x≤2时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=1时取最小值为2，x=2时取最大值为5；（2）当﹣2≤x≤﹣1时，y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x=﹣1时，y取得最小值为2，当x=﹣2时，y取得最大值为7；（3）当﹣1≤x≤0时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=﹣1时，y取最大值为2，当x=0时，y取最小值为1；（4）当0≤x≤1时，y=x﹣x2+x+1=﹣（x﹣1）2+2，当x=1时y取最大值为2，当x=0时y取最小值为1；综上所述：y的最大值为7，最小值为132．解：∵y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k，=（k﹣1）（x﹣1）2﹣2k+1，∴当k＞1时，函数有最小值为﹣2k+1，当k＜1时，函数有最大值为﹣2k+133．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或34．最小值===．35．解：（1）3﹣k＜0，即k＞3时，函数有最大值2；（2）3﹣k＞0，即k＜3时，函数有最大小236．解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=t，①﹣1≤t≤1时，x=t时，函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1，②t＜﹣1时，x=1时，函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2，③t＞1时，x=﹣1时，函数有最大值y=（﹣1）2﹣2t•（﹣1）+1=2t+237．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或38．解：（1）若x2﹣4≥0，即|x|≥2，则y=x2﹣3x﹣4∴，若x2﹣4≤0，即|x|≤2，则y=﹣x2﹣3x+4∴，∴（2≤x≤5），当x=5时，y最大值=6；当x=2时，y最小值=﹣6，对（﹣2≤x≤2），当时，；x=2时，y最小值=﹣6，综上所述，x=2时，y最小值=﹣6；当时，；（2）由2x+y=1得，y=1﹣2x，由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1，∴z为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．又x=0时，z=3；x=1时，z=21．∴所求的最小值为339．解：对称轴为直线x=﹣=a，①a＜﹣2时，x=﹣2时，y有最小值，最小值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；②﹣2≤a≤0时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；③0＜a≤2时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1；④a＞2时，x=2时，y有最小值，最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+140．解：∵|x+1|≤6，解得：﹣7≤x≤5，∴当﹣7≤x＜0时，y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，当x=﹣1时，取得最大值为2；当0≤x≤5时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故当x=5时，y取得最大值为16．综合上述，原函数式最大值为1641．解：设鸡舍的长为x，则宽为（14﹣2x+2）=8﹣x，所以，鸡舍的面积=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，所以，当x=4，即长与宽都是4时，鸡舍的面积最大，最大值是16m2．答：鸡舍的长与宽都是4m时，鸡舍的面积最大42．解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为443．解：将直线x=t，代入y=x2﹣3x，y=﹣x2+9中，得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t，﹣t2+9，∴AB=，∴当时，线段AB取得最大值44．解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，易证Rt△ADF∽Rt△AOE，∴=，即=，解得AF=x2，∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2，∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4，∵OA=1，AF=x2，∴x2＜1∴0＜x＜；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，∴x=1时，周长最大为545．解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，由上可推出BC=2（cosB+cosC），AB=BC，AC=BC，∴S△ABC=×AB×AC×sinA，∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2，∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246．解：函数，∴y=+﹣，（1）当0≤≤1时，m=﹣，（2）当＜0时，m=，（3）当＞1时，m=1﹣a+，综上知：a=1时，m有最大值0.2547．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣548．解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm249．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值250．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，51．解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，∴∠A=∠CFE=30°，∴CF=x，AC=6，∴AF=6﹣x；∴S=AF•CE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．答：平行四边形AGEF的面积为（平方单位）…4分（2）由S=﹣x2+6x，得，∴，∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是（平方单位）…9分52．解：（1）在Rt△ABC中，AC==6，∴tanB=．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠BCA=90°．∴DE=BD•tanB=x，CD=BC﹣BD=8﹣x．设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．∴y=DE•CD=•（8﹣x），即y=+3x．自变量x的取值范围是0＜x＜8；（2）x==4时，y最大==6．即当x=4时，△ADE的面积最大为653．（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同（对边平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．54．解：在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=，PQ=，从而有PC=CR=a﹣x，∴△BPQ与△CPR的面积之和为：S=x2+（a﹣x）2=（x﹣a）2+a2，∵0≤x≤a，∴当x=0时，S取最大值a2，当x=a时，S取最小值a255．解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为856．解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根，∵y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，∴|AB|=6，∴|m﹣n|=6，即（m+n）2﹣4mn=36，而，∴b2﹣12=36，b=±4，∴y=x2±4x+3=（x±2）2﹣9，∴所求的最小值为﹣957．解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，∵AO=8，BO=6，∴tanB==，即=，解得PF=（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•（6﹣x）=﹣x2+8x，即S=﹣x2+8x；（2）∵S=﹣x2+8x=﹣（x2﹣6x+9）+12=﹣（x﹣3）2+12，∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是1258．解：（1）当a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=（a+）2﹣，所以，当a=﹣时，S有最小值﹣59．解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC，又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC，（2分）∴=，∴=，（3分）∴．（4分）（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）即x=3﹣x，所以x=1.5．（6分）∵0＜x＜2.4（7分）∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）（3）S四边形EPDQ2=（x+x﹣3）•（4﹣x）（9分）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣）2+，（10分）又∵2.4＜x＜4，（12分）∴当x=时，S取得最大值，最大值为60.解 ：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30， ∴BF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S=S DEF △−S GBF △＝21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450． （3）S=−23 x ²+60x −450＝−23 (x −20)²+150． ∵a ＝−23 ＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S 有最大值，最大值为150。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数与最值问题(含答案)
二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253±,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图①图②图③第1题解图2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点,(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值. 解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,∴1421a b ba b a++=⎧⎨++=⎩,解得11ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c ba mb mc a⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am, ∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba-=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点. (Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1). (Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋74=－(n－12)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋94,y2),∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋94时,即n＜45时,y1＜y2;②当n2－4n＋6=n2－n＋94时,即n=45时,y1=y2;③当n2－4n＋6＜n2－n＋94时,即n＞45时,y1＞y2.和(m－b, m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若∴a=1,∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;x轴距离最大的点的纵坐标为h,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|＞|h|,当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |＞|h |,6.在平面直角坐标系中,直线l :y =x ＋3与x 轴交于点A ,抛物线C:y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(Ⅰ)当m =4时,求n 的值;(Ⅱ)设m =－2,当－3≤x ≤0时,求二次函数y =x 2＋mx ＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x ≤0时,若二次函数y =x 2＋mx ＋n 时的最小值为－4,求m 、n 的值. 解:(Ⅰ)当y =x ＋3=0时,x =－3,∴点A 的坐标为(－3,0).∵二次函数y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ,∴0=9－3m ＋n,即n =3m －9,∴当m =4时,n =3m －9=3;当m =－2时,对称轴为x =1,n =3m －9=－15,∴当－3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2＋mx ＋n 取得最小值,最小值为－15.在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =－3时,y 取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4,解得:2 3m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去),∴m =2,n =－3;∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝,综上所述:m =2,n =－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2－2x ＋c (c 为常数)的对称轴为x =1.(Ⅰ)当c =－3时,点(x 1,y 1)在抛物线y=x 2－2x ＋c 上,求y 1的最小值;∴B (2m ,0),∵二次函数y =x 2－2x ＋c 的对称轴为x =1,∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上, ②当点A 在原点的左侧,点B 在原点的右侧时,如解图②,设A (－n ,0),∵OA =12OB ,且点A 、B 在原点的两侧, ∴B (2n ,0),由抛物线的对称性得n ＋1=2n －1,解得n =2,∴A (－2,0),∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上,∴0=4＋4＋c ,解得c =－8,此时抛物线的解析式为y =x 2－2x －8,综上,抛物线的解析式为y =x 2－2x ＋89或y =x 2－2x －8; (Ⅲ)∵抛物线y =x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点,∴对于方程x 2－2x ＋c =0,判别式b 2－4ac =4－4c ≥0,∴c ≤1.当x =－1时,y =3＋c ;当x =0时,y =c ,∵抛物线的对称轴为x =1,且当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点, ∴3＋c ＞0且c ＜0,解得－3＜c ＜0,综上,当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点时,c 的取值范围为－3＜c ＜0.第7题解图8.已知抛物线 y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点.(Ⅰ)求m 的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴的交点,∴令y =0,即 (m －1)x 2＋(m －2)x －1=0.∴新图象经过点D (－2,－5).当直线y ＝－x ＋b 经过D 点时,可得b =－7. 当直线y ＝－x ＋b 经过C 点时,可得b =－1. 当直线y ＝－x ＋b (b ＞−1)与函数y ＝－3x 2−4x −1的图象仅有一个公共点P (x 0,y 0)时,得－x 0＋b ＝－3x 02−4x 0−1.整理得 3x 02＋3x 0＋b ＋1＝0.第8题解图9.如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C .(Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值; (Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM=2,求抛物线y =x 2＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1,∵BC =5,∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.转化为y =(x ＋12)2－94; ∴函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM∽△COB,BC上的x最小取值,使P、C、M重合,满足点P在线段根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,－1,由c=2b－4,解得c=。
二次函数中的最值问题【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
二次函数中的最值问题【浙教版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 (1)【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 (3)【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 (5)x=-【例1】二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m．【变式1-1】当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，故选：B．【变式1-2】已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y＝x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵﹣1≤x≤2，∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，当x＝2时取得最大值，此时y＝4，由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．【变式1-3】已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可【分析】（1）由对称轴−b2求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，结合函数图像可知当x ＝﹣4时，y 有最大值21；（3）设顶点坐标为（h ，2h 2﹣h ﹣1），可求平移后的解析式为y ＝（x ﹣h ）2+2h 2﹣h ﹣1，设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ，则w ＝3h 2﹣h ﹣1＝3（h −16）2−1312，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x ²+bx ﹣c 的对称轴为直线x ＝1， ∴−b2=1， ∴b ＝﹣2，∵二次函数y ＝x ²+bx ﹣c 的图象经过点（3，0）， ∴9﹣6﹣c ＝0， ∴c ＝3， ∴b +c ＝1；（2）由（1）可得y ＝x ²﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∵﹣4≤x ≤3，∴当x ＝﹣4时，y 有最大值21；（3）平移抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，其顶点始终在二次函数y ＝2x 2﹣x ﹣1上，∴．设顶点坐标为（h ，2h 2﹣h ﹣1），故平移后的解析式为y ＝（x ﹣h ）2+2h 2﹣h ﹣1， ∴y ＝x 2﹣2hx +h 2+2h 2﹣h ﹣1＝x 2﹣2hx +3h 2﹣h ﹣1， 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ， 则w ＝3h 2﹣h ﹣1＝3（h −16）2−1312，∴当h =16时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为−1312．【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】已知二次函数y ＝mx 2﹣4mx （m 为不等于0的常数），当﹣2≤x ≤3时，函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ） A ．±16B ．−16或12C ．−16或23D ．16或2【分析】由二次函数y ＝mx 2﹣4mx 可得对称轴为x ＝2，分为m ＞0和m ＜0两种情况，当m ＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝2取得最小值﹣2，将x ＝2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中，解得m =12，当m ＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝﹣2取得最小值﹣2，将x ＝﹣2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中，解得m =−16，即可求解．【解答】解：∵二次函数为y ＝mx 2﹣4mx ，∴对称轴为x =−b 2a=4m 2m=2，①当m ＞0时， ∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝2取得最小值﹣2， 将x ＝2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中， 解得：m =12， ②当m ＜0时， ∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝﹣2取得最小值﹣2， 将x ＝﹣2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中， 解得：m =−16， 综上，m 的值为12或−16， 故选：B ．【变式2-1】已知关于x 的二次函数y ＝x 2+2x +2a +3，当0≤x ≤1时，y 的最大值为10，则a 的值为 2 ．【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x ＝﹣1，所以可得0≤x ≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵y ＝x 2+2x +2a +3 ＝x 2+2x +1+2a +2 ＝（x +1）2+2a +2，∴抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣1， ∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上，∴当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而增大， ∵当0≤x ≤1时，y 的最大值为10， ∴当x ＝1时，y ＝10，把x ＝1时，y ＝10代入y ＝x 2+2x +2a +3中可得： 1+2+2a +3＝10， ∴a ＝2， 故答案为：2．【变式2-2】已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c ，当﹣1≤x ≤2时，y 有最小值7，最大值11，则a +c 的值为（ ） A ．3B ．9C ．293D ．253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2a2a=1，∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，∴a+c＝9，故选：B．【变式2-3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6B．2C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b 24×1=−3，−b2＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入4×1×c−b 24×1=−3，即可得到b的值．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b 24×1=−3，−b2＞0，∴b＜0，∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，将c＝﹣2代入4×1×c−b 24×1=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，故选：C．【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，∴2≤m≤4，【变式3-1】已知二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +5，当m ≤x ≤m +3时，求y 的最小值（用含m 的代数式表示）．【分析】分四种情况讨论：①当m +3≤﹣2时，即m ≤﹣5，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；②当m +32＜−2＜m +3时，即﹣4＜m ＜﹣3，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；③当m ＜﹣2≤m +32时，即﹣3≤m ＜﹣2，y 的最小值为﹣m 2﹣8m ﹣7；④当m ≥﹣2时，y 的最小值为﹣m 2﹣8m ﹣7，【解答】解：y ＝﹣x 2﹣4x +5＝﹣（x +2）2+9， ∴对称轴为直线x ＝﹣2，当m ≥﹣2时，则当x ＝m +3时，y 有最小值为﹣（m +3）2﹣4（m +3）+5＝﹣m 2﹣10m ﹣16，当m ＜﹣2＜m +3时，即﹣5＜m ＜﹣2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小， 若m +3+2≥﹣2﹣m ，即−72≤m ＜﹣2时，当x ＝m +3时，y 有最小值为﹣（m +3）2﹣4（m +3）+5＝﹣m 2﹣10m ﹣16， 当m +3+2＜﹣2﹣m ，即﹣5＜m ＜−72时，当x ＝m 时，y 有最小值为﹣m 2﹣4m +5， 当m +3+2≤﹣2时，即m ≤﹣5， y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；综上所述：m ≥−72时y 的最小值为﹣m 2﹣10m ﹣16；当m ＜−72时，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5．【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a ，其中a 、b 为实数，a ＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若a ＝﹣2，当t ﹣2≤x ≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值；（3）点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3个单位长度，得到点B ．若抛物线与线段AB 有两个公共点，求a 的取值范围．【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a 、b 的数量关系，把抛物线解析式中的b 换成a 的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标； （2）分x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可； （3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB 有两个公共点时，结合图象即可判断出a 的取值范围．【解答】解：（1）把（3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3a 得，9a +3b ﹣3a ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣1）2﹣4a ， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a ）； （2）∵a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2+8， ∴对称轴为直线：x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大， ∵当t ﹣2≤x ≤t 时，函数的最大值是6，∴①当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧时，有{−2(t −2−1)2+8=6t −2＞1，解得t ＝4，②当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴左侧时，有{−2(t −1)2+8=6t ＜1，解得t ＝0，③当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解， 综上，t 的值为0或4；（3））∵点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3个单位长度，得到点B ， ∴B （3，4），∵y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1）， ∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0）， 若此二次函数的图象与线段AB 有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间， 当抛物线经过点A 时，为一种临界情况， 将A （0，4）代入，4＝0﹣0﹣3a ，解得a ＝−43， 当抛物线的顶点在线段AB 上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，∴﹣4a ＝4，解得a ＝﹣1，∴−43≤a ＜﹣1．【变式3-3】已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c ）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．（2）当t ≤x ≤2﹣t 时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若M ﹣N ＝3，求t 的值． 【分析】（1）由抛物线经过（2，c ）和（0，c ），可得到抛物线的对称轴为直线x ＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t ≤2﹣t ，确定t ≤1，2﹣t ≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N ＝1，令y ＝1求出值．【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c ）和（0，c ）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3.0）；（2）∵与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1， ∴{0=−1−b +c −b 2×(−1)=1，解得：{b =2c =3，∴y ＝﹣x 2+2x +3． ∵t ≤x ≤2﹣t ， ∴t ≤1，2﹣t ≥1．∴当t ≤x ≤2﹣t 时，当x ＝1时取得最大值4，即M ＝4，当x ＝t 或x ＝2﹣t 时取得最小值N ，∵M ﹣N ＝3，∴N ＝1．令y ＝l 得，1＝﹣t 2+2t +3，解得t 1=√3+1（舍），t 2=−√3+1，∴t =−√3+1． 令y ＝l 得，1＝﹣（2﹣t ）2+2（2﹣t ）+3，解得t 1=√3+1（舍），t 2=−√3+1． ∴t =−√3+1．综上：t =−√3+1．。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值精选题道参考答案
二次函数的最值精选题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．2．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．3．【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．4．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．5．【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴当x＝1时，y＝1；当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．9．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．10．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．11．【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．13．【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．14．【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键．二．填空题（共18小题）15．【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．16．【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．19．【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．【点评】本题考查了二次函数的最值、顶点式的运用及顶点坐标的求法．20．【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜5．故答案为：a＜5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．21．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．22．【分析】根据二次函数的性质，可以得到在2≤x≤5范围内，该函数的最小值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．【分析】由当x＝﹣1时y取得最大值知﹣＝﹣1且m＜0，解关于m的方程可得答案．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的性质得出关于m 的方程．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．24．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．25．【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，在△AOE与△ADC中，，∴△AOE∽△ADC，∴＝，即＝，解得EO＝，∵点B（0，2），∴OB＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．26．【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．37．【分析】根据题意求出当菱形EGFH的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出GH长度，即可求出面积．【解答】解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．【点评】本题考查了求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，根据临界值即可求出答案，属于中档题．28．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．29．【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．三．解答题（共8小题）30．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．31．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．32．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．33．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．34．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．35．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．36．【分析】物线的顶点式解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1＝a（0﹣3）2+4，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．37．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S＝AC•BD＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．。
二次函数的最值问题(含答案)
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案
二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案 The pony was revised in January 2021二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例2】当解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1)当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2)当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3)当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适最大销售利润为多少解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．(2)由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m =_____时，图象的顶点在y 轴上；当m =_____时，图象的顶点在x 轴上；当m =_____时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245y x x =-+； (2)(1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1)当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2)当a 为实数时，求函数的最大值． 2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax=++在12x-≤≤上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221y x tx=-+在11x-≤≤上的最大值(t为常数)．第五讲二次函数的最值问题答案A组1．414或2，3 22．22 16lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x=时，min318y=；当2x=-时，max19y=．5．5y≥-6．当56x=时，min3y=-23x=或1时，max3y=．7．当54t=-时，miny=．B组1．(1)当1x=时，min 1y=；当5x=-时，max 37y=．(2)当0a≥时，max 2710y a=+；当0a<时，max 2710y a=-．2．21m-≤≤-．3．2,2a b==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max 22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。
(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)
二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，41-y A x B 两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.C B C A 03（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线B AB DC 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；BD l C （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到P A C P 什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.PAC ∆P PAC ∆3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙x(第13题)另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a-=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其502600y x =-+中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下%m 乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．m ）5.831 5.9166.083 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y x ，且时，；时，．y kx b =+65x =55y =75x =45y =（1）求一次函数的表达式；y kx b =+（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定W W x 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．x 6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
初中数学二次函数最值练习题(附答案)
初中数学二次函数最值练习题一、单选题1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-B.1C.3D.52.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元4.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-或74- 6.已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或37.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21(2)2y x =- B.242y x x =-+ C.21(2)22y x =--+ D.2114y x x =-++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )A.2193mB.2194mC.2195mD.2196m9.已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或-2B. D.110.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6C.1或3D.4或6二、解答题11.2a b+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们把2a b+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
二次函数最值问题(含标准答案)
二次函数最值问题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。
二次函数与最值问题练习题(含答案)
二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)一、单选题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论①abc>0；②b−a>c；③4a+2b+c>0；④3a>−c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．已知二次函数y=−x2+2x+c，当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（）A．1B．2C．3D．44．关于二次函数y=x2−4x−4的说法，正确的是()A．最大值为−4B．最小值为−4C．最大值为−8D．最小值为−85．在平面直角坐标系中，点P的坐标(0,2)，点Q的坐标为(t−1,−34t−94)(t为实数)，当PQ长取得最小值时，t的值为（）A．−75B．−125C．3D．46．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或37．已知二次函数y=2(x−1)2−3，则下列说法正确的是()A．y有最小值0，有最大值－3B．y有最小值－3，无最大值C．y有最小值－1，有最大值－3D．y有最小值－3，有最大值08．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1B．2C．1或2D．0或39．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论错误的是（）x-5-4-202y60-6-46B．若点（－8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2C．当x＝－2时，函数值最小，最小值为－6D．方程ax2+bx+c＝－5有两个不相等的实数根.10．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小11．已知二次函数y=−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．-10和6B．-19和315C．6和315D．-19和612．小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下：x…-2-1023…y=ax2+bx+c…116336…A．有最大值11，有最小值3B．有最大值11，有最小值2C．有最大值6，有最小值3D．有最大值6，有最小值2二、填空题13．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．14．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.15．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是16．当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为．17．二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是．18．当x=0时，函数y=2x2+bx+c有最小值1，则b-c=．三、综合题19．抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA= 2OC=8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点.（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.21．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）当m=4时，求n的值；（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．22．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y= 16x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=- 18x+194（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2）5052545658…x（年）12345…（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：√315≈17.7，√319≈17.8，√321≈17.9）23．将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？（2）设这两个正方形的面积之和为Scm2，当两段铁丝长度分别为何值时，S有最小值？24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？参考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】B13．【答案】3；1814．【答案】（1，2）15．【答案】116．【答案】117．【答案】118．【答案】-119．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）∴{c=−5−4+2b+c=1解得{b=5c=−5∴b, c的值分别为5, -5.（2）解：a= -1 ，b=5∴当x= −b2a=52时y有最大值.20．【答案】（1）解：在抛物线y=ax2+bx−2中令x=0，则y=−2∴点C的坐标为（0，−2）∴OC=2∵OA=2OC=8OB∴OA=4，OB=1 2∴点A 为（−4，0），点B 为（12，0）则把点A 、B 代入解析式，得{16a −4b −2=014a +12b −2=0解得：{a =1b =72∴y =x 2+72x −2；（2）解：设直线AC 的解析式为y =mx +n ，则 把点A 、C 代入，得{−4m +n =0n =−2解得：{m =−12n =−2∴直线AC 的解析式为y =−12x −2；过点P 作PD∥y 轴，交AC 于点D ，如图：设点P 为（x ，x 2+72x −2），则点D 为（x ，−12x −2）∴PD =−12x −2−(x 2+72x −2)=−x 2−4x∵OA=4∴S ΔAPC =12PD •OA =12×(−x 2−4x)×4=−2x 2−8x ∴S ΔAPC =−2(x +2)2+8∴当x =−2时，S ΔAPC 取最大值8；∴x 2+72x −2=(−2)2+72×(−2)−2=−5∴点P 的坐标为（−2，−5）. ∵点P 在第三象限的抛物线上 ∴点P 的坐标为（−2，−5）满足条件.21．【答案】（1）解：当y=x+3=0时，x=﹣3∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ∴0=9﹣3m+n ，即n=3m ﹣9 ∴当m=4时，n=3m ﹣9=3（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ m 2当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m ﹣9=﹣15 ∴当﹣3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小∴当x=0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣15（3）解：①当对称轴﹣ m2 ≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x 2+mx+n 的最小值为0 ∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣ m2 ＜0，即0＜m ＜6时，如图2有 {4n−m 24n=−49−3m +n =0解得： {m =2n =−3 或 {m =10n =21（舍去）∴m=2、n=﹣3；③当﹣ m2 ≥0，即m≤0时，如图3有 {n =−49−3m +n =0解得： {m =53n =−4（舍去）． 综上所述：m=2，n=﹣3．22．【答案】（1）解：由题意，z 与x 成一次函数关系，设z=kx+b （k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入得 {k +b =502k +b =52⇒{k =2b =48∴z=2x+48．（2）解：当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则W1=（- 16x+5）•（2x+48）=- 13x2+2x+240，∵对称轴x=- b2a≠=3，而1≤x≤6，∴当x=3时，W1最大=243（百万元）．当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则W2=（- 18x+ 194）·（2x+48）=- 14x2+ 72x+228．∵对称轴x=- b2a=7，而7≤x≤10，∴当x=7时，W2最大= 9614（百万元）．∵243> 961 4∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．（3）解：当x=6时，y=- 16×6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时y=- 18×10+ 194=3.5百万平方米=350万平方．∵第6年可解决20万人住房问题∴人均住房为400÷20=20平方米．由题意20×（1-1.35a％）×20×（1+a％）=350．设a％=m，化简为54m2+14m-5=0Δ=142-4×54×（-5）=1276∴m= −14±√12762×54=−7±√31954∵√319≈17.8，∴m1=0.2，m2=- 62135（不符题意，舍去）．∴a％=0.2，∴a=20．答：a的值为20．23．【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（14﹣x）cm 依题意列方程得x2+（14﹣x）2＝100整理得：x2﹣14x+48＝0（x﹣6）（x﹣8）＝0解方程得x1＝6，x2＝86×4＝24（cm），56﹣24＝32（cm）；因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm、32cm。
数学二次函数最值练习题(带答案)
1．抛物线 ，当 = _____时，图象的顶点在 轴上；当 = _____时，图象的顶点在 轴上；当 = _____时，图象过原点．
2．用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．
3．求下列二次函数的最值：
(1) ；(2) ．
4．求二次函数 在 上的最大值和最小值，并求对应的 的值．
5．对于函数 ，当 时，求 的取值范围．
6．求函数 的最大值和最小值．
7．已知关于 的函数 ，当 取何值时， 的最小值为0？
二次函数最值问题答案
1．4 14或2，
2．
3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值 ，无最小值．
4．当 时， ；当 时， ．
Hale Waihona Puke 5．6．当 时， ；当 或1时， ．
7．当 时， ．
2023学年数学(人教版)中考复习重难点突破——二次函数的最值【附解析】
2023学年数学中考复习重难点突破——二次函数的最值一、单选题1．当二次函数y=x 2+4x+9取最小值时,的值为( )A ．-2B ．1C ．2D ．9 2．对于二次函数y ＝2（x+1）（x ﹣3），下列说法正确的是（ ）A ．图象过点（0，﹣3）B ．图象与x 轴的交点为（1，0），（﹣3，0）C ．此函数有最小值为﹣6D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小3．二次函数y=ax 2+bx+a （a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 2244a b a - 化简结果为（ ） A ．a B ．1 C ．﹣a D ．0 4．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是（ ） A ．6 B ．3 C ．﹣3 D ．05．二次函数 23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 的图象 ()13x ≤≤ 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（ ）A ．1y ≥B ．13y ≤≤C ．334y ≤≤ D ．03y ≤≤6．如图，在△ABC 中，∠B=90°，tan ∠C= 34 ，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 7．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D( 2, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是().A．y1< y2< y3B．y1 < y3< y2C．y3< y2< y1D．y2< y3< y18．二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x…-3-2-1012345…y…1250-3-4-30512…①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD 面积的最大值为（）A．6B．12C．18D．2410．已知函数y＝22(0)(0)x x xx x x⎧-⎨--<⎩，当a≤x≤b时，﹣14≤y≤14，则b﹣a的最大值为（）A．1B2+1C．2212D．22二、填空题11．已知二次函数y=x 2﹣4x+m 的最小值是﹣2，那么m 的值是 ． 12．二次函数y=x 2﹣2x ﹣5的最小值是 ．13．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm/s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 cm 2．14．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是S=80t ﹣2t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是 m ．15．已知二次函数 2y ax bx c =++ (a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m≠l 的实数)．其中正确的结论有 (只填序号)．三、解答题16．把函数y=3x 2+6x+10转化成y=a （x-h ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．17．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= 2x，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．19．由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围；售价（元/台）月销售量（台）400200▲ 250x▲w （元）最大？最大利润是多少？20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，。
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二次函数最值问题
一．选择题（共8小题）
1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6
3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在
5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）
A．3.125 B．4 C．2 D．0
6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）
A．B．2 C．D．
8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
二．填空题（共2小题）
9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．
10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，
=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．
点M在x轴负半轴上，S
△ABM
三．解答题（共3小题）
11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．
（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；
（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．
二次函数最值问题（含答案）
一．选择题（共8小题）
1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）
11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，
∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．
又点A、E在直线EA上，
∴，解得，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），
化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，
化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，
∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．
则m=或m=即为所求．
12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，
故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．
（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．
②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）
∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．
综上，k的取值范围是k≤0．
（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，
∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，
若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，
则=﹣3，且k＞0，
解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，
解得m1=2，m2=﹣3，
所以满足条件的m值为2或﹣3；
（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。