2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤， 也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++，∵1i1i 2a +++是实数，∴102a -=，解得a =1．选B ．（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【解析】由a ·b =0，得a 与b 垂直，选A ．（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-，，(4,0)，得4c =，2a =，24a =，∴22212b c a =-=，∴双曲线方程为221412x y -=．故选A ．（5）设a b ∈R ，，集合{}1{0}b a b a b a+=，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=，，，，知0a b +=或0a =．若0a =则ba无意义，故只有0a b +=，1b =（若1ba=，这与0a b +=矛盾），∴1a =-，2b a -=．故选C ．（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，【解析】逐一检查，选C ．（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ D ）A ．15B ．25C ．35D ．45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45，选D ．（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ，()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=，()()g x g x -=当然有()()h x h x -=；反之则未必，故选B ．（10）21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A 1D 1 C 1B 1AD CBA （综合法）（坐标法）A 1C 1 B 1AD CB第（7）题D 1A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==，若常数项为15，令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩，64n r =⎧⎨=⎩，选D ． （11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ C）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．2()33ππ，B ．()62ππ，C ．(0)3π，D ．()66ππ-，()0x >，则第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答） 【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共35A 种；其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种，则不同的选法共有35A -1224A A =36种．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．【解析】()f x =3()xx ∈R ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比AC1A A 0（16）题。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(江西)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（江西）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化简2)1(42i i++的结果是A ．2＋iB ．－2＋iC ．2－iD ．－2－i 2．1lim 231--→x x x xA ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在3．若3)4tan(=-απ，则cot α等于A ．－2B ．21-C ．21D ．2 4．已知(x ＋33x )n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是A ．sin x ＜x π3B ．sin x ＞x π3 C ．sin x ＜224x π D ．sin x ＞224x π 6．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为A ．9B ．6C ．4D ．27．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 19．设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝21,右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A ．19 B ．112 C ．115 D ．11811．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为A ．－B ．0C ．D ．5 12．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x 在(0，＋∞)内单调递增，5:-≥m q ，则p是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 ．14．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p +q ，若a 1=91，则a 36＝ ． 15．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若n m ==,,则m +n 的值为 ．16．设有一组圆)(2)3()1(:*422N k k k y k x C k ∈=-++-．下列四个命题：A ．存在一条定直线与所有的圆均相切B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题17．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++=-)1(2)0(1)(2＜＜＜x c k c x cx x f c x 在区间(0，1)内连续,且89)(2=c f ．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f18．（本小题满分12分）如图,函数的图象与y 轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜率为一2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是P A的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A l B l C1＝90°，AA l＝4，BB l＝2，CC l＝3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使OM·ON＝0,其中点O为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{a n }满足：a 2＝4，且对于任何 n ∈N *，有n n n n a n n a a a 1211111211++-++++＜＜． （1）求a 1，a 3；（2）求数列{ a n }的通项a n ．参考答案1．C【解析】略2．B【解析】略3．A【解析】略4．C【解析】略5．D【解析】略6．C【解析】略7．D【详解】因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D.8．A【解析】略9．A【解析】略10．B【分析】先求出将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的情况，再求出若不考虑限制它落地时向上的点数情况，前者除以后者即可．【详解】∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5共有6×2=12种情况， 也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有36=216 落地时向上的点数依次成等差数列的概率为18121612= 故选：B.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n=求得概率 11．B【解析】试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数()f x 是上以5为周期的可导偶函数，所以因为()f x 是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0 考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R 上的偶函数的性质12．B【解析】略13．[5)+，∞【解析】略14．4【解析】略15．2【解析】略16．B,D17．（1）1k =,12c = （2）()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭【解析】解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续， 所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．（1）θ=π6,ω=2（2）x 0=2π3或x 0=3π4． 【解析】解：（1）将x =0，y =√3代入函数y =2cos(ωx +θ)得cosθ=√32， 因为0≤θ≤π2，所以θ=π6．又因为y ′=−2ωsin(ωx +θ)，y ′|x=0=−2，θ=π6，所以ω=2， 因此y =2cos(2x +π6)．（2）因为点A(π2，0)，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0=√32， 所以点P 的坐标为(2x 0−π2，√3)．又因为点P 在y =2cos(2x +π6)的图象上，所以cos(4x 0−5π6)=√32． 因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0−5π6≤19π6， 从而得4x 0−5π6=11π6或4x 0−5π6=13π6． 即x 0=2π3或x 0=3π4．19．（1）)()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=【解析】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 )()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=， 2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．(1)OC ∥平面A 1B 1C 1(2) 二面角的大小为30∘(3)【解析】（1）证明：作OD ∥AA 1交A 1B 1于D ，连C 1D ．则OD ∥BB 1∥CC 1．因为O 是AB 的中点，所以OD =12(AA 1+BB 1)=3=CC 1．则ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D ．C 1D ⊂平面C 1D ⊂且OC ⊄平面C 1D ⊂，则OC ⊄面C 1D ⊂．（2）如图，过O 作截面BA 2C 2∥面C 1D ⊂，分别交AA 1，AA 1于A 2，A 2．作BH ⊥A 2C 2于B ，连CH ．因为A 1B 1C 1面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥BH ，则BH ⊥平面AA 1．又因为AB =√5，AB =√5，AC =√3⇒AB 2=BC 2+AC 2．所以BC ⊥AC ，根据三垂线定理知BC ⊥AC ，所以∠BCH 就是所求二面角的平面角． 因为BH =√22，所以sin∠BCH =BH BC =12，故∠BCH =30∘， 即：所求二面角的大小为30∘．（3）因为BH =√22，所以所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系，则∠BCH ，A(0，1，4)，∠BCH ，因为O 是AB 的中点，所以BH =√22， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−12，0)． 易知，n ⃗ =(0，0，1)是平面C 1D ⊂的一个法向量．因为n ⃗ =(0，0，1)，OC ⊄平面C 1D ⊂，所以OC ⊄平面C 1D ⊂．（2）AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， 设m ⃗⃗ =(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则则得：{−y −2z =0x +z =0 取x =−z =1，m ⃗⃗ =(1，2，−1)．显然，l=(1，1，0)为平面C(1，0，3)的一个法向量． 则,结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)的大小是30∘． （3）同解法一． 21．（1）动点P 的轨迹C 为双曲线，方程为：2211x y λλ-=-（223λ<<23λ< 【解析】解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线． 方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-． 由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦， 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-， 因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-． 于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．（1）11a =，39a =（2）对任意n ∈*N ，2n a n =【解析】解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年江西省高考试题(数学理)全解全析
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数 学(理 科)全解全析参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )k n -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简2)1(42i i ++的结果是（ ） A ．2＋i B ．－2＋i C ．2－i D ．－2－i【标准答案】 C 【试题分析】22424122(1)2i i i i i i++==+=-+，故选C 。
【高考考点】复数的运算。
【易错提醒】2i ＝－1是学生容易出错的地方，易忘记负号。
【备考提示】复数是高考经常出现的试题之一，一般出现在选择题或填空题，难度不会太大。
2．1lim 231--→x x x x （ ） A ．等于0 B ．等于l C ．等于3 D ．不存在【标准答案】 B 【试题分析】32211lim lim 11x x x x x x →→-==-，故选B 。
【高考考点】极限。
【易错提醒】未将分子分解因式，直接将x ＝1代入分母，不存在，错选（D ）。
【备考提示】极限也是高考中经常出现的试题之一，有时也会在解答题中出现。
3．若tan(4π一α)＝3，则cot α等于 A ．－2 B ．－21 C ．21 D ．2 【标准答案】 A【试题分析】tan(4π一α)＝31tan 13tan cot 21tan 2αααα-⇒=⇒=-⇒=-+，故选A 。
【高考考点】三角函数，两角差的正切公式。
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．第I卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简的结果是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．（）Ａ．等于Ｂ．等于Ｃ．等于Ｄ．不存在3．若，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．若，则下列命题中正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．若集合，，则中元素的个数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外Ｄ．以上三种情形都有可能。
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
物理创意想象来源：当今社会如果没有电的话，那世界将是一片黑暗。
我们无法想象没有电的生活。
由于世界各国用电越来越大，导致地球的资源一天天的减少。
当然不少科学家也努力向其它可循环能源探索。
比如风能、水能、太阳能、地热能等。
其实我们还有一种能源可以利用那就是闪电。
闪电简介：闪电是云与云之间、云与地之间或者云体内各部位之间的强烈放电现象。
底层为阴电，顶层为阳电，而且还在地面产生阳电荷，如影随形地跟着云移动。
正电荷和负电荷彼此相吸，但空气却不是良好的传导体。
正电荷奔向树木、山丘、高大建筑物的顶端甚至人体之上，企图和带有负电的云层相遇；负电荷枝状的触角则向下伸展，越向下伸越接近地面。
最后正负电荷终于克服空气的阻障而连接上。
巨大的电流沿着一条传导气道从地面直向云涌去，产生出一道明亮夺目的闪光。
就在这个时候，世界各地大约正有1800个雷电交作在进行中，它们每秒钟约发出600次闪电，其中有100次袭击地球。
据统计，每年地球上空会出现31亿多次闪电，平均每秒钟100次。
每次放电，其电能高达10万千瓦时，电流高达10万安培，连世界上最大的电力装置都不能和它相比。
所以这么好的资源我们为什么不好好利用呢！我的想法：如果我们有一种储存器。
当闪电来临时，我们可以用一种介质把闪电和这种特殊储存器连接起来，那么闪电的能量就被我们储存在这个容器里了。
然后利用高压输电原理就可以利用了。
但是闪电的电压高，放电时间短。
1.闪电是大功率高压放电，闪电收集必须解决高压大功率的电能的传输问题。
高压就意味着容易对外放电，功率大就意味着发热快。
解决高压问题可以采用陶瓷做绝缘材料，因为闪电的高压可以击穿空气，但是未必能够击穿陶瓷。
传输时功率过大的问题可以通过使用低电阻率的材料，增大导体截面积等方法解决。
2.闪电放出的能量的总量多，收集闪电就必须解决大容量的电能的存储问题。
闪电的能量大，电能的存储需要特殊的方法实现。
可以做一个大的电炉利用电流激发磁场，再利用磁场产生的涡流加热，利用电炉加热蒸汽机，产生动力，这时既可以发电，又可以作为有用的动力直接输出。
(Word版)2007年(江西)高考理科数学真题试卷
17.已知函数 在区间 内连续，且 .
（1）求实数 和 的值；
（2）解不等式 .
18.如图，函数 的图象与 轴交于点 ，且在该点处切线的斜率为 .
（1）求 和 的值；
（2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ， 时，求 的值.
（1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；
（2）过点 作直线交双曲线 的右支于 、 两点，试确定 的范围，使 ，其中点 为坐标原点.
22.设正整数数列 满足： ，且对于任何 ，有 .
（1）求 ， ；
（2）求数列 的通项 .
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件 、 互斥，那么
如果事件 、 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率
球的表面积公式 其中 表示球的半径：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.化简 的结果是（）
A. B. C. D.
2. （）
A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在
3.若 ，则 等于（）
A. B. C. D.2
4.已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 等于（）
A.4B.5C.6D.7
5.若 ，则下列命题中正确的是（）
A. B. C. D.
6.若集合 ， ，则 中元素的个数为（）
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望.
20.如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 .已知 ， ， ， ， .
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以22221111(12)3322B AA C C AA C C V S BH -==+= ．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，11A 21102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n = ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =-- ，，，(101)BC = ，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩ 取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos m l m l m l===， 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．1x由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=； ②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M 为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，，2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π3．函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，， 4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 6．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1-Ｂ．32Ｃ．1+Ｄ．32+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AD =在外接球面上两点A B ，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．2h >3h Ｃ．3h >1h12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB DＣ．二面角111C B D C --Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--． 22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得， 当102x <<时，解得142x <<， 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=． 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===． （2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，02y =． 所以点P的坐标为0π22x ⎛-⎝．又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．因为BH =，AB =sin BH BAH AB ==∠．AB 与面11AAC C所成的角为arcsin10BAH =∠． （3）因为2BH =，所以222213B AAC C AA C C V S BH -=． 1121(12)23222=+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体的体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C ． （2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ． 求得1(004)A A =，，，11(110)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩， 取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，，所以，cos m <，10m AB AB m AB>==-sin θ=所以AB 与面11AAC C 所成的角为arcsin 10． （3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n nT -=-+-+-，…………① 2234212112342123333333n n n n nT --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n nT -=-+-+--所以22223924163n n nnT +--=． 22．解：（1）在12PF F △中，122F F =12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为2211x y λλ-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则 由②与③得22d a =，则1343421)da d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩ 由⑤得342d d λ=，(8)2λλ--=，故存在1217λ-=方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得所以12121πsin 1)24AF F S AF AF λ==△，121212BF F S BF BF λ==△． 则1(2AFB S λ=△．① 由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==． 则122211(222AF B S AB d ==△．② 由①②得2(22d λ+=．③根据双曲线定义122BF BF a -==1)d +=平方得：221)4(1)d λ=-．④由③④消去d可解得，(01)λ=， 故存在1217λ-=。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；，其中n为正整数．（2）设，求证b n＜b n+122．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣bn2=an+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．那么，b n+12﹣bn2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣bn2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。
2007年高考数学江西理科(详细解答)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简224(1)ii ++的结果是（ ） Ａ．2i + Ｂ．2i -+ Ｃ．2i - Ｄ．2i --2．321lim1x x xx →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D Ｃ．A H 的延长线经过点1C Ｄ．直线A H 和1B B 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)xya b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为 ．11B14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =．15．如图，在A B C △中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，A C 于不同的两点M N ，，若A B m A M = ，AC n AN =，则m n +的值为 ． 16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x ccx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13C C =．（1）设点O 是A B 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；C（3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分） 设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2A P B θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．y2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．化简224(1)i i ++=2422i i i+=-，选C 。
2007年江西省高考数学试卷(理科)及解析
2007年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i2．（5分）（）A．等于0 B．等于1 C．等于3 D．不存在3．（5分）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D．24．（5分）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）若，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（）A．9 B．6 C．4 D．27．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．（5分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h19．（5分）设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在（）A．圆x2+y2=2内B．圆x2+y2=2上C．圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能10．（5分）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A．B．0 C．D．512．（5分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设函数y=4+log2（x﹣1）（x≥3），则其反函数的定义域为．14．（4分）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36=．15．（4分）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为．16．（4分）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．18．（12分）如图，函数的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为﹣2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当，时，求x0的值．19．（12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（12分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；（3）求此几何体的体积．21．（12分）设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．22．（14分）设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有2+；（1）求a1，a3；（2）求数列{a n}的通项a n．2007年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•江西）化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b ∈R）．【解答】解：=，故选C2．（5分）（2007•江西）（）A．等于0 B．等于1 C．等于3 D．不存在【分析】先化简再代入即可．【解答】解：=，故选B．3．（5分）（2007•江西）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D．2【分析】用两角差的正切公式变形，整理，得到关于tanα的一元一次方程，解方程，得到正切值，根据正切和余切之间的关系，求出余切值．【解答】解：由得，∴cotα=﹣2，故选A4．（5分）（2007•江西）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2n，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．【解答】解：展开式中，令x=1可得各项系数的和为（1+3）n=4n又由二项式系数公式得各项二项式系数的和为2n，所以=64，从而得2n=64，所以n=6所以选C5．（5分）（2007•江西）若，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【分析】用特殊值法，取x=可排除B、C，取x=可排除A【解答】解：取x=可排除B、C，取x=可排除A，故选D．6．（5分）（2007•江西）若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（）A．9 B．6 C．4 D．2【分析】本题主要考查集合中元素的个数，要用线性规划求出符合条件的整点，在可行域中找整点，要先找出关键点然后挨个列举【解答】解：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，故选C7．（5分）（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．8．（5分）（2007•江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1【分析】可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案．【解答】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A9．（5分）（2007•江西）设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在（）A．圆x2+y2=2内B．圆x2+y2=2上C．圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能【分析】先根据x1+x2=﹣，x1x2=﹣表示出x12+x22，再由e==得到a与c的关系，从而可表示出b与c的关系，然后代入到x12+x22的关系式中可得到x12+x22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x1+x2=﹣，x1x2=﹣x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=e==∴a=2cb2=a2﹣c2=3c2所以x12+x22=＜2所以在圆内故选A．10．（5分）（2007•江西）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．【分析】将一骰子扔一次有6种不同的结果，则将一骰子连续抛掷三次有63个结果，这样做出了所有的事件数，而符合条件的为等差数列有三类：公差为0的有6个；公差为1或﹣1的有8个；公差为2或﹣2的有4个，共有18个成等差数列的，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：∵一骰子连续抛掷三次得到的数列共有63个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或﹣1的有8个；（3）公差为2或﹣2的有4个，∴共有18个成等差数列的概率为，故选B11．（5分）（2007•江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A．B．0 C．D．5【分析】偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零【解答】解：∵f（x）是R上可导偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，又∵f（x）的周期为5，∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，故选项为B12．（5分）（2007•江西）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．【解答】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•江西）设函数y=4+log2（x﹣1）（x≥3），则其反函数的定义域为[5，+∞）．【分析】欲求反函数的定义域，可不求出反函数，通过反函数的定义域即为原函数的值域求解即可．【解答】解：反函数的定义域即为原函数的值域，由x≥3得x﹣1≥2，所以log2（x﹣1）≥1，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）．14．（4分）（2007•江西）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36=4．【分析】由题设知，按递推公式先求出a2，再导出a4，然后求出a8，再导出a16，进而求出a32，由此可求出a36．【解答】解：由题意得，．故答案为4．15．（4分）（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为2．【分析】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．【解答】解：=（）=+，∵M、O、N三点共线，∴+=1，∴m+n=2．故答案：216．（4分）（2007•江西）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是②④（写出所有真命题的代号）．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．【解答】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•江西）已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．【分析】（1）先判定c2的大小，从而断定代入哪一个解析式，建立等量关系，解之即可；（2）根据分段函数的分类标准进行分类讨论，分别在每一段上求解不等式，注意解集与前提求交集，最后将两种情形求并集即可．【解答】解（1）依题意0＜c＜1，∴c2＜c，∵f（c2）=，c=（2）由（1）得f（x）=由f（x）＞得当0＜x＜时，∴当时，，∴综上所述：∴f（x）＞的解集为{x|}18．（12分）（2007•江西）如图，函数的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为﹣2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当，时，求x0的值．【分析】（1）根据（0，）以及θ的范围，求θ，利用导数和斜率的关系求ω的值；（2）利用点，点Q（x0，y0）求出P，点P是该函数图象上一点，代入表达式，利用，，求x0的值．【解答】解：（1）将x=0，代入函数y=2cos（ωx+θ）得，因为，所以．又因为y'=﹣2ωsin（ωx+θ），y'|x=0=﹣2，，所以ω=2，因此．（2）因为点，Q（x0，y0）是PA的中点，，所以点P的坐标为．又因为点P在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．19．（12分）（2007•江西）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．【分析】对于（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率，故分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可得到答案．对于（2）求经过两次烧制后，合格工艺品的个数ξ的期望．根据已知很容易可以求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生k次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求得．【解答】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3，（1）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．（2）：因为容易求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以ξ～B（3，0.3），故Eξ=np=3×0.3=0.9．20．（12分）（2007•江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；（3）求此几何体的体积．【分析】（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A1B1C1；（2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．【解答】（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1．因为O是AB的中点，所以OD=．则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，则OC∥面A1B1C1．（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．作BH⊥A2C2于H，连CH．因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．又因为AB=，BC=，AC=．所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，即：所求二面角的大小为30°．（3）因为BH=，所以=．=•2=1．所求几何体体积为=．21．（12分）（2007•江西）设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．【分析】（1）首先利用余弦定理写出d1和d2的等量关系式，然后把它变形为（d1﹣d2）2=*的形式，即|d1﹣d2|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得证，最后由双曲线的标准方程形式即可写出其方程．（2）首先根据直线MN是否垂直于x轴进行讨论，若直线MN垂直于x轴，则直线方程为x=1，又=0可得M、N的坐标，代入双曲线方程即得λ的值；若直线MN不垂直于x轴，则设其点斜式方程，并与双曲线方程联立方程组，可消y得x的一元二次方程，再由根与系数的关系用k与λ的代数式表示出x1+x2和x1x2，进而由=0及x1+x2＞0，x1x2＞0通过整理消去k得到λ的不等式，此时解不等式即可，最后把两种情况综合之．【解答】（1）证明：在△PAB中，|AB|=2，即22=d12+d22﹣2d1d2cos2θ，4=（d1﹣d2）2+4d1d2sin2θ，即（常数），所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线．又b2=1﹣（1﹣λ），所以C的方程为：．（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，﹣1）在双曲线上．即，因为0＜λ＜1，所以．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）．由得：[λ﹣（1﹣λ）k2]x2+2（1﹣λ）k2x﹣（1﹣λ）（k2+λ）=0，由题意知：[λ﹣（1﹣λ）k2]≠0，所以，．于是：．因为，且M，N在双曲线右支上，所以．由①②知，λ的取值范围是：．22．（14分）（2007•江西）设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有2+；（1）求a1，a3；（2）求数列{a n}的通项a n．【分析】（1）令n=1，根据2+可得到，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+可得到2+进而可得到a3的范围，最后根据数列{a n}是正整数数列求出a3的值．（2）先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想a n=n2，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）据条件得2+①当n=1时，由，即有2+＜，解得．因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+，解得8＜a3＜10，所以a3=9．（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：a n=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由（1）知a n=n2均成立；②假设n=k（k≥2）成立，则a k=k2，则n=k+1时由（1）得2+∴，即∴因为k≥2时，（k3+1）﹣（k+1）2=k（k+1）（k﹣2）≥0，所以．k﹣1≥1，所以．又a k+1∈N*，所以（k+1）2≤a k+1≤（k+1）2．故a k=（k+1）2，即n=k+1时，a n=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，+1a n=n2．。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)及解析
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，2），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣b n2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．2﹣b n2那么，b n+1=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣b n2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：t（﹣∞，0）0（0，a）a（a，+∞）g′（t）+0﹣0+g（t）极大值a+b 极小值b﹣f（a）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一.选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.化简()2241ii ++的结果是（ ）A.2i +B.2i -+C.2i -D.2i --2.321lim 1x x x x →--（ ） A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在3.若tan 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） A.2-B.12-C.12D.24.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） A.4B.5C.6D.75.若02x π<<，则下列命题中正确的是（ ）A.3sin x x π<B.3sin x x π>C.224sin x x π<D.224sin x x π>6.若集合{}0,1,2M =，(){},210210,,N x y x y x y x y M =-+≥--≤∈且，则N 中元素的个数为（ ） A.9B.6C.4D.27.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A.点H 是1A BD △的垂心B.AH 垂直平面11CB DC.AH 的延长线经过点1CD.直线AH 和1BB 所成角为45°8.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）A.214h h h >>B.123h h h >>C.324h h h >>D.241h h h >>9.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ） A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=上 C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能10.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）A.19B.112C.115D.11811.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） A.15-B.0C.15D.512.设p ：()2e ln 21x f x x x mx =++++在()0,+∞内单调递增，q ：5m ≥-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题.请把答案填在答题卡上.13.设函数()()24log 13y x x =+-≥，则其反函数的定义域为______.14.已知数列{}n a 对于任意p ，*q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =______. 15.如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为______.16.设有一组圆k C ：()()()224*132x k y k k k N -++-=∈.下列四个命题： A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D.所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）三.解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数()()()21021xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩在区间()0,1内连续，且()298f c=. （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+. 18.如图，函数()2cos ,02y x x R πωθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭剟的图象与y轴交于点(，且在该点处切线的斜率为2-.（1）求θ和ω的值； （2）已知点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是该函数图象上一点，点()00,Q x y 是PA 的中点，当02y =，0,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.19.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6，0.5，0.75.（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望.20.如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=︒，14AA =，12BB =，13CC =.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积.21.设动点P 到点()1,0A -和()1,0B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数()01λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=uuu r uuu r，其中点O 为坐标原点.22.设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n N ∈，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+. （1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a .。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b 的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x ≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g （x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A （3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x 轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan （排名不分先后）菁优网2017年2月4日祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2007年普通高等学校招生全国统一考试 (江西卷)理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试 (江西卷)理科数学龚晓洛
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2007(000)000
【摘要】^10F;上海中学数学
【总页数】1页(P)
【作者】龚晓洛
【作者单位】江西丰城二中
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-江西卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)i i ++的结果是（ ） Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim1x x x x →--（ ） Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n⎛⎝展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x <Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ） Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D Ｃ．A H 的延长线经过点1C Ｄ．直线A H 和1B B 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a bab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）11C1B。
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A.人
B.环境
C.健康 D.护理
( ) 11.根据护理工作专业性质划分不包括
A.专业性
B.半专业性
C.非专业性 D.依赖性护理功能
( ) 12.护理工作根据场所不同的划分不包括
A.医院护理 B.社会护理
C 护理教育
D 家庭访视
( ) 13.当护士每日为病人做肢体功能锻炼，她扮演的角色为
A.管理者及协调者 B.促进康复者
疾，护士的心理素质体现了
A.良好的人生观及职业动机 B.敏锐的观察力及感知能力
C.精确的记忆力
D.良好的个性心理素质
( ) 16.护理的基本任务不包括
A.维护健康 B.预防疾病 C.减轻病痛 D.正确的诊断
第二章
()
17.吗啡给自体带来暂时的舒适，是健康的哪一种体现
A 身心健康 B.社会适应良好 C.道德健康 D.成瘾，从根本上破坏人的健康
A.1858 年 B.1859 年
C.1860 年 D.1856 年
( ) 5.国际护士节为每年的
A.5 月 10 日 B.5 月 12 日 C.10 月 1 日 D.10 月 12 日
( ) 6.我国从哪年开始参加南丁格尔奖评选活动
A.22%
A.1980 B.1973 C.1983 D.1985
C.青春期
D.中年期
( ) 30.成长与发展规律语言发展最快时段
A.2 岁 B.7 岁
C.3—5 岁 D.6 岁
( ) 31.人格结构不包括
A.本我 B 自我 C.超我 D.自卫
( ) 32.青春期发展障碍是
A.病人翻身 B.皮肤按摩
C.活动肢体 D.严格执行灭菌操作
( ) 27.安全的需要不包括
A.地板防滑
B.适用床档
C.章
( ) 28.第一个生长高峰在几月
A.3 个月 B.出生后 1 个月
C.出生后 6 个月
D.8 个月
( ) 29.成长与发展第二个生长高峰
A.幼儿期 B.学龄期
()
18.哪种疾病是亚健康的表现
A.肺炎 B.脑炎 C.隐匿性缺铁性心脏病 D.高血压
( ) 19.影响健康的因素不包括
A.生物因素 B.心理因素 C.环境因素 D.衰老
( ) 20.疾病的三角模式不包括
A.宿住 B.病原
C.环境
D.精神分裂
( ) 21.癌症病人不愿意承认自己是病人，这是病人角色的哪种行为
A.病人角色行为冲突 B.病人角色行为强化
C.病人角色行为缺如 D.病人角色行为异常
()
22.疾病对社会的影响不包括
A.降低社会生产力
B.浪费或消耗医疗资源
C.造成传染，威胁他人健康 D.家庭成员情绪变化
()
23.儿童营养状况应该达到
A.90%以上新生儿出生体重超过 2500 克
B.90%以上新生儿出生体重超过 3000 克
C.计划者 D.沟通者
( ) 14.急诊医生用 25%硫酸镁 20 毫升口服导泻，写成静脉注射，治疗护士拿到处方经查资
料，避免了一场医疗事故
A.有专业责任心
B.有解决问题能力
C.有扎实的理论知识及实际技能 D.有独立学习的能力
( ) 15.一名高热病儿，医生初诊“发烧待查，不排除脑炎”护士凭仔细观察怀疑是中毒性痢
C. 90%以上新生儿出生体重不超过 2000 克
D. 90%以上新生儿出生体重不超过 1800 克
第三章
( ) 24.马斯洛的人类需要理论有
A.三个层次 B.四个层次 C.五个层次 D.六个层次
( ) 25.下列哪项不是影响需要满足的因素
A.生理病理因素 B.心理因素 C.个人因素 D.发展因素
( ) 26.刺激的需要不包括
( ) 7.国际护士会成立于哪一年
A.1888 B.1899 C.1860 D.1858
( ) 8.我国第一所护士学校创建于
A.1884 B.1888 C.1922 D.1949
( ) 9.中华护理学会成立于哪一年
A.1914 B.1948 C.1909 D.1949
( ) 10.护理学的基本概念的核心是
护理学导论复习题
一、填空题： 1.护士的主要专业技术职称分为：（护士）、（护师）、（主管护师）、（付主任护师）、（主任护师）. 2. 护理专业特征包括：（以服务为目的）、（以完善的教育体制）、（有系统完善的理论基础）、（有 良好的科研体系）、（有专业自主性）. 3..人的基本需要分为：（生理性需要）、（社会性需要）、（情绪性需要）、（智能性需要）、（精神性需 要） 4.成长与发展的基本内容：（生理方面）、（认知方面 ）、（情感方面）、（精神方面）、（社会方面）、 （道德方面）. 5.护士工作的压力源 ：（不良的工作环境）、（紧急的工作性质 ）、（沉重的工作负荷）、（复杂的人 际关系）、（高风险的工作性质）. 6.护患非技术性关系 ：（.道德关系）、（利益关系）、（法律关系）、（文化关系）、（价值关系）. 7.人际沟通的特征:( 双向性 )、 (情景性)、（统一性）、（整体性）、（客观性） 8.护理程序的步骤：（评估）、（.诊断）、（计划）、（实施）、（评价） 9.护理人际关系的特征：（专业性、时限性）、（多面性、复杂性）、（协作性）、（公众性）、（指导 性 ）. 10..护理概念三个阶段的历史演变过程是：（以疾病为中心阶段）、（以病人为中心阶段 ）、（以人的 健康为中心阶段） 11.引起亚健康状态的因素是：（脑力和体力超负荷，心理失衡）、（不良生活习惯、衰老）、（疾病 前兆）、（人体生物周期中的低潮时期 ） 12.现代护理发展历程包括：（建立完善的护理教育体制）、（护理向专业化方向发展）、（护理管理 体制的建立）、（临床护理分科 ） 13.护士的资历包括：（教育程度）、（工作经历）、（专业证书 ）、（专科教育）. 14.预防疾病的措施有：（病因预防）、（临床前期预防 ）、（临床期预防）、（早期康复指导）. 15.初级卫生保健的原则包括：（公平）、（可获得性）、（充能）、（文化感受性）、（自我决策 ）.
单选题
第一章
( ) 1.护理学是一门
A.社会科学 B.自然科学 C.应用科学 D.独立科学
( ) 2.南丁格尔是
A.英国人
B.美国人
C.德国人
D.意大利人
( ) 3.经过南丁格尔的专业护理战场上的英军伤痛的死亡率从 42%下降到了
B.35%
C.2.2%
D.3.5%
( ) 4.南丁格尔在英国创办的第一所护士学校是