沪教版(上海)八年级第一学期直角三角形例题精讲与练习

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上海初中数学八年级上---19.8直角三角形的性质(含答案)

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， (1)若∠B ＝50°，则∠A ＝__________； (2)若∠B －∠A ＝50°，则∠A ＝__________； (3)与∠A 互余的角有________________；(4)与∠A 相等的角有________________．第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长为厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm ，则斜边长是 cm ． 5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm 和3 cm ，则这个直角三角形的面积为__________cm 2.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，周长为24 cm ，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm ，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC 中，∠ ABC=∠ ACB ，D 、E 为△ABC 外两点，AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，F 、G 分别为AB 、AC 的中点．求证：DF ＝GE .8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040．求证：AB CD 2=．ABCD9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．ＣＢＡＥＤＦ19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，若BC＝4 cm，则AB＝__________cm.2. 在△ABC中，若∠C∶∠B∶∠A＝1∶2∶3，BC＝16,则AB＝__________.3.在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，若BD＝4cm，则BC＝__________cm，AD＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD= cm.．6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．求：∠BAC的度数．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝12 AB．AB CDAB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.8直角三角形的性质(含答案)

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，(1)若∠B＝50°，则∠A＝__________；(2)若∠B－∠A＝50°，则∠A＝__________；(3)与∠A互余的角有________________；(4)与∠A相等的角有________________．第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长为厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm．5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm和3 cm，则这个直角三角形的面积为__________cm2.6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24 cm，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC中，∠ ABC=∠ ACB，D、E为△ABC外两点，AD⊥BD，AE⊥CE，F、G 分别为AB、AC的中点．求证：DF＝GE.8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040．求证：AB CD 2=．9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .ABCD三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，若BC ＝4 cm ，则AB ＝__________cm.2. 在△ABC 中，若∠C ∶∠B ∶∠A ＝1∶2∶3，BC ＝16,则AB ＝__________.3.在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，若BD ＝4cm ，则BC ＝__________cm ，AD ＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm ，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC 边上的高AD= cm.．ＣＢＡＥＤＦ6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．AB CD1 2AB．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝AB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

沪教版(上海)八年级数学上19.8第3课时直角三角形的性质(2)

沪教版（上海）八年级上19.8第3课时直角三角形的性质（2）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．2 . 如图，AB=AD， CB=CD，则有（）A．AC垂直平分BD B．AC与BD互相垂直平分C．BD垂直平分AC D．BD平分∠ABC3 . 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，且∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC等于（）A．121°B．120°C．119°D．118°4 . 直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．13B．9C．8.5D．6.5二、填空题5 . 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE=_____m．6 . 如图，点B是AD延长线上的一点，DE∥AC，AE平分∠C AB，∠C=50°，∠E=30°，则∠CDA的度数等于．7 . 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于O，P是AB上一点，PO＝PA＝3，则菱形ABCD的周长是_______．8 . 如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是_____．9 . 如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是____(填写正确结论的序号)．10 . 通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．三、解答题11 . 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁中点，立柱，垂直于横梁，，。

沪教版八年级上册直角三角形的教案与练习题

直角三角形全等判断方法一、研究直角三角形全等的判定方法问题重现已知:如图,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是点C 、D ，且PC=PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上问题探索问题1：在两个直角三角形中，“边、边、角”对应相等的情况有几种？问题2：你能把我们想要解决的问题用命题的形式来表述吗？问题3：证明命题“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.”是真命题.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’= 90o，AC=A’C’，AB=A’B’21世纪教育网求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’问题解决直角三角形全等的判定方法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.（简记为“H.L ”）二、直角三角形全等的判定方法的应用练一练如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’= 90o）是否全等？如果全等在（）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（）里打“×”.（1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （） _____（2）AC=A’C’，BC=B’C’ （） _____（3）AB=A’B’，BC=B’C’ （） _____ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （） _____ （5）AC=A’C’，AB=A’B’ （） _____ （6）BC=B’C’，∠A=∠A’ （） _____ 【说明】能正确的根据所给条件确定判定方法.学一学已知:如图,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是点C 、D ，且PC=PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上DO BPC AA B C A ’ B ’ C ’A B C A ’ B ’ C ’A CBCA BD做一做已知:如图,在△ABC 中,BD ⊥AC,CE ⊥AB,点D 、E 为垂足，BD 和CE 相交于点F ，BD=CE. 求证:（1）AB=AC （2）联结AF ，AF 平分∠BAC 吗？为什么？直角三角形的性质一、复习引入1、什么叫直角三角形？2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 引出课题：直角三角形的性质二、探索新知（1）研究直角三角形性质定理一如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？归纳：定理1：直角三角形的两个锐角互余.3、巩固练习：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；（2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ；（3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有，与∠A 互余的角有，与∠B 相等的角有，∠A 相等的角有 .（二）研究直角三角形性质定理二想一想如果在练习（3）中添加∠A=45o的条件，那么各个锐角是多少度？各个线段之间有什么等量关系？猜一猜量一量直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？证一证命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.DO BPCAB A CE DFAD CAB E F 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线.求证：CD=21AB归纳总结定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【说明】想一想让学生通过等腰直角三角形这个特殊的直角三角形的斜边上中线与斜边的等量关系的研究，转入到对任意直角三角形斜边上的中线与斜边的等量关系的思考，即引导学生体会从“特殊到一般”的解决问题的策略，又帮助学生对任意直角三角形斜边上中线与斜边等量关系形成猜想，与老教材的“操作”归纳相比更注重解决问题的策略渗透.对于添加辅助线这一难点，由于在“证明举例”的学习中已有接触，教师稍加点拨后难点较易突破.三、巩固新知，深化提高[1、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．3、例题：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF. 求证：AB=AC推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期第三章：直角三角形复习课件

在RT△PFH中，由勾股定理得
Q
添加辅助线构建基本图形是常见的添辅助线策略
∴BC=BF+FH+PH=6+8+10=24
过点P作PQ⊥BC于Q PQ=PF*PH/FH=6*8/10=4.8
S矩形ABCD=BC*PQ=24*4.8=115.2
再见~
例题2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120º，
E为BC的中点，DE⊥AC，
求证：AD= 1 AC．
分析：
4
等腰三角形出现底边上的中点时，根据“等腰三角形的三线合一”的性质，构造直角三角形.
AD= 有母之你12想由们图间联一子可A基到中熟的结以个直E本了又悉数A得，锐角图什有的E量到A后角三形么什图关AE，你？么形D是角=系原与我？吗形312A0？．C°AC的．
直角三角形复习
试一试
例1 已知，如图， Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，（1）求AC的值；
试一试
已知： Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，（1）求AC的值；（2）以AC为斜边，作Rt△ACD，使得CD=AB，求证： △ABC≌CDA;
试一试
已知： Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，（1）求AC的值；（2）以AC为斜边，作Rt△ACD，使得CD=AB，求证： △ABC≌CDA; （3）取AC的中点E，联结DE，BE，证明：DE=BE;
例题2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120º，E为BC
的中点，DE⊥AC，
求证：AD= 1 AC．
证明：
4
∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C（等边对等角）． ∵∠BAC=120º（已知）， ∴∠C =30º（三角形的内角和为180º）

泸科版秋八年级数学上册专练：直角三角形的性质定理(含答案)

泸科版2020秋八年级数学上册专练：直角三角形的性质定理（含答案）一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D． 7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）教育精A． 25 B． 30 C． 35 D． 404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B． 2cm C． 1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A． BD=AB B． BD=AB C． BD=AB D． BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A． 5m B． 8m C． 10m D． 20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A． 6米B． 9米C． 12米D． 15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________ ．10．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________ ．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD= _______cm．第9题第10题第11题第12题教13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm．。

沪教版初中数学八年级第一学期直角三角形的性质

C
小结：斜边重合的两个直角三
角形，其斜边的中线相等
A
E
B
D
提高题：
已知：在Rt △ABC中,ACB=90°,CH是斜边AB 上的高，CD是斜边AB上的中线，CT是∠ACB的角平分线.
求证:∠HCT=∠TCD .
谢谢大家
变式训练4： 3、已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
（1）求证：ED=EB
D
（3）如果∠A=250，那么∠CDB= 500
▪ 例题3：
已知：如图，在⊿ABC，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF
求证：AB=AC
解 ∵AD ⊥BC A ∴∠ADB= ∠ADC=900（垂直的意义）
∵ E、F分别是AB，AC的中点。
∴DE=
1
2AB
，
1
DF=2
AC
E
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一）半
复习：（1）什么叫直角三角形？
有一个角是直角的三角形叫直角三角形（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
C
A
B
问题1：在Rt△ABC中，∠C=900， ∠A 与 ∠B有怎样的数量关系？为什么？
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
在Rt△ABC中， ∠C=900， ∴∠A +∠B=900
C
DB
课堂检测
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900,
CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm,
C
则BDB=C=--2---c--4--mc----m------,-A,D=∠--B-6C--cD-=m--------3-,0--0---,

沪教版八年级(上)数学秋季课程第18讲直角三角形的判定、性质和推论

直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据。

（1）AD =__________()；（2）∠DAB =_________ ()．【例2】已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对．【例3】下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE =DF ．例题解析BACDABC DEFGOH EABCDF【例5】如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB 的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：AC =AE+2BE．【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由．ABCDEAB CDEFABC DE FGABCDEFG图2图1【例8】在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1ABCDElABCDE图2ABCD E【例10】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ．2、两个性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ：（1）若∠B =55°，则∠A =________；（2）若∠B ∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCDEFGABCD【例12】如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ．【例13】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ，（1）求证：∠CDB =∠CEB ；（2）用x 的代数式表示y ．【例14】如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF =DC ，P 是CF 中点．求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【例15】如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．ABC DE FO M AB C DMN A B CD EABCDP F【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么?【例17】如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点．（1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【例18】如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ．【例19】如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．BE FHD AGCABC DE12ABCDMN（1）若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3）若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【例20】已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．A BCDE FNHMABC MEFN 图2ABCNEFM图1ABCEFNM图33、推论：（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【例21】（1）△ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______．【例22】如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________．【例23】已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于例题解析模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDEABCDMEDCBAD ，求证：12AD DC ．【例24】已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小．【例25】已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ．【例26】已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，（1）求FG ：BF 的值；（2）若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【例27】在△ABC 中，已知∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB =AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度．ABCDEFGABCDA E FM【例28】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A ．两条直角边对应相等B ．斜边一个锐角对应相等C ．一条直角边和一条斜边对应相等D ．一条边和一个角对应相等【习题2】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【习题3】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB随堂检测ABCDABCD MNNABCD M【习题4】如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【习题5】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC =∠BCH ．【习题6】如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ．【习题7】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE ．（1）求证：ED =DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件?【习题8】如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．A BC DE ABCDEHAB CDEFAC BE FD【习题9】已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ．求证：∠AEC =3∠DCE ．【习题10】如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，AD与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【习题11】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1）线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2）若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明．ABCDE GABCDFE ABDMEABDOC课后作业【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A．0B．1C．2D．3【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．D ABCEABCDE ABCDE【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC .【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明．【作业9】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点．（1）求证：MN ⊥BD ；ABCDABCD EABCDEFADM（2）当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长【作业10】已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ．【作业11】如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．ABCDPEO图1 ABCDEMA BCDE图2 MB。

沪教版(上海)八年级上册数学 19.7 直角三角形全等的判定同步习题(含答案)

19.7 直角三角形全等的判定同步习题一、选择题1.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D、E为垂足，下列结论正确的是（）A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=12BD D．BC=2BD2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断6. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．8. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=8cm，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，则DE= ．三、解答题13. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．14.如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点. （1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．参考答案一.选择题1. B；2. D；3. A；4. D；5. A；6. A；二.填空题7. △DFE，HL；8. 6；9. （1）（2）10.20；11.45°；12.4cm；三.解答题13.证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝1(180)302BAC︒-∠=︒．∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴12DE BD=，12DF CD=．∴12DE DF BC+=．14.解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点.∴DM=12BC，ME=12BC，∴DM=ME，又∵N是DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°－∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°－2∠ABC）+（180°-2∠ACB） =360°－2（∠ABC+∠ACB）=360°－2（180°－∠A）=2∠A，∴∠DME=180°－2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°－∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°－∠A）=360°－2∠A ∴∠DME=180°－（360°－2∠A）=2∠A-180°.15.证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，,, AB CD AF CE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，,,,BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF．。

2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题08 直角三角形复习(考点讲解)(教师版)

专题08 直角三角形（沪教版）【考点剖析】1.直角三角形全等的判定Rt ABC ∴∆2.直角三角形的性质定理及推论 3.勾股定理4.两点的距离公式①数轴上两点A 、B 分别表示实数m 、n ，则AB 的距离为||m n -.②如果直角坐标平面内有两点111222(,)(,)P x y P x y 、，那么12P P 、两点间的距离12PP =【典例分析】例题1 （浦东2017期末4）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（） A.4、7、9； B. 5、12、13； C. 6、8、10； D. 7、24、25. 【答案】A【解析】A 、因为222479+≠，故不是直角三角形，符合题意；B 、22251213+=，故是直角三角形；C 、2228610+=，故是直角三角形；D 、22272425+=，故是直角三角形；故选A.例题2 （金山2018期末16）如图：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB 的垂直平分线EF 分别交BC 、AB 于点E 、F ， ︒=∠65AEF ，那么=∠CAE ．【答案】40︒.【解析】因为EF 垂直平分AB ，所以EA ＝EB ，所以B EAB ∠=∠，因为︒=∠65AEF ，所以25B EAB ∠=∠=︒，所以252550AEC ∠=︒+︒=︒，所以905040CAE ∠=︒-︒=︒.例题3 （黄浦2017期末16）若ABC ∆的三条边分别为5、12、13，则ABC ∆之最长边上的中线长为 . 【答案】132；【解析】因为22251213+=，故ABC ∆为直角三角形，则ABC ∆的最长边（即斜边）上的中线长等于斜边的一半为132. 例题4 （金山2017期末18）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点D 在BC 边上，现将ABC ∆沿直线AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，那么AD ＝ cm.【答案】.【解析】设点C 落在AB 边上的点E 处，则DE ＝DC ，AE ＝AC ＝6，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝8－x ，因为AB10=，所以BE ＝4，所以8-x=5，得x ＝3，所以AD ===. 例题5 （浦东2017期末19）已知在ABC ∆中，AB ＝9，AC ＝10，BC ＝17，那么边AB 上的高等于 . 【答案】8【解析】如图，设AD ＝x ，CD ＝h ，则由勾股定理得2222100(9)289x h x h ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解之得68x h =⎧⎨=⎩.17109DCBA例题6 （普陀2017期末23）已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且MN DE ⊥，垂足为点N. （1）求证：ME ＝MD ；（2）如果BD 平分ABC ∠，求证：AC ＝4EN.【答案与解析】（1）因为BD 、是边AC 上的高，所以90BDC ∠=︒，因为M 是BC 的中点，所以12DM BC =，同理12EM BC =，所以ME=MD. （2）因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，因为BD 是边AC 上的高，所以90ADB CDB ∠=∠=︒，在ABD CBD ∆∆和中，ABD CBD BD BD ADB CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ABD CBD ∆∆≌，所以AD=CD ，又CE 是边AB 上的高，所以CEA=90∠︒，所以AC=2ED ，因为ME=MD ， MN DE ⊥，所以ED=2 EN ，所以AC=4EN. 【真题训练】一、选择题1．（金山2017期末5）下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边的是（）1； B. C. D. 【答案】A.【解析】因为2221+=，故可作为直角三角形的三边.所以选A.2．（宝山2017期末4）在90Rt ABC C ∆∠=︒中，，如果12BC AB =，那么（） A.30A ∠=︒； B. 45A ∠=︒； C. 60A ∠=︒； D. 36A ∠=︒. 【答案】A【解析】根据直角三角形的性质定理2的推论2：直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30度。

19.8直角三角形的性质-沪教版(上海)八年级数学第一学期同步练习

3∠=∠B 31∠=∠32∠=∠︒=∠+∠903A 19.8(1)直角三角形的性质一、选择题1.下列命题正确的有（）①直角三角形的两个锐角相等；②直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半；③直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分；○4直角三角形斜边上的高等于斜边的一半（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2.如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90C ，CD 是AB 的中线，CE 是AB 上的高，下列判断错误的是（）。

（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠-∠40B A ,那么=∠A ______°，B ∠=_______°.4.在直角三角形中，两锐角的平分线相交成的锐角的度数是________度。

5.已知面积为6的直角三角形斜边上的高为3，则斜边上的中线长为___________.6.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD ⊥AB,点E 是AB 的中点，︒=∠35ACD ,则 ︒=∠______ECD7.如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠35BAC ,B ACD ∠=∠,E 是AC 的中点，那么 ︒=∠_____EDB三、解答题8.如图，在ABC ∆中，CD ⊥AB ，且BD=CD 、DE=DA ，M 、N分别为BE 、AC 的中点，联结DM 、DN ，求证DM=DN.9.如图，在ABC ∆中，CD 是高，CE 是中线，DG ⊥CE 于G ，2CD=AB.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠210.如图，在ABC ∆中，BD ⊥AB 于B,交AC 于D ，︒=∠20A ，︒=∠30CBD ,请思考：线段AD 与BC 满足怎样的数量关系？并加以证明.11.在ABC Rt ∆和ACD Rt ∆中，︒=∠=∠90ADC ABC ,点E 是AC 的中点.（1）如图（1），求证：.2DCB DEB ∠=∠（2）如图（2），上述结论是否仍然成立，若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由。

数学沪科版八年级(上册)15.3第3课时直角三角形中30°角的性质定理

第15章轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第3课时直角三角形中30°角的性质定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B
处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.
M
解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60° C
作角，这角一边与AM交于点C,
D
60° B
30°
则C为礁石所在地；
A
(2)∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
D
证明2：在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1直角三角形的性质课件

符号表示:
在RtABC中，ACB 90.
30
A 30
BC 1 AB 2
B
C
A
如图，在RtABC中，ACB 90，
A 30,CE AB于E，
30
哪些线段的比值为2？
E
B
C
推论1：
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
你能说出这个定理的逆命题吗?
逆命题：
求证：BD 1 CD. 2
A
30
B
D
C
例题4. 已知：如图，在RtABC中，ACB 90，
CD AB,CE是斜边AB上的中线,且ED BD.
求证：A 30.
C
A
ED B
已知：如图，在RtABC中，ACB 90， B 15, AB的垂直平分线分别与AB、BC 相交于点N、M ,联结AM，AC 6，求BM的长.
(2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ D
A
E
C
B
已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点。求证：MD=ME
A
如果连接 DE, 取 DE 的
E
P
中点P,那么MP与DE有
D
什么样的关系存在?
B
M
C
已知Rt⊿ABC. 求作一条直线,把它分成两个等腰三角形
C M
15
A
N
B
已知：如图，BAC 30，
AP平分BAC, PM // AB, AM 5, PD AB
求PD的长.
B
D
P
A
M
C
推论1：
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。

沪教版(上海)八年级上19.8第2课时含锐角的直角三角形

沪教版（上海）八年级上19.8第2课时含锐角的直角三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知1CD =，30B ∠=，则BD 的长是（）A ．1B ．2C ．D ．2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则BD 与AB 的关系（）A ．BD=12AB B ．BD=13ABC ．BD=14ABD ．BD=15AB 3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=6，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，AP 的长不可能是（）A ．2.5B ．4.2C ．5.8D ．3.6 4．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，10OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN =，则OM 等于（）．A ．B ．1C ．5D ．4 5．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=12BC ，则△ABC 底角的度数为（）A ．45°或75°B ．75°C ．45°或75°或15°D ．60°二、填空题 6．如图，在ABC △中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，则底边上的中线AD =______．7．如图，15AOP BOP ∠=∠=︒，PC OA ，PD OA ⊥，若4PD =，则PC 的长为______．8．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6cm BC AB +=，则AB=____cm ．9．我市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要______元.10．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，60ABC ∠=，2BC cm =，D 为BC 的中点，若动点E 以1/cm s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（08t ≤≤），连接DE ，当BDE ∆是直角三角形时，t 的值为_____．三、解答题11．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若30F ∠=︒，1DE =，求BE 的长．12．如图，四边形ABCD 中，6AB BC cm ==，120A ∠=，60B ∠=，150C ∠=，求AD 的长．13．如图，已知ABC △是等边三角形，P 是ABC ∠的平分线BD 上一点，PE AB ⊥于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若3BQ =，求PE 的长．14．一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图（1），从正面看如图（2），已知50cm AO BO ==，40cm CO DO ==，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB ∠刚好为120︒，求桌面到地面的距离是多少？（1）（2）15．如图，∠ACB ＝∠CDE ＝90°，B 是CE 的中点，∠DCE ＝30°，AC ＝CD .求证：AB ∥DE .16．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上任意一点（点P 可以与点A 重合），过点P 作PE BC ⊥，垂足为E ，过点E 作EF AC ⊥，垂足为F ，过点F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，求当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？参考答案1．B【解析】【分析】由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后解答即可．【详解】∵△ADE与△ADC关于AD对称，∴△ADE≌△ADC，∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，∴∠BED=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE，∵DC=1，∴BD=2．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．2．C【分析】利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠BCD=∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=12BC，BC=12AB，进而可得答案.【详解】∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∵∠A=30°，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=12BC，BC=12AB，∴BD=14AB故选C.【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边，等于斜边的一半，熟练掌握相关性质是解题关键.3．A【解析】试题解析：∵∠C=90°，AB=6，∠B=30°，∴AC=12AB=12×6=3，∵点P是BC边上的动点，∴3＜AP＜6，∴AP的值不可能是2.5．故选A．考点：1.含30度角的直角三角形；2.三角形三边关系．4．D【分析】过P作PH⊥MN，垂足为H，根据等腰三角形的性质可求得MH的长，然后在直角△OPH 中利用30°角的性质可得OH的长，问题即得解决.【详解】解：过P作PH⊥MN，垂足为H，∵PM=PN，MN=2，∴MH=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴HO=12 PO，∵OP=10，∴HO=5，∴MO=4. 故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.5．C【解析】试题分析：分三种情况讨论，①如图1，当AB=AC时，∵AD⊥BC，∴BD=CD，BC，∵AD=12∴AD=BD=CD，∴底角为45°；②如图2，当AB=BC时，BC，∵AD=12∴AD=1AB，2∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．③如图3，当AB=BC 时，∵AD=12BC ，AB=BC ，∴AD=12AB ，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；∴△ABC 底角的度数为45°或75°或15°；故选C ．考点：等腰三角形的性质.6．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数以及AD ⊥BC ，再根据直角三角形的性质即可求出结果.【详解】解：在△ABC 中，∵12AB AC ==，∠BAC =120°，AD 是△ABC 底边的中线， ∴∠B =∠C =30°，AD ⊥BC ，∴AD=12AB =6. 故答案为6.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟知等腰三角形和直角三角形的性质是关键.7．8【分析】作PE ⊥OB 于E ，先根据角平分线的性质求出PE 的长度，再根据平行线的性质得∠OPC ＝∠AOP ，然后即可求出∠ECP 的度数，再在Rt △ECP 中利用直角三角形的性质即可求出结果．【详解】解：作PE ⊥OB 于E ，如图所示：∵PD ⊥OA ，∴PE =PD =4，∵PC ∥OA ，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，∴∠OPC ＝∠AOP ＝15°，∴∠ECP ＝15°+15°＝30°，∴PC ＝2PE ＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的外角性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，作PE ⊥OB 构建角平分线的模型是解题的关键.8．4【分析】先根据30°角的直角三角形的性质得出BC 和AB 的关系，再代入已知的式子中即可求出结果.【详解】解：在Rt ABC △中，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴BC =12AB ， ∵6cm BC AB +=，∴12AB +AB =6cm ，∴AB =4cm. 故答案为4.【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，掌握性质是关键.9．150a【分析】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC＝30°，由AC＝30m，即可求出CD＝15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30m，∴CD＝15m，∵AB＝20m，∴S△ABC＝12AB×CD＝12×20×15＝150m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格为150a元．故答案为：150a 元．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．10．2或6或3.5或4.5．【解析】【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是ΔABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠ABC 的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可.【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=BC÷cos60︒=2÷12=4， ①∠BDE=90°时，如图（1）∵D 为BC 的中点，∴DE 是ΔABC 的中位线， ∴AE=12AB=12×4=2，点E 在AB 上时，t=2÷1=2秒，点E 在BA 上时，点E 运动的路程为4×2-2=6，t=6÷1=6；②∠BED=90°时，如图（2）BE=BD cos60︒=12×2×12=12点E 在AB 上时，t=（4-0.5）÷1=3.5，点E 在BA 上时，点E 运动的路程为4+0.5=4.5，t=4.5÷1=4.5，综上所述，t 的值为2或6或3.5或4.5．故答案为：2或6或3.5或4.5．【点睛】掌握三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.11．2【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE BE =，从而得ABE A ∠=∠，再根据同角的余角相等得30A F ∠=∠=︒，然后在直角△BDE 中利用30°角的性质即可求得结果.【详解】解：∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，∴90BDF ∠=︒，AE BE =． ∴ABE A ∠=∠．∵30F ∠=︒，∴60DBF ∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴30A ∠=︒．∴30ABE ∠=︒．∴22BE DE ==．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，掌握基本图形的性质是解题的关键.12．12cm【解析】【分析】连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，然后求出∠ACD ＝90°，∠CAD ＝60°，利用含30°的直角三角形的性质即可求出AD 的长．【详解】解：连接AC ，如图：∵AB ＝BC ＝6cm ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝6cm ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵∠A ＝120°，∠C ＝150°，∴∠ACD ＝90°，∠CAD ＝60°，∴AD ＝2AC ＝12cm ．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解本题的关键．13．3【分析】先根据等边三角形和直角三角形的性质得出12PE BP =，再根据线段垂直平分线的性质得出BP 的长，问题即得解决.【详解】解：∵ABC ∆是等边三角形，BP 是ABC ∠的平分线，∴30EBP ∠=︒．∵PE AB ⊥于点E ，∴90BEP ∠=︒．∴12PE BP =． ∵QF 为线段BP 的垂直平分线，∴2BP BQ =．∵3BQ =，∴6BP =．∴3PE =．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质，难度不大，属于基本题型，熟练掌握等边三角形和30°角的直角三角形的性质是求解的关键.14．45cm【分析】过点D 作DE AB ⊥于点E ，先根据条件求出AD 的长和∠A 的度数，再利用直角三角形的性质即可求出结果.【详解】解：过点D 作DE AB ⊥于点E ，∵50cm AO BO ==，40cm CO DO ==，∴504090cm AD OA OD =+=+=． ∵AO BO =，120AOB ∠=︒，∴180120302A B ︒-︒∠=∠==︒． ∴119045cm 22DE AD ==⨯=．所以桌面到地面的距离是45cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质在实际中的应用，正确理解题意，构建含30°的直角三角形是解题的关键.15．证明见解析【分析】首先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得1DE CE 2=，再由1CB CE 2=，可得DE=CB ，再有条件AC=CD ，∠ACB=∠D ，可证明△ABC ≌△CED ，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠E ，根据同位角相等，两直线平行可得到结论．【详解】证明：∵∠CDE=90°，∠DCE=30°∴1DE CE 2= ∵B 是CE 的中点， ∴1CB CE 2=∴DE=CB在△ABC 和△CED 中AC CD ACB CDE CB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CED∴∠ABC=∠E∴AB ∥DE.16．43【分析】由题意易知：BPE ∠=30FEC AFQ ∠=∠=︒，可设BP x =，利用图中边之间的关系和30°角的性质依次表示出BE 、EC 、CF 、AF 、AQ 的长，再根据点P 与点Q 重合时2BP AQ +=，即可解出x 的值.【详解】解：设BP x =，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，在Rt PBE △中，30BPE ∠=︒，∴12BE x =，则122EC x =-．在Rt EFC △中，30FEC ∠=︒，∴11124FC EC x ==-，∴11221144AF FC x x ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭．在Rt FAQ △中，30AFQ ∠=︒，∴111228AQ AF x ==+，当点P 与点Q 重合时，2BP AQ +=，即11228x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得43x =．故当43BP =时，点P 与点Q 重合．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.。

沪教版八年级上19.3 直角三角形知识讲解讲义

直角三角形〔进步〕【学习目的】1．理解和掌握断定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边〞〔即“HL〞〕. 2．能纯熟地用断定一般三角形全等的方法及断定直角三角形的特殊方法断定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、断定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS〞，“ASA〞或“SAS〞断定定理.要点二、断定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边〞或“HL〞〕.这个断定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：〔1〕“HL〞从顺序上讲是“边边角〞对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.〔2〕断定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.〔3〕应用“斜边、直角边〞断定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt〞.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中〞，是证明直角三角形中一边等于另一边〔斜边〕的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的断定——“HL〞1、判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×〞，全等的注明理由：〔1〕一个锐角和这个角的对边对应相等；〔〕〔2〕一个锐角和斜边对应相等；〔〕〔3〕两直角边对应相等；〔〕〔4〕一条直角边和斜边对应相等．〔〕【答案】〔1〕全等，“AAS〞；〔2〕全等，“AAS〞；〔3〕全等，“SAS〞；〔4〕全等，“HL〞. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的断定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的断定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】以下说法中，正确的画“√〞；错误的画“×〞，并举出反例画出图形.〔1〕一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．〔〕〔2〕有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕〔3〕有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕【答案】〔1〕√；〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF〔3〕×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH为第三边上的高，2、：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【答案与解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE与Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF 〔HL〕∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF〔SAS〕∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】从条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从和结论向中间推进，证出题目.3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】假设能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．条件和结论互相转化，有时需要通过屡次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．类型二、直角三角形性质的应用4、如下图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°．∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ．【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半〞关系．此题合适用“两头凑〞的方法，从结论入手找条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．。