绘制根轨迹的基本法则(1)

135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
即有纯虚根 s j，此时K*使系统处于临界稳定状态
两种计算方法： 劳斯稳定判据计算临界增益 采用代入法计算
24
【例4.2.4】已知某单位负反馈系统的开环传递函数，
K* GK (s) s(s 1)(s 2)
试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K*
Gk(s)
解：闭环特征方程为
s(s 1)(s 2) K * 0
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
3s 2 K * 0 s 2 2 0
s1,2 j 2
26
或者将 s j直接代入特征方程，得
j3 3 2 2j K * 0
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
Imaginary Axis
3 3 2
2
K*
0 0
K*
2 6
0
p3=-2
i 1
i 1
j
l 1
n
n
sn ( l
sl
)sn1 n
i1
pl i1
(snl
l1
)sl
29
根轨迹绘制规则总结
序 内容 1 分支数
对称性 2 起点
终点 实轴上 3 分布
4 渐近线
规则
等于开环传递函数的极点数（nm ） 对称于实轴
起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 无限零点）
实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数
(s pi )
j 1
i 1
i 1
？有几个
K* 0
s pi , i 1,, n
根
因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有n个根 所以，根轨迹起于开环极点
3
根轨迹方程又可以写为（K*≠0）
m j 1
(s
z
j
)
1 K*
n
(s pi ) 0
i 1
K*
s z j , j 1,, m
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
相交于实轴上的同一点：
n
m
坐标为：
pi z j
i1
j1
nm
倾角为：
(2k 1)
nm
30
序 内容
规则
5 分离（会 实轴上的分离（会合）点
合）点
m1
n1
i1 d zi i1 d p j
6 起始角
终止角
复极点处的出射角：
复零点处的入射角：
m
n
pi
(2k 1)
j1
(
pi
z j ) ( pi j1 ji
n
j i (2k 1) , k 0,1,2
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
s
p3 0
s p2
z2 s z2 p2
11
实轴上的根轨迹
（p1, z1）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点 （p4, z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3 个
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
pi 3
z1
(4 2) (1) 3
例4.2.1的根轨迹
1.67
(2k
1)
3
,k
0,1,2
60,180,300
10
法则4：实轴上的根轨迹
实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数 之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
证明：根轨迹上的点必须满足相角条件
m
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (百度文库i z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
4.2 根轨迹的绘制
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10
5 d=-2.47, K*=0.419 ???
Imaginary Axis
解:(1)实轴上根轨迹
(z1,p1)之间有根轨迹，而且 没有分离点，所以起于p1，终 于z1
(p2,p3)之间有根轨迹，且有 分离点
0
p3=-3
p2=-2 z1=-1
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|szj |
j 1
将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
pi
2
zj
j 1
(2 3) (1) 2
2
Imaginary Axis
?4.2.2??? 10
5 d=-2.47, K*=0.419 ???
0
p3=-3
p2=-2 z1=-1
-5
-10
（4）分离点处的根轨迹增益K*
-4
-3
-2
-1
Real Axis
d 2.47
n
| d pi |
K*
i 1 m
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
F(s) N(s) K *M (s) 0 F (s) N (s) K *M (s) 0
分离点
(3)极值法
分离点
M (s) N(s) N(s) M (s) 0
K * N(s) M (s)
dK * 0 ds
sd
M (s) N(s) M (s) N(s) 0
15
【例4.2.2】绘制开环传递函数的根轨迹草图
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称 于实轴
特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数， 因此根轨迹连续
2
法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明： 根轨迹起点: K * 0
根轨迹终点: K *
m
(s z j )
m
n
K * j1 n
1
K * (s z j ) (s pi ) 0