绘制根轨迹的基本法则(1)
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根轨迹的绘制法则
注意：分离点、会合点一定在实轴上
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
本 章 返 回
4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
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4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
根轨迹的绘制法则
例2：系统的特征方程为：
*
求根轨迹分离点。
*
K 1 G( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)
jω
j 2 ( K * 6)
解：因为系统根轨迹方程为：
K 1 s ( s 1)( s 2)
K s ( s 1)( s 2)
*
(4) 实轴上的根轨迹区间为：
j 2*
j 2
( K * 6)
( K 6)
(, 2];[1, 0]
法则5：根轨迹轨迹的分离点。 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相 遇又立即分开的点，称根轨迹的分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上 , 但有时 也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 系统的闭环特征方程写为
j i
j 1
j i
证明： 在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足 相角条件，有 ( s1 z1 ) [( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 )] (2k 1) jω s1
当S1无限趋近于P1点时， θ p1 p 1 即 ( s1 p1 ) 为P1点的 θ 出射角 p ，一般情况下， φ z1p1 p3 0 开环复数极点Pk的出射 z1 θ p2p1 角为： m m
法则3：根轨迹的渐近线。 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即 n＞m, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止 于无穷远处。 渐近线的可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标:
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与实轴正方向的夹角:
(2k 1) a nm (k 0,1, 2 n m 1)
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
180根轨迹绘制法则
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
42 绘制根轨迹的基本原则
例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的点 交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
第04_2章 常规根轨迹绘制的基本法则
点d，满足:
n 1 1 d z d p j 1 i 1 j i m
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
用试凑法解出d≈-2.47，最后画出系统概略根轨迹如
图4-9(b)。
例4-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
K (0.5s 1) G (s) 0 .5 s 2 s 1
当 | s | （无穷远处点 ）：① n m 时， * K
n
（终点），② n m 时，K * 0 （起点）。
即：当n≥m时，有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处 （开环无限零点)。若n＜m, 则有m-n条根轨迹始于无 穷远处（开环无限极点）。
图4-4 根轨迹的起点和终点表示图
zi
m
出 :
p (2k 1) ( z
i
j 1
m
j pi
p j pi );
j 1 ( j i )
n
n
k 0,1,2, (4-23)
k 0,1,2, (4-24)
z (2k 1) ( z z p z );
i
j 1 ( j i )
则仍然适用。用这些基本法则绘出的根轨迹，其相
角遵循180◦+2kπ的条件，因此称为180◦根轨迹。
1 绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环 极点, 终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益Κ*= 0的根轨迹点，
而终点则是指Κ*→∞的根轨迹点。
在实际系统中，由于m≤n，因此有n-m条根轨迹
分离角定义：根轨迹分支进入分离点的切线方向与离
开分离点的切线方向之间的夹角。 当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离 角可由(2k+1)π/l确定，其中k=0，1，…，l-1。 显然，l=2时，分离角必为直角。
第四章附：根轨迹的绘制法则
13
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
K s(s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )
*
K* 2 s ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )
14
对应的开环传递函数
* K 0011 0010 (a) 1010 1101 0001 0100 1011 G (s) H (s) = s ( s − p1 )
令s
解得
= jω
代入上式
*
ω = ±1.095, K = 8.16
36
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
图4－17
例4－7根轨迹
37
九、根之和与根之积
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
n m
•如果系统特征方程写成如下形式
∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) = ∏ (s − s )
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
26
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
p1 = −1.5 + j1, p2 = −1.5 − j1
按步骤： ①n=2,m=1,有两条根轨迹 ②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点 ③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点
* i =1 i j =1 j i =1 i
n
= s n + a1 s n −1 + a2 s n − 2 + L + an −1s + an
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
K s(s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )
*
K* 2 s ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )
14
对应的开环传递函数
* K 0011 0010 (a) 1010 1101 0001 0100 1011 G (s) H (s) = s ( s − p1 )
令s
解得
= jω
代入上式
*
ω = ±1.095, K = 8.16
36
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
图4－17
例4－7根轨迹
37
九、根之和与根之积
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
n m
•如果系统特征方程写成如下形式
∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) = ∏ (s − s )
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
26
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
p1 = −1.5 + j1, p2 = −1.5 − j1
按步骤： ①n=2,m=1,有两条根轨迹 ②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点 ③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点
* i =1 i j =1 j i =1 i
n
= s n + a1 s n −1 + a2 s n − 2 + L + an −1s + an
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
绘制根轨迹的基本法则
3. 牛顿余数定理的用法
从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分 满足要求了。
八、根轨迹的出射角和入射角
根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线 与正实轴的夹角。而根轨迹的饿入射角，是指终止于开环零点的根 轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角又分别称为 起始角和终止角。它们分别描述了根轨迹以什么姿态离开极点和以 什么姿态进入零点。
二、根轨迹的对称性
因为线性特征方程的系数均为实数，所以系统的特征方程根必 为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。
根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上 的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一 半功夫。
三、根轨迹的分支数
由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特 征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变 化就形成了n支根轨迹。
nm
渐进线与实轴交点的坐标以 a 表示，则
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
渐近线与正实轴的夹角为
2k 1
nm
(k 0,1,2, , n m 1)
七、 根轨迹的分离和会合点
两条根轨迹分支在s 平面上的某点相遇，然后又立即分开点， 叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重 根。由于根轨迹具有共轭对称性，故分离点与会合点必然是实数或 共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。
上述n阶方程可表示为
F (s) s n cn1s n1 c1s c0 0
小结
本节介绍了10条绘制根轨迹的法则。只要牢记这10条法则的结 论，就可以迅速地绘制出系统Kg =→∞时根轨迹的大致形状（即 所谓根轨迹草图），从而可以直观地分析系统参数Kg变化对性能 的影响。若需得到更准确的根轨迹，还可根据相角条件，采用试探 法准确地确定轨迹上若干点的位置（尤其是在虚轴附近或原点附近 的重要位置上），做相应的修改后，就能得到比较精确的根轨迹。十、闭环极点的和与积来自设系统的开环传递函数为m
从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分 满足要求了。
八、根轨迹的出射角和入射角
根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线 与正实轴的夹角。而根轨迹的饿入射角，是指终止于开环零点的根 轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角又分别称为 起始角和终止角。它们分别描述了根轨迹以什么姿态离开极点和以 什么姿态进入零点。
二、根轨迹的对称性
因为线性特征方程的系数均为实数，所以系统的特征方程根必 为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。
根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上 的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一 半功夫。
三、根轨迹的分支数
由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特 征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变 化就形成了n支根轨迹。
nm
渐进线与实轴交点的坐标以 a 表示，则
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
渐近线与正实轴的夹角为
2k 1
nm
(k 0,1,2, , n m 1)
七、 根轨迹的分离和会合点
两条根轨迹分支在s 平面上的某点相遇，然后又立即分开点， 叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重 根。由于根轨迹具有共轭对称性，故分离点与会合点必然是实数或 共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。
上述n阶方程可表示为
F (s) s n cn1s n1 c1s c0 0
小结
本节介绍了10条绘制根轨迹的法则。只要牢记这10条法则的结 论，就可以迅速地绘制出系统Kg =→∞时根轨迹的大致形状（即 所谓根轨迹草图），从而可以直观地分析系统参数Kg变化对性能 的影响。若需得到更准确的根轨迹，还可根据相角条件，采用试探 法准确地确定轨迹上若干点的位置（尤其是在虚轴附近或原点附近 的重要位置上），做相应的修改后，就能得到比较精确的根轨迹。十、闭环极点的和与积来自设系统的开环传递函数为m
绘制根轨迹的基本法则精
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 例题
设系统的开环传递函数为 (1)
试求出系统根轨迹的起点、终点。
• 课堂小结： 绘制根轨迹起点、终点的法则 确定根轨迹起点、终点的步骤
• 作业题：
写出该传递函数的起点、终点。 预习：
根轨迹渐近线的绘制。
绘制根轨迹的基本法则 ——起点终点的绘制
主讲：张冰
• 回顾： 1.极点、零点：
极点是分母多项式等于零的根，同时使传递函数为无穷， 故称极点。
零点是分子多项式等于零的根，同时使传递函数为零，故 称零点。
2.根轨迹法： 利用系统的开环传递函数判断闭环极点分布的图解法。 根轨迹: 开环传递函数中某一参数（如Kg）在某一范围内变化时， 闭环极点在S平面内移动的轨迹。
4.2绘制根轨迹的基本法则
根轨迹起点、终点的绘制：
法则：根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点。
推导： 幅值条件可写成
K g 时0，要想方程两边相等，则必须有
或有 s (n。 m) K g 时，要想方程两边相等，则必须有
或有 s 0(n 。m)
s pj(n m) s zi(n m)
分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的 起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m 条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条 根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n 条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条 根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。
• 例题
设系统的开环传递函数为 (1)
试求出系统根轨迹的起点、终点。
• 课堂小结： 绘制根轨迹起点、终点的法则 确定根轨迹起点、终点的步骤
• 作业题：
写出该传递函数的起点、终点。 预习：
根轨迹渐近线的绘制。
绘制根轨迹的基本法则 ——起点终点的绘制
主讲：张冰
• 回顾： 1.极点、零点：
极点是分母多项式等于零的根，同时使传递函数为无穷， 故称极点。
零点是分子多项式等于零的根，同时使传递函数为零，故 称零点。
2.根轨迹法： 利用系统的开环传递函数判断闭环极点分布的图解法。 根轨迹: 开环传递函数中某一参数（如Kg）在某一范围内变化时， 闭环极点在S平面内移动的轨迹。
4.2绘制根轨迹的基本法则
根轨迹起点、终点的绘制：
法则：根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点。
推导： 幅值条件可写成
K g 时0，要想方程两边相等，则必须有
或有 s (n。 m) K g 时，要想方程两边相等，则必须有
或有 s 0(n 。m)
s pj(n m) s zi(n m)
分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的 起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m 条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条 根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n 条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条 根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则是指描述系统根轨迹的一些基本规律和性质。
以下是根轨迹基本法则的几个方面：
1. 根轨迹的数量：系统的根轨迹的数量等于系统开环传递函数的极点数目。
2. 根轨迹的起点和终点：系统的根轨迹始于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点。
3. 根轨迹在实轴上的分布：系统的根轨迹在实轴上的分布与开环传递函数的极点有关。
具体规律为，对于系统的每个开环传递函数的极点，根轨迹在实轴上的分布有一个部分位于左侧，一个部分位于右侧，并且左侧的根轨迹数量减去右侧的根轨迹数量等于极点的数量。
4. 根轨迹的稳定性：系统的根轨迹稳定性与开环传递函数的极点有关。
如果系统的开环传递函数的极点都位于左半平面（实轴的左侧），则根轨迹是稳定的；如果系统的开环传递函数存在极点位于右半平面（实轴的右侧），则根轨迹是不稳定的。
5. 根轨迹的方向：根轨迹通常从一个极点开始，然后按照一定方向延伸。
具体方向取决于开环传递函数的极点和零点的相对位置。
总的来说，根轨迹基本法则描述了系统的根轨迹的数量、起点和终
点、在实轴上的分布、稳定性和方向等基本性质。
这些规律可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和动态性能。
根轨迹绘制的基本原则
上有一分离点：d
1
2
d
1 1
1 j d 1 j
即 d 2 4d 2 0 解得：d 3.414 ，d 0.586 （舍去）
作出该系统的根轨迹如下图所示：
2020/7/10
15
复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分
-3.414 -2
2020/7/10
-1+j
-1-j
16
【法则6】 根轨迹的起始角和终止角
2020/7/10
3
• 【法则2】 根轨迹的分支数与开环零点 数 m、开环极点数 n 中的大者相等，连 续并对称于实轴。
2020/7/10
4
•【法则3】.根轨迹的渐近线：
• 当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角
为 a , 交点为 a 的一组渐近线趋向无穷远处。
根轨迹的渐进线可由下式而定：
4.2 绘制常规根轨迹的法则（不证明）
一般来说，绘制根轨迹时可以选择系统的任意参数作为可 变参数，但实际系统中最常用的可变参数是系统的开环根轨 迹增益 K *，因此以系统开环根轨迹增益为可变参数绘制的跟 轨迹就称为常规根轨迹。
本节讨论绘制常规根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。 熟练地掌握这些法则，可以方便快速地绘制系统的根轨迹。 当然，这些法则同样也适应于系统其他参数作为可变参数时 的情况。
9
【法则5】 根轨迹的分离点与分离角：
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
m
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
分离点
B
z p2 Ap1
实轴上的分离点有以下两个特点: (1) 若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有 根轨迹, 则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极 点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.
根轨迹的绘制法则
第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
第四章 根轨迹法(1)
an1 p1 p2
n
pn p j , j 1
n
a0 p1 • p2 • • pn p j j 1
闭环系统的特征方程为：F (s) 1 Gk (s) 0 ，即： (1)
设闭环系统的极点为： s1, s2 ,... sn ，则
(2)
系统闭环特征方程为：
F (s) sn an1sn1 ... a0 Kg (sm bm1sm1 ... b0 )
倾角：设根轨迹在无限远处有一点 sk ，则s平面上所有的 开环有限零点和极点到 sk 的相角都相等，即为渐近线的倾
角 。代入根轨迹的相角条件得：
m
n
(s zi ) (s p j ) m n (2k 1)
i 1
j 1
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
渐近线与实轴的交点
[例]系统开环传递函数为：Gk (s)
（2）实轴上相邻开环零点（包括无穷远零点）之间是根轨迹， 则这段根轨迹上必有会合点；
（3） 实轴上根轨迹在一个开环零点与开环极点之间， 则存在两种情况，既有 分离点也有会合点，既无分离点 也无会合点；
[分离点和会合点的求法]：
代数重根法：
m
Go (s) Kg
(s zj )
j 1
n
(s pi )
根轨迹法的优点有哪些：
1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求 取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。
2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部 信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定 闭环系统的性能指标要求。
2
4.1根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的定义
例4-1 某随动系统如图所示
p3
绘制根轨迹的基本法则
时，
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
绘制零度根轨迹的8条法则
绘制零度根轨迹的8条法则绘制零度根轨迹的8条法则是控制系统理论中的重要概念，用于预测系统的根轨迹。
根轨迹是描述系统极点在复平面上运动的轨迹，对于开环稳定的连续时间系统，绘制根轨迹可以帮助设计者了解系统的稳定性、动态性能和调节器的参数调整等信息。
下面将详细介绍绘制零度根轨迹的八条法则。
1.根轨迹的起始点：零度根轨迹的起始点是系统零极点的交点，也就是系统传递函数的分子多项式与分母多项式的公共根。
起始点数目等于系统的零极点差异的绝对值。
如果起始点是虚数根，则起始点垂直于虚轴；如果起始点是实数根，则起始点沿着实轴移动。
2.根轨迹的末端点：根轨迹的末端点是极点的交点，也就是系统传递函数的分母多项式的根。
末端点数目等于系统的极点数目。
3.根轨迹的关于虚轴和实轴的对称性：零度根轨迹关于虚轴和实轴是对称的。
如果零度根轨迹中有一个点在复平面上，则它的共轭点也在轨迹上。
4.根轨迹的角度特征：根轨迹趋近虚轴的角度特征取决于系统的零和极点之间的差异。
如果零点在极点的左侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是奇数个180度。
如果零点在极点的右侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是偶数个180度。
5.根轨迹的交点：当根轨迹与实轴或虚轴相交时，可以通过零点数目和交点的位置来确定系统的稳定性。
如果实轴上的交点数目为奇数，则系统不稳定。
如果虚轴上的交点数目为奇数，则系统是无法稳定的。
6.根轨迹的穿越特征：根轨迹可以穿越实轴或虚轴。
如果根轨迹穿越实轴，则必须有一个零点或极点位于实轴上。
如果根轨迹穿越虚轴，则必须有一个零点或极点位于虚轴上。
7.根轨迹的极点规律：根轨迹的极点位置取决于系统的极点位置。
当系统的极点靠近时，根轨迹的极点会趋向于其中一个极点。
当系统的极点远离时，根轨迹的极点会趋向于无穷远。
8.根轨迹的环绕特征：当根轨迹环绕其中一极点的次数等于该极点的倍数时，被环绕的极点是系统的稳定极点。
根轨迹环绕的次数与稳定电路发生变号的次数相同。
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4.2 根轨迹的绘制
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (zi z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|s，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (zi z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|s，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10