3-5群的自同构群.
群的同构定理
群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。
对于群的研究，同构是一个重要的概念。
同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。
在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。
一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。
若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。
同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。
即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。
2. 同构保持群的运算结构。
若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。
3. 同构保持单位元。
若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。
4. 同构保持逆元。
若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。
二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。
1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。
对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。
则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。
2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。
三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。
以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。
2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。
幂零李代数的自同构群的结构
综合 以上运 算结果 得
［ｔ ｌｂ￣ ＋ ３ ３ｂ ，１ ｌ ２ ￣ｂ２ ＋ ４ ４ ｂｌ ＋ ２２６ｌ ＋ ４ ４ｂ２ ＋ ２ ＋ ３ ３ｂ２ ］ Ｘ ｘ ｘ ｂｘ ｘ ｘ＝ ｘ
６ １２ ３ ６ １ ３ ４ ｂ １ １ ３ ｂ １ １ ４ ６２ ＋ ２ 一 ２ 一 ３ ， ｌ ｌ ｂ ｂ２ ｂ２ ｘ
，
ｂｌ ｂ２ ｂ３ ｂ４ ２ ２ ２ ２
定 理 ２ 设 Ｌ是 特 征 为 ０的代 数 闭域 上 的幂
４
Ａ（１ ２ ３ ４： ，２ ，４ ， ， ， ） （１ ３ ） Ｘ
零李 代 数 ， 如果 的维数 等 于 ３戈 ， 是 ￡的一 ， ，。
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｒ ｃｕ ｅ ｆ ｕ ｏ ｒ ｈ ｓ ｇ ｏ ｐ ｏ ｏ ｒｄ ｍｅ ｓ ｎ ｌ ｉ ｏｅ ｔ ｉ ｌｅ ｒ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｓ ｒ ｃ ： ｔ ｔ ｒ ｓｏ ｔ ｍｏ ｐ ｉｍ ｒ ｕ ｆ ｗｅ ｉ ｎ ｉ ａ ｌ ｔ ｎ ｅ ａ ｇ ｂ ａ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ｕ ａ ｌ ｏ ｎ ｐ Ｌ
文 献标 志码 ： Ａ
关键 词 ： 幂零 李代 数 ； 自同构 ； 自同构 群
中图分 类号 ： ５ ． ０１ ２５
Ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｆａ ｔ ｍ ｏ ｐ ｉｍ ｒ ｕ ｆｎ ｌ ｏ ｅ ｔｌ ｌ ｅ ｒ ｓ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓｏ ｕ ｏ ｒ ｈ ｓ ｇ ｏ ｐ ｏ ｉ ｔｎ ｅａｇ ｂ ａ ｐ ｉ
ＬＡＩＸｉ－ ｉｇ ＯＵ ｈ － ｕ ， ｎ ｘｎ ， Ｓ ｉ ｋ ｎ ＬＵＯ ｈ － ｈ ｎ Ｓ ｕ ｚ ｅ
（ａｕｔ ｏ ｃ ｎｅ Ｊａｇｉ ｎｖｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ， ａｚｏ ４ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｆ ｃｌ ｆ ｉ ｃ，ｉｎｘ ｉｅｓｙｏ ＳｉｎｅａｄＴ ｃ ｎｌ ｙ Ｇ ｎｈ ｕ３ １０ ， ｈｎ ） ｙ Ｓｅ Ｕ ｔ ｏ
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。
它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。
首先，我们需要了解什么是循环群。
循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。
换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。
例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。
循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。
循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。
换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。
循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。
首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。
其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。
在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。
循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。
平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。
换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。
而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。
在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。
对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。
而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。
这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。
总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
群论中的群的同构和同构定理
群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。
群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。
同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。
首先，我们来了解一下群的同构。
群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。
同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。
换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。
例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。
而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。
同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。
第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。
具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。
第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。
第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。
它描述了两个群的商群之间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。
第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。
范畴论
目录[隐藏]∙ 1 背景∙ 2 历史注记∙ 3 范畴o 3.1 定义o 3.2 范畴举例o 3.3 态射分类∙ 4 函子∙ 5 自然和自然同构o 5.1 定义o 5.2 举例∙ 6 泛结构，极限和上极限∙7 等价范畴∙8 进一步的概念和结果∙9 范畴分类∙10 参考书目∙11 外部链接[∙一个“对象”的类∙对于任何两个对象A和B，存在一个从A到B的态射集合 Mor(A,B)。
如果f 属于 Mor(A,B)，则记为f : A→B（有些作者将态射集记为 Hom(A,B) ）∙对于任何三个对象A，B和C，存在一个二元运算 Mor(A,B) × Mor(B,C) →Mor(A,C)，称此为“复合态射”；由f : A→B和g : B→C复合而成，记为g·f、g o f，或者gf（有些作者将此记为fg）。
以上组成部分若满足如下两条公理，则称为范畴：∙（结合性）如果有f : A→B，g : B→C和h : C→D，则h·(g·f) = (h·g)·f；∙（等价性）对任意对象X，存在一个态射id X : X→X，称为“X的恒等态射”，使得对任何态射f : A→B，都有id B·f = f = f·id A。
从以上公理出发可以得到，一个对象的恒等态射是唯一的。
有些作者将对象本身用恒等态射来定义，这在本质上是相同的。
如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。
许多重要的范畴不是小范畴。
范畴中的态射有时又称为“箭头”，这种叫法来自于交换图。
[编辑]范畴举例每一范畴都由其对象，态射，和复合态射来表述。
为了方便起见，以下的“函数”即是指态射，不再一一说明。
∙单态射，如果fg1 = fg2，则有g1 = g2，此关系对所有态射g1，g2 : X→A成立。
映射之间的关系（比如fg = h）在大多数情形下可用更直观的交换图来表示，在此图中对象被表示成顶点，态射被表示为箭头。
3-5群的自同构群.ppt
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
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(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
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群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
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小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
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2 ,因此, G的中心 1
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例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
关于有限群的Coleman自同构群的一个注记
２ ０年 ３月 １ ０
青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ Ａ ＮＧ Ａ ＮＩ Ｅ Ｓ Ｔ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｏ Ｎ Ｌ ＯＦＱＩ Ｄ Ｏ Ｕ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｅ ｉ
Ｃ ｌｍａ ｏｅ ｎ引理 设 Ｐ是 Ｇ 的一 个 Ｐ 子 群 ， 是 一 个 交 换 环且 ｐ 一 Ｒ Ｒ≠Ｒ， Ｎｕ （ 一 Ｎ Ｐ）・ ｕ 则 （ Ｐ） ｍ （ Ｃ 腼） （ ， 中 Ｕ（ Ｐ） 其 ＲＧ） 表示群 环 Ｒ 的单位群 。 Ｇ 对 Ｃ ｌｍａ ｏｅ ｎ自同构 的研 究始 于对 Ｇ 在 Ｕ（ Ｇ） Ｒ 中的正 规 化 子 Ｎ （ 研 究 ， 个 研 究 课 题 是 在 文 献 肼 Ｇ） 这
示 Ｇ 的 Ｃ ｌｍａ ｏｅ ｎ自同构 群 ， 中每个 自同构 限 制 在 Ｇ 的任 意一 个 Ｓ ｌｗ 子 群 上 都等 于 Ｇ 的某 个 内 自同构 其 ｙｏ 在 它上 的 限制 ； ｔ（ 表 示 Ｇ 的类保 持 自同构群 ， 中每 个 自同构把 Ｇ 中 的每个 元 映到 它 的某个 共轭 元 。 Ａｕ Ｇ） 其
是 一个 有 限群 ， Ｇ 的每个 真 子群 可解 ， Ｇ本 身 不可 解 ， 若 但 则称 Ｇ 是一 个 内可解 群 。设 Ｍ 是有 限群 Ｇ 的一
（ Ｇ）ｎ Ｏｕ ｃ Ｇ） ２一 。 ｔ（ 是 群
通 过对 有 限群 的 Ｃ ｌ ｎ自同构 的深入研 究 ， ｏｅ ｍａ 又得 到 了一 些 Ｏｕ （ 是 ， 的充分 条 件 。在 叙述 主 ｔ Ｇ） － 群
要 结果 之前 ， 引进一 些记 号 和术语 。用 Ｆ Ｇ） 先 （ 表示 Ｇ的广 义 Ｆｔｉｇ子群 ， 表示 阶 为 Ｐ 的循 环群 。设 Ｇ ｉ ｎ ｔ Ｃ
1.4群的同构
则① a 是G 的一个变换（称为左乘变换）；
x ②设若 x, y G,a ( x) a ( y ),即 ax ay， y.
21
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于是 a 是单射. ③ g G, 可找 x a 1 , g G. 则a ( x) ax g. 于是 a 是满射.由此得 a 可逆，因此 a SG . 令 G {a | a G} SG 下证： 是 S G 的子群： G ①
1
一、群同构的定义
定义1.4.1
设 G 与 G '是两个群， 是 G 到 G '的
a, b G,
一一对应，使得
(a b) (a) (b),
则称 为群G到G '的一个同构映射(isomorphism), 简称同构.并称群 G 与群 G ' 同构, 记作
: G G '.
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例２ 设 R 为全体实数组成的加法群, R 表示 全体正实数组成的乘法群，则群 R 与 R 同构.
( x) 2 x , 证 (1) 对任意的 x R, 令
则 是 R到 R 的映射. (2) 设 x, y R, 如果 ( x) ( y ), 即 2 2 , 所以 是 R到 R 的单映射.
3
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例１ 设 G 是群, 是 G 的恒等映射:
:
G G'
a a,
a G.
显然 是一一对应. 又对任意的 a, b G,
(ab) ab (a) (b).
第三章正规子群和群的同态与同构
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抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
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抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
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抽象代数
三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
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但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
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抽象代数
定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是指由一个元素生成的群。
在数学中，循环群常常表示为⟨a⟨，其中a被称为生成元素。
循环群可以是有限的或无限的。
循环群的自同构群是指将循环群映射到自身的所有同构。
自同构是一种保持群运算结构不变的映射。
在循环群中，存在一种特殊的自同构映射，它将生成元映射到自身的幂次方。
这个映射被称为循环群的自同构生成元。
设循环群⟨a⟨的阶为n，即⟨a⟨={a^0, a^1, a^2, ..., a^(n-1)}。
循环群的自同构生成元可以表示为f: a^k -> a^(mk)，其中m是一个整数，0 ≤ k < n。
循环群的自同构群是由所有这样的映射构成的集合。
我们观察循环群的自同构生成元的特性。
设f: a^k -> a^(mk)和g: a^k -> a^(nk)是循环群⟨a⟨的两个自同构生成元。
我们可以证明以下结论：1.如果m和n互素，则f和g是独立的。
换句话说，f和g不是相同的映射。
2.如果m和n有公因子，则f和g是相关的。
换句话说，f和g是相同的映射。
根据这个特性，我们可以将循环群的自同构生成元进行分类。
首先考虑最简单的情况，即循环群的阶为素数p。
在这种情况下，循环群的所有元素的幂次方都不同，所以循环群的自同构生成元只有一个，即f: a^k -> a^(kp)，其中k是一个整数，0 ≤ k < p。
因此，循环群的自同构群只包含一个元素。
接下来考虑循环群的阶为合数n。
在这种情况下，循环群的自同构生成元的个数取决于n的素因子分解。
假设n=p_1^k_1 * p_2^k_2* ... * p_m^k_m，其中p_1, p_2, ..., p_m是不同的素数，k_1,k_2, ..., k_m是正整数。
循环群的自同构生成元的个数可以表示为φ(n)，其中φ是欧拉函数。
根据欧拉函数的定义，对于任意正整数n，φ(n)等于小于或等于n且与n互素的正整数的个数。
因此，循环群的自同构群的元素个数是φ(n)。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群作者：孔婷婷来源：《各界·下半月》2017年第07期摘要：本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
关键词：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设 A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A） = Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B） = Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C） = Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D） = Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E） = Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
群的同构定理
§3.4 群的同构定理同态基本定理：设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker G G ϕ≅ 。
用图表示：将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。
定理1 (第一同构定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ϕ⊆<，记()N N ϕ=，则G G N N≅，或 ()()G G N N ϕϕ≅。
当ker N ϕ=时，{}()N e ϕ=，{}G G G e N =≅，第一同构定理退化 成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明 首先，由N G <有()N N G ϕ=<。
作映射：:G G N N τ→， ()()xN x N τϕ=，G xN N ∀∈。
以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。
（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11()()()()a b a b N N ϕϕϕϕ--=∈=，从而()()a N b N ϕϕ=，即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N的一个映射。
（2）是满射：()G aN a G N∀∈∈，因为ϕ是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ϕ=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。
（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ϕϕ=，从而11()()()a b a b N ϕϕϕ--=∈。
但ϕ是满同态且()N N ϕ=，所以 c N ∃∈，使得11111()()()Ker a b c a b c e a bc ϕϕϕϕ-----=⇒⋅=⇒∈。
于是由已知条件ker N ϕ⊆得11111a bc N a b a bc c N -----∈⇒=⋅∈， 从而aN bN =，即是单射。
（4）又由于()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττϕϕϕϕϕττ⋅====⋅=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。
2~4阶群的自同构群的结构
2~4阶群的自同构群的结构自同构群是一类拥有了像组合结构的群，它是指把有限环作为元素构成的一个集合，其中满足某种自同构关系。
在群论研究中被称为自同构群，它们在数学上具有重要的地位，在计算机科学和加密中发挥重要作用。
一般来说，所有的自同构群都可以分解成2~4阶的群，其中2阶的群就是交换群，3阶群就是由环构成的，4阶群则包括了更多的情形。
其中，2阶自同构群的结构比较简单，它仅仅由有限的交换元素来构成，并且满足一定的自同构关系。
它可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素，而有限的整数可以用来表示交换元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系。
3阶自同构群结构比较复杂一些，它由三元组(a,b,c)构成，其中a，b，c表示三元素的标标识符，并且满足(a,b,c)=(b,c,a)的自同构关系。
3阶自同构群可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数，有限的整数可以用来表示三元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系，而特殊的函数则可以表示该组中各元素之间分配的权重。
4阶自同构群则更加复杂，它由由4元组(a,b,c,d)构成，其中a，b，c，d分别表示4元组的标标识符，并且满足(a,b,c,d)=(b,c,d,a)的自同构关系。
此外，4阶自同构群还可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，并且以上提到的有限整数和特殊函数可以用来表示4元素之间的关系。
最后，换位元素可以表示最终的关系。
自同构群的结构具有复杂的特征，是一类非常重要的群，且其在计算机科学和加密中发挥着重要的作用。
2~4阶的自同构群的结构可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，具体的细节取决于该群的阶数。
群论讲义
第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
标签：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A）= Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B）= Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C）= Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D）= Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E）= Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
我们把三维欧式空间理解为实数域上定义了距离函数的三维向量空间，记做R 。
《群的自同构群》课件
自同构群的拓扑性质
自同构群的连续性
对于任意的自同构α∈Aut(G)，其对应的映射是连续的。
自同构群的开性和闭性
Aut(G)中的子集是开集还是闭集取决于所使用的拓扑。
自同构群的紧致性
如果群G是紧致的，则Aut(G)也是紧致的。
03
群的自同构群的构造
循环群的自同构群
总结词
循环群的自同构群是循环群本身，其元素为整数加法。
自同构群的代数性质
自同构群的指数
对于任意的自同构α∈Aut(G)，存在一个正整数n，使得α^n=ε 。这个整数n被称为α的指数。
自同构群的周期性
如果存在一个正整数n，使得对于所有的x∈G，都有α^n(x)=x ，则称α是周期性的。
自同构群的周期指数
对于周期性的自同构α，其最小正整数n被称为α的周期指数。
详细描述
对于循环群$G=langle g rangle$，其中$g$是生成元，自同构群 $text{Aut}(G)$由整数加法构成，即对于任意整数$k$，映射$g rightarrow g^k$是自同构。
交换群的自同构群
总结词
交换群的自同构群是所有可逆线性变 换的集合。
详细描述
对于交换群$G$，其自同构群 $text{Aut}(G)$由所有可逆线性变换 组成。这意味着对于任意元素$x in G$，存在一个可逆线性变换$T$使得 $T(x)=x'$且$T(x')=x$。
《群的自同构群》PPT课件
目 录
• 群与自同构群的基本概念 • 自同构群的基本性质 • 群的自同构群的构造 • 群的自同构群的应用 • 群的自同构群的展望
01
群与自同构群的基本概念
群的定义与性质
定义
探讨群的自同构和拓扑群论
探讨群的自同构和拓扑群论在数学领域中，群是一种非常重要的概念。
群代表了一组对象之间的关系，这些对象可以是数字、变换、多项式，或是任何其他可定义运算的集合。
在群的研究中，自同构和拓扑群论是两个非常重要的分支，它们都对群的性质进行了深入的探讨。
自同构是指一个群在自身上的一种映射，这个映射是一个同构，也就是说它保持了群中的乘法运算、单位元和逆元等性质，同时也保持了元素之间的一些性质。
换句话说，自同构表示了一个群内部的“对称性”，它描述了如果群中的某一个元素变化，那么整个群的性质也应该发生相应的变化。
一个群的自同构往往具有非常丰富的结构，这一结构往往与群的性质密切相关。
例如，有些群中任意两个元素之间都可以通过一系列的乘法操作相互转换，这些群被称为置换群。
在置换群中，一个元素的自同构通常是一个置换，而置换之间也存在一些非常有趣的关系，例如置换的乘法运算等等。
拓扑群论则是将群和拓扑空间的概念相结合，研究群在拓扑空间上的表现和性质。
在拓扑群论中，一个群被看作是一个拓扑空间上的对称操作，这个群的性质可以通过拓扑空间的性质来推导得出。
例如，一个拓扑空间上的群如果具有一些几何性质，那么这个群的自同构也会具有相应的特点，这些特点可以被用来证明一些几何上的结论。
不仅如此，在拓扑群论中还存在一种称为同调代数的工具，这种工具可以帮我们研究群在拓扑空间上的表现，从而得出一些群的性质。
同调代数是由奥地利数学家埃奇菲尔德和斯蒂芬斯发明的，它可以将拓扑空间和群在同一框架下进行研究，从而推导出一些有关于拓扑空间和群的重要性质。
总的来说，自同构和拓扑群论是群的两个非常重要的分支，它们帮助我们更好地理解群的性质和结构。
通过研究群的自同构和拓扑群论，我们可以更好地解决许多数学问题。
例如，自同构可以帮助我们证明一些有关于置换群和对称群的性质；拓扑群论可以帮助我们证明一些关于拓扑空间的重要性质。
这些工具和方法虽然看似抽象，但是在实际的应用领域中发挥着不可替代的作用。
自同构群的阶的若干研究
自同构群的阶的若干研究把握概念关系，是理解一些重要概念中存在的相互关系，以及其在渊源及学习研究中所扮演着重要作用。
自同构群是一类重要概念，与其他数学概念紧密联系。
自同构群的研究，一向受到当前数学研究者的重视。
这篇文章将致力于综述有关自同构群的阶的若干研究内容。
首先，基本概念及其发展历史将被阐述，包括自同构群概念及其背景渊源、发展历史和最新发展趋势等。
其次，对自同构群的阶的主要研究内容，将分别从数学家的研究角度出发，阐述其中一些研究方法及理论。
最后，将提出自同构群的阶研究及应用及发展的若干建议及见解。
自同构群的渊源及发展历史自同构群的概念及其背景渊源，最早是在19世纪末的德国数学家卡尔莱斯特阿尔多塞特，即简称为阿尔多塞特所提出的。
他是该领域的先驱，将自同构群概念引入数学，使其取得实质性发展及深入理解，是非常重要的一环。
其见地，就是建立自同构群的概念及其与其他类似概念的关系，然后以公理及推理的方式，对自同构群的定义及其基本性质进行证明。
20世纪初，随着数学的不断发展和发展方向的改变，自同构群的研究取得了更多的成就。
早期的研究，主要是将自同构群纳入抽象代数结构，主要解决这类群被包含在这类代数结构中，以及其背后所蕴藏的公理构造及对应性。
这些具有普遍性的发现，也使自同构群的定义得以更清晰明确。
20世纪50年代，随着现代代数研究的发展，自同构群的研究又取得很大进展。
其中，数学家埃兰特和史卓瑞的研究，是把自同构群的研究引入计算机科学的一个重要贡献，也是自同构群的研究的重要篇章。
当时，他们研究到自同构群的阶，带入了计算机科学的新维度，也为自同构群研究的进一步发展奠定了良好的基础。
自同构群的阶研究自同构群的阶研究，是数学家研究自同构群的一个主要方向，也是当前计算机科学研究数学抽象结构的重要帮手。
从数学家角度，自同构群的阶研究，大多基于其特性及其衍生的结构，研究其大小以及其在数学抽象结构中的表达形式。
比如，数学家弗里德曼在其一系列研究论文中，证明了自同构群的阶究具有某种特定性质，能够建立这类群之间的一种新关系，其中与原有研究成果有着很大不同。