教师资格考试 高中数学 学科知识与教学能力试题【科目三】 模拟卷(5)及答案解析

3 2
3
2 5 0 ，故选 C。
1
4
7.B
【解析】“直线与平面平行的性质定理”的学习有助于培养空间想象、推理论证和抽象
概括能力，而对于数据处理能力的提升没有明显的作用，故选 B。 8.C 【解析】创新意识是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生
自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想
1 1 0 1 1 0
(1，
2，
3
)
1
2
1
0
1
1
，
所以
R(1，
2，
3
)
2
，
又因为
1，
3
线
性
无关，
3 4 1 0 0 0
1，3 可作为 A(R3 ) 的一组基，将 1，3 进行施密特正交化，可得 1 1 (1，1，3) ，
2
3
1，3 1，1
1
4 ，7 ， 11 11
1 11
15.“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。 （1）简述“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵（3 分）； （2）实数指数幂在数学上是如何引入的？（6 分）； （3）在高中“实数指数幂”概念的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合”的教 学原则？（6 分）
五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）
2
教师资格考试 高中数学 科目三 模拟题及答案解析
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9.设质点在平面上的运动轨迹为
x=t sin t
y
1
cos t
，t
0
，求质点在时刻
t
1
的速度的大小。
10.设球面方程为 x 12 y 12 z 12 169 ，求它在点 4，5，13 处的切平面方程。
1.极限
lim
n
1+
1 1+n2
n2
的值是（
）
A. e
B.1 C. 1
e D.0
2.下列级数中，不收敛的是（ ）
A. ( 1)n n1 n
B.
n 1
1 n2
C.
1
n1 n
D.
1
n1 n!
3.方程 x2 y2 z2 1 所确定的二次曲面是（ ）
A.椭球面 B.旋转双曲面 C.旋转抛物面 D.圆柱面
13.【参考答案】数学定理教学的主要环节有：（1）定理的引入；（2）定理的证明；（3） 定理的运用。下面就以余弦定理为例来加以阐述：首先，从解三角形的问题出发，提出解题 需要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性；在定理证明的教学 中，引导学生从向量知识、坐标法、平面几何等方面进行分类讨论。其次，在给出余弦定理 的三个等式和三个推论之后，对知识进行归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出 了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。最后，命题的应用是命题教学 的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以在这一环节精选例题、 讲解是至关重要的。
11.在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别标有 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的骰子， 如果结果为奇数，则甲跑一圈；若结果为 1 或 2，则乙跑一圈，请回答甲跑一圈和乙跑一圈 两个事件是否独立，并说明理由。
12.《义务教育数学课程标准（实验）》描述“知识与技能”领域目标的行为动词有“了 解”、“理解”、“掌握”、“运用”，请以“等差数列”概念为例，说明“理解的含义”。
，所以子空间
A(R3 )
{Aa
a
R3}
的一组正交基为
1
(1，1，3)
，
2
4 ，7 ， 11 11
1 11
。
8
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四、论述题（共 1 题，15 分）
15.【参考答案】（1）严谨性涵义主要是指数学逻辑的严密性及结论的精确性，在中学 的数学理论中也不例外。所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论 证必须严格、周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统，教材有时对有些内容避而 不谈，或用直观说明，或用不完全归纳法验证，或不必说明的做了说明，或扩大公理体系等， 这些做法主要是考虑到学生的可接受性，故意降低内容的严谨性，方便学生更好地掌握要学 的教学内容。当前数学教育界提出的“淡化形式，注重实质”的口号实质上也从一个侧面反 映出教学必须坚持严谨性与量力性相结合原则的问题。
3.B
【解析】旋转双曲面的一般方程为
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1（单叶双曲面），x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1（双
叶双曲面）。方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
和
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1 （ a、b、c
是任意的正常数）也是
双叶双曲面。题中的方程 x2 y2 z2 1 是双叶旋转双曲面，故选 B。
（1）结合上述教学要求，请设计高中“古典概型”起始课的教学目标；（6 分） （2）请设计两个符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古 典概型的特征；（12 分） （3）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别是 1、2、3、4、5、6 个点），请用两种不 同解法求出现偶数点的概率，并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。（12 分）
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中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题
（高级中学）模拟卷（5）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。
dy dt
2
1 cos t 2 sin 2 t ，所以 t 1 时速度大小
1 cos12 sin 21 2 2 cos1 2sin 1 。
2
10. 【 解 析 】 设 F x，y，z x 12 y 12 z 12 169 ， 所 以 Fx 2 x 1 ，
Fy 2 y 1 ，Fz 2 z 1 ，所以在任一点处的切平面的法向量为 2 x 1，2 y 1，2 z 1 。
16.案例： 在“等差数列”的习题课教学中，老师布置了这样一个问题：等差数的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，求前 110 项的和，两位同学的解法如下：
学生甲：设等差数列的首项为 a1 ，公差为 d，则
S10
10a1
S100
100a1
10 9 d 100
2
，解得
100 99 d 10
2
n2
lim
n
1+
1 1+n2
n2 1 n21
e lim n
n2 n2 1
e ，故选 A。
2.C
【解析】A 项，该级数收敛，又
1n
n1 n
n 1
1 n
发散，故该级数条件收敛；B
项，
n 1
1 n2
绝对收敛；C
项，
1
为调和级数，是发散的；D
项
1
是绝对收敛。故选
C。
n1 n
n1 n!
5
教师资格考试 高中数学 科目三 模拟题及答案解析
答案解析
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。
1.A
n2
【解析】
lim
n
1+
1 1+n
和规律，并加以验证，是创新的重要方法。所以 A、B、D 项适合在教学中培养学生的创新 意识，故选为 C。
二、简答题（共 5 题，每题 7 分，共 35 分）
9.【解析】因为
x
y
t 1
sin t cos t
，所以
dx
dt dy
dt
1 cos sin t
t
，则速度大小为
dx 2 dt
62
63
事 件 A ， B 同 时 发 生 只 有 1 种 情 况 ， 即 出 现 点 数 为 1 的 情 况 ， ∴P AB 1 ， 所 以
6
7
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P A P B P AB ，∴事件 A 与事件 B 为独立事件。
12.【参考答案】理解一般可以理解为了解、领会，但是在我们数学中通常的意思是知 其然，又要知其所以然。而对于新课标的知识与技能目标中行为动词“理解”一般指的是对 数学中概念、定理、公式等知道其来龙去脉。例如，利用等差数列的概念，即在教学过程中 不是教师通过讲授的方法告诉学生什么是等差数列，也不是教师让学生单纯地生记住什么是 等差数列，教师应该通过一些学生日常生活当中的例子，让学生观察数据，寻找规律，自己 归纳总结出等差数列的概念，只有学生经历了自己观察、分析、总结的过程才有可能知道等 差数列概念的来龙去脉，最终理解等差数列的概念。
将 点 4，5，13 代 入 得 ： n 6，8，24 ， 所 以 在 点 4，5，13 处 的 切 平 面 方 程 为
6 x 4 8 y 5 24 z 13 0 ，即 3x 4 y 12z 188 0 。
11.【解析】设甲跑一圈为事件 A，乙跑一圈为事件 B，∵P A 3 1 ，P B 2 1，而
4.D
【解析】根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界，否则函数不可积。（发散）函数黎曼