第10章 部分相干光的干涉和衍射

携需带要了同单时色对光于的正全频部和信负息频；复（指3数）运实算数，函使数得u计(r)(算t)经量同过增济时大大间。不学变物系理统系时， 4
§光场的复数表示
多色场（非单色光）的复数表示：
用实函数u(r)(t)代表一个非单色光，则相对应的傅立叶频谱为：
∫ U (r) (ν ) = ∞ u(r) (t ) exp (i2πν t ) dt −∞
exp
(i2πν
t
)
d
( −ν
)
{ } =
∞
∫0
U (r) (ν ) exp (−i2πν t ) + ⎡⎣U (r) (ν ) exp (−i2πν t )⎤⎦*
dν
=
2
Re
⎡ ⎢⎣
∞
∫0
U
(
r
)
(ν
)
exp
(
−i2πν
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
-
实数函数u(r)(t)的傅立叶频谱
同济大学物理系 6
复数−∞
2 −∞
−∞
0
同济大学物理系 10
§10.3.1 光束的关联函数
实际光源具有一定的空间尺度，而且发出的光具有一定的频谱范围。要处 理此种光波的干涉问题，须确定波场中任意两点处振动之间存在的关联。
P1和P2是屏上的两个针孔，Q为观察 屏上的一点。讨论来自P1和P2的两点 在Q点叠加后产生的光场分布。此处 忽略了光的偏振效应，如假定Q点相 遇的两束光偏振方向相同。
8
§光场的复数表示
准单色光的解析信号表示：
对于一般非单色光信号，频谱宽度Δν和中心频 率ν0相比满足下面条件的情况称为准单色光。
Δv << v0 or v
对于准单色信号的复函数表示为：
u (t ) = ( ) A t ei⎣⎡Φ(t)−2πvt⎦⎤ = A(t ) exp ⎡⎣iΦ (t )⎤⎦ exp[−i2π vt]
Γ21(−τ ) = 〈u2 (t −τ )u1*(t)〉 = 〈u2 (t)u1* (t +τ )〉 = Γ12*(τ )
同济大学物理系 13
§10.3.1 光束的关联函数
当P1和P2两点重合时，得到：
Γ11(τ ) = 〈u1(t +τ )u1*(t)〉
此函数称为P1点处光振动的自相干函数(self-coherence) 。当τ=0时，简化为通 常的强度：
∫ F (t)
= lim 1 T →∞ 2T
∞ −∞
FT
(t
)
dt
( 23)
我们假设讨论问题中的场是一个平稳（stationary）的各态历经（ergodic）的 随机过程。平稳过程代表与时间原点选取无关；各态历经代表系综的平均等于 典型成员函数的相应的时间平均。
Q点的光强为： I (Q) = 〈u(Q,t)u*(Q,t)〉
§光场的复数表示
实数函数u(r)(t)的傅立叶频谱
复数函数u(t)的傅立叶频谱
同理可以得到：
∫ u(r) (t )
=
2
Re
⎡ ⎢⎣
( ∞U (r) ν
0
)
exp
( −i 2πν
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
∫ u
(r
)
(
t
)
=
2
Re
⎡ ⎢⎣
0 −∞
U
(r
)
(ν
)
exp
(
−i2πν
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
上式表明了：u(r)(t)傅立叶谱的正频分量和负频分量均携带了实函数u(r)(t)的全 部信息。因此，使用正频分量或负频分量均可以得到u(r)(t)的表达式。这与单色 光的情况是一致的。
设： U (r) (ν ) = a (ν ) exp ⎡⎣ jφ (ν )⎦⎤ 其中α(ν)和φ(ν)都是实函数。
∫ 同源傅立叶
积分或相缔
u(r) (t) =
∞ 0
a
(
v
)
cos
⎡⎣φ
(
v
)
−
2π
vt
⎤⎦
dv
合的函数：
u(i)
(
t
)
=
∞
∫0
a
(
v
)
sin
⎡⎣φ
(
v
)
−
2π
vt
⎤⎦
dv
根据U(r)(ν)=U(r)*(-ν)得： α(ν)=α(-ν)为偶函数；φ(ν)=同-φ济(-ν大)为学奇物函理数系
相干光？它与条纹的可见度之间的关系；在空间域、时间域和频域中如何
描述关联性？
同济大学物理系 2
§光场的复数表示
单色光的复数表示：
一频率为ν0的单色光，用实数函数表示为：
相对应复数表示为： 复振幅为： 实数和复数函数的关系为： 实数函数可以用复数函数表示为：
实数函数u(r)(t)的傅立叶频谱为：
同济大学物理系 3
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
可以得到：
u
(
t
)
=
∞
2∫0
U
(r
)
(ν
)
exp
(
−i
2πν
t
)
dν
这与单色光的情况 是一致的。
u(i)
(t
)
=
Im
⎡⎣u
(t
)⎤⎦
=
2
Im
∫⎡
⎢⎣
∞
U
0
(r)
(ν
)
exp
(
−i2πν
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
u(r)(t)导出u(t)的方法：即先将u(r)(t)表示成正负频域的傅立叶积分形式， 然后去掉属于负频的振幅并将正频的振幅乘以2得到。
第十章 部分相干光的 干涉和衍射
2012年04月
同济大学物理系
1
实际光源：非单色光并具有一定的空间尺度，对于任何一点p的振幅和位 相都是不规则地涨落，只有在很短时间间隔内可以认为振幅大体不变。
P1和P2点的关联性与各光源s到达两点的路程之差有关联（correlation）；
P1和P2的关联与干涉条纹的可见度之间的关系？本章将研究：什么是部分
Γ11(0) = I1, Γ22 (0) = I2
I1和I2代表针孔P1和P2处的光强。
P1和P2小孔出射光在Q点处的光强可以表示为：
I (1) (Q) = K1 2 I1 = K1 2 Γ11(0), I (2) (Q) = K2 2 I2 = K2 2 Γ22 (0)
(9)
同济大学物理系 14
§10.3.1 光束的关联函数
∫ 且有： u(r) (t ) = ∞ U (r) (ν ) exp (−i2πν t ) dν −∞
对于实函数u(r)(t)来说，有关系u(r)(t)= u(r)*(t)，说明了此两个函数的频谱 函数相同，由此可以分析：
∫ u(r)* (t ) = ∞ U (r)* (ν ) exp (i2πν t ) dν −∞ ∫= −∞U (r)* (−ν ) exp (−i2πν t ) d (−ν ) ∞ ∫= ∞ U (r)* (−ν ) exp (−i2πν t ) dν −∞ ∴ U (r) (ν ) = U (r)* (−ν ) 同济大学物理系 5
9
§光场的复数表示
总结： 用实函数u(r)(t)表示的非单色光及其傅立叶频谱U(r)(ν)之间的关系：
复数函数表示的非单色光信号：
u (t ) = u(r) (t ) + iu(i) (t )
u
(
t
)
=
∞
2∫0
U
(r
)
(ν
)
exp
(
−i2πν
t
)
dν
∫ u
(
r
)
(
t
)
=
2
Re
⎡ ⎢⎣
∞ 0
U
(
r
)
是缓变函数。
u(r) (t ) = A(t ) cos ⎡⎣Φ (t ) − 2π vt ⎤⎦⎪⎫
u(i)
(t
)
=
A(t
) sin
⎡⎣Φ
(t
)
−
2π
vt
⎤⎦
⎬ ⎪⎭
(14)
A(t) = u(r) (t )2 + u(i) (t)2 = u ⋅u* = u
Φ (t ) = 2π vt +同ta济n−1大u(i)学u(r物) 理系
K1和K2均为虚数（因为P1和P2所发的次级子波与原入射波相比有π/2位相
差贡）献，大它小表。示它单与个开针孔孔的处大单小位以振及幅实的验子装波置源的产入生射的角衍和射衍同光射济在角大考有学察关物点。理Q处系的 11
§10.3.1 光束的关联函数
探测器测量的是一段时间内的光强平均值，尖括号表示时间平均:
§光场的复数表示
用实函数u(r)(t)代表一个非单色光，它相对应的傅立叶频谱为：
∫ u(r) (t ) = ∞ U (r) (ν ) exp (−i2πν t ) dν −∞
∫ ∫ ∫ u(r) (t ) =
∞ U (r) (ν ) exp (−i2πν t ) dν =
∞
U
(r)
(ν
) exp (−i2πν
(ν
)
exp
(
−i2πν
t
)
dν
⎤ ⎥⎦
∫ u
(i)
(
t
)
=
2
Im
⎡ ⎢⎣
∞ 0
U