放缩法的应用技巧
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>，11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 （10）12112-+<<++k k k k k【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S例2、已知正项数列{}n a 满足()()*21111,1N n a n a a a n n n ∈⋅++==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性；（2） 求证：()2111112111+<-<+-++n a a n n n n经典方法归纳：一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：21<n B例2、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22=+.(1) 求证：4221++<n a a S n n ；(2) 求证：2121321-<+⋅⋅⋅+++<+n n n s s s s s s例2．已知数列{}n a 满足：()⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:11213-++-≥≥n n n n a a .2．放缩后成等比数列，再求和例2．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：()()n nn a a a a 12+≥--； （2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12 ， 数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：31<n B ．3．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111⋅⋅⋅-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数.63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令,11nn n n n a a a a b +++=，证明,32221+<+⋅⋅⋅++<n b b b n n ⋅⋅⋅=2,1n三. 裂项放缩1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
放缩技巧积累公式生用
放缩技巧积累公式生用放缩技巧是数学中经常使用的一种方法，通过对数学表达式中的相关变量进行适当放缩，可以简化问题的求解过程，提高求解效率。
下面将介绍一些常见的放缩技巧及其应用。
一、放缩技巧之平方差公式平方差公式是数学中常用的放缩技巧之一，它可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而提供了更多的计算方式。
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而可以将一些复杂的计算转化为更简单的计算，例如求解一些二次式的因式分解等问题。
2. (a + b)² - (a - b)² = 4ab这个公式是平方差公式的一个推论，用来计算两个具有平方差形式的式子之间的差值。
可以应用于一些问题中，例如计算两个数的乘积等。
二、放缩技巧之倍角公式倍角公式是一类通过对角度进行放缩的技巧，可以将不同角度的三角函数关系转化为相同角度的三角函数关系，从而简化问题的求解。
1. sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式表示角度2θ的正弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
2. cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这个公式表示角度2θ的余弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
三、放缩技巧之柯西不等式柯西不等式是数学中一个重要的放缩技巧，它可以将多个变量的乘积的和表示为一个变量的平方和的形式，从而提供了更多的计算方式。
1.(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)≥(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²这个公式表示两个向量的点乘的平方不小于它们的模的平方的乘积，可以应用于一些向量和矩阵计算中。
用放缩法证明方法与技巧
二、常见的放缩法技巧 １、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
b bm (m 0, a b) . 2、糖水不等式放缩： a am
3、添（减）项放缩 4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
三、常用公式
1 1 1 1． 2 k (k 1) k k (k 1)
0, a t a, a t a
n 1 n ， 2 n n n 1 ， n 1 1 n 1 ， n(n 1) n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 （3） 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 （4） 2( n 1 n ) 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1 a a a am , （5）若 a, b, m R ，则 b bm b b 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 （6） 1 2! 3! n! 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) （7） （因为 ） 22 32 n2 2 2 3 n 1 n n 2 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 （7） n 1 n 2 n 3 2n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 或 n 1 n 2 n 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n n 等等。 （8） 1 2 3 n n n n n
一、放缩法原理 为了证明不等式 A B ， 我们可以找一个或多个中间变量 C 作比较， 即若能判定 A C, C B 同时成立， 那么 A B 显然正确。 所谓 “放” 即把 A 放大到 C,再把 C 放大到 B；反之，由 B 缩小经过 C 而变到 A, 则称为“缩” ，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必 须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及” 。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
数列放缩法的应用技巧总结
数列放缩法的应用技巧总结数列放缩法是一种在解决数学问题中常用的技巧和方法。
它的核心思想是对给定的数列进行适当的放缩，以便更好地理解和分析数列的性质和规律。
数列放缩法在各个数学领域都有广泛的应用，包括数论、代数、几何、概率论等。
下面将总结数列放缩法的应用技巧。
1. 数列变形：在使用数列放缩法解决问题时，常常需要对原始数列进行变形。
通过将数列中的项重新排列或重新组合，可以使问题变得相对简单。
数列变形的关键是发现数列中的规律和性质，在此基础上进行合理的变形，从而达到更好地解决问题的目的。
2. 数列放缩：数列放缩是数列放缩法的核心步骤。
通过对数列进行加减乘除等运算，可以使数列的项之间的关系更加明确和简单。
数列放缩的关键在于找到合适的变换方法和变换因子，保持等价性的同时使问题变得更容易解决。
3. 利用不等式：数列放缩法常常利用不等式来进行数列的放缩。
通过添加合适的不等式或利用已知的不等式性质，可以对数列的项进行限制和界定。
不等式的选择和使用需要根据具体的问题和数列的性质进行判断，常用的不等式有柯西-施瓦兹不等式、均值不等式、特殊不等式等。
4. 利用递推关系：对于递推数列，数列放缩法常常利用递推关系进行变形和放缩。
通过寻找递推数列的通项公式，可以将原始问题转化为求解通项公式的问题。
在这个过程中，数列的放缩往往是不可缺少的一步，它可以将复杂的递推关系简化为更简单的形式。
5. 利用数列的性质：数列放缩法还常常利用数列的性质来解决问题。
例如，对于等差数列，可以利用其性质求解等差数列的和、推导等差数列的通项公式等。
对于等比数列，也可以利用等比数列的性质来解决等比数列的问题。
6. 利用极限思想：数列放缩法常常利用极限思想来求解数列的极限或证明数列的性质。
通过适当的放缩和变形，可以从数列中找到趋于极限的子数列，从而进一步研究数列的性质和规律。
7. 利用对称性：数列放缩法还常常利用数列的对称性进行变形和放缩。
通过对称性的利用，可以简化数列的形式，从而更好地理解和分析数列的性质和规律。
十种放缩法技巧全总结
十种放缩法技巧全总结放缩法技巧是一种常用的设计和排版技术，可以在不改变内容的情况下，通过调整大小、缩放比例或间距来改变元素的排列和呈现效果。
它适用于各种设计领域，如平面设计、网页设计、广告设计等。
下面将总结十种常用的放缩法技巧，以便设计师们能更好地应用于实践。
1. 缩放比例：通过调整元素的大小来改变整体布局的比例和平衡感。
放大某些元素可以突出其重要性，缩小其他元素可以减弱它们的影响力。
同时，还可以通过放大主标题或重点内容来吸引读者的注意力。
2. 内外间距：通过调整元素之间的间距来改变整体布局的紧凑度和松散度。
增大内间距可以提高元素的可读性和可识别性，减小外间距可以增加元素之间的联系和连贯感。
3. 字号变化：通过调整文字的大小来突出显示重点内容或区分不同的信息层次。
可以使用不同的字号来区分标题、正文、引用等内容，以达到突出重点和提高可读性的效果。
4. 对比度调整：通过增加或减少元素之间的明暗差异，来增强或减弱它们的视觉冲击力。
使得重要内容或元素更加醒目，吸引读者的目光。
5. 彩色调整：通过调整元素的色彩饱和度、色调或色相，来改变整体布局的氛围和效果。
可以使用鲜艳的颜色来吸引注意力，使用柔和的颜色来营造温馨的氛围。
6. 图片处理：通过剪裁、缩放或扭曲图片，来实现更好的视觉效果和排版效果。
可以根据布局需要来调整图片的形状和比例，使其更好地契合整体设计。
7. 线条处理：通过增加或减少线条的粗细、长度或间距，来改变整体布局的结构和感觉。
可以添加辅助线条来提供指引，增强整体排版的连贯性和稳定感。
8. 图标和符号：通过添加图标和符号，来强调或解释某些内容。
可以使用简洁明了的图标来代替大段文字，使得信息更加清晰易懂。
9. 插图选择：通过选择合适的插图，来增加整体布局的视觉吸引力和趣味性。
可以使用与内容相关的插图来补充和强化文字表达，使得信息更加生动有趣。
10. 特殊效果：通过应用一些特殊的效果，如阴影、渐变、透明度等，来增加整体布局的层次感和立体感。
十种放缩法技巧全总结
十种放缩法技巧全总结放缩法是一种常用的图片处理技巧，通过对图片进行放大或缩小来达到不同的效果。
在实际应用中，我们常常会遇到各种需要放缩的情况，因此掌握一些放缩法的技巧是非常重要的。
下面将介绍十种放缩法的技巧，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来说说最基础的放缩技巧——等比例放缩。
等比例放缩是指在放大或缩小图片的过程中，保持图片的长宽比例不变。
这种放缩法可以保持图片的原貌，避免出现变形的情况。
其次，我们要提到的是非等比例放缩。
非等比例放缩是指在放大或缩小图片的过程中，不保持图片的长宽比例。
这种放缩法常用于特殊效果的处理，可以让图片呈现出不同的形态。
接下来，我们来说说双向放缩。
双向放缩是指在放大或缩小图片的过程中，同时对图片的长宽进行调整。
这种放缩法可以让图片在保持长宽比例的情况下，实现更灵活的尺寸调整。
第四种放缩技巧是单向放缩。
单向放缩是指在放大或缩小图片的过程中，只对图片的长或宽进行调整，而保持另一方向不变。
这种放缩法常用于需要调整图片宽度或高度的情况。
第五种放缩技巧是透视放缩。
透视放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行透视变换，使得图片呈现出透视的效果。
这种放缩法常用于景深效果的处理。
第六种放缩技巧是旋转放缩。
旋转放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行旋转变换，使得图片呈现出旋转的效果。
这种放缩法常用于创意设计中。
第七种放缩技巧是扭曲放缩。
扭曲放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行扭曲变换，使得图片呈现出扭曲的效果。
这种放缩法常用于特殊效果的处理。
第八种放缩技巧是镜像放缩。
镜像放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行镜像变换，使得图片呈现出镜像的效果。
这种放缩法常用于对称效果的处理。
第九种放缩技巧是网格放缩。
网格放缩是指在放大或缩小图片的过程中，通过网格调整，使得图片呈现出更精细的效果。
这种放缩法常用于细节处理。
最后，我们要提到的是矢量放缩。
矢量放缩是指在放大或缩小图片的过程中，使用矢量图形进行放缩，可以保持图片的清晰度和质量。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。
放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。
在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。
一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。
例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。
3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。
4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。
二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。
2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。
例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。
3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。
例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。
三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。
例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。
2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。
例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。
3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。
例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。
四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。
假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。
使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。
2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。
通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结介绍放缩法也称为二分法，是一种常用的数值计算方法，常用于求解数值问题的近似解。
它的基本思想是通过不断缩小问题范围，逐步逼近问题的解。
本文将总结放缩法的相关技巧，帮助读者更好地理解和应用该方法。
放缩法的基本原理放缩法是一种迭代算法，它的基本原理可以概括为以下几个步骤： 1. 确定问题的上下界限：放缩法需要确定问题的解的上下界限，以便在迭代过程中进行范围缩小。
2. 缩小问题的范围：通过逐步缩小问题的范围，来逼近问题的解，直到满足终止条件。
3. 更新界限：根据当前迭代的结果，更新问题的上下界限，以便下一轮迭代时使用。
放缩法的常用技巧折半查找折半查找是放缩法中的一种常用技巧，它用于在一个有序数组中查找指定的元素。
其基本思想是通过比较中间元素与目标元素的大小来确定目标元素在左半部分还是右半部分，从而缩小问题的范围。
折半查找的伪代码如下：function binarySearch(arr, target):left = 0right = arr.length - 1while (left <= right):mid = left + (right - left) / 2if arr[mid] == target:return midelse if arr[mid] < target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1二分法求解方程放缩法还可以用于求解方程的近似解。
其基本思想是通过不断二分问题的解空间，逐步逼近方程的解。
具体的步骤如下： 1. 确定方程的上下界限：根据方程的特性，确定问题的解的上下界限，以便在迭代过程中进行范围缩小。
2. 缩小解空间：通过不断缩小解空间，逐步逼近方程的解。
3. 更新界限：根据当前迭代的结果，更新问题的上下界限，以便下一轮迭代时使用。
4. 终止条件：当问题的解满足终止条件时，停止迭代，得到近似解。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的数学技巧，用于将数学问题转化为更简单、更易解决的形式。
这种技巧广泛应用于数学竞赛和问题求解中。
以下是放缩法的几个常见技巧和应用总结。
1.强化不等关系：放缩法的核心思想是通过比较大小来改变问题的形式。
如果已知a>b，那么可以通过加减乘除等操作将问题转化为a的形式，从而简化计算过程。
例如，要求证明a+2b>0，可以通过乘法得到2a+4b>0，进一步可得3a+6b>0。
这样可以将问题转化为证明3a+6b>0的形式，而这个不等式更容易证明。
2. 运用恒等变形：放缩法还可以通过变换等式或不等式的形式来简化问题。
常用的恒等变形包括平方恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和倒数恒等式1/(ab)=(1/a)(1/b)等。
应用这些恒等变形，可以将问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
3.递推放缩：递推放缩是一种通过递推关系来简化问题的方法。
通过找到问题的递推关系，可以将问题规模进行放缩，从而降低问题的复杂度。
例如，要求证明一些等式成立，可以通过将等式两边代入等式左边或右边的形式，利用递推关系将问题简化。
4.红蓝染色：红蓝染色是一种通过对元素染色来放缩问题的方法。
通过给问题中的元素染色，可以将问题转化为简化的形式，从而解决问题。
例如，在一个n×n的方格中，要求选择一些相互不在同一行、同一列的方格，并使这些方格能够覆盖所有的行和列。
可以将行和列分别染成红色和蓝色，问题转化为在红色和蓝色方格中选择不同行和列的方格并覆盖所有的红色和蓝色方格的问题。
5.数学归纳法：数学归纳法是一种通过递推关系来证明数学性质的方法。
通过对问题进行归纳假设，可以按照递推步骤逐步证明问题的性质。
例如，要证明对于任意正整数n，都有n(n+1)(n+2)能被6整除，可以通过数学归纳法来证明：当n=1时，1×2×3=6能被6整除；假设当n=k时成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除；则当n=k+1时，(k+1)(k+2)(k+3)=(k(k+1)(k+2))+(k+1)(k+2)也能被6整除，即对于任意正整数n都有n(n+1)(n+2)能被6整除。
放缩法技巧全总结[借鉴]
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放缩法技巧全总结[借鉴] 放缩法是一种常用的数学求解方法，可以用来求解各种问题，包括优化问题、最大最小值问题等。
在放缩法中，通过对问题进行适当的放大或缩小，可以使问题的求解变得更加简单和直观。
下面是关于放缩法的一些技巧总结：1. 利用函数的性质进行放缩。
对于一个函数，我们可以利用它的性质来进行放缩。
例如，对于一个凸函数，我们可以使用切线来对函数进行放缩，从而得到函数的上界或下界。
同样，对于一个凹函数，我们可以使用切线来对函数进行放缩，从而得到函数的下界或上界。
2. 利用不等式进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过引入合适的不等式来进行放缩。
例如，对于一个多项式，我们可以使用齐次不等式或者柯西不等式等来对它进行放缩。
同样，对于一个分式，我们可以使用分子分母的关系来进行放缩。
3. 利用对称性进行放缩。
对于一个具有对称性的问题，我们可以利用对称性来进行放缩。
例如，对于一个几何问题，如果我们发现问题具有镜像对称性或旋转对称性，我们可以将问题放缩到一个更简单的情况进行求解。
4. 利用局部极值进行放缩。
对于一个函数，我们可以通过求解它的一阶导数或二阶导数来找到它的极值点，并利用极值点对函数进行放缩。
例如，对于一个凸函数，它的极小值点就是函数的下界；对于一个凹函数，它的极大值点就是函数的上界。
5. 利用特殊点进行放缩。
对于一个函数，我们可以通过找到它的特殊点来进行放缩。
例如，对于一个分式，我们可以找到它的极值点或者零点来进行放缩。
同样，对于一个多项式，我们可以找到它的根或者切点来进行放缩。
6. 利用数学恒等式进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过使用数学恒等式来进行放缩。
例如，对于一个三角函数，我们可以使用三角恒等式来对它进行放缩。
同样，对于一个指数函数，我们可以使用指数恒等式来对它进行放缩。
7. 利用数学变换进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过使用数学变换来进行放缩。
例如，对于一个指数函数，我们可以使用对数变换来对它进行放缩。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是数学问题解决中常用的一种方法，它通过缩小问题的范围或改变问题的形式来简化解决过程。
在数学建模、优化问题以及算法设计中，放缩法经常被应用于求解复杂的问题。
本文将对放缩法的原理、应用以及常见的技巧进行全面总结。
1. 放缩法的原理及基本思想放缩法的基本思想是通过限制问题的变量范围或者构造合适的上下界，从而将原问题转化为一个可以更容易解决的子问题。
主要包括以下步骤：首先，确定问题的数学模型和目标函数。
根据问题的特点，选择合适的变量和约束条件，明确问题的求解目标。
其次，根据问题的特点，通过观察和分析将问题进行简化。
可以通过限制变量范围、引入新的限制条件或者改变问题的形式等方式进行问题的放缩。
然后，进行放缩求解。
根据问题的特点，选择合适的求解方法和算法来求解放缩后的子问题。
最后，将子问题的解进行扩展和还原，得到原问题的解。
2. 放缩法的应用领域放缩法是一种通用的方法，可以应用于多个领域，如数学建模、优化问题以及算法设计等。
以下列举几个应用场景：2.1 数学建模放缩法在数学建模中经常用于减少问题的复杂性，简化模型的求解过程。
通过放缩变量的范围，可以缩小求解空间，提高求解效率。
2.2 优化问题放缩法在优化问题中的应用非常广泛。
通过引入适当的上下界限制，可以将原问题转化为一个更容易求解的子问题。
例如，在整数规划中，可以通过放缩法来将问题转化为一个线性规划问题，然后使用线性规划算法求解。
2.3 算法设计在算法设计中，放缩法可以用于改进算法的时间复杂度和空间复杂度。
通过限制算法中的某些变量范围，可以减少算法的搜索空间，提高算法的效率。
3. 放缩法的常见技巧3.1 二分搜索二分搜索是放缩法中常用的技巧之一。
通过确定问题的上下界，不断将问题的搜索空间缩小一半，直到找到满足条件的解。
二分搜索可以应用于各种离散问题，如查找有序数组中的元素、搜索图中的路径等。
3.2 引入辅助变量引入辅助变量是放缩法中常用的技巧之一。
十种放缩法技巧全总结
十种放缩法技巧全总结
【十种放缩法技巧全总结】
一、放缩法的思考
1.了解放缩法的基础：放缩法是一种常用的解决问题的方法，它强调的是将比较复杂的问题分解成一些更小的问题，这样更容易解决。
2.了解放缩法的原理：放缩法是将一个较大的问题，通过对它的不同部分进行放缩，以此得到不同等级的解决方案，解决各个不同等级的问题。
3.放缩法的优势：放缩法的优点在于可以更好的解决复杂的问题，而且更加容易理解。
二、十种常见的放缩法技巧
1.分解技巧：将复杂的问题分解成一些相互关联、解决全部问题的独立子问题。
2.聚焦技巧：将系统分解成独立的子系统，以便能够更准确地对其中的子系统进行放缩。
3.抽象技巧：通过简单而省时的思考方法，把复杂的细节和系统建模分解成更加简单的抽象系统，这样可以更快更准确地得出答案。
4.递推技巧：通过由小到大的逐步放缩，从上一步得出的结论作为下一步的起点，然后在逐渐放宽的范围内放缩，最终达到目标解决方案。
5.搜索技巧：在一定的范围内，搜索出所有可行的解决方案，然后根据需要对所有方案进行比较和选择。
6.综合技巧：综合应用现有的多种技术技巧，对复杂的放缩问题进行综合的攻关，以高效地解决问题。
7.逐步分解技巧：有些复杂的问题，由于它们的大小，不能一次性完成，而要按照固定的步骤，逐步将问题分解，从而得出最终解决方案。
8.反推技巧：将最终的解决方案一步一步反推出来，以此来求得一个合适的近似解。
9.自发技巧：通过随机或偶然的技术，探索出可能比较好的解决方案，可以帮助我们达到较好的目标。
10.对比技巧：就是将多种解决方案进行比较，从而得出最终的解决方案。
导数放缩法技巧全总结
导数放缩法技巧全总结导数放缩法是微积分中常用的一种技巧，用于求解函数的极限、最值等问题。
它的核心思想是通过对函数的导数进行放缩，从而得到更简单的形式，方便进行进一步的分析和计算。
下面将总结导数放缩法的一些常见技巧和应用。
1. 利用导数的性质进行放缩，对于给定的函数f(x)，如果能够求出它的导数f'(x)，那么可以利用导数的性质来对函数进行放缩。
比如，当我们需要求解一个函数在某个区间上的最大值或最小值时，可以通过求出函数在区间端点和驻点处的导数值，然后比较这些值来确定最值的位置。
2. 利用导数的符号进行放缩，导数的符号可以告诉我们函数的增减性，从而帮助我们确定函数的极值点。
如果一个函数在某个区间上的导数始终大于零（或始终小于零），那么可以得出函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的结论，从而可以对函数进行放缩。
3. 利用导数的大小进行放缩，导数的大小可以告诉我们函数的变化率，从而帮助我们对函数进行放缩。
如果一个函数在某个区间上的导数始终小于（或大于）另一个函数的导数，那么可以利用这一性质对函数进行放缩，从而得到更简单的形式。
4. 利用高阶导数进行放缩，有时候，对函数的高阶导数进行分析可以帮助我们对函数进行放缩。
通过对函数的高阶导数进行分析，可以得到更多关于函数的信息，从而帮助我们对函数进行更精确的放缩。
总的来说，导数放缩法是微积分中非常重要的一种技巧，它可以帮助我们对函数进行更精确的分析和计算。
通过灵活运用导数的性质和大小，我们可以更好地理解函数的行为，从而在求解极限、最值等问题时更加得心应手。
希望本文总结的导数放缩法技巧能够对读者有所帮助。
放缩法的应用技巧
放缩法的应用技巧放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。
为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。
一、常见的放缩方法证题中经常用到的放缩方法法有：1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。
4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。
二、常见的放缩控制当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。
那么如何控制好放缩的尺度呢？例1．求证：4713121112222<++++n分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。
若采取“)1(112-<n n n )2(1)1(1≥--=n nn ”的方法向右端放大， 则左边n n ⨯-+⨯+⨯+<)1(13212111 )2111(1-+= +-+)3121(47212)111(><-=--+n n n 很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。
那怎么办呢？【1】 调整放缩的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有点过大，因为，，放大了41211212⨯< ，，放大了181321312⨯<所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。
社会学难题放缩法的技巧(精华)
社会学难题放缩法的技巧(精华)社会学难题放缩法的技巧概述社会学作为一门研究人类社会行为的学科，经常面临复杂的难题。
为了解决这些难题，社会学家常常采用放缩法。
放缩法是一种将抽象概念具体化、将复杂问题简化的方法。
本文将介绍社会学难题放缩法的几种常见技巧。
一、扩大样本规模对于一些难以获得足够样本的社会学难题，放缩法可以通过扩大样本规模来解决。
通过增加样本的数量，可以提高研究的可靠性和普遍性。
同时，扩大样本规模还可以减少样本的偶然性和随机性，使得研究结果更具有说服力。
二、缩小研究范围在面对复杂的社会学问题时，放缩法可以通过缩小研究范围来帮助研究者更好地理解问题的本质。
通过将大问题分解成小问题，并集中研究其中一个或几个方面，可以更深入地研究、理解和解决具体问题。
缩小研究范围还可以更有效地收集和分析数据，提高研究的准确性和可靠性。
三、简化研究设计社会学难题通常涉及许多变量和复杂的关系，这给研究者带来了困难。
放缩法建议在研究设计中简化变量和关系的复杂性。
通过选择关键的变量和关系，将研究设计精简到最重要和核心的问题上，可以更好地理解和解决社会学难题。
简化研究设计还可以减少研究过程中的干扰和误导，提高研究结果的可信度。
四、利用实证研究和理论验证放缩法建议在解决社会学难题时，结合实证研究和理论验证的方法。
实证研究可以通过收集和分析大量的数据来验证社会学理论的有效性和适用性。
理论验证则可以通过研究者对社会现象的深入思考和分析，建立和完善社会学理论。
实证研究和理论验证相互印证，可以更全面地解决社会学难题。
结论放缩法是解决社会学难题的一种常用方法。
通过扩大样本规模、缩小研究范围、简化研究设计、利用实证研究和理论验证等技巧，可以帮助社会学家更好地理解和解决复杂的社会学问题。
研究者在使用放缩法时应根据具体情况灵活运用，并结合其他方法和技巧进行综合分析和研究。
参考资料：- Smith, J. (2010). Scaling down: The subordination of academic labor and the restructuring of academic work. ProQuest Dissertations Publishing.- Jones, M. (2015). Scaling up and scaling down: Building a successful independent school. The Educational Forum, 79(3), 238-255.- Brown, H. & Smith, T. (2018). Scaling down, and tamping up: Subjectivity and anti-suicide barriers in a Vancouver subway station. Environment and Planning D: Society and Space, 36(6), 1051-1071.。
分数放缩法技巧全总结
分数放缩法技巧全总结
1. 哎呀呀，分数放缩法技巧之一就是要学会观察呀！比如说，在比较
1/3 和 1/4 谁大时，就可以把 1/3 放缩成 2/6，把 1/4 放缩成 2/8，这样
不就一目了然啦，1/3 大呗！这多简单啊！
2. 嘿！还有一个技巧就是找中间数哟！比如要判断 3/7 和 4/9 谁大，就可
以找个中间数 1/2 呀，3/7 小于 1/2，4/9 大于 1/2，那不就清楚了嘛，
4/9 大呀！你说妙不妙？
3. 哇塞，放大或缩小分子分母也是常用的办法呀！就像比较 5/8 和 7/10，把 5/8 的分子分母同时扩大，变成 25/40，把 7/10 变成 28/40，这下不就知道 7/10 大咯！是不是很有意思呀？
4. 嘿呀，遇到复杂点的分数可别怕呀！例如判断 101/200 和 302/600 谁大，把 302/600 约分一下变成 151/300，再和 101/200 一比，这不就得出
101/200 小嘛！你学会了没？
5. 哇哦，有时候可以利用分数的性质呀！像比较 2/5 和 3/7，把 2/5 变成
14/35，把 3/7 变成 15/35，很明显 3/7 大啦！这多神奇呀！
6. 哎呀，还可以结合实际呀！比如说分蛋糕，给你 1/2 块蛋糕和给他 2/3
块蛋糕，谁的多不就清楚明白了嘛！这就是分数放缩法的厉害之处呢！
7. 嘿，有些题目得灵活运用多种技巧呀！就好像解方程里面有分数，就得用这些技巧去化简呀！想想是不是这个理？
8. 哟呵，分数放缩法的技巧真的好多呀！多练习多掌握，以后遇到分数问题都不是事儿啦！总之，学会这些技巧，就能在分数的世界里畅游啦！。
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放缩法的应用技巧放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。
证明数列型不等式，因 其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。
为了帮助更多的学生突破这 一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。
一、 常见的放缩方法证题中经常用到的放缩方法法有：1•“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3•利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。
4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，禾U 用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。
二、 常见的放缩控制分析3:分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。
可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。
由此可见，调整成功。
显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些。
以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。
除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子 的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。
当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,达不到欲证的目标。
那么如何控制好放缩的尺度呢？豹… 1 1117例1 •求证： 2221 2 3 n 41：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。
“ 1导致放缩的过大或过小,分析若采取则左边 n(n 1)1 1 【1】 分析 证明【2】 很明显,112 2 3放得有点大了,调整放缩的“量” 2:分析1中“放”通过调整放大的1减少1,即二n 1 1 1 ：左边 <1 -('(n 1)11 (nn 2) ”的方法向右端放大,(n 1) n导致传递性失败,1 1 1 1(一—)( ) 1 2 2 3不等式链中断，放缩失败。
1 1 ( )n 1 n那怎么办呢？的大小 的有点过大，因为右“量”来控制放缩的效果。
1 1 1 1 、/ ( (nn 1 2 n 1 n 1、1) (1 1) (j J) + 2 1 3 2 43 52)调整放缩的“项”的起点—,放大了2丄-2n (n 1 321厂，放大了分母减少了 n(n 1) 这样放的量就少了。
1-〜)=1+2(11 n 12 1 18所以可以n ，我们可以把分母只〜)<1 + ；(1 ■)=；n 122 4证明2:左边 1 1— 4 2 3亠1丄(丄丄)(n 1) n 42 3三、常见的问题类型数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和 面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法。
.放缩与“公式法求和”选择恰当的放缩方法，通过“通项”的适度 放缩使之转化为等差或等比数列，从而求和达到简化证题 的目的。
然后求和证明。
其中不等式左边的放缩方法有数种，值得体会研究。
二.放缩与“裂项法求和”在例1中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决。
例 2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果，然后求和。
下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。
（或求和后放缩）来达到欲证的目标。
下 证明: 因为-kS n说明: 分别利用 求证:1 1!证明: 因为k! 说明: 证明:a k a k 1,23 L，求证:n(n 1)S n(n 1)2,k(kn(kk 1“添舍项”和 丄 2! 13!k(k 1)1)k (k 1)■ k(k 1) s n(n 1)2“均值不等式” 1 n !把通项放缩为等差数列，然后求和得证。
1 k!12^,k 1,2, ,n.1 1! 12! 3! 1 n!21 221 2k 1警2y 22把分母适当变小， 实现分式的放大，把通项放缩为等比数列，然后方便求和。
已知a n 2n1，证明：—2 通项卫丄a k 12k11a kk 1 ak 12k 1 2k2k 1 2 2 1 2(2k 22kk1(i 右a 1a 232 a n a 3a n 1na k3k 1不等式右边得证。
1 4(，1)n 1 , 1 11 n3 2k2n)2 说明：不等式两端的结构特点是本题证明的突破口，利用“添舍项”1 ____ (2k 2)1 11(1歹)把通项放缩为与1 1 13 2k 0 2 3 2k-，不等式左边得证。
31-有关的形式,2例 5.求证：2( . n 1 1)证明：1/k11 .2 31 2..n..n2仁k …k 1),(k2[(、. 2 、1) (：3、2) ( . n n 1)] 2)2( 1 .n) 2. n 1 2. n一一2G. k 1 . k)k I k 1n 1k 1 ik.1) (.3 .2) (.n 1 、n)] 2( .n 1) 2( . n 1 1) 说明：例1分式、例5根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型, 值得体会。
1例6.已知a n ( )n , b n311 a n1,证明:1 a n 1nb kk 12n证明：b n3n 1"T3n3n_J n13n3n 13n3n 1 1 13n 1 1nb k k 1 2n [(1丄31b n1百序※)3n 11R 2n (31 1、3 盯)2n（探）处是本题的关键，根据式子中各项的符号以及分母的幕指数决定放缩为序※）的形式，以实现“相消”求和的效果。
说明：对通项利用“分离变量”化简至例7.已知f （1）2, f(n 1) f 2(n) f (n),求证:n 1k 1 f(k)1证明：f（n1) f(n) [f (n) 1],1f(n 1) f(n) [f( n) 1]1f(n)1f(n) 1f(n) 1 n 1k 1 f(k) 11f (n)1f(n 1)'1]f(1) f(2)f(n 1)]1f(1)1f(n 1)由已知可得 f (n) 0,1k 1 f(k) 1说明：对通项结构特点的分析,很自然的想法了。
决定对已知等式的右边进行因式分解取倒数。
然后再裂项、移项变形就是三.放缩与“并项法求和”2 1 1 例8.已知a n [2n2 ( 1)n1] ,n 1,证明：对任意整数m 4,有3 a4 a5 1 7a m 811 22分析：通项中含有 （1）n 1,1 1扌巴——，捆绑并为一项，然后结合 n 的奇偶性进行适度的放缩。
a n a n 11证明：当n 为奇数时，■ a n a n 11]3 2n 1 2n 2 2“ 112 22n 32n 2 1即当n 为奇数时,当m 为偶数且 m>4 时: a n 土），且 a 4 2,a 4 a 5a m a 4(a 5a 6(丄a m 1丄)a m1 9(丄 32 2 2124当m 为奇数且a 4 a 5 12m 4 )m>4 时:a m a 4 综上可知，对于任意整数 例9.求证1 1 2 分析：观察分母的变化规律, m 1为偶数, a 5 a m a m m>4, 1都有— a 4 把若干项 a 5 3 2n 1 2n 2*1 “捆绑”(n 2, n N) 2 并为一项后进行放缩, 然后求和就很容易实现欲证的目标。
1 1 1 1 1 证明：左边=1 —(-—)(--23456789 101 1)(1 115(异1111 1111 丄丄—12 (4 4) (8 8 8 8) (16 16 16 16)1 (2 =11丄入1 —(共 n 个—)1 -2 2 2 四. 利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系, 在很多题目中可以起到很好的放缩效果。
例 10.已知 a 1 3, a k 2a k 1 1 1(k 2),求证：一— 1 a 1 a 2 1 —1 a n2 分析：根据欲证不等式的结构特点, 通过递推关系式构造关于 a k 的不等式，然后实现对通项的放缩。
证明： a k 2a k 1 1,a k 1 2(a k 1 1)且a 1a k 1a k1 a k-1a k-11 a k-21a 2 1a 1 1 (a 11) 22k1a k 1 (i )k1左边C 1)2(1)32 2(-)n 12(T ) 2 241 1例11.已知a n 2n 1，证明：丄 丄a 2 a 3分析：通过对a n 的适度放缩产生关于 a n 的不等递推关系式，然后谋求对证明：a n2n1 2n2 2(2n 1 1)n3时， a na na n 1a 3a n 1 a n 2a 2左边 1 -[111 2(;) 1(：n1]32 22五.构造和数列后进行放缩2a n 1,a na n 1 2(n 2) 口 a 〔 1,a 23,」2 亠11 n2 a 223,3 (;)a n 22 1 2(1 n )—3 2n3如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。
1 1例12.已知一1 hog2 n]，正数列 a n 满足 a 1 b 0,a n(n 2)2 3n 2 n a n 1证明：a n2b (n 2)2 b[log 2n]1分析：根据已知构造关于 —的递推关系式，然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。
n证明：na n 11 1ann an 1 a na n 1,11 1 1 n 2时，一( )(a n a na n 1a n 111 rl 】1 2 b[log 2 n][log 2 n] —a n2b 2b 例13.已知函数f(x)12，疋义数列｛x 2111丄5 2)na na n 1n11 1 1 1 1)(— )a n 2a 2a 1 a 1 n n 12b0，an12 b[log 2 n]n } : x 10, x n 1 *f (x n ), n N ，1 *若0 x k^(k2,3,4丄)，证明：对任意m N 都有：x m k X k1 4 证明：由x 1 0得x 2, x 329分析：利用递推式构造关于X k 1 x k 的不等式，利用“绝对值不等式”把X m k X k 放缩为和数列的形式x k 1 x kx k x k 11a n 11—的放缩，转化为熟悉的问题。
a k13 4k 1当 k 2时，Q0 x k 118上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。