2017-2018学年度第九届高等数学竞赛(答案)
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf
=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，
第九届WMO世奥赛地方赛九年级初赛A卷答案
第九届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛九年级地方晋级赛答案一、填空题。
（每题5分，共60分）1.2.3.(1)(2)y x y ++−4.205.24或6.27.1478.29719.610.-411.150°12.①④二、解答题。
（每题10分，共40分）1.解：（1）当m =1时，方程为2410x x ++=配方得：2(44)410x x ++−+=即2(2)3x +=所以2x +=则方程的根为：2x =−±（2）因为方程没有实数根，则△=24410m −××<所以416m >4m >。
2.解：⑴30020y x=+06045x x ≥⎧⎨−≥⎩∴0≤x≤15∴所求的函数关系式为：30020y x =+（0≤x ≤15）.⑵设每星期的利润为W 元，W=(60)(30020)40(30020)x x x −+−×+=2520()61252x −−+∵x 为正整数，当x =2或3时，W 有最大值为6120元.当x =2时，60-x =58；当x =3时，60-x =57；∴当售价为58元或57元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元。
3.证明：∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABD +∠CBD ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°则∠BFD +∠EBD =90°又EBD CBD ∠=∠，∴∠ABD =∠BFD .如图可知：A 、B 、D 、G 四点共圆。
∴∠ABD =∠CGD∴∠ABD =∠BFD =∠CGD又ACB ∠的平分线交⊙O 于D ，EBDCBD ∠=∠∴点D 到AC 、BC 、BE 的距离相等分别作DM ⊥BE 于M ，DN ⊥AC 于N ，则DM =DN在Rt △MFD 和Rt △NGD 中，DM =DN ，∠MFD =∠NGD ,∠FMD =∠GND =90°∴△DMF ≌△DNG ，∴DF =DG ．4.⑴证明：连接OD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠C =60°，∵OB =OD ，∴∠ODB =∠ABC =60°，∴∠DOB =∠C =60°，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC 于E ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是半圆O 的切线。
第九届世界奥林匹克数学竞赛WMO地方晋级初赛5年级B卷答案
第九届世奥赛世奥赛五五年级年级地方晋级赛初赛地方晋级赛初赛B 卷答案一、填空题。
1.28422.93.44.235.126.335.57.848.1729.410.13811.4312.160二、解答题。
1.解：由2013÷3=671（个）可知3的倍数有671个，由2013÷5=402（个）……3可知5的倍数有402个，由2013÷15=134（个）……3可知15的倍数有134个，1～2013中3或5的倍数共有671+402-134=939（个）,所以1～2013中不是3或5的倍数的数共有2013-939=1074（个）2.解：依题意可得，火车车速为100÷（19-15）=25（米/秒）25×15=375（米）所以火车长375米。
3.解：由67+70+71+72+73+74+75+77+78+79=736，而736中每堆苹果都加了4次，所以五堆苹果的数量和736÷4=184，而由题意知最少和第二少的两堆苹果数之和为67，最多和第二多的两堆苹果数之和为79，所以第三多的那堆苹果数为184-67-79=38，而最多和第三多的两堆苹果数之和为78，所以最多的一堆苹果数为78-38=40，所以第二多的那堆苹果数为79-40=39，最少和第三多的两堆苹果数之和为70，所以最少的一堆苹果数为70-38=32，所以第二少的那堆苹果数为67-32=35，五堆苹果数由少到多依次为32，35，38，39，40。
（说明：也可以把五堆苹果数由少到多依次设为a ，b ，c ，d ，e 列方程解答。
）4.解：设每台抽水机每天的抽水量为1份，那么有河水每天涌入的水量为（20×6-10×8）÷（20-10）=4（份）水库中原有水量为20×6-20×4=40（份）所以要5天把水库里的水抽干，需要抽水机（40+4×5）÷5=12（台）三、综合素质题。
2018年第九届决赛
一.填空题（每小题6分，共30分）
4. 满足 du(t) u(t) 1 u(t)dt及u(0) 1,则可微函数u(t) ________ .
dt
0
方程 du(t ) u(t ) 1 u(t )dt两边对t求导得微分方程
dt
0
u(t ) u(t ) u(t ) C1et C2
u(0) 1 u(t ) C1et 1 C1 u(0) C1
x3 ).
证明 : 令
F ( x) arctan x
x
f (t)dt
1
f ( x)dx
0
80
则F (0)
1
f ( x)dx,
F (1)
1 f ( x)dx,且F ( x)在[0,1]上可导
80
80
F (0) F (1) 0
证明 : 根据介值定理存在x3 (0,1),使F ( x3 ) 0
b y cda,cz dab,d w abc,则行列式 1 y 1 1 ___0_____ . 1 1 z 1 1 1 1 w
二（11分）设函数 f ( x)在(0,1)内连续且存在两两互异的点
x1 , x2 , x3 , x4 (0,1),使得
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
1
e
0
e
1
0 ln xdx 1
五.(12分）设 x ( x1, x2 , n 2.
n
n1
, xn )T Rn , H ( x) xi2 xi xi1,
i 1
i 1
(1)证明：对于任意的非零x Rn , H ( x) 0;
(2)求H ( x)满足条件xn 1的最小值.
1
1 2
第九届中国大学生数学竞赛预赛试卷+答案
ą1“ 4
fxyp0, 0q‰2
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1 2
fxxp0, 0q
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1 4
“
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1 4
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p0,
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“1“ 4
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ě
0
这就说明 B2 ´ AC ą 0, f p0, 0q 为极值. 下面证明 f p0, 0q 为极小值,
0
0
0
V
“
2π
¨
1
sin2
φ
ˇπ {4 ˇ
¨
1
ρ
ˇ2 4ˇ
“
2π
2
ˇ
0
4
ˇ
0
♢
二、(本题满分 14 分) 设二元函数 f px, yq 在平面上有连续的二阶导数. 对任意角度 α, 定义一元函数
gα ptq “ f pt cos α,t sin αq.
若对任何 α
都有
dgα p0q dt
“0且
d2gα p0q dt 2
由常数变易法, 从而
∫
ˆ∫
∫
˙
f pxq “ e´ tanxdx sec xe tanxdx dx ` C
ˆ∫ “ elncosx
1
˙
∫
´
e´lncosx dx ` C “ cos x
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
山东省大学生数学竞赛理工本科
大连市第九届大学生高等数学竞赛试题（理工类本科）注：共１０题，每题１０分。
1. 确定正整数n ，使极限x e dtt I n x x t sin )1(lim 0sin arcsin 12-⎰+=存在，并求出此极限。
2. 讨论由x y a r c t g y x =+22ln 在区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=0,2),(x x y y x D 内确定的隐函数)(x f y =的极值点的极值，并说明是极小值还是极大值。
3. 设)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有二阶导数且0)0(='f ，证明：存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,,321πξξξ，使)()2sin()(21132ξξξξπf f '=⋅''⋅。
4. 求极限,lim n n u ∞→其中)11(2n u n +=)21(2n +…)11(2n n -+)1(2n n +。
5. ⎰+=22sin u x xy tdt z ， ),(y x u u =可微，求dz 。
6. 一质点在力)),(,,(y x g y x x z z y F F ++++= 作用下沿曲线B A :Γ运动。
).3,3,2(),0,0,1(B B A A ==已知1),(-=⎰Γdz y x g ，求这个过程中F 所作的功W 。
7. 平面1π为椭球面42x 1422=++z y 在点)21,1,1(A 处的切平面，平面2π是此椭球面的另一切面，切点为2.πB 平行于1π，求以点)0,0,2(,C B A 及为顶点的三角形的面积。
8. 求级数∑∞=+-+-14131211(n …n n x n21)1)1(+-的收敛半径及其和函数的单调性及凸性 9. 求曲线⎰-==10)(:dt t x x f y C ，[]1,0∈x 绕x 轴旋转所成的曲面的表面积。
函数)(x f y =在[]b a ,上连续，在()b a ,内有二阶导数，[],,,1)(,20b a x x f b a x ∈∀≤''+=估计近似公式))(()(0a b x f dx x f b a -=⎰的误差。
第九届全国大学生数学竞赛参考答案(非数学类)
2017年数学竞四川赛区（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l nc o sl n c o s211==cos cos cos x x e e dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n co s xx c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、 填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方 程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ， 及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】 不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明： 在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】 令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ， 使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】 注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ， 而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】 在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。
全国大学生数学竞赛初赛2017年第九届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
【参考解答】【解法一】在有泰勒公式应用于解题的竞赛题解析中，特别强调了泰勒公式的两种类型适
用的问题类型。这里是求极限，并且是求自变量趋于0 的极限；毫无疑问，就是用带皮亚诺余项的泰勒公
式，并且由于函数由二阶连续导数，所以可以在0 点可以展开为二阶带皮亚诺余项的泰勒公式，即有
f x f 0 f 0x f 0x2 o x2 2!
2
1 t
dt
1t
dt
2
1 t
dt
et
dt
1t
1 det et
1t
1t
et
d 1
1 t
et
et
1 t (1 t)2 dt
tet
et
代入上式可得
dt
+C ，由于 sin x t ，所以
2
1 t
1t
esin x sin 2x
2esin x
I
2
1 sin x
dx
+C
1 sin x
6．记曲面z 2 x 2 y2 和z 4 x2 y2 围成的空间区域为V ，则三重积分
z d x d y d z ______________。
V
【参考解答一】由两个方程，可得边界线方程为x 2 y2 2 ，这个题目由被积函数的结构，只包含一个
变量 z ，而且用平行于 xOy 的平面取截取立体区域，截面都为圆，所以考虑先二后一的截面法计算要简
f xcosx f xsin x 2f xsin x 1
f xcosx f x sin x 1
f x f xtan x secx
这是一个非齐次的一阶线性微分方程，由计算公式可得
f (x) e tan x d x sec xe tan x d x d x C
【全国大学生数学竞赛真题试卷】2017年02-参考解答-第九届全国初赛-数学类试卷
lim
n
n k 1
f
nk
An
lim
n
n
1 1
2n f (x) d x lim n
1
n
1
2n f (x)d x
0
f (1) f (0) .
2 28
六、【参考解答】：容易知道 f x 连续，注意到 f (x) 1 x 2(1 x)，于是有
0 f (x) 1 f (0) f (1), x (0, 1)
n
d
x
m n
n n
4
1
1
1
4
n
1
n
1
1
1
1 n
n
1
(1
)
M
mn
n
1
f n (x)d x
从而 lim
0.
n
f n (x) d x
0
对于
0,
ln
5 4
，取
2
e 1
，则
0,
12,
ln
2
2
.
1
f n (x)d x
另一方面，由前述结论，存在 N 1 使得当n N 时，有
n
1 n
n k 1
f
nk
1
f (x)d x
0
1
1x
ln 2
x arctan x
dx
0 0 1x2
42
对于 x
k
n
1
,
k n
,
(1
k
n
)
，由中值定理，存在
n,k
k
n
1
,
k n
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
第九届全国大学生数学竞赛培训安排
第九届全国大学生数学竞赛培训安排
第九届全国大学生数学竞赛将于2017年10月下旬在武汉大学举行，现将相关培训工作安排如下：
一、师资队伍安排：
专业组：柴国庆，潘继斌，黄振华，左可正，陈引兰，谢涛，王松柏
非专业组：潘继斌，陈引兰，屈小妹，刘伟民，游雪肖，黄收友，陈
敬华
二、领队：谢涛陈敬华
三、日常教学管理：谢涛
四、培训时间安排：
第一段：暑期前一周：7月1日，7月2日
第二段：暑假最后一周：8月29日，8月30日
第三段：9月-10月每周末两天（由于具体竞赛时间未定，第三段时间
初步这样安排）
第九届大学生数学竞赛培训第一段课表（专业组）
共8次课. 地点：信息楼八楼10802
2017数学竞赛qq群：486901164
第九届大学生数学竞赛培训第一段课表（非专业组）
共8次课. 地点：信息楼八楼10803
2017数学竞赛qq群：486901164
湖北师范学院数学与统计学院
2017/6/19。
2017-2018年浙江省宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷和参考答案
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．（4分）下列函数中，在定义域上为增函数的是（）A．B．y＝lnx C．y＝3﹣x D．y＝|x|3．（4分）已知函数f（x）＝﹣x，则下列选项错误的是（）A．f（x+1）＝f（x）+1B．f（3x）＝3f（x）C．f（f（x））＝x D．4．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（4分）小明、小红、小泽、小丹去电影院看《红海行动》，四人座位是同一排且相邻的，若小明、小红不坐一起，则不同的坐法种数为（）A．24B．10C．8D．126．（4分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝2x，则f（2）﹣g（2）＝（）A．B．4C．0D．7．（4分）已知a，b，c＞0且，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b8．（4分）已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且函数y＝（2﹣x）f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（4分）已知方程2x﹣1+21﹣x+t（|x﹣1|+2）＝0有三个解，则t＝（）A．B．1C．D．﹣110．（4分）已知直线y＝kx+b的图象恒在曲线y＝ln（x+3）的图象上方，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，则|z|＝；若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a＝．12．（6分）若3a＝24，b log23＝1，则3a﹣2b＝；＝．13．（6分）在的展开式中，常数项为；二项式系数最大的项为．14．（6分）已知函数，则f（2018）＝；不等式f（f（x））＞1的解集为．15．（4分）甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有种．16．（4分）已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．17．（4分）已知函数有零点，则b2+c2的取值范围是．三、解答题：共74分18．（14分）（1）解不等式（2）已知（3x﹣5）n＝且a2＝135，求．19．（14分）已知数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n （1）求S1，S2，S3，试猜想S n的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．20．（14分）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在P（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的取值范围．21．（16分）已知函数f（x）＝x|x﹣2a|+bx，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若b＝2且a＞0，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值M（a）．22．（16分）已知函数．（1）（ⅰ）讨论函数f（x）的极值点个数；（ⅱ）若x0是函数f（x）的极值点，求证：；（2）若x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a﹣4．2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：A＝{x|x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，0.1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．2．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣，为反比例函数，在其定义域不是增函数；不符合题意；对于B，y＝lnx，为对数函数，在定义域（0，+∞）上为增函数；符合题意；对于C，y＝3﹣x＝（）x，为指数函数，在其定义域是减函数；不符合题意；对于D，y＝|x|＝，在其定义域不是增函数；不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．3．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x+1）＝﹣（x+1）＝﹣x﹣1，f（x）+1＝﹣x+1，f（x+1）≠f（x）+1，A 错误；对于B，f（3x）＝﹣3x，3f（x）＝3（﹣x）＝﹣3x，f（3x）＝3f（x），正确；对于C，f（x）＝﹣x，f（f（x））＝﹣（﹣x）＝x，正确；对于D，f（）＝﹣（）＝﹣，＝＝﹣，则f（）＝，正确；故选：A．【点评】本题考查函数值的计算以及函数解析式，属于基础题．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：函数是（1，+∞）上的连续增函数，f（2）＝ln2﹣3＜0；f（3）＝ln3﹣＝ln＜0，f（4）＝ln4﹣1＞0；f（3）f（4）＜0，所以函数的零点所在的大致区间为：（3，4）．故选：C．【点评】本题考查零点判定定理的应用，是基本知识的考查．5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将小泽、小丹排好，考虑2人的顺序，有A22种情况，②，2人排好后，有3个空位可选，在3个空位中任选2个，安排小明、小红，有A32＝6种情况，则小明、小红不坐一起的排法有2×6＝12种；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，不能相邻问题用插空法．6．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝2x，∴则f（﹣2）+g（﹣2）＝2﹣2＝，即f（﹣2）﹣g（2）＝，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．7．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a，b，c＞0，且，，，∴0＜a＜1，0＜b＜1，c＞1．分别画出函数y＝2x，y＝，y＝的图象，则0＜a＜b＜1．综上可得：a＜b＜c．故选：C．【点评】本题考查了指数与，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：由y＝（2﹣x）f'（x）的图象知，当x＝2时，y＝0，当x＞2时，y＞0，则f′（x）＜0，此时函数为减函数，排除A，D，设函数最小的零点为a，当x＜a时，y＜0，此时f′（x）＜0，此时函数为减函数，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断排除是解决本题的关键．9．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：将方程变形为t（|x﹣1|+2）＝﹣（2x﹣1+21﹣x），再做代换，令x﹣1＝m∈R，则上式变形为t（|m|+2）＝﹣（2m+2﹣m），则函数f（x）＝t（|m|+2）与函数g（x）＝﹣（2m+2﹣m）的图象有三个不同的交点，接下来我们分析怎么徒手做这两个函数的图象，对函数f（x）＝t（|m|+2）而言，函数y＝|m|+2的图象恒过点（0，2），开口向上，两条折线的夹角为90°，则函数f（x）＝t（|m|+2）恒过点（0，2t），开口和夹角都随k的正负变换，是动态图象，而函数g（x）＝﹣（2m+2﹣m），是偶函数，过定点（0，﹣2），开口向下，可以借助导数判断，当m≥0时，y＝2m+2﹣m单调递增，m≤0时，y＝2m+2﹣m单调递减，故g（x）在区间（﹣∞，0]单调递增，在区间[0+，∞）单调递减；最高点为（0，﹣2）在同一个坐标系中做出两个函数的图象，由图象可知，当2t＝﹣2时，即t＝﹣1时，二者有三个交点，即t＝﹣1，故选：D．【点评】①深刻理解我们为什么需要将数的问题转化为形的问题来求解，该如何转化．②平常学习中需要有效积累一些函数的图象，比如y＝k|x|的动态图象，y＝e x+e﹣x的图象，y＝e x﹣e﹣x的图象等，会有助于我们的解题．10．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由题意，直线y＝kx+b的图象恒在曲线y＝ln（x+3）的图象上方，则k ＞0．令h（x）＝kx+b﹣ln（x+3），其定义域（﹣3，+∞）．则h′（x）＝k．∵k＞0．令h′（x）＝0，可得x＝．当x∈（﹣3，）时，h′（x）＜0，则h（x）在区间（﹣3，）单调递减；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，则h（x）在区间（﹣3，）单调递增；则h（x）min＝h（）＝k（）+b﹣ln＞0．即1﹣3k+b＞ln恒成立；由k＞0．那么g（k）＝3﹣+•ln设＝t，（0＜t）令f（t）＝t•lnt+3﹣t，则f′（t）＝lnt＝0则t＝1．当t∈（0，1）时，f′（t）＜0，则f（t）在区间（0，1）单调递减；可得g（k）＝3﹣+•ln在区间（0，1）单调递增；当t∈（1，+∞）时，f′（t）＞0，则f（t）在区间（1，+∞）单调递增；可得g（k）＝3﹣+•ln在区间（1，+∞）单调递减；∴g（k）max＝g（1）＝2．即．故选：B．【点评】本题考查了导函数的综合应用，难点是对参数的分类讨论和构造函数，把恒成立问题转换为最值问题二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z＝（3+i）2＝8+6i，则|z|＝＝10；若z•（a+i）＝（8+6i）（a+i）＝8a﹣6+（6a+8）i是纯虚数（其中a∈R），则8a﹣6＝0，且6a+8≠0，解得a＝．故答案为：10，．【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力、计算能力，属于基础题．12．【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：∵3a＝24，b log23＝1，∴a＝log324，b＝log32，∴3b＝2，∴3a﹣2b＝＝＝6，＝＝＝log28＝3．故答案为：6，3．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由二项式展开式的通项公式，令6﹣r ＝0，可得r＝4，即展开式的中第5项是常数项．常数项为：＝240．二项式展开式的性质，可知，共有7项，中间项的二项式系数最大，即第4项．故答案为：240，第4项．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数，可得f（2018）＝f（2016）＝f（2014）＝…＝f（4）＝f（2）＝f（0）＝f（﹣2）＝4﹣3＝1；由x≥0，f（x）＝f（x﹣2），可得0≤x＜2时，﹣2≤x﹣2＜0，f（x）＝（x﹣2）2﹣3，作出y＝f（x）的图象，如右图：可令t＝f（x），则f（t）＞1，可得t＜﹣2，即f（x）＜﹣2，即有﹣1＜x＜0或2n﹣1＜x＜2n，n∈N*，可得不等式f（f（x））＞1的解集为（2n﹣1，2n），n∈N．故答案为：1，（2n﹣1，2n），n∈N．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，注意运用函数的图象，以及函数的性质，考查运算能力，属于中档题．15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：若甲监考数学和英语，则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可，故有C42A22＝12种，若甲监考数学和不监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，丙从剩下的3门（包含语文不含英语）选2门，剩下的2门乙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学和监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，乙从剩下的3门（包含语文不含数学）选2门，剩下的2门丙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学也不监考英语，则甲从物理、化学、生物选2门，乙一定需要监考英语，在剩下的2门（包含语文不含数学）选1门，剩下的2门丙监考，故有C32C21＝6种，根据分类计数原理，共有12+9+9+6＝36种，故答案为：36．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，考查了转化能力，属于中档题．16．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝ax+lnx，a＞0∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵x1，，不妨设x1＞x2，∴f（x1）＞f（x2）．∵，对任意的x1，恒成立∴f（x1）﹣f（x2）≤2（﹣），即f（x1）+≤f（x2）+恒成立．令g（x）＝f（x）+，x∈[，]，则g（x）在[，]上应时减函数，∴g′（x）＝a+﹣≤0对x∈[，]恒成立．即a≤﹣对x∈[，]恒成立，由y＝﹣在[，]为减函数，∴y min＝，∴a≤，故a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，属于难题．17．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：f（x）＝（x+）2+2b|x+|+3c﹣2，设t＝|x+|，当x＞0时，x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则t≥2，∴f（t）＝t2+2bt+3c﹣2，在t∈[2，+∞）上有零点，∴方程t2+2bt+3c﹣2＝0在[2，+∞）上有解，∴2+4b+3c≤0，作出平面区域如图所示，由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d＝，∴b2+c2≥，故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了基本不等式，函数零点存在定理，线性规划，属于中档题．三、解答题：共74分18．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）不等式⇒（n﹣2）（n﹣3）﹣4n+12≤0，⇒n2﹣9n+18≤0⇒3≤n≤6∵n∈N+，∴n＝3，4，5，6．故原不等式解集为：{3，4，5，6}．（2）∵（3x﹣5）n＝[1+3（x﹣2）]n，a2＝135，∴，解得n＝10．（3x﹣5）n＝中令n＝10，x＝2，可得a0＝1．（3x﹣5）n═[1+3（x﹣2）]n＝中令n＝10，x﹣2＝，可得a0+＝＝210．∴．【点评】考查二项式定理、二项展开式中通项公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：（1）a n＝＝﹣，当n＝1时，S1＝a1＝1﹣＝，当n＝2时，S2＝a1+a2＝1﹣+﹣＝1﹣＝，当n＝3时，S2＝a1+a2+a3＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝，猜想S n＝1﹣，证明（2）：①当n＝1时，等式成立，②假设n＝k时，等式成立，则S k＝1﹣，那么n＝k+1时，S k+1＝S k+a k+1＝1﹣+﹣＝1﹣＝1﹣，即n＝k+1时等式成立，由①②可得S n＝1﹣，对任意n∈N*都成立．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n＝1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n 都成立．20．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f′（x）＝（cos x+sin x﹣），∴f′（0）＝1﹣，又f（0）＝﹣1．∴曲线y＝f（x）在P（0，f（0））处的切线方程为：y+1＝（1﹣）x，即（1﹣）x﹣y﹣1＝0．（2）令f′（x）＝0，x∈[0，π]，可得：sin＝，解得x＝，或x＝．可得函数f（x）在，上单调递减，在内单调递增．可得极小值为＝﹣，极大值为＝0．又f（0）＝﹣1，f（π）＝﹣．可得最小值为：﹣，最大值为0．∴函数f（x）在区间[0，π]上的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）①当a＝0时，f（x）＝x|x|+bx，函数的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣bx＝﹣x|x|﹣bx＝﹣f（x），此时，函数y＝f（x）是奇函数；②当a≠0时，函数的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣x|﹣x﹣2a|﹣bx＝﹣x|x+2a|﹣bx，此时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），此时，函数y＝f（x）是非奇非偶函数；（2）b＝2时，函数f（x）＝，①当0＜a≤1时，有a﹣1＜2a＜2a﹣4，y＝f（x）在[0，4]上单调递增，M（a）＝f（4）＝24﹣8a；②当1＜a＜2时，0＜a﹣1＜a+1＜2a＜4，y＝f（x）在[0，a+1]上单调递增，在[a+1，2a]上单调递减，在[2a，4]上单调递增，所以，M（a）＝max{f（4），f（a+1）}，f（a+1）＝（a+1）2，f（4）＝24﹣8a，而f（a+1）﹣f（4）＝（a+1）2﹣（24﹣8a）＝a2+10a﹣23．（i）当时，M（a）＝f（4）＝24﹣8a；（ii）当时，M（a）＝f（a+1）＝（a+1）2；③当2≤a＜3时，a﹣1＜a+1＜4≤2a，所以，函数y＝f（x）在[0，a+1]上单调递增，在[a+1，4]上单调递减，此时，M（a）＝f（a+1）＝（a+1）2；④当a≥3时，a+1≥4，所以，函数y＝f（x）在[0，4]上单调递增，此时，M（a）＝f（4）＝8a﹣8．综上所述，当x∈[0，4]时，．【点评】本题考查函数最值的求解，考查了分类讨论思想，属于难题．22．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）（ⅰ）函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，令f′（x）＝0，得x＝a﹣2．①当a﹣2≤﹣1时，即当a≤1时，对任意的x＞﹣1时，f′（x）＞0，此时，函数y＝f（x）在定义域上是增函数，无极值点；②当a﹣2＞﹣1时，即当a＞1时，若﹣1＜x＜a﹣2，则f′（x）＜0；若x＞a﹣2，则f′（x）＞0．此时，函数y＝f（x）只有一个极值点；（ⅱ）由（ⅰ）知，当a＞﹣1时，函数y＝f（x）在定义域上有且只有一个极值点x0＝a﹣2，且x0＞﹣1，＝＝ln（x0+1）﹣x0，要证f（x0）＜e x0﹣1﹣x0，即证ln（x0+1）＜e x0﹣1，令t＝x0+1＞0，即证lnt＜e t﹣2，先证不等式lnt≤t﹣1，构造函数g（t）＝t﹣1﹣lnt，其中t＞0，则．当0＜t＜1时，g′（t）＜0；当t＞1时，g′（t）＞0．所以，函数y＝g（t）在t＝1处取得极小值，亦即最小值，即g（t）min＝g（1）＝0，即g（t）≥0，所以，当t＞0时，lnt≤t﹣1．再证当t＞0时，t﹣1＜e t﹣2，构造函数h（t）＝e t﹣2﹣t+1，其中t＞0，则h′（t）＝e t﹣2﹣1．当0＜t＜2时，h′（t）＜0；当t＞2时，h′（t）＞0．所以，函数y＝h（t）在t＝2处取得极小值，亦即最小值，即h（t）min＝h（2）＝0，所以，h（t）≥h（2）＝0，所以，当t＞0时，t﹣1＜e t﹣2．由于函数y＝g（t）的最小值和函数y＝h（t）的最小值不在同一处取得，所以，当t ＞0时，lnt＜e t﹣2，即；（2）由于函数y＝f（x）有两个零点x1、x2，则函数y＝f（x）在定义域上必不单调，所以，a＞1，设x1＜x2，则﹣1＜x1＜a﹣2＜x2，构造函数m（x）＝f（x）﹣f（2a﹣4﹣x），则m′（x）＝f′（x）+f′（2a﹣4﹣x）＝＝＝，∵a＞1，所以，对任意的x＞﹣1，m′（x）≤0，此时，函数y＝m（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，因为﹣1＜x1＜a﹣2＜x2，则2a﹣4﹣x1＞a﹣2，由m（x1）＞m（a﹣2）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣4﹣x1）＞0，即f（x1）＞f（2a﹣4﹣x1），由于x1、x2是函数y＝f（x）的两个零点，所以，f（x1）＝f（x2），所以，f（x2）＞f（2a﹣4﹣x1），因为函数y＝f（x）在区间（a﹣2，+∞）上单调递增，所以，x2＞2a﹣4﹣x1，因此，x1+x2＞2a﹣4．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想，属于难题．。
全国大学生高等数学竞赛试题(卷)汇总与答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
成都理工大学数学竞赛答案
解二：设 由拉格朗日中值定理：
2 2
2 ln x f ( x) ln x，x (e, e )，f ( x) x
2 2
e
ln b ln a f ( )(b a) (a, b) 1 2 x 2 ln x 2 ln x 1 ln x x 由 f ( x) f ( x) 2 2 x x x
泰勒公式；又注意到 f (0) 0 ，应在 x 0 处展开
（Maclaurin公式）
：
f (0) 2 f ( ) 3 f ( x) f (0) x x （ 在 x与 0 之间） 2! 3!
“一取” 0
x 0
x
0
2 设函数 f ( x) 在闭区间 [1,1]上具有三阶连续导数，且 具有三阶连续导数
2 4 2 2 e a b e 3：当 时，证明 ln b ln a 2 (b a) 成立
e
方法 将某个字 问题：如何证明不含 x 的字母不等式？
母换成
x ，转化成函数不等式来证， 但如何“换”？
思维定势，在证明文字或数字不等式的，可将出现两次 或两次以上的某个文字或数字改变成变量 ，转化为函 数不等式再说。
x
2 4 e a b e 3：当 时，证明 ln 2 b ln 2 a 2 (b a) 成立
e
分析：将 b改写成 x ，得函数不等式：
4 ln x ln a 2 ( x a) e
2 2
(a x e 2 )
e a b
e
2
4 2 ln x ln a 2 ( x a) (e a x e ) 证明ln 2 b ln 2 a 4 (b a ) e e2 4 2 2 F ( x) ln x ln a 2 ( x a) 来证 F (b) 0 证： 设： e 2 ln x 4 ln x) F ( x) 2 ?? F ( x) 2(1 2 0 (e a x e2 ) x e x
2018年03月-数学类一、二年级-第九届全国决赛试卷
⎪ ⎪ 2018 年第九届全国大学生数学竞赛决赛（数学专业一、二年级）试卷一、填空题(满分 20 分，每小题 5 分)⎛ 0 1⎫⎪ ⎛ H n I ⎫⎪ (1) 设实方阵H 1 = ⎪, H n +1 = ⎪, n ≥1 ，其中I 是与H n 同阶的单位方 ⎝1 0⎪⎭ 阵，则r an k (H 4 ) =. ⎝ I H n ⎪⎭(2) lim ln(1 + tan x ) - ln(1 + sin x ) = . x →0 x 3 ⎧⎪x = π sin (t / 2) (3)设Γ 为空间曲线⎪⎨y = t - sin t ⎪z = sin 2t ⎪⎩从t = 0 到t = π 的一段，则第二型曲线积分 e sin x (cos x cos y d x - sin y d y ) + cos z d z = . Γ ⎛ x 1 ⎫⎪(4)设二次型f (x ,⋯, x ) = (x , ⋯, x x )A ⎪ 2 ⎪ 的矩阵A 为 1 n 1 n ⎪ ⎪ ⎝x n ⎪⎪⎭⎛ 1 a a a ⎫⎪ ⎪ a 1 aa ⎪ ⎪ a a 1 a ⎪ ⎪ a a a 1⎪ ⎝ ⎭其中n > 1,a ∈ R ，则f 在正交变换下的标准形为. 二、（本题 15 分）在空间直角坐标系下，设有椭球面x 2 y 2 z 2 S : + + = 1, a ,b ,c > 0a 2b 2c 2及S 外部一点A (x 0, y 0, z 0 )，过A 点且与S 相切的所有直线构成锥面∑ . 证明：存在平面∏ ， 使得交线S ⋂ ∑ = S ⋂ ∏ ；同时求出平面∏ 的方程.三、（本题 15 分）设A , B ,C 均为n 阶复方阵，且满足AB - BA = C , (1) 证明：C 是幂零方阵；(2) 证明：A , B ,C 同时相似于上三角阵；(3) 若C ≠ 0 ，求n 的最小值.AC = CA , BC = CB四、（本题 20 分）设f (x ) 在[0, 1]上有二阶连续导函数，且f (0)f (1) ≥ 0 .求证：⎰k 11 1 1⎰0 f '(x ) d x ≤ 2⎰0 |f (x ) | d x + ⎰0 f ''(x ) d x ∞五、(本题 15 分) 设α ∈ (1, 2),(1 - x )α 的麦克劳林级数为∑a x k , n ⨯n 实常数矩阵A为幂零矩阵， I 为单位阵. 设矩阵值函数G (x )定义为∞ k =0 G (x ) ≡ (g ij (x )):= ∑a kk =0 (xI + A )k , 0 ≤ x < 1 试证对于1 ≤ i , j ≤ n ，积分⎰0 g ij (x )d x 均存在的充分必要条件是A 3 = 0. 六、( 本题 15 分) 有界连续函数 g (t ) : R → R 满足 1 < g (t ) < 2.x (t ), t ∈ R 是方程 x (t ) = g (t )x 的单调正解. 求证：存在常数C 2 > C 1 > 0 满足C 1x (t ) <| x (t ) |< C 2x (t ), t ∈ .。
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中山大学新华学院第九届高等数学竞赛
姓名 学号 班级 成绩
一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数(
)
1
1y ln x =++()()1,00,-⋃+∞。
2. 21
11.dx x
+∞
=⎰。
3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-;
4. 1
1(1x x -+=⎰2
π. 5.
a =
6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=8613316
1
5.64310C C -=⨯
二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2
++=x x d dy )1(1
122++++=
x x d x x ............3分
dx x x
x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++++=1111
22 ----------5分
.1
12
dx x +=
------------7分
2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，
(1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。
解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0
;3a b =⎧⎨=-⎩
------------------ 2分
（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+-
由上表可得，极大值(1)2f -=。
------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0
()
lim
0,x f x x
→=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10
()lim 1.x
x f x x →⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
解：
4、设
211()x x f x e
-⎧⎪
+=⎨⎪⎩
00x x >≤，求31(2)d f x x -⎰. 解：令2=-t x
，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3=
x 时，1=t ------------------ 3分
3
101
1
1
1
(2)d ()d ()d ()d ---==+⎰
⎰⎰⎰f x x f
t t f t t f t t 0
211d 1+x x -=⎰
1-0e d x x +⎰114e
π=-+ ------------------ 7分
5. 计算4
0⎰
t =，则2
,2x t dx tdt == ------------------ 2分
4
2
02t te dt =⎰
⎰ ------------------- 4分
2
2
2
22000
2()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+⎰ -----------------7分
2000011()1()
()
lim ln 1lim lim 0000()
1()(0)1
lim
lim (0)222002
()
(0)lim ()lim 000,
()(0)()
(0)lim lim 0,
()lim 1.
x x x x f x f x f x x
x x x
x x
x x x x f x f x f f x
x
x x f x f f x x x
f x f f x f x x
f x e e
e
x e
e
e
e →→→→⎛⎫+•
⎪
⎝
⎭→→→=
=
→'''-''→→===⨯=-'===⎛
⎫+= ⎪⎝⎭====
6.解：
)1ln(y xe e x
z
y x y x +++=∂∂++, ------------------ 2分
y
x xe y z y x +++=∂∂+11, ------------------ 4分 于是 =)
0,1(dz dy e edx )2(2++. ------------------ 7分
7. 计算二次积分 23
1
2
0y x
x I dx e dy =⎰⎰．
解：被积函数是22
y e ，对于y 而言，它的原函数不能用初等函数表示，需改变积分次序才能进行．
区域D ： 3
,01,
y x y y ⎧≤≤⎨
≤≤⎩ 如图所示．--------- 2分
23
12
y x
x
I dx e dy
=⎰⎰231
2
y y
y
e dy dx
=⎰⎰
=2
122
201(1)2y e y dy -⎰， 令22
y u =， 由上式得----- 4分 1112220
1
112
22
(12)212()|23
u
u
u u u I e u du e du ue du e ue e e =-=-=---=-⎰⎰⎰
------------------ 7分 三、（10
分）0()()()()2.().设有任意阶导数，且满足试求x
f x x t f t dt f x x f x -=-⎰
12()()()2()+()()()2
()=()2
()()()x
x
x
x
x x f t dt tf t dt f x x
x f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e -=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰0
00
解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()x
x x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.
四、应用题（每题9分，共18分）
3
x y =o
x
y x
=-1
1
1 1
y o
1. 解：如图（略），曲线与x 轴的交点为)0,1(-和)0,1(，..........2分
(1) ⎰112)1(--=dx x S 3
4
=............5分
(2) 1
2
V dy π
=⎰()1
210
1122y dy y y πππ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ .......9分 2. 解：设L 为获得的总利润,L R C =-= 1p 1q +2p 2q -C
=1
p (
)1
120.1p -+2p (
)2
20.01p --(())123540q q ++
=22
11220.1160.01 2.4595p p p p -+-+- (2)
分
解方程组
1112220.2160,0.02 2.40,p p L p p L p p =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩
解得1p =80, 2p =120,唯一驻点是(80,120)．又 ..........6分
A =L 11=－0.2<0,
B =L 12=0,
C =L 22=－0.02<0,
因此 Δ=AC －B 2=0.004>0．
故L 在驻点(80,120)处有极大值. .........8分
于是可以断定,当两个市场售价分别为80和120个单位时,利润最大,最大利润为
L (80,120)=189． ...............9分
五、综合拓展题（5分）
兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。
已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。
试分析半小时后，狗在何处？一小时后，狗在何处？
（1）注意到本题并未给出开始散步时狗的具体位置，因此，我们无法确定半个小时后狗在何处。
即使假设开始散步时狗在哥哥处，我们仍然无法确定狗在半个小时后的位置，因为题目中并没有给出的狗的奔跑方式（比如说狗是从哥哥处沿
接到跑到妹妹处，再沿路返回，周而复始）。
因此，最后的答案仍是狗可以在任何位置。
（2）注意到哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二人之间，因此狗也到家。
题外话：一定有读者对本题答案不以为然，或者有被戏耍的感觉。
我们一直有这样的习惯心理，就是给你的题目一定都有明确的答案。
在一般的教科书里是这样，但在现实的客观世界里未必如此！很多人意见本题就自然联想到初中的“追击或相遇问题”，题目还没有看清，便开始列方程了。
长期的灌输式教育已使我们在某种程度上逐渐丧失了思考的习惯，而逐渐进入某种框定的思维定式。
归根到底，我们过分相信我们的理论，过分相信我们所学的知识，又过分依赖我们手中的笔，而唯独没有启用的是我们头脑中或许还尚存的创造性思维！仅以此题为戒。