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浙江高二上学期期中考试数学

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浙江A9协作体2024年高二11月期中联考数学试题

浙江A9协作体2024年高二11月期中联考数学试题

浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.330x y +−=的倾斜角是 A.6πB.3πC.23π D.56π 2.向量(),1,2a x =，()1,,8b y =− ，若a b∥，则A.14x =−，14y = B.14x =，4y =− C.14x =，4y =D.14x =−，4y =−3.若点()1,P m 在圆22:2210C x y x y +−++=内，则m 的取值范围是 A.(),2−∞−B.[]2,0−C.(0,2)D.(2,0)−4.若直线()330ax a y +−+=与直线30x ay +−=垂直，则a 的值是 A.2B.0C.0或2D.2或-25.已知椭圆22149x y +=的下焦点是1F ，上焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在x 轴上，那么21:PF PF = A.2:7B.1:7C.1:2D.3:46.已知平面上两定点A ，B ，则满足PA k PB=（常数0k >且1k ≠）的动点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在PAB △中，4AB =，2PA PB =，则PAB △面积的最大值是A.4B.83C.323D.1637.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，其中B 为上顶点，且1132AF F B =，则椭圆C 的离心率e =8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A 、B 、C ，其中A 在C 正西60km 处，B 在C 正东100km 处，台风中心在C 城市西偏南30 方向200km 处，且以每小时40km 的速度沿东偏北30 方向直线移动，距台风中心km 内的地区必须保持一级警戒，则从A 地解除一级警戒到B 地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内 A.31,2B.3,22C.(2,3)D.1,12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ）A ．11B ．13C ．15D ．162．若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53．若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．2x y=B ．2y x=C ．24x y=D ．24y x=4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（ ）A ．4720B ．4722C ．4723D ．47255．已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（ ）A ．()()0f x g x ''+>B ．()()0f xg x ''->C ．()()0f x g x ''>D ．()()0f x g x ''>6．若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ）A ．43k ≥-B ．1k ≤-C ．1k ≤D ．43k ≤-7．已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>8．已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A．43B．43C．43D．43二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．1y x=，21y x '=-B ．2x y =，2ln2x y '=C ．ln y x =，1y x'=D ．cos2y x =，sin2y x=-'10．已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C ．若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D ．设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关11．数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．1050a >B ．20500a <C ．10100a <D ．20500a >三、填空题12．已知1n a +=11a =，则100a =.13．已知双曲线22221x y a b -=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为 .14．已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a的取值范围为 .四、解答题15．已知函数()e xf x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .17．已知双曲线22:13y C x -=(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18．已知函数()()21ln f x mx x m x=+-∈R ，()21e 1x g x x x x =---，其中()f x 在1x =处取得极值(1)求m 的值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数y =f (x )的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线y =f (x )在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.(1)求1x 和2x ；(2)求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；(3)()1*1N i i nx n ∑=<<+∈.。

浙江省高二上学期期中数学试题(解析版)

浙江省高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 2x =-A ．0 B ．C ．D ．π4π23π4【答案】C【分析】由倾斜角定义即可判断.【详解】直线与y 轴平行，故倾斜角为. 2x =-π2故选：C2．已知两个向量，，且，则的值为（ ）(2,1,3)a =- (4,,)b m n = //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.//a b R λ∃∈b a λ=【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以//a b R λ∃∈b a λ= 423m n λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩226m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩4m n +=故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参//a b数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得λb a λ= //a b 4213m n==-，求出m ，n .3．抛物线的焦点坐标为（ ） 22y x =-A ．B ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标. 【详解】由得：，22y x =-212=-x y 其焦点坐标为.∴10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.4．下列椭圆中最接近于圆的是（ ） A ．B ．2213611x y +=221259x y +=C ．D ．221144169x y +=2214x y +=【答案】C【分析】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大，分析各选项中的椭圆中的即可得出答案. b a ba 【详解】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大， baA 中B 中，C 中，D 中， b a =35b a =1213b a =12b a =其中C 中的最大，故选择C 的椭圆最圆，ba故选：C.5．两圆和的位置关系是（ ） 229x y +=228690x y x y +-++=A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切【答案】B【分析】先求出两圆的圆心和半径,再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,得出两圆的位置关系即可.【详解】解:由题知, 的圆心为,半径为3, 229x y +=()0,0因为,228690x y x y +-++=即,圆心为,半径为4,()()224316x y -++=()4,3-, 5=因为, 43543-<<+所以两圆相交. 故选:B6．若直线和直线平行，则的值为（ ） ()120x m y ++-=240mx y ++=m A ． B ．C ．或D ．12-12-23-【答案】A【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得 111222A B C A B C =≠2220,0,0A B C ≠≠≠m 【详解】直线和直线平行，()120x m y ++-=240mx y ++=可得，得.()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩1m =故选：A.【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.7．已知双曲线：的右焦点为，过的直线与双曲线交于，两点，若C 2212y x -=F F l C A B ，则这样的直线有（ ） 3AB =l A ．0条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②A B 直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答A B 案．【详解】因为双曲线：中，C 2212y x -=2221,2,3a b c ===过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 2221(0)3y x a a-=>F l A B 如果在同一支上，则有， AB 2min 2|43b AB a ==所以右支不存在这样的直线； 双曲线的实轴长为，，C 224AB <<因此直线只能与两只各交于一点时，满足的直线有2条. l ,A B 3AB =故选：B.8．已知是椭圆上的点，为椭圆的右焦点，则使为等腰三角形（为坐标原P 2214x y +=F POF :O 点）的点的个数为（ ） P A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】分别以的三条边为底边进行讨论.POF :【详解】，2214x y += 2,1,a b c ∴===则， 2,22OF PO PF =<<<<若以为底边，则有两个，OF若以为底边，则设，PF OP =(,)P x y则，得2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有4个，若以为底边，则设， PO PF =(,)P x y 则，得 ， (2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有2个， 综上共有8个， 故选：D.二、多选题9．下列双曲线中，渐近线方程是的为（ ）12y x =±A ．B ．2214x y -=2214y x -=C．D ．22142x y -=2214x y -=【答案】AD【分析】焦点在轴上的双曲线，渐近线为，焦点在轴上的双曲线，渐近线为x b y x a=±y a y xb =±，代入即可求得.【详解】A 选项，，，故A 选项正确； 2,1a b ==12b y x x a =±=±B 选项，，，故B 选项错误； 2,1a b ==2ay x x b=±=±C 选项，，故C 选项错误； 2,b a b y x a ==±=D 选项，，故D 选项正确.11,2,2a ab y x x b ===±=±故选：AD10．已知，为双曲线的焦点，为双曲线的中心，，分别为1F 2F 22221x y a b-=()0,0a b >>O P Q 1OF ，的中点，为双曲线上一点，且，则该双曲线的离心率可能是（ ）2OF M 24a PM QM =⋅AB C ．2 D ．3【答案】BCD【分析】由题意可得，由可得，又因为,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24a PM QM =⋅ 22220044a c x y +=+为双曲线上一点，代入化简结合，可得，解不等式即可求出()00,M x y 22x a ≥2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭答案.【详解】，为双曲线的焦点，所以，1F 2F 22221x ya b-=()0,0a b >>()()12,0,,0F c F c -，分别为，的中点，所以，P Q 1OF 2OF ,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，所以由可得：()00,M x y 24a PM QM =⋅ ，0000,,,22c c PM x y QM x y ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，即，2222044c a x y -+=22220044a c x y +=+又因为为双曲线上一点，所以，()00,M x y 2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则， 22222222000221144x b a c x b x b a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：，因为， 22222024a c a x b c⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭220x a ≥所以，所以， 2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭223c a ≥结合，解得：1e >e 故选：BCD11．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段()220y px p =>F l F ,A B 的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（ ）AB M ,,A B M l ,,P Q N A ． B ． NA NB ⊥NF AB ⊥C ． D ．FP FQ ⊥MP MQ ⊥【答案】ABC【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A 正确；根据等腰三角形性12MN AB =质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B 正确；由角度关PAN MAN ∠=∠ANP ANF ::≌系可推导得到，由此可知C 正确；若D 正确，由圆的性质知22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠=，可知不恒成立，则D 错误.MN NF =【详解】对于A ，由抛物线定义可知：，，AP AF =BQ BF =为中点，， M AB ()()111222MN AP BQ AF BF AB ∴=+=+=，A 正确； NA NB ∴⊥对于B ，，， 12MN AB AM == MNA MAN ∴∠=∠，，则，又，， //AP MN MNA PAN ∴∠=∠PAN MAN ∠=∠AM AP =AN AN =，，即，B 正确； ANP ANF ∴::≌π2AFN APN ∴∠=∠=NF AB ⊥对于C ，，，，，BF BQ = AF AP =BQF BFQ ∴∠=∠APF AFP ∠=∠，，， ////AP OF BQ APF PFO ∴∠=∠BQF QFO ∠=∠，，QFO BFQ ∴∠=∠PFO AFP ∠=∠，， 22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠= π2QFO PFO ∴∠+∠=即，C 正确；FP FQ ⊥对于D ，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上，MP MQ ⊥FP FQ ⊥,M F N NP ，又，（当且仅当重合时取等号），MN NF ∴=NF AB ⊥NF MN ∴≤,M F 不恒成立，D 错误. MP MQ ∴⊥故选：ABC.12．已知矩形与，为上一点，记二面角的大小为．若存在过点ABCD CDEF P CD A CD F --θP的条直线，，，，其与平面、平面所成的角均为，则的值可能为41l 2l 3l 4l ABCD CDEF 25︒θ（ ） A ． B ．C ．D ．20︒40︒60︒80︒【答案】CD【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线即可.【详解】作二面角的平面角，则，设为的平分线，则当A PE ''A PE θ''∠=1PP A PE ''∠112A PP PPE θ''∠=∠=1PP 以为中心在二面角的平分面上转时，与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面、P 1PP ABCD 平面所成的角相同的直线；CDEF 设为的补角角平分线，则，当以为中心，在二面角的邻2PP A PE ''∠22π2P PA P PE θ-''∠=∠=2PP P 补二面角平分面上转时，与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面、平面所2PP ABCD CDEF 成的角相同的直线；若存在过点的条直线，，，，其与平面、平面所成的角均为，则P 41l 2l 3l 4l ABCD CDEF 25︒，解得，CD 符合条件， 252π252θθ⎧>︒⎪⎪⎨-⎪>︒⎪⎩50130θ︒<<︒故选：CD三、填空题13．直线在轴上的截距为______． 21y x =+x 【答案】##12-0.5-【分析】求出直线与轴交点的横坐标即可. x 【详解】∵直线方程为，21y x =+∴令，得，即直线与轴交于点，0y =12x =-21y x =+x 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线在轴的截距为.21y x =+x 12-故答案为：.12-14．在空间直角坐标系中，已知点与点，若关于平面的对称点为()1,2,3P ---()1,1,2M -M xOy ，则到点的距离为______． M 'M 'P【分析】根据点关于面对称的坐标特征，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为关于平面的对称点为，， M xOy M '()1,1,2M -所以， ()1,1,2M '--所以M P '==15．已知抛物线的焦点为，过的弦满足，则的值为______． 24y x =F F AB 3AF BF =AB 【答案】163【分析】由，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，根据抛物线定义，，A B A 'B 'AA AF '=，设直线与抛物线的准线交点为，抛物线的准线与轴交于点，根据，BB BF '=AB M x N MBB ':和的相似关系进行求解即可.MAA ':MFN △【详解】如图，由，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，设直线与抛物线的准线交点为A B A 'B 'AB ，抛物线的准线与轴交于点，则，M x N 2FN p ==设（），则，BF m =0m >33AF BF m ==4AB AF BF m =+=由抛物线的定义，，， 3AA AF m '==BB BF m '==易知， MBB MAA '':::∴，∴，∴， BB MB MB AA MA MB AB '=='+34MB mm MB m=+2MB m =又易知，，MBB MFN ':::∴，∴，∴，BB MB MB FN MF MB BF '==+222m m m m =+43m =∴. 1643AB m ==故答案为：. 16316．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为212y x =()44x -≤≤的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是______．r 【答案】(]0,1【分析】分析轴截面，当小球圆心和点距离最小时，即点为时，分析圆心坐标符合的二P P ()0,0次函数对称轴在轴左侧位置时的半径范围.y 【详解】设小球的圆心为，抛物线上任意一点()00,C y 满足.圆心到点的距离的平方 (),P m n 214n m =P ()()2222002d m n y n n y =+-=+-.()220021n y n y =+-+若的最小值在点为即时取到，则小球触及杯底， 2d P ()0,00n =所以此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧即，， y 010y -≤01y ∴≤.01r ∴<≤故答案为：(]0,1四、解答题17．中，已知，， ABC :()1,1A -()2,5B ()5,7C -(1)求边上的高所在直线的方程；BC(2)若是的内角平分线，求． AD ABC :AD 【答案】(1) 450x y -+=(2)4【分析】（1）首先根据垂直关系确定边上的高所在直线的斜率，再代入点斜式方程求解； BC （2）首先根据直线的斜率确定角平分线的斜率，联立方程求点的坐标，再根据两点,AB AC AD D 间距离求.AD 【详解】（1）由条件可知，，所以边上的高的斜率是， 75452BC k --==--BC 14所以边上的高所在直线的方程是，即； BC ()1114y x -=+450x y -+=（2），，，154123AB k -==--()714513AC k --==---AB AC k k =-所以的角平分线过点且平行于轴，即直线， BAC ∠()1,1A -x :1AD y =直线的方程是，即，BC ()542y x -=--4130x y +-=联立，得，即，41301x y y +-=⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=⎩()3,1D.4=18．如图，在正方体中，是的中点．1111ABCD A B C D -M BC(1)求异面直线与所成角的余弦值； 1AC DM (2)求二面角的余弦值．11A DM C --【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角；（2）由空间向量法求二面角．【详解】（1）以为轴建立空间直角坐标系，如图，调好正方体棱长为1，1,,DA DC DD ,,x y z 则，，，，，， (1,0,0)A (0,1,0)C 1(0,1,1)C 1(,1,0)2M 1(1,0,1)A (0,0,0D ），， 1(1,1,1)AC =- 1(,1,0)2DM =111cos ,AC DM AC DM AC DM ⋅===⋅ 所以异面直线与 1AC DM （2）由（1）知，，1(1,0,1)DA = 1(0,1,1)DC = 设平面的一个法向量是，1A DM 111(,,)m x y z = 则，取得， 111111020m DM x y m DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩12x =(2,1,2)m =-- 设平面的一个法向量是，1C DM 222(,,)n x y z = 则，取，则，221221020n DM x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 22x=(2,1,1)m =- cos ,m n m n m n⋅=== 所以二面角 11A DM C --19．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为C y 4340x y -+=(1)求圆的方程；C (2)过点作圆的切线，求的方程．()2,0P -C l l【答案】(1)()2234x y +-=(2)或2x =-512100x y -+=【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程.（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.【详解】（1）设圆心坐标为，又因为圆的半径为2.()0,,0a a >由勾股定理可得圆心到直线的距离 1d ==所以.43135ad a -==⇒=所以圆的方程为：C ()2234x y +-=（2）由已知：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意.2x =-（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，()22y k x kx k =+=+又因为圆心到直线的距离 5212d k ⇒=所以直线的方程为.512100x y -+=综上所述：直线为或.2x =-512100x y -+=20．如图，在四棱锥中，平面，，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===，为的中点，在上，且．3BC =E PD F PC 3PC PF =(1)证明：平面平面；AEF ⊥PCD (2)设点是直线与平面的交点，求直线与平面所成角的正弦值．M PB AEF CM AEF 【答案】(1)证明见解析；.【分析】(1)由线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平⊥AE PCD AEF ⊥面；PCD (2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求直线CM AEF 与平面所成角的正弦值．CM AEF 【详解】（1）因为，为的中点，PA AD =E PD 所以，AE PD ⊥因为平面，平面，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，又，，平面，PA CD ⊥AD CD ⊥PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面，又平面，CD ⊥PAD AE ⊂PAD 所以，又，，平面，CD AE ⊥AE PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD 所以平面，又平面，⊥AE PCD AE ⊂AEF 所以平面平面；AEF ⊥PCD （2）因为平面，，PA ⊥ABCD AD CD ⊥所以如下图，以为原点，分别以，，方向，为轴，轴，轴正方向，建立空间直D DA DC AP x y z 角坐标系，则，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()0,2,0C ()1,0,1E ()2,0,2P ()3,2,0B，得， 1222,,3333PF PC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭424,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，而， 224,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0,1AE =- 设为面的一个法向量，则， (),,m x y z = AEF 02240333m AE x z m AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩取，则，所以为平面的一个法向量，1x =1,1y z =-=()1,1,1m =- AEF 因为点是直线与平面的交点，M PB AEF 故可设，所以PM PB λ= AM AP PM AP PB λ=+=+ ，设，()()()0,0,21,2,2,2,22AM λλλλ=+-=- AM s AE t AF =+则， ()()224,2,221,0,1,,333s t λλλ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭所以，所以，, 2,2,23s t λ==-=242,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 822,,333CM CA AM ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭设直线与平面所成角为，CM AEF θ则sin cos ,m CM m CM m CMθ⋅=<>===⋅ 所以直线与平面. CM AEF 21．已知双曲线：的离心率为，且右焦点C 22221x y a b-=()0,0a b >>2F (1)求双曲线方程；(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若Q C x M 2QFM QMF ∠=∠存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M 【答案】(1) 2213y x -=(2)存在，()1,0M -【分析】（1）由双曲线的性质以及距离公式得出方程；（2）由三角函数得出，，再由结合倍角00tan 2y QFM x ∠=--00tany QMF x m∠=-2QFM QMF ∠=∠公式得出. m 【详解】（1）由题意可知， 2222c ac a b ⎧=⎪=⎪=+⎪⎩1,2a b c ===即双曲线方程为； 2213y x -=（2）设，，， (),0M m ()00,Q x y 220013y x -=则，. 00tan 2y QFM x ∠=--00tan y QMF x m∠=-因为，所以 2QFM QMF ∠=∠22tan tan tan 21tan QMF QFM QMF QMF∠∠=∠=-∠即，即，得.0002000221y y x mx y x m --=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭()204443m x m m +=++1m =-所以，存在点满足题意.()1,0M -22．已知点为直线与椭圆的交点，点为直线椭圆的交点，为A 1y k x =22:14x C y +=B 2y k x =C O 坐标原点．(1)若直线的方程为，求的值；AB 34x y +=12k k (2)是否存在常数，使得当时，的面积恒为定值？若存在，求出的值；若不存λ12k k λ=OAB :λ在，说明理由．【答案】(1)1-(2)存在， 14λ=-【分析】（1）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入可整理得到:AB y kx m =+121212y y k k x x =，代入，； 22122444m k k k m -=-34k =-m =12k k （2）由可得，由的面积表示为12k k λ=224414k m λλ-=-S =OAB :，可知当为定值时，为定值，由此可构造方程求得的值. 2214m k +S λ【详解】（1）设点的坐标分别为，，直线的方程为，,A B ()11,x y ()22,x y AB y kx m =+由得：， 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++-=则，即， ()2216140k m ∆=+->2214m k <+，， 122814km x x k ∴+=-+21224414m x x k -=+； ()()()222212121212122121212444kx m kx m k x x km x x my y m k k k x x x x x x m +++++-====-∴直线的方程为：，即， AB 34x y +=34y x =-+将，代入可得：. 34k =-m =12594415444k k -==-⨯-（2）由得：； 22122444m k k k m λ-==-224414k m λλ-=-点到直线的距离O :AB y kx m =+d =的面积， OAB∴:S ==则当且仅当为定值时，恒为定值， ()()()()222222444414416141414m k k k k k λλλλλ--==+-+--+S ，解得：，此时； 4441614λλλ-∴=--14λ=-1S =当轴时，若，则直线的方程为AB x ⊥1214k k λ==-AB x x =此时的面积也成立；OAB :1S =综上所述：存在，使得的面积恒为定值. 14λ=-OAB :1【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；x y ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；0∆>③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

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杭州2023学年第一学期高二年级期中数学试卷（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“2m =”是“直线1l：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直，则()()310m m m m -+-=，解得0m =或2m =，所以由“2m =”推得出“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”，即充分性成立；由“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”推不出“2m =”，即必要性不成立，所以“2m =”是“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件,A B 相互独立，()0.5P A =，()0.4P B =，则()P A B +=（）A.0.88 B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C 【解析】【分析】根据事件,A B 相互独立得到()()()0.2P AB P A P B ==，结合()()()()P A B P A P B P AB +=+-求出答案.【详解】因为事件,A B 相互独立，故()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=，又()0.5P A =，()0.4P B =，所以()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P AB +=+-=+-=.故选：C 3.过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.221189x y += B.221189y x += C.221123x y += D.221123y x +=【答案】D 【解析】【分析】设所求椭圆方程为22221y xa b +=()0a b >>，依题意可得22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a 、2b ，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆2212516y x +=的焦点为()0,3或()0,3-，设所求椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22123a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为221123y x +=.故选：D4.已知()()()()0,0,2,1,0,1,1,1,0,0,0,0A B C O -，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.11B.11C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量计算点面距离即可.【详解】由题意可知()()()1,0,3,1,1,2,0,0,2AB AC AO =-=-=-，设面ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则030200n AB x z x y z n AC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，取13,1z x y =⇒==-，即()3,1,1n =-，所以点O 到平面ABC 的距离是11AO n d n ⋅=== .故选：B5.点(),P x y 在圆222x y +=上运动，则3x y -+的取值范围（）A.[]0,1 B.[]0,4 C.[]1,5 D.[]1,4【答案】C 【解析】(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，求出圆心()0,0O 到直线30x y -+=的距离1d ，从而求出d 的取值范围，即可求出3x y -+的取值范围.【详解】圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =因为点(),P x y 在圆222xy +=上运动，又3x y-+=(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，所以3x y -+=，又圆心()0,0O 到直线30x y-+=的距离1322d ==，所以11d rd d r -≤≤+，即22d ≤≤，所以[]31,5x y -+=∈.故选：C6.如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 上移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P 的轨迹结合函数求最值即可.【详解】依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()110,0,3,1,3,0,3,3,3D E B ，设()[](),,0,0,3P x y x y ∈，所以()()113,3,3,1,3,3B P x y D E =---=-，即1133033B P D E x y x y ⋅=+-=⇒=-，所以[]03330,1y y ≤-≤⇒∈，而1B P =，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1max B P =.故选：B7.已知A ，B 是圆()()()22:330C x m y m -+-=>上两点，且AB =.若存在R a ∈，使得直线1:410l ax y a -++=与2:50l x ay a +-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（）A.(0,1⎤-⎦B.(0,2⎤⎦C.(0,1⎤+⎦D.(3⎤+⎦【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长可得AB 中点M 的轨迹为()()2231x m y -+-=，又根据直线1l ，2l 的方程可知12l l ⊥，交点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，若P 恰为AB 的中点，即圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数m 的取值范围.【详解】圆()()()22:330C x m y m -+-=>，半径为r =，设AB 中点为M ，且直线AB 与圆的相交弦长为AB =即1MC =，所以点M 的轨迹方程为()()()22310x m y m -+-=>，又直线1:410l ax y a -++=过定点()4,1Q -，直线2:50l x ay a +-=过定点()0,5S ，且12l l ⊥，则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心()2,3-，半径12QS =，所以点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，由于直线1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要除去点()4,5-，若点P 恰为AB 中点可知圆P 与圆M 有公共点，即11-≤，0m >，即121m -≤+≤+，解得31m -≤≤-，即01m <≤，故选：A.8.已知动点,P Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为（）A.1+6B.263C.12+D.83【答案】B 【解析】【分析】计算出正四面体ABCD 的内切球与外接球的半径，求出()2,x y z AT AT ++⋅范围，即可得出2x y z ++的最大值.【详解】由题意，连接,AD EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点设正方体边长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ，设内切球半径为1r ，外接球半径为2r ，三棱锥外接球半径222222232r ++==，而由正三棱锥内切球半径公式，13323r ==，取任意一点P ，使得()22x y z AT xAB y AC z AD xAB y AC z AM ++⋅=++=++，则点T 在面BCM 上，∴()123432333x y z AT PQ r r ++⋅=≤+=+=，点A 到面BCM 距离为=d AM ，则22AT d AM ≥=== ∴()43263232x y z AT x y z AT++⋅++=≤,故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是（）A.众数为60或70B.45%分位数为70C.平均数为73D.中位数为75【答案】BC 【解析】【分析】利用众数的概念直接可判断A ，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.【详解】A 选项：由频率分布直方图可知众数为6070652+=，A 选项错误；B 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.45⨯+⨯=，所以45%分位数为70，B 选项正确；C 选项：由频率分布直方图可知平均数为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，C 选项正确；D 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.450.5⨯+⨯=<，0.005100.04100.03100.750.5⨯+⨯+⨯=>，所以中位数[)70,80a ∈，所以()0.005100.0410700.030.5a ⨯+⨯+-⨯=，解得71.67a ≈，D 选项错误；故选：BC.10.已知点()0,1P 和直线:210l x y ++=,下列说法不正确的是（）A.经过点P 的直线都可以用方程1y kx =+表示B.直线l 在y 轴上的截距等于1C.点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.直线l 关于点P 对称的直线方程为230x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，可判断A 选项，令0x =可判断B 选项，设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，根据对称的概念列方程，可判断C 选项，设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，根据对称及点()00,x y 在直线l 上，可得直线方程，即可判断D 选项.【详解】A 选项：当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，A 选项错误；B 选项：令0x =，得10y +=，即1y =-，所以截距为1-，B 选项错误；C 选项：设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，所以()111101*********x y y x ++⎧⨯++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得118515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，则000212x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y =-⎧⎨=-⎩，又点()00,x y 在直线l 上，则()()2210x y ⨯-+-+=，即230x y +-=，D 选项错误；故选：ABD.11.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为棱111,A D AA 的中点,G 为面对角线1B C 上一个动点,则（）A.三棱锥1A EFG -的体积为定值B.点E 到直线1B CC.线段1B C 上存在点G ,使得FG BD⊥D.线段1B C 上不存在点G ,使平面//EFG 平面1BDC 【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法可判定A ，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B 、C 、D .【详解】由正方体的结构特征可知1//B C 平面AEF ，故点G 到平面AEF 距离2h AB ==不变，所以11113G A EF A EFG A EF V V S h --==⨯⨯ ，又1122222A EF S =⨯⨯ 是定值，故A正确；如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()()111,0,2,0,2,0,2,2,2,0,2,2E C B C ，()()2,0,1,2,2,0F B 所以()()11,2,2,2,0,2EC B C =--=--，故点E 到直线1B C的距离2d ==，故B 错误；设()1101B G B C λλ=<< ，则()()()110,2,12,0,22,2,12FG FB B C λλλλλ=+=+--=--，()2,2,0DB = ，所以4401DB FG λλ⋅=-+=⇒=，即G C 、重合，故C 正确；易知()10,2,2DC = ，设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z =，则102202200n DB x y y z n DC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取11y x z =-⇒==，即()1,1,1n =- 而()1,0,1EF =- ，则10,2212004n EF n FG λλλ⋅=⋅=--+-=⇒=-<，故不存在G 使得n FG ⊥，故D 正确.故选：ACD12.已知12(,0),(,0)F c F c -分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点P 为椭圆上一点,则21||||PF PF -的最大值是2cB.若点T 的坐标为1(,0)2a ,P 是椭圆上一动点,则线段PT 长度的最小值为12aC.过F 2作垂直于x 轴的直线,交椭圆于A ,B 两点,则22c AF a a=-D.若椭圆上恰有6个不同的点P ,使得12PF F △为等腰三角形,则椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A ，结合三角形不等式即可；B ，设出(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，表达出22342222221244c a a PT m a b a c c ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，分3202a a c <<与322a a c≥两种情况，得到不同情况下的线段PT 长度的最小值，B 错误；；C ，x c =代入即可求；D ，选项，先得到上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，再数形结合得到1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，列出不等式组22a c ca c -<⎧⎨≠⎩，求出答案；【详解】对A ，1122||||||PF PF F F -≤，当P 在左顶点时等号成立，则最大值是2c ，A 正确；对B ，设(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，22222222222222111244b m c PT m a n m am a b m am a b a a ⎛⎫=-+=-++-=-++ ⎪⎝⎭，2234222221244c a a m a b a c c⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，若b c <，此时222a c <，3202a a c <<，此时当322a m c =时，2PT 取得最小值，最小值为4222144a a b c+-，线段PT ；若b c ≥，此时222a c ≥，322a a c≥，此时当m a =时，2PT 取得最小值，最小值为214a ，线段PT 长度的最小值为12a ，综上：B 错误；对C ，当x c =时，22221c ya b+=，解得2b y a =±，即22222||b a c c AF a a a a-===-，C 正确；对D ，如图，椭圆左右顶点为,A B ，上下顶点为,C D ，显然上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点P ，使得12PF F △为等腰三角形，以1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，则要满足11F A FQ <，且111FC F P ≠，即22a c c a c-<⎧⎨≠⎩，解得：13c a >，且12c a ≠，故椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在两坐标轴上的截距相等，且与圆22(3)(4)2x y -+-=相切的直线有________条.【答案】4【解析】【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.【详解】圆()()22342x y -+-=的圆心坐标为()3,4，当横纵截距为零时，直线方程为()0y kx k =≠，=，整理得2724140k k -+=，因为22447141840∆=-⨯⨯=>，所以方程2724140k k -+=有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为()0x y a a +=≠，=5a =或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.故答案为：4.14.已知矩形ABCD，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若BD =则二面角B AC D --的余弦值为________．【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.【详解】如图所示，过B D 、分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，由矩形ABCD 中，1,AB BC ==，可知12,=60,,122AC BAC BE DF AE CF EF =∠⇒===== ，设二面角B AC D --的平面角为α，则,EB FD α=，2222222BD BE EF FD BD BE EF FD BE EF EF FD BE FD=++⇒=+++⋅+⋅+⋅ ()33312=++1+2cos πcos 4443αα⨯⨯-⇒=.故答案为：1315.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为,B O 为坐标原点，椭圆上的点()(),,,M M N N M x y N x y 分别在第一､二象限内，若OAN 与OBM 的面积相等，且2224M N x x b +=，则C的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得N M ay bx =，将点N 的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到,a b 关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为OAN 与OBM 的面积相等，且()(),,,M M N N M x y N x y ，则1122N M ay bx =，即N M ay bx =，所以2222N M a y b x =，将(),N N N x y 坐标代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>，可得22221N N x y a b+=，化简可得222222N N b x a y a b +=，即222222N M b x b x a b +=，所以()22222NM bxx a b +=，且2224MN x x b +=，所以22224b b a b ⋅=，即224a b =，则离心率为2e ===，故答案为:216.某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为:l y kx b =+，222:C x y r +=，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得{},,1,2,3,4k b r ∈，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组(,,)k b r 的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.【答案】78##0.875【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.【详解】易知数组(,,)k b r 有3464=种结果，若要直线与圆相交，需圆心()0,0C 到直线l 的距离2221b d r k r =<⇒<+，显然b r ≤时，22211b k r≤<+恒成立，若b r >，①当2,1b r ==，此时1k =不符题意；②当3,1b r ==，此时1,2k =不符题意，当3,2b r ==，此时1k =不符题意；③当4,1b r ==，此时1,2,3k =不符题意，当4,2b r ==，此时1k =不符题意，当4,3b r ==，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为871648P =-=.故答案为：78四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知, , a b c 是空间中的三个单位向量,且a b ⊥ ,,,60a c b c == .若2OM a b c =+-，OA a b c =++ ,2OB a b c =++ .（1）求MB;（2）求MB 和OA夹角的余弦值.【答案】（1；（2）15【解析】【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.【小问1详解】由已知可得2MB OB OM a b c =-=-++，所以MB =；【小问2详解】由OA a b c OA =++⇒=，所以MB 和OA夹角的余弦值为222cos ,15MB OA MB OA MB OA⋅==⋅ .18.为调查高一、高二学生心理健康情况,某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩i x ()1,2,3,,60i =⋅⋅⋅的平均分8x =,方差22x s =,高二学生成绩i y (i =1,2,…,40)的统计表如下:成绩y 456789频数12915103（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差2y s ；（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分z 和方差2z s .【答案】18.7，1.2；19.7.6，1.92.【解析】【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.【小问1详解】由表可知41526971581093712915103y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，()()()()()()222222214725796715771087397 1.240y s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-==；【小问2详解】由已知及（1）可知6040877.6100100z =⨯+⨯=，()()222226040 1.92100100z x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号；②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】19.2027；20.事件A 与事件B 不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算()P A ，()P B ，()P AB ，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：2222122211222033333333333327⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为111133218⨯⨯=，故至少收到一个正确信号的概率为()11711818P A =-=；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()11111112121161332332332332183P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()111121211533233233218P AB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为()()()P A P B P AB ≠，所以事件A 与事件B 不互相独立.20.已知圆22:46120C x y x y +---=.（1）求过点()75,且与圆C 相切的直线方程;（2）求经过直线70x y +-=与圆C 的交点,且面积最小的圆的方程.【答案】（1）21202470x y +-=或7x =（2）23π【解析】【分析】（1）由已知可得点()75,在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；（2）由已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，可得圆的半径1r =，可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为23π.【小问1详解】由22:46120C x y x y +---=得()()22:2325C x y -+-=，圆心()2,3C ，半径=5r ，又()75,到圆心的距离为5=>，所以点()75,在圆外，所以过点()75,的切线共有两条，当切线斜率存在时，设切线方程为()57y k x -=-，即750kx y k --+=，所以圆心C到直线的距离5d =，解得2120k =-，所以直线方程为()215720y x -=--，即21202470x y +-=，当直线斜率不存在时，直线方程为7x =，与圆C 相切，综上所述，切线方程为21202470x y +-=或7x =.【小问2详解】已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，即()()22461270x y x y λλλ++-+---=，则圆的半径1r =可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为21π23πS r ==.21.如图，三棱台111ABC A B C -中，AB AC ==，112B C BC ==1AA =，点A 在平面111AB C 上的射影在111B A C ∠的平分线上.（1）求证：111AA B C ⊥；（2）若A 到平面111A B C 的距离为4，求直线AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.【小问1详解】如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O 点，得到棱锥111O A B C -，由题意可知、、A B C 分别是三条侧棱111OA OB OC 、、的中点，取11B C 的中点D ，连接1A D ，设A 在底面111A B C 的投影为M ，连接AM ，根据题意可知AM ⊥底面111A B C ，且M 在1A D 上，因为11B C ⊂面111A B C ，所以11AM B C ⊥又1111AB AC A B A C =⇒=，所以111A D B C ⊥,而11,A D AM M A D AM ⋂=⊂、平面1AA D ,所以11B C ⊥面1AA D ,因为1AA ⊂面1AA D ，所以111B C AA ⊥；【小问2详解】过O 作ON ⊥底面111A B C ，结合（1）可知N 在1A D 上，且4,8AM ON ==，在111A B C △上，()2211111112225,2225322A B A C B C A D ⎛⎫===⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭，结合题意可知：22111122,2422A M A A AM A N A M DM DN =-===⇒==，则22221166,217OD DN ON OB B D OD =+==+=在11OA B中，22211111111112cos 2A O B O A B OA AA A OB A O B O +-==⇒∠==⋅所以1111sin OA B AOB S ∠=⇒= 设1C 到平面11AA B B 的距离为h ，11A C 与平面11AA B B 的夹角为θ，所以111111111111133O A B C A B C C OA B OA B V ON S V h S --=⋅==⋅ ，解之得：h =，所以11sin 35h A C θ==，因为11//A C AC ，所以直线AC 与平面11AA B B所成角的正弦值为35.22.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E.（1）写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，过A 且与l 平行的直线与曲线1C 交于,P Q 两点，求AD PQ ⋅的取值范围.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）)⎡⎣【解析】【分析】（1）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得AD PQ ⋅= .【小问1详解】圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，故半径4r =因为||||4AD AC r ===，//EB AC ，故EBC ADC ACD ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，因此||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2||||AB EA EB =<+，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠．【小问2详解】设直线CD 的方程为1x ty =+，则直线PQ 的方程为1x ty =-,联立直线CD 与圆的方程2212150x ty x y x =+⎧⎨++-=⎩，消元得()2214120t y ty ++-=，则()2221648164480t t t ∆=++=+>则()2242121t t x t t -±-±==++，联立直线PQ 与圆的方程221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690t y ty +--=，由于点A 在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，不妨设()()3344,,,P x y Q x y ，则34342269,3434t y y y y t t -+==++，()()()()2222234343422221216944343434t t y y y y y y t t t +-⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭+，()()43434311x x ty ty t y y -=---=-()()43434343,,PQ x x y y ty ty y y =--=-- ，()1,D D AD x y =+ ()()()()()()()()24343434343122D D D D D D AD PQ x ty ty y y y ty ty ty y y y t y y t y y ⋅=+-+-=+-+-=++- ，()22222432121D D t t y y t t t t -±++=+=±+所以2432D D AD PQ t y y t y y ⋅=++-== 令234,4t s s +=≥，则AD PQ ⋅== 令11,04x xs =<≤，则AD PQ ⋅= 由于函数27114y x x =-+的对称轴为1114x =，故27114y x x =-+在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，故当14x =时，27114y x x =-+取最小值2716，故2277114,416y x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，所以)AD PQ ⎡⋅=⎣ 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。

浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含解析

浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含解析

浙江省金砖联盟2024学年第一学期期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）命题：考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点()2,6,3-关于x 轴的对称点的坐标为（）A.()2,6,3--B.()2,6,3---C.()2,6,3- D.()2,6,3【答案】B 【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于x 轴对称点的坐标是(),,a b c --．【详解】在空间直角坐标系中，点()2,6,3-关于x 轴对称点的坐标是()2,6,3---．故选：B ．2.已知平面α，β，直线m ，且αβ⊥，则“m α⊥”是“m ∥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据线面关系及充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】当αβ⊥，m α⊥时，m ∥β或m α⊂，当αβ⊥，m ∥β时，m 与平面α可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以“m α⊥”是“m ∥β”的既不充分也不必要条件.故选：D3.已知复数z 满足236i z z -=+，则z =（）A .32i- B.32i +C.32i -+ D.32i--【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解．【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以3i 36i a b -=+，所以3a =，2b =-，32i z ∴=-，故选：A ．4.已知0,0a b >>，两直线()12:1210,:320l a x y l x by ---=-+=，若12l l ⊥，则23a b+的最小值为（）A.12B.20C.26D.32【答案】D 【解析】【分析】由垂直关系可构造关于a ,b 的方程，再结合基本不等式即可求得23a b+的最小值.【详解】由12l l ⊥得：(1)1(2)(3)0a b -⋅+--=，化简得：61a b +=，()23231236202032b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当11,48a b ==时等号成立，故选：D.5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）A.事件A 发生的概率为112B.事件,A B 相互独立C.事件,A B 是互斥事件D.事件A B 发生的概率为23【答案】B 【解析】【分析】写出所有的基本事件，再选出事件A ，B 所含有的基本事件，然后根据古典概型，相互独立，互斥事件、求出A B 的概率依次判断选项．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12个，事件A 含有的基本事件有：43，共1个．事件B 含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7个，∴事件A 发生的概率为112，故A 正确；1()12P A =，()712P B =，()()()0P AB P A P B =≠，A ，B 不相互独立，故B 错误；事件,A B 两者不可能同时发生，它们互斥，故C 正确；事件A B 中含有8个基本事件，共有基本事件12个，因此2(312)8P A B == ，故D 正确.故选：B ．6.当圆22:4600C x y x +--=截直线:390l mx y m --+=所得的弦长最短时，实数m =（）A.－1B.C.1D.【答案】C 【解析】【分析】先判断直线l 经过定点M ，且点M 在圆C 内，当直线l 垂直于CM 时，圆被直线截得的弦长最短，计算即得.【详解】由224600x y x +--=得()22264x y -+=，圆心坐标()2,0C ，半径为8，直线的方程化为()1390m x y --+=，由10390x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过的定点()1,3M ，且()221064123=+<-，所以点M 在圆C 内，要使直线l 被圆C 截得弦长最短，只需()1,3M 与圆心()2,0C 的连线垂直于直线l ，所以3011312m m -⋅=-⇒=-，故选：C7.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA 与OH的夹角为π3B.OA OD OB OC+=+C.OA OC DH-= D.OA 在OD上的投影向量为22e -（其中e 为与OD 同向的单位向量）【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据正八边形的性质可求出AOH ∠，对于B ，利用向量的加法法则分析判断，对于C ，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D ，根据投影向量的定义分析判断【详解】由八卦图可知OA 与OH 的夹角为AOH ∠，而284ππAOH ∠==，故A 错由BA DC OA OB OC OD OA OD OC OB ≠⇒-≠-⇒+≠+，故B 错；易知OA OC CA -= ，又π2AOC ∠=，所以CA = ，而22DH OD OA == ，所以OA OC -=，即C 错误；因为3π34AOD AOH ∠=∠=，即AO 与OD 的夹角为3π4，易知OA 在OD上的投影向量为3π11cos 4122OA OD OD OD OD ODODOD O e D⨯⨯⋅=-=-⋅=，即D 正确.故选：D8.已知锐角ABC V ，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=，则ca的取值范围是（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.D.3,2⎛ ⎝【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得ca的取值范围.【详解】由题设知，cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin 2sin cos sin 2sin cos A C B B B B B +=⇒=,又0πB <<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2B =，得π3B =，所以2π3AC +=，又2π31sin cos sin sin 322sin sin sin A A A c C a A A A⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===，即112tan 2c a A =⋅+，又锐角ABC V ，所以ππ62A <<，所以3tan 3>A ，所以0tan A <<111222tan 2A <⋅+<，所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知甲组数据为：2,3,4,4,6,8,8，乙组数据为：1,4,4,7,9，则下列说法正确的是（）A.这两组数据的第80百分位数相等B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变D.甲组数据比乙组数据分散【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断即得.【详解】对于A ，由70.8 5.6⨯=，得甲组数据的第80百分位数为8，由50.84⨯=，乙组数据的第80百分位数为7982+=，故A 正确；对于B ，根据极差定义，极差等于最大子减去最小值，可知甲组数据的极差为826-=，乙组数据的极差为918-=，故B 错误；对于C ，根据均值定义可知甲组原数据均值为5，去掉最值后均值为5，乙组原数据均值为5，去掉最值后均值为5，故C 正确；对于D ，由C 知甲乙两组平均值都为5，根据方差公式甲组()()()()()()()222222221253545456585857s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦[]134941119977=++++++=乙组数据方差为()()()()()222222115454575955s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦[]138161141655=++++=，则343875<，所以乙组数据分散，故D 错误.故选：AC10.已知椭圆22:142x y C +=，点12,F F 为椭圆两焦点，点P 为椭圆C 上的动点，过点P 作12F PF ∠的外角平分线l ，过椭圆的焦点作直线l 的垂线，垂足是Q .现有一条长度为4的线段MN 在直线:40m x y -+=上运动，且始终满足MQN ∠为锐角，则（）A.点Q 的轨迹方程是224x y +=B.点Q 有可能在以MN 为直径的圆上C.点Q 不可能在直线m 上D.线段MN 的中点的纵坐标的取值范围是()(),04,∞∞-⋃+【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意结合题中条件分析出Q 点满足的几何关系，根据几何关系可直接写出Q 的轨迹方程，在结合Q 的轨迹方程分析其与直线m 的关系.【详解】如图所示，椭圆22142x y +=长轴长为4，延长1F P 与2F Q 的延长线交于E ，连结OQ .由角平分线的性质，2PQE PQF ≅ ，所以2,F E 关于Q 点对称，所以Q 为2EF 中点，且2||||PE PF =，所以OQ 为12EF F 中位线，所以111211||||||)|||)1|(|222OQ EF P PE F P PF F =+=+=，因为P 在椭圆上，由椭圆的定义，12||||24F P PF a +==，所以||2OQ =，故Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为2的圆，即224x y +=，故A 正确；若Q 在以MN 为直径的圆上，则90MQN ∠=︒，不符题意，故B 错误；又因为:40m x y -+=与圆相离，故Q 不可能在m 上，故C 正确；如图所示，当线段MN 在11M N 位置时，中点坐标1(0,4)E ，此时以MN 为直径的圆刚好与Q 的轨迹相切，当Q 在切点1(0,2)Q 位置时，90MQN ∠=︒，当线段MN 在22M N 位置时，中点坐标2(4,0)E -，此时以MN 为直径的圆也刚好与Q 的轨迹相切，当Q 在切点2(2,0)Q -位置时，90MQN ∠=︒，所以若要MQN ∠始终为锐角，则MN 的中点E 不能在线段12E E 之内，所以MN 中点纵坐标的取值范围为()(),04,∞∞-⋃+，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.直线1AC ⊥平面1A BDB.三棱锥B ADP -的外接球的表面积为9π4C.直线DP 与直线1AC 所成角的正弦值为9D.若12D Q =，那么Q 点的轨迹长度为π4【答案】ABD 【解析】【分析】以1D 为坐标原点建立坐标系，用空间坐标求解A,C 选项；对B 选项，结合图形即可直接求出三棱锥B ADP -的外接球半径，再由球的表面积公式即可判断；对D 选项:设()(),1,01,01Q x z x z ≤≤≤≤，根据条件求出,x z 满足的方程,判断其轨迹即可.【详解】以1D 为坐标原点，以11111,,D A D C D D分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()()()()1111,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,2A A D B C P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()11111,0,1,0,1,1,0,1,2A D A B A P ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，由110n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得00x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =得1,1y z =-=，所以取()1,1,1n =- ，因为()11,1,1AC =-- ，故1//AC n，所以直线1AC ⊥平面1A BD ，故A 正确;由题意得三棱锥B ADP -的外接球半径为324==,所以三棱锥B ADP -的外接球表面积为239π4π44⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；因为()111,1,,1,1,12DP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以111132cos ,392DP AC DP AC DP AC ⋅===，所以178sin ,9DP AC == ，故C 错误；因为Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），设()(),1,01,01Q x z x z ≤≤≤≤，由162D Q =得22312x z ++=，即2212x z +=，在正方形11BB C C 内Q 的轨迹为以1C 为圆心，半径为22的四分之一圆周，那么Q 点的轨迹长度为1222ππ424⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】对空间几何中的轨迹或最值问题求解时可以建立空间直角坐标系,几何关系转化为代数关系,可从方程上判断轨迹形状,从函数的角度求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线l 的一个方向向量(3,n =，则l 的倾斜角大小为________．【答案】5π6【解析】【分析】根据方向向量可求得tan θ，根据直线倾斜角θ的取值范围即可求得结果.【详解】设直线的倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，又[]0,πθ∈，所以5π6θ=.故答案为：5π6.13.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1111,,,AA BB CC DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中平面11ACD 与平面11AB C 所成角的余弦值为________．【答案】1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面11AB C 与平面11ACD 夹角的余弦值.【详解】设上底面圆心为O '，下底面圆心为O ，连接OO '，OC ，OB ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OO '所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A ，1(0,2,2)A ，(1,0,0)C ，1(1,0,2)C ，1(0,1,2)B ，1(2,0,2)D ，则1(0,1,2)AB =- ，1(1,2,2)=-AC ，1(1,0,2)CD = ，11(2,2,0)A D =- ，设(,,)m x y z =为平面11AB C 的一个法向量，则20220y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，令2y =可得2,1x z ==，所以(2,2,1)m = ，设(,,)n a b c =为平面11ACD 的一个法向量，则20220x z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =可得2,1==y z ，所以(2,2,1)n = 因为m n =，所以平面11//AB C 平面11ACD ，故平面11AB C 与平面11ACD 夹角为0，cos 01=，故答案为：1.14.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为________．2【解析】【详解】由题意可知：左、右顶点分别是A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），当x ＝c 时，代入双曲线方程，解得：y ＝±2b a，设B （c ，2b a ），C （c ，2b a -），则直线A 1B 的斜率k 1()()220b b a c a a c a -==--+，直线A 2C 的斜率k 2()220b b ac a a c a --==---，由A 1B ⊥A 2C ，则k 1×k 2＝﹣1，即()()22b b a c a a c a ⨯=+-1，则22b a=1，双曲线的离心率e 2212c b a a==+=，故答案为：2．【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：[)[)[)[)[)[)60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90（1）求a 的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[)65,70和[)70,75内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的概率．【答案】（1）0.02；（2）77.5分；（3）815.【解析】【分析】（1）根据已知条件，由频率分布直方图中各组矩形面积之和等1，即可求出a 的值.（2）结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解.（3）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法及古典概型的概率公式，即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图，得(0.0120.040.050.06)51a ++++⨯=，解得0.02a =.【小问2详解】由频率分布直方图，得数据落在[60,75)的频率为(0.010.020.04)50.350.5++⨯=<，数据落在[60,80)的频率为(0.010.020.040.06)50.650.5+++⨯=>，因此中位数[75,80)x ∈，有(75)0.060.350.5x -⨯+=,解得77.5x =，所以中位数为77.5分.【小问3详解】评分在[65,70),[70,75)对应的频率为0.1，0.2，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人，则评分在[65,70)占2人，记为,a b ，评分在[70,75)占4人，记为 ⤘঒⤘̛⤘࡙，从6人中选取4人的样本空间{,,,,,,abAB abAD abAC abBD abBC abDC Ω=,,,,,,,,}aABC aABD aADC aBDC bABC bABD bADC bBDC ABCD ，共15个样本点，这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的事件{,,,M aABC aABD aADC =,,,,}aBDC bABC bABD bADC bBDC ，其8个样本点，所以这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的概率8()15P M =.16.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos sin sin 0a C c A B A C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3,7a b ==，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长．【答案】（1）2π3（2）158【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得1cos B B =，由辅助角公式可得π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质即可求解（2）根据余弦定理可得5c =，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.【小问1详解】由sin sin cos sin sin 0a C c A B A C -=，由正弦定理可得sin sin sin sin cos sin sin 0A C C A B B A C -=,又()()0,π,0,πA C ∈∈，所以sin sin 0A C ≠，所以1cos B B =，可得π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，所以ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π66B +=，可得2π3B =，【小问2详解】在ABC V 中，3,7a b ==，由余弦定理得22222cos 3400b a c ac B c c =+-⇒+-=，解得8c =-（舍），或5c =，由ABC BCD ABD S S S =+ ，得12π1π1πsin sin sin 232323ac a AD c =⋅+，即15153588AD AD AD AD =+=⇒=，故线段AD 的长为158.17.如图在四棱锥A BCDE -中，CD BE ∥，1CD =，CB BE ⊥，2AE BE AB BC ====，AD =，Q 是AE 的中点．（1）求证：DQ ∥平面ABC ；（2）在棱AD 上是否存在点M ，使得直线EM 与平面ACD 所成角的正弦值为337，若存在，求AM MD 的值，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在，2或417【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接CF 、QF ，证明DQ CF ，借助直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）假设在棱AD 上存在点M ，建立空间直角坐标系，借助向量运算即可解答.【小问1详解】取AB 的中点F ，连接CF 、QF ，因为Q ，F 分别为AE 、AB 的中点，所以QF BE ，且12QF BE =，又因为CD BE ∥，112CD BE ==，所以QF CD ∥，且QF CD =，所以四边形QFCD 为平行四边形，所以DQ CF ，且CF ⊂平面ABC ，DQ ⊄平面ABC ，所以DQ ∥平面ABC ，【小问2详解】取EB 的中点G ，连接AG 、DG ，因为2AE AB BE ===，所以ABE 是等边三角形，所以BE AG ⊥，且2214132AG AB BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为CD BE ∥，112BG BE CD ===，所以∥BG CD ，且BG CD =，所以四边形BCDG 为平行四边形，又CB BE ⊥，所以四边形BCDG 为矩形，所以,2DG BE DG BC ⊥==，在ADG △中，2222,D AD AG AD G AG G D ====+，所以DG AG ⊥，DG BE ⊥，AG 、BE 在平面ABE 中相交于点G ，所以DG ⊥平面ABE ，以G 为原点，以GA 、GB 、GD 方向分别为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则)()()(),0,1,2,0,0,2,0,1,0AC D E -，所以)()(),2,2EA AD AC ===，假设在棱AD 上是否存在点M ，设()01AM AD λλ=≤≤，则)()),0,2,1,2EM EA AM EA AD λλλ=+=+=+=，设平面ACD 的一个法向量为 ⤘ ⤘ ，所以,m AD m AD ⊥⊥，则020020m AD z m AD y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩，令0,2y x ==，则z =，所以平面ACD 的一个法向量为(m =，直线EM 与平面ACD 所成的角θ，则33sin 7EM m EM mθ⋅==⋅，整理得：2635480λλ-+=，解得23λ=，或421λ=，都符合题意，所以2AM MD =，或417AM MD =，故在棱AD 上是存在点M ，使得直线EM 与平面ACD 所成角的正弦值为337，且2AM MD =或417AM MD =18.如图，已知圆()22:10160,4,0,M x x y Q O -++=为坐标原点，过点Q 作直线l 交圆M 于点A B 、，过点A B 、分别作圆M 的切线，两条切线相交于点P ．（1）若直线l 的斜率为1，求AB 的值；（2）求点P 的轨迹方程；（3）若两条切线PA PB 、与轴y 分别交于点S T 、，求ST 的最小值．【答案】（1（2）4x =-（3）【解析】【分析】（1）先将圆方程化为标准方程，得到圆心和半径.根据直线斜率为1且过点(4,0)Q 写出直线方程，然后利用弦长公式L =（其中L 为弦长，r 为圆半径，d 为圆心到直线的距离）来计算||AB .（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，根据圆的切线方程的求法以及点P 是两条切线的交点，通过联立方程来求点P 的轨迹方程.（3）先求出切线方程，进而得到与y 轴交点S 、T 的坐标，然后根据两点间距离公式求||ST ，再利用函数最值的求法求最小值.【小问1详解】直线l 为4y x =-，圆22:10160M x x y -++=的半径3r =，圆心(5,0)M 到直线的距离22d ==，所以||AB ==【小问2详解】由（1）知，直线l 的斜率不能为0，故可设直线l 的方程为4x my =+，代入圆M 的方程，消去y ，得：()221280m y my +--=,Δ 香 香 香 n g⤘设()()1122,,,A x y B x y ，则12221m y y m +=+，12281y y m -=+，过点A 的圆的切线方程为：()()11559,x x y y --+=①过点B 的圆的切线方程为：()()22559x x y y --+=,②由①②解得4,9x y m =-=,所以点P 的轨迹是直线4x =-.【小问3详解】①中令0x =,()()11111955954545S x my y m y y y +-++-===+,②中令0x =,()()22222955954545T x my y m y y y +-++-===+,则211212444S T y y ST y y y y y y -=-=-==当0m =时，||ST 最小值为.此时直线l 为4x =-，(4,0)P -.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，经过点1F 且倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于,A B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF △的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直．①若6πθ=，求三棱锥12A BF F -的体积；②是否存在02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，使得2ABF △折叠后的周长为与折叠前的周长之比为34?若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①21；②不存在，答案见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆定义求得a ，结合离心率求得c ，再求出b 后即得椭圆标准方程；（2）①求得,A B 点坐标，确定折叠后新坐标，然后由体积公式计算体积；②建立解析中所示空间直角坐标系，设折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A B ''，，()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，由三角形周长求得2AB A B ''-=，设l方程为my x =+理得12y y +，12y y ，用坐标表示2AB A B ''-=变形后代入12y y +，12y y 求出m 值，再检验，从而可得结论．【小问1详解】由椭圆的定义知：122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF △的周长48L a ==，所以2a =，又椭圆离心率为32，所以32c a =，所以c =，2221b a c =-=，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】①当π6θ=，13(3k F =，则l：(303y x -=+与2214x y +=联立，由2230(314y x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()0,1A （因为点A 在x 轴上方）以及831,77B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12AF =，127BF =，1121113sin150sin 303221V BF F F AF =⋅︒︒=‖.②O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，设折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A B ''，，()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，折叠前2ABF △周长是8，则折叠后2A B F '' 周长是6，由22''''6A F B F A B ++=，228AF BF AB ++=，故2AB A B ''-=，设l方程为my x =+由2214my x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22410m y +--=，()2212440m m ∆=++>得122234y y m +=+，12214y y m -=+，''A B =，A B =，所以''2AB A B -=-=，（ⅰ）2=，12y y +=-，（ⅱ）由（ⅰ）12112y y =-，因为()()()()22222121212121112x x y y m y y y y ⎛⎫-+-=+-=- ⎪⎝⎭，即()()2122212124]11[12m y y y y y y -⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以()222222234111442(4)m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=+ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即4242222216321643681(4)4(4)m m m m m m ++++=++，去分母并整理得到426092170m m +-=.设20n m =≥，则方程变为26092170n n +-=,解得116n =，217()10n =-舍去，所以216m =，π02θ<<，则6m =，检验：当6m =时，212214444286|||2142546m AB y y m ⨯++=-===<++，这与2AB A B ''-=矛盾.故不存在θ满足题意.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解.。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（）
A．众数为60或70B．45%分位数为70
C．平均数为73D．中位数为75
20．已知圆22
C x y x y
+---=.
:46120
(1)求过点()
75,且与圆C相切的直线方程;
(2)求经过直线70
+-=与圆C的交点, 且面积最小的圆的方程.
x y
八、问答题
22．设圆222150
B且与x轴不重合，l交圆A x y x
++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)
于,C D两点，过B作AD的平行线交AC于点E.
(1)写出点E的轨迹方程；
)3y -
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

的方程化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线
l2
：
2x
-
2
y
+
3
=
0
化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，
又直线 l1 ： x - y +1 = 0 ，所以 l1//l2 ，
l1
l2
所以直线 与直线 的距离是
1
-
3 2
=
12 + (-1)2
2. 4
故选：A.
3．B
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得 t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
2c, PF1
=
2a
- 2c,QF1
=
3 2
(a
- c),QF2
=
1 2
a
+
3 2
c
，
在 VPF1F2 和 VQF1F2 中，由余弦定理可得：
PF12 + F1F22 - PF22 2PF1 ´ F1F2
+
QF12 + F1F22 - QF22 2QF1 ´ F1F2
=0，
代值整理可得：
3(a - c) + 2(a - 2c) = 0 ，
故选：AB 10．ABD 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断 A，根据两圆方程相减即可 判断 B，根据弦长公式即可求解 C，根据点点距离公式即可判断 D.
【详解】由题意可知 O1 (-1, 0), r = 1， O2 (1,1), R = 2 ，

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。

浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

2023学年第一学期杭州S 9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合{}1,0,1,2M =−，{}2230Nx xx =−−≥，则M N = （）A ．{}1,0,1−B ．{}0,1,2C ．1−D ．{}1−2．已知复数1i2iz −=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．35−B ．3i5−C ．35D ．3i53．已知向量(),2a m = ，()4,8b=−，若a b λ=，则实数m 的值是（）A ．4−B ．1−C ．1D ．44．函数22112x x y −+ =的单调递减区间为（ ）A ．(],1−∞B ．[)1,+∞C ．(−∞D ．)+∞5．已知直线1l ：330ax y −−=，2l ：310x ay −+=，则“3a =”是“12l l ∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，若点P 满足1321534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB的距离为（ ）A ．25144B C ．1312D8．设m R ∈，若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m −−+=交于点(),p x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．52B ．2C ．3D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（ ） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−， 所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−， 所以z 的虚部为3−， 故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =， 因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =， 所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ， 所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点， 所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（ ）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解， 所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5， 故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（ ）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（ ）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ， 过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ， 因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠， 由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合， 设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO， 根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义， 设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，， 因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =， 因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ， 又因为20304y ，所以267174434y ， 所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个， 故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=， 即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤， 故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =， 所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确； 故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确； 若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确； 故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形， 又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确； 对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确； 对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确； 对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号， 所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________． 【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =， 圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =， 所以，圆锥的高为223h l r =−=， 因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点， 由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−， 当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−． 故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−， 则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−， 即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ． 【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积 【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差． 【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解； （3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下： 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =， 男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==； 【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−， 又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥； （2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==， 因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==， 又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=， 同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥， 因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ， 因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ， 过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ， 因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点， 则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=， 因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==， 则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥， 因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ， 则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅， 因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+； 【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩， 当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程． 【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>， 又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。

浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学(含答案)

浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学(含答案)

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 若，则（）A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（）A. B. C. 1D. 24. 从两位数中随机选择一个数，则它平方的个位数字为1的概率是（）A.B.C.D.5. 已知函数，，且，则函数可能是（）A. B. C. D.6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（）A. B. 的{}128x A x =<<()(){}120B x x x =+-<A B = ()1,3-()0,2()1,2()1,8-1i 1zz =++z =1i--1i-1i-+1i+()2,1,3a =-- ()4,2,b x =-- a b ⊥ x =2-1-110191715()()()2f x f x g x +-=()()()2f x f x h x --=()()221g x h x ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦()f x ()f x x =()2f x x=()2xf x =()2log f x x=C 2213x y -=()1,1P l C A B P AB l 320x y -+=320x y --=C. D. 7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（）A.B.C.D.8. 已知函数，，则方程的实根个数是（）A. 2B. .3C. 4D. 5二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9.若直线：与直线：平行，则实数可能（）A. 1B. 2C. 3D. 410.下列从总体中抽得样本是简单随机抽样的是（）A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample （1:712，50，replace ＝F”）得到抽中的编号11. 已知椭圆：，直线：，（）A. 若直线与椭圆有公共点，则B. 若，则椭圆上的点到直线C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上为的210x y --=210x y -+=(),,0OA m n = ()0,,OB n p = ()1,1,1OC = π4cos AOB ∠=()()sin π,1132,12x x f x f x x -≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩()e 1xg x =-()()f x g x =1l ()()1110a x a y ++-+=2l 630x ay ++=a r 0r =75r >r r r 6000r +R C 22194y x +=l 320x y m -+=l C m -≤≤m =C P l l C ,A B AB l C ,A B AB 320x y +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.13. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.14. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，（1）求；（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.16. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.（1）求的取值范围；（2）当时，求的面积.17如图，四棱锥中，底面，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18. 已知圆：，点，点是圆A 上任意一点.线段的垂直平分线和半径C 22132x y -=C C ()()22132x y b -+-=:l y x =l C b =1111ABCD A B C D -E F BC 11C D 1AB EF ABC V A B C a b c cos C B =222.a cb +-A A AD BC ⊥BC D E BC AE 2AD =AE M N l 322y x =+M ()2224x y r +-=06r <<N 6r -M N A B r 3r =MNA △P ABCD -PA ⊥ABCD PD PC ==3AD CD ==AB =AB AD ⊥//AD PBC PBC PCD A ()22264x y ++=()2,0B P BP l AP相交于点，与圆A 交于，两点，则当点在圆A 上运动时，（1）求点的轨迹方程；（2）证明：直线是点轨迹切线；（3）求面积的最大值.19. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.（1）求异面直线与所成的角；（2）求的取值范围；（3）求四面体的体积的最大值.的Q M N P Q MN Q PMN V MN MA ⊥MN NB ⊥M N MA NB π32MN =P Q MA NB 4PQ =PQ R MN PQ MR MNPQ2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.【答案】9或14. 【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可；（2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解.【小问1详解】由题意可知，，由，故，故，所以，.【小问2详解】如图，，由（1）可知，，则，，故，因为，7-251π25,b c 222cos 2a c b B ac +-==0πB <<π6B =cos C B =0πC <<π4C =7ππ12A B C =--=2AD =π6B =π4C =4c =b =()12AE AB AC =+ 7πππππππcoscos cos cos sin sin 12434343⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭所以，所以16. 【解析】【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解；（2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，故圆为，因为圆与圆交于，两点，所以，.【小问2详解】当时，圆：，：，故是以为顶点的等腰三角形，由（1）可知，所以所以的面积为17.22215π12cos 16884124AE b c bc ⎛⎛⎫=++=++=- ⎪ ⎝⎭⎝ AE =AE ()0,4M l (),N a b N r 3r =N MNA △A ()0,4M l (),N a b 41024032222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⋅+⎪⎩23a b =⎧⎨=⎩N ()()()222236x y r -+-=-M N A B {}max 62,266r r MN r r --<=<+-r <<3r =M ()2249x y +-=N ()()22239x y -+-=MNA △A ||MN =||||3AM AN ==MN =MNA △12=【解析】【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解.（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.【小问1详解】因为平面，平面ABCD ，所以，，由，，得；在中，，所以为正三角形，过作的垂线，垂足为，，有，，所以四边形为矩形.故，平面.平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，，，，.设平面，的法向量分别为m =(x,y,z )，n =(a,b,c ).，，，，得，解得；，得，解得；设平面与平面的夹角大小为，ABCH //BC AD PA ⊥ABCD ,AD AC ⊂PA AD ⊥PA AC ⊥3AD=PD=PA =Rt PAC △3AC =ACD V C AD H AB AD ⊥//CHAB CH AB ==ABCH //BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD A AB AD AP x yz (P B ⎫⎪⎪⎭3,02C ⎫⎪⎪⎭()0,3,0D PBCPDC 3,2PC = 30,,02BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭3,02DC ⎫=-⎪⎪⎭ 00m PC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302302x y y +=⎪=⎪⎩()2,0,3m = 00n PC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302302b b +-=-=()n = PBC PDC θ则.故平面与平面的夹角的余弦值为.18. 【解析】【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.（2）设求出直线l 的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可【小问1详解】由线段的垂直平分线的性质可知，，故，所以点在以点A ，为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为|AB |=4，短轴长，故点的轨迹方程为：.【小问2详解】设，则有：，将代入椭圆：消去整理得，故，即所以，直线是点轨迹的切线；.【小问3详解】11cos 13m n m n θ⋅=== PBC PDC 11138QA QB QA QP AP AB +=+==>()28cos ,8sin P θθ-+cos θcos θQP QB =8QA QB QA QP AP AB +=+==>Q B Q C 2211612x y +=()28cos ,8sin P θθ-+MN l ()2cos 12sin 4cos 80x y θθθ-++-=MN l C 2211612x y +=y ()()()()222cos 282cos 1cos 2162cos 10x x θθθθ-+--+-=()()()()2222Δ642cos 1cos 2416cos 22cos 10θθθθ=---⨯--=()()2cos 242cos 10x θθ⎡⎤-+-=⎣⎦MN Q由（2）可知，点到直线的距离为，点A 到直线距离为，故线段，所以的面积为当且仅当时，等号成立，所以当时，的面积的最大值为.19. 【解析】【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；思路二：由空间向量的线性运算可得.（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.的P MN d MN 1d MN ===PMN V 1122S d MN =⨯=⨯=≤=cos 1θ=-()10,0P -PMN V N MA 2NA P MN 2NA 2P 2PP Q ∠MN PQ R MR MR =MNPQ V 四面体b a θ+=4cos b a θ-=ab MNPQ V 四面体思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.【小问1详解】如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，则有是异面直线与所成的角或其补角.因为，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因为，，所以，所以，，所以异面直线与所成的角为.【小问2详解】如图，过的中点分别作，的平行线，，以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴，过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.由题意可知，，设,，()()2214ab b a b a ⎡⎤=+--⎣⎦N MA 2NA P MN 2NA 2P 2PP Q ∠MN PQ MN MA ⊥MN NB ⊥22PP NA ⊥2PP NB ⊥22NA NB N ,NA ,NB =⊂ 2N BA MN ⊥2N BA 2P Q ⊂2N BA 22PP PQ ⊥22PP MN ==4PQ =21cos 2P PQ ∠=2π3P PQ ∠=MN PQ π3MN O MA NB 1OA 1OB O 11AOB ∠x y O 11OA B z O xyz -11π3A OB ∠=MP a =NQ b =则，，从而，且.所以.思路一：因为，，所以，，所以，即.所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为.点，所以.思路二：设在，上的投影分别为，则且，则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点.故，可得因为，则，所以.【小问3详解】由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离，故，1,12Pa ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1,12Qb ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4b a R ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4PQ ==()()22348b a b a ++-=4R b a x -=R y =0R z =4R b a x -=R b a y +221648483y x +=2219y x +=R 2219y x +=()0,0,1M MR ∈,P Q 1OA 1OB 11,P Q 11//PP QQ 11PP QQ =PQ 11PQ 11PPQQ R 11PQ 111122MR MO OP OQ =++ MR ===,[1,1]4R R b a x x ∈--=()2016b a ≤-≤MR ∈MA NB π3P MNQ πsin 3d PM =111π2sin 3323P MNQ MNQ V S d b a -==⨯⨯⨯=V思路一：不妨设，，则，故，从而，此时思路二：因为，故，从而，此时，b a θ+=4cos b a θ-=2cos ,2cos b a θθθθ=+=-22212sin 4cos 16sin 416412ab θθθ=-=-≤-=12MNPQ V =四面体a b ==()()22348b a b a ++-=()()()222112124ab b a b a b a ⎡⎤=+--=--≤⎣⎦12MNPQ V =四面体a b ==。

2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.1．直线x −√3y −3=0的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°2．已知点P 为椭圆x 216+y 24=1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．5C ．7D ．133．已知A ，B 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0上的两个动点，若∠ACB ＝120°，则△ABC 的面积为（ ） A ．12B ．√32C ．√3D ．24．几何体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，底面ABCD 为矩形，其中AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则线段AC 1的长为（ ）A ．√14B ．√19C ．√22D ．√235．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F （c ，0）作其渐近线的垂线，垂足为点T ，交双曲线C 的左支于点P ，若FP →=2FT →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．√5C ．3D ．56．已知A （m ，0），B （m +3，0）（m ＞0），点P 是直线l 1：ax +y ＝0和l 2：x ﹣ay +2＝0（a ∈R ）的交点，若存在点P 使|PB |＝2|P A |，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2，3）B ．[2，3]C ．[1，3）D ．[1，3]7．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，点E 是棱CC 1的中点，点O 是AC 与BD 的交点，如果OE →=(−1，2，2)，那么三棱锥O ﹣A 1B 1E 的体积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．瑞士数学家欧拉（Euler ）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．已知△ABC 的顶点C(0，14)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线被椭圆E ：x 22+y 2=1截得的弦长的最大值为（ ）A ．√794B ．√232C ．√302D ．√1224二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知向量e →1=(t ，2t ，2)，e →2=(2t −2，−t ，−1)，则下列结论正确的是（ ） A ．若e →1⊥e →2，则t ＝﹣1 B ．若e →1∥e →2，则t =45C ．|e →1|的最大值2D ．|e →1|的最小值√210．已知直线l ：ax +by ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝1，则下列结论正确的有（ ） A ．若b ＝a +1，则直线l 恒过定点（﹣2，2） B ．若a 2+b 2＝4，则直线l 与圆C 相切 C ．若圆C 关于直线l 对称，则a 2+b 2＝2 D ．若直线l 与圆C 相交于两点，则a 2+b 2＞4 11．已知曲线C 的方程为x 2m+5+y 2m+1=1，则下列说法正确的是（ ）A ．∀m ∈R ，曲线C 都不表示圆B ．∃m ∈R ，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆C ．∀m ∈R ，曲线C 都不表示焦点在y 轴上的双曲线D ．当m ∈（﹣5，﹣1）时，曲线C 的焦距为定值12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，P 是BC 1与B 1C 的交点，Q 为线段A 1N 上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（ ）A ．Q 为线段A 1N 的中点时，CQ →=34AB →−14AC →+AA 1→B ．存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1CMC ．PQ 与平面BCC 1B 1所成的角可能为45°D ．BC 1与A 1M 所成角的正弦值为√105三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为60°，则直线l 与平面α所成的角为 ． 14．直线l 与l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x +y +3＝0之间的距离相等，则直线l 的方程是 ． 15．与双曲线x 216−y 24=1有公共渐近线，且过点(2√2，2)的双曲线的标准方程为 ．16．已知椭圆x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点（长轴端点除外），∠F 1PF 2的角平分线PT 交椭圆长轴于点T （t ，0），则t 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知圆C 经过点（0，1），（0，3），（2，1）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 18．（12分）已知直线l 1：ax ﹣2y ﹣2a +4＝0，直线l 2：a 2x +4y −4a 2−8=0． （1）若直线l 1在两坐标轴上的截距相等，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求直线l 2的方程．19．（12分）如图，在几何体P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 的中点，且PD ＝AD ，F 为线段BC 上的动点． （1）证明：平面DEF ⊥平面PBC ；（2）若平面DEF 与平面P AB 所成的角为30°，求BF FC的值．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线斜率为±12，且经过点(2√2，1)，直线l与圆x 2+y 2=r 2(√2≤r ≤√3)相切于点P ． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 相切于点Q ，求|PQ |的取值范围．21．（12分）如图，在四面体A ﹣BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝1．M 是AD 的中点，E 是BM 的中点，点F 满足AF →=3FC →． （1）证明：EF ∥平面BCD ；（2）若BD 与平面BCM 所成的角大小为30°，求CD 的长度．22．（12分）已知椭圆C 1：x 28+y 24=1与椭圆C 2有相同的离心率，椭圆C 2焦点在y 轴上且经过点(1，√2)． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设A 为椭圆C 1的上顶点，经过原点的直线l 交椭圆C 2于P 、Q ，直线AP 、AQ 与椭圆C 1的另一个交点分别为点M 和N ，若△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1和S 2，求S 1S 2取值范围．2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.1．直线x −√3y −3=0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°解：直线x −√3y −3=0的斜率为√33， 直线的倾斜角范围为[0，π），故该直线的倾斜角为π6，即为30°．故选：A ． 2．已知点P 为椭圆x 216+y 24=1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．5C ．7D ．13解：∵椭圆的方程为x 216+y 24=1，∴a ＝4，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝8， ∵|PF 1|＝3， ∴|PF 2|＝5． 故选：B ．3．已知A ，B 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0上的两个动点，若∠ACB ＝120°，则△ABC 的面积为（ ） A ．12B ．√32C ．√3D ．2解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2， 圆C 的半径r =√2，若∠ACB ＝120°，则△ABC 的面积为S =12|AC ||BC |sin ∠ACB =12×√2×√2×√32=√32． 故选：B ．4．几何体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，底面ABCD 为矩形，其中AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则线段AC 1的长为（ ）A ．√14B ．√19C ．√22D ．√23解：记A 1在面ABCD 内的射影为O ，因为∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，所以O 在∠BAD 的平分线上，由O 向AB ，AD 两边作垂线，垂足分别为E ，F ，连接A 1E ，A 1F 分别垂直AB ，AD 于E ，F ， 因为A 1A ＝3，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，所以AE ＝AF =32， 又因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为矩形， 所以∠OAF ＝∠OAE ＝45°，且OE ＝OF =32， 在直角三角形A 1OA 中，由勾股定理可得A 1O =3√22， 过点C 1作C 1M 垂直底面于M ，则有△C 1MC ≌△A 1OA ，由此可得M 到直线AD 的距离是52，M 到直线AB 的距离是72，C 1M ＝A 1O =3√22，所以AC 1=√(52)2+(72)2+(322)2=√23． 故选：D ．5．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F （c ，0）作其渐近线的垂线，垂足为点T ，交双曲线C 的左支于点P ，若FP →=2FT →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．√5C ．3D ．5解：将P 点与双曲线的左焦点F 1（﹣c ，0）连接，从而得到△FPF 1，如下图所示，因为F （c ，0）到其一条渐近线：y =ba x 的距离：|FT|=|bc a |√1+ba2=b ，因为FP →=2FT →，所以点T 为PF 中点，且|FP →|=2|FT →|=2b ， |OT|=√|OF|2−|FT|2=√c 2−b 2=a ，又因为原点O 为FF 1的中点，所以OT 为△FPF 1的中位线，所以|PF 1|＝2|OT |＝2a ， 由双曲线的定义得：|PF |﹣|PF 1|＝2b ﹣2a ＝2a ，化简得b ＝2a ，因为双曲线的离心率e =c a =√c 2a 2=√1+b2a2，所以得e =√5，故B 项正确．故选：B ．6．已知A （m ，0），B （m +3，0）（m ＞0），点P 是直线l 1：ax +y ＝0和l 2：x ﹣ay +2＝0（a ∈R ）的交点，若存在点P 使|PB |＝2|P A |，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2，3）B ．[2，3]C ．[1，3）D ．[1，3]解：因为直线l 1：ax +y ＝0过定点（0，0），直线l 2：x ﹣ay +2＝0过定点（﹣2，0），且l 1⊥l 2， 所以直线l 1与l 2的交点P 的轨迹是以（0，0），（﹣2，0）为直径端点的圆，除去（0，0）， 所以点P 的轨迹方程为：（x +1）2+y 2＝1（x ≠0），设其圆心为G （﹣1，0），半径r ＝1，若点P 满足|PB |＝2|P A |， 设P （x ，y ），可得√(x −m −3)2+y 2=2√(x −m)2+y 2， 化简整理得[x ﹣（m ﹣1）]2+y 2＝4， 设其圆心为H （m ﹣1，0），半径R ＝2， 由题存在点P 满足|PB |＝2|P A |， 即圆G 与圆H有 公共点即可，由于点P 的轨迹为圆G 除去（0，0）点，所以得R ﹣r ≤|GH |＜r +R ， 即1≤m ﹣1﹣（﹣1）＜3， 所以1≤m ＜3． 故选：C ．7．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，点E 是棱CC 1的中点，点O 是AC 与BD 的交点，如果OE →=(−1，2，2)，那么三棱锥O ﹣A 1B 1E 的体积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，∴O （a2，b2，0），E （0，b ，c2），∴OE →=（﹣1，2，2），∴a ＝2，b ＝4，c ＝4，∴DA ＝2，DC ＝4，DD 1＝4， 取BC 中点M ，连接OM ，B 1M ，如图， ∵点O 是AC 与BD 的交点，∴O 是AC 中点， ∵M 是BC 中点，∴OM ∥AB ，∵A 1B 1∥AB ，∴OM ∥A 1B 1，∵OM ⊄平面A 1B 1E ，A 1B 1⊂平面A 1B 1E ， ∴OM ∥平面A 1B 1E ，∴V O−A 1B 1E =V M−A 1B 1E =V A 1−MB 1E ， 在矩形BCC 1B 1中，BC ＝2，CC 1＝4，如图，∴B 1M =√17，B 1E ＝2√2，ME =12BC 1=√5，∴cos ∠B 1EM =B 1E 2+EM 2−B 1M 22×B 1E×EM =8+5−172×2√2×√5=−√1010， ∴sin ∠B 1EM =√1−(−1010)2=3√1010， ∴S △MB 1E =12×EM ×B 1E ×sin∠B 1EM =12×√5×2√2×3√1010=3， ∴V A 1−MB 1E =13×3×4=4， ∴三棱锥O ﹣A 1B 1E 的体积为4． 故选：B ．8．瑞士数学家欧拉（Euler ）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．已知△ABC 的顶点C(0，14)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线被椭圆E ：x 22+y 2=1截得的弦长的最大值为（ ） A ．√794B ．√232C ．√302D ．√1224解：因为AC ＝BC ，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点C ， 当斜率不存在时，x ＝0被椭圆E ：x 22+y 2=1截得的弦长为2；当斜率存在时，设方程为y =kx +14，直线与椭圆的交点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 与椭圆方程联立可得(1+2k 2)x 2+kx −158=0，则Δ=16k 2+152＞0，x 1+x 2=−k 1+2k 2，x 1x 2=−158(1+2k 2)， |MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−k 1+2k2)2+4×158(1+2k 2)=√16k 4+4722+1521+2k2， 令t ＝1+2k 2，则k 2=t−12，且t ≥1； |MN|=√4+154t −14t 2=√−14(1t −152)2+28916， 因为t ≥1，所以0＜1t≤1，所以当1t=1时，即k ＝0，|MN 取到最大值，最大值为√302． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知向量e →1=(t ，2t ，2)，e →2=(2t −2，−t ，−1)，则下列结论正确的是（ ） A ．若e →1⊥e →2，则t ＝﹣1 B ．若e →1∥e →2，则t =45 C ．|e →1|的最大值2D ．|e →1|的最小值√2解：e →1=(t ，2t ，2)，e →2=(2t −2，−t ，−1)， 对于A ，e →1⊥e →2，则e 1→⋅e 2→=t （2t ﹣2）﹣2t 2﹣2＝0，解得t ＝﹣1，故A 正确； 对于B ，显然，t ＝0不符合题意，e →1∥e →2， 则2t−2t=−t 2t=−12，解得t =45，故B 正确；对于CD ，|e 1→|=√t 2+(2t)2+4=√5t 2+4≥2， 当t ＝0时，|e 1→|的最小值小组为，故CD 错误． 故选：AB ．10．已知直线l ：ax +by ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝1，则下列结论正确的有（ ） A ．若b ＝a +1，则直线l 恒过定点（﹣2，2） B ．若a 2+b 2＝4，则直线l 与圆C 相切 C ．若圆C 关于直线l 对称，则a 2+b 2＝2D ．若直线l 与圆C 相交于两点，则a 2+b 2＞4解：对于A ，若b ＝a +1，代入直线l 方程可得ax +（a +1）y ﹣2＝0，即a （x +y ）+（y ﹣2）＝0， 令{x +y =0y −2=0，解得{x =−2y =2，所以直线l 恒过定点（﹣2，2），故A 正确； 对于B ，圆 C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝1， 则圆心C （a ，b ），半径为r ＝1， 所以圆心C 到直线l 的距离为d =22√a 2+b，当a 2+b 2＝4 时，可得d =|4−2|√4=1=r ， 所以直线l 与圆C 相切，故B 正确；对于C ，若圆C 关于直线l 对称，可得直线l 经过圆心C （a ，b ），将圆心C （a ，b ）代入直线l 的方程，化简整理可得，a 2+b 2﹣2＝0，即a 2+b 2＝2，故C 正确； 对于D ，直线l 与圆C 相交于两点， 则d =|a 2+b 2−2|√a 2+b 1，解得1＜a 2+b 2＜4，故D 错误．故选：ABC ． 11．已知曲线C 的方程为x 2m+5+y 2m+1=1，则下列说法正确的是（ ）A ．∀m ∈R ，曲线C 都不表示圆B ．∃m ∈R ，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆C ．∀m ∈R ，曲线C 都不表示焦点在y 轴上的双曲线D ．当m ∈（﹣5，﹣1）时，曲线C 的焦距为定值解：对A 选项，∵m +5≠m +1，∴∀m ∈R ，曲线C 都不表示圆，∴A 选项正确； 对B 选项，∵m +5＞m +1，∴曲线C 不能表示焦点在y 轴上的椭圆，∴B 选项错误； 对C 选项，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线， 则{m +1＞0m +5＜0，∴m ∈∅，∴∀m ∈R ，曲线C 都不表示焦点在y 轴上的双曲线，∴C 正确； 对D 选项，当m ∈（﹣5，﹣1）时，m +5＞0，m +1＜0，∴曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，∴c 2＝m +5﹣（m +1）＝4，∴曲线C 的焦距为2c ＝4，∴D 选项正确． 故选：ACD ．12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，P 是BC 1与B 1C 的交点，Q 为线段A 1N 上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（ ）A ．Q 为线段A 1N 的中点时，CQ →=34AB →−14AC →+AA 1→B ．存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1CMC ．PQ 与平面BCC 1B 1所成的角可能为45°D ．BC 1与A 1M 所成角的正弦值为√105解：对于A ，CQ →=CC 1→+C 1Q →=A 1Q →−A 1C 1→+AA 1→=12A 1N →−A 1C 1→+AA 1→=12[12(A 1C 1→+A 1B 1→)]−A 1C 1→+AA 1→]=14A 1B 1→−34A 1C 1→+AA 1→=14AB →−34AC →+AA 1→，故A 错误； 对于B ，以A 为原点，以AC ，AB ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则A 1（0，0，2），C （2，0，0），B （0，2，0），M （0，1，0），N （1，1，2），P （1，1，1），所以A 1N →=(1，1，0)，A 1P →=(1，1，−1)，CM →=(−2，1，0)，CA 1→=(−2，0，2)， 设平面A 1CM 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅CA 1→=−2x +2z =0n →⋅CM →=−2x +y =0， 令y ＝2，可得n →=(1，2，1)，设A 1Q →=mA 1N →=(m ，m ，0)，(0≤m ≤1)， 则PQ →=A 1Q →−A 1P →=(m −1，m −1，1)， 所以PQ →⋅n →=m −1+2(m −1)+1=3m −2， 当PQ →⊥n →时，可得PQ ∥平面A l CM ， 所以3m ﹣2＝0，即m =23，所以在线段A 1N 上存在点Q ，且A 1Q =23A 1N ，故B 正确；对于C ，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，N 为B 1C 1的中点，所以A 1N ⊥B 1C 1， 又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1N ⊂平面A 1B 1C 1， 可得B 1B ⊥A 1N ，而B 1B ∩B 1C 1＝B 1，所以A 1N ⊥平面BCC 1B 1，PQ 与平面BCC 1B 1所成的角即为∠QPN ，由题可得当Q 运动到点A 1时，∠QPN 取得最大，且tan ∠QPN =√2＞1=tan45°， 所以PQ 与平面BCC 1B 1所成的角可能为45°，此时PN ＝QN ，故正确；对于D ：B （0，2，0），C 1（2，0，2），BC 1→=（2，﹣2，2），A 1M →=（0，1，﹣2）， |cos ＜BC 1→，A 1M →＞|=|BC 1→⋅A 1M →||BC 1→||A 1M →|=2√3⋅√5=√155，所以BC 1与A 1M 所成角的正弦值为√1−35=√105，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为60°，则直线l 与平面α所成的角为 30° ． 解：∵直线l 与平面α所成角与其方向向量与平面α的法向量的夹角互余， ∴直线l 与平面α所成的角为90°﹣60°＝30°．故答案为：30°．14．直线l 与l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x +y +3＝0之间的距离相等，则直线l 的方程是 x +y +1＝0 ． 解：l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x +y +3＝0平行，∵直线l 与l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x +y +3＝0之间的距离相等， ∴直线l 与l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x +y +3＝0也平行， 设直线l 的方程为x +y +c ＝0（c ≠﹣1，c ≠3）， 则由平行线间的距离公式得√2=√2，解得c ＝1，∴直线l 的方程是x +y +1＝0． 故答案为：x +y +1＝0． 15．与双曲线x 216−y 24=1有公共渐近线，且过点(2√2，2)的双曲线的标准方程为y 22−x 28=1 ．解：设所求的双曲线方程为x 216−y 24=λ(λ≠0)，因为双曲线过点(2√2，2)，所以(2√2)216−224=λ，解得λ=−12，所以x 216−y 24=−12，化为标准方程x 216×(−12)−y 24×(−12)=1，即y 22−x 28=1．故答案为：y 22−x 28=1．16．已知椭圆x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点（长轴端点除外），∠F 1PF 2的角平分线PT 交椭圆长轴于点T （t ，0），则t 的取值范围是 (−12，12) ． 解：已知椭圆的方程为x 24+y 23=1，即a ＝2，b =√3，c ＝1， 则F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 由内角平分线定理可得：|PF 1||PF 2|=|F 1T||F 2T|，则4−|PF 2||PF 2|=t+11−t，又|PF 2|∈（1，3）， 则t+11−t∈(13，3)，则t ∈(−12，12)． 故答案为：(−12，12)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知圆C 经过点（0，1），（0，3），（2，1）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 根据题中条件知，{1+E +F =09+3E +F =05+2D +E +F =0，解得{D =−2E =−4F =3， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0， 即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2； （2）因为直线l 经过原点，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0， 则圆心C （1，2）到直线l 的距离d =|k−2|√k +1，又被圆C 截得的弦长为2，圆C 的半径为√2， 则12+d 2＝2，故d ＝1， 即d =|k−2|√k +1=1，解得k =34，则方程为3x ﹣4y ＝0， 又当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0， 圆心C （1，2）到直线l 的距离为1，符合题意， 故所求直线l 的方程为3x ﹣4y ＝0或者x ＝0．18．（12分）已知直线l 1：ax ﹣2y ﹣2a +4＝0，直线l 2：a 2x +4y −4a 2−8=0． （1）若直线l 1在两坐标轴上的截距相等，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求直线l 2的方程．解：（1）由题意，可知a ≠0，直线l 1在x 轴的截距为2a−4a，在y 轴的截距为4−2a 2，则2a−4a=4−2a 2，解得a ＝±2；（2）若l 1∥l 2，则4a ＝﹣2a 2且﹣2×（﹣4a 2﹣8）≠4×4，解得a ＝﹣2， 因此，直线l 2的方程为x +y ﹣6＝0．19．（12分）如图，在几何体P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 的中点，且PD ＝AD ，F 为线段BC 上的动点． （1）证明：平面DEF ⊥平面PBC ；（2）若平面DEF 与平面P AB 所成的角为30°，求BF FC的值．证明：（1）因为PD ＝AD ＝CD ，E 为PC 的中点，则DE ⊥PC ，又PD ⊥平面ABCD ，PD ⊥BC ，BC ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ， 则BC ⊥平面PCD ，又DE ⊂平面PCD ，则DE ⊥BC ， 又PC ∩BC ＝C ，则DE ⊥平面PBC ， 又DE ⊂平面DEF ，故平面DEF ⊥平面PBC ；（2）以D 为原点，分别以DA 、DC 、DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设PD ＝AD ＝2，则P （0，0，2），E （0，1，1），D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0）， 设F （m ，2，0），PA →=(2，0，−2)，PB →=(2，2，−2)设ℎ1→=(x ，y ，1) 为平面P AB 的法向量，则{2x +2y −2=02x −2=0，解得x ＝1，y ＝0，则n 1→=(1，0，1)， DE →=(0，1，1)，DF →=(m ，2，0)， 设n 2→=(x ，y ，1) 为平面DEF 的法向量， 则{mx +2y =0y +1=0，解得x =2m ，y ＝﹣1， 故n 2→=(2m ，−1，1)，故|cos ＜n 1→，n 2→＞|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=2m +1√2⋅√4m 2+2=√32，化简整理可得，1m 2−2m+1=0，解得m ＝1，故若平面DEF 与平面P AB 所成的角为30°，BF FC=1．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线斜率为±12，且经过点(2√2，1)，直线l与圆x 2+y 2=r 2(√2≤r ≤√3)相切于点P ． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 相切于点Q ，求|PQ |的取值范围． 解：（1）因为双曲线C 的渐近线斜率为±12，所以b a=12，①因为双曲线C 经过点(2√2，1)， 所以(2√2)2a 2−12b 2=1，②联立①②，解得a ＝2，b ＝1， 则双曲线C 的方程为x 24−y 2=1；（2）易知直线l 的斜率存在， 不妨设l 的方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m x 2+y 2=r 2，消去y 并整理得（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣r 2＝0， 此时Δ＝4k 2m 2﹣4（1+k 2）（m 2﹣r 2）＝0， 即m 2＝（1+k 2）r 2，③易知方程（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣r 2＝0的解为x 1=−km 1+k2，此时点P 的横坐标为x P =−km 1+k2，联立{y =kx +m x 24−y 2=1，消去y 并整理得（4k 2﹣1）x 2+8kmx +4m 2+4＝0， 此时Δ＝64k 2m 2﹣4（4k 2﹣1）（4m 2+4）＝0， 整理得4k 2＝m 2+1，④易知方程（4k 2﹣1）x 2+8kmx +4m 2+4＝0的解为x 2=−4km 4k 2−1，此时点Q 的横坐标为x Q =−4km 4k 2−1，则|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2|−km 1+k2+4km 4k 2−1|=5|km||4k −1|√1+k，⑤联立③④⑤，可得|PQ |=√(r 2+1)(4−r 2)r 2=√3+4r2−r 2， 易知函数y =3+4r2−r 2在r ＞0上单调递减， 又√2≤r ≤√3，则2√33≤|PQ|≤√3，故|PQ |的取值范围为[2√33，√3]．21．（12分）如图，在四面体A ﹣BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝1．M 是AD 的中点，E 是BM 的中点，点F 满足AF →=3FC →． （1）证明：EF ∥平面BCD ；（2）若BD 与平面BCM 所成的角大小为30°，求CD 的长度．解：（1）证明：取MD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为M 是AD 的中点，O 是MD 的中点，所以AO ＝3OD ， 又因为AF ＝3FC ，所以OF ∥CD ， CD ⊂平面BCD ，OF ⊄平面BCD ， 所以OF ∥平面BCD ，因为O ，E 分别为MD ，BM 的中点， 所以OE 是△BDM 的中位线，所以OE ∥BD ， BD ⊂平面BCD ，OE ⊄平面BCD ， 所以OE ∥平面BCD ， 又因为OE ∩OF ＝O ， 所以平面EFO ∥平面BCD ， EF ⊂平面EFO 所以EF ∥平面BCD ；（2）因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， 所以BC ⊥AD ，又因为BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ， 所以BC ⊥平面ACD ， AD ⊂平面ACD ， 所以BC ⊥AD ，以C 为原点，CD →，CB →所在的直线为x 轴、y 轴，过C 平行于AD 的直线为z 轴（方向与DA →一致）建立空间直角坐标系，如图所示：设CD ＝a ，BC ＝b ，则C （0，0，0），D （a ，0，0），B （0，b ，0），A （a ，0，2），M （a ，0，1）， 所以CM →=（a ，0，1），CB →=（0，b ，0），BD →=（a ，﹣b ，0）， 设n →=（x ，y ，1）为平面BCM 的法向量，则{ax +1=0by =0，得n →=（−1a ，0，1），又因为BD 与平面BCM 所成的角为30°， 所以sin30°＝|cos ＜BD →，n →＞|=1√a 2+b ⋅√1a 2+1=12，又因为a 2+b 2＝BD 2＝1， 所以√1a 2+1=2，a =√33，故当BD 与平面BCM 所成的角大小为30°时，CD =√33．22．（12分）已知椭圆C 1：x 28+y 24=1与椭圆C 2有相同的离心率，椭圆C 2焦点在y 轴上且经过点(1，√2)． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设A 为椭圆C 1的上顶点，经过原点的直线l 交椭圆C 2于P 、Q ，直线AP 、AQ 与椭圆C 1的另一个交点分别为点M 和N ，若△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1和S 2，求S 1S 2取值范围．解：（1）易知椭圆C 1：x 28+y 24=1的离心率e 1=√8−422=√22，因为椭圆C 1：x 28+y 24=1与椭圆C 2有相同的离心率，所以e 2=√22，①不妨设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 2过点(1，√2)，所以(√2)2a 2+12b2=1，②又a 2＝b 2+c 2，③联立①②③，解得a ＝2，b =√2， 则椭圆C 2的标准方程为y 24+x 22=1；（2）由（1）知A （0，2），不妨设点P （x 0，y 0）在第一象限和x 轴正半轴上， 可得Q （﹣x 0，﹣y 0）， 因为点在椭圆C 2上， 所以y 024+x 022=1，第21页（共21页） 此时k AP •k AQ =2−y 0−x 0⋅2+y 0x 0=4−y 02−x 02=4−y 02−4−y 022=−2， 易知直线AP 、AQ 的斜率存在且不为0， 不妨设直线AP 的斜率为k 1，直线AQ 的斜率为k 2， 此时k 1•k 2＝﹣2，不妨设直线AP 的方程为y ＝k 1x +2，联立{y =k 1x +2x 28+y 24=1，消去y 并整理得(1+2k 12)x 2+8k 1x =0， 此时x M =−8k 11+2k 12，同理得x N =−8k 21+2k 22， 联立{y =k 1x +2y 24+x 22=1，消去y 并整理得(2+k 12)x 2+4k 1x =0， 此时x P =−4k 12+k 12，同理得x Q =−4k 22+k 22， 所以S 1S 2=|AM||AN||AP||AQ|=|6k 1k 2|(1+2k 12)(1+2k 22)×(2+k 12)(2+k 22)|16k 1k 2| =4(4+2k 12+2k 22+4)2k 12+2k 22+17=32+8(k 12+k 22)17+2(k 12+k 22)=4−3617+2(k 12+k 22)， 易知k 12+k 22=k 12+4k 12≥4，故S 1S 2的取值范围为[6425，4)．。

浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

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浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若椭圆221369x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M 到另外一个焦点的距离（ ） A. 6B. 7C. 8D. 9 2. 已知向量(3,2,1)a →=−，(2,,4)b x →=，且a b →→⊥，则实数x 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 若直线l的一个方向向量(1,n →=，则l 的倾斜角为（ ）A.30B.60 C.120 D.150 4. 已知圆221:1C x y +=与圆222:3416C x y +++=（）（），则两圆的公切线条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线43120x y +−=与两坐标轴交点为,A B ，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）A. 22340x y x y +−−=B. 22430x y x y +−−=C. 22340x y x y +++=D. 22430x y x y +++= 6. 正方体1111ABCD A B C D −中，二面角111A B D A −−的余弦值为（ ）A. 2B.C.2D.3 的7. 已知点F 为椭圆C :2212516x y +=的右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(3)1M x y ++=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ） A. 12 B. 29 C. 23 D. 838. 如图，一束平行光线与地平面的夹角为60，一直径为24cm 的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）A. 3B. 2C. 2D. 12二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 直线l 经过点(2,3)−，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（ ）A. 320x y +=B. 230x y +=C. 50x y −−=D. 10x y ++= 10. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A −−，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（ ）A. AB =B. 向量OA 与OB的夹角的余弦值为6C. 点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)−−−D. 向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −u u u r 11. 如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形，2AB =，SD ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别为SC 、AB 的中点，若线段SD 上存在点G ，使得GE GF ⊥，则线段SD 的长度可能值为（ ）A. 3B. 4C 5 D. 6.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C的离心率为3，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ）A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y += C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB面积的最大值为2非选择题部分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知椭圆2215x y k+=的一个焦点是(20)，，则k 的值为___ 14. 已知实数,x y 满足240x y −+=的最小值为___.15. 已知点,A B 分别为圆22:(4)(1)1M x y ++−=与圆22:(2)(7)4N x y −+−=上动点，点P 为x 轴上的动点，则PA PB +的最小值为___.16. 已知正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E F ，分别为111AA A D ，的中点，点P 在正方体表面上运动，若直线1D P //平面BEF ，则点P 的轨迹长度为___.的的四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线10x y −−=和直线220x y ++=交点为P（1）求过点P 且与直线210x y −+=平行的直线方程；（2）若点P 到直线0l mx y m ++=：，求m 的值.18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -，12AC BC CC ===，ACBC ⊥，点M 是线段AB 的中点. （1）证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A .（2）求异面直线CA 与1B M 所成角的余弦值；的19. 已知圆C ：()()22344x y −+−=.（1）若直线l 过定点()1,0A 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线:230l kx y k −−+=与圆C 交于,A B 两点，求AB 的最小值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q .21. 已知空间几何体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，//EF AB ，AE DE =，2AB =，1EF =，平面ADE ⊥平面ABCD ，13BM BF =u u u u r u u u r ，12AN AD =. （1）求证：EN BC ⊥；（2）若直线AE 与平面ABCD 所成角为60，求直线AM 与平面BCF 所成角的正弦值.22. 已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点. （1）若12m =−，求AB ； （2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含解析

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春晖2023-2024学年第一学期高二数学期中试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线:1l y x =+，则该直线的倾斜角是（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π4【答案】A 【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】设该直线倾斜角为[)()0,παα∈，由题意可知πtan 1tan 4α==，故π4α=.故选：A2.圆221:(2)(1)9C x y -++=与圆222:(2)(2)8C x y ++-=的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切D.外离【答案】B 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.【详解】圆221:(2)(1)9C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径13r =，圆222:(2)(2)8C x y ++-=的圆心2(2,2)C -，半径2r =所以125C C ==，121233r r r r +=+-=-1233C C -<<+，故两圆相交.故选：B.3.过(1,1),(2,1)-两点的直线方程为（）A.210x y --=B.230x y -+=C.230x y +-=D.230x y +-=【答案】C 【解析】【分析】根据两点式方程直接求解即可.【详解】解：∵直线过两点(1,1)和(2,1)-，∴直线的两点式方程为(1)1(1)y ----＝212x --，整理得230x y +-=.故选：C.4.平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（）A.B.2C.5D.10【答案】C 【解析】【分析】由点到平面距离的向量法计算．【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,10n PA n PA n PA⋅<>==-所以点()1,2,3P 到平面α的距离为31065cos ,105d PA n PA =<>==．故选：C ．5.“221a b +>”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.【详解】直线20ax by ++=与圆221x y +=相交2214d a b ⇔=⇔+><，显然，221a b +>推不出224a b +>，而224a b +>可推出221a b +>，故是必要不充分条件.故选：B.6.已知双曲线C 的焦点与椭圆E ：221167y x +=的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，则C 的方程为（）A.22197x y -= B.221916y x -=C.22197y x -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】设双曲线方程为22221y x a b-=，由题意算出22,a b 即可.【详解】椭圆E ：221167y x +=，上、下顶点分别为()0,4，()0,4-，上、下焦点分别为()0,3，()0,3-.因为双曲线C 的焦点与E 的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，设双曲线方程为22221y x a b -=，则有3a =，4c =，2227b c a =-=，所以双曲线C 的方程为22197y x -=.故选：C7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A. B.2+ C.4+ D.4【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得,a c ，结合双曲线的定义求得12PF PF +，由此求得12PF F △的周长.【详解】由题意可得1b =，c =，即有1233e a ==，可得a =2c =，P 为双曲线右支上一点，可得122PF PF a -==，又()()22121212PF PF PF PF PF PF -=-+=⋅可得12PF PF +=则12PF F △的周长为24c +=+故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若1ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.63B.66 C.2D.33【答案】D 【解析】【分析】根据1ABF 是正三角形，此时AB x ⊥轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由22b AF a=，求得a ，b 间的关系，从而求得离心率.【详解】因为1ABF 是正三角形，所以11BF AF AB ==，AB x ⊥轴.设2AF x =，则112BF AF a x ==-，222AB AF x ==，故22a x x -=，解得23ax =，从而2223a BF AF ==.将x c =代入椭圆方程可得22bAF a =，因此223a b a =，得2223b a =，故椭圆的离心率3c e a ===，故选：D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线()1110l x a y +-+=：，直线2220l ax y ++=：，则下列结论正确的是（）A.1l 在x 轴上的截距为1-B.2l 过定点()0,1-C.若12l l //，则1a =-或2a =D.若12l l ⊥，则23a =【答案】ABD【解析】【分析】根据直线截距的定义可判定A ，由直线方程可求定点判定B ，利用两直线的位置关系可判定C 、D .【详解】由()1110l x a y +-+=：易知01y x =⇒=-，故A 正确；由22200,1l ax y x y ++=⇒==-：，故B 正确；若两直线平行，则有()121a a ⨯=-且121a ⨯≠⨯，解得1a =-，故C 错误；若两直线垂直，则有()212103a a a ⨯+⨯-=⇒=，故D 正确.故选：ABD10.关于曲线C ：222220x y mx y m +-++=，下列说法正确的是（）A.若曲线C 表示圆，则1m ≠B.若1m =，曲线C 表示两条直线C.若2m =，过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条D.若3m =，则直线0x y +=被曲线C截得弦长等于【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆的一般方程的特点，结合圆的性质和圆的弦长公式逐一判断即可.【详解】A ：222222220()(1)(1)x y mx y m x m y m +-++=⇒-++=-，所以当曲线C 表示圆时，有101m m -≠⇒≠，所以本选项说法正确；B ：当1m =时，由A 可知：22(1)(1)01x y x -++=⇒=且1y =-，所以当1m =时，曲线C 表示点(1,1)-，因此本选项说法不正确；C ：当2m =时，由A 可知：22(2)(1)1x y -++=，因为22(12)(11)1-++>，所以点()1,1在圆22(2)(1)1x y -++=外面，所以过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条，因此本选项说法正确；D ：当3m =时，由A 可知：22(3)(1)4x y -++=，圆心(3,1)-到直线0x y +=距离为：=所以弦长为：=，因此本选项说法正确，故选：ACD11.设椭圆C :2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A.离心率2e =B.12PF PF +=C.12PF F △面积的最大值为1D.直线0x y +=与以线段12F F 为直径的圆相切【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为2e ==，故A 错误；由椭圆定义可知12PF PF +=，故B 正确；当P 在上下顶点时12PF F △1=，故C 正确；以12F F 为直径的圆的圆心为原点，半径为1r ==，而圆心到直线0x y +=的距离1d r ===，即与直线相切，故D 正确.故选：BCD12.矩形ABCD 中，=2AB ，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列结论正确的有（）A.四面体ABCD 的体积为3B.点B 与D 之间的距离为C.异面直线AC 与BD 所成角为45°D.直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为3【答案】ACD【解析】【分析】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出BD =，可判断B ，由题可得CD ⊥平面ABD ，然后利用棱锥的体积公式可得3V =可判断A ，利用向量法求出,AC BD判断C ，根据等积法结合条件可得直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值判断D.【详解】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=，由已知可得，1,2EB FD AE CF EF =====，因为BD BE EF FD =++ ，所以222||()BD BD BE EF FD ==++2222BE EF FD BE FD=+++⋅343)8θ=+++-=，所以BD =，故B 错误；因为2AB CD ==，AD BC ==所以22212CD BD BC +==，即CD BD ⊥，同理AB BD ⊥，又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABD ，则CD ⊥平面ABD ，所以四面体ABCD 的体积为111223323ABD V S CD =⨯=⨯⨯⨯= ，故A 正确；由题可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()AC BD AC AC AD AB AD A AC B⋅=⋅-=⋅-⋅442cos 608=⨯-⨯︒=︒，则cos2,AC BDAC BDAC BD⋅==⋅，得,45AC BD=︒，所以异面直线AC与BD所成的角为45︒，故C正确；设点D到平面ABC为d，则D ABC C ABDV V--=，所以11123323ABCS d d⋅=⨯⨯⨯=，所以3d=，设直线AD与平面ABC所成角为α，则263sin3dADα===，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1F，2F是椭圆C：22194x y+=的两个焦点，点M在C上，则12MF MF⋅的最大值为________．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF+=，结合基本不等式即可求得12MF MF⋅的最大值.【详解】∵M在椭圆C上∴12236MF MF+=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF+=≥129MF MF⋅≤，当且仅当123MF MF==时取等号.故答案为：9.14.在平面直角坐标系内，点()1,1A-关于直线:10l x y-+=对称的点B的坐标为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】设对称点B为(),m n，根据直线AB l⊥，又AB中点在直线l上，列方程求解,m n，即可得点B的坐标.【详解】解：设对称点B 为(),m n ，则可得AB l ⊥，又直线:10l x y -+=的斜率为1所以1111AB l m k k n +⋅=⨯=--，即0m n +=①又AB 中点11,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，所以111022m n +--+=，即40m n -+=②联立①②解得：2,2m n =-=，所以点B 的坐标为()2,2-.故答案为：()2,2-.15.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：516.若对于一个实常数t ，恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++==，则t =______.【答案】1【解析】【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可.【详解】由10a b t ++==≥，若0=t ，则需0a b ==与1a b t ++=矛盾，所以0t >，由1a b t ++=，得点(),a b 到直线10x y ++=的距离为=t =，得点(),a b 在圆222x y t +=上，根据题意恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++=，等价于圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，圆心()0,0到直线10x y ++=的距离为22=，则需圆的半径2t >，过()0,0作OH ⊥直线10x y ++=于H ，交圆于P ，则,22OH PA t ==-，则要使圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，有)1112PA t t t =-=⇒=⇒=+故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥.（1）求直线1l 和直线2l 的交点坐标；（2）已知不过原点的直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.【答案】（1）()2,1（2）250x y +-=【解析】【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式先求得2l ，联立方程计算交点即可；（2）利用截距式计算即可.【小问1详解】设直线1l 和直线2l 的斜率分别为12,k k ，由题意知112k =-，∵12l l ⊥，∴22k =．又因为直线2l 在x 轴上的截距为32，所以直线2l 过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线2l 的方程为322y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2l :230x y --=.联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，即交点为()2,1.【小问2详解】因直线3l 不过原点，设其在x 轴上的截距为a ，方程为12x y a a+=，因为过()2,1，所以2112a a +=，解得52a =，所以直线3l 的方程250x y +-=.18.已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r .（1）若a kb +r r 与2a b + 共线，求实数k 的值；（2）若a kb +r r 与2a b + 所成角是锐角，求实数k 的范围．【答案】（1）12k =（2）{1k k >-且12k ≠}．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可；（2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可.【小问1详解】由已知可得(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．因为a kb +r r 与2a b + 共线，所以112122k k -==，解得12k =．【小问2详解】由(1)知(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．所以()(2)(1,1,2)(1,2,2)1240a kb a b k k k k +⋅+=-⋅=-++> ，∴1k >-．又当12k =时，a kb +r r 与2a b + 共线，所以实数k 的范围为{1k k >-且12k ≠}．19.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）222220x y x y +++-=；（2）1x =或512190x y -+=.【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PA =，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),P x y ，由||||PA PO ==，化简得222220x y x y +++-=，所以P 点的轨迹C 的方程为222220x y x y +++-=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C ：22(1)(1)4x y +++=表示圆心为(1,1)C --，半径为2的圆，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，圆心(1,1)C --到直线l 的距离为2，l 与C 相切；当直线l 的斜率存在时，设():21l y k x -=-，即20kx y k -+-=，2=，解得512k =，因此直线l 的方程为51901212x y -+=，即512190x y -+=，所以直线l 的方程为1x =或512190x y -+=.20.如下图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，又2PA =.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）设22AD AB ==，AB AD ⊥，//AD BC ，平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为255，求BC 的长．【答案】（1）2（2）14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质判定线面垂直即证PA ⊥平面ABCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【小问1详解】如图，在平面ABCD 中取一点E ，并过点E 分别作直线a AD ⊥，b AB ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，a ⊂平面ABCD ，所以a ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA a ⊥．同理因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，b ⊂平面ABCD ，所以b ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA b ⊥，又a b E = ，,a b ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，即点P 到平面ABCD 的距离为2PA =.【小问2详解】如图所示，以A 点为原点，分别以,,AD AB AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设()0BC t t =>，则()()()()0,1,0,2,0,0,0,0,2,,1,0B D P C t ，∴()0,1,2PB =- ，()2,0,2PD =- ，()2,1,0DC t =- ，(),0,0BC t = ．设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则200m PB y z m BC tx ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令10,2z x y =⇒==，得()0,2,1m = ．同理，设平面PCD 的法向量为(),,n p q r = ，有()22020n PD p r n DC t p q ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12,1p q t r =⇒=-=，即()1,2,1n t =- ．由题意知5m n m n ⋅==⋅ ，解得14t =，所以BC 的长为14．21.已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．【答案】22.2211612x y +=23.（i ）34-；（ii）0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；（2）（i ）设出直线，联立后消去x 得与y 有关的韦达定理后求解即可得；（ii ）借助（i ）中的结论，将2F PQ △面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.【小问1详解】由于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，又112A F a c =-=，所以4a =，2c =，22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.【小问2详解】（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆Ｃ于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x my t =+，联立2211612x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(34)63480t y mty m +++-=，则2248(1216)0t m ∆=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，又1(4,0)A -，2(4,0)A ，故122211111222111134444163PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---，同理123434QA QA k k k k ==-．（ii ）因为()142353k k k k +=+，则2323335()443k k k k --=+，23232335()43k k k k k k +-⋅=+．又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k =-．所以121294420y y x x ⋅=---，1212209(4)(4)0y y ty m ty m ++-+-=，于是221212(920)9(4))(9(4)0t y y t m y y m +++-+-=，222226(920)9(4)9(4)03483434m t t m mt t t m -+⋅+-+--+⋅=+，整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为P 、Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同交点，因此1m =-，直线l 恒过点(1,0)D -，此时122634t y y t +=+，1224534y y t -=+，21222222122122133451845()4()42223434346F PQ t t y y y y y F D t t t y -+=⋅-=--++++△S ，245t λ+=，由直线l 交与x 轴不垂直可得5λ>，故222218457272134313F PQ t t λλλλ+===+++△S ，因为7213y λλ=+在5,)+∞上为减函数，所以2F PQ △面积的取值范围为5(0,)2.【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题含解析

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题含解析

上虞2023学年第一学期高二数学期中测试（答案在最后）注意事项：1.考试时间：120分钟；2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合要求）1.若直线l 经过坐标原点和()3,3-，则它的倾斜角是（）A.45-︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．【详解】由题意可知，直线l 的斜率为30130k --==--，设直线l 的倾斜角为θ，则0180θ︒≤<︒，显然90θ≠︒，所以tan 1θ=-，得135θ=︒．故选：C ．2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2c 的值为（）A.9B.11或9- C.11- D.9或11-【答案】B 【解析】【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值.【详解】解： 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为∴=，解得：c=11或c=-9.故选B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.3.方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则实数a 的值为A.0B.1C.1-D.2【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到a 的值，从而可得到不能表示圆时a 的值.【详解】方程22210x y ax y +-++=能表示圆，则22()2410a -+-⨯>，解得20a >，即0a ≠.所以，若方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则0a =.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.4.若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.5.已知R m ∈，则“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m 的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件.6.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(3)2x y -+=上，则ABP 面积的最小值为（）A.6B.C.12D.【答案】A 【解析】【分析】确定A ，B 两点坐标，再根据点到直线距离确定P 到AB 距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详解】(3,0)A -，(0,3)B -，∴AB ==，圆22(3)2x y -+=的圆心到直线30x y ++=的距离d ==∴P 到AB 距离的最小值为，∴ABP 面积的最小值为162⨯=，故选：A.7.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为（）A.12B.2C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，()()111,0,0,0,1,0,,022B C N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，sin PN nPN nθ⋅∴==⋅，当12λ=时，max (sin )5θ=，此时角θ最大．故选：D．8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，P 为AB 的中点，1134|,tan 2F P AB APF =∠=，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2C.2D.【答案】B 【解析】【分析】在1AF P △中，由余弦定理可得1AF 的长度，进而根据边的关系得1AF P △为直角三角形，根据焦点三角形即可得,a c 关系.【详解】设20AB x,x =>则AP BP x ==，所以114|=2F P AB F P x =⇒由于13tan 02APF ∠=>，所以1APF ∠为锐角，故1cos APF ∠=在1AF P △中，由余弦定理得132AF x ==，因此22211AF AP PF +=,故1AF P △为直角三角形，所以152BF x ===，由1AF B △的周长为35242223a x x x x a =++Þ=，所以121322AF x a,AF a AF a,===-=故1222F F c e ==Þ=，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下面四个结论正确的是（）A.向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=B.若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线C.已知向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，若//a b，则2x =-D.任意向量a ，b满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A ，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B ，根据空间向量共线的坐标表示可判断C ，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A ：因为0,0a b ≠≠r r r r，a b ⊥ ，则0a b ⋅=，正确；对于B ：因为1344PC PA PB =+ ，则11334444PC PA PB PC -=-，即3AC CB = ，又AC 与CB有公共点，所以,,A B C 三点共线，正确；对于C ：因为向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，//a b，所以存在R λ∈，使得b a λ=，即()()2,,41,1,x x λ-=，则2114x x λλλ-=⨯⎧⎪=⨯⎨⎪=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩，正确；对于D ：()a b c ⋅⋅ 表示平行于c 的向量，()a b c ⋅⋅表示平行于a 的向量，当a 与c不平行时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅ 一定不成立，错误.故选：ABC10.关于直线l ：0ax y a ++=，以下说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,0-B.若1a =-，直线l 与20x y +-=垂直C.a<0时，直线l 不过第一象限D.0a >时，直线l 过第二，三，四象限【答案】ABD 【解析】【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.【详解】直线l ：0ax y a ++=可变形为：(1)0a x y ++=，由100x y +=⎧⎨=⎩解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,0-，故A 正确；当1a =-，直线l ：10x y -+-=，所以l 与直线20x y +-=的斜率之积为1-，即两直线垂直，故B 正确；对于C 选项，直线l ：0ax y a ++=可变形为：=--y ax a ，当a<0时，0a ->，直线l 经过第一，二，三，象限，故C 错误；对于D 选项，直线l ：=--y ax a ，当0a >时，0a -<，直线l 经过第二，三，四象限，故D 正确；故选：ABD ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -，若动点P 满足124PF PF +=，则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F △面积的最大值为C.对任意的点P ，都有2||3PA PF +> D.有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆为22143x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-，验证C 选项；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =，椭圆方程为22143x y +=，当点P 为椭圆右顶点时，21PF a c =-=，故A 正确；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，为1212F F b ⋅=B正确；2112244PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==因43<，故C 错误；设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF =1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=，联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=，则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ABD12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B.存在点M ，使得1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.H 为线段1AA 的中点，//MH ACE 平面【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，当M 位于1BD 中点时，AD 与1C M 共面；对于选项B 和D 可采用空间向量计算，对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，易证所以四面体EMAC 的体积为定值，由面面平行的判定定理得出平面1//BHD 平面AEC ，进而可得//MH 平面AEC .【详解】解：对于A 选项，连接1AC 交1BD 与O ，当点M 在O 点时，直线AD 与直线1C M 相交，故A 选项不正确；对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故C 选项正确；以D 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B对于B 选项，存在点M ，使得1B M AE ⊥，则()2,0,1AE =-，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+---=--- ，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-= ，得13λ=，故当M 满足12D M MB =时，1B M AE ⊥，故B 选项正确；对于D 选项，连接1,,,,AE CE AC BH D H ，如下图所示：因为H 为AA 1的中点，E 为DD 1的中点，所以1//,//,CE BH D H AE 1,,AE CE E BH D H H ⋂=⋂=所以平面1//BHD 平面AEC ，MH ⊂平面1BHD ，所以//MH 平面AEC ，故D 选项正确；故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1:20l mx y +-=与直线2:21l y x =-平行，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】直线1l 的方程可化为2y mx =-+，因为12//l l ，则2m -=，解得2m =-.故答案为：2-.14.椭圆C ：22214x y m+=的焦距为4，则C 的长轴长为____________【答案】【解析】【分析】设椭圆的长轴长为2a ，由题意有2a >，22242m a ==+，即可得出．【详解】设椭圆的长轴长为2a ，由椭圆22214x y m+=的焦距为4，可得2a >．因此椭圆的焦点只能在y 轴上，可得22242m a ==+，解得a =所以椭圆C的长轴长为2a =.故答案为：15.设A 为圆2220x y x +-=上的动点，PA 是圆的切线且||1PA =，则P 点的轨迹方程是_________【答案】22(1)2x y -+=【解析】【分析】根据切线长可以求得P 点到圆心的距离，代入距离公式即可求得.【详解】由圆2220x y x +-=的方程可知，圆心为(1,0)，半径1r =，PA 是圆的切线且||1PA =，则点P设(,)P x y=，化简得22(1)2x y -+=.故答案为：22(1)2x y -+=16.已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上，则点P 到直线l 的距离d =；类比有：当点()00,P x y 在函数()y f x =图像上时，距离公式变为d =，根据该公式可求33x x ++-+的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依题意可得，33x x+--+=，令y=+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，再结合图象进行求解.【详解】解：依题意可得，33x x+-+，令y=()2210x y y+=≥，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径的半圆，表示该半圆上的点到直线1:30l x y-+=的距离，表示该半圆上的点到直线2:30l x y+-=的距离，+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，如图所示：结合图象，当点P 运动到点(0,1)M 时，此时d 取得取小值，则min 0310312222+--+==d 则223131x x x x +-+-+-的最小值为224=.故答案为：4.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线l 过点P (2，3)，根据下列条件分别求出直线l 的方程:（1）直线l 的倾斜角为120°；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0.【答案】（13x +y -3-23；（2）3x -2y =0或x -y +1=0.【解析】【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况讨论，分别设直线为y kx =，x a +-ya=1(a ≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l 的倾斜角为120°，可得斜率k =tan 120°=3，由直线的点斜式方程可得，y -3=3(x -2)，化简得直线l 3+y 3（2）当直线l 经过原点时，在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l 的方程为y =32x ，即3x -2y =0；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a +ya-=1(a ≠0).因为P (2，3)在直线l 上，所以2a +3a-=1，解得a =1-，则直线l 的方程为x -y +1=0.综上所述，直线l 的方程为3x -2y =0或x -y +1=0.18.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）0x =或3480x y +-=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB 的中点为D ，求出D 的坐标，求出直线CD 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，由圆心的位置分析可得a 的值，进而计算可得r 的值，据此分析可得答案；（2）设F 为MN 的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB K K ⨯=-，得1CD K =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =-+，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；（2）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||1d CF ===，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =，解得34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，11CD CC ==，设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuur r ．（1）用a ，b ，c表示1AC 并求出1AC 的长度；（2）求异面直线1AC 与DA 所成角的余弦值．【答案】（1）1()AC a b c =-++ ，1||AC = ；（2）3．【解析】【分析】（1）根据已知条件所给基底，利用向量的线性运算表示即可；（2）写出向量DA b =，代入公式求夹角即可.【小问1详解】因为11CA CD DA AA a b c =++=++ ，所以1()AC a b c =-++ .1AC ===.【小问2详解】由（1）可知，1()AC a b c =-++ ，DA b =，则1()cos ,()a b c bA C DA a b c b -++⋅<>==-++⋅11111116223-⨯⨯--⨯⨯=-，因为异面直线夹角的范围为(0,2π，故异面直线1AC 与DA所成角的余弦值为3.20.已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，且椭圆C 过点3,12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 上任意一点，求1211PF PF +的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]1,4.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合椭圆的性质得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出1211PF PF +()21424PF =--+，结合椭圆的性质得出1211PF PF +的取值范围．【小问1详解】已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，且c =22223a b c b =+=+①，又椭圆C 过点3,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以221314a b +=②，联立①②解得224,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=；【小问2详解】12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111244424424a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又1a c PF a c -≤≤+，即122PF ≤≤+，当12=PF 时，()2124PF --+最大，为4；当12PF =2+时，()2124PF --+最小，为1，即()2141424PF ≤≤--+，即121114PF PF ≤+≤，所以1211PF PF +的取值范围为[]1,4．21.如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求证:AE ∥平面DCF;(2)当AB 的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?【答案】(1)证明略(2)当AB 为时，二面角A—EF—C 的大小为60°【解析】【详解】方法一（1）过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ，连接DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因为AB=BH·tan∠AHB=×=，所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.方法二如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F（0，4，0）.设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式2c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k x kmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意0∆>，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则2c a =①过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=②把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a =所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==，O 到直线MN的距离d =，所以OMN21214||||214SMN d m k ∆=⋅==⋅+22||||||12m m m m m=⋅=⋅=，即OMN 的面积为定值1（ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得22M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN的面积为122122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形．。

2024-2025学年浙江省“钱塘联盟”高二第一学期期中联考数学科试题(含答案)

2024-2025学年浙江省“钱塘联盟”高二第一学期期中联考数学科试题(含答案)

2024-2025学年浙江省“钱塘联盟”高二第一学期期中联考数学科试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法2.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )A. b，a−b，a+cB. a，a+b，a+cC. a−b，a+b，cD. b，a，a+b3.在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)，则下列叙述中正确的是( ) ①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z) ②点P关于YOZ平面的对称点是P2(−x,y,z) ③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z) ④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③4.已知数据x1，x2，⋯x10，满足：x i−x i−1=2(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )A. 中位数不变B. 平均数不变C. 若x1=1，则数据x1，x2，⋯x10的第80百分位数为15D. 方差变小5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()．A. α//β，l//αB. α与β相交，且交线平行于lC. α⊥β，l⊥βD. α与β相交，且交线垂直于l6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，若直线y=−3(x+1)与椭圆交于点M，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是( )A. 22B. 3−12C. 3−1D. 327.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，圆O1为以AB为直径的△ABC的外接圆，若圆O1的面积为4π，AB=OO1，则球O的表面积为( )A. 80πB. 64πC. 36πD. 32π8.已知直线l1:x+my−3m−1=0与l2:mx−y−3m+1=0相交于点M，线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2 =4的一条动弦，且|AB|=23，则MA⋅MB的最大值为( )A. 16+42B. 30+82C. 5+63D. 205−1二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期中考试数学试题卷（答案在最后）2023年11月考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．4．考试结束，只上交答题卷．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（﹣3，2）D.（3，2）【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．2.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）A.32y x =± B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =±【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程是：32y x=±故选：A3.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，且OA a = ，OB b =，OC c =，则向量OQ 可表示为（）A.111366a b c ++ B.111633a b c ++C.111336a b c ++ D.111663a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案.【详解】由题意M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，连接ON ,得1111()2323OQ OM MQ OA MN ON OM =+=+=+-1111()2326OA OB OC OA =+⨯+-111311()3666OA OB OC a b c =++=++,故选：A4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.33B.23C.36D.13【答案】C【分析】构建基向量AB ，AD ，1AA表示11,AC BC ，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.【详解】如下图，构建基向量AB ，AD ，1AA.则11AC A A AB AD =++ ，111BC AD AD AA ==+所以1A C ====4==1BC ====1111()()AC BC A A AB AD AD AA ⋅=++⋅+ 11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=所以111111cos ,6A C BC A C BC A C BC ⋅<>==⋅.故选：C.5.已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,1)，端点A 在抛物线2y x =上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹为（）A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆【答案】B【分析】设(),M x y ，借助M 为线段AB 的中点及A 在抛物线2y x =上，计算可得M 轨迹方程，即可得解.【详解】设(),M x y ，由M 为线段AB 的中点，故()22,21A x y --，又端点A 在抛物线2y x =上，故有()22122y x -=-，化简得25242y x x =-+，故线段AB 的中点M 的轨迹为抛物线.故选：B .6.已知直线1l ：20kx y -+=与直线2l ：20x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为（）A.1+ B.2+ C. D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，且两直线垂直，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，点P 到直线40x y --=的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和.【详解】由已知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，当0k =时，1l ：2y =，2l ：2x =，交点为()2,2，当0k ≠时，直线1l 的斜率为k ，直线2l 的斜率为1k-，斜率的乘积为1-，所以12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心坐标为()1,1，半径r =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=，不包括点()0,0，点()2,2满足该方程，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，所以点P 到直线40x y --=的距离的最大值为d r +=.故选：C .7.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）A.9B.34C.35D.9【答案】D 【解析】【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222AF F B =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,A x y ，()22,B x y ，过点2F 做倾斜角为6π的直线3k =，直线方程为：()3y x c =-，联立方程()222213x y a b y x c⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得()2222430a b y cy b ++-=根据韦达定理：212223cy y a b+=-+，412223b y y a b =-+因为222AF F B =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-所以()2222212124211222233122223c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=-=-=---+即22212132c a b =+，所以222324a b c +=，联立222222324a b c a b c⎧+=⎨=+⎩，可得22427a c =2423279e e =⇒=故选：D.8.如图，在菱形ABCD中，3AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（）A.平面ABD ⊥平面BCDB.线段PQ 2C.当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 的距离为1414D.当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为64【答案】C 【解析】【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，∵在菱形ABCD 中，33AB =，60BAD ∠=︒，∴2OA OC ==，又22AC =，∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥，又易知,OA BD OC BD ⊥⊥，因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O = ，所以OA ⊥平面BDC ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,,0,033B C A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,13PQ ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，33DP ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为12132173PQ DPd PQ⋅=== ，故C 错误；设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫=+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ =，故B 正确；当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ = ，3,0,23AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设PQ 与AD 所成的角为θ，则26cos 1623PQ ADPQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 所成角的余弦值为64，故D 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是2，D ，E 分别是1111,A C A B 的中点，则（）A.1//A B 平面1CDBB.平面1CDB 与平面111A B C 夹角的余弦值为5C.直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为105D.点1A 到平面1CDB 的距离为5【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；找出等于平面1CDB 与平面111A B C 夹角的角计算余弦值即可可判断B ；作出直线1CB 与平面11AA B B 所成角，解直角三角形求得其正切值，判断C ；利用等体积法求得点1A 到平面1CDB 的距离，判断D.【详解】对A ：连接11,BC B C ，交于点F ，连接DF ，则F 为1BC 的中点，故DF 为11C A B △的中位线，则1//DF A B ，1⊄A B 平面1CDB ，DF ⊂平面1CDB ，故1//A B 平面1CDB ，故A 正确；对B ：由1CC ⊥平面111A B C ，故点C 在平面111A B C 的投影为1C ，又111A B C 为等边三角形，故111A C B D ⊥，故平面1CDB 与平面111A B C 夹角的大小等于1CDC ∠，由12CC =，11C D =，则15cos 5CDC ∠==，故B 正确；对C ：设G 为AB 的中点，连接1,CG B G ，ABC 为正三角形，故CG AB ⊥，因为1BB ⊥平面,ABC CG ⊂平面ABC ，所以1BB CG ⊥，而11,,AB BB B AB BB =⊂ 平面11AA B B ，所以CG ⊥平面11AA B B ，则1CB G ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，而122CG B G=⨯===，故11tan5CGCB GB G∠==，故C错误；对D：111212A DCS=⨯⨯=，故1113133B A DCV-=⨯=，又11DC B C DB====，则22211DC B D B C+=，故1B D DC⊥，所以111522CDBS==，设点1A到平面1CDB的距离为h，则1111A CDB B CDAV V--=，即51153,32325h h⨯=∴=，故D正确.故选：ABD10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()()13120Rm x m y m+-++=∈恒过定点()1,3B.圆224x y+=上有4个点到直线:0l x y-+=的距离都等于1C.圆22120C:x y x++=与圆222480C:x y x y m+--+=恰有一条公切线，则4m=D.已知圆22:1C x y+=，点P为直线20x y+-=上一动点，过点P向圆C引两条切线,PA PB A B､､为切点，则直线AB经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得m 判断C ；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D ．【详解】由()()()13120R m x m y m +-++=∈，得()230x y m x y -++-=，联立2030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，∴直线()()()13120R m x m y m +-++=∈恒过定点(1,3)，故A 正确；圆心(0,0)到直线:0l x y -+=的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:0l x y -+=的距离等于1，故B 错误；两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线22120C :x y x ++=化为标准式22(1)1x y ++=，圆心()11,0C -，半径为1，曲线222480C :x y x y m +--+=化为标准式22(2)(4)200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，半径为，51==，解得16m =-，故C 错误；设点P 的坐标为(,)m n ，则20m n +-=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：1mx ny +=，消去n 得，()210m x y y -+-=，令0x y -=，210y -=，解得12x =，12y =，故直线AB 经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确．故选：AD.11.已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则（）A.直线,PA PB 均与圆O 相切B.若5,4a b ==-，则直线AB 的方程为54160x y --=C.当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D.当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动【答案】ABC【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A 选项的正确性，结合圆与圆相交弦所在直线方程判断B 选项的正确性，通过求动点的轨迹方程来判断CD 选项的正确性.【详解】A 选项，由于OP 是圆M 的直径，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以直线,PA PB 均与圆O 相切，A 选项正确.B 选项，5,4a b ==-，5,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，圆M 的半径为r ，则222541444r OM ==+=，所以圆M 的方程为()22541224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，由()()2241524x y -++=、2216x y +=两式相减并化简得54160x y --=，所以B 选项正确.C 选项，4,PA PB OP ====，OM =M 在圆(2228x y +==上运动，C 选项正确.D 选项，|P|=|P|=3,|B|=32+42=5，所以P 在圆222525x y +==上运动，D 选项错误.故选：ABC12.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右支与直线x =0,y =4,y =-2围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为3，双曲线C 的左右顶点为D ,E ，则（）A.双曲线C 的方程为22139x y -=B.双曲线2213y x -=与双曲线C 有相同的渐近线C.双曲线C 上存在无数个点，使它与D ,E 两点的连线的斜率之积为3D.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得5339,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入双曲线方程可求出,a b ，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断.【详解】由题意可得,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222253316141a b a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭-=⎪⎪⎨⎪⎪⎝⎭⎪-=⎪⎩，即222225161313413a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得223,9a b ==，所以双曲线方程为22139x y -=，所以A 正确；双曲线22139x y -=的渐近线方程为y =，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以B 正确；由题意得(D E ，设()(000,P x y x ≠为双曲线上任意一点，则2200139x y -=，220039y x =-，所以220022003(3)333PD PE y x k k x x -⋅====--，所以双曲线C 上存在无数个点，使它与,D E 两点的连线的斜率之积为3，所以C 正确;由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点，所以D 错误；故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，若12l l //，则m 的值是___________.【答案】8-【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.【详解】因为1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，12l l //，所以当60+=m ，即6m =-时，1:3523l x y -+=，2:28l x =，显然不满足题意；当60+≠m ，即6≠-m 时，3553268m m m +-=≠+，由3526m m +=+解得1m =-或8m =-，当1m =-时，35531268m m m +-===+，舍去；当8m =-时，355532628m m m +-==-≠+，满足题意；综上：8m =-.故答案为：8-.14.如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】【分析】根据题意得AC CD B A BD =-++ ，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++ ，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅- ，则2cos 3θ=.故答案为：2315.如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得,a c 的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，1,2,22AB BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，222222109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：10216.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:2220C x y -+-=与x 轴交于A ､B （点A 在点B 的左侧），圆C 的弦EF 过点()4,3G ，分别过E ､F 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP 的最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】设00(,)P x y ，根据切线的垂直关系，可得,E F 在以CP 为为直径的圆上，求出EF 的方程，将()4,3G 代入，求出P 点轨迹方程，转化为点到直线的距离，即可求出结论.【详解】()()222220x y -+-=，圆心(2,2)C ，令0,2y x ==-或6x =，点A 在点B 的左侧，(2,0)A ∴-，设00(,)P x y ，,PE PF 为圆C 的切线，,PE CE PF CF ⊥⊥，EF ∴在以PC 为直径的圆上，其方程为00(2)()(2)()0x x x y y y --+--=，即220000(2)(2)220x y x x y y x y +-+-+++=，直线EF 为圆C :2244120x y x y +---=与以PC 为直径的圆的相交弦，直线EF 方程为0000(2)(2)12220x x y y x y -+----=，弦EF 过点()004,3,2260G x y ∴+-=，点P 的轨迹为直线，其方程为2260x y +-=，线段AP 最小值为点A 到直线2260x y +-=2|426|6512=+故答案为:四、解答题（本答题共6小题，满分70分）17.已知点()()1,4,3,1A B ，直线：:2l y ax =+，（1）若AB 是直线l 的一个方向向量，求a 的值；（2）若直线l 与线段AB 有交点，求a 的范围．【答案】（1）32a =-（2）1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据直线的方向向量的定义可求（2）判断出直线l 过定点()0,2P ，分别求出,PA PB k k ，即可求出l 的斜率a 的取值范围【小问1详解】因为AB 是直线l 的一个方向向量，所以413132AB a k -===--【小问2详解】:2l y ax =+过定点()0,2P ，如图因为421212,10303PA PB k k --====---，要使直线l 与线段AB 有交点，则a 的范围为1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC的中点．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角B DE C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，利用中位线证明OE PA ，进而即可证明//PA 平面BDE ；解法二：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，求平面BDE 的一个法向量，由向量法能够证明//PA 平面BDE ；（2）由（1）知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量，由向量法能够求出二面角B DE C --的余弦值．【小问1详解】解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，OE PA ∴∥，OE ⊂ 平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE解法二：侧棱PD ⊥底面ABCD ,DA ⊂底面ABCD ,DC ⊂底面ABCD ，,PD DA PD DC ∴⊥⊥,所以DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则()200A ，，，()002P ，，，()011E ，，，()220B ，，．()()()202011220PA DE DB ∴=-== ，，，，，，，，，设()1n x y z = ，，是平面BDE 的一个法向量，则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，()1111n ∴=- ，，．1220PA n ⋅=-= ，1PA n ∴⊥ ，又PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE ．【小问2详解】由()1知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量．设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，121212cos cos 3，n n n n n n θ⋅∴===⋅u r u u r u r u u r u r u u r ．19.已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB 上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()1,2,5--（3）5611【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离．【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB 上的投影向量为AC AB AB ABAB ⋅ ，而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+⎛⎫== ⎪⎝⎭ .【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =--，故D 的坐标为()1,2,5--.【小问3详解】()0,3,0AP = ，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z = ，则00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即250350x y x y z +=⎧⎨++=⎩，取5x =-，则2y =，15z =-，故15,2,5m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故点P 到平面ABC的距离为11AP m m ⋅== .20.如图，已知圆22:4O x y +=和点(2,2)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线,PQ Q 为切点，且||||PQ PA =．（1）求22a b +的最小值；（2）以P 为圆心作圆，若圆P 与圆O 有公共点，求半径最小的圆P 的方程．【答案】（1）92（2）323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意得到222OQ PA OP +=，代入列方程得到3a b +=，再利用完全平方公式即可得解；（2）根据题意得到半径最小时，两圆外切且OP 垂直3x y +=，根据垂直和外切求出点P 和半径，从而求得圆的方程.【小问1详解】因为圆22:4O x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r =，因为PQ 为圆O 的切线，所以OQ QP ⊥，在Rt OPQ △中，222OQ QP OP +=，又PQ PA =，所以222OQ PA OP +=，即()()2222422a b a b +-+-=+，整理得3a b +=，因为()20a b -≥，即2220a b ab +-≥，故222a b ab +≥，所以()()222222222292a b ab a b a b a b a b +≥++=++=+=+，则2292a b +≥，所以22a b +的最小值为92.【小问2详解】由（1）知，当以P 为圆心的圆在OP 垂直3x y +=，且与圆O 外切时半径最小，此时OP 方程为y x =，联立3y x x y =⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222=-，所以圆的方程为323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB 与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程．【答案】（1）方程为24x y =．（2）方程为1)y x =-．【解析】【分析】（1）直线AB 的方程为(1)2p y x =--，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出p 的值，即可得解；（2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线联立可得124x x k =，直线AQ 的方程1122y y x x +=-与抛物线联立，设()33,E x y ，则318x x =，设()44,F x y ，同理可得428x x =，利用三角形面积公式可得12341||||sin 222122||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y S y y QE QF AQB ⋅∠++==++⋅∠△△2221216442x x k ===，求解即可.【小问1详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线C 的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当直线l 过C 的焦点时，直线AB 的方程为(1)2p y x =--，由()2122p y x x py⎧=--⎪⎨⎪=⎩得2220x p x p +-=．则221212,x x p x x p +=-=-，()2214||82p p AB x +=-==，整理得()32416(2)280p p p p p +-=-++=，所以2p =，故抛物线C 的方程为24x y =．【小问2详解】易知直线AB 的斜率在且不为零，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x x y=-⎧⎨=⎩得2440x kx k -+=，则216160k k ∆=->，即1k >或0k <，124x x k =．易知直线AQ 的方程为1122y y x x +=-，由112224y y x x x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩得()1214280y x x x +-+=，设()33,E x y ，则133188,x x x x ==，设()44,F x y ，同理可得428x x =，则12341||||sin 22||||21||||22||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y QA QB S QE QF y y QE QF AQB ⋅∠++⋅===⋅⋅++⋅∠△△()()2222121222342212111228844161111112216164488x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212161646442x x k k ====，得22,k k ==，故直线AB 的方程为1)y x =-．22.如图，已知：,A B 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，()00,P x y 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，从原点O 向圆()()22200:(0)P x x y y r r -+-=>作两条切线分别交椭圆C 于点M ，N ，记直线,,,OM ON AP BP 的斜率分别为1234,,,k k k k ，（1）若圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆P 的半径．（2）若1234k k k k ⋅=⋅，求半径r 的值．【答案】（1）2b a（2【解析】【分析】（1）由题意可得0x c =，则有220221y c a b+=，计算即可得0y ，即可得半径；（2）由题意计算34k k ⋅可得2342b k k a⋅=-，即可得2122b k k a ⋅=-，结合点到直线距离公式计算可得r ==，整理可得1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又2122b k k a⋅=-，代入计算即可得r .【小问1详解】由圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，故0x c =，则有220221y c a b+=，则20b y a ==，即其半径为2b a；【小问2详解】2000342200000y y y k k x a x a x a--=⋅=+--，由()00,P x y 是椭圆C 上的点，故有2200221x y a b+=，即有()222222000221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()222220340222222001y b b k k a x x a a x a a==-⨯=---，则有212342b k k k k a==-，设1:OM l y k x =，2:ON l y k x =，r ==，整理可得22222210100012k x k x y y r k r -+=+、22222220200022k x k x y y r k r -+=+，即有()2222201001020x r k x y k y r --+-=，()2222202002020x r k x y k y r --+-=，由直线OM 、ON 斜率存在，故0r x ≠，故1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又212342b k k k k a==-，故22202220y r b x r a -=--，即()()222222000a y r b x r -+-=，又()2222002b y a x a=-，故有()()222222220020b a a x r b x r a ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦，化简可得22222a b r a b =+，。

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嘉兴一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学满分[100]分 ，时间[120]分钟 2014年11月京翰高考网试题（）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.把球的表面积扩大到原的2倍，那么体积扩大到原的（ ） A ．2倍 B ．22倍 倍 倍2.如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 33.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）4.下列命题中，正确的命题是（ ）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）四面体都是三棱锥A .②B .① ②C .①②③D .②③④ 5.对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中正确的是（ ） A .若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B .若//,//m n αα，则//m nC .若,m n αα⊂∥,则//m nD .若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积 为（ ）A .63aB .123a C .3123a D .3122a 7．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，C D11A DBHC垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为458．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是棱AB 上的一条线段，且 EF ＝b ＜a ，若Q 是11A D 上的定点，P 在11C D 上滑动，则四面体PQEF 的体积（ ） A ．是变量且有最大值 B ．是变量且有最小值 C ．是变量无最大最小值 D ．是常量9.已知异面直线a 、b 所成角为3π，经过定点P 与a 、b 所成的角均为6π的平面有（ ） A ．1个 B . 2个 个 D .无数10.正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为2，M 为1AA 中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是（ ）A ．10B .11C .34+D .24+ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .13.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．14.正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为 .15.定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 个.16.在四面体ABCD 中，已知4AB =，4AC =，2AD =，且AB 、AC 、AD 两两所成角为060，则四面体ABCD 的体积为_________.17.如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．俯视图左视图主视图1223三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（见答题卷） 嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试 高二数学 答题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11． ． 12． ． 13． ．14． ． 15． ． 16． ．17． ．三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 =2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ； （2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论.19.如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，32==AB AP ，4=AC ，D 为PC 中点，E 为PB 上一点，且//BC 平面ADE ． （1）证明：E 为PB 的中点；（2）若AD PB ⊥，求直线AC 与平面ADE 所成角的正弦值．●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●密 封 线班 级学 号姓 名 （密 封 线 内 不 要 答题）●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●20.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点. （1）求证：AF FPCE «Skip Record If...»21. 在边长为a 的正方形ABCD 中，,M N 分别为DA BC 、上的点，且//MN AB ，连结AC 交MN 于点P ，现沿MN 将正方形ABCD 折成直二面角.（1）求证：无论MN 怎样平行移动（保持//MN AB ），APC 的大小不变并求出此定值； （2）当MN 在怎样的位置时，M 点到面ACD 的距离最大？ABCDPEABDNMP ABC D MNP22.如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且P A =AB =AC . 若PQ QBC ⊥平面，求二面角Q -PB -A 的余弦值.QPABC18. 证明：（1）如图，∵ ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱，∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝1，且∠A 1C 1B 1 ＝90°。

又 D 是A 1B 1 的中点， ∴ C 1D ⊥A 1B 1 .∵ AA 1 ⊥平面A 1B 1C 1 ，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴ AA 1 ⊥C 1D ，∴ C 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

（2）解：作DE ⊥AB 1 交AB 1 于E ，延长DE 交BB 1 于F ，连结C 1F ，则AB 1 ⊥平面C 1DF ，点F 即为所求，F 为1BB 中点。

∵ C 1D ⊥平面AA 1BB ，AB 1 ⊂平面AA 1B 1B ，∴ C 1D ⊥AB 1 ．又AB 1 ⊥DF ，DF C 1D ＝D ，∴ AB 1 ⊥平面C 1DF 。

19. （Ⅰ）证明：∵//BC 平面ADE ，⊂BC 平面PBC ，平面 PBC 平面DE ADE =，∴DE BC //．∵D 为PC 中点，∴E 为PB 的中点．（Ⅱ）∵AB AP =，E 为PB 的中点，∴PB AE ⊥，又AD PB ⊥，∴⊥PB 平面ADE ，得PB DE ⊥，且平面⊥PBC 平面ADE ．ACDPEH由DE BC //，得PB BC ⊥．20. 证：（1）取PC 中点M ，连ME ，MF∵FMCD 21CD 21«Skip Record If...»⊄⇒⊂17,221,22===PC PD PF PC CDPF FH =17343=FH1=-PEC F V 解法一：设,AM x =则CN=a-x ，2,2()PA x PC a x ==-，22222222222AC AD CD AM DM CD a x ax =+=++=+-222cos 2PA PC AC APC PA PC +-∴∠=•222212222()x a x ==-•-APC ∴∠为定值120过M 作MH DA ⊥于H ，则MH 的长度为点M 到面ACD 的距22()MH x a x =+-而22()()24x a x a x a x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦即当2a x =取最大值24a 2222()2()22a a x a x x +-=-+2a x =，取最小值22a ，2ax ∴=时，max 24MH a = 22 ．方法一：A BCD HNMP解：（I ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ∴QD ⊥平面ABC 又∵PA ⊥平面ABC∴QD ∥PA 又∵QD ⊆平面QBC ∴PA ∥平面QBC （Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠= 又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形 设2PA a = ∴2PQ AD a ==，22PB a = ∴6BQ a =过Q 作QR PB ⊥于点R ，∴266222a a QR a a⋅==，2222222PQ a PR a PB a ===取PB 中点M ，连结AM ，取PA 的中点N ，连结RN∵1142PR PB PM ==，12PN PA = ∴MA ∥RN∵PA AB = ∴AM PB ⊥ ∴RN PB ⊥ ∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角连结QN ，则222223QN QP PN a a a =+=+= 又∵22RN a =∴222222313322cos 2362222a a a QR RN QN QRN QR RN a a +-+-∠===-⋅⋅⋅即二面角Q PB A --的余弦值为33-方法二（I ）同方法一 （Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠=，又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形分别以,,AC AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -设2PA a =，则(,,2)Q a a a ，(0,2,0)B a ，(0,0,2)P a ， 设平面QPB 的法向量为(,,)n x y z = ∵(,,0)PQ a a =，(0,2,2)PB a a =-∴0(1,1,1)220ax ay n ay az +=⎧⇒=--⎨-=⎩又∵平面PAB 的法向量为(1,0,0)m = 设二面角Q PB A --为θ，则 3|cos ||cos ,|3||||m n m n m n θ=<>==⋅ 又∵二面角Q PB A --是钝角 ∴3cos θ=。

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