二班第十四讲群同态基本定理
3。3同态基本定理
§3.3 群的同态基本定理1.定义；设,G G 是两个群，如果映射:G Gϕ→满足,,a b G ∀∈ 都有()()(),ab a b ϕϕϕ=则ϕ称是G 到G 的一个同态。
若ϕ分别是单射、满射、双射，则称ϕ是单同态，满同态和同构。
用GG≅表示G 到G 的同构。
定理1 设,NG 则GG N。
证明 在G 与G N 之间建立映射如下：:GG Nτ→，()a aN τ=，a G ∀∈。
则显然τ是G 到G N 的一个满射。
又,a b G ∀∈，都有 ()()()()()()ab ab N aN bN a b τττ==⋅=， 即τ是G 到G N 的一个同态映射。
所以G G N 。
注：以后将上面的同态映射τ称为G 到G N 的自然同态。
核与像：设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，称 ker {|,()},Na a G a e ϕϕ==∈=为ϕ的核，其中e 为G 的单位元；称Im {()|}a a G ϕϕ=∀∈ 为ϕ的像。
定理2 (同态基本定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker ,.GN G G Nϕ=≅ 且证明 首先，{}e G ,由上一节定理2有{}1ker -=N e G ϕϕ= 。
其次，在G N 与G 之间建立映射如下： :GGN σ→，()()aN aa σϕ==，a G ∀∈。
（1）设aNbN=，则1a b N -∈，于是1()a b e ϕ-=，即11()()a b a b e ϕϕ--==，从而ab=，即G N 中的每个赔集在σ下的像唯一，因此σ确为G N 到G 的一个映射。
（2）a G ∀∈，因为ϕ是满射，所以存在a G ∈，使得()a a ϕ=， 从而存在G aN N ∈，使得()aN a σ=，即σ是满射。
（3）设()()aN bN σσ=，即11()()()()()a b a b e a b eϕϕϕϕϕ--=⇒=⇒=，所以1ker a b N ϕ-∈=，从而aNbN=，即σ是单射。
第十四讲同态与同构
第十四讲同态与同构§14.1. 同态§14.2. 同态基本定理§14.1. 同态在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。
1.1.定义：设(G,*)与(H,︒)为群，f: G→H为映射(1)f为从群G到群H的同态，指(∀a,b∈G)(f(a*b)=f(a)︒f(b))，记为G∽f H(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G≌f H(4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b)(5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且1-1&onto1.2.例：(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。
令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为f(x)=2x∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。
(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。
1.3.命题：设(G,*),(H,︒)为群，(1)令f: G→H，对∀x∈G,f(x)=e H,则f为同态。
(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。
证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)∴f a为同态又∵f a为1-1&onto∴f a为同构. #1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。
证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod6)=f i(x)+6f i(y)∴f i为同态.∵f i(1)=i∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。
群同态基本定理与同构定理
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
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限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
群同态三大基本定理
群同态三大基本定理群同态三大基本定理是群论中的重要结果，包括同态基本定理、同构基本定理和同态映射定理。
这些定理对于研究群及其结构和性质具有重要意义。
本文将分别介绍和阐述这三大基本定理。
一、同态基本定理同态基本定理是群同态理论的基石，它表明了群同态的基本性质。
该定理断言，对于任意群G和H，如果存在一个由G到H的群同态φ，则G的核Ker(φ)是G的一个正规子群，且G/ Ker(φ)与φ(G)同构。
其中，核是指同态映射φ的零空间，即使得φ(g) = e_H的所有元素g构成的子集。
同态基本定理的证明思路是，首先证明Ker(φ)是G的一个正规子群，然后构造一个映射ψ: G/Ker(φ) → φ(G)，通过ψ(gKer(φ)) = φ(g)将G/Ker(φ)的元素映射到φ(G)的元素，证明ψ是一个双射，并且保持群运算。
因此，G/Ker(φ)与φ(G)同构。
二、同构基本定理同构基本定理是群论中的一个重要结果，它给出了同构的判定条件。
该定理指出，如果存在一个双射φ: G → H，且满足φ(xy) = φ(x)φ(y)，那么G与H是同构的。
换句话说，如果两个群之间存在一个双射，且保持群运算，那么这两个群是同构的。
同构基本定理的证明思路是，首先证明φ是一个同态映射，即φ(xy)= φ(x)φ(y)成立。
然后证明φ的逆映射存在，即存在一个映射ψ: H → G，使得ψ(φ(x)) = x和φ(ψ(y)) = y对于所有的x∈G和y∈H 成立。
最后，证明ψ也是一个同态映射，即ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)成立。
因此，φ和ψ构成了G和H之间的同构关系。
三、同态映射定理同态映射定理是群同态理论中的一个重要结果，它给出了同态映射的性质。
该定理指出，如果φ: G → H是一个群同态，那么φ(G)是H的一个子群，且φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
同态映射定理的证明思路是，首先证明φ(G)是H的一个子群。
然后证明φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
群同态基本定理证明
群同态基本定理证明群同态基本定理是群论中非常重要的一个定理，它描述了两个群之间的同态映射的性质。
在介绍这个定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
首先，什么是群？简单来说，群是由一些元素及其运算所构成的代数结构。
一个群必须满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
群的元素可以是数字、矩阵、置换等等。
接下来，我们来看一下什么是同态映射。
给定两个群G和H，如果存在映射f:G→H，使得f(xy)=f(x)f(y)对于任意的x,y∈G成立，那么我们称f是从G到H的同态映射。
有了这些基本概念的了解，我们现在来介绍群同态基本定理。
群同态基本定理的内容是：对于一个群G和它的一个子群H，存在一个同态映射f:G→G/H，其中G/H是由右陪集构成的集合，使得f的核（即f的逆像）为H，而且f是满射。
我们可以通过以下步骤来证明这个定理。
首先，我们定义映射f:G→G/H，其中f(x)=xH，即将G中的每个元素x映射到它所在的右陪集xH上。
其次，我们需要证明f是一个同态映射。
对于任意的x,y∈G，我们有：f(xy) = (xy)H = x(yH) = x(f(y))，因此f是一个同态映射。
然后，我们需要证明f的核为H。
核是指所有映射到单位元的元素的集合。
对于任意的x∈G，有：f(x) = xH = H ⟹x∈H。
最后，我们需要证明f是满射。
也就是说，对于G/H中的任意元素yH，都存在G中的元素x，使得f(x)=yH。
根据定义，我们可以取x=y，这样f(x)=f(y)=yH。
综上所述，我们成功地证明了群同态基本定理。
这个定理的意义在于，通过同态映射，我们可以将一个群G映射到一个以右陪集为元素的集合G/H上，并且这个映射保持了群运算的性质。
在代数学和计算机科学等领域中，群同态基本定理被广泛应用于研究和解决各种问题，如编码理论、密码学、图论等。
它为我们理解和分析群结构提供了有力的工具。
同时，它也为我们研究同态映射和陪集理论提供了一个基本的框架。
群同态基本定理与同构定理
物理
构造法
反证法
伴随映射法
同构定理的证明方法
群同态基本定理与同构定理的关系
03
群同态基本定理与同构定理的联系
群同态基本定理提供了群与群之间映射的代数性质，为研究群的同构关系提供了基础。同构定理则是在群同态基本定理的基础上，进一步探究群的结构和性质。
同构定理
对群同态基本定理与同构定理的总结
群同态基本定理和同构定理的应用广泛，不仅在数学领域，还在物理、化学、计算机科学等领域发挥了重要作用。未来随着不同学科的发展，这些定理的应用前景将更加广阔。
随着数学学科的发展，对群同态基本定理和同构定理的深入研究将有助于揭示更多的数学规律和现象。通过对这些定理的深入研究和探索，将推动数学学科的进一步发展。
群同态基本定理关注映射的代数性质
同构定理则更关注群的内部结构，即群中元素的性质和相互关系。通过研究群的同构关系，我们可以了解不同群之间的相似之处，从而更好地理解群的性质和行为。
同构定理关注群的内部结构
群同态基本定理与同构定理的差异
群同态基本定理的应用范围广泛
由于群同态基本定理是代数系统的一般性质，因此其应用范围非常广泛。无论是在数学、物理还是工程领域，群同态基本定理都是研究代数结构的重要工具。
04
群同态基本定理是代数中的一个重要定理，它表明任何有限群都可以分解成单群和可解群的直和。这个定理在解决一些实际问题中非常有用，比如在编码理论和密码学中，通过研究有限群的性质可以设计出更加安全和可靠的加密算法。
举例说明群同态基本定理的应用
举例说明同构定理的应用
同构定理是代数中的一个基本定理，它表明任何两个可交换的群在同构意义下是相同的。这个定理在解决一些实际问题中非常有用，比如在物理学中，通过研究不同物体的同构性质可以发现它们之间的相似之处，从而更好地理解和描述这些物体的性质。
代数结构与数理逻辑-群的同态与同态基本定理
❖ 一、群同态 ❖ 设有两个代数系统[S;*]与[T;•], 如果存在
到上映射 :ST,使得对任意的 a,bS, 有 : ( a*b)=(a)•(b)， 称 [ S;*] 与 [ T;•] 两
个 系 统 同 态 。 如 果 是 双 射 , 则 [ S;*] 与 [T;•]同构。
a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。 带2个二元运算
❖作业P172 40, 41(1),(3),(5)
❖ 补充1.为群[G;*][G';•]的同态映射,则 [(G); •]为[G';•]的子群。
❖ 2.设是群G到G'的同态映射,证明: (1)若H是G的子群,则(H)也是G'的子群. (2)若H是G的正规子群,且是满同态映射,
故{1,1}的单位元1的象源不止一个。Ker是所有
{1,1}的单位元的象源全体所成的集合
❖ 定理：为群[G;*][G';•]的同态映射,则 (1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); •]为[G';•]的子群。 ❖ 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker,
❖ f(KaKb)=f(Ka)•f(Kb)
❖ (3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有
Ka=Kb.
就是要证明a*b ❖ 推论：若为群[G;*]到群[G';•]的满同
态映射,则: [G/K;][G';•]
❖ 例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法 群,并且是[R;+]的正规子群。 W={ei|R},*为普通乘法群，则 [R/Z;][W;*]。
同态基本定理
同态基本定理
在数论中, 同态定理是一个重要的结果，是古典几何中玻拉叶斯定理的一种推广。
这
个定理被人们称为“同态基本定理”，又称为“同态基本核定理”，它最初是由缪斯·坎
托尔派德（M. Cantor）和萨蒙·可拉维尔（S.Helewar）提出的，后来得到进一步的推广
和发展。
该定理指出，在一个几何空间中，同态映射能够保持某些特性，即不管任意两个
点如何变换坐标，同态映射可以将二者置换，并使他们在原几何空间中看起来一致。
同态基本定理首先被用来检验几何变换法则，如反射、投射、旋转等，即检查几何变
换法则到底是否真正有效，以及数学推理和计算时是否正确无误，具体的定理是：若f（x）是在某几何空间中具有某种性质的同态映射，则对所有x，x′，y，y′，使f（x）=f （y），也就是说，如果两个点之间存在某种同态映射，则它们可以同时被映射到任意另
外两个点上，而无论这两个点是在原几何空间中如何变换坐标和旋转的。
这一定理的思想
在很多数学家的文章里也反复出现，甚至可以代替传统的几何判断过程。
同态基本定理不仅在几何方面有着广泛的应用，而且也在几何的反像技术，代数方面
也有着应用。
现在，同态定理已经在很多学科中得到了应用，比如在地理学、景观学、地
形学、城市学和图像处理等方面，都应用了这一定理。
总之，同态定理是一个十分重要的结果，是古典几何中玻拉叶斯定理的一种推广。
这
个定理对几何理论和代数学等领域，有着重大的价值，在几何图形变换方面也有着应用。
2.3同态,同态基本定理
2.3.2 同态基本定理 (Fundamental Theorem of Homeomorphisms)
定义(同态核):设 f 是 G 到G′的同态映射，令 K={a|a∈G，f (a)=e' }=f -1(e' ) 则称K是同态 f 的核(Kernel)，记做Ker f。 同态核就是群G' 的单位元e' 的全原象，由前可知 Kerf 是G的一个子群，且有以下性质。
G/K
例1 设n 是大于1 的正整数，Z是整数加群，作映射 φ: Z→Zm，a →[a] ， 证明φ 是一个同态且为满射，并求同态核Kerφ。
证明：显然φ 是一个Z→Zm的映射， a，b∈ Z ，有 φ(a+b)=[a+b]=[a]+[b]= φ(a)+φ(b) (保运算) 故φ为同态.且 [a]∈ Zm, 有a∈ Z ，使φ(a)=[a]， 所以φ 是一个同态且为满射. 同态核 Kerφ={x∈Z | φ(x)=[0]}={x∈Z | m|x}=<m> 而且根据同态基本定理 Z/<m> Zm
例2 设G=<a>是一个循环群，作映射 F : Z→G，f (n) = an， 则 f 是一个同态且为满射。 由同态基本定理知 Z/K G。 K=KerZ是Z的子群。Z的子群具有形式nz，其 中n=0或n为子群的最小正整数。 1°n=0，则K={0}，此时 Z/K=Z ∴ G Z . 2°n≠0，则K=<n>，Z/K=Z/(n), 从而G Z/(n). 这便是§2.7中已得到的结果 (无限循环群与Z同 构，有限循环群与Z/(n)同构)
定理1.设G与G' 同态 G ～ G' ，Ker f = K，则 (1) K 是 G 的正规子群，即K G (2) a' ∈Im f，若 f (a)=a' ，则 f -1 (a' )= a K (3) f 是单同态 K={ e }