7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
空间曲线的曲率挠率PPT讲稿
密切平面方程为
(R r(s0)) r(s0)r(s0) 0
(R
r
(s0
))
r
(s0
)
r
(s0
)
0
R (x, y, z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
x x(s0 ) x(s0 ) x(s0 )
y y(s0 ) y(s0 ) y(s0 )
z z(s0 ) z(s0 ) 0 z(s0 )
O
γ(s) 法平面
对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
C r(s)
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
密切平面以
为法向。
密切平面
α(s)β(s)来自从切平面O密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线（C）：r r (s)
有
P
Q
r
(
s0
r (s0 )s
s)
r
(
s0
)
1 2
(r
(s0
)
)s
2
r (t0 )
(s)
P
M
P1
M (s s)
lim
lim
1
lim
MM
MM
s0 s s0 s
s0 s MM
(s s) (s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s)
(s) (s) r r r
例： 空间曲线，r r (s) 为直线的充要条件是曲率
r r
,
r r r r
,
r 2 r (r r)r
r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和扭曲程度。
在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地质学、材料科学等领域。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
假设曲线的参数方程为$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|} $$曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。
空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。
假设曲线的单位切向量为$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。
则曲线的挠率为其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。
挠率的单位也是长度的倒数，通常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。
对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。
三、曲率与挠率的关系曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。
空间曲线的曲率挠率
. 故曲率中心的半径向量为 可以求出密切平面为
于是曲率圆为
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设曲线方程为
曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
y
, 满足方程组
密切平面： 法平面： 从切平面：
r(s)
v (R
rv)
v
0
v (R
rv,v,
v
)
0
密切平面
v (R
rv)
v
0
α(s)
而由三个基本向量(R和v上面rv)三 个v平面0所构成的图形叫做曲线的基本三从棱切形平面。
C β(s)
O
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曲线。
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1.曲线的自然参数
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就对是于以光弧滑长曲s线为参r(t数) （(x自(t然), y参(t数), z）(t)), t A R
若曲线方程为
x ( y), 若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
x
则 (1 x 2 )32
xy xy
给出, 则 ( x2 y2 )32
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【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=?γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +?α.两个切向量的夹角是??，也就是把点1p 的切向量()s s +?α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +?α的夹角为??.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s s→?=?，其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +?，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +?γ.此两个副法向量的夹角是??(如图一).(γ（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去，得到lims s→?=?γ，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα，即()k s =αβ. (2) 对=?γαβ求微商，有()()k s =?=?+?=?+?=?αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下：定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ?+??=??-??γγβγγβ，当和异向，，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4）另外，对=?βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=?=?+?=-?+?=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ?=??=-+??=-??αββαγγβ，这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ?? ?- ? ?-??2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds ds r r ds dt dt== ，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt =+=+=+ ? ? ?，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt=?+=??? ? ?????????，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ??=.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=，因而有3,,,,r r k r ?=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r=.2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,k k k k k k k k r r r τ??=-==? ?=?+ ? ? ? ?????????????=?+ ? ? ? ???????=?? ???=γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,dsr rdt=22,,2ds d s r r r dt dt ??=+323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ??=++ γγγ代入(),,,,,,r r r ??中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt== ? ? ??γγγγγγ ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ??=. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ=-=---123e e e r r,,,?=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ?===+r r r()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明已知0,k =≡r因而,=r 0由此得到 =r a（常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ （常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
空间曲线的曲率和挠率
空间曲线的曲率和挠率在复杂的几何图形中，空间曲线是一种重要的概念。
它在从二维几何图形到三维几何图形的转换中发挥重要作用。
空间曲线不仅包含折线和曲线，还包括曲面和曲线的交点，所以它比折线和曲线更复杂。
空间曲线的曲率和挠率是它的重要性质之一，可以用来描述曲线的曲率，并且是几何图形中重要的参数。
空间曲线的曲率是指曲线上任意一点所处于的曲线段上，曲线段的半径，它表示曲线的内曲率和外曲率。
一条曲率大的曲线，半径就小，曲率就小，反之，曲率就大。
曲率是曲线的一个基本特性，是这条曲线的几何性质的测量，用以反映曲线的实际变化程度。
挠率是曲线的另一种性质，也是曲线的重要参数，它与曲率的关系也很密切。
曲线上一点移动时，曲率在其周围受到改变，这种改变就是挠率。
挠率可以用来分析曲面的变形情况，以及曲线上每个点单点计算曲率的变化程度。
空间曲线的曲率和挠率在数学中是广泛应用的概念，在几何图形中，它们发挥着重要作用。
可以利用这些参数来表示曲线的曲率，分析曲面的变形情况，从而提供曲线形状的重要依据。
此外，曲率和挠率还可以用来求解曲面的曲率，以及求解曲面的曲率变化程度。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法也不同，一般情况下，首先要确定曲线的方程，根据形式的不同分别采用不同的方法来求解曲率和挠率。
例如，如果曲线方程是抛物线，可以直接求解曲率和挠率；如果曲线方程是椭圆，可以通过偏微分求解曲率和挠率；如果曲线方程是曲面，可以通过特征线求解曲率和挠率。
空间曲线的曲率和挠率是复杂几何图形中重要的参数，可以用来表示曲线的曲率，从而提供曲面形状的依据。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法不同，要根据实际情况确定曲线或曲面的方程，然后采用不同的方法求解曲率和挠率。
这些概念在几何图形中具有重要意义，应用非常广泛，可以作为几何图形研究的重要参考依据。
(整理)空间曲线的曲率挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k>时为直τ=时为平面曲线.线,0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1.空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得dr dsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α， 即()s s γ+∆()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,β于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b⨯===+r r r ()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.精品文档精品文档。
空间曲线的曲率和挠率
文章编号:1006-7353(2003)05-0013(04)-02空间曲线的曲率和挠率傅朝金(湖北师范学院数学系,湖北黄石 435002) 摘要:本文利用极限的方法得到了空间曲率和挠率的几个等价的定义。
关键词:空间曲线;曲率;挠率中图分类号:O 186.11 文献标识码:A 空间曲线的曲率和挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻划了空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度。
一般微分几何教科书都给出了空间曲线的曲率和挠率的定义及其计算公式。
本文利用极限的方法,进一步得到了空间曲线的曲率和挠率的另几种形式的定义。
1.曲率的定义、公式及等价命题1.1曲率的定义与公式定义1 空间曲线Γ:r =r (s )在P (s )点的曲率定义为:κ(s )=lim Δs ※0ΔφΔs =d φd s(1)其中s 为空间曲线的弧长参数,Δs 为曲线Γ上的P (s )点及其邻近点P 1(s +Δs )间的弧长,Δφ为曲线Γ在点P 和P 1的单位切矢α(s )和α(s +Δs )的夹角。
由定义知,曲线Γ在P 点曲率是曲线Γ在P 点单位切矢关于弧长s 的旋转速度,即κ(s )=|﹒α|=|﹒r |(2)由空间曲线的Frenet 公式,又可得到κ(s )=﹒α·β=-α·﹒β(3)若空间曲线Γ的方程为r =r (t ),则得κ(t )=|r ′(t )×r ″(t )||r ′(t )|3(4)其中t 为曲线Γ的一般参数。
1.2曲率的等价命题命题1 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )邻近的点P 1(s +Δs )到曲线Γ在点P 的切线L 的距离为d (P ,L ),则曲线Γ在点P 的曲率κ(s )=lim P 1※P2d (P ,L )|PP 1|2(5)证明 设曲线Γ在点P 的切线L 的方程为ρ=r +λα,由Taylor 公式得d (P ,L )=|PP 1×α|=|(r (s +Δs )-r (s ))×α|=|(αΔs +12κβΔs 2+εΔs 2)×α|=|-12κγ+ε×α|Δs 2,|PP 1|2=|αΔs +ε1Δs |2=|α+ε2|2Δs 2其中α,β,γ为曲线Γ在点P 的基本矢,且lim Δs ※0ε=lim Δs ※0ε1=0,故lim P 1※P 2d (P ,L )|PP 1 |2=lim P 1※P |κr -2ε×α|Δs 2|α+ε1|2Δs 2=κ(s )命题2 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )的邻近两点为P 1(s -Δs )和P 2(s +Δs ),(Δs >0),S ΔPP 1P 2表示ΔΡΡ1P 2的面积,则曲线Γ在点P 的曲率13收稿日期:2003-04-15κ(s)=limΔs※02SΔΡΡ1P2Δs2(6)证明 由Toylor公式得2SΔΡΡ1P2=|PP2×PP1|=|(r(s+Δs) -r(s))×(r(s-Δs)-r(s))| =|(αΔs+12κβΔs2+ε1Δs2) ×(-αΔs+12βΔs2+ε1Δs2)|=|κγ+(α+12κβΔs+ε1Δs)×ε2 +ε1×(-α+12κβΔs)|Δs3其中limΔs※0ε1=limΔs※0ε2=0,故limΔs※02SΔPP1P2Δs3=κ(s)以上两个命题均可作为空间曲线在一点的曲率的定义。
空间曲线的曲率挠率
P
3.空间曲线的曲率，挠率
(s)
P
设空间曲线(C)为 1)曲率
C3 的，且以
s
为参数。
(s
s)
P1
(s s)
定义（C）在 P 点的曲率为 (s) lim
s0 s
s 越小
s
就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令s 0
则
s
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。
否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就是以弧长s为参 数（自然参数）
12、 、r弧对(t长)于参的光数参滑优数曲越是线性自：然r (t参由) 于数(dx的s(t充),ry要((tt)条),,当z件(tt)是),s时t r，(tAr)(s)1R r(t) 1
dt
3、弧长作参数是可以做到的：由于
证明：并若且为直a线(rs1，)则s0a
b 其中
(s)
ar和 b
都 是常向量， a 0
反之, 于是
若 r
(s)
sa
b
0
,则
(s)
r
0
所以该曲线是直线.
2)挠 率
r与曲率类似有
r k(s)
k(s) ,
lim
s0 s
(s s)
(s)
(s s)
( )
6）曲线的渐屈线、渐近线
当点 M (x , y) 沿曲线C 移动时, 相应的曲率中心 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
例. 求摆线
解:
y
y x
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数）， 所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
空间曲线的曲率挠率
§12 曲率、挠率
---精品---
x x (t)
定义：如果曲线的参数表示式
y
y (t)
或 r r(t) at b
z z ( t )
at b
是 阶k 连续可微的函数，则把这类曲线称
为C k 类曲线。当 k 时1 , C类1 曲线又称为光滑
曲线。
---精品---
1.曲线的自然参数
由于 r(s)r(s),这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。
密切平面方程为
( R r ( s 0 )r ) ( s 0 ) r ( s 0 ) 0
---精品---
( R r ( s 0 )r ) ( s 0 ) r ( s 0 ) 0
R(x,y,z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
例：圆的参数化为 r(t) (a cost , a sint ) , tR ，其中 常数 a > 0 , 试将参数化为自然参数。
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
a2(sint)2 a2co2st d t
adt
t
s 0 adt at r (t) r (t(s) )(aco s,a ssisn ) (s)
asint acost acost asint
b 0
0
a c t b x o y a s 2 c 2 t z o b 0 s ---精t 品---
P
3.空间曲线的曲率，挠率
(s)
P
设空间曲线(C)为 1)曲率
C
3
的，且以
s
为参数。(ss)P1
(ss)
定义（C）在 P 点的曲率为 (s) lim
面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，
空间曲线曲率和挠率的介绍
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
dr 2 r r ( s ) r 1) 给出C 类曲线 得一单位向量 ， ds dr 称 r 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量。 ds r 称 为曲线在 P 点的主法向量, r 它垂直于单位切向量。 γ(s) 称 为曲线在 P 点的次法向量。
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
( s) lim r s 0 s
P ( s) M P1 (s s) M
MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM ( s s ) ( s ) MM ( s s ) ( s ) lim lim s 0 s s MM s 0 ( s ) ( s ) ( s ) r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
分别叫做: 密切平面： ( R r ) 0 ( R r , , ) 0 法平面：
γ(s) 法平面 C r(s) β(s) 密切平面 α(s) 从切平面 O
( R r ) 0
从切平面： ( R r ) 0
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
k (s) (s) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
于是有
k ( s)
k (s) 0 0 0 (s) 数组成一反称方阵 k ( s ) 0 (s) 0
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
11
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
3
二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率在几何学中，空间曲线的曲率与挠率是非常重要且有趣的概念。
通过研究曲率和挠率，我们能够更好地理解曲线的形状和性质，从而深入探讨空间曲线的运动规律和变化过程。
本文将从简单到复杂的方式，逐步探讨空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率。
1. 曲率与挠率的定义空间曲线的曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度，是一个标量。
而挠率描述了曲线扭曲的程度，是一个矢量。
在三维空间中，曲线的运动轨迹往往具有复杂的形态，曲率和挠率正是用来描述这种复杂性的重要概念。
2. 曲率与挠率的计算曲率和挠率的计算是非常复杂的数学问题，通常需要运用微分几何学和向量分析的知识来进行推导和计算。
在计算过程中，需要考虑曲线的参数方程、切线和曲率、正切矢量等多个因素，以确定曲线在某一点的曲率和挠率值。
通过精确的数学计算，我们能够准确地理解曲线的形状和特性。
3. 曲率中心轨迹的特性曲率中心轨迹是指在空间曲线上，曲率中心点构成的轨迹。
通过对曲率中心轨迹的研究，我们能够发现曲线的整体特性和变化规律，从而更好地理解曲线的几何性质。
曲率中心轨迹的形状和曲率对于空间曲线的运动和变化有着重要的指导意义。
4. 个人观点和理解对于空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率，我个人认为其深刻地揭示了曲线运动的奥秘和规律，是一项极具挑战性和价值的数学研究。
通过深入研究曲率与挠率，我们可以更好地理解曲线的形状和特性，为曲线的运动和变化提供重要的数学支持和指导。
空间曲线曲率中心轨迹的研究不仅具有学术价值，还对实际问题的探讨和解决具有重要的意义。
总结通过本文对空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率的探讨，我们可以看出这一主题的广度和深度。
曲率与挠率的应用涵盖了微分几何学、向量分析、曲线运动学等多个领域，具有重要的理论和实际意义。
通过不断深入研究和探讨，我们能够更好地理解曲线的运动规律和变化特性，为相关领域的发展和应用提供重要的理论和技术支持。
希望本文能够对读者有所启发，引起对空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率的深入思考和探讨。
空间曲线的曲率与挠率
空间曲线的曲率与挠率曲线是空间几何中的基本概念之一，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
曲线的曲率和挠率是描述曲线性质的重要指标，它们能够帮助我们理解曲线的形态和性质。
本文将围绕空间曲线的曲率和挠率展开论述，并介绍它们的定义、计算方法以及在实际应用中的意义。
一、曲率的定义和计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量度，表示了曲线上某一点处曲线的弯曲程度。
计算曲率的一种常用方法是使用切向量和法向量之间的夹角，这种方法即为切向量法。
首先，我们可以定义曲线的切向量为其切线方向的单位向量。
对于参数化曲线 r(u)，其切向量可以通过求导得到：T(u) = r'(u) / ||r'(u)||，其中 r'(u) 表示曲线 r 在参数 u 处的导数。
然后，我们可以定义曲线的法向量为切向量的导数。
对于参数化曲线 r(u)，其法向量可以通过求导得到：N(u) = T'(u) / ||T'(u)||，其中 T'(u)表示曲线 r 在参数 u 处的二阶导数。
最后，我们可以定义曲线的曲率为切向量长度对曲线参数 u 的导数的模：κ(u) = ||T'(u)||。
曲线在某一点处的曲率越大，该点处的曲线弯曲程度就越大。
二、挠率的定义和计算方法挠率是描述曲线扭转程度的量度，表示了曲线上某一点处曲线的扭转程度。
计算挠率的一种常用方法是使用切向量和法向量之间的夹角的导数，这种方法即为导数法。
首先，我们可以定义曲线的切扭型为法向量和切向量之间的夹角：β(u) = arctan(||N(u)|| / ||T(u)||)。
其中，arctan 表示反正切函数。
然后，我们可以定义曲线的挠率为切扭型对曲线参数 u 的导数：τ(u) = dβ(u) / du。
曲线在某一点处的挠率越大，该点处的曲线扭转程度就越大。
三、曲率与挠率的应用意义曲率和挠率是描述曲线性质的重要指标，在实际应用中有着广泛的应用。
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率1. 引言空间曲线是三维空间中的一条路径，而为了全面理解空间曲线的性质与行为，我们需要深入研究其曲率和挠率。
曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们帮助我们揭示曲线的特性和几何性质。
在本文中，我们将探讨空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率，并详细解释它们的含义和意义。
2. 曲率的定义与计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的弯曲程度。
我们可以通过计算曲线在该点的切线与曲线的弯曲部分的夹角来得到曲率值。
具体而言，曲率的定义为：在某给定点上，曲线上的切线和该点的弯曲部分之间的夹角的余弦值的倒数。
3. 曲率中心轨迹的意义与计算方法曲率中心轨迹是描述曲线所有点处曲率中心连成的轨迹，它告诉我们曲线在不同点上的曲率中心位置和分布情况。
曲率中心轨迹可以通过计算曲线上任意两点的曲率中心连成的线段的中垂线的交点来得到。
这些交点的连接形成了曲率中心轨迹。
4. 挠率的定义与计算方法挠率是描述曲线旋转程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的旋转程度。
我们可以通过计算曲线在该点的法平面和曲线的弯曲部分之间的夹角来得到挠率值。
具体而言，挠率的定义为：在某给定点上，曲线上的法平面和该点的弯曲部分之间的夹角的正弦值。
5. 曲率与挠率的关系与联系曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们之间存在重要的关系与联系。
曲率越大，曲线弯曲程度越大；挠率越大，曲线旋转程度越大。
这说明曲率和挠率是同一个几何性质的两个方面，它们共同揭示了曲线的全面特性。
6. 个人观点与理解在我的理解中，空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率是描述曲线行为的重要指标，它们不仅告诉我们曲线的弯曲和旋转程度，还能够揭示曲线的几何性质和特性。
通过深入研究曲率和挠率，我们可以更好地理解曲线的特点，进一步应用于各个领域的问题中。
总结与回顾在本文中，我们全面探讨了空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率。
空间曲线的曲率和挠率分析
空间曲线的曲率和挠率分析
空间曲线的曲率和挠率分析
作者：鞠振晓
作者机构：温州大学
来源：华人时刊（中旬刊）
ISSN：1006-0278
年：2013
卷：000
期：011
页码：243-243
页数：1
中图分类：O24
正文语种：chi
关键词：空间曲线;曲率;挠率
摘要：曲率和挠率是空间曲线的两个非常重要的属性，空间曲线的曲率和挠率不同，所形成的空间曲线的长度以及围成的面积就会不同。
在微分几何中，进行空间曲线的曲率和挠率分析是非常有必要的。
文章首先简单地概述了空间曲线的曲率以及挠率的基本内涵和几何意义，然后，提出了空间曲线的曲率和挠率对空间曲线的形状的影响。
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。
本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。
曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。
曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。
二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。
具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。
挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。
挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。
挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。
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弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
8a.
0
0
2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
18
推广: 空间曲线弧. (p.107)
: x (t), y (t), z (t). ( t )
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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12
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
16
(2) 平面曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
注:可将上述公式推广到空间的情形
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17
例2 求旋轮线
x at sint
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 (dz)2
2 (t) 2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s ds 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( )
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8
例. 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然,
当x
b 2a
时,
k最大.
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
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9
例:
求摆线 解：
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在顶点t
处的曲率(a
0)。
y sint , 1 cos t
(1 y2 )3/ 2 (1 ( sint )2 )3/ 2 1
1 cos t
sin3 t
2
y 1
1 ,
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b 1 f 2 (x) dx a
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15
例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x
从
a
到
b
的
3
一段弧的长度.
解
y
1
x2 ,
所求弧长为sຫໍສະໝຸດ ba1 xdx
2[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
3
a
b
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2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
13
空间曲线的曲率
运用微分学的理论, 研究曲线和曲面 的性质的数学分支——微分几何学.
预备知识
1. 弧微分公式与弧长计算公式
2007年8月
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14
弧微分公式
(1) 平面曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
4a sin4 t
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
2
2
Kt
1 4a
.
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10
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
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二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
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5
注意: 直线上任意点处的曲率为 0.
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
K lim
s0 s
1 R
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度越大, 转角越大
转角相同弧段越短, 弯曲程度越大
注:曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比,与弧长成反比.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
4
y
设曲线C是光滑的，
C
MM s ,
M M 切线转角为 .
定义
o
M.
.M)
S
x
弧段MM的平均曲率为K .