混沌学222
系统工程混沌学
起源与发展
最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个 系统中随时间变化的变量。洛伦兹（E.N.Lorenz）教授于1963年《大气科学》杂志上发表了“决 定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一 种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。
洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极 细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半 球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国德克 萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的 “蝴蝶效应”。
混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。这是由 它的成立的目的——解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。它的基本 观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，适用面最广的科学。
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PART THREE
蝴蝶效应
蝴蝶效应
运输
混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师 小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的 交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速 公路上，那你就把责任推给混沌。
天文学
先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙 起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。 Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳 定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。
艺术
科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌，则 却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术公司的董事 长Kevin说，他支持“艺术或科学上的古怪或不同寻常的努 力”。Kaos公司在1995年主办了混沌芝家哥艺术节。艺术 家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内 容带回到了装饰术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来 。1995年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸引子 ：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸引子：混沌的 奇观”轰动美国。
略论混沌学及应用
略论混沌学及应用摘要:20世纪60年代初,混沌学开始在美国兴起,二三十年间,这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展,已渗透到各学科领域。
关键词:混沌学新兴学科理论概念领域公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家,物理学家—庞加莱,他是在研究天体力学,特别是在研究三体问题时发现混沌的。
他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为,确定性动力学方程的某些解的不可预见性。
他在《科学的价值》一书中写道:“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别;前者的微小误差促成了后者的巨大误差,于是预言变的不可能了”。
这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特征。
Lorenz方程在1963年由EdwardN.Lorenz提出,起初是为了描述大气现象。
在这个非线性动力系统中。
他发现了混沌现象。
并且提出了所谓“蝴蝶效应”。
我们发现,初值十分相近(只相差0.02)的两个轨线竟然在时相差如此之远,而且似乎根本没有回头的打算。
1 略论混沌学及其应用什么是混沌,它的原意是指无序和混乱的状态(混沌译自英文Chaos)。
这些表面上看起来无规律、不可预测的现象,实际上有它自己的规律。
混沌学的任务:就是寻求混沌现象的规律,加以处理和应用。
20世纪60年代混沌学的研究热悄然兴起,渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域,成为一门新兴学科。
1.1 在通信领域的使用通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起,对保密通信提出了更高的要求。
利用混沌进行保密,通信是现在十分热门的研究课题。
混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感,并导致了混沌信号的类随机特性。
用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。
因而,调制混沌信号即使被敌方截获,也很难被破译,这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。
因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。
1.2 在气象学中的应用早在1904年,挪威气象学Bjerknes就提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题。
混沌学
[编辑本段混沌学探秘计94 991422 刘洋。
]简介混沌学（英文：Chaos）在科学上,如果一个系统的演变过程对初态非常敏感,人们就称它为混沌系统。
研究混沌运动的一门新学科,叫作混沌学。
混沌学发现,出现混沌运动这种奇特现象,是由系统内部的非线性因素引起的。
[编辑本段]混沌学的起源和发展1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷，并由此提出了天气的不可准确预报性。
时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。
今天，伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。
一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。
而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。
而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。
与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。
例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。
举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。
混沌学
身边的混沌学
2 大脑的混沌规律 这个过程为什么说是混沌的呢？
因为人类的大脑是最复杂的 物体，近十年来的神经生理学 的研究已经让人们更多地认识 了大脑。 大脑中神经元的工作机理也逐 步清晰：一些比较底层的神经元 （是指执行最基本任务的神经元） 从它的数千个树突上获得外界的 信号，然后这些神经元的任务就 是做出评判。
混沌也不是独立存在的科学，它与其 它各门科学互相促进、互相依靠，由此派 生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌 经济学、混沌数学以及混沌在学习中的奥 妙等。混沌学不仅极具研究价值，而且有 现实应用价值，能直接或间接创造财富。
混沌学的应用进展
混沌思想已被一群数学家和物理学 家，变成了一项非常有用的实用技 术，即混沌控制。
洛伦兹在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。 他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高天气预 报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始 条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。
身边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ混沌学
1 混沌与学习的关系
人的学习活动从微观尺度 到宏观尺度都有混沌的潜规 则在发挥作用，这些作用甚 至可能完全改变一个人的终 身轨迹，可能会有巨大的成 功，也可能会陷入不可避免 的怪圈中。 n “不积跬步，无以至千里” n “勿以善小而不为，勿以 恶小而为之”
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条 件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是 一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
人行道上 摆满自行车
混沌学的发展简史及其三大主要特性概述
混沌学的发展简史及其三大主要特性概述为什么天气变化存在着不可预测性呢？商品价格的长短期变化之间有什么关系呢？气体、流体在由平稳向湍流变化过程中存在着哪些中间状态？为什么两个形式与意义极不同的方程，迭代所出现的倍周期参数收敛的比率却完全相同呢？人们在对这些问题的研究中，诞生了一门崭新的科学——混沌学。
1混沌学的发展史(一) 混沌现象的发现1903年，美国数学家Poincare J.H.在《科学与方法》中提出了Poincare猜想。
该猜想将动力学系统与拓扑学两大领域结合，指出混沌存在的可能性，从而成为世界上最先了解存在混沌可能性的人。
到了20世纪60年代，人们开始探索科学上那些莫测之谜，使混沌学得到飞速发展。
美国气象学家Lorenz E.用一台原始的计算机研究气候的变化。
1963年，他在《大气科学》上发表了“决定性非周期流”一文，清楚地描述了对初始条件的敏感性这一混沌的基本性态，即著名的“蝴蝶效应”。
可以说，是天气预报和气象学的研究扣开了混沌学的大门。
Lorenz E.也因此成为“混沌学之父”。
20世纪70年代，科学家开始考虑许多不同种类的不规则之间有什么联系。
生理学家研究人类心脏、生态学家探索种群体增减规律、经济学家研究股票价格升降、气象学家研究云彩的形状和雷电的径迹、医学家研究血管在显微镜下所看到的交叉缠绕、天文学家研究星星在银河中的簇集等，都发现其中存在着混沌现象。
(二) 混沌理论的诞生1970年美国科学史家Kuhn T.S.的《科学革命的结构》一书，对混沌理论的发展起到推波助澜的作用。
特别是1975年，马里兰大学的中国学者李天岩和美国数学家Yorke J.在《美国数学》上发表了“周期三意味着混沌”一文，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。
随之，1976年美国生物学May R.在《自然》杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一文，它向人们表明了混沌理论的惊人信息，简单的确定的数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。
混沌学及其应用
混沌学及其应用混沌是20世纪最重要的科学发现之一, 被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理革命；我们模拟的混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性, 它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线。
生活中的非线性系统混沌现象有很多，随着对其和混沌应用的研究深入,电子、通讯、信息处理、气象学、生态学、经济学等领域的混沌学的知识应用已经有了广泛的应用。
1、混沌学在通讯里发挥着重要的作用电子商务的兴起,对保密通信提出了更高的要求。
利用混沌进行保密,通信是现在十分热门的研究课题。
混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感,并导致了混沌信号的类随机特性。
用它作为载调制出来的信号当然也具有类随机特性。
因而,调制混沌信号即使被敌方截获, 也很难被破译,这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。
2、在气象学中的应用在近年的气象研究中,利用混沌进行中期预报的研究。
由于气候系统是线性系统,其初值问题的数值解是不确定的,研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征,研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。
在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论,如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。
利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。
在数学上把天气预报问题提成初值问题,即用动力学的方法进行预报,从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统,这在较短的时间尺度内是行得通的,而在时间较长的时候却是有问题的,主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。
3、混沌学在医学中的应用（作为一个生物学生不得不讲的点）单从生物医学角度来看,某一特定的机体可以看作一个确定性系统,其存在大量复杂、貌似随机而似有规律可循的现象。
因此,混沌理论可用于指导对复杂性、系统性疾病的研究（某些复杂的免疫疾病，我查到有IgG4相关性疾病这些复杂的疾病）,也可以用于对一个整体身体状况的评估：比如我们仔细测量一段时间内的心电图, 会发现健康的心脏几乎没有两处P-P 间期完全相等的, 应该说是“绝对不齐”才是健康的。
混沌理论
混沌理论数学公式
混沌理论数学公式混沌理论是20世纪最重要的物理学理论之一，1982年由美国物理学家罗伯特库仑提出，它意味着一些常被认为是不可预测的系统可以被数学描述，这使科学家能够探究系统之间的联系。
混沌理论的最重要的一个特征是，它可以用数学来描述，具体来说，可以用一组混沌理论数学公式来描述系统的行为。
混沌理论数学公式的基础是微分方程，这是物理学家们用来描述不同系统的行为的数学形式。
微分方程是由著名的法国数学家和物理学家伽罗华引入的，他在17世纪提出了一组含有微分方程的数学系统，用来表达物理过程的演变。
伽罗华的微分方程开启了混沌理论的大门，从而使混沌理论能够使用数学来描述它所涉及的系统的行为。
混沌理论的数学公式的特点有三点，即不可线性、独立性和连续性。
首先，混沌理论数学公式是不可线性的，这意味着一个微小的变化可能导致系统发生巨大变化，这是混沌系统中一个重要的特点。
其次，这些公式是独立的，这就意味着它们不受其他系统的影响，而只受各自的参数来控制。
最后，混沌理论数学公式是连续变化的，也就是说，它们是不断变化的，从一个状态转变成另一个状态。
混沌理论的数学公式有助于我们更好地理解复杂的系统，帮助我们了解系统之间的联系，也有助于预测未来的发展趋势。
通过使用混沌理论的数学公式，科学家们可以模拟物理过程，从而更好地掌握它们的发展趋势，并能够预测它们的未来发展。
混沌理论的数学公式在全球范围内都很受欢迎，它们不仅应用于物理学和数学，还应用于许多其他学科，如社会学、经济学、心理学等，它们为各学科提供了一种新的研究方法，从而推动了许多学科的发展。
混沌理论的数学公式在过去的几十年里一直受到广泛的关注，它们的研究也在不断深入下去。
今天，混沌数学公式已成为多种科学领域，特别是物理学中一个重要的工具，它们不仅被用来研究物理学，而且还在其他学科中得到广泛应用，如社会学、经济学、心理学等，它们都是科学研究中不可或缺的工具。
综上所述，混沌理论数学公式是描述复杂系统的行为的有效数学工具，它们的研究对人类的进步有着重要的意义。
混沌理论浅说
混沌理论浅说混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。
这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
一·混沌学形成的背景在经典力学中，简化的力学模型人为地排除了偶然性，把必然性强烈地体现出来。
根据牛顿的动力学方程，可以从物体的初始状态准确地计算出在此之前或以后的任一时刻的运动状态，这些运动状态之间具有确定的、必然的因果联系。
拉普拉斯虽然对牛顿的一些错误观点作了尖锐的批判，但他却像牛顿一样积极宣传机械论，并把机械决定论推到了极端。
他在《概率论》引言中说：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据，由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。
对于这个精灵来说，没有不确定的东西。
过去和未来都会呈现在它的眼前。
”［1］1963年美国气象学家爱德华·诺顿·劳仑次]]提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。
混沌理论解释了决定系统可能产生[[随机]]结果。
理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。
在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用二·混沌理论的基本概念混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。
一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性——不可重复、不可预测，这就是混沌现象[2]1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断[3]：“在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风”，并由此提出了天气的不可准确预报性。
混沌学
蝴蝶力量——混沌（0902040115 梁熊土木学院09给排水一）一、混沌的定义1961年冬天，洛伦茨用计算机作天气仿真运算。
为了省事，他从原先输出的计算结果中选出了一行数据——相当于某一天的天气状况——作为初始条件输入了程序。
计算机从那一天的数据开始了运行，洛伦茨则离开了办公室去喝咖啡。
中国的神话故事中有所谓“洞中方一日，世上已千年”的传说，洛伦茨的一杯咖啡就“喝”出了那样的境界。
一个小时后，当他回到实验室时，仿真系统已经运行了两个月。
洛伦茨一看结果，不禁吃了一惊：新的计算结果与原先的大相径庭。
这为什么令人吃惊呢？因为这次计算采用的初始条件乃是旧的数据，既然初始条件是旧的，得到的结果怎么会大相径庭呢？原来，第二次运算时他为了省事，直接从上一次仿真的中段开端，输入第一次仿真结果打印出来的数据，让计算机运算。
这样从中段开始与完全从头开始的差别在于，打印单上只显示到第一次的计算机运算结果小数点后3位的0.506，而非完整的小数点后6位0.506127。
因此，当洛伦茨把以前输出的数据作为初始条件输入时，它与原先计算中保留了十几位有效数字的数据相比，已经有了微小的偏差。
洛伦茨的计算表明，在他的仿真系统中，这些微小的偏差每隔四天就会翻一番，直至新旧数据之间的相似性完全丧失为止。
最初远小于千分之一的差异，最终却造成了第二次的仿真结果和第一次完全不同，这正是蝴蝶效应。
洛伦茨从这个惊人的结果发现，准确预测天气只是人类的幻想，进而揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，洛伦茨最初使用的是“海鸥效应”来形容这种现象，不过这并不是一个完全新颖的比喻：爱伦坡曾声称人们挥着手可能会影响大气条件，但洛伦茨是第一次对此进行系统思考并形成新的理论的人。
他把这一发现写成研究论文，于1963年出版，并于1972年正式提出“蝴蝶效应”这一著名的名词。
科学家们对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第三次革命”，它与相对论、量子力学同被列为20世纪的最伟大发现之一。
数学的混沌理论
数学的混沌理论混沌理论是数学中一种涉及非线性动力系统的分支，它研究的是看似混乱无序的系统行为。
混沌理论包含了一系列重要的概念和现象，如吸引子、分岔、奇点等，深化了我们对复杂系统的理解。
本文将介绍混沌理论的基本原理和一些与之相关的重要应用。
1. 混沌理论的起源与发展混沌理论的起源可以追溯到19世纪中叶，当时的数学家们开始对动力系统的行为进行研究。
然而直到20世纪60年代，混沌理论才真正引起了数学家们的广泛关注。
在此期间，一些重要的研究成果相继出现，如洛伦兹提出的洛伦兹吸引子以及佩尔特斯基兴等的相关工作，这些成果为混沌理论的发展奠定了基础。
2. 混沌的数学模型混沌系统的数学模型通常采用迭代映射或微分方程来描述。
迭代映射是一种简单而直观的模型，它将系统的状态从一个时刻映射到下一个时刻。
常见的迭代映射包括著名的Logistic映射和Henon映射。
而微分方程则更加适合描述连续变化的系统，其中最为著名的例子是洛伦兹方程。
3. 混沌系统的特征和行为混沌系统的行为通常表现为对初始条件极其敏感，微小的变化可能导致系统演化出完全不同的结果。
这种不确定性使得混沌系统的行为看似随机而无序，但实际上却是由确定性的非线性规律所决定的。
此外，混沌系统常常呈现出激起人们兴趣的特征，如分岔现象、吸引子的出现以及奇异吸引子等。
4. 混沌理论的应用混沌理论不仅在数学领域发展迅猛，还在众多学科中得到广泛应用。
在物理学中，混沌理论被用于研究天体力学、量子力学等领域。
在生物学中，混沌理论被应用于研究生物钟、心脏节律等现象。
此外，混沌理论还被应用于通信加密、数据压缩、图像处理等信息学领域。
5. 混沌理论的挑战和展望尽管混沌理论在许多领域取得了重要的成果，但仍然有许多挑战亟待解决。
首先，如何准确地刻画和预测混沌系统的行为是一个重要的课题。
其次，如何在实际应用中克服混沌系统的不确定性，提高系统的可控性也是一个难题。
未来的研究将继续探索混沌系统的本质，寻找更多的应用领域，并解决其中的难题。
混沌理论综述很全
拉格朗日
三个等质量旳物体，排成等边三角形绕三角形旳中心做 圆周运动。
近代计算机运算
三个等质量旳物体在一条“8”字形轨道上运动。 ------宇宙中还没找到。
混沌与分岔旳起源与发展
❖ 混沌现象发觉后来，有关分岔与混沌之间联络旳研 究得到迅速发展，如：
❖ Rulle和Takens发觉环面分岔通向混沌； ❖ Feigenbaum发觉倍周期分岔通向混沌； ❖ Pomeou等发觉伴随鞍结分岔旳阵发性通向混沌。
混沌旳特点
5. 普适性
❖ 普适性涉及两种，即构造旳普适性和测度旳普适性。 ❖ 当系统趋于混沌时，所体现出旳特征具有普适意义，其
特征不因详细系统旳不同和系统运动方程旳差别而变化。
混沌旳特点
6. 遍历性
❖ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
混沌旳特点
7. 奇怪吸引子
❖ 混沌旳定性描述，“混沌是拟定性非线性系统旳有界旳敏 感初始条件旳非周期行为”。
混沌旳概念
❖ n周期点旳定义：假如对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于不大于n旳自 然数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 旳一种n周期点。
❖ n周期轨道旳定义：当x0为f 旳一种n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 旳n周期轨道。
混沌旳特点
2. 内在随机性
❖ 拟定性行为一定产生于拟定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是拟定性方程。 随机微分方程体现出来旳随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界逼迫所产生，常称为外在随机性。拟 定性方程本身不包括任何随机原因，但在一定旳参数范 围却能产生出看起来很混乱旳成果，把这种由拟定性方 程产生旳随机性称之为内在随机性。
混沌学研究生
混沌学研究生
混沌学是一门研究确定性系统中的随机性行为的科学，主要关注系统对初态的敏感性以及由此产生的不可预测性。
混沌学的研究对象主要是非线性动力系统，这些系统在数学、物理、工程、生态学等领域都有广泛的应用。
在混沌学研究生的课程中，学生将深入学习混沌理论的基本原理、方法和应用。
课程可能包括非线性动力学、分形几何、统计物理等领域的内容，以便学生掌握混沌系统的基本特征和规律。
此外，学生还将学习如何利用计算机模拟和数值分析方法来研究混沌系统的行为，并掌握一些常用的数值计算软件。
混沌学研究生的就业前景比较广泛，可以在学术界、工业界、金融业等领域找到合适的工作。
例如，在学术界，学生可以在科研机构或大学中从事混沌理论及其应用方面的研究工作；在工业界，学生可以在能源、交通、通讯等领域的企业中从事系统优化和复杂性的研究工作；在金融业，学生可以在风险管理、投资策略等方向找到就业机会。
总体而言，混沌学是一门很有前景的学科，它的研究涉及到许多复杂的系统和现象，对于我们深入理解自然界的复杂性和人类社会的行为具有重要意义。
混沌学
艺术
科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌， 则却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术 公司的董事长Kevin说，他支持“艺术或科学上的 古怪或不同寻常的努力”。Kaos公司在95年主办 了混沌芝加哥艺术节。艺术家和建筑师的反响是 热烈的，他们说混沌理论把意义和内容带回到了 装饰术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来。 95年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸 引子：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸 引子：混沌的奇观”轰动美国。
滴水龙头的混沌现象
水龙头开得较小时， 水滴将很有规律地 从水龙头滴下。连 续滴水的时间间隔 可以非常一致 当水流速度稍高时， 水龙头的行为就是 一般人不大熟悉的 了
经观察发现，在某一速度范围内虽然水滴 仍是一滴滴地分开落下，但其滴嗒方式却 始终不重复，就像一个有无限创造力的鼓 手。这种从有规律的滴水方式向似乎是随 机的滴水方式的转变,类似于层流向湍流的 转变。如图所示，在水龙头下放一话筒， 记录水滴敲击话筒的声音脉冲，就很容易 发现这种无规则的混沌现象。
医学
心脏是一个混沌系统，健康人的心跳间隔 不是固定不变的，如果心脏严格地按一定 时间间隔跳动，这反倒是有病的表现。另 外，人的脑神经系统、眼球、血小板生成 系统、免疫系统等生理器官也都是混沌系 统。人衰老时，这些器官的运动的混沌程 度降低，心率、血压、脑电波的变化丧失 复杂性，呈简单的规则变化．
生态学
生态学方面，种群生物学家用混沌理论研 究了像猫头鹰与田鼠这样的捕食者与猎物 系统中各类动物数目的涨落，以及寄生现 象中寄生物与宿主的相对丰度．
经济
在经济方面，有人正用混沌理论研究金融 市场，他们准备以已知的数以千计的经济 数据为根据对股市行情进行预测．
交通
混沌学——精选推荐
混沌学中的简单与复杂何谓简单？何谓复杂？我们对于简单的理解有很多，比如说，当组成系统的要素只有有限的个数，最好是可以搬着手指数得过来，就说这样的系统是简单的，这是构成的简单。
如果系统总是在不断重复中运行，像钟摆、像绕太阳运动的行星一样周而复始，就说这是简单的周期运动，这是行为的简单。
如果物体的形状用有限个直线和圆就可以描述，外观舒展整齐、线条洗练，就说它是几何化的（当然是欧几里得几何），这是形状的简单。
还有作用的简单，如果系统中要素间的相互作用是线性的、可叠加的，……对应着简单，对于复杂的认识也有不少，比如说，要素众多、盘根错节的运动轨迹、难以描述的图形、多变的结构、非线性作用，等等，都是从不同角度理解复杂。
迂回一点的话，我们还可以从解决问题所需要花费时间的多少、所编计算机程序的长短等，判断事情复杂与否。
在上个世纪70年代之前，人们对简单或复杂的看法很明确，简单就是简单，复杂就是复杂，因此，简单系统的行为必然简单，复杂行为的原因肯定复杂。
然而，在混沌学中简单与复杂的关系可不简单，呈现种种深刻的关联。
首先，简单系统能够产生出复杂行为。
混沌可以出现在一些极简单的确定性系统中，具体地说，它只要求构成要素不低于三个，因此只有三个要素的系统就可能具备极复杂的行为。
比如说我们已经习惯了地球年复一年地绕太阳运行，这是个简单力学系统中的简单周期运动。
但如果让地球绕两个太阳运行，虽然仍是简单力学系统，只不过由两个天体增加到了三个，地球的运动便将复杂到无法想象的程度，就像一只被无数只大脚乱踢的足球。
需要注意的是，这时“地球”的运动仍是严格遵循力学规律的。
1963年建立的洛仑兹动力学方程，一个描述大气对流状况的数学模型，也向世人展示了这一现象。
这个方程描述的系统只有三个变量，其运动却是混沌的。
我们可以试着感受它的复杂：想象天空中有一只美丽的蜻蜓，它不是在自由的飞翔，而是按照一个极为确定的指令——洛仑兹动力方程——飞翔，那么它所留下的轨迹就正好是洛仑兹动力学方程描绘的运动轨迹，结果你就看到了一种奇特的形状——像一只展开了双翼的蝴蝶（见图），有着永不相交、永不重复的高深莫测的圈和螺线。
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混沌学"混沌"一词译自英文"chaos"，"chaos"一词来自希腊文" "，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的宇宙。
我国自古就有用"混沌"状态来描述万物伊始的宇宙。
《老子》一书中所说"有物混成，先天地生。
"就是一例。
而《庄子》三十三篇中关于浑（混）沌的论述则更赋哲理，《庄子》内篇七未尾有这样一段话："南海之帝为倏。
北海之帝为忽。
中央之帝为浑沌，倏与忽时相迂於混沌之地，浑沌待之甚善。
倏与忽谋报混沌之德，曰：人皆有七窍。
以视听食息，此独无有，当试凿之。
日凿一窍，七日而混沌死。
"可见，《庄子》一书中的浑沌是一位君主的名字。
此人无眼、无鼻、无口、无耳，但对南、北方君主很好，他们为了报答，试图帮助浑沌进行手术，开七孔于头部，一天一个手术，七天便使浑沌这位君主死掉了。
倏忽是迅速灵敏的意思，混沌则表示无知愚昧。
虽然上文的混沌也代表一种无序，但这与当代混沌科学是信息的起源恰恰相反。
当代混沌的含义是指非平衡态的混沌，是无序中的有序，是"活"的无序，而庄子的混沌是平衡态的混沌，是"死"的无序。
庄子的文章主要是通过自然现象来隐喻哲理，他认为为人处事不应一触即跳，有时不如伪装成一个闭目塞听的人。
这是对人类行为具备混沌的必要性的最早哲学观点，另外《庄子》的文章也论及了混沌的重要性："万物云云，各复其根，各复其根而不知，浑浑沌沌，终身不知，若彼知之，乃是离之。
"这段文字表达了这样一个观点：认为混沌是介乎可知（如确定论）与不可知（如概率论）之间的潜在的"万物云云"的根源。
庄子为研究个人在政治生活中的策略而引入混沌的思想，可谓是一大贡献。
继相对论和量子论之后的混沌学对以牛顿经典力学为核心的经典科学世界图景进行了又一次深刻的变革如果一个系统的演变过程对初态非常敏感,人们就称它为混沌系统。
研究混沌运动的一门新学科,叫作混沌学（英文：Chaos）。
混沌学发现,出现混沌运动这种奇特现象,是由系统内部的非线性因素引起的。
美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹于1963年《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。
洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。
洛伦兹打了个比喻，即在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。
与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。
例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。
混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。
这是由它的成立的目的——解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。
它的基本观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。
它是与哲学一样，适用面最广的科学。
混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。
混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。
混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。
混沌学突破了经典科学单调的线性图景，为非线性涂上浓墨重彩的一笔经典科学广泛采用线性的研究方法，因此也被叫做线性科学。
所谓线性，是指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动。
当经典科学面对非线性现象时，总是设法略去非线性因素，或者把非线性问题简化为线性问题来处理。
牛顿力学的巨大成功，直至爱因斯坦的广义相对论，甚至量子力学，一直都在运用线性逻辑作为科学描述的有效工具，并且一直是成功的。
但混沌理论的创立却极大地动摇了这一信念。
真实自然的联系更多的是非线性联系，像牛顿质点那样可以简化的对象，对于大多数自然现象来说是并不存在的。
因为线性逻辑的联系，仅仅是大自然中的一种局部现象。
大多数自然现象都有着与整个宇宙自然背景的非线性联系，而它与其它事物的关系，也不能简化为线性逻辑的关系。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。
因为非线性是指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两只眼睛的视敏度是一只眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，而实际却是6～10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
由于非线性具有横断各个专业、渗透各个领域等特性，因此可以说混沌无处不在，无时不有。
如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己也是非线性的。
医学研究表明，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的。
因此，可以说，混沌正是生命力的表现。
在混沌学看来，客观世界中的复杂事物可以分为两种：一种是无规可循造成的复杂即无序的混乱，这种复杂的特点是，如果图景是复杂的，那么影响这个系统的规则必定很多；一种是有规律的复杂即混沌，这种复杂的事物具有分形结构，虽然形式上很复杂，但本质上却很简单，只用几条规则便可破译它的奥秘。
因为分形恰巧有这样的特点：看上去好像全无规则、复杂混乱，却可以用极少的信息表述出其全部信息。
换句话说，分形具有一种从简单进入复杂的能力，是一个能够在简单中孕育复杂、将无限融于有限之中的统一体。
混沌学的研究还表明，大自然似乎异常偏爱分形，证据是自然界中以第二种复杂事物居多数。
想一想道理也很简单，因为有了分形，大自然就不必运用无穷多的信息去构筑极度复杂的世界了，她只需使用有限的、少量的信息，通过简单的迭代过程，便可“创造”出丰富多彩、精美绝妙的万物。
于是我们看到，大自然中有许多精巧绝伦的分形奇迹，比如说，蜿蜒曲折的海岸线、沟壑相连的水系、凹凸不定的浮云、枝繁叶茂的大树、动物身上斑驳的花纹、人体内的血管体系等等。
混沌学的应用进展：天文学方面：先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。
Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳定的观点。
太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。
气象学：Massachusetts理工学院的Edward Lorenz 1963年混沌行为的实验证明使今天的气象学家承认大气的混沌使超过三两周到未来的精确的天气预报成为不可能。
但是一些人希望混沌模型最终可使它有可能预报长期的天气趋势。
生理学：Berkeley的California的Walter Freeman说脑子利用混沌作为等待状态，他说：人类脑电图（EFG）的研究表明，当一位受试者在接受或处理信息时，脑电波图会变得有序，其余的脑研究者正在通过分析混沌的脑电图的图形寻找预报癫痫发作的方法。
国际政治学：Wayne州立大学为敌对的两个国家之间的军备竞赛编制了一个模型，一个两国都有反导弹防御系统模型实验表明，局势是混沌和不稳定的，最终将导致战争。
运输：混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速公路上，那你就把责任推给混沌。
艺术上：科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌，则却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术公司的董事长Kevin说，他支持“艺术或科学上的古怪或不同寻常的努力”。
Kaos公司在95年主办了混沌芝家哥艺术节。
艺术家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内容带回到了装饰术中。
混沌将有序无序巧妙地结合了起来。
95年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸引子：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸引子：混沌的奇观”轰动美国。
混沌学的哲学思考哲学是自然科学、社会科学和思维科学的概括和总结。
自然科学的发展对哲学发展的促进作用是有目共睹的。
本世纪６０年代以后，混沌理论的兴起导致一系列在"紊乱"现象背后的惊人发现，引起人们广泛的注意。
混沌不仅是个科学问题，也涉及到许多重要的哲学问题。
特别是在有序和无序、稳定和非稳定、简单和复杂、局部和整体、决定论和非决定论等矛盾关系和辩证转化的条件和机制方面，给人以新的启迪。
我们看到，对混沌学的研究为人类开辟了一个新空间，很多原有的概念在此空间中将被深化，将进一步地反映出其本质。
就像波和粒子的概念在量子力学中得到统一一样，在混沌领域中，原有的很多经典的概念在此也得到了统一。
我们可以说混沌反映的是一种无序中的有序，它是确定论中不确定性，是整体的方向性与局部的非方向性，是在稳定与失稳中不断演化，原因非常简单，而结果又是错综复杂的一类现象。
它深刻地反映了对立统一的哲学思想。
混沌学的诞生直接导致了对确定论与概率论的讨论。
确定论的思想自牛顿以来就根深蒂固，过去随机性只是和不可逆联系在一起的。
现在，在确定性的、可逆的牛顿方程内部，出现了内在的随机性。
可见，确定性和随机性之间的界限并不是不可逾越的。
确定论和概率论描述之间存在着由此及彼的桥梁，这座桥梁或许将是混沌所表现出的决定性的内在随机性。
对于一个非线性系统，我们依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。
在这一系列相变过程中，系统的有序程度不断提高，对称性不断减少，不断增加有序性是对无序的不断否定，而出现混沌是有序程度增加到了最高程度，是系统最有序的表现，也是系统呈现一种新的无序，是对有序的更否定；通过有序程度的不断增加，经过倍周期分岔达到非平衡混沌，不同于原来系统平衡态时呈现的无序的混沌，它有分数维数，有奇怪吸引子，有无穷嵌套的自相似结构，它在一个尺度上的表现的随机现象，会以同样的形式在不同尺度上重复出现。