高考数学圆锥曲线重要模型
高考数学解析几何大题中四种模型
一、定比分弦模型焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，过其焦点F 的直线交曲线与A ，B 两点，直线AB 的斜率角为θ，斜率为k ，并且有 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线：①A,B 在曲线同一支，则离心率e 满足 ②A,B 在曲线两支，则离心率e 满足 3.若该曲线是抛物线，则 如果焦点在y 轴上，那么把 这里以椭圆为例给出简单证明：证明：由圆锥曲线的极坐标方程可以得到： 当然极坐标方程不能在大题中直接运用，那么可以用余弦定理作证明： 二、焦点三角形离心率模型已知 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线，则离心率e 满足 该式子的证明在书本焦点三角形给出了证明，这里就不给出证明了。
三、椭圆与双曲线共焦点模型：椭圆与双曲线共焦点，并且椭圆离心率为e 1 ,双曲线离心率为e 2,他们交于P点并且满足 ________FB AF λ=|1||1- |1|1||1- ||e.cos |2++=⇒+=λλλλθk e |1||1 |1|1||1 ||cos e |2-++=⇒-+=⋅λλλλθk e )1(11|cos |=+-=e 实际上就是抛物线的满足λλθλ即可改成θθsin cos θe epBF θ-e ep cos 1||,cos 1|AF |+==11cos cos 1cos 1+-=⇒=-+=⇒λλθλθθe e e BF AF 1222121122121222cos 2AF a AF F AF F F AF F F AF AF -=∠⋅-+=，其中βα=∠=∠122121,,F PF F PF P F F 是曲线上一点，若，是圆锥曲线的左右焦点()βαβαsin sin sin ++=e ()|sin sin |sin βαβα-+=e 2cos 1cos 1,222121=++-=∠e e PF F θθθ则满足证明：设椭圆长半轴与短半轴分别为 ，双曲线的实半轴与虚半轴分别为 由焦点三角形：四、双曲线焦渐比模型这种模型是双曲线渐进线上的一点跟焦点连线已知比率求离心率问题。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的四种经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型Last revision on 21 December 2020圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
高中数学轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(解析版)
轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a -c ,a +c ；F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c -a ．3、利用角度长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若∠F 1PF 2=θ，则椭圆离心率e 的取值范围为sin θ2≤e <1．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式题型二：圆锥曲线第一定义题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)题型五：利用数形结合求解题型六：利用正弦定理题型七：利用余弦定理题型八：内切圆问题题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ题型十一：基本不等式题型十二：已知PF 1 ⋅PF 2范围题型十三：PF 1=λPF 2题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角题型十六：利用渐近线的斜率题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围题型十九：四心问题【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，双曲线C的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足∠AFB =120°，且BF=2AF ，则双曲线C 的离心率是________．【答案】3【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，由条件可得BF -AF =AF -AF =2AF -AF =2a ，则AF =2a ，BF =4a ，∠F AF =60°，所以FF 2=AF 2+AF 2-2AF ⋅AF ⋅cos ∠F AF ，即4c 2=16a 2+4a 2-16a 2×12，即4c 2=12a 2，c =3a所以双曲线的离心率为：e =ca=3，故答案为3.例2.(2022·四川·高三阶段练习(理))已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若AF 1⊥AB ，且AB =2AF 1 ，则C 的离心率为( )A.2B.1+2C.3D.1+3【答案】C【解析】如图，设AF 1 =m ，则AF 2 =m -2a ．又AB =2AF 1 ，所以BF 2 =m +2a ，所以BF 1 =m +4a ．又AF 1⊥AB ，所以BF 1 =5m ，由m +4a =5m ，得m =5+1 a =AF 1 ，则AF 2 =m -2a =5-1 a ，而F 1F 2 =2c ，则4c 2=5+1 2a 2+5-1 2a 2，化简得c 2=3a 2，所以e =c a=3．例3.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1作直线l 与C 的左、右两支分别交于M ,N 两点，且△MNF 2是以∠MNF 2为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则e 2=( )A.5+33 B.5+32C.5+22D.5+23【答案】C【解析】设|MN |=|NF 2|=m ,|MF 2|=2m ，由双曲线的定义得|MF 1|=2m -2a ，又|NF 1|-|NF 2|=2a ,∴m +2m -2a -m =2a ，∴m =22a .又|NF 1|2+|NF 2|2=|F 1F 2|2,所以(22a +2a )2+(22a )2=4c 2，所以c 2a 2=5+22,∴e 2=5+22.故选：C例4.(2022·甘肃·瓜州一中高三期中(文))若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2m=1的离心率是( )A.32或5 B.5 C.32D.32或52【答案】A【解析】∵m 是2和8的等比中项，∴m =4或m =-4，当m =4时，方程为x 2+y 24=1，表示椭圆，∴a =2,b =1,c =a 2-b 2=3，∴离心率为32，当m =-4时，方程为x 2-y 24=1，表示双曲线，∴a =1,b =2,c =a 2+b 2=5，∴离心率为5，故选：A例5.(2022·江西·高三开学考试(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上(M 位于第一象限)，且点M ，N 关于原点O 对称，若MN =F 1F 2 ，22MF 2 =NF 2 ，则C 的离心率为( )A.24B.12C.62-37D.32-37【答案】C【解析】依题意作下图，由于MN =F 1F 2 ，并且线段MN ，F 1F 2互相平分，∴四边形MF 1NF 2是矩形，其中∠F 1MF 2=π2，NF 1 =MF 2 ，设MF 2 =x ，则MF 1 =2a -x ，根据勾股定理，MF 1 2+MF 2 2=F 1F 2 2，2a -x 2+x 2=4c 2，整理得x 2-2ax +2b 2=0，由于点M 在第一象限，x =a -a 2-2b 2，由22MF 2 =NF 2 ，得MN =3MF 2 ，即3a -a 2-2b 2 =2c ，整理得7c 2+6ac -9a 2=0，即7e 2+6e -9=0，解得e =62-37.故选：C ．题型二：圆锥曲线第一定义例6.(2022·重庆八中高三开学考试(理))设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A(-c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|PA |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为()A.12,1B.13,12C.12,23D.15,14【答案】D【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为F 1(-c ,0)，因为|PF 1|≤|PA |+|AF 1|，所以2a =|PF 1|+|PF |≤|PA |+|AF 1|+|PF |=c +9c =10c 由|PF 1|≥|PA |-|AF 1|，所以2a =|PF 1|+|PF |≥|PA |-|AF 1|+|PF |=9c -c =8c ，所以8c ≤2a ≤10c ，即4c ≤a ≤5c ，所以15≤e ≤14.因为点A 在椭圆内，所以c <b 2a ，所以ac <a 2-c 2，所以e 2+e -1<0，解得e <5-12，因为5-12>14，所以15≤e ≤14.故选：D例7.(2022·浙江·高三开学考试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，过F 1的直线与C 交于P ,Q 两点，若PF 1 =2PF 2 =5F 1Q ，则C 的离心率是( )A.35B.34C.54D.53【答案】D 【解析】由已知，可根据条件做出下图：因为PF 1 =2PF 2 =5F 1Q ，令F 1Q =t ，所以PF 1 =5t ，PF 2 =52t ，由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =2a =5t +52t =152t ，所以t =415a ，所以PF 1 =43a ，PF 2 =23a ，F 1Q =415a ，PQ =PF 1 +F 1Q =43a +415a =2415a ，由椭圆的定义可知QF 1 +QF 2 =2a ⇒QF 2 =2615a ，在△PQF 2中，QF 2 2=QP 2+PF 2 2，所以∠QPF 2=π2,在△PF 1F 2中， F 1F 2 =2c ，所以F 1F 2 2=F 1P 2+PF 22所以169a 2+49a 2=4c 2⇒c 2a2=59⇒e =c a =53.所以C 的离心率是53.故选：D .例8.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)设双曲线C :x 2-y 2b2=1的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ，若△PF 1F 2的面积为4，则双曲线C 的离心率为( )A.2B.2C.3D.5【答案】D【解析】由题意，双曲线C :x 2-y 2b2=1，可知a =1，设PF 2 =m ,PF 1 =n ，可得m -n =2，又因为F 1P ⊥F 2P ，若△PF 1F 2的面积为4，所以12mn =4，且m 2+n 2=4c 2，联立方程组，可得c 2=5，所以双曲线的离心率为e =ca=5.故选：D .例9.(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知双曲线C :x 2a2-y 25=1(a >0)的左焦点为F (-c ,0)，点P 在双曲线C 的右支上，A (0,4)．若|PA |+|PF |的最小值是9，则双曲线C 的离心率是_____．【答案】32【解析】设双曲线的右焦点为F ，双曲线x 2a2-y 25=1的b =5，则c =a 2+5，可得F (-c ,0)，F (c ,0)，由双曲线的定义可得|PF |-|PF |=2a ，可得|PF |=2a +|PF |，则|PA |+|PF |=|PA |+|PF |+2a ≥2a +|AF |，当A ，P ，F 共线时，取得等号．2a +|AF |=2a +(0-c )2+(4-0)2=9，则2a +a 2+21=9整理得：a 2-12a +20=0解得a =2或a =10，由于2a +a 2+21=9，则0<2a <9，故a =10不符合所以a =2，c =3则双曲线的离心率为e =c a =32．故答案为：32．例10.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设△PF 1F 2的面积为S ，若PF 1+ PF 2 2=12S ，则双曲线C 的离心率为( )A.2 B.62C.2D.22【答案】C【解析】依题意，PF 1⊥PF 2，令F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，则有|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，由(|PF 1|+|PF 2|)2=12S 得：|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=6|PF 1||PF 2|，即有|PF 1||PF 2|=c 2，而4a 2=(|PF 1|-|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=2c 2，所以e =ca=2.故选：C题型三：圆锥曲线第二定义例11.(2022·全国·高三专题练习(文))古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e <1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e >1时，轨迹为双曲线.则方程(x -4)2+y 225-4x =15表示的圆锥曲线的离心率e 等于( )A.15B.45C.54D.5【答案】B 【解析】因为(x -4)2+y 225-4x=(x -4)2+y 24x -254=15，所以(x -4)2+y 2x -254 =45，表示点x ,y 到定点4,0 的距离与到定直线x =254的距离比为45，所以e =45.故选：B例12.(2022·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的左、右焦点分别为F 1F 2，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、|PF 1|、|PF 2|成等比数列，则其离心率的取值范围是( )A.[2，+∞)B.(1，2]C.[1+2，+∞)D.(1，1+2]【答案】D【解析】∵|PF 1|2=d ⋅|PF 2|，∴|PF 1|d =|PF 2||PF 1|=e ，即|PF 2|=e |PF 1|⋯①，又|PF 2|-|PF 1|=2a ⋯②．由①②解得：|PF 1|=2a e -1，|PF 2|=2aee -1，又在焦点三角形F 1PF 2中：|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，即：2a (e +1)e -1≥2c ，即e 2-2e -1≤0，解得：1-2≤e ≤1+2，又e >1，∴1<e ≤1+2，故选：D ．例13.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为( )A.58B.65C.75D.95【答案】B【解析】设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右准线为l ，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，BD ⊥AM 于D ，如图所示：因为直线AB 的斜率为3，所以直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD =60°，AD =12AB ，由双曲线的第二定义得：AM -BN =AD =1e AF -FB =12AB =12AF+FB ，又∵AF =4FB ，∴3e FB =52FB ，∴e =65故选：B例14.(2022·四川遂宁·二模(理))已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M ,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =10，则HF =( )A.14B.16C.18D.20【答案】D【解析】由题意双曲线的离心率e =4，如图， 设双曲线右准线为l ，分别作MM ,NN 垂直于l ，垂足为M ,N ，作ME ⊥NN ,垂足为E ，设|MM |=m ,|NN |=n ，则|NE |=n -m ，由题意得|MF |=e |MM |=4m ,|NF |=e |NN |=4n ，|MN |=4m +4n ，则|DF |=|MD |-|MF |=2m +2n -4m =2n -2m ，所以|DF |=2|NE |.又∠HFD =∠MFO ,∠MFO =∠MNE .则∠HFD =∠MNE ，故Rt △DHF ∽Rt △EMN ，所以|HF ||MN |=|DF ||EN |=21，∴|HF |=2|MN |=20，故选：D .例15.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =5FB，则C 的离心率为( )A.43B.53C.2D.85【答案】A【解析】设BF =x ，则AF =5x ，过A 、B 作双曲线右准线x =a 2c的垂线，垂足分别为D 、C ，过B 作AD 的垂线，垂足为E .根据双曲线的第二定义可得AD =5x e ，BC =xe，∴AE =4x e，由直线的斜率为3，可得在Rt △ABE 中，∠ABE =30°，∴AB =2AE ，∴AB =AF +BF =6x =2AE =2×4xe，∴e =43.故选：A .题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)例16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使k AP ⋅k BP ∈-13,0 ，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．【答案】63,1 【解析】由题可知A -a ,0 ，B a ,0 ，设P x 0,y 0 ，由点P 在椭圆上，得y 20=b 2a2a 2-x 20 ，所以k AP ⋅k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=b 2a 2a 2-x 20 x 20-a 2=-b 2a2∈-13,0 ，可得c 2-a 2a2=e 2-1∈-13,0 ，所以e ∈63,1 ．故答案为：63,1 .例17.(2022·全国·高三专题练习)已知点A 、B 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线PA ，PB 的斜率之积的范围为-34,-23，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.12,33B.33,22C.14,33D.14,13【答案】A【解析】由题得：k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1∈-34,-23 ，所以e ∈12,33 故选：A ．例18.(2022·全国·高三专题练习(理))椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】解法1：设而不求设P x 1,y 1 ，则Q -x 1,y 1则由k AP⋅k AQ=14得：k AP⋅k AQ=y1x1+a⋅y1-x1+a=y12-x12+a2=14，由x12a2+y12b2=1，得y12=b2a2-x12a2，所以b2a2-x12a2-x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32，故选A.解法2：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：k PB=-k AQ故k AP⋅k AQ=k PA⋅-k AQ=-1 4，由椭圆第三定义得：k PA⋅k AQ=-b2 a2，故b2a2=14所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32，故选A.例19.(2022·湖南郴州·高二期末)双曲线C:x2a2-y2b2=1a,b>0的左右顶点为A,B，过原点的直线l与双曲线C交于M,N两点，若AM,AN的斜率满足k AM⋅k AN=2，则双曲线C的离心率为_________．【答案】3【解析】由题意知：A-a,0，B a,0，若O为坐标原点，则OA=OB，OM=ON，∴四边形AMBN为平行四边形，∴AN⎳BM，即k AN=k BM，∴k AM⋅k AN=k AM⋅k BM=2；设M x0,y0，则x20a2-y20b2=1a,b>0，∴k AM⋅k BM=y0x0+a⋅y0x0-a=y20x20-a2=b2x20a2-1x20-a2=b2a2=2，∴双曲线C的离心率e=1+b2a2=3.故答案为：3.例20.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率为k1，k2，若k1⋅k2=8，则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.3【答案】D【解析】设P(x0,y0)，x0≠±a，A(-a,0)，B(a,0)，∴x20a2-y20b2=1，∴x20-a2=a2b2y20，∴k1⋅k2=y0x0+a⋅y0x0-a=y02x02-a2=b2a2=8，∴e=c a=1+b2a2=1+8=3．故选：D．例21.(2022·全国·高二课时练习)已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为( )A.22B.62C.2D.213【答案】D【解析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D.题型五：利用数形结合求解例22.(2022·广西·模拟预测(文))如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB= -125，|BD|2=AD·BD，则双曲线E的离心率为( )A.65B.375C.2105 D.143【答案】B【解析】如图，由|BD|2=AD⋅BD，有BD2+DA⋅BD=0，可得BD⋅BD+DA=0，可得BD⋅BA=0，有BD⊥AB.在Rt△ABD中，由tan∠F1AB=125，不妨设BF1=12m(m>0)，则AB=5m，由勾股定理得AF1=13m，又由双曲线的定义可得AF2=13m-2a，BF2=12m-2a，根据BF 1 +BF 2 =AB 可得13m -2a +12m -2a =5m ，解得a =5m ，所以BF 2 =2m ，在Rt △F 1BF 2中，2c =F 1F 2 =144m 2+4m 2=237m ，可得c =37m ，故双曲线E 的离心率为e =c a =37m 5m =375.故选：B .例23.(2022·广西柳州·模拟预测(理))如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且cos ∠BAC =-35，AB ⊥BD ，则E 的离心率为( )A.52B.173C.102D.5【答案】B【解析】依题意，直线CA ,DB 都过点F1，如图，有AB ⊥BF 1，cos ∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan ∠BAF 1=43，|AB |=34|BF 1|=34(2a +m )，|AF 2|=32a -14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a -14m ，在Rt △ABF 1，|AB |2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m )2+(2a +m )2=72a -14m 2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a ,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即23a 2+83a 2=(2c )2，解得c a =173，所以E 的离心率为173.故选：B 例24.(2022·四川·成都七中模拟预测(理))已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x =a 上，且满足PH =λPF 1 PF 1 +PF 2PF 2，λ∈R .若5HP +4HF 2 +3HF 1 =0 ，则双曲线C 的离心率为( )A.3 B.4C.5D.6【答案】C【解析】因为PH =λPF 1 PF 1 +PF 2PF 2，所以PH 是∠F 1PF 2的角平分线，又因为点H 在直线x =a 上，且在双曲线中，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，则△PF 1F 2的内切圆圆心在直线x =a 上，即点H 是△PF 1F 2的内心，如图，作出△PF 1F 2，并分别延长HP 、HF 1、HF 2至点P 、F 1、F 2，使得HP =5HP ，HF 1=3HF 1，HF 2=4HF 2，可知H 为△P F 1F 2的重心，设S △HPF 1=m ，S △HPF 2=n ，S △HF 1F 2=p ，由重心性质可得15m =20n=12p ，即m :n :p =4:3:5，又H 为△PF 1F 2的内心，所以F 1F 2 :PF 1 :PF 2 =5:4:3，因为F 1F 2 =2c ，所以PF 1 =45F 1F 2 =8c 5，PF 2 =35F 1F 2=6c 5，则2a =PF 1 -PF 2 =2c 5，所以双曲线C 的离心率e =c a =2c 2a =2c2c5=5.故选：C .例25.(2022·全国·二模(理))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.132B.13C.32D.3【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为y =±b ax ，设切线方程为y -32=k x +1 ，联立x 24+y 23=1得：3+4k 2 x 2+8k k +32 x +4k 2+12k -3=0，由Δ=64k 2k +32 2-43+4k 2 4k 2+12k -3 =0得：2k -1 2=0，解得：k =12，所以切线方程为y =12x +2，令y =0得：x =-4，所以M -4,0 ，联立y =b a x 与y =12x +2，解得：x Q =4a2b -a ，联立y =-b a x 与y =12x +2，解得：x N =-4a2b +a，因为N 为MQ 的中点，所以-4a 2b +a=124a2b -a -4 ，解得：b a =32，所以离心率为1+b a 2=132故选：A例26.(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P =0，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为( )A.33 B.2C.102 D.3【答案】C【解析】如图所示：因为F 1A +F 2P =0 ，所以四边形PF 1AF 2是平行四边形，因为PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，PF 1 -PF 22+2PF 1 PF 2 1-cos ∠F 1PF 2 =F 1F 2 2，4a 2+2PF 1 PF 2 1-cos ∠F 1PF 2 =4c 2PF 1 PF 2 =2b 21-cos ∠F 1PF 2.所以S △AF 2P =S △F 1F 2P =12×2b 21-cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF=b 2sin ∠F 1PF 1-cos ∠F 1PF 2=b 2×2sin ∠F 1PF 2cos ∠F 1PF 22sin 2∠F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=b 2可得∠F 1PF 2=π2．过点A 作x 轴的平行线交PQ 于点B ，可知四边形F 1F 2BA 是平行四边形，因为F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，所以AB =23AF 2 +13AQ =23AF 2 +13AF 2 +F 2Q =AF 2 +13F 2Q，又AB =AF 2 +F 2B ，所以有F 2B =13F 2Q ．设PF 2 =m ，则PF 1 =m +2a ，AF 1 =F 2B =m ，F 2Q =3m ，F 1Q =3m +2a ，PQ =4m ．在Rt △PF 1Q 中，由PF 1 2+PQ 2=F 1Q 2，解得m =a ．在Rt △PF 1F 2中，由PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2，得10a 2=4c 2，所以离心率e =c a =102，故选：C例27.(2022·山东潍坊·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P ，若△MPA 2是等腰三角形，且∠PA 2M 的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为( )A.2 B.2C.3D.5【答案】B【解析】联立y =b a x x 2+y 2=a2且M 在第一象限，可得M a 2c ,ab c ，而A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)，所以|MA 1|2=a 2c +a 2+ab c 2=2a 21+a c ，|MA 2|2=a 2c-a 2+ab c 2=2a 21-a c ，由题设，∠A 1MA 2=∠PMA 2=90°，故△MPA 2是等腰直角三角形，所以∠MA 2P =45°，而∠PA 2M 的内角平分线与y 轴平行，所以∠MA 1A 2=22.5°，又tan45°=2tan22.5°1-tan 222.5°=1，可得tan22.5°=2-1，则tan 2∠MA 1A 2=|MA 2||MA 1|2=1-a c 1+a c=(2-1)2，可得e -1e +1=3-22，所以e =2.故选：B例28.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若|AB |=BF 2 ，△BF 1F 2的面积为33b 2，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=( )A.3B.2C.2+3D.5+23【答案】D【解析】如图，由双曲线的定义可知：BF 1 -BF 2 =2a ，AF 2 -AF 1 =2a ，因为|AB |=BF 2 ，所以AF 1 =2a ，代入AF 2 -AF 1 =2a 中，可得：AF 2 =4a ，因为F 1F 2 =2c ，所以在三角形AF 1F 2中，由余弦定理得：cos ∠F 1AF 2=AF 12+F 2A 2-F 1F 2 22AF 1 ⋅F 2A=4a 2+16a 2-4c 22×2a ×4a =5a 2-c 24a 2，因为∠F 1AF 2+∠BAF 2=π，所以cos ∠BAF 2=c 2-5a 24a 2，则sin ∠BAF 2=1-c 2-5a 24a 22，tan ∠BAF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2取AF 2的中点M ，连接BM ，因为|AB |=BF 2 ，所以BM ⊥AF 2，AM =MF 2 =2a ，所以BM =2a 10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，S ABF 2=12AF 2 ⋅BM =4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，又因为S AF 1F 2=12AF 2 ⋅AF 1 sin ∠F 1AF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4，所以4a210a2c2-c4-9a4c2-5a2+10a2c2-c4-9a4=33b2，化简得：13a4+c4-10a2c2=0，同除以a4得：e4-10e2+13=0，解得：e2=5+23或e2=5-23<0(舍去)故选：D题型六：利用正弦定理例29.(2022·全国·高三专题练习)已知F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为( )A.102B.104C.52D.54【答案】B【解析】由题意及正弦定理得：PF1=3PF2，令PF1=3PF2=3n，则3n+n=2a，9n2+n2=4c2，可得52a2=4c2，所以椭圆的离心率为：e=ca=524=104.故选：B例30.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为π6和π3的两条直线l1，l2．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为( )A.22B.3-1C.3-12 D.5-1 2【答案】C【解析】在△PF1F2中，由正弦定理可得F1F2sin∠F1PF2=|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|+|PF2|sin∠PF2F1+sin∠PF1F2所以F1F2PF1+PF2=sin∠F1PF2sin∠PF2F1+sin∠PF1F2，所以该椭圆的离心率e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2=sin∠F1PF2sin∠PF2F1+sin∠PF1F2=sin30°sin120°+sin30°=3-12，故选：C．例31.(2022·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得c sin∠PF1F2=a sin∠PF2F1，则该椭圆离心率e的取值范围是______．【答案】2-1,1【解析】由已知，得e=ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2，由正弦定理，得PF1PF2=sin∠PF2F1sin∠PF1F2，所以e=PF1PF2=2a-PF2PF2=2aPF2-1．由椭圆的几何性质，知a -c <PF 2 <a +c ，所以2a PF 2 -1>a -c a +c 且2a PF 2-1<a +c a -c ，所以e >1-e 1+e 且e <1+e1-e，即e 2+2e -1>0且e 2+1>0，结合0<e <1，可解得e ∈2-1,1 ．故答案为：2-1,1 .例32.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点F 1，F 2作倾斜角分别为π6和π3的两条直线l 1，l 2．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为( )A.22B.3-1C.3-12D.5-12【答案】C【解析】在△PF 1F 2中，由正弦定理可得F 1F 2sin ∠F 1PF 2=|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2=|PF 1|+|PF 2|sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2所以F 1F 2 PF 1 +PF 2 =sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2，所以该椭圆的离心率e =c a =2c 2a =F 1F 2 PF 1 +PF 2=sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2=sin30°sin120°+sin30°=3-12，故选：C ．题型七：利用余弦定理例33.(2022·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，若|F 1F 2|=|AF 2|，AF 1 =2F 1B，则椭圆C 的离心率为( )A.57B.22C.53D.13【答案】D【解析】因为|F 1F 2|=|AF 2|=2c ，由椭圆定义知|AF 1|=2a -2c ，又AF 1 =2F 1B ，所以|BF 1|=a -c ，再由椭圆定义|BF 2|=2a -(a -c )=a +c ，因为∠AF 1F 2+∠BF 1F 2=π，所以cos ∠AF 1F 2=-cos ∠BF 1F 2，所以由余弦定理可得|AF 1|2+|F 1F 2|2-|AF 2|22|AF 1|⋅|F 1F 2|=-|BF 1|2+|F 1F 2|2-|BF 2|22|BF 1|⋅|F 1F 2|，即(2a -2c )2+(2c )2-(2c )22(2a -2c )⋅2c =-(a -c )2+(2c )2-(a +c )22(a -c )⋅2c，化简可得a 2+3c 2-4ac =0，即3e 2-4e +1=0，解得e =13或e =1(舍去).故选：D例34.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，且cos ∠F 1PF 2=79，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.【答案】33【解析】设F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点为Q ，则P ,F 2,Q 三点共线，设PF 1 =m ，则PQ =m ，又cos ∠F 1PF 2=79，所以在△PF 1Q 中，由余弦定理有：F 1Q 2=m 2+m 2-2m 2×79=49m 2，即F 1Q =2m 3由椭圆定义可知PF 1 +PQ +QF 1 =m +m +2m3=4a ，可得m =32a 所以PF 1 =32a ,PF 2 =12a在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：F 1F 22=PF 12+PF 22-2PF 1⋅PF 2⋅cos ∠F 1PF 2，即4c 2=94a 2+14a 2-2×34a 2×79=43a 2，所以c 2=13a 2，所以e =c a =33.故答案为：33例35.(2022·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，若|F 1F 2|=|AF 2|，AF 1 =2F 1B，则椭圆C 的离心率为( )A.57B.22C.53D.13【答案】D【解析】因为|F 1F 2|=|AF 2|=2c ，由椭圆定义知|AF 1|=2a -2c ，又AF 1 =2F 1B ，所以|BF 1|=a -c ，再由椭圆定义|BF 2|=2a -(a -c )=a +c ，因为∠AF 1F 2+∠BF 1F 2=π，所以cos ∠AF 1F 2=-cos ∠BF 1F 2，所以由余弦定理可得|AF 1|2+|F 1F 2|2-|AF 2|22|AF 1|⋅|F 1F 2|=-|BF 1|2+|F 1F 2|2-|BF 2|22|BF 1|⋅|F 1F 2|，即(2a -2c )2+(2c )2-(2c )22(2a -2c )⋅2c =-(a -c )2+(2c )2-(a +c )22(a -c )⋅2c，化简可得a 2+3c 2-4ac =0，即3e 2-4e +1=0，解得e =13或e =1(舍去).故选：D例36.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若|AB |=BF 2 ，△BF 1F 2的面积为33b 2，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=( )A.3B.2C.2+3D.5+23【答案】D【解析】如图，由双曲线的定义可知：BF 1 -BF 2 =2a ，AF 2 -AF 1 =2a ，因为|AB |=BF 2 ，所以AF 1 =2a ，代入AF 2 -AF 1 =2a 中，可得：AF 2 =4a ，因为F 1F 2 =2c ，所以在三角形AF 1F 2中，由余弦定理得：cos ∠F 1AF 2=AF 12+F 2A 2-F 1F 2 22AF 1 ⋅F 2A=4a 2+16a 2-4c 22×2a ×4a =5a 2-c 24a 2，因为∠F 1AF 2+∠BAF 2=π，所以cos ∠BAF 2=c 2-5a 24a 2，则sin ∠BAF 2=1-c 2-5a 24a 22，tan ∠BAF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2取AF 2的中点M ，连接BM ，因为|AB |=BF2 ，所以BM ⊥AF 2，AM =MF 2 =2a ，所以BM =2a 10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，S ABF 2=12AF 2 ⋅BM =4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，又因为S AF 1F 2=12AF 2 ⋅AF 1 sin ∠F 1AF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4，所以4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2+10a 2c 2-c 4-9a 4=33b 2，化简得：13a 4+c 4-10a 2c 2=0，同除以a 4得：e 4-10e 2+13=0，解得：e 2=5+23或e 2=5-23<0(舍去)故选：D例37.(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A ,B ，若△ABF 2是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为( )A.3 B.7 C.5 D.2【答案】B 【解析】∵AB =BF 2 =AF 2 =4，∴BF 1 -BF 2 =AF 1 =2a ，又AF 2 -AF 1 =2a ，∴AF 2 =4a =4，解得：a =1，∴BF 1 =6，在△BF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cosπ3=28，解得：F 1F 2 =27，即2c =27，∴c =7，∴双曲线C 的离心率e =ca=7.故选：B .题型八：内切圆问题例38.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，且(OP +OF 2 )⋅F 2P=0(O 为坐标原点)，若△PF 1F 2内切圆的半径为a 2，则C 的离心率是( )A.3+1B.3+12C.6+12D.6+1【答案】C【解析】(OP +OF 2 )⋅F 2P =0，即为(OP +OF 2 )⋅(OP -OF 2)=0，即为OP 2=OF 22，可得|OP |=c ．所以PF 1⊥PF 2．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，如图所示，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边分别于G ，D ，E 三点，则|PG |=|PE |，GF 1 =DF 1 ，EF 2 =DF 2 ．又PF 1 -PF 2 =2a ，所以GF 1 -EF 2 =DF 1 -DF 2 ．设D (x 0,0)，则x 0+c -(c -x 0)=2a ，所以x 0=a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，所以PF 1 =|GP |+GF 1 =a 2+DF 1 =a 2+c +a =3a2+c ，PF 2 =|PE |+EF 2 =a 2+DF 2 =a 2+c -a =c -a 2．在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得3a 2+c 2+c -a 22=(2c )2，整理得4c 2-4ac -5a 2=0，即4e 2-4e -5=0，解得e =1±62，又因为e >1，所以C 的离心率为e =6+12，故选：C ．例39.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，经过F 1的直线交椭圆于A ，B ，△ABF 2的内切圆的圆心为I ，若3IB +4IA +5IF 2 =0，则该椭圆的离心率是( )A.55B.23C.34D.12【答案】A【解析】因为3IB +4IA +5IF 2 =0 ，所以38IB +58IF 2 =-12IA ，如图，在BF 2上取一点M ，使得BM :MF 2 =5:3，连接IM ，则IM =-12IA，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以S △IAF 2:S △IBF 2:S △IBA =3:4:5，所以AF 2 :BF 2 :AB =3:4:5，设AF 2 =3x ，则BF 2 =4x ,AB =5x ，由椭圆定义可知：AF 2 +BF 2 +AB =4a ，即12x =4a ，所以x =a3，所以AF 2 =a ，BF 2 =43a ,AB =53a ，AF 1 =a 故点A 与上顶点重合，在△ABF 2中，由余弦定理得：cos ∠BAF 2=AB 2+F 2A 2-F 2B 22AB ⋅F 2A =259a 2+a 2-169a 22×53a 2=35，在△AF 1F 2中，cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=35，解得：c a =55，所以椭圆离心率为55.故选：A例40.(2022·江苏苏州·模拟预测)已知F 1,F 2是椭圆x 2m +y 2m -1=1(m >1)的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若△AF 1F 2的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为( )A.2-1B.12C.22D.3-1【答案】B【解析】由椭圆x 2m +y 2m -1=1(m >1)，可得a 2=m ，b 2=m -1，∴c 2=a 2-b 2=1，则c =1，如图，设△AF 1F 2内切圆的半径为r ，∵S △AF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y A |=12(|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|)⋅r ，∴2c ⋅|y A |=(2a +2c )⋅r ，则r =1m +1|y A |，要使△AF 1F 2内切圆半径最大，则需|y A |最大，∵|y A |≤b =m -1，又△AF 1F 2内切圆半径的最大值为33，即33=m -1m +1，解得m =4，所以a =2．则椭圆的离心率e =c a =12故选：B ．例41.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1a >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF 1与双曲线的左支交于点Q ，△PQF 2的内切圆与QF 2相切于点M .若QM =4，则双曲线C 的离心率为( )A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】设PF 1,PF 2分别切内切圆交于A ,B ，则由双曲线的定义可得PF 1 -PF 2 =2a QF 2 -QF 1 =2a ，即PA +AQ +QF 1 -PB -BF 2 =2a QM +MF 2 -QF 1 =2a，根据内切圆的性质可得PA =PB ,QA =QM ,PA =PB ，故AQ +QF 1 -BF 2 =2aQM +MF 2 -QF 1 =2a，两式相加化简可得2QM =4a ，即QM =2a =4，故a =2.故双曲线的离心率为22+42=2故选：A例42.(2022·浙江·模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，M 为右支上一点，∠MF 2F 1=120°,△MF 1F 2的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，|MQ |=2|QN |，则双曲线的离心率为( )A.54B.43C.3D.2【答案】A 【解析】如图，设内切圆Q 与△MF 1F 2的三边分别切于D ,E ,G 三点，过M 作MP ⊥x 轴于P 点，易得MD =MG ,F 1D =F 1E ,F 2E =F 2G ，又由双曲线定义得MF 1 -MF 2 =2a ，即MD +DF 1 -MG -GF 2 =MD =F 1E -F 2E =2a ，又F 1E +F 2E =2c ，故F 1E =a +c ，即Q 点横坐标为a ，又∠MF 2F 1=120°，则∠QF 2P =120°，故直线QF 2的方程为y =-3(x -c )，代入x =a ，解得y =-3(a -c )=3(c -a )，即QE =3(c -a )，又|MQ |=2|QN |，则MP QE =MNQN=3，故MP =33(c -a )，又∠MF 2P =60°，则MF 2 =6(c -a )，MF 1 =6(c -a )+2a =6c -4a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠MF 2F 1=F 2M 2+F 2F 1 2-F 1M22F 2M F 2F 1，即-12=2c 2+6c -6a 2-6c -4a 222c ⋅6c -6a ，化简得4c 2-9ac +5a 2=0，即4⋅c a 2-9⋅c a +5=0，解得ca =1或c a =54，又离心率大于1，故离心率为54.故选：A .例43.(2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测(文))已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，F 1F 2 =7，P 是y 轴正半轴上一点，线段PF 1交双曲线左支于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是( )A.72B.143C.7D.14【答案】A【解析】设△APF 2的内切圆B 分别切线段PA 、PF 2、AF 2于点M 、N 、Q ，连接BM 、BN 、BQ ，如下图所示：由切线长定理可知，PM =PN ，AM =AQ ，F2N =F 2Q ，因为MA ⊥AQ ，BM ⊥AM ，BQ ⊥AQ ，BM =BQ =1，则四边形AMBQ 是边长为1的正方形，则AM =AQ =1，因为PO ⊥F 1F 2且O 为F 1F 2的中点，则PF 1 =PF 2 ，因为PA +AF 2 -PF 1 =PA +AF 2 -PF 2 =AM +PM +AQ +F 2Q -PN +F 2N=AM +AQ =2，即PA +AF 2 -PA +AF 1 =AF 2 -AF 1 =2a =2，又因为F 1F 2 =2c =7，因此，该双曲线的离心率为e =2c 2a =72.故选：A .例44.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)已知点P 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一点(点P 在第一象限)，点F 1,F 2分别为双曲线的左，右焦点，△PF 1F 2的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若∠F 1IF 2=34π,OI =3，则双曲线的离心率为( )A.52B.322C.3D.5【答案】B【解析】设△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2,PF 1,PF 2、相切的切点分别为M ，N ，Q ，F 1M =F 1N ,F 2M =F 2Q ，PN =PQ ，所以F 1M -F 2M =F 1N -F 2Q =F 1N +|PN | -F 2Q +|PQ | =PF 1 -PF 2 =2a ,又因为F 1M +F 2M =2c ，所以F 1M =a +c ,F 2M =c -a ，即M a ,0 ，所以I a ,1 ,|OI |=a 2+1=3,a =2，tan ∠F 1IM =c +2,tan ∠F 2IM =c -2，∴tan ∠F 1IF 2=tan ∠F 1IM +∠F 2IM =-1，2c1-c 2-2=-1∴c 2-2c -3=0,c =3或c =-1(舍)，∴e =c a =322．故选：B例45.(2022·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xoy 中，F 1,F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点A ,B ，点T 在x 轴上，满足BT=3AF 2 ，且BF 2经过△BF 1T 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.7D.13【答案】C【解析】BT=3AF 2 ，∴AF 2∥BT ，∴∠AF 2B =∠TB F 2,AB =2AF 1，∵BF 2经过△BF 1T 内切圆圆心，∴BF 2为∠F 1BT 的角平分线，∴∠F 1BF 2=∠TB F 2．∴∠ABF 2=∠BF 2A ，∴AB =AF 2，2a =AF 2-AF 1=AB -AF 1=AF 1，∴AF 1=2a ,AF 2=4a ，2a =BF 1-BF 2=3AF 1-BF 2=6a -BF 2∴BF 2=4a ，于是AB =AF 2=BF 2=4a ，∴△ABF 2为正三角形，∠F 1AF 2=23π．△F 1AF 2中，由余弦定理，4c 2=4a 2+16a 2-2⋅2a ⋅4a ⋅-12∴e =7.故选：C .题型九：椭圆与双曲线共焦点例46.(2022·甘肃省民乐县第一中学三模(理))设F 1，F 2为椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，F 1，F 2分别为左､右焦点，C 1与C 2在第一象限的交点为M .若△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且双曲线C 2的离心率e ∈2,72，则椭圆C 1离心率的取值范围是( )。
高考数学中的圆锥曲线知识
高考数学中的圆锥曲线知识高考数学中的圆锥曲线是一道重要的考题，也是很多学生容易失分的一道难题。
圆锥曲线是指平面上坐标系中的一种特殊的曲线，也是数学的重要分支之一。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念，分类和应用，希望能对广大考生有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念1.圆锥圆锥是一个由一个圆绕着它的直径周而复始地旋转而成的立体物体，其中：该直径是铅锤线，圆锥的底面是这个圆，圆锥的顶点是铅锤线的另一端。
2.圆锥曲线的概念在平面直角坐标系中，将一个固定的点F（称为焦点）与一个固定的直线L（称为直角准线）连接。
在平面上，连结点P到直线L的距离为PF和P到点F的距离的比等于定值e（e>0）。
这样得到的曲线称为圆锥曲线。
圆锥曲线分为三种情况：椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆锥曲线的分类1.椭圆椭圆是平面上与两个焦点F1，F2的距离之和等于定值2a（a>0）的点P的轨迹。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
椭圆可以通过平移、伸缩、旋转对平面上的圆形进行简单的变换。
2. 双曲线双曲线是平面上与两个焦点F1，F2的距离之差等于定值2a （a>0）的点P的轨迹。
双曲线有两条渐进线，即切射线和渐进线。
3. 抛物线抛物线是平面上焦点F到直线L的距离等于点P到焦点F的距离的平方与定值a（a>0）成正比例的点P的轨迹。
抛物线的形状像一个平翻的碗，有上凸抛物和下凸抛物两种。
三、圆锥曲线的应用1. 物理学圆锥曲线在物理学中得到广泛的应用。
例如，在宇宙空间中，行星的轨迹可以用椭圆来描述。
在天体力学中，利用双曲线描绘有关天体的相对运动情况。
抛物线则可用于描述抛体的轨迹。
2. 工程学圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，特别是在光学的设计中。
例如，望远镜的光学系统用到的镜面都是椭圆形的；飞机的机翼、车轮和机器的轮子都是利用圆锥的形状进行设计的。
3. 数学研究圆锥曲线在数学研究中的应用也是相当广泛的，例如，利用双曲线求解微积分中的积分问题；还可以用抛物线中的特殊几何性质证明三次方程有一个实根。
高考数学中的圆锥曲线
高考数学中的圆锥曲线圆锥曲线是代数几何中的重要概念，也是高中数学中比较难的一部分。
它包含了直线、双曲线、抛物线和椭圆四种曲线类型。
在高考数学中，圆锥曲线是一个难点，但是掌握了这个知识点，不仅有助于理解高数中其他知识点，也有助于应对高考成绩。
一、圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是在平面直角坐标系中的解析几何概念，它是二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数，且D²+E²≠0）的图形。
其中的四种曲线类型如下：1. 直线：当圆锥曲线的系数D=E=0时，圆锥曲线变成直线。
直线可以看成是一个不确定的椭圆，它有两个焦点（即两个充电电荷）、两个半轴（即极值）。
2. 双曲线：当圆锥曲线的系数D²-E²>0时，圆锥曲线变成双曲线。
双曲线有两个焦点和两个渐近线。
3. 抛物线：当圆锥曲线的系数D=0，E≠0时，圆锥曲线变成抛物线。
抛物线有一个焦点和一个顶点。
4. 椭圆：当圆锥曲线的系数D²-E²<0时，圆锥曲线变成椭圆。
椭圆有两个焦点和两个半轴。
二、实例探究：直线与圆锥曲线我们以直线为例，来看一下圆锥曲线与直线的关系。
首先，我们知道当圆锥曲线系数D=E=0时，可以变成一个直线。
而对于直线y=kx+b（k和b均为常数），可以加入一个令y=mx，那么k和b就是D和E，即圆锥曲线的系数。
例如，圆锥曲线x²-6x+y²+4y+9=0，我们可以将它转换为(x-3)²+(y+2)²=4。
这是一个半径为2，圆心在(3,-2)处的圆。
我们可以绘制它的图像，然后再绘制直线y=x-1的图像。
从图像来看，直线y=x-1穿过了圆心，因此它一定与这个圆有交点。
我们可以通过解方程，求出直线y=x-1与圆的交点：(x-3)²+(y+2)²=4；y=x-1.解得：x²-5x+9=0，因此x=（5±√5）/2，代入y=x-1，得到y=（3±√5）/2。
圆锥曲线五个方程模型
圆锥曲线五个方程模型圆锥曲线是数学中非常重要的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用。
圆锥曲线可以通过不同的方程来描述，下面将介绍五种常见的圆锥曲线方程模型。
一、标准椭圆方程标准椭圆方程是最常见的圆锥曲线方程之一。
在平面直角坐标系中，标准椭圆方程可以表示为：( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a > b > 0 )）其中，( a ) 和( b ) 分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
这个方程描述了一个中心在原点、长轴与x轴重合的椭圆。
椭圆是一种闭合曲线，具有两个对称轴，分别是x轴和y轴。
二、标准双曲线方程标准双曲线方程是另一种常见的圆锥曲线方程。
在平面直角坐标系中，标准双曲线方程可以表示为：( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a, b > 0 )）其中，( a ) 和( b ) 分别是双曲线的实半轴和虚半轴的长度。
这个方程描述了一个中心在原点、实轴与x轴重合的双曲线。
双曲线是一种开放曲线，具有两个分支，分别位于x轴的两侧。
双曲线也有两个对称轴，分别是x轴和y轴。
三、抛物线标准方程抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它的方程可以表示为：( y^2 = 2px )（( p > 0 )）这个方程描述了一个开口向右的抛物线。
抛物线是一种开放曲线，具有一个对称轴，即y轴。
在抛物线上，任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这个性质使得抛物线在物理和工程中有广泛的应用，例如抛物线运动、抛物面反射镜等。
除了上述开口向右的抛物线方程外，还有开口向左、向上和向下的抛物线方程，它们可以通过旋转或平移得到。
例如，开口向左的抛物线方程可以表示为( y^2 = -2px )，开口向上的抛物线方程可以表示为( x^2 = 2py )，开口向下的抛物线方程可以表示为( x^2 = -2py )。
圆锥曲线的经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
高考数学中的八大斜率模型解决圆锥曲线中的斜率问题
高考数学中的八大斜率模型与应用模型1.圆锥曲线第三定义此处以椭圆第三定义为例，双曲线第三定义类似推得.如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过原点为中心的弦AB 的两端点A 、B连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a -．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①1221221=+b y a x ②由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以 222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.例1.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足 直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：POG △是直角三角形； ()ii 求POG △面积的最大值．解析：（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2yx x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x yx +=≠±；（2）略.模型2.中点弦与点差法1.椭圆中的点差法：设直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点B A ,两点，其中设点A (11,y x )，B (22,y x ) 由于B A ,两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得：∴1221221=+b y a x ①，1222222=+b y a x ②，①-②得：02222122221=-+-byy a x x ，进一步， 则2222122221-b y y a x x -=-，即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++--，则 22a b k k OM AB -=（其中M 为B A ,中点，O 为原点）.椭圆垂径定理：直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于2y 下的系数比上2x 下的系数的相反数，即22ba k k OMAB -=.例2．已知椭圆22154x y +=，则以点()1,1M 为中点的弦所在直线方程为（ ）A ．4510x y -+=B ．5490x y +-=C ．4590x y +-=D ．5410x y --=解析：设以点()1,1M 为中点的弦与椭圆22154x y += 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=，分别把点A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：12121212()()()()045x x x x y y y y +-+-+=，∴12122()052x x y y --+=，∴直线AB 的斜率121245y y k x x -==--，∴以点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为：41(1)5y x -=--，即4590x y +-=，故选：C ．模型3.四点共圆充要条件1.基础知识：（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .例3.平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解析：因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116yx x -=≥； （2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.模型4.极点极线斜率等差1.基本结论若D B C A ,,,四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点P ，所形成的的四条射线，PA ，PC ，PB ，PD 称为调和线束. 对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.结论[1]:如图1.若调和线束OA ，OC ，OB ，OD 的方程为4,3,2,1,:=+=i b x k y l i i i .那么1)()()()(),(413242314321-=-⋅--⋅-=k k k k k k k k l l l l .图1 图2 2.基本应用此处，我们选择比较经典的两个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述结论应用的范例.例4.如图2，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.证明：由于直线l 是点F 关于椭圆C 的极线，所以PM PB PF PA ,,,成调和点列，分别设直线PM PB PF PA ,,,为4321,,,l l l l ，那么四直线的交比1),(4321-=l l l l ,利用交比的性质可得1),(2143-=l l l l ，又由于∞=2l k ，故1)(),(1432143-=--==PAPM PAPB k k k k l l l l l l l ，即3212k k k =+，证毕.详解：（1）椭圆C 的方程为22143x y +=. 结论：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，过定点)0)(0,(a n n N <<作一直线交椭圆C于B A ,两点，交点N 的极线na x l 2:=于点M ，P 是椭圆C 上一点，且P 点横坐标为n ,则直线PB PM PA ,,的斜率成等差数列.模型5.蝴蝶定义与斜率之商结论1[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =21. 上述结论1就是2022年全国甲卷解析几何试题的命题背景，即所谓的“蝴蝶定理”！这个定理同样适用于椭圆与双曲线，下面我们通过例题予以展示.例5．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为23，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)k k ≠的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的标准方程．（2）设(1,0)R ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 解析：（1）由题意，椭圆Γ的方程为22195x y +=．（2）设()33,C x y ，()44,D x y ，由已知，直线AR 的方程为()1111y y x x =--，即1111x x y y -=+．由112211195x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 并整理，得2112115140x x y y y y --+-=． 则2113145y y y x =--，∵10y ≠，∴13145y y x =-，∴1111331111114591155x x y x x y y y x x ---=+=⋅+=--．∴1111594,55x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，同理2222594,55x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭．()()()()()()1212211221212211244454555595959559555y y y x y x x x k x x x x x x x x -----==---------()()()122121454516y x y x x x ---=-，∵()1112y k x =+，()2122y k x =+， ∴()()()()()()()112121121122121425425771644k x x k x x k x x k k x x x x +--+--===--，∴1247k k =为定值．注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.模型6.斜率倒数成等差模型例6（2022武汉九月调考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(1,1)--P 且与x 轴平行的直线与椭圆E 恰有一个公共点，过点P 且与y 轴平行的直线被椭圆E（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点P 的动直线与椭圆E 交于,M N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为1k 和2k ，若1211k k +为定值，求点T 的坐标.解：由题意，椭圆的下顶点为()0,1-，故1b =.由对称性，椭圆过点1,⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程有21314a +=，解得：2a =. 故椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设点T 坐标为()0,t .当直线MN 斜率存在时，设其方程为()11y k x =+-，与2214x y +=联立得：()()()224181420k x k k x k k ++-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()1212228142,4141k k k k x x x x k k ---+==++.12121212121111x x x x k k y t y t kx k t kx k t+=+=+--+--+--， ()()()()1212221212211(1)kx x k t x x k x x k k t x x k t +--+=+--++--，()()()()()()()232228281142811(1)41k k k k k t k k kk k t k t k-----=-----+--+()()()2222881.4321(1)tk t ktk t k t -+=--+++1211k k +为定值，即与k 无关，则2(1)0,1t t +==-，此时12118k k +=-. 经检验，当直线MN 斜率不存在时也满足12118k k +=-，故点T 坐标为()0,1-. 一般性推广：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，点P 为直线b y -=上任一点，过P 的直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，设椭圆E 的下顶点为T ，则tba k k TN TM2211=+. 模型7.手电筒模型1．设),0(b P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上顶点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ，则：（1）2221a b t k k ≠=⇔直线AB 过定点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b t a b t a b 2222,0 （2）若021≠+k k ，则⇔+=+bm bk k k 221则直线AB 过),0(m . 2.设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221a b k k =，则有000,0x y k x -=≠， （2）若2221ab k k ≠，则直线AB 过定点，（3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠， （4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点.例8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>点()0,1A -是椭圆E 短轴的一个四等分点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点A 且斜率为1k 的动直线与椭圆E 交于M ，N 两点，且点()0,2B ，直线BM ，BN 分别交C ：()2211x y +-=于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为2k ，求实数λ，使得21k k λ=恒成立.解析：（1）椭圆E 的标准方程为14822=+y x .（2）设()()()()1122,,,,,,,P P Q Q M x y N x y P x y Q x y ，直线MN 的方程为11y k x =-， 则直线BM 的方程为1122y y x x -=+，与()2211x y +-=联立， 得：()()()22211112220x y x x y x +-+-=，由0P x ≠，且点()0,2B 在C 上，得()()112211222P x y x x y --=+-，又2211184x y +=，即221182x y =-，代入上式()()111221112226822P x y x x y y y --==+-+-， 111216246P P y y x x y -=+=-+，即点111216,466x P y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理222216,466x Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()121221212211212161644866226666P Q P Q y y y y y y k x x x x x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭===--+--++，将1112121,1y k x y k x =-=-代入上式，得()()()()()112112211122111212888116655k x x k x x k k x k x x k x x x x x --===---+--，所以85λ=时，21k k λ=恒成立.模型8.角度转化例9．（2018全国1卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解析：（1）所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.。
高考数学解题方法讲解---圆锥曲线中的四种经典模型
当 m = − 2k 时， l : y = k(x − 2) ，直线过定点 (2 , 0)
7
7
7
综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 (2 , 0). 7
◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点
P
做相互垂直的直线交圆锥曲线于
AB，则
AB
必过定点
(
x0 (a2 − b2 ) a2 + b2
AB 过定点。（经典例题，多种解法） 练习 3：过 2x2 − y2 = 1上的点作动弦 AB、AC 且 kAB • kAC = 3 ，证明 BC 恒过定点。（本
题参考答案： (1 ,− 1) ） 55
练习:4：设 A、B 是轨迹 C ：y2 = 2 px(P > 0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和
1 / 21
y1
⋅
y2
=
(kx1
+
m)
⋅ (kx2
+
m)
=
k 2 x1x2
+
mk ( x1
+
x2 )
+
m2
=
3(m2 − 4k 2 ) 3 + 4k 2
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), 且 kAD ⋅ kBD = −1 ，
∴
y1 x1 −
2
⋅
y2 x2 −
2
=
−1，
y1 y2
,
y0 (a a2
2 −b + b2
2
)
)
。
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件 （如 kAP • kBP = 定值，kAP + kBP = 定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的一个重要概念，在高考数学考试中经常出现。
圆锥曲线问题在高考中的题型多样，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等各种不同的情况。
学生需要掌握不同类型圆锥曲线的基本知识和解题方法，才能在考试中取得好成绩。
本文将详细介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、椭圆问题在高考数学中，椭圆问题是圆锥曲线中的一个常见题型。
椭圆是圆锥曲线中的一种，其数学方程一般表示为x²/a² + y²/b² = 1。
椭圆问题在高考中主要涉及到椭圆的性质、方程和相关的几何问题。
下面是一些常见的椭圆问题和解题技巧：1. 椭圆的性质椭圆有许多独特的性质，例如焦点、长轴、短轴等。
解决椭圆问题时，首先需要熟悉椭圆的基本性质，包括焦点的坐标、长轴和短轴的长度等。
了解这些性质可以帮助学生更好地理解和解决椭圆相关的问题。
2. 椭圆的方程学生需要掌握椭圆的标准方程和一般方程，以及如何从一个方程中得到椭圆的相关信息。
如何通过椭圆的方程确定焦点和长轴的长度等。
熟练掌握椭圆的方程和相关的计算方法是解决椭圆问题的关键。
3. 几何问题在高考中，椭圆问题经常涉及到与椭圆相关的几何问题，例如椭圆的切线、法线、焦点、离心率等。
解决这些问题需要学生具有一定的几何直觉和解题技巧，可以通过画图、几何推理等方法来解决。
二、双曲线问题三、抛物线问题在解决圆锥曲线问题时，学生需要注意以下几个解题技巧：1. 画图对于圆锥曲线相关的几何问题，画图是非常重要的。
学生可以通过画图来直观地理解问题，并且可以通过几何推理来解决问题。
2. 几何推理圆锥曲线问题往往需要一定的几何推理能力，例如通过推导得到相关的性质和结论。
学生需要熟练掌握几何推理的方法，以便解决圆锥曲线问题。
3. 代数计算除了几何推理，对于圆锥曲线的方程和相关计算问题，学生还需要掌握代数计算的方法，包括因式分解、配方法、求导等。
高考圆锥曲线压轴大题常见解题模型
高考圆锥曲线压轴大题常见解题模型高考圆锥曲线压轴大题常见解题模型近年来，高考圆锥曲线题在高考数学试卷中占据着重要的地位，不仅考察了学生对圆锥曲线的理解和掌握程度，还对学生的综合能力提出了较高的要求。
熟悉常见的解题模型对于高考圆锥曲线题的应对至关重要。
在圆锥曲线的解题过程中，我们常见的解题模型如下：一、圆的方程与图像性质1. 圆的标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a，b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2. 圆的一般方程：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$。
3. 圆的图像性质：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的点的轨迹。
4. 圆与其他图形的位置关系：如直线、抛物线等，通过解方程组或运用几何知识进行求解。
二、椭圆的方程与图像性质1. 椭圆的标准方程：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a，b)$为椭圆的中心坐标，且$a>b>0$。
2. 椭圆的离心率：离心率为$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率越小，椭圆越圆。
3. 椭圆的图像性质：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
4. 椭圆的参数方程：$x=a\cos\theta, y=b\sin\theta$。
三、双曲线的方程与图像性质1. 双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$(a，b)$为双曲线的中心坐标，且$a>0, b>0$。
2. 双曲线的渐近线：$x=\pm\frac{a}{e}$，$y=\pm b\tan\alpha$，其中$e$为离心率，$\alpha$为与横轴正方向的夹角。
3. 双曲线的图像性质：双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
4. 双曲线的参数方程：$x=a\cosh\theta, y=b\sinh\theta$。
(完整word版)圆锥曲线解题模型
直线和圆锥曲线常考题型运用的知识,I、中点坐杯公式：X = Ali.,y = 21±A, 中X,y杲点川斗,”）・〃（七,儿）的中点坐标・2、弦K公式：若点A（几儿），*（勺.儿）4啟线y ^kx+b（k *0）±t则y严U+几“ = g+b・这是同点纵横坐标变抓是两大坐标变换技巧|A5|= J（斗一壬尸+（牙一儿尸=J（片一壬）2+（匕］一爾尸=/屮2心_£）2 ={（1 + 疋）［（旺+^）2 — 4兀血］或者I 人B|=J（石一七）2+（”_儿）2 =JG 儿-|^）2 + （>-,-y2）2 =J（l + ^-）（>'|-y2）2 =J（l + *■）［（X + >2）2一4）1 儿］・3、两条直线4：y W+Q，4：y=垂直：则^=-1苗条亢线垂则用线所在的向试片・1，2 =0h厂4、韦达定理：若一元二次方程ax2 +£>x+c = 0（o*0）W两个不同的根心七.M'JXj + x, = —,x}x2 =—.a a常见的一蝴S型：M-：数形结合确定直後和Bl锥曲找的位置关系题型二：弦的垂亶平分域问题題型三'动弦过定点的问题题割过已知曲枚上定点的孩的问题题塑五：共枚向■何题题塑六：面积问题題塑七：弦或弦长为定值问JR®SA：角度问题问■九：四点共线问题问■十：范BS问题（本质杲函数问题〉何■十r 存在性问题：（存在点，存在直线尸匕畑存在实軌存在图形，三角形（等比、等Sh直角人四边形（矩形.菱形、正方形儿圆）题S-：效形结合UK定直枚和8B儀曲枚的位賈关系例題I、已知血线/:y = kx + l—+ ^ = 1始终有交点，求皿的取值范出4 m解：根据WX/: v = tv +1的方程可知，肖线恒过定点（0. I）, me：—+ ^- = 1过动点（0・±5/万）,!!/»工4.如4m果11 线/:y=/Lt + imifi|51|C: —+ ^- = 1 始终冇交点•则V^>h Um ^4. HPl</nH.m*4>规律捉號：通过戌线的代数形式，町以看出肖线的特点：/:y = U + l=>过定点(0.1) l:y = k(x+\)=^ 过定点(一 1, 0)/:厂2 =吃+1)=>过定点(-L 2)题塑二，弦的垂宜平分钱问题例題2、过点TCI.0)作直线/与曲线N :尸二兀交于A 、B 两点，庄K 轴上是否存在一点&心0),使得AABE 是等 边三角形.若存在，求出斗；若不存在，请说明理由. 解:依题克知，直线的斜率存在,且不等于0・ 设直线/: .y 二攵(x+l), k *0. AWJ. Bg,yj• 由卩;(X+1)i8y 整理•得"4(頂_ 1)JT +疋=0 ①y =x由£i 线和抛物线交于两点，得A = (2i — 1)2—4T=-4T + i>02k 2 -I由韦达定肥 得:斗+七=_殳一山土 =1・则线段AB 的中点为(线段的时理分线方外为:守)令冃叫尸右讣则畤岭°)v ^ABE 为正三用形• ••• E (丄T-丄.0)到力线AB 的距离d 为 2k 2 2•••|人四=〕(石_丹)2+(才一儿尸=斗¥— J1 + F d =J]]：曲：火TiTF=盘了解得&=土亜満足②式此时X(l=-. 2L 21^| 13 3■型三：动弦过定点的问題例題3、己知椭阴IC ：务+右=1(。
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