近世代数复习题
近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。
2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。
4、偶数环是的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。
6、每一个有限群都有与一个置换群。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。
8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数复习题及答案
近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。
答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。
2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。
判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。
3. 什么是正规子群？请给出一个例子。
答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。
例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。
4. 什么是群的同态？请给出一个例子。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。
5. 什么是群的同构？请给出一个例子。
答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。
这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。
例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。
6. 什么是环？请给出一个例子。
答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。
例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。
判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。
8. 什么是环的同态？请给出一个例子。
答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数复习题
近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。
因为有零因子。
一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。
优秀的近世代数期末考试总复习
近世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R（实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A 到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数( )A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有——-----—-.2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的————--——.3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个———-——。
4、偶数环是—------—-的子环.5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个-————-—-。
6、每一个有限群都有与一个置换群———-—-—-。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是—--—-—-.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想，那么-——————--。
9、一个除环的中心是一个--—-——-。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数复习题
近世代数复习题一、填空题1.设A是有n个元素的集合,则A到自身的所有映射有个,其中满射有个.2.设R表示实数集合,而R+表示正实数集合,写出从R到R+的一个双射;设Q表示有理数集合,写出Q的对于普通加法来说的自同构(x→x除外).3.设A是有n(n≥3)个元的集合.2A表示A的所有子集的集合.在2A上定义等价关系:X∼Y⇔X与Y有相同个数的元素.由此等价关系决定2A的分类共有类,而个数为2的类中共有个元素.4.设M是数域F上的全体n阶矩阵构成的集合.在M上定义等价关系∼:A∼B⇔r(A)=r(B),对任意A,B∈M,这里r(A)表示A的秩.由这个等价关系决定的M的一个分类共有类;设A表示某系全体本科同学的集合,在A上定义关系∼:a∼b⇔a与b在同一个年级.由这个等价关系决定的A的分类共有类. 5.在有理数集合上定义关系:∼:a∼b⇔a−b∈Z,写出由这个等价关系∼决定的等价类的一个代表团;写出模12的剩余类的一个代表团.6.就同构意义上来说,4阶群只有两个,它们是和,且都是群.7.在整数加群Z中,循环群的交(3)∩(5)=;写出一个阶大于10且只有平凡子群的群.8.就同构意义上来说，阶数最小的非交换群是;给出一个5-循环置换π=(32154)，那么π−1=;π4=.9.在对称群S4中,(132)2(1234)−1=;而(3421)的阶是.10.设G是群,a,b∈G且ab=ba,a,b的阶分别是m和n,其中(m,n)=1,则ab的阶是.又设H,K≤G,且|H|=s,|K|=t,(s,t)=1,则H∩K=.11.群Z8的生成元有个;Z p p为素数的生成元有个;无限循环群的生成元只有个.12.设G是实数域R上所有的n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,映射f:A→det A是G到(R∗,×)的同态,则ker f=.设R是环,R[x]为R上的多项式环.定义σ:R[x]→R为σ(f(x))=f(0),∀f(x)∈R[x].则kerσ=.13.设R是特征为素数p的交换环,则对任意的a,b∈R,(a+b)p=;只有有限个元且乘法满足消去律的环是一个.14.在Z6[x]中,多项式([3]x3+[5]x−[4])([2]x2+[3]x−[2])=;而方程x2+x=0在Z6中的解是;在Z15中,x2−1=0的根是.15.任何一个群与一个群同构;任一个有限群都同一个群同构;找出模6的剩余类环的所有理想.16.写出Z7的每个非零元的逆元;找出Z8的所有子环.17.若I是有单位元的交换环R的由元素a生成的主理想,则I中的任意元素可以表达为;写出一个有零因子的非交换环.18.若R是一个有单位元的环,I是R的理想，那么R/I的单位元是;整数环Z的商域是.19.4个元的域的特征是.在R中写出Q的一个未定元.20.在环Z[x]中由x,2生成的理想的(x,2)=(用集合表示);这(填”是”或”不是”)Z[x]的极大理想.二、单项选择题1.下列哪个运算是二元运算.................................................()A)在整数集Z上,a◦b=a+bab;B)在正实数集R+上，a◦b=a ln b;C)在有理数集Q上,a◦b=|ab|;D)在Z+∪{0}上,a◦b=|a−b|.2.下列定义的运算中满足结合律的是..........................................()A)非零实数集R∗的普通除法;B)全体整数集合上的普通减法;C)在Z上,a◦b=a+2b;D)在实数集R的普通乘法.3.以下映射中是群同态的是...................................................()A)f:(R,+)→(R,+),f(x)=|x|;f:R∗→R∗,f(x)=x2;C)f:(R,+)→(R,+),f(x)=x2;D)f:G→G,f(A)=A T,其中G表示数域F上全体n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,而A T表示A的转置.4.设R∗是一切非零实数关于乘法构成的群,以下映射不是群同态的是...........()A)f(x)=|x|;B)f(x)=x2;C)f(x)=2x;D)f(x)=x−1.5.以下关系不是等价关系的是...............................................()A)整数集合Z中的整除关系B)整数集合上的同余关系.C)R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的合同关系;D)R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的相似关系;6.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)一个群可以与它的真子群同构;B)环与它的子环一定有相同的单位元.C)任意一个群G至少有两个不变子群,就是G和{e};D)群G的指数为2的子群H是G的不变子群;7.设G=(a),|G|=12,则下列哪个不是G的生成元.........................()A)a3B)a5C)a7D)a118.以下关于不变子群的命题不正确的是.....................................()A)设G是群,H G,则对任意a∈G,h∈H,aha−1=h;B)G的指数为2的子群是G的不变子群;C)设A G,B G,则AB G;D)每个非零群至少有两个不变子群.9.以下命题不正确的是.....................................................()A)无限循环群的生成元只有两个;B)4阶群G一定是交换群;C)置换群中k循环的阶是k;D)置换群中不同的循环可以交换.10.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)除环和域没有真理想;B)有单位元的环的子环可以没有单位元.C)如果环R对于加法构成循环群,则R是交换环;D)设R是特征为p的环,则对任意的a,b∈R,(a+b)p=a p+b p;11.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)设H是群G的不变子群,K是H的不变子群,但K不一定是G的不变子群;B)阶为偶数的群中,阶为2的元素的个数是奇数;C)两个理想的交还是理想.D)无限循环群只有两个生成元;12.以下命题不不正确的是........................................................()A)环R上一切常数项为零的多项式的集合构成R[x]的理想;B)群G的有限子集H构成G的子群的充要条件是∀a,b∈H,ab∈H;C)设H是群G的不变子群,则对任意的g∈G,h∈H,gh=hg;D)设R是偶数环,则(4)是R的极大理想,且R/(4)是域.13.以下命题不不正确的是........................................................()A)若环R满足消去律，那么R必定没有零因子;B)整数集合Z中的整除关系是一个等价关系;C)设f是环R到R的满同态,I是R的理想，则f(I)也是R的理想;D)除环的中心是一个域.14.以下命题不不正确的是........................................................()A)设p是素数,则Z p是一个域;B)4阶群一定是循环群;C)4个元的域的特征是2;D)在环Z中,(3,7)=(1)=Z.15.以下命题不不正确的是........................................................()A)除环和域只有平凡理想;B)阶为素数的群是循环群;C)每个交换环都有未定元;D)R含有Z的未定元16.以下命题不不正确的是........................................................()A)两个子群的交是子群;B)有限群的每个元的阶有限;C)每个域的商域是它自己;D)两个循环可以交换.17.以下命题不不正确的是........................................................()A)如果群G中每个非单位元的阶都是2,则G的交换群;B)任意群的中心是不变子群;C)在特征为p的环R中,对于任意a,b∈R,(a+b)p=a p+b pD)有单位元且无零因子的环的中心是一个整环.三、辨析题.判断以下命题是否正确,正确的给予证明,错误的举出反例.1.群G的每一个元素的阶是有限的,G一定不是无限群.2.设H是G的不变子群,K是H的不变子群,则K也是G的不变子群.3.设M是一个非空集合,2M表示M的所有子集构成的集合,则2M关于集合的并∪构成群.4.设G是阶大于2的非交换群,则一定存在非单位元a,b∈G使得ab=ba.5.偶数阶群G中阶为2的元素的个数一定是奇数个.6.设R是有单位元的环,I是R的理想,J是I的理想,则J也是R的理想.7.设f:R→¯R是环满同态,其中R有零因子,¯R没有零因子.8.整数加群与偶数加群同构,但是整数环与偶数环不同构.9.(x)是Z[x]的极大理想,也是Q[x]的极大理想.10.如果有单位元的环R只有平凡理想,则R是除环.11.设f:R→¯R为环满同态,如果R是非交换的,则¯R也是非交换的.12.Z[i]的自同构只有两个,一个是恒等同态,另一个是共轭.13.设R是环¯R的子环,a∈R,(a)是R的极大理想,但(a)不是¯R的极大理想.14.设R是有零因子的非交换环,f:R→¯R是环满同态,但¯R是没有零因子的交换环.15.R是非交换环,H是R的子环,但不是理想.16.一个没有零因子的环的商环也没有零因子.四、证明题1.设S是任意集合,(G,+)是加群.令A=G S表示S到G的所有映射构成的集合.在A上定义二元运算:∀f,g∈A,x∈G,(f+g)(x)=f(x)+g(x).证明(A,+)是一个群.2.设(G,·)是一个群,u∈G是G中固定元,在G上定义新的二元运算◦如下:a◦b=au−1b,∀a,b∈G.证明(G,◦)是一个群.3.证明实数域R上所有n阶可逆矩阵构成的集合M n(R)关于矩阵的乘法构成一个非交换群.设H={A∈M n(R)||A|=1},证明H是M n(R)的不变子群.4.设φ:G→¯G是群满同态.¯N ¯G,N={g∈G|φ(g)∈¯N}.证明N G,且G/N∼=¯G/¯N.5.设A,B 都是群G 的子群,AB ={ab |a ∈A,b ∈B }.证明AB 是G 的子群的充要条件是AB =BA .6.设G 表示有理数域Q 到Q 的一切形如f a,b (x )=ax +b,a =0,a,b ∈Q的所有变换构成的集合.令H ={f 1,b ∈G |b ∈Q },再令¯G ={a b 01 |a,b ∈Q ,a =0},¯G 关于矩阵的乘法构成一个非交换群.令¯H ={ a 001|0=a ∈Q }.证明:(a)G 关于映射的合成构成一个非交换群,且G ∼=¯G.(b)H G ,且G/H ∼=¯H,因而G/H 是一个交换群.7.6阶群有且仅有一个3阶子群,这个子群是不变子群.8.证明f :x →x −1是群G 的自同构的充要条件是G 为交换群.9.证明R ={m 2n |m ∈Z ,n ∈Z+∪{0}}关于数的加法和乘法构成一个整环.10.证明R ={a +b √2|a,b ∈Z }关于数的加法和乘法构成一个整环.11.证明Q [i ]={a +bi |a,b ∈Q }关于数的加法和乘法构成一个整环.12.设R 是一个有单位元1的非交换环,用GL (R )表示R 的所有群同态的集合.在GL (R )上定义两个二元运算如下:∀f,g ∈GL (R ),x ∈R ,(f +g )(x )=f (x )+g (x ),(f ◦g )(x )=f (g (x )).证明(GL (R ),+,◦)是一个非交换环.13.设A =Z ×Z 是关于以下定义的加法和乘法构成的环:(a,b )+(c,d )=(a +b,c +d );(a,b )(c,d )=(ac,bd ),∀(a,b ),(c,d )∈A.定义φ:A →Z ,(a,b )→a.(1).证明φ是A 到Z 的环满同态.(2).求ker φ;(3).A/ker φ是怎样的环?14.设R ={a +bi |a,b ∈Z ,i 2=−1}.证明R 关于数的加法和乘法构成一个整环.R/(1+i )含有几个元?15.设Z[x]是整数环Z上的多项式环,定义映射φ:Z[x]→Z,φ(f(x))=f(0).证明φ是Z[x]到Z的环满同态.kerφ是怎样的理想?16.设Z[x]是整数环Z上的多项式环.(x2+1)表示由x2+1生成的主理想,证明Z[x]/(x2+1)∼=Z[i].。
近世代数复习题
一判断题1．（ F ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。
不满足结合律2. （T ）循环群的子群是循环子群。
交换群的子群是不变子群。
前者P66，后者P71例33. （ F ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
有限群对，否则错，看非零整数集合关于乘法4. （ F ）存在一个4阶的非交换群。
所有阶数<= 5的群都是交换群，要么是循环群；要么满足x, x2=e,P38习题15. （T ）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
素数阶的群为循环群P70，其子群为不变子群P71例36．（T ）群G的指数是2的子群一定是不变子群。
2为素数P74习题37．（T ）素数阶群都是交换群。
8．（T ）群中只有唯一的元素满足x2=x。
讲义，群的性质定理6。
单位元是群中唯一的等幂元素。
(满足x2=x的元叫等幂元)9．（ F ）设G是一个n阶群，d是n的一个因子，如果G有d阶子群，则d阶子群是唯一的。
置换群S3的2阶子群有3个，循环群结论成立10．（ F ）设G是n阶循环群，d是n的一个因子，则G一定存在唯一的d阶子群。
若G是循环群，那么它的子群是循环群，||G的每一个正因子都对应一个且仅一个循环子群，正因子就是这个子群的阶。
11. （ F ）设N是群G的不变子群，则∀a∈G，∀n∈N,有an=na。
P71例412. （T ）循环群的商群是循环群。
P79习题413. （ F ）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。
14．（T ）一个阶是11的群只有两个子群。
15．（ F ）循环群有且仅有一个生成元。
16．（T ）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群P3817．（T )满足消去律的有限半群是群。
P39有限群的定义18. （ F ）无零因子环的同态象无零因子。
P98例319. （T ）模41的剩余类环Z41是域。
20. （ F ）模21的剩余类环Z21是域。
21不是素数21. （T ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
近世代数复习题
近世代数复习题习题2.2-3证明：1）在一个有限群里，阶大于2的元素的个数一定是偶数；2）偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数.证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显然1a a -≠（否则将有2a e =）但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也大于2.又设b 也是G 中一个阶大于2的元素，且1,b a b a-≠≠， 则易知111,.b a b a ---≠≠这就是说，G 中阶大于2的元素是成对出现的.由于G 是有限群，故G 的阶大于2的元素的个数必为偶数.2）设G 是一个偶数阶有限群.由于单位元是阶为1的唯一元素，又由1）知G 中阶大于2的元素的个数是偶数，故G 中阶数等于2的元素的个数一定是奇数.习题2.4.1设G a =为6阶循环群.给出G 的一切生成元和G 的所有子群. 解：生成元有两个：5,;a a 子群有T(6)=4个，除e 与G 外另外两个为：22433{,,},{,}.a e a a a e a == 习题2.5.1设{1,2,3,4},{,}M H τσ==，其中12341234,11341133τσ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 问：H 关于变换乘法是否作成有单位元的半群？是否作成群？习题2.6.4设(327)(26)(14),(134)(57).τσ==试求11??στσστσ--==2.7例1 取3S 的子群H={(1),(12)}求3S 关于H 的左右陪集.3.2例1证明：{(1),(123),(132)}N =是三元对称群3S 的一个正规子群.但是3S 的三个子群123{(1),(12)},{(1)(13)},{(1),(23)}H H H ===都不是3S 的正规子群. 习题3.2.1证明：指数是2的子群必是正规子群.7.设S 为群G 的非空子集，称(){|,}N S a a G aS Sa =∈=为S 在G 中的正规化子，并称1aSa -为（子群）S 的共轭（子群）子集.证明：1）11()();N aSa aN S a --= 2）();N S G ≤3）若H G ≤，则();H N H ( 4)G 中与S 共轭的子集数=(:()).G N S 提示：1:().aSa a N S ϕ-→∙4.2例2 数域F 上二阶全阵环中，1020⎛⎫ ⎪⎝⎭既是左零因子又是右零因子。
近世代数复习题
例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；〈[0]〉, 〈[1]〉= Z15, 〈[5]〉={[0], [5], [10]}= 〈[10]〉,〈[3]〉={ [0], [3], [6], [9], [12]} = 〈[6]〉= 〈[9]〉= 〈[12]〉.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。
因为有零因子。
一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设 是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(ϕ)={a ∈S: 有 ∃b ∈R, 使得 ϕ(b )=a }；(B) Ker(ϕ)={a ∈R: ϕ (a )=a }；(C) Ker(ϕ)={a ∈ϕR: ϕ (a )=1}；(D) Ker(ϕ)={a ∈ϕR: ϕ (a )=0}。
【大学课程】近世代数大题复习题及答案
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题1．设为整数加群, ,求?ZH:][=解在 Z中的陪集有:, , ,, ,所以, 5Z.H][=:2、找出S的所有子群。
3解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
3．求Z的所有子群。
18解Z的子群有;18;;;;4．将表为对换的乘积.解.容易验证: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5．设按顺序排列的13张红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为则3次同样方式的洗牌所对应的置换为6．在Z中, 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .6解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) .7．试求高斯整环的单位。
解设() 为的单位, 则存在, 使得, 于是因为, 所以. 从而, , 或. 因此可能的单位只有8． 试求12Z 中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知: (1) 为 12Z 的全部零因子.(2)为 12Z 的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为,,,.9、找出模6的剩余类环6Z 的所有理想。
近世代数复习题答案
近世代数复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备有一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元、逆元。
即对于任意的a, b属于G，有a*b属于G；对于任意的a, b, c属于G，有(a*b)*c = a*(b*c)；存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，有e*a = a*e = a；对于每一个a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：如果群G的一个非空子集H满足对于任意的a, b属于H，有a*b^(-1)属于H，则称H为G的一个子群。
3. 什么是正规子群？答：如果群G的一个子群N满足对于任意的g属于G和任意的n属于N，有g*n*g^(-1)属于N，则称N为G的一个正规子群。
4. 群同态的定义是什么？答：设G和H是两个群，如果存在一个映射φ: G → H，满足对于任意的a, b属于G，有φ(a*b) = φ(a)*φ(b)，则称φ为从G到H的一个群同态。
5. 什么是群的同构？答：如果群G和H之间存在一个双射的群同态φ，则称G和H是同构的，记作G ≅ H。
6. 什么是环？答：环是一个集合R，配备有两个二元运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群；(R, *)满足结合律；乘法对加法满足分配律。
即对于任意的a, b, c属于R，有(a+b)+c = a+(b+c)；存在一个元素0属于R，使得对于任意的a属于R，有a+0 = 0+a = a；对于每一个a属于R，存在一个元素-a属于R，使得a+(-a) = (-a)+a = 0；对于任意的a, b属于R，有(a*b)*c = a*(b*c)；对于任意的a, b属于R，有a*(b+c) = a*b + a*c，(b+c)*a = b*a + c*a。
7. 什么是理想？答：如果环R的一个非空子集I满足对于任意的a属于I和任意的r 属于R，有a*r和r*a属于I，则称I为R的一个理想。
近世代数（含答案）
近世代数（含答案）近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。
A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。
A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。
A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =?B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。
2、一个有单位元的无零因子的（交换环）称为整环。
3、群的单位元是（唯一）的，每个元素的逆元素是（唯一）的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数（相等）。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（特征）。
6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]ff a ?=（ a ）。
8、循环群的子群是（循环群）。
9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =?，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? ）。
10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ?∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。
三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。
【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。
近世代数复习
一、选择题(每题2分,共16分)1、若(),G a orda n ==,（）则下列说法正确得就是 2、假定φ就是A 与()A A A =ΦI 间得一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-与)]([1a -φφ分别为3、若G 就是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a =4、指出下列那些运算就是二元运算5、设12,,,n A A A L 与D 都就是非空集合,而f 就是12n A A A ⨯⨯⨯L 到D 得一个映射,那么6、设o 就是正整数集合N +上得二元运算,其中max(,)a b a b =o ,那么o 在Z 中7、在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =与b ya =分别有唯一解为8、设H 就是群G 得子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH 、如果[:]6G H =,那么G =9、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 得积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
10、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 得映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ就是从A 到B 得11、设Z 15就是以15为模得剩余类加群，那么，Z 15得子群共有（ ）个。
12、G 就是12阶得有限群，H 就是G 得子群，则H 得阶可能就是13、下面得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述，下列正确得就是15、关于理想得叙述，下列不正确得就是16、整数环Z 中，可逆元得个数就是17、 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵得加法与乘法构成R 上得二阶方阵环，那么这个方阵环就是18、 设Z 就是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ，Z a ∈，则σ就是R 得 19、设A={所有实数x}，A 得代数运算就是普通乘法，则以下映射作成A 到A 得一个子集 得同态满射得就是( )、20、设ο就是正整数集Z 上得二元运算，其中{}max ,a b a b =o （即取a 与b 中得最大者），那么ο在Z 中（ ）21、设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换得元得个数就是( )22、设(),G o 为群，其中G 就是实数集，而乘法:a b a b k =++o o ，这里k 为G 中固定得常数。
近世代数考试复习
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
近世代数考试复习
近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
近世代数复习题
1.n 次对称群Sn 的阶是____________.2.一个有限非可换群至少含有____________个元素.3.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有____________个.4. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个。
5.剩余类加群Z 6的全部生成元是________。
6.整数加群Z 有__________个生成元.7.6阶循环群有_________个子群.8.设Z 7是模７的剩余类加群，那么Z 7有___________个子群．9. 素数阶有限群G 的非平凡子群个数等于____________。
10.在3次对称群S 3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个.11、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。
12.5次对称群S 5中，(12543)2(13542)-1=_________.13.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
14、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。
15、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
16.每一个有限群都和一个_____群同构.17.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。
18.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。
19.在3次对称群S 3中，H ＝{(1)，(12)}是S 3的一个子群，则(13)H ＝___________．20.设循环群G=(a)，如果a 的周期无限，则(a)同构于________。
21.剩余类环Z m 是无零因子环的充要条件是_____.22. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.23.模9的剩余类环Z 9的零因子为________.24.模P （素数）的剩余类环Zp 有________个可逆元.25.剩余类环Z 11的可逆元有___________个.26.除环的理想共有____________个.27.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________.29.模8的剩余类环Z 8的子环有_________个.30.剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.31.整数环Z 的理想有_________个.32.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么n是___________。
优秀的近世代数期末考试总复习
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
近世代数复习题
近世代数复习题近世代数复习题近世代数复习思考题⼀、基本概念与基本常识的记忆（⼀）填空题1.剩余类加群Z 12有个⽣成元.2、设群G 的元a 的阶是n ，则的阶是. 3. 6阶循环群有个⼦群.4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e an=，那么m 与n 存在整除关系为———。
5. 模8的剩余类环Z 8的⼦环有个.6.整数环Z 的理想有个.7、n 次对称群的阶是——————。
8、9-置换?728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。
9.剩余类环Z 6的⼦环{［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是. 10.24中的所有可逆元是：.11、凯莱定理的内容是：任⼀个⼦群都同⼀个同构。
12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为⽆限，则G 同构于，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于。
13. 在整数环中，23+； 14、n 次对称群的阶是.15. 设12,A A 为群G 的⼦群，则21A A 是群G 的⼦群的充分必要条件为。
16、除环的理想共有个。
17. 剩余类环Z 5的零因⼦个数等于.18、在整数环Z 中，由｛2，3｝⽣成的理想是. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是. 21. 整环{所有复数(是整数)}，则I 的单位是. 22. 剩余类环是域?n 是. 23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (54)(32). 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =。
25、设群｛e ，a 1，a 2，…，1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n . 26. 设{}，则A 到A 的⼀⼀映射共有个. 27、整数环Z 的商域是. 28. 整数加群Z 有个⽣成元.29、若R 是⼀个有单位元的交换环，I 是R 的⼀个理想，那么R I 是⼀个域当且仅当I 是————————。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆(一)填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.2、设群Ｇ的元a 的阶是n,则ａk 的阶是＿____＿_＿.3. 6阶循环群有_＿_＿_____个子群.４、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为———。
5． 模８的剩余类环Z 8的子环有____＿____个.6.整数环Z 的理想有＿________个．７、ｎ次对称群S ｎ的阶是——————。
８、９-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。
9.剩余类环Z 6的子环Ｓ={[0］,［2]，［4］},则Ｓ的单位元是_＿_＿＿___＿___. 1０. 24中的所有可逆元是：＿＿_＿＿__________＿__＿_＿＿__＿_.1１、凯莱定理的内容是:任一个子群都同一个___＿___＿同构。
12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于_____＿＿_＿__,(2）若a 的阶为n ，则G 同构于＿_____＿＿____。
１３． 在整数环中，23+=___＿_____________＿；１４、n 次对称群S ｎ的阶是_____.1５. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___＿__＿___＿。
１6、除环的理想共有____＿______＿个。
17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__＿_＿__＿＿_.18、在整数环Ｚ中，由｛2,3}生成的理想是______＿_＿.1９． 剩余类环Ｚ7的可逆元有_______＿＿＿个.20、设Ｚ11是整数模11的剩余类环，则Z １1的特征是_________.21. 整环Ｉ={所有复数a+ｂi(a,b 是整数）},则I 的单位是__________.22. 剩余类环Ｚn 是域⇔n 是＿_＿_＿____．23、设Ｚ7 ＝{0，1,2,3，４,５,6}是整数模７的剩余类环,在Z 7 [ｘ]中, (5x-4）(3x+2)=________.24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =__＿_______＿____。
2５、设群G ＝{e,a 1，a 2，…,a n -１}，运算为乘法,e 为G 的单位元,则ａ1ｎ =___.26． 设A ＝{a ，b,c},则Ａ到A 的一一映射共有__________个.27、整数环Z 的商域是_______＿.28． 整数加群Z 有__＿___＿___个生成元.2９、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。
30． 已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S 上的元素，则1σ-=___＿_＿____。
３1. 每一个有限群都与一个_＿＿＿＿_____群同构。
32、设I 是唯一分解环，则I[ｘ]与唯一分解环的关系是——————。
二、基本概念的理解与掌握。
(二）选择题１．设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素，那么，Ａ与Ｂ的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A.２ Ｂ．５ C.7ﻩﻩ ﻩD.1０2.设A=B ＝Ｒ（实数集)，如果Ａ到B 的映射ϕ:x →ｘ＋２,∀x ∈Ｒ，则ϕ是从A 到B 的( ）A.满射而非单射 ﻩB.单射而非满射 Ｃ.一一映射D.既非单射也非满射 3.设Ｚ15是以15为模的剩余类加群，那么，Z １5的子群共有( ）个。
A.2ﻩ Ｂ.4 C.6ﻩ Ｄ.８4、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是( )A 5；B ６；C 7；D 9.5、下面的集合与运算构成群的是 ( )A {0，1},运算为普通的乘法；B {0，１｝，运算为普通的加法；C {-1，１｝，运算为普通的乘法;D ｛－1,1}，运算为普通的加法；6、关于整环的叙述,下列正确的是 ( )A 左、右消去律都成立;B 左、右消去律都不成立；Ｃ 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述,下列不正确的是 （ ）A 在环的同态满射下，理想的象是理想;Ｂ 在环的同态满射下,理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身.8.整数环Z 中，可逆元的个数是( ）。
A.1个 ﻩﻩB.2个ﻩ ﻩＣ.4个 ﻩ D.无限个９. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ａ,ｂ,c ，d ∈R,R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和 乘法构成Ｒ上的二阶方阵环,那么这个方阵环是( )。
A ． 有单位元的交换环B ． 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环 Ｄ. 有单位元的非交换环１0. 设Z 是整数集，σ(a)＝⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ,Z a ∈,则σ是R 的（ ）.Ａ. 满射变换 B ． 单射变换 C. 一一变换 ﻩ Ｄ． 不是Ｒ的变换1１、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到Ａ的一个子集 的同态满射的是( ).A 、x→１0xB 、x→2xC 、x→｜x|D 、x→-x .１2、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中（ )A 、不适合交换律B 、不适合结合律C 、存在单位元 Ｄ、每个元都有逆元.13.设3S ={（1),（1 2），（1 3)，（2 3）,（１ ２ ３),（1 ３ 2)},则3S 中与元（１ 2 ３)不能交换的元的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、４.１4、设(),G 为群,其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。
那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）A 、０和x -；B 、1和0； Ｃ、k 和2x k -； D 、k -和(2)x k -+15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。
如果H =６,那么G 的阶G =( )A 、6B 、2４ Ｃ、10 D 、1216.整数环Ｚ中，可逆元的个数是( ）.A 、1个B 、２个 Ｃ、4个 D 、无限个。
17、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为( )A 、若a 是零元,则b 是零元B 、若a 是单位元,则b 是单位元C 、若a 不是零因子,则b 不是零因子 Ｄ、若2R 是不交换的，则1R 不交换１8、下列正确的命题是（ )A 、欧氏环一定是唯一分解环B 、主理想环必是欧氏环C 、唯一分解环必是主理想环D 、唯一分解环必是欧氏环１9. 下列法则，哪个是集Ａ的代数运算( )．A. A=N, a b=a ＋b －2B. A=Ｚ，ａ ｂ＝ba C. A=Q, a b=ab Ｄ. A ＝R ， a b ＝ａ＋b+a ｂ2０. 设Ａ={所有非零实数x ｝,A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到Ａ的一个子集A 的同态满射的是（ ).A. x →-x ﻩB. x →x 1 Ｃ. x →x1- Ｄ. ｘ→５x21. 在３次对称群S 3中,阶为3的元有( ).A. 0个 ﻩﻩB ． 1个 C. 2个 ﻩ D. ３个22．剩余类环Ｚ6的子环有（ ).Ａ. ３个 B. ４个 Ｃ. ５个 D ． ６个２3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x ( )A ．11--a bc ; Ｂ.11--a c ; C.11--bc a ; Ｄ.ca b 1-。
24、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A.f 的同态核是1G 的不变子群；B.1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
C ．1G 的子群的象是2G 的子群；Ｄ.2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;２5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。
如果H =６，那么G 的阶=G （ ）Ａ.6; Ｂ.24； Ｃ.１０; Ｄ.12。
(三)判断题（每小题2分,共12分）1、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
( ）2、除环中的每一个元都有逆元。
( ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。
（ )4、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。
( ）5、域是交换的除环。
（ )6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。
（ ）7、设ｆ：G G →是群G 到群G 的同态满射,a ∈G ，则a 与ｆ (a ）的阶相同。
（) 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）9、循环群的子群也是循环群。
( )１0、整环I 中的两个元素a,ｂ满足a 整除ｂ且b 整除a ，则a=ｂ。
（ )11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
（ ）12、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。
( ）13、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元10≠。
（ ）14、指数为2的子群不是不变子群。
( ）１５、在整数环Z中，只有±1才是单位,因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。
（）1６、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。
(）1７、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。
( ）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。
( )１9、整环必是唯一分解环。
()２0、在唯一分解环K中,p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。
（）21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在,且任意二个最大公因子相伴。
( )22、整数环Z和环[]Q x都是主理想环。
（)２3、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。
( )24、整数环Z、数域P上的一元多项式环[]P x和Gａuｓｓ整环[]Z i都是欧氏环。
（)25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。
反之亦然。
（）２６、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。
（）27、设环><,,R的加法群是循环群,那么环R必是交换环.（）+•2８、对于环Ｒ，若a是R的左零因子，则a必同时是R的右零因子.（）29、剩余类Z是无零因子环的充分必要条件是m为素数.（）m30、整数环是无零因子环，但它不是除环。
（）31、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. （ ） 32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
（ ）３3、理想必是子环,但子环未必是理想. （ )34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ )35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。