分式的运算及题型讲解

§ 17.2分式的运算

一、分式的乘除法 1、法则:

（1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。

a ?c ac

用式子表示：F?d bd

（2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。

a?d 翌

b c bc

（1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得

负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。

n

n

a a

用式子表示：b 『（其中n 为正整数，a z 0）

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算

用式子表示:

2、应用法则时要注意:

式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有

多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简

三、分式的加减法

（一）同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减

用式子表示:

2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，

a c ad be ad be

再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关

键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1,然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）

有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换 律、结合律和分配律；(3)分式运算结果必须化到最简，能约分的要 约分，保证运算结果是最简分式或整式。

x 1 x2 2x

1、先约分后通分技巧 例计算x 2 3x 2 + x 2 4

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

x 1 X (X 2) 1 x X 1

解：原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) =C2 +T~2 =T~2

2

x 2

3x 3

2、分离整数技巧例计算x 2 3x 2

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

=(x 1)(x 2) - (x 2)(x 3)-

x 3 (x 1) (x 2)

例计算：

2

(1)—

a 4

a 2

2 a 2

2 x 1

x 4

(3)

1

x x 2 x 2x

2

(2)丄 x 2 ；

x 2

x 2 5x _2 x

1 __

5x 6 - x 2 4x 3

(x 2

3x 2) 1 解：

原式=—x^

3x 2

(x 2 5x 6) 1 x 2 5x 6

1 x

2 4x 3

1

=1+ x 2 3x 2

1

-1- x 2

5x 6 - 1 x 2 4x 3

(x 1)(x 3) 【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

1 1

2 11

3 11解：原式=( x - x 1 ) + 2 (x 1 --x 3 ) + 3 ( x 3 - x 6 ) 1 16

=x - x 6=x(x 6)

练习:1 2 2

4、分组计算技巧例计算 a 2 + a 1 - a 1 -

分析：通过观察发现原〔式中

第

一、四项分母乘积为

采取分组计算简捷。

11 2 2解：原式=(a 2 - a 2)+( a 1 - a 1)

4 412

1

T~2

a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1 ,

练习:

=a2 4 +a2 1 = (a24)(a21)

2

=k

2

x ~~2 a

1）字母代入法

1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求

【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替:

a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3

所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简

a

b c d

a d

a b c b c dad

a

a 1

a 2 a 3 a a 3 a a 1 a 2 a 1

a 2 a 3 a a 3

a

a 1 a 2 a 3

=2a 3

3a 3 3a 6 2a 3

a a

3

a 1 a 2

2a 3 3(a 1) 3(a 2)

=1 1 1 3 3

=5 =3

【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时, 字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示, 到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2）设值代入法

x y

z xy yz zx x 2

例2.已知

，求证：

2

a b c

ab

bc ca

a

b c

【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到

y x ，z x ，代入后分式的分子

a a

分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到 -、丿、-连等，让它们都

a b c

等于 k 贝U x=ak y=bk z=ck

,xy yz zx akbk bkck ckak

代入得

=一

ab bc ca ab bc ca

ab bc ca ’ 2 = k ab bc ca

的值.

第一个要想到的方法就是 所以用这种方法能不能得