分式的运算及题型讲解
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。
(完整版)分式常见题型汇总
知识点：1、能理解因式分解的概念并能正确判别。
2、会用提取公因式，运用公式法分解因式。
重点：1、运用提取公因式法分解因式。
2、运用公式法分解因式。
难点：综合运用提公因式法，公式法分解因式，体会因式分解的作用。
分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x（3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算 （1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）ab ab b b a a ----222；（3）ba b b a ++-22； （4）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；（5）2121111x x x ++++-； （6）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x x x （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
分式运算公式
分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式，由分子和分母组成的比值。
在运算中，我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。
下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。
1. 分式加法公式：a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。
要进行分式的加法，首先将两个分式的分母进行通分，然后将分子相加，最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。
2. 分式减法公式：a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似，分式的减法也需要先通分，然后将分子相减，最后得到的结果写在一个新的分式中。
3. 分式乘法公式：(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果写在一个新的分式中。
4. 分式除法公式：(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为被除数乘以倒数的形式，然后按照分式乘法的计算方法进行运算。
在进行分式运算时，我们还需要注意以下几点：1. 通分：在分式加法和减法中，通分是必要的。
要通分，需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母，并将分子按比例扩大或缩小。
2. 约分：在分式的结果中，如果分子和分母有公因数，可以进行约分化简，将它们的最大公因数约去。
3. 分母为零：在运算时，分母不能为零，否则分式将无意义。
下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程：例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先将两个分数进行通分，分母取2和3的最小公倍数6，将分子按比例扩大或缩小，得到 3/6 和 2/6。
然后将分子相加，得到 5/6，所以结果为 5/6。
例题2：计算 3/4 * 2/5解：将分子相乘，分母相乘，得到 6/20。
然后可以进行约分，将分子和分母同时除以它们的最大公因数2，得到 3/10，所以结果为 3/10。
通过以上的分式运算公式和例子，我们可以看到，掌握了分式的运算方法，就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。
专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式的加减】【例1】（2021春•盐城月考）化简： （1）a a−b+b b−a； （2）x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x．【变式1-1】当m ＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．【变式1-2】（2021•乐山）已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A 、B 的值．【变式1-3】（2021春•河南期末）若a ＞0，M =aa+1，N =a+1a+2 （1）当a ＝1时，M ＝12，N ＝23；当a ＝3时，M ＝34，N ＝45；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】（2021•嘉兴一模）计算x 2x+2−x +2时，两位同学的解法如下：解法一：x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二：x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”． （2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）+x 3−4x 2x 2．【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x−2，x 2x+2这样的分式是假分式；1x−2，xx 2−1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2．解决下列问题： （1）将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式；（2）如果分式x 2+2x x+3的值为整数，求x 的整数值．【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）假分式x+6x+4可化为带分式 形式；（2）利用分离常数法，求分式2x 2+5x 2+1的取值范围；（3）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，则m 2+n 2+mn 的最小值为 ．【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
专题07 分式的运算(考点清单+18种题型解读)(解析版)
专题07分式的运算（18种题型解读）【分式的相关概念】分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式A B来说：①当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若A B>0，则A、B同号;若A B<0，则A、B异号.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：【考点题型一】分式的判断1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式K，2，2r3，+中，属于分式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、2+12、B、3K、+1中，分式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，r，2，−1，3，K，K1，−5，2+．4．（23-24八年级下·山西大同·的取值范围是（）A．>0B．≠2C．>2D．≥2【答案】C【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得−2>0，解得>2，故选：C．5．（23-24八年级下·全国·x的取值范围是（）A．>2且≠3B．≥2C．≠3D．≥2且≠3【答案】D【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可．【详解】解：由题意得−2≥0且−3≠0，解得：≥2且≠3，故选：D．6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（）A．−2B．+2C．D．2【答案】A7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式K r，当J−1时，其值为0，当=1时，此分式没有意义，那么s的值分别是（）A．−1,−1B．1，1C．1,−1D．−1,1【答案】A【分析】本题考查了分式没有意义的条件以及分式值为0的条件，解题的关键是由题意正确得到−1−=0，1+=0，求解即可。
分式的概念及基本性质分式的运算
求最简公分母的步骤：
1各分母是单项式时
2各分母是多项式时
5.分式的运算
（1）乘除运算
（2）分式的乘方
（3）分式的加减运算
（4）分式的混合运算
【典型例题】
例1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
例2.下列分式何时有意义
分式
3.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
4.分式的约分与通分
（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤：
1分式的分子、分母都是单项式时
2分子、分母是多项式时
（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基 础。
分式的概念及基本性质 分式的运算
一.知识精讲及例题分析
（一）知识梳理
1.分式的概念
A
形如一（A、B是整式，且B中含有字母，B =0）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，B叫分式的B
分母。
注：
（1）分式的分母中必须含有字母
（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义
2.有理式的分类
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ'单项式 整式i有理式丫.多项式
分式知识点题型总结
分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。
下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。
一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。
2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。
五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。
解整式方程。
验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
解：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
解：原式
四、活用乘法公式
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
解：当且时，
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
解：原式
六、见繁化简
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
解：原式。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
分式的运算及题型讲解
§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：〔1〕乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
〔意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘〕。
用式子表示：bd ac d c b a =•〔2〕除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示： 2、应用法则时要注意：〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；〔2〕当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：〔其中n 为正整数，a ≠0〕2、注意事项：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；〔3〕最后结果要化到最简。
三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：2、注意事项：〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
〔二〕异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项：〔1〕在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
〔2〕若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。
分式运算典型例题精解
分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念： 【例1】有理式（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33yx -；（5）11－x ；（6）π1中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。
. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x 为 时，分式()()()322-++x x x 有意义． 错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。
例如 当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。
但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是（ ）．A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a ba b a b-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a ba + D ．b -（2）化简2244xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x -（3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11---x x x，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式没有意义。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{a ＋ b}｛c}＼）都是分式，而\（＼frac{3}｛5}＼）（分母不含有字母）就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（B ≠ 0\）时，分式有意义。
例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），要使其有意义，则\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0，即\（A ＝ 0\）；2、分母不为 0，即\（B ≠ 0\）。
例如：若分式\（＼frac{x 3}｛x ＋ 5}＼）的值为 0，则\（x 3 ＝ 0\）且\（x ＋5 ≠ 0\），解得\（x ＝ 3\）。
四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C ≠ 0\））例如：＼（＼frac{2}｛3} ＝＼frac{2×2}｛3×2} ＝＼frac{4}｛6}＼），＼（＼frac{6}｛9} ＝＼frac{6÷3}｛9÷3} ＝＼frac{2}｛3}＼）五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
例如：对分式\（＼frac{6x}｛9x^2}＼）进行约分，分子分母的公因式为\（3x\），约分后为\（＼frac{2}｛3x}＼）六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
分式 基础知识详解+基础典型例题解析
类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2 ， x ， m 1 ，3 x2 ， 5 ， a2 ， 2 ．
a3 m
a 3
【思路点拨】 x ， 5 ， 2 虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中 5 的分母中 表示
3 3
一个常数，因此这三个式子都不是分式．
当 x 2 时， x2 4 (2)2 4 0 ，
x2
∴ 在分式有意义的前提下，分式
的值永不为 0．
x2 4
类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
0.2x y
（1）
；
0.02x 0.5 y
1x1 y （2） 3 4 ．
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做
A
分式的基本性质，用式子表示是：
AM
，A
AM
（其中
M 是不等于零的整式）.
B BM B BM
要点诠释：（1）基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加
要点六、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最 高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则 是针对多个分式而言.
分式的加减法运算技巧及应用场景
分式的加减法运算技巧及应用场景一、分式的加减法运算技巧1.分式的概念与基本性质–分式是指有分数形式的表达式，一般形式为 a/b，其中 a 和 b 都是整式，且b ≠ 0。
–分式的基本性质包括：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
2.分式的加减法原则–同分母分式相加减，分子相加减，分母保持不变。
–异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式相加减的方法进行计算。
3.分式的加减法步骤–判断分式是否为同分母，若是同分母，则直接相加减分子的对应项。
–若异分母，则先进行通分，即将分式化为同分母分式，再进行相加减。
–通分的方法：求最简公分母，将各个分式的分母乘以相应的倍数，使得分母相同。
4.最简公分母的求法–最简公分母是指几个分式的分母的最小公倍数，且不含有公因数。
–求最简公分母的方法：分别对各个分式的分母进行质因数分解，取各个质因数的最高次幂的乘积。
5.通分后的计算方法–通分后，分式的分子相加减，分母保持不变。
–计算过程中，注意化简分式，使其保持最简形式。
二、分式的应用场景1.溶液稀释问题–溶液的稀释问题中，浓度与体积的关系可以表示为分式，通过分式的加减法运算，可以求得稀释后的浓度。
2.分数运算问题–在解决分数运算问题时，如分数的加减乘除等，可利用分式的加减法技巧进行计算。
3.比例问题–在解决比例问题时，如求解比例系数，可以将比例关系表示为分式，通过分式的加减法运算求解。
4.几何问题–在解决几何问题时，如求解三角形面积、相似三角形问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
5.函数问题–在解决函数问题时，如求解分段函数的值域、函数的交点等，可以将函数表达式表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
6.实际应用问题–在解决实际应用问题时，如经济问题、物理问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
通过以上分式的加减法运算技巧及应用场景的学习，可以更好地理解和运用分式，提高解决实际问题的能力。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
完整版分式的计算
完整版分式的计算分式是数学中一种特殊的表达形式，由两个整数之间用分数线表示而成，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的计算可以包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面将分别介绍这四种计算方法的完整版。
一、加法计算：对于两个分式的加法，可以先找到它们的公共分母，然后将分式的分子相加，分母保持不变。
例如，计算以下两个分式的和：(3/4)+(2/5)步骤1：确定公共分母，4和5的最小公倍数是20。
步骤2：对分子进行相加，得到：3/4+2/5=(15/20)+(8/20)=23/20步骤3：将分子23和分母20写在一起，得到最简分式：23/20所以，(3/4)+(2/5)=23/20二、减法计算：对于两个分式的减法，也需要找到它们的公共分母，然后将分式的分子相减，分母保持不变。
例如，计算以下两个分式的差：(5/6)-(1/3)步骤1：确定公共分母，6和3的公共倍数是6步骤2：对分子进行相减，得到：5/6-1/3=(5/6)-(2/6)=3/6步骤3：将分子3和分母6写在一起，得到最简分式：3/6所以，(5/6)-(1/3)=3/6三、乘法计算：对于两个分式的乘法，只需要将分式的分子相乘，分母相乘。
例如，计算以下两个分式的乘积：(2/3)*(4/5)步骤1：将分子相乘，得到：2*4=8步骤2：将分母相乘，得到：3*5=15步骤3：将分子8和分母15写在一起，得到最简分式：8/15所以，(2/3)*(4/5)=8/15四、除法计算：对于两个分式的除法，需要将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘。
例如，计算以下两个分式的商：(3/4)÷(2/5)步骤1：将除数的分子和被除数的分母相乘，得到：3*5=15步骤2：将除数的分母和被除数的分子相乘，得到：4*2=8步骤3：将分子15和分母8写在一起，得到最简分式：15/8所以，(3/4)÷(2/5)=15/8以上就是分式的四种基本运算的完整版计算方法。
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§ 17.2分式的运算一、分式的乘除法 1、法则:（1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。
a ?c ac用式子表示：F?d bd（2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。
a?d 翌b c bc（1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。
nna a用式子表示：b 『（其中n 为正整数，a z 0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算用式子表示:2、应用法则时要注意:式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示:2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，a c ad be ad be再加减。
用式子表示：b d bd bd bd 。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1,然后进行通分。
（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换 律、结合律和分配律；(3)分式运算结果必须化到最简，能约分的要 约分，保证运算结果是最简分式或整式。
x 1 x2 2x1、先约分后通分技巧 例计算x 2 3x 2 + x 2 4分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算x 1 X (X 2) 1 x X 1解：原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) =C2 +T~2 =T~22x 23x 32、分离整数技巧例计算x 2 3x 2分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
=(x 1)(x 2) - (x 2)(x 3)-x 3 (x 1) (x 2)例计算：2(1)—a 4a 22 a 22 x 1x 4(3)1x x 2 x 2x2(2)丄 x 2 ；x 2x 2 5x _2 x1 __5x 6 - x 2 4x 3(x 23x 2) 1 解：原式=—x^3x 2(x 2 5x 6) 1 x 2 5x 61 x2 4x 31=1+ x 2 3x 21-1- x 25x 6 - 1 x 2 4x 3(x 1)(x 3) 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1 12 113 11解：原式=( x - x 1 ) + 2 (x 1 --x 3 ) + 3 ( x 3 - x 6 ) 1 16=x - x 6=x(x 6)练习:1 2 24、分组计算技巧例计算 a 2 + a 1 - a 1 -分析：通过观察发现原〔式中第一、四项分母乘积为采取分组计算简捷。
11 2 2解：原式=(a 2 - a 2)+( a 1 - a 1)4 4121T~2a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1 ,练习:=a2 4 +a2 1 = (a24)(a21)2=k2x ~~2 a1）字母代入法1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简ab c da da b c b c dadaa 1a 2 a 3 a a 3 a a 1 a 2 a 1a 2 a 3 a a 3aa 1 a 2 a 3=2a 33a 3 3a 6 2a 3a a3a 1 a 22a 3 3(a 1) 3(a 2)=1 1 1 3 3=5 =3【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时, 字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示, 到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2）设值代入法x yz xy yz zx x 2例2.已知，求证：2a b cabbc caab c【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到y x ，z x ，代入后分式的分子a a分母中有分式，化简麻烦。
我们用一种新的代入方式，考虑到 -、丿、-连等，让它们都a b c等于 k 贝U x=ak y=bk z=ck,xy yz zx akbk bkck ckak代入得=一ab bc ca ab bc caab bc ca ’ 2 = k ab bc ca的值.第一个要想到的方法就是 所以用这种方法能不能得【探讨】当遇到连等式乙可以米用以下三种方式来运用这个条件5 X y z设_ —a b cb c则(1) y x, z Xa aX y z(2) 设—J—k 则x=ak y=bk z=cka b cX y z,x y z —,(3) 设J k则k 其中a b c 0a b c a b c3) 整式代入法1 1 2a 3ab 2b 砧/古例3.已知：3，求分式的值•a b a ab b【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式，得「3，再将分式稍化简变为2(a b) 3ab，可以发现分ab (a b) ab子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-ab a 3ab2a 3ab 2b 2( a b) 3ab 6ab 3ab 3a ab b (a b) ab 3ab ab 4【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。
4) 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
ab bc ca 例4 (方程变形).已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc^ 0，求的值.b2【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组{ a+b+c=0==> 厂用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来2 2 2ab bc ca 2c 2c c 32 = 2 —b 4c 4例5 (非负变形).已知：2 22 , 22a ab 6b 丹a 2b 2 8a 6b 250，求—2 的值•a 4ab 4b【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式2 2 2 2a b 8a 6b 25 (a 4) (b 3) 0其中(a 4)2 0(b3)20 所以(a4)2=0(b 3)2=0得 a 4,b再带入原式很容易求出解。
【解析】这题可以用整式代入法，比如用 -b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用 a 2 (b c)2代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：1 x y 1 1的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。
a xy x y1 1 1 1 1 1 1 1 1 写出变化后的形式丄丄丄，丄丄丄，丄丄丄a xyb x zcy z111 111 12 ---(--)(--)- c y zx y xz x_- - 2 a b x例6(对应变形).证明:1若 a+b+c=O,贝 H 2-- 2 --- 2 b c a1~2 T1cab1 0 ~7~2 2. a b c用a=-b-c 代入b 2c 2 a 2中的 a , 得到-2bc用b=-a-c 代入2b 中的得到-2ac用c=-a-b 代入b 2c 2中的 c , 得到-2ab1原式2bc2ac例7 (倒数变形).12aba 2abc已知旦x y xza,- xyz b, y zc,且 abc 0.求证x2abc bc acab【解析】已知条件是的形式, x y不能化简, 如果颠倒分子分母，将a 改写成x y24be ac ababc 2abc则x，得证。
bc ac ab例8 (归类变形)1已知ab 1 1c ，且a 、b 、c 互不相等，求证：2 2 2abc 1b c a【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ,能不能求出b 、c 的代数式都是问题。
因此我们变形不要太过着急， 如果从消元化简的方式不能变形， 就考虑从结构化 简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：1 1 b ca b -- 巳上，可以发现分式形式大致消失了，c b bc剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来, be, c a a b a b , b c , c a bcac ab 左边和左边相乘，右边和右边相乘得(ab)(b c)(ca)(b c)(c a)(ab)(a b)(b c)(c a)o --abc所以 a -b 1 2c 21【结论】给已知条件变形是用代入法的前提， 变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知 条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式,可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
【练习】1 B.-21、已知22 2£ 则 2a3bc b 4 a 2 2abc 2的值等于((设值代入)19D.C.2、若 a 2+b 2=3ab,则(1+严a b上匚)的值等于(a b)(整式代入)B. 0C.12D.-所以-x消元的角度：方程变形、非负变形结构的角度：对应、倒数、归类变形减少字母数量，方便化简---调整关系式结构，方便化简已知：13a+b+c=0,abc=8.求证：—a 4、已知：a+b+c=0.求证1 111a -b -b c a c5、已知abc=1，求证：aab a11 1V 0. （非负变形）b cc - - 3 0. （代数式归类变形）a bb c-1 （对应变形）be b 1 ac c 1。