有理数专题讲解及其训练
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有理数的五大概念
知识导航:
1、正数与负数;
2、有理数;
3、数轴;
4、相反数;
5、绝对值.
方法技巧:熟练掌握有理数五大概念,依据定义解题.
一、正数和负数
定义:
① 我们把其中一种意义的量规定为正,用正数表示;那么与它相反意义的量就可以用负数表示. ② 正数是比0大的数,负数是比0小的数; ③ 0既不是正数,也不是负数. 技方法巧:
①确定规定为正的量以及零点;
②区分“正负”与“加减”:它们虽然写法相同,但是实质却不同。读正负,我们称之为性质称号;读加减,我们称之为运算符号. 知识点一 正数与负数的概念 1. 下列各数中为负数的是( ) A. 1
B. -2018
C. 0.2
D.
2
1
2. 下列结论中正确的是( ) A. 0既是正数也是负数 B. 0是最大的负数
C. 0是最小的正数
D. 0既不是正数,也不是负数
3. 下列各数中:π--+-,,,,,
3
1
22.0031,负数一共有( ) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 下列各数:.3.03
1
232.18010236.0?-+--+-,,,,,,,%,,,
π 正数有: ; 负数有: .
知识点二 用正负数表示相反意义的量
5. 《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思就是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为( ) A. 零上3℃
B. 零下3℃
C. 零上7℃
D. 零下7℃
6. 如果向东走2m 记为+2m ,则向西走3m 可记为( ) A. +3m
B. +2m
C. -3m
D. -2m
7. 陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶,它高出海平面8848m ,记为 +8848m ;陆地上最低处是地处亚洲西部的死海,它低于海平面约415m ,记为( ) A. +415m
B. -415m
C. ±415m
D. -8848m
8. 下列不是具有相反意义的量是( ) A. 前进5米和后退5米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米
D. 超出5克和不足2克
9. 长江水位降了1.8m ,可以表示为( ) A. 1.8m
B. -1.8m
C. -1.8m 或1.8m
D. 无法表示
10. 如果+5℃表示比0℃高5℃,那么比0℃低7℃记作 ℃. 11. 如果-60元表示支出60元,那么+100元表示 .
12. 长江水位高于正常水位7.6m 时记作+7.6m,那么低于正常水位5m,应记作 ;-8.2m 表示 ;0m 表示 . 真题训练:
13. 在一次数学测验中,小明所在班级的平均分为83分,把高出平均分的部分若记作正数,则小明98分,应记为 分;小华记作-4分,他的实际得分为 分.
14. 若规定海平面的高度为0米,且规定高出海平面的高度为正,一潜水艇在水面下40米处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动,用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为 , ,鲨鱼比潜水艇高出 米.
15. 通常高于海平面的地方,用正数表示它的高度,低于海平面的地方,用负数表示它的高度已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为+100米、10米和-80米,下列说法中不正确的是( ) A.甲地高出海平面100米 B.丙地最低
C.乙地比甲地低90米
D.乙地比丙地高70米
16. 下列各数:85
120731
29.5,,,,,
--+ 中,正数的个数是( ) A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
17. 大于4且小于3的所有整数有( ) A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
18. 一条东西走向的跑道上,小虎先向东走了8米,记作“+8米”,又向西走了10米,此时他的位置可记作( ) A. +2m
B. -2m
C. 10m
D. -10m
19. 某项科学研究需要以30分钟为一个时间单位,并将研究那天的上午10时记为0,10时以前记为负,10时以后记为正.例如那天的9:30记为1,10:30记为+1,等等,依此类推,那天上午7:30应记为( ) A. -2.5
B. -5
C. +5
D. +2.5
20. 一艘潜水艇所在的海拔高度为-50m ,若一条鲨鱼在潜水艇下方10m 处,则鲨鱼所在的海拔高度为( ) A. -60m
B. -40m
C. 10m
D. -10m
21. 观察下面排列的一列,请写出后面的数:
(1);,,,,
,,,,K 541
3211--- (2);
,,
,
,
,,,,K 6
554433221-- 22. 某中学对七年级男生进行引体向上测试,8个为达标标准,超过的个数用正数表示,不足的个数用负数表示,其中10名男生的成绩分别为:2,-1,0,3,-2,1,3,-3,2,0. (1)这10名男生中有几名达到标准?达标率是多少? (2)他们共做了多少个引体向上?
综合拓展:
23. 下表给出了初一某班6名同学身高情况(其中空白和字母表示未知信息):
(1)由表中信息可知a= ,b= ,c= ,d= ,f= ; (2)这六名学生中最高身高比最矮身高高 cm ; (3)求这六名学生的平均身高.
二、有理数
知识导航:
有理数:整数和分数统称有理数.(形如p
q
这类的数,其中p 和q 为互质整数且p ≠0) 1.按定义分类 2.按性质分类 正整数 正整数
整数
0 正有理数
负整数
正分数 有理数 的有理数 0
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数
负分数
非负数:正数和0统称非负数; 非负整数:正整数和0统称非负整数; 非正数:负数和0统称非正数; 非正整数:负整数和0统称非正整数
知识点一 有理数的概念
1. 在
41
,-1,0,-3.2 这四个数中,属于负分数的是( ) A. 4
1 B. -1 C. 0
D. -3.2
2. 下列说法错误的是( ) A. -3是负有理数
B. 0不是整数
C.
3
2
是正有理数 D. 0.15是负分数
3. 下列各数中,既是分数又是正数的是( ) A. +2 B. 3
14
C. 0
D. -2.3
知识点二
有理数的分类
4. 下列说法中,正确的是( ) A. 正数、负数统称为有理数 B. 3.14不是分数
C. 正整数和负整数统称为整数
D. 整数和分数统称为有理数
5. 下列说法中不正确的是( ) A. -3.14既是负数,分数,也是有理数
B.0既不是正数,也不是负数,是整数
C. -2000既是负数,也是整数,但不是有理数
D.0是非正数
6. 给出下列说法:①0是整数;②3
1
2
-是负分数;③4.2不是正数:④自然数一定是正数; ⑤负分数一定是负有理数. 其中正确的有( ) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 把下列各数分别填在相应的横线上:2004168.013.2307893255
1
321.01----,,,,,,,, 正数有: 分数有: 负数有: 正整数有: 非正数有: 负整数有: 非负数有:
负分数有:
真题训练:
8. 下列关于“0”的叙述,不正确的是( ) A. 0是非负数,也是非正数 B. 0是整数
C. 0是最小的有理数
D. 0是最小的自然数 9. 下列语句:①所有整数都是正数;②分数是有理数;③所有的正数都是整数:④在有理数中,除了负数就是正数,其中正确的结论个数为( ) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 下列各数中:05.04
3
2.34,,,,-
-既不是正数,又不是分数的是 . 11. 在有理数中,是负数但不是分数的数是 . 12. 任意写出3个数(不能重复),同时满足下列三个条件: ①其中2个数是非正数; ②其中2个数是非负数;
③3个数都是有理数.
综合拓展:
13. 15.将一组数列:ΛΛ7654321----,,,,,,排列成下列形式
-1 2 -3 4 -5 6 -7 8 -9 10
-11
12
-13
14
-15
16
按照上述规律排下去:
(1)第5行最中间的一个数是 ; (2)第10行从左边数第9个数是多少?
三、数轴
知识导航:
数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。(数轴三要素:原点、正方向、单位长度)
①任何有理数都可以在数轴上用一个点表示出来;
②数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大(规定右边为正方向)
知识点一数轴的定义及画法
1.关于数轴,下列说法最准确的是()
A. 一条直线
B. 有原点、正方向的一条直线
C. 有单位长度的一条直线
D. 规定了原点、正方向、单位长度的直线
2.下列数轴画法正确的是()
A B C D
知识点二数轴上的点与有理数的关系
3.如图,点A表示;点B表示;点C表示;D点表示;
4.如图,在数轴上点M表示的数可能是()
A. 1.5
B. -1.5
C. -2.4
D. 2.4
5.在数轴上,一个点从2开始向左移动3个单位长度后表示的数是()
A. +5
B. -1
C. -5
D. -2
6.在数轴上与原点的距离为4个单位长度的点表示的数为()
A. +4
B. -4
C. 4或-4
D. 0或4
7.在数轴上表示2的点与原点的距离等于()
A. 2
B. -2
C. ±2
D. 4
8.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上,文具店在书店北边20米处,玩具店位于书店南边100米处,小花从书店沿街向南走了40米,接着又向南走了60米,此时小花在()A. 文具店 B. 玩具店 C. 文具店北边40米 D. 玩具店南边-60米
9. 数轴上的点A 表示的数是1,将点A 向左移动4个单位长度后得到点B,则点B 表示的数是 ; 10. 在数轴上表示-4的点位于原点的 边,与原点的距离是 个单位长度. 11. 在数轴上,点A ,B 分别表示-5和2,则点A 与点B 的距离是 个单位长度. 12. 在数轴上表示出.2
1
3,4,0,5.2,5--
真题训练:
13. 点A 为数轴上表示-2的点,将点A 沿数轴移动4个单位长度到点B 时,点B 所表示的数是( ) A. 1
B. -6
C. 2或-6
D. 不同于以上答案
14. 不大于3的正整数有 .
15. 数轴上与表示+2的点距离为3个单位长度的点有 个,它们分别表示的数是 . 16. 在数轴上与表示-1的点距离3个单位长度的点表示的数是 . 17. 在数轴上,点A 到原点的距离为3,点B 到原点的距离为5 (1)求点A 表示的数; (2)求点B 表示的数;
(3)利用数轴求A ,B 两点间的距离为多少?画数轴说明
综合拓展:
18. 如图,数轴上标出的所有点中,相邻任意两点间的距离都相等,已知点A 表示-16,点G 表示8. (1)表示原点的是点 ,点C 表示的数是 .
(2)若数轴上有两点M,N,点M 到点E 的距离为4,点N 到点E 的距离是3,求点M,N 之间的距离; (3)点P 为数轴上一点,且表示的数是整数,点P 到A 点的距离与P 到G 点的距离之和为24,则这样的P 点有 个.
四、相反数
知识导航:
相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个数叫另一个数的相反数. 1. 若两个数互为相反数,则数轴上表示这两个数的点关于原点对称; 2. a 的相反数为-a ;0的相反数是0; 3. 若a ,b 互为相反数,则a+b=0 知识点一 根据相反数的定义求相反数
1. (1)
2.5的相反数是 ;-2的相反数是 ;
7
3
的相反数是 ; (2)a 的相反数为 ; 若a 的相反数为a ,则a= ; (3)一个数的相反数是它本身,则这个数是 .
2. 在数轴上点A ,B 表示的数互为相反数,且两点间的距离是8,点A 在点B 的右边,则点A 表示的数为 ;B 表示的数为 .
3. 下列说法中正确的是( ) A.正数和负数互为相反数 B.任何一个数的相反数都与它本身不相同 C.任何一个数都有它的相反数
D 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
4. 如图,表示互为相反数的两个点是( ) A. A 和C B. A 和D C. B 和C
D. B 和D
知识点二
根据相反数的几何意义比较数的大小 5. 数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,则a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( )