有理数专题讲解及其训练

有理数的五大概念
知识导航：
1、正数与负数；
2、有理数；
3、数轴；
4、相反数；
5、绝对值.
方法技巧：熟练掌握有理数五大概念，依据定义解题.
一、正数和负数
定义：
① 我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示；那么与它相反意义的量就可以用负数表示. ② 正数是比0大的数，负数是比0小的数； ③ 0既不是正数，也不是负数. 技方法巧:
①确定规定为正的量以及零点；
②区分“正负”与“加减”：它们虽然写法相同，但是实质却不同。

读正负，我们称之为性质称号；读加减，我们称之为运算符号. 知识点一 正数与负数的概念 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. 1
B. －2018
C. 0.2
D.
2
1
2. 下列结论中正确的是（ ） A. 0既是正数也是负数 B. 0是最大的负数
C. 0是最小的正数
D. 0既不是正数，也不是负数
3. 下列各数中：π--+-，，，，，
3
1
22.0031，负数一共有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 下列各数：.3.03
1
232.18010236.0•-+--+-，，，，，，，％，，，
π 正数有： ； 负数有： .
知识点二 用正负数表示相反意义的量
5. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思就是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为（ ） A. 零上3℃
B. 零下3℃
C. 零上7℃
D. 零下7℃
6. 如果向东走2m 记为＋2m ，则向西走3m 可记为（ ） A. ＋3m
B. ＋2m
C. －3m
D. －2m
7. 陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，它高出海平面8848m ，记为 ＋8848m ；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，它低于海平面约415m ，记为（ ） A. ＋415m
B. －415m
C. ±415m
D. －8848m
8. 下列不是具有相反意义的量是（ ） A. 前进5米和后退5米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米
D. 超出5克和不足2克
9. 长江水位降了1.8m ，可以表示为（ ） A. 1.8m
B. －1.8m
C. －1.8m 或1.8m
D. 无法表示
10. 如果＋5℃表示比0℃高5℃，那么比0℃低7℃记作 ℃. 11. 如果－60元表示支出60元，那么＋100元表示 .
12. 长江水位高于正常水位7.6m 时记作＋7.6m,那么低于正常水位5m,应记作 ；－8.2m 表示 ；0m 表示 . 真题训练：
13. 在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为83分，把高出平均分的部分若记作正数，则小明98分，应记为 分；小华记作－4分，他的实际得分为 分.
14. 若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为 ， ，鲨鱼比潜水艇高出 米.
15. 通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A.甲地高出海平面100米 B.丙地最低
C.乙地比甲地低90米
D.乙地比丙地高70米
16. 下列各数：85
120731
29.5，，，，，
--+ 中，正数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
17. 大于4且小于3的所有整数有（ ） A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
18. 一条东西走向的跑道上，小虎先向东走了8米，记作“＋8米”,又向西走了10米，此时他的位置可记作（ ） A. ＋2m
B. －2m
C. 10m
D. －10m
19. 某项科学研究需要以30分钟为一个时间单位，并将研究那天的上午10时记为0，10时以前记为负，10时以后记为正.例如那天的9:30记为1，10:30记为＋1，等等，依此类推，那天上午7:30应记为（ ） A. －2.5
B. －5
C. ＋5
D. ＋2.5
20. 一艘潜水艇所在的海拔高度为－50m ，若一条鲨鱼在潜水艇下方10m 处，则鲨鱼所在的海拔高度为（ ） A. －60m
B. －40m
C. 10m
D. －10m
21. 观察下面排列的一列，请写出后面的数：
（1）；，，，，
，，，， 541
3211--- （2）；
，，
，
，
，，，， 6
554433221-- 22. 某中学对七年级男生进行引体向上测试，8个为达标标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中10名男生的成绩分别为：2，－1，0，3，－2，1，3，－3，2，0. （1）这10名男生中有几名达到标准？达标率是多少？ （2）他们共做了多少个引体向上？
综合拓展：
23. 下表给出了初一某班6名同学身高情况（其中空白和字母表示未知信息）：
（1）由表中信息可知a= ，b= ，c= ，d= ，f= ； （2）这六名学生中最高身高比最矮身高高 cm ； （3）求这六名学生的平均身高.
二、有理数
知识导航：
有理数：整数和分数统称有理数.（形如p
q
这类的数，其中p 和q 为互质整数且p ≠0） 1.按定义分类 2.按性质分类 正整数 正整数
整数
0 正有理数
负整数
正分数 有理数 的有理数 0
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数
负分数
非负数：正数和0统称非负数； 非负整数：正整数和0统称非负整数； 非正数：负数和0统称非正数； 非正整数：负整数和0统称非正整数
知识点一 有理数的概念
1. 在
41
，－1，0，－3.2 这四个数中，属于负分数的是（ ） A. 4
1 B. －1 C. 0
D. －3.2
2. 下列说法错误的是（ ） A. －3是负有理数
B. 0不是整数
C.
3
2
是正有理数 D. 0.15是负分数
3. 下列各数中，既是分数又是正数的是（ ） A. ＋2 B. 3
14
C. 0
D. －2.3
知识点二
有理数的分类
4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正数、负数统称为有理数 B. 3.14不是分数
C. 正整数和负整数统称为整数
D. 整数和分数统称为有理数
5. 下列说法中不正确的是（ ） A. －3.14既是负数，分数，也是有理数
B.0既不是正数，也不是负数，是整数
C. －2000既是负数，也是整数，但不是有理数
D.0是非正数
6. 给出下列说法：①0是整数；②3
1
2
-是负分数；③4.2不是正数：④自然数一定是正数； ⑤负分数一定是负有理数. 其中正确的有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 把下列各数分别填在相应的横线上：2004168.013.2307893255
1
321.01----，，，，，，，， 正数有： 分数有： 负数有： 正整数有： 非正数有： 负整数有： 非负数有：
负分数有：
真题训练：
8. 下列关于“0”的叙述，不正确的是（ ） A. 0是非负数，也是非正数 B. 0是整数
C. 0是最小的有理数
D. 0是最小的自然数 9. 下列语句：①所有整数都是正数；②分数是有理数；③所有的正数都是整数：④在有理数中，除了负数就是正数，其中正确的结论个数为（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 下列各数中：05.04
3
2.34，，，，-
-既不是正数，又不是分数的是 . 11. 在有理数中，是负数但不是分数的数是 . 12. 任意写出3个数(不能重复),同时满足下列三个条件： ①其中2个数是非正数； ②其中2个数是非负数；
③3个数都是有理数.
综合拓展：
13. 15.将一组数列： 7654321----，，，，，，排列成下列形式
－1 2 －3 4 －5 6 －7 8 －9 10
－11
12
－13
14
－15
16
按照上述规律排下去：
(1)第5行最中间的一个数是 ； (2)第10行从左边数第9个数是多少？
三、数轴
知识导航：
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

（数轴三要素：原点、正方向、单位长度）
①任何有理数都可以在数轴上用一个点表示出来；
②数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大（规定右边为正方向）
知识点一数轴的定义及画法
1.关于数轴，下列说法最准确的是（）
A. 一条直线
B. 有原点、正方向的一条直线
C. 有单位长度的一条直线
D. 规定了原点、正方向、单位长度的直线
2.下列数轴画法正确的是（）
A B C D
知识点二数轴上的点与有理数的关系
3.如图，点A表示；点B表示；点C表示；D点表示；
4.如图，在数轴上点M表示的数可能是（）
A. 1.5
B. －1.5
C. －2.4
D. 2.4
5.在数轴上，一个点从2开始向左移动3个单位长度后表示的数是（）
A. ＋5
B. －1
C. －5
D. －2
6.在数轴上与原点的距离为4个单位长度的点表示的数为（）
A. ＋4
B. －4
C. 4或－4
D. 0或4
7.在数轴上表示2的点与原点的距离等于（）
A. 2
B. －2
C. ±2
D. 4
8.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上，文具店在书店北边20米处，玩具店位于书店南边100米处，小花从书店沿街向南走了40米，接着又向南走了60米，此时小花在（）A. 文具店 B. 玩具店 C. 文具店北边40米 D. 玩具店南边－60米
9. 数轴上的点A 表示的数是1,将点A 向左移动4个单位长度后得到点B,则点B 表示的数是 ; 10. 在数轴上表示－4的点位于原点的 边，与原点的距离是 个单位长度. 11. 在数轴上，点A ，B 分别表示－5和2，则点A 与点B 的距离是 个单位长度. 12. 在数轴上表示出.2
1
3,4,0,5.2,5--
真题训练：
13. 点A 为数轴上表示－2的点，将点A 沿数轴移动4个单位长度到点B 时，点B 所表示的数是（ ） A. 1
B. －6
C. 2或－6
D. 不同于以上答案
14. 不大于3的正整数有 .
15. 数轴上与表示＋2的点距离为3个单位长度的点有 个，它们分别表示的数是 . 16. 在数轴上与表示－1的点距离3个单位长度的点表示的数是 . 17. 在数轴上，点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5 （1）求点A 表示的数； （2）求点B 表示的数；
（3）利用数轴求A ，B 两点间的距离为多少？画数轴说明
综合拓展：
18. 如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等,已知点A 表示－16，点G 表示8. （1）表示原点的是点 ，点C 表示的数是 .
（2）若数轴上有两点M,N,点M 到点E 的距离为4,点N 到点E 的距离是3,求点M,N 之间的距离； （3）点P 为数轴上一点，且表示的数是整数，点P 到A 点的距离与P 到G 点的距离之和为24,则这样的P 点有 个.
四、相反数
知识导航：
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数. 1. 若两个数互为相反数，则数轴上表示这两个数的点关于原点对称； 2. a 的相反数为－a ；0的相反数是0； 3. 若a ，b 互为相反数，则a+b=0 知识点一 根据相反数的定义求相反数
1. （1）
2.5的相反数是 ；－2的相反数是 ；
7
3
的相反数是 ； （2）a 的相反数为 ； 若a 的相反数为a ，则a= ； （3）一个数的相反数是它本身，则这个数是 .
2. 在数轴上点A ，B 表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，点A 在点B 的右边，则点A 表示的数为 ；B 表示的数为 .
3. 下列说法中正确的是（ ） A.正数和负数互为相反数 B.任何一个数的相反数都与它本身不相同 C.任何一个数都有它的相反数
D 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
4. 如图，表示互为相反数的两个点是（ ） A. A 和C B. A 和D C. B 和C
D. B 和D
知识点二
根据相反数的几何意义比较数的大小 5. 数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系是（ ）
A. －b<a<b<－a
B. a<－b<－a<b
C. a<－b<b<－a
D. －a<b<－b<a
知识点三
根据相反数的定义化简
6. 化简：－(＋8) = ；－{－(－8) }= ； －{－[＋(－7) ] }= ；
7. －(＋5)表示 的相反数，即－(＋5) = ；(－5)表示 的相反数，即－(－8 ) = .
8. 3若a 是－[－ (－7) ]的相反数，则a = . 知识点四
根据相反数的定义求未知数的值
9. 若 7－2x 与 5－x 表示的数互为相反数，求x 的值
真题训练：
10.a表示有理数，则－a一定是（）
A. 负数
B. 正数
C. 正数或负数
D. 以上都不对
11.下列化简正确的是（）
A. －(－7) =－3
B.－[＋(－10)]=－10
C. －(＋5)=5
D. －[－(＋8) ]=－8
12.数轴上表示数a和数b的两点之间的距离为6,若a的相反数为2,则b为（）
A. 4
B. －4
C. －8
D. 4或－8
13.a＋3的相反数为.
14.在数轴上，若点A和点B（A在B的右侧）表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是9，则A，B两点所表示的数分别是、.
15.将一个数在数轴上所对应的点向左移动10个单位，得到它的相反数对应的点，则这个数.
16.数轴上A点表示－3，B、C两点表示的数互为相反数，点B在点A的左边，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是.
17.a，b为有理数，它们表示的点在数轴上的位置如图所示，把－a，－b表示的点分别在数轴上表示出来并比较a与－b的大小.
18.在数轴上点A表示的数为7，点B和点C表示的数互为相反数，且A与C之间的距离为2，请在数轴上画出点A，B，C的位置并求出B，C所表示的数.
综合拓展：
19.已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置；
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
(3)在(2)的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，b表示的数是多少？
五、绝对值
知识导航：
1. 绝对值的几何意义：
数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a| 2. 绝对值的代数意义
（1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0
a
（a ≥ 0）
3. 去绝对值法则：|a| =
－a （a ≤ 0） 4. 绝对值的性质：
（1）绝对值的非负性：|a| ≥ 0; （2）若|a|＋|b| = 0，则a = 0且b = 0 知识点一
根据绝对值的代数意义计算
1. （1）3的绝对值是 ；－3的绝对值是 ；0的绝对值是 ； （2）绝对值等于本身的数是 ； （3）|－5| = ；－|－5| = ；
2. ；
；；=---=-÷-=
-+-5.55.636510 3. 下列式子中，正确的是（ ） A. |－3| = －3
B. －|－3| = －3
C. －|3| = 3
D. －|－3| = 3
4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 3
5
53--
和 B. 5
3
53和-
C. 3
5
53和-
D. 5
3
53--
和 5. 计算：（1）；09105+---+- （2）.2763+⨯---⨯-
知识点二 根据绝对值的意义和数轴的性质比较数的大小
6. 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）；；322136--- （2）；
；2019201820192018---- 7. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，最小的数是（ ）
A. a
B. b
C. c
D. d
8. 如图，a 与b 的大小关系是（ ）
A. a < b
B. b = 2a
C. | b | > a
D. a=b
9. 先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序用“ < ”连接起来
()21145.1023
------
知识点三 根据绝对值的几何意义求值
10. | x | = 5，则x ；| x | =| －3 |，则x ；| x －1 | =3 ，则x ；
11. 一个有理数的绝对值为5，则这个数为（ ）
A. 5
B. －5
C. 5或－5
D. 0
12. 已知| x | =2，| y －1 | = 3，x < y ，求x ，y 的值
知识点四 根据绝对值的非负性求值
13. 若| x －1|＋| y －x | = 0，则x = ；y = .
14. 已知| a ＋b |＋2| b －3 | = 0，求| a －b |的值
真题训练：
15.已知a = －5，| a |=| b |，则b的值为（）
A. 5
B. －5
C. 0
D. ±5
16.一个数a在数轴上所对应的点在原点的左侧，且|a|=6，则a的值为（）
A. 6或－6
B. 6
C. －6
D. 以上都不对
17.一个数的绝对值最小，则这个数是（）
A. 1
B. －1
C. 0
D. 不存在
18.已知|a|=6，|b|=2，且a > 0，b < 0，则a＋b的值为（）
A. 8
B. －8
C. 4
D. －4
19.下列说法正确的是（）
A.－a的绝对值是a
B.若|x| = －x，则x是负数
C.a的绝对值是a
D.若m = －n ，则|m| = |n|
20.下列说法中正确的是（）
A.一个数的绝对值一定大于这个数的相反数
B.若|a|=－a，则a ≤ 0
C.绝对值等于3的数是－3
D.绝对值不大于2的数是±2，±1，0
21.如图，数轴的单位长度为1，如果点P、Q表示的数互为相反数，那么图中的4个点中表示的数的绝对值最大的是（）
A. P
B. R
C. Q
D. T
22.有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
A.|b| > －a
B.|a| > －b
C.b > a
D.|a| > |b|
23.下列各结论成立的是（）
A.若|m| = |n|，则m = n
B.若m > n，则|m| > |n|
C.若|m| > |n|，则m > n
D.若m < n <0，则|m| > |n|
24.下列结论：
①若m = n，则|m| = |n|；②若m＋n = 0，则|m| = |n|；
③若|m| = |n|，则m = n；④若|m| = |n|，则m = n或m＋n = 0.
其中一定正确的是（）
A. ①②③④
B. ①④
C. ②③
D. ①②④
25. 已知a ，b 为有理数，下列说法：
①若a ，b 互为相反数，则b
a =－1；②若|a －4| > 1，则a > 5； ③若| a －
b |＋a －b = 0，则b > a ；④若| a | > | b |，则b<| a |.
其中正确的结论有(
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
26. |－3| = ；| 3－π| = ；绝对值大于1小于3的整数有 .
27. 当a < 3时，| a －3 |= ； 当a > 3时，| 3－a |= ；
28. (1)若a = 3，| b | = 2，且a > b ，则b = ；
(2)若a = 2，|b|=3，且a < b ，则b = ；
(3)若| a | = 3，| b | = 2，且a > b ，则a = ；b = ；
(4)若| a | = 3，| b | = 2，且a < b ，则a = ；b = .
29. 数a ，b 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，－a ，b ，| b |，| a －b |的大小
30. （1）若| 1－x |=5，则x = ；
（2）若| a ＋1 | = 2，| b －1 | = 5，a > b ，求| a |＋| b |的值
31. 已知| x ＋2|与| y －5 |互为相反数，求2| x －y |的值
32. 已知| x －4 |＋|y －2| = 0,求 2x －|y| 的值
33.已知| a | = 5，| b | = 2，且a > 0，b > 0，求a＋b和a－b的值
34.已知| x | = 6，|y| = 4，且x > y，求y的值.
综合拓展：
35.已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示
（1）a 0，b 0，c 0，| a | | c |；
（2）在数轴上找出表示－b，－b，－c的点；
（3）用“<”将a，－a，b，－b，c，－c，0 连起来.
36.如图，我们知道，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b；A，B两点间的距离表示为AB，则AB = |a－b|.所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.根据上述材料，解答下列问题：
(1)若|x－3| = |x－1|，则x = ；
(2)式子|x－3|＋|x－1|的最小值为；
(3)若|x－3|＋|x－1| = 8，则x .
37.有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且|b| > |a| > |c|.
（1）－a 0 ，－b 0 ，－c 0 （填“>”或“<”）；
（2）试比较a，－a，b，－b，c，－c的大小。