有理数的大小比较的方法与技巧

合集下载

初一数学考试必考的22个知识点和注意事项

初一数学考试必考的22个知识点和注意事项马上就到期中考试了，而初一的期中考试中，数学对整个初中的学习有举足轻重的影响,它将很大程度上决定了你初中的学习成绩水平。

那期中考试数学如何复习呢？今天爱加小编就给大家整理了初一数学上学期期中考试必考的22个知识点和注意事项，家长们可以打印出来给孩子对照复习!1。

数轴（1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）(3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

2。

相反数（1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在,从数轴上看，除0外,互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.（3）多重符号的化简：与“+”个数无关,有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a,m+n 的相反数是﹣(m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

3.绝对值1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数。

③有理数的绝对值都是非负数。

2。

如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;③当a是零时，a的绝对值是零。

即｜a|={a（a>0)0(a=0）﹣a(a〈0）4。

有理数大小比较1。

有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

有理数计算的六个技巧

有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。

以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。

例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。

2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。

这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。

3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。

例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。

4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。

例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。

5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。

例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。

6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。

例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。

这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。

在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。

有理数的技巧和方法

有理数的技巧和方法宝子们，今天咱们来唠唠有理数的那些技巧和方法，可有趣儿啦。

有理数的分类得先搞清楚。

整数和分数统称为有理数。

整数就像队伍里站得整整齐齐的小伙伴，有正整数、零和负整数。

分数呢，就像是把一个完整的东西切开后的小部分，像正分数和负分数。

这就好比是把有理数这个大家庭分成了不同的小家庭，每个小家庭都有自己的特点。

做有理数的加减法时，同号相加、相减就比较好理解。

要是同是正数，就像两个好朋友一起使力，把数值相加就好啦；要是同是负数，那就是一起往负数的方向走得更远，数值也是相加，但结果是负数哦。

而异号相加、相减呢，就像是拔河，要看看哪边的力量更大。

用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号就跟着绝对值大的那个数走。

有理数的乘法也有小窍门。

正数乘正数，那肯定是正数啦，就像两个积极向上的小伙伴合作，结果肯定是积极的。

负数乘负数呢，可别被迷惑了，结果也是正数哦，就好像两个有点小调皮的家伙凑在一起反而干了件好事。

正数乘负数，结果就是负数，就像一个积极的和一个消极的在一起，就有点消极啦。

除法呢，其实就是乘法的逆运算。

记住除以一个数等于乘以它的倒数这个小妙招。

比如说，除以2就等于乘以1/2。

不过要小心哦，0不能做除数，这就像是一个特殊的规则，不能打破的。

在比较有理数的大小时，要是正数和正数比，数字大的就大，这个简单。

负数和负数比呢，绝对值大的反而小，这就有点反直觉啦，不过多做几道题就好理解了。

正数肯定是大于负数的，就像白天总是比黑夜让人感觉更明亮。

有理数的运算顺序也不能乱。

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

有括号的要先算括号里的，就像要先打开小盒子，再打开大盒子一样。

宝子们，有理数的这些技巧和方法只要多练、多琢磨，就像和它们交朋友一样，慢慢地就会很熟悉啦，数学也就变得没那么难喽。

有理数及其运算的技巧

学科: 奥数教学内容：有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。

将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数。

并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

要点讲解：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。

★★例1观察图1中的数轴用字母a,b,c依次表示点A，B，C 对应的数，试确定这三个数的大小关系。

思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为C点在1的右边，所以c>1，因为A点在-1与之间，B 点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由同样的理由有，。

所以又ab>0,故从而有 0<ab<b-a<c。

所以★★例2：设a,b是两个有理数，且a<b,求证：.证明1：∵ a<b, ∴ b>a, ∴ b-a>0.而∴∴证明2 ∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数，由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。

初中数学有理数的学习技巧

初中数学有理数的学习技巧
初中数学有理数的学习技巧主要包括以下几点：
1.理解定义和性质：首先，确保你清楚有理数的定义和性
质。

有理数是可以表示为两个整数（分子和分母）之比的数，其中分母不为零。

理解有理数的性质，如加法、减
法、乘法和除法的运算法则，以及它们与整数和分数的关系。

2.熟练掌握有理数的运算：练习有理数的加、减、乘、除运
算，特别是分数的加减法和乘法。

注意运算的符号和顺
序，以及结果的化简。

3.利用数轴理解有理数：数轴是一个直观的工具，可以帮助
你理解有理数的大小和位置。

在数轴上表示有理数，观察它们之间的关系和顺序。

4.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对有理数概
念和运算的理解。

从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。

5.关联和对比：将有理数与实数、整数、小数等其他数学概
念进行对比和关联，找出它们之间的异同点，加深对有理数知识的理解。

6.总结归纳：将学习到的有理数知识和技巧进行归纳整理，
形成自己的知识体系。

这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。

7.参加讨论和求助：与同学或老师讨论有理数相关的问题，
通过交流和分享来加深对有理数知识的理解。

遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。

8.持续复习：定期复习有理数的概念和运算，确保你能够长
期记忆和应用它们。

在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。

遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中的有理数知识，提高解题能力。

方法技巧篇1 有理数

方法技巧篇一有理数一、有理数大小的比较方法(1)作差法例1 比较31与0.33的大小.(2)赋值法例2 已知a 、b 、c 都是有理数，且a >b >c ，那么下列式子正确的是( )A ．ab >bcB ．a +b >b +cC ．a -b >b -c D.cb c a >(3)绝对值法、作商法、同分母法、同分子法例3 比较65-与75-的大小.二、有理数混合运算的运算技巧(1)转化法例1 计算：)23(6.175.11634.0)32(-⨯⨯÷⨯÷-(2)凑整法例2 计算：3155.38.3544322)213(-+-+--(3)分拆法例3 计算：2124312329615++--(4)巧用运算律例4 计算：685.3685.1)4316161(48⨯+⨯-+--⨯-(5)巧提因式法例5 计算：3005200520052003200330052003200420034008200220034004200322⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-．(6)字母代换法例6 计算 2006×20042003-2004×20062006.(7)分组结合法例7 计算 1+2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12-13-14+15+…+1992-1993-1994+1995.(8)前后相约法例8 2001减去它的21，再减去剩余的31，再减去剩余的41，…，依次类推，一直减去剩余的20011，那么最后剩余的数是______．(9)数形结合法例9 在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+++++ 的值（结果用n 表示），设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求出n21...21212121432+++++的值．(10)“借鸡生蛋”法例10 计算：641321161814121+++++*(11)拆项相消法例11 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求值：++++)1)(1(11b a ab )2009)(2009(1...)2)(2(1++++++b a b a ．*(12)反序相加法例12 计算：...)54535251()434241()3231(21++++++++++)60596058 (60)2601(+++++．三、数字规律题的解法(1)数字规律探索问题例17 一个数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1 第2行2 3 第3行 4 5 6 7则第6行中的最后一个数为( )A ．31B ．63C ．127D ．255(2)数阵规律探索问题例18 把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围成的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为______．例19 把5、6、7、8、9、10、11这七个数，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．四、分类讨论思想例l 比较5a 与3a 的大小.例2 五个有理数a 、b 、c 、d 、e 满足abcde abcde -=||，试求++=b b a a s ||||e e d d c c ||||||++的最大值．五、数形结合思想例3 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a b a -+||的结果是( )A.2a +bB.2aC.aD.b例4 如图，点A 、B 在数轴上对应的实数分别为m 、n ，则A 、B 间的距离是______．（用含m 、n 的式子表示）六、化归思想(1)将陌生的问题转化为熟悉的问题例5 现规定一种新运算“*”,a *b =ab -a +b ，例如3*2=3×2-3+2=5，则21*3=______．(2)将复杂的问题转化为简单的问题例6 计算：3333331094321++++++ ．七、特殊化的思想方法例7 已知a 、b 是有理数，且ab<0．试比较||b a +、||b a -、||||b a +、||||||b a -的大小．八、整体思想例8 若a a -=-2|2|，求a 的取值范围．。

初中数学常考的知识点

初中数学常考的知识点一、数轴1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

2.数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。

）3.用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

二、相反数1.相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

2.相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

3.多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

4.规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

三、绝对值1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数；③有理数的绝对值都是非负数。

2.如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a （a＜0）。

四、有理数大小比较1.有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

2.有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小。

规律方法：有理数大小比较的三种方法：①法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小；②数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；③作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b=0，则a=b。

有理数比较大小的解题方法和技巧

有理数比较大小的解题方法和技巧背景信息有理数是指可以写成两个整数之比形式的数，包括正数、负数和0。

比较大小是数学中常见的操作，对于有理数来说也有一些特定的方法和技巧可以使用。

解题方法1. 利用数轴：对于有理数的比较，可以将它们表示在数轴上，从而直观地比较它们的大小。

在数轴上，数越往右，它的大小越大。

通过将有理数标在数轴上，可以快速比较它们的大小关系。

2. 公共分母比较法：当需要比较两个分数时，可以使用公共分母比较法。

首先将两个分数的分母找出它们的最小公倍数，然后将两个分数的分子分别乘以最小公倍数除以原来的分母，得到新的分数。

最后比较两个新分数的大小关系即可。

3. 直接比较法：对于两个整数的比较，可以直接比较它们的数值大小。

如果两个整数的数值相同，则根据它们的正负性来比较大小。

正数大于负数，而负数小于正数。

技巧1. 不等式的性质：利用不等式的性质来比较有理数的大小。

例如，如果两个有理数的分子相同，那么它们的大小取决于分母的大小，分母越小，则有理数越大。

2. 小数的转化：将有理数转化为小数形式，可以更方便地比较它们的大小。

将有理数做除法运算，得到小数形式后比较数值的大小。

注意事项1. 在进行有理数的比较时，应注意符号的影响。

正数大于负数，而负数小于正数。

2. 对于较复杂的有理数比较问题，可以通过化简、运算规则等方法来简化计算过程。

总结有理数比较大小的解题方法和技巧包括利用数轴、公共分母比较法、直接比较法，以及应用不等式性质和小数转化等技巧。

在解题过程中，需要注意符号的影响以及进行合理化简和运算规则的应用。

这些方法和技巧可以帮助学生更好地理解和解决有理数比较大小的问题，提升数学解题能力。

《有理数的大小比较》教学设计表

有理数的大小比较一、教学目标1.掌握有理数的大小比较方法和规则；2.学会将有理数进行绝对值大小比较；3.培养学生自主探究、合作学习和解决问题的能力。

二、教学重点和难点1.理解有理数的大小比较方法和规则；2.掌握有理数绝对值大小比较的方法和技巧。

三、教学内容与方法1. 教学内容1.有理数大小比较的规则和方法；2.有理数绝对值大小比较的方法和技巧。

2. 教学方法1.教师讲授 + 学生合作探究；2.个别辅导 + 小组讨论；3.情境教学 + 归纳总结。

四、教学步骤与过程1. 导入新知口头解释题目中的“有理数”，引出本节课学习目标：掌握有理数的大小比较方法和规则，学会将有理数进行绝对值大小比较。

2. 学习有理数的大小比较方法和规则1.介绍有理数的数轴表示法和数轴上正负数的位置；2.讲解有理数的大小比较方法和规则：对于同一符号的有理数，绝对值大的数大；对于异号有理数，正数大于负数；3.通过例题演示有理数的大小比较方法和规则，并巩固学生了解。

3. 掌握有理数的绝对值大小比较方法和技巧1.引入学习绝对值，介绍绝对值的定义；2.讲解有理数绝对值大小比较方法和技巧：比较绝对值大小，符号与绝对值大小无关；3.通过例题演示有理数的绝对值大小比较方法和技巧，并巩固学生了解。

4. 提高教学效果1.教师选择一些较难的题目讲解和引入讨论；2.学生在小组内合作解题、相互讨论，提高解题能力，并从中寻找解题技巧。

5. 课堂作业1.课堂练习；2.教师为学生提供一些难度适宜的习题。

五、教学评估1.课堂练习成绩；2.作业完成情况；3.学生的自主探究、合作学习和解决问题的能力。

六、教学反思与改进1.教师应该注意选取与学生已有知识相符合的例题；2.教师应该适量增加实际问题的演练，让学生更好的掌握有理数的大小比较方法；3.教学过程中，引导学生举一反三，举一类题解一类题，促进学生自主思考和解决问题的能力。

初一数学考试必考的22个知识点和注意事项

初一数学考试必考的22个知识点和注意事项马上就到期中考试了，而初一的期中考试中,数学对整个初中的学习有举足轻重的影响，它将很大程度上决定了你初中的学习成绩水平。

那期中考试数学如何复习呢？今天爱加小编就给大家整理了初一数学上学期期中考试必考的22个知识点和注意事项，家长们可以打印出来给孩子对照复习!1.数轴（1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素：原点,单位长度，正方向。

（2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。

(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

2.相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在,从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关,有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

(4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣",如a的相反数是﹣a，m+n 的相反数是﹣(m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时,要用小括号.3。

绝对值1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数。

③有理数的绝对值都是非负数。

2。

如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时,a的绝对值是零。

即|a｜={a(a〉0)0（a=0）﹣a(a〈0）4。

有理数大小比较1.有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

有理数加减混合运算的五种运算技巧

有理数加减混合运算的五种运算技巧
一、比较法
比较法的原理是把有理数的乘除操作分解为加减操作来进行解题，通过比较有理数之间的大小关系，进一步缩小了最后的计算量。

比较法的基本步骤：
（1）确定大小关系：先比较两个有理数的大小，判断大者小者，再比较后一个有理数与前面大小关系，如此循环，直至将所有有理数排列出一个从大到小的数列。

（2）逐步缩小范围：将连续的有理数比较，判定大小，当有3个有理数需要比较大小时，由3个有理数中间的有理数开始比较，比较完毕后将左右2个有理数再比较。

（3）最终确定：最后将比较好的有理数从大到小进行排列，由此确定最终结果。

二、拆分法
拆分法的原理是将有理数的加减运算拆分为多个运算，实现加减混合运算，从而简化运算步骤，让结果更精确。

拆分法的基本步骤：
（1）拆分运算：因为有理数的加减运算拆分成多个运算，实现加减混合运算，所以首先根据有理数的运算关系，将其拆分开来进行计算。

（3）最终确定：拆分计算结束后，就可以得出最终的结果。

人教版七年级上册数学必考的21个知识点小结精编

1、数轴(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

2、相反数(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

3、绝对值1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．2.如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）4、有理数大小比较（1）.有理数的大小比较：比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

（2）.有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小。

规律方法：有理数大小比较的三种方法：(1)法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．(2)数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．(3)作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b=0，则a=b．5、有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数的大小比较的方法与技巧

有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝1×4，B＝ 3×2，试比较A和B的大小．解：设1＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。

∴A＜B。

2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。

有理数重难点题型归纳

理数是初中数学的重要内容之一，其中存在一些较为重难的题型。

以下是一些常见的理数重难点题型的归纳：
1. 有理数的运算：
-含有括号的四则运算：学生需要注意运用分配律和结合律进行计算。

-带有绝对值的运算：学生需要根据绝对值的性质进行运算，注意正负号的处理。

2. 有理数的大小比较：
-混合运算与比较：学生需要先进行运算，再进行大小的比较。

应注意各种数形式的转换和比较。

3. 有理数的约简与化简：
-有理数的约分：学生需要找到最大公因数或最小公倍数，将有理数进行约分或化简。

-有理数的化简：学生需要合并同类项、提取公因数等操作，将有理数化简为最简形式。

4. 有理数的乘法与除法：
-有理数的乘法：学生需要注意正负数相乘的规律，以及小数与整数相乘的处理方法。

-有理数的除法：学生需要注意除法的性质，如除以零的限制条件，并进行小数除法的运算。

5. 数轴上的有理数表示与比较：
-数轴上有理数的位置：学生需要将有理数在数轴上进行标记，准确表示其大小和关系。

-数轴上有理数的比较：学生需要利用数轴上的有理数位置，进行大小的比较和排序。

解决这些重难点题型的方法包括：理解有理数概念和运算规则，掌握运算技巧和性质，注意正负号的处理，善于利用约分化简等方法。

此外，多做相关的练习题，加强对知识点的理解和应用能力，可以帮助学生更好地应对这些重难点题型。

有理数(加减乘除、大小比较、科学计数法)

有理数运算知识点：一、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.二、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.三、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.乘方就是多个相同有理数相乘。

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.四、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b ab÷=⋅，(0b≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.运算技巧：①分除以一个分数转化为乘以它的倒数；②几个因数相乘，有一个因数为0，这几个因数的乘积为0；③几个因数相乘，先确定乘积的符号，再绝对值相乘；④互为倒数的两个数相乘或乘积为整数的几个数相乘。

五、运算律加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a+=+(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba=(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc=(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.()a b c ab ac+=+(乘法分配律)六、混合运算顺序①先乘方，再乘除，最后加减②同级运算从左到右③如有括号，先算括号内；并按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。

有理数运算方法与技巧

掌握了有理数的运算法则，才能更好地进行四则运算。

以下是一些有理数运算的技巧：
1. 乘法分配律的应用：乘法分配律是进行有理数乘法运算的重要法则之一。

对于任意三个有理数a、b、c，有a ×(b + c) = a ×b + a ×c。

这个法则可以用于简化有理数的乘法运算，例如(a + b) ×(a - b) = a^2 - b^2。

2. 绝对值的运算：绝对值是有理数的一个重要概念，它可以用于化简复杂的运算。

例如，|a + b| = |a| + |b|仅当a和b同号时成立，如果a和b异号，则|a + b| < |a| + |b|。

绝对值的性质可以帮助我们解决一些复杂的有理数问题。

3. 分数的运算：分数的运算法则是进行有理数四则运算的重要基础。

在分数运算中，应注意通分的意义和分母的扩大或缩小对分数值的影响。

同时，对于复杂的分数运算，可以通过化简、约分等方法简化问题。

4. 倒数的应用：倒数是有理数的一个重要概念，它可以用于化简有理数的除法运算。

例如，
a /
b = a ×1/b，即除法可以转化为乘法运算。

此外，倒数的性质还可以用于解决一些复杂的有理数问题。

5. 综合运算的顺序：在进行有理数的混合运算时，应按照先乘除后加减、先括号后指数的顺序进行。

注意运算的优先级，合理使用括号，可以避免计算错误。

通过掌握这些有理数运算的技巧，我们可以更好地理解和掌握有理数的四则运算，提高解题效率和准确性。

初一数学必考的23个知识点,考试必掌握的重难点

初一数学必考的23个知识点，考试必掌握的重难点初一数学必考的23个知识点1.数轴(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。

(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。

)(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

2.相反数(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

3.绝对值1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负数.2.如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;③当a是零时，a的绝对值是零.即|a|={a(a>0)0(a=0)﹣a(a<0)4.有理数大小比较1.有理数的大小比较：比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

2.有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数，绝对值大的其值反而小。

人教版七年级上册数学第一章有理数的比较大小

人教版七年级上册数学第一章有理数的比
较大小
本文档旨在介绍人教版七年级上册数学第一章有理数的比较大
小的内容。

以下是该章节的主要内容概述。

1. 有理数的概念：
有理数包括正整数、负整数和零，可以表示为分数或小数。

本
章将重点介绍有理数的比较大小。

2. 有理数的比较大小：
有理数的比较大小可以通过数轴上的位置来确定。

数轴上靠右
的数值较大，靠左的数值较小。

当两个有理数在数轴上的位置不同，可以直接通过数轴来比较大小。

3. 有理数的相反数和绝对值：
一个有理数的相反数与其符号相反，绝对值指一个数离原点的
距离。

对于相同绝对值的有理数，正数比负数大。

4. 有理数大小的判断法则：
- 当两个有理数符号相同时，绝对值越大，数值越大。

- 当两个有理数绝对值相同时，正数比负数大，负数比零大。

5. 有理数的加法和减法：
本章也会介绍有理数的加法和减法运算。

当两个有理数同号时，将它们的绝对值相加或相减，然后保留相同的符号。

当两个有理数
异号时，可以先求它们的绝对值的差，结果的符号由绝对值较大的
数决定。

以上是人教版七年级上册数学第一章有理数的比较大小的主要
内容概述。

希望本文档对您有所帮助。

有理数运算的方法与技巧(word版)

有理数运算的方法与技巧一、知识要点有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上的，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算，这是因为有理数的运算每一步都要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．有理数运用常用的技巧与方法有：利用运算律，以符代数，恰当分组，裂项相消，分解相约，错位相减等．运算能力是运算技能与推理能力的结合，这就要要求我们技能正确的运算出结果，又能善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．分清计算的顺序是学习本讲的关键，从心理上讲，要准确的计算，还应该克服“粗心大意”这种不良的心理品质.这种不良习惯，主要表现为审题不清，知识点不能及时回应等，其实粗心大意有时与习惯有关系，例如平时就喜欢丢三落四，所以同学们在纠正这种不良习惯时，一定要持之以恒，从小事做起，在计算中培养自己的细心习惯，形成良好的解题心理品质.1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取______的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取____________的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为_____，一个数与零相加，仍得这个数．2．有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的___________．用式子表示为a －b ＝a ＋(－b )．3．有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号______，异号______，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，结果都得_____；（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是_______时，积是正数；负因数的个数是_______时，积是负数，即先确定符号，再把各因数的绝对值_______；（4）几个数相乘，如果其中一个因数是0，则积等于________．4．有理数的除法法则（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的____________；（2）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何非0的数，都得0；二、基础能力测试〖一〗填空：1．计算：（1）(－15)＋(－32)＝____ （2）100＋(－99)＝____ （3）－6＋3＝________（4）－5＋5＝___________ （5）(－3)－(－5)＝____ （6）(＋3)－(－5)＝_____（7）(－3)－(＋5)＝______ （8）3－5＝___________（9）－9－(＋5)＋(＋3)－(－7)＋(－1)＝___________2．计算：（1）(－36)×2＝_________________ （2）(－1.2)×(－3)＝_____ （3）0×(－181)＝____ （4）(－5)×(－6)×3×(－2)＝____ (5)(－25)÷(－5)＝_______ （6）(－121)÷0.5＝____ （7）(187)÷(－87)＝_____________ （8）0÷(－10)＝_________ （9）(－53)×(－321)÷(－141)÷3＝_________3．计算：32＝_____，(－3)2＝_____，－32＝_____，23＝______，(－2)3＝_____，－23＝_____，1.54＝______，05＝______．若n 为正整数，则(－1)n ＝_______，若a ＞0，则a 2______0，a 3______0；若a ＜0，则a 2______0，a 3______0；若a 101＜0，则a ______0．4．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 比绝对值最小的有理数小1，则p 2012－cd ＋abcdb a +＋m 2＝_______． 5．有理数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则说法中一定成立的是________．①a ＋b ＋c ＞0；②|a ＋b |＜c ；③|a －c |＝|a ＋c |；④|b －c |＞|c －a |．6．3(x －1)2＋2|y ＋2|＝0，则(x ＋y )2015＝_________．7．在数1，2，3，…，2009，2010，2011，2012前任意添加“＋”号或“－”号并依次计算，其可能得到的最小的非负数是____________． 8．定义一种新运算，规则是d b ca ＝ad －bc ，则4312＝__________．9．计算：(1－2011×2010－2010×2009)(2013＋2011×2010＋2010×2009)－(1－2013－2011×2010－2010×2009)(2011×2010＋2010×2009) ＝__________．〖二〗计算：有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同一级运算从左算到右；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．（1）(＋59.8)－(－52＋(－12.8)＋563；（2）[30－(97＋65－1211)×36]÷(－5)；（3）－12－36÷|－(－3)2|÷254×425；（4）4－(－2)2－32÷(－1)2001＋0×(－2)3．三、综合·提高·创新【巧算问题】【例1】※观察分组法计算：（1）20102009......87654321100999897......87654321-+++--++----+++--++--+．（2）21＋41＋43＋61＋63＋65＋…＋20141＋20143＋…＋20142013．【例2】※裂项相消法计算：（1）1＋231＋3151＋4351＋5631＋6991．（2）21121+＋)311)(211(31++＋)411)(311)(211(41+++＋…＋)9911)...(311)(211(991+++．〖练〗（1）951⨯＋1391⨯＋17131⨯＋…＋1051011⨯．（2）—1＋211--＋3211---＋…＋1003211-⋯----．【例3】※分解相约法计算：nn n n n n 53106253132642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【例4】※巧用公式法计算：（1）1212-＋1412-＋…＋1201212-．（2）S ＝12－22＋32－42＋…＋992－1002＋1012，求S 被103除的余数．（3）2201320092013201120132010222-+（4）已知12＋22＋…＋n 2＝61n (n ＋1)(2n ＋1)．求：①12＋22＋32＋...＋252；②102＋112＋122＋...＋252；③22＋42＋62＋ (502)常用公式： ()233321...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n ()()()21311......433221++=+++⨯+⨯+⨯n n n n n【数轴上的动点问题】【动点问题】※借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。