1.3勾股定理的应用
1.3 勾股定理的应用---完美版
M
A
A (M)
C (D)
D
(M)
根据题意长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、3cm、 6cm，知AD=8cm、BD=6cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理知， AB²=AD²+BD²=8²+6²=100 解得，AB=10cm.
∴蚂蚁沿着长方体的表面爬行的最短路程是10cm.
拓展练习
若将上题中无盖的长方体盒子这个条件替换为有盖的 长方体盒子，长方体盒子的长、宽、高保持不变，思 考一下蚂蚁爬过的最短路线变了没？ H G F B
制作人： 王 勇
一、情景导入
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
二、合作探究之圆柱
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题. 讨论：1、蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2、有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎 样找到的？
M
D C
A
1.将长方体盒 子展成平面图 形。
H G F
(H)
H
B’ F
② ①
G
B
(H)
1
B
M B’’
A (M) (F)
③
C (D)
D
(M)
AB² =100
2
M A C
D
H G F B (H)
AB’²=106
3
AB’’²=130
M A (M) C (D) D (M)
H G
F
B
G
F
B
M A C
D A C D
课后练习
1.3勾股定理的应用(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或高度，却无法直接测量的情况？”比如，我们想测量学校旗杆的高度，却无法直接到达顶部。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在解决实际问题中的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过生活实例导入勾股定理的应用，希望让学生感受到数学与生活的紧密联系。从学生的反应来看，这个话题确实引起了他们的兴趣，但在讲解过程中，我意识到有些学生对定理的理解还不够深入，需要我在教学中更加细致地引导。
在理论介绍环节，我尽力用简洁明了的语言解释勾股定理的概念，并通过案例让学生看到定理在解决问题中的具体应用。然而，我也发现有些学生在转换实际问题时，还是不太会灵活运用勾股定理。这让我认识到，在今后的教学中，需要加强学生对定理应用场景的识别和问题转化能力的培养。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，他们积极参与，热烈讨论。但从成果展示来看，部分小组在解决问题时还是存在一定的困难，尤其是在单位换算和实际操作中。这说明我在教学中还要加强对这些方面的讲解和练习。
学生小组讨论环节，大家围绕勾股定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁观察，适时引导，发现学生在互相交流中碰撞出了不少思维的火花。但也有一些学生在讨论中显得较为被动，可能是因为他们对定理的理解还不够自信。为此，我计划在后续的教学中，多关注这些学生，鼓励他们大胆表达自己的想法。
-在实际问题中，能够准确地识别出直角三角形，并将问题简化为勾股定理的应用；
-掌握在勾股定理应用中的单位换算，如长度单位、角度单位等，确保计算准确无误。
1.3 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
破 设 AE 为 x km，则 BE=（25-x） km，所以 x2+102=（
25-x）2+152，
解得 x=15，所以 E 站应建在距A 地 15 km 处．
1.3 勾股定理的应用
重 思路点拨 难 题 型 突 破
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1.3 勾股定理的应用
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重 解题通法
难 题
键.
型
突
破
利用勾股定理列方程是解决此类型题的关
原理 两点之间线段最短
1.3 勾股定理的应用
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考
对点典例剖析
点 清
典例1 如图所示的是一个长方体盒子，其长、宽、高分
单 解
别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点
A，B
处，不计线
读 头，求细线的最短长度.
1.3 勾股定理的应用
考 ［解题思路］ 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
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考 ［答案］ 解：如图，连接 AB′，则 AB′
点
清 即为所用的最短细线长，AA′=4+2+4+2=12，
单 解
A′B′=AB=9，
由勾股定理，
读
得 AB′2=AA′2+A′B′2=122+92=225，则AB′=15，即细
线的最短长度为 15．
1.3 勾股定理的应用
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考 ■考点二 勾股定理的实际应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 勾股定理的应用
8．(2020·锦州期末)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处(车 尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问： 发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＝AB2 －AC2＝152－92＝144，∴BC＝12米，∴BD＝12＋2＝14(米).答：发生火灾的住户窗 口距离地面14米
A．5≤a≤2 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
11．(2020·迎泽月考)一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么 位置，即当AE＝( C )米时，有DC2＝AE2＋BC2.
数学 八年级上册 北师版
第一章 勾股定理
1．3 勾股定理的应用
1．如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B， 则蚂蚁爬行的最短距离的平方是( ) D
A.2 B．3 C．4 D．5
2．(2020·沈河期中)如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿 着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( A )
17．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色涂成白色，然后缠绕 彩纸(彩纸宽度忽略不计)．如图，已知圆筒高108 cm，其截面周长为36 cm，如果在 表面上缠绕彩纸4圈，应剪多长的彩纸？
解：将圆筒展开，可得长方形，整个彩纸也随之分成相等的4段，如图，只需求出 每一段所需的彩纸的长度AC即可，在Rt△ABC中，AB＝36 cm，BC＝108÷4＝ 27(cm)，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝362＋272＝2 025，所以AC＝45 cm，故 整个彩纸的长为45×4＝180(cm)
1.3勾股定理的应用(赛课课件)
2014年9月6日3时1分
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面, 并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度, 你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设 计方案?
A
2014年9月6日3时1分
图（1）
C 图（2）
B
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下 端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴 交流并回答用的是什么方法.
B
上
8
B1
前
B2
右 12
8
B3
8
上
前
12
A2 8
C2
12 C3
左
8
A
2014年9月6日3时1分
A1
8
C1
A3
B1 解:如图所示 在Rt△A 1B 1C1 中,利用勾股定理可得， 8 A 1B1 2 =A1 C 12＋B 1C 12 =20 2+82= 464 在Rt△A 1B 1C1 中,利用勾股定理可 12 得，A 2B2 2=A2 C 22＋B 2C 22 A1
A 6 6
8米
C
8
8米 第 6 题图
B
2米
解: O 如图所示,在Rt△ABC中, 利用勾股定理可得， AB2 =AC2+BC2 即AB2 =62 +82= 10 2 ∴AB=10米
2014年9月6日3时1分
D
有一个圆柱，它的高等 于12,底面半径等于3. 在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁,它想吃到上底面 上与A点相对的B点处的 食物,沿圆柱表面爬行的 最短路程是多少?(π 取3)
底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处 的食物，沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？ （π的值取3）
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》说课稿
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》说课稿一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第一章第三节的内容。
这一节主要让学生学会运用勾股定理解决实际问题，巩固他们对勾股定理的理解。
教材通过例题和练习题的安排，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的记忆和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理的定义和证明，他们对勾股定理有了初步的理解。
但是，他们在解决实际问题时，可能会对题目中的信息提取和运用勾股定理不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的理解和应用情况，引导他们正确运用勾股定理解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解勾股定理的应用，会在实际问题中正确运用勾股定理。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能提高自己的问题解决能力，培养数学思维。
3.情感态度与价值观目标：学生能感受到数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能正确运用勾股定理解决实际问题。
2.教学难点：学生能在复杂的情境中，正确提取信息，运用勾股定理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法，让学生在解决实际问题的过程中，发现和理解勾股定理的应用。
2.教学手段：多媒体教学，通过图片、动画等形式，直观展示勾股定理的应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实际问题，引出勾股定理的应用，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解勾股定理的应用，通过例题和练习题，让学生理解和掌握。
3.课堂实践：学生自主解决一些实际问题，巩固对勾股定理的应用。
4.总结提升：对学生的解题过程进行点评，总结勾股定理的应用方法和技巧。
5.课后作业：布置一些实际问题，让学生进一步巩固和应用勾股定理。
七. 说板书设计板书设计如下：1.勾股定理的应用2.解题步骤：a.理解题意，提取相关信息b.确定已知和未知c.运用勾股定理，列出方程d.解方程，求解未知数e.检验答案，确认无误八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。
八年级数学上册第一章勾股定理第三节勾股定理的应用教案北师大
1.3 勾股定理的应用课题 1.3 勾股定理的应用课型新授课教学目标知识技能：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感态度价值观：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．重难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点教学用具圆柱体纸筒正方体盒子长方体盒子教学环节说明二次备课复习新课导入课程讲授（一）情景引入活动1：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？（合作探究：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．)方法汇总：汇总了四种方案：（1）（2）（3）（4）A’A’A’北东CB A （1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO+OB>AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．活动2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？（二）简单应用例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？例2：有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？（三）当堂检测1. 如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求北东C B A 出最近距离．（四）拓展延伸如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同同伴交流设计方案?小结 学生畅谈收获：知识上和方法上的。
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计1.3勾股定理的应用一．教学目标：1．知识与技能（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2．过程与方法在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3．情感、态度与价值观在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学研究的实用性．二．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决实际问题．三．教学难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理解决实际问题。
XXX．学情分析：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在研究七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．五．教学方法：引导——探究——归纳XXX．教具准备：多媒体，矩形纸片做成的圆柱等模型XXX．教学过程：（一）情境引入德国天文学家XXX曾经说过“几何学中有两大宝藏”，一个是黄金分割，另一个就是勾股定理，并被无数人论证，由此可见勾股定理的重要性。
然后引导大家复勾股定理及逆定理的内容。
（学生回答，教师板书）我们还知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射很多信号，我国数学家XXX曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”的，由此可见勾股定理非常重要。
那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们漫步走进勾股定理的世界，一起来用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！（由此引入课题:勾股定理的应用。
教师板书）（二）协作探究下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用。
例1.如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B 处的食品，沿圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？析：学生活动：学生分为2人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
初中数学北师大版八年级上册《13勾股定理的应用》教学设计
北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用教学设计师：1. 勾股定理的内容是什么？如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2. 勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2三角形是直角三角形3.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13米.提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．合作探究蚂蚁爬行的最短（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？师：想一想为什么线段AB是最短的路线？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？已知圆柱的高是12，∴AA'=12；底面周长是18，∴A'B=9；∴AB2=AA'2+A'B2=144+81=225，∴AB=15答：爬行的最短路程是15cm。
【总结提高】求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．生：两点之间，线段最短【解】设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5.故滑道AC的长度为5m.1.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( D )。
A．2 B．3 C．4 D．52.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5KM______；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的____正北____方向．3.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。
北师大版八年级上册 1.3 勾股定理的应用 学案设计(无答案)
第2讲勾股定理的应用【教学目标】知识目标：熟练使用勾股定理进行相关计算，会利用勾股定理计算路程的最短距离问题。
重难点：勾股定理的运用思维目标：数形结合思想、方程思想、转化思想。
【知识梳理】1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．3.常见立体图形的平面展开图。
圆柱侧面展开图为长方形【典例讲解】类型一、圆柱中的最短路径问题：圆柱侧面展开图为长方形，最短路径及长方形的对角线。
例1.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸。
练习1.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm例2. 如图，长方体的长EF为15cm，宽AE为10cm，高AD为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距高是多少?练习2.如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．【当堂检测】1．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米2．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．3. 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm’，则斜边长为（）A.80mB.30mC.90 mD.120 m4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12.上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤135. 轮船在大海中航行，它从点A出发，向正北方向航行20km.遇到冰山后折向正东方向航行15km，则此时轮船与点A的距离为 km.6. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为55 dm,10 dm和6dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的蜜糖，则蚂蚁从点A出发，沿若台阶面爬到点B，最短路线 dm。
八年级数学上册1.3勾股定理的应用教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册1.3勾股定理的应用教学设计（新版北师大版）一. 教材分析勾股定理是数学中的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
本节课的教学内容是北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用，主要包括勾股定理的证明和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握勾股定理，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直角三角形的性质、勾股定理的初步知识，对数学几何有一定的基础。
但部分学生可能对勾股定理的理解不够深入，难以将理论知识应用于实际问题中。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生解决几何问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：将勾股定理应用于实际问题中，灵活运用定理解决复杂问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际问题中体验勾股定理的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：分组讨论和解答问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的应用实例和练习题课件。
2.教学素材：准备一些实际的勾股定理应用问题，用于课堂练习和拓展。
3.教学工具：直尺、三角板等几何画图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如测量房间的面积，引出勾股定理的应用。
让学生思考如何利用勾股定理解决这个问题。
2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的定义和证明方法。
通过多媒体课件展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的意义。
勾股定理的应用北师大版数学初二上册教案
勾股定理的应用北师大版数学初二上册教案勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理。
工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理。
以下是整理的勾股定理的应用北师大版数学初二上册教案，欢迎大家借鉴与参考!《1.3勾股定理的应用》教案一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第3节.具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识;一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力.本节课的教学目标是：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点.四、教法学法1.教学方法引导—探究—归纳本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：(1)从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程;(2)从学生活动出发，顺势教学过程;(3)利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程.2.课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件.学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.五、教学过程分析本节课设计了七个环节.第一环节：情境引入;第二环节：合作探究;第三环节：做一做;第四环节：小试牛刀;第五环节：举一反三;第六环节：交流小结;第七环节：布置作业.1.3勾股定理的应用：课后练习一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的________等于________。
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第1章第3节的内容。
本节主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了勾股定理的定义和证明，对勾股定理有了初步的了解。
但学生在实际应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习困难，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解勾股定理的应用，并能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：引导学生理解勾股定理的应用。
2.难点：如何引导学生运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例教学法：通过分析典型例题，引导学生掌握勾股定理的应用方法。
3.小组合作学习法：学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备典型例题和练习题。
2.学生准备：预习本节内容，了解勾股定理的定义和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如直角三角形的边长关系，引导学生回顾勾股定理的内容。
2.呈现（10分钟）教师展示典型例题，如直角三角形斜边长度的计算。
引导学生运用勾股定理解决问题。
3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固勾股定理的应用。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自解决问题的方法。
学生互相评价，总结勾股定理的应用技巧。
5.拓展（10分钟）教师提出一些生活中的实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
北师大版数学八年级上册1.3《勾股定理的应用》课件 (共19张PPT)
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
在一个圆柱石凳上，若小明在
吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A 处爬向B处， 你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
A
解：设水池的水深AC为x，则这根芦苇长AD=AB=（x+1），
在直角三角形ABC中，BC=5 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮 他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回 答用的是什么方法.
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
12
A
A
你学会了吗?
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A 点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半 径是2 m，高AB是5 m，π 取3） B B B＇
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB＇为梯子的 最短距离.AA＇=12, A＇B＇=5,所以AB ＇=13.
B
A
B
1.3 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年北师大版八年级数学上册
变式3：如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/
时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航
行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛
相距17海里，问乙船的航速是多少？
变式4：如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙
五：汽车是否超速问题
【例4】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超
过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚 好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车 行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m． （1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
变式1：如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出 发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．公路l走向是南偏西45° B．公路l走向是北偏东45° C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l D．从点P向北偏西45°走3km到达l
变式2：一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行， 另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1
短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
四：航海问题
【例4】如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向 航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航
行，离开港口2小时后两船之间的距离是（ ）
A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里
的长．
变式3：（2022秋•章丘区校级月考）如图，将矩形ABCD沿直线AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，
北师大版八上数学1.3.勾股定理的应用知识精讲
13.勾股定理的应用1、定理内容：文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。
几何形式：如果直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c ,那么a2+b2 = c22、相关知识链接：直角三角形1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；3）国外称之为毕达哥拉斯定理；4）也有人称勾股定理为千古第一定理。
3、勾股定理的作用：1）己知直角三角形的两边长，求第三边长；2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。
4、勾股定理的各种表达式在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c,则，，，，，。
5、定理证明及典型例题：例1、已知：中，匕0 90,Z B. N C的对边为a、b、c。
求证：a2+b2=c2o证明方法一：取四个与R t AABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。
如图，正方形ABCD的面积=4个直角三角形的面积+正方形PQRS的面积・，.（a + b ）2 = 1/2 ab x 4 4- c2a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2故a2 + b2 =c2证明方法二：图1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）。
图2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）。
四个直角三角形的面积和+小正方形的面积=大正方形的面 积，2ab + ( a —b ) 2 =。
2,2ab + a 2 — 2ab + b 2 = c 2故 a 2 + b 2 = c 2证明方法四：梯形面积=三个直角三角形的面积和1/2x(a^b)x(a + b) = 2x1/2xaxb - 1/2 x c x c(a + b 沪=2ab + c 2a 2 + 2ab + b 2 = 2ab +c 2故 a 2 + b 2=c 2例 2、在 Rt^ABC , zC = 90° ⑴已知a = b = 5 ,求c 。
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八年级数学第一学期导学案
1.3 勾股定理的应用
班级：姓名：
【学习目标】
1．运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展应用意识.
学习重点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
学习难点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
【复习引入】
1．如果梯子的底端离建筑物5米,那么13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ).
A．12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
2．如果直角三角形的两直角边长为7，24，那么斜边长为.
3．如图，有一个圆柱,它的高等于12cm，底面上的圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？)
【自主学习】
1．如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路程是什么？你画对了吗?
•
2．蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【探究学习】
1．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，
BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办
法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
2．认真阅读课本P13-14的例题，理解其解题思路，完成P14 的“随堂练习”.
【巩固练习】
1. 完成课本P14习题1.4第1，2题.
2．如图所示，90
B OAF
∠=∠=︒，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积．
O
3．(选做题)课本P15习题1.4第5题.
【课堂小结】
说说你这节课的收获有哪些？【布置作业】。