《导数的四则运算法则练习题一
最新导数的四则运算及复合函数求导运算练习题
一、选择题(共7小题,每小题5.0分,共35分) 1.函数y ＝3sin(2x －π6)的导数为( )A ．y ′＝6cos(2x －π6)B ．y ′＝3cos(2x －π6)C ．y ′＝－3cos(2x －π6)D ．y ′＝－6cos(2x －π6)2.函数f (x )＝e 2x x 的导函数是( )A ．f ′(x )＝2e 2xB ．f ′(x )＝2e 2x x C ．f ′(x )＝(2x−1)e 2xx 2D ．f ′(x )＝(x−1)e 2xx 23.下列求导运算正确的是( )A ． (x ＋1x )′＝1＋1x 2B ． (log 2x )′＝1xln2C ． [(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3)D ． (e 2x )′＝e 2x4.已知函数f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( )A ． 4x ＋3B ． 4x －1C ． 4x －5D ． 4x －35.函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ． 2x sin(1＋x 2)B ． －sin(1＋x 2)C ． －2x sin(1＋x 2)D ． 2cos(1＋x 2)6.已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ． (0,1]B ． (1，＋∞)C． (0,1)D． [1，＋∞)7.已知曲线f(x)＝x ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A． 1B． ln 2C． 2D． e二、填空题(共9小题,每小题5.0分,共45分)8.已知函数f(x)＝2sin 3x＋9x，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x________.9.函数f(x)＝x sin(2x＋5)的导数为________．10.函数y＝cos(2x2＋x)的导数是________________．11.函数y＝ln√1+x21−x2的导数为________．12.y＝x e cos x的导函数为________．13.f′(x)是f(x)＝cos x·e sin x的导函数，则f′(x)＝________.14.已知函数f(x)＝e2x·cos x，则f(x)的导数f′(x)＝________.15.已知函数f(x)＝(x＋2)e x，则f′(0)＝________.16.已知f(x)＝ln(ax2－1)，且f′(1)＝4，则a＝________.三、解答题(共0小题,每小题12.0分,共0分)答案解析1.【答案】A【解析】令y＝3sin t，t＝2x－π6，则y′＝(3sin t)′·(2x－π6)′＝3cos(2x－π6)·2＝6cos(2x－π6)．2.【答案】C【解析】对于函数f(x)＝e2xx，对其求导可得f′(x)＝(e2x)′×x−e2x×x′x2＝2x?e2x−e2xx2＝(2x−1)e2xx2.3.【答案】B【解析】因为(x＋1x )′＝x′＋(1x)′＝1－1x2，所以选项A不正确；(log2x)′＝1xln2，所以选项B正确；[(2x＋3)2]′＝2(2x＋3)·(2x＋3)′＝4(2x＋3)，所以选项C不正确；(e2x)′＝e2x·(2x)′＝2e2x，所以选项D不正确．4.【答案】A【解析】令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝2(t＋1)2－(t＋1)＝2t2＋3t＋1，所以f(x)＝2x2＋3x＋1，所以f′(x)＝4x＋3.5.【答案】C【解析】y′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin(1＋x2)．6.【答案】D【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝ax＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.7.【答案】D【解析】∵f′(x)＝ln x＋1，由曲线在某点的切线斜率为2，令y′＝ln x＋1＝2，解得x ＝e.8.【答案】6cos 3＋9【解析】f ′(x )＝(2sin 3x ＋9x )′＝6cos 3x ＋9.lim △x→0f (1+△x )−f(1)△x＝f ′(1)＝6cos 3＋9.9.【答案】sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)【解析】f ′(x )＝x ′sin(2x ＋5)＋x (sin(2x ＋5))′＝sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)．10.【答案】－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )【解析】y ′＝－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )．11.【答案】2x 1−x 4【解析】y ′＝√1+x 21−x 2(√1+x21−x2)′ ＝√21−x 2·2√21−x 2(1+x 21−x 2)′＝√1+x 21−x 2·2√1+x 21−x 2·4x(1−x 2)2＝1−x 22(1+x 2)·4x (1−x 2)2＝2x 1−x 4.12.【答案】－x sin x ·e cos x ＋e cos x【解析】y ′＝(x e cos x )′＝x ′e cos x ＋x (e cos x )′ ＝e cos x ＋x (－sin x e cos x )＝－x sin x ·e cos x ＋e cos x .13.【答案】(cos 2x －sin x )e sin x【解析】∵f (x )＝cos x ·e sin x ，∵f ′(x )＝(cos x )′e sin x ＋cos x (e sin x )′＝－sin x e sin x ＋cos x e sin x cos x ＝(cos 2x －sin x )e sin x . 14.【答案】e 2x (2cos x －sin x )【解析】由积的求导可得，f ′(x )＝(e 2x ·cos x )′＝e 2x ·2·cos x ＋e 2x (cos x )′＝2e 2x cos x －e 2x sin x＝e 2x (2cos x －sin x )．15.【答案】3【解析】∵f ′(x )＝[(x ＋2)·e x ]′＝e x ＋(x ＋2)e x ， ∵f ′(0)＝1＋2＝3.16.【答案】2【解析】∵f ′(x )＝1ax 2−1(ax 2－1)′＝2axax 2−1，∵f ′(1)＝2a a−1＝4， ∵a ＝2.。
1.2.2导数的四则运算
答案: (1) y 1 4 ; x2 x3
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x ) 1 ( 3) y ; 2 cos x
4 、 求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x=2所围城的三角形的面 积
'
f ( x) f '( x ) 4. g '( x ) g ( x) f ( x) f ( x ) g '( x ) f '( x ) g ( x ) 5. 2 g ( x) g ( x)
'
'
练习2、
对照公式,求出下列函数的导数 1.y=2x 3 x 5 x 4
3.2导数的计算
1.2.2 导数的四则运算
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
y' 3x cos x
2
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4 x 2 x 1
3
法则2:
f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x)
( 2)切线过点P (1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
例 2 、日常生活中的饮用水通常是经过净化 的．随着水纯净度的提高．所需净化费用不 断增加。已知将 1吨水净化到纯净度为 x% 时 所需费用(单位：元)为 c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
5 6
法则3:
3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
(精)导数的四则运算法则精编练习及解析
导数的四则运算法则得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 1.函数y =x 2co sx的导数为…………………………………………………………………【 】A . y ′=2x co sx －x 2s i nxB . y ′=2x co sx +x 2s i nxC. y ′=x 2co sx －2xs i nxD. y ′=x co sx －x 2s i nx 2.下列结论中正确的是……………………………………………………………………【 】 A.导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【 】 B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是…………………………………【 】A.4B.52C.3D.2 4.函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是…………………………………………【 】A.1B.12C.0D.-1 5. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【 】A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴若()0ba f x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为…【 】A. 1B. 2C. 3D. 0 7. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是………【 】A. 1(,)3+∞B. 1(,)3-∞C. 1[,)3+∞D. 1(,]3-∞ 8.设0<a <b ，且f (x )＝xx++11，则下列大小关系式成立的是…………………………【 】.A.f (a )< f (2b a +)<f (ab ) B . f (2ba +)<f (b )< f (ab ) C . f (ab )< f (2b a +)<f (a ) D . f (b )< f (2ba +)<f (ab )9. 函数2()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足………………………【 】 Ａ．0a <且0b = Ｂ．0a >且b R ∈Ｃ．0a <且0b ≠ Ｄ．0a <且b R ∈10. ()f x 与()g x 是R 定义在上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足…………………………………………………………………………………………【 】Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x - 为常数函数 Ｃ．()()0f x g x ==Ｄ．()()f x g x +为常数函数11. (2020江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为…………………………………………………………………【 】 Ａ．3 Ｂ．52Ｃ．2Ｄ．3212. (2020江西理)设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分) 13．10.曲线y =2x 3－3x 2共有____个极值.14．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =_______.. 15. 若xe xf 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--= ___________. 16. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 ____m 2.三、解答题（共74分）17．（本小题满分10分）一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.19. （本小题满分12分）已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;⑶在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.21．（本小题满分12分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ．答案一、选择题（60分）1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题（16分）13. 2 14.()1f x x =- 15. e2-（或12--e ） 16、68)(23+-+=x x x x f 三、解答题（共74分）17.解:∵当302≤≤t 时,()230≤v t t =-; 当352≤≤t 时,()230≥v t t =-. ∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米)18.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=.19. 解: 答f (x )在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称, 则f (x )是奇函数,所以a =1,b =0,于是f (x )=348.x x -2()348,f x x '∴=-∴当(4,4)()0x f x '∈-∴<又∵函数()f x 在[]4,4-上连续所以f (x )在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =- ∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x==+. ⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()2≥g x a 当且仅当x a =时取等号.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a ,∴依题意得22a =∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=7ln 324-21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：x (02)， 2 (2)+，∞ ()F x ' -+()F x极小值(2)F故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：x(0ln )k ， ln k (ln )k +∞， ()f x ' -+()f x 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．数学科学段测试（导数部分）一、选择题（12小题，共36分）1、设曲线22y x x =+-在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为 ( ) A 、（0，－2） B 、（1，0） C 、（0，0） D 、（1，1）2、抛物线y=x 2在点M （2141）的切线的倾斜角是 （ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为（ ） A 、()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆ B 、()224443R R R R πππ+⋅∆+∆ C 、24R R π⋅∆ D 、24R π 4、函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ ） A 、2 B 、－2 C 、0 D 、－45、设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、26、已知曲线331x y =在点)38,2(P ，则过P 点的切线方程为 （ ） A 、016123=--y xB 、016312=--y xC 、016123=+-y xD 、016312=+-y x7、已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>6 8、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 （ ）A 、13k <B 、103k <≤C 、103k ≤≤ D 、13k ≤10、函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A 、（1-e ，+∞）B 、（－∞，1-e ）C 、（0，1-e ）D 、（e ，+∞） 11、方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有 （ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B 、f （0）＋f （2）≥2f （1） C 、f （0）＋f （2）>2f （1） D 、f （0）＋f （2）≥2f （1）x y O A x y O Bx y O C yOD x yO二、填空题（4小题，共16分） 13、【文】已知函数x x y 33-=，则它的单调递增区间是 。
导数的四则运算法则
5.2.2 导数的四则运算法则课后训练巩固提升 A 组1.下列运算中正确的是( ) A.(ax 2+bx+c )'=a (x 2)'+b (x )' B.(sin x-2x 2)'=(sin x )'-2'(x 2)' C.(sinx x 2)'=(sinx )'-(x 2)'x 2D.(cos x ·sin x )'=(sin x )'cos x+(cos x )'cos x 答案:A2.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f'(1)=2,则f'(-1)等于( ) A.-1 B.-2C.2D.0解析:∵f'(x )=4ax 3+2bx 为奇函数, ∴f'(-1)=-f'(1)=-2. 答案:B3.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足f (x )=2xf'(e)+ln x ,则f'(e)=( ) A.e -1B.-1C.-e -1D.-e解析:∵f (x )=2xf'(e)+ln x ,∴f'(x )=2f'(e)+1x . ∴f'(e)=2f'(e)+1e ,解得f'(e)=-1e .故选C . 答案:C4.若函数f (x )=x 2-2x-4ln x ,则f'(x )>0的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)D.(-1,0)解析:∵f (x )=x 2-2x-4ln x , ∴f'(x )=2x-2-4x . 由f'(x )>0,得(x+1)(x -2)x >0.∵f (x )的定义域为(0,+∞),∴x>2.故选C .5.曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0解析:当x=π时,y=2sin π+cos π=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.∵y'=2cos x-sin x,∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.答案:C6.已知一物体沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+3t,则该物体在t=2 s时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134解析:∵s'(t)=2t-3t2,∴s'(2)=4-34=134.答案:D7.已知曲线y=a e x+x ln x在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析:∵y'=a e x+ln x+1,∴y'|x=1=a e+1=2.∴a e=1,则a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得b=-1.答案:D8.(多选题)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+xC.f(x)=x+1xD.f(x)=e x+x解析:对于A,f(x)=3cos x,其导数f'(x)=-3sin x为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意; 对于B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于C,f(x)=x+1x ,其导数f'(x)=1-1x2为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于D,f(x)=e x+x,其导数f'(x)=e x+1不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.故选BC.9.已知函数f (x )=f'(π4)cos x+sin x ,则f (π4)的值为 . 解析:∵f'(x )=-f'(π4)sin x+cos x , ∴f'(π4)=-f'(π4)×√22+√22,得f'(π4)=√2-1.∴f (x )=(√2-1)cos x+sin x.∴f (π4)=1. 答案:110.已知函数f (x )=ax+b e x 的图象在点P (-1,2)处的切线与直线y=-3x 平行,则函数f (x )的解析式是 . 解析:由题意知f'(-1)=-3,即a+b e -1=-3.① 由题意知f (-1)=2,即-a+b e -1=2.② 由①②联立,解得a=-52,b=-12e . 故f (x )=-52x-12e x+1. 答案:f (x )=-52x-12e x+111.已知曲线y=x 4+ax 2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a= . 解析:y'=4x 3+2ax ,因为曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为8, 所以y'|x=-1=-4-2a=8,解得a=-6. 答案:-612.求下列函数的导数: (1)y=x e x ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=2xx 2+1; (4)y=x sin x-2cosx .解:(1)y'=x'·e x +x ·(e x )'=e x +x e x =(1+x )e x .(2)因为(x+1)(x+2)(x+3)=(x 2+3x+2)(x+3)=x 3+6x 2+11x+6. 所以y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x 3+6x 2+11x+6)'=3x 2+12x+11.(3)y'=(2xx 2+1)'=(2x )'(x 2+1)-2x (x 2+1)'(x 2+1)2=2(x 2+1)-4x 2(x 2+1)2=2-2x 2(x 2+1)2.(4)y'=(x sin x )'-(2cosx )'=sin x+x cos x-2sinxcos 2x .13.设函数f (x )=ax-bx ,曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0,求实数a ,b 的值. 解:函数f (x )=ax-bx 的导数为f'(x )=a+bx 2,则y=f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率为a+b4. 由题意知a+b4=74.①切点为(2,2a -b2),将切点的坐标代入切线方程,得2a-b2=12.② 将①②联立,解得a=1,b=3. B 组1.在一次降雨过程中,某地的降雨量y (单位:mm)与时间t (单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f (t )=√10t ,则在t=40 min 时的瞬时降雨强度(降雨量的导数)为( ) A.20 mm B.400 mm C.12 mm/minD.14 mm/min解析:∵f'(t )=√102√t ,∴f'(40)=√102√40=14.答案:D2.若函数y=f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=3x-2,则函数g (x )=x 2+f (x )的图象在点(1,g (1))处的切线方程为( ) A.5x-y-3=0 B.5x-y+3=0 C.x-5y+3=0D.x-5y-3=0解析:由函数y=f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=3x-2,得f'(1)=3,f (1)=1. ∵函数g (x )=x 2+f (x ),∴g'(x )=2x+f'(x ),则g'(1)=2×1+f'(1)=2+3=5,g (1)=12+f (1)=1+1=2.∴函数g (x )=x 2+f (x )的图象在点(1,g (1))处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.故选A . 答案:A3.设函数f (x )=x 3+(a-1)x 2+ax ,若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x解析:∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),得a=1. ∴f (x )=x 3+x.∴f'(x )=3x 2+1. ∴f'(0)=1.∴切线方程为y=x. 答案:D4.已知函数f (x )的图象如图所示,直线y=kx+2是曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=( )A.-1B.0C.2D.4解析:由题图可知曲线y=f (x )在点(3,f (3))处切线的斜率为2-10-3=-13,所以f'(3)=-13. 因为g (x )=xf (x ),所以g'(x )=f (x )+xf'(x ). 所以g'(3)=f (3)+3f'(3).又由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0. 答案:B 5.设函数f (x )=sinθ3x 3+√3cosθ2x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是( )A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]解析:∵f'(x )=sin θ·x 2+√3cos θ·x , ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3). ∵θ∈[0,5π12],∴sin (θ+π3)∈[√22,1]. ∴2sin (θ+π3)∈[√2,2]. 答案:D6.设点P 是曲线y=e x -√3x+23上的任意一点,曲线在点P 处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围为( )A.[2π3,π) B.[π2,5π6)C.(0,π2)D.[0,π2)∪(2π3,π)解析:y=e x -√3x+23的导数为y'=e x -√3. 由e x >0,可得切线的斜率k>-√3. 由tan α>-√3,且0≤α<π,得0≤α<π2或2π3<α<π.答案:D7.曲线y=3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为 . 解析:∵y'=3(2x+1)e x +3(x 2+x )e x =3(x 2+3x+1)e x , ∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 答案:y=3x8.若曲线y=x α+1(α∈Q ,且α≠0)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 解析:由题意得y'=αx α-1,则曲线在点(1,2)处的切线的斜率k=y'|x=1=α. 因为切线过坐标原点,所以k=α=2-01-0=2. 答案:29.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 . 解析:由y'=-sin x-12,得y'|x=0=-12.故切线方程为y-1=-12x ,即x+2y-2=0. 答案:x+2y-2=010.已知曲线y=f (x )=x 3+ax+b 在点P (2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0. (1)求a ,b 的值;(2)如果曲线y=f (x )在某点处的切线与直线l :y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 解:(1)f (x )=x 3+ax+b 的导数f'(x )=3x 2+a.由题意可得f'(2)=12+a=13,f (2)=8+2a+b=-6,从而可得a=1,b=-16. (2)因为切线与直线y=-14x+3垂直, 所以切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 02+1=4,解得x 0=±1.由f (x )=x 3+x-16,可得y 0=1+1-16=-14或y 0=-1-1-16=-18,于是切点的坐标为(1,-14),(-1,-18).故切线方程为y=4(x-1)-14,y=4(x+1)-18, 即y=4x-18,y=4x-14.11.已知曲线C :y=x 2-2x+3,直线l :x-y-4=0,在曲线C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最短,并求出最短距离.解:作出曲线C 与直线l 的图象(图略)可知它们无公共点,所以平移直线l ,使之与曲线C 相切的切点即为点P ,点P 到直线l 的距离最短. 设点P 的坐标为(x 0,y 0). ∵y=x 2-2x+3, ∴y'=2x-2.由题意知y'|x=x 0=2x 0-2=1,解得x 0=32,∴y 0=x 02-2x 0+3=94.∴点P (32,94).∴点P 到直线l 的距离d=|32-94-4|√2=19√28.。
5.2.1 基本初等函数的导数vs5.2.2 导数的四则运算法则(同步练习)(附答案)
5.2.1 基本初等函数的导数vs5.2.2 导数的四则运算法则（同步练习）一、选择题1.已知函数f(x)＝x 2＋sin xx ，则该函数的导函数f ′(x)＝( )A.2x ＋cos x x 2B.x 2＋xcos x －sin x x 2C.2x ＋xcos x －sin x x 2D.2x －cosx2.函数f(x)＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A.10 B.5 C.－1 D.－373.曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A.π3B.π4C.3π4D.－π4 4.已知函数f(x)＝ax x 2＋3，若f ′(1)＝12，则实数a 的值为( )A.2B.4C.6D.85.下列函数满足f ′(x)＝f(x)的是( ) A.f(x)＝e x B.f(x)＝cos x C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ln x6.已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( )A.13B.23C.－23D.－137.若幂函数f(x)＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A.2x －y ＝0B.2x ＋y ＝0C.4x －4y ＋1＝0D.4x ＋4y ＋1＝0 8.(多选)以下运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3 C .(2x )′＝2x ln 2 D.(lg x)′＝1xln 109.(多选)直线y＝12x＋b能作为下列函数的图象的切线的是()A.f(x)＝1x B.f(x)＝x4C.f(x)＝sin xD.f(x)＝e x二、填空题10.曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________11.已知函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)，若f ′(1)＝1，则a＝________12.曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________13.已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________三、解答题14.求下列函数的导数：(1)y＝2x2；(2)y＝sin x－1x－1；(3)y＝(x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－1；(4)y＝2sinx2cosx2．15.设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．16.已知点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：由题意可得f ′(x)＝(2x ＋cos x )x －(x 2＋sin x )x 2＝x 2＋xcos x －sin xx 2，故选B ．2.D 解析：∵f(x)＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x)＝3x 2＋4，∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7，又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，故切线在x 轴上的截距为－37．故选D ．3.B 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32在曲线上，∵y′＝x ，即k ＝y′|x ＝1＝1，这时倾斜角为π4．4.B 解析：∵f(x)＝axx 2＋3∴f ′(x)＝a (x 2＋3)－2ax 2(x 2＋3)2＝3a －ax 2(x 2＋3)2．∵f ′(1)＝12，∴3a －a 42＝12，解得a ＝4．故选B ．5.A 解析：若f(x)＝e x ，则f ′(x)＝e x ＝f(x)，故A 正确；若f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝－sin x ≠f(x)，故B 错误；若f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝cos x ≠f(x)，故C 错误；若f(x)＝ln x ，则f ′(x)＝1x ≠f(x)，故D 错误．故选A ．6.D 解析：因为y′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3×1＝3，而直线ax －by －2＝0的斜率k′＝ab ，由题设k′k ＝－1，即k′＝a b ＝－13，故选D ．7.C 解析：因为函数f(x)＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f(x)＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f(x)＝x 12，f ′(x)＝12x，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f(x)的图象在点A 处的切线方程为y－12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0. 8.CD9.BCD 解析：f(x)＝1x ，故f ′(x)＝－1x 2＝12，无解，故A 排除；f(x)＝x 4，故f ′(x)＝4x 3＝12，故x ＝12，即曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，116的切线为y ＝12x －316，B 正确；f(x)＝sin x ，故f ′(x)＝cos x ＝12，取x ＝π3，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32的切线为y ＝12x －π6＋32，C 正确；f(x)＝e x ，故f ′(x)＝e x ＝12，故x ＝－ln 2，曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，12的切线为y ＝12x ＋12ln 2＋12，D 正确；故选BCD ．二、填空题10.答案：y ＝3x解析：因为y′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x)e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝3，所以切线方程为y ＝3x ． 11.答案：e 解析：∵f(x)＝log a x ，∴f ′(x)＝1xln a ，由条件知1ln a＝1，∴a ＝e ． 12.答案：y ＝2x －e解析：y′＝ln x ＋1，y′|x ＝e ＝ln e ＋1＝2，所以切线方程为y －e ＝2(x －e)，化简得2x －y －e ＝0 13.答案：eln 3 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝3x ln 3，所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e ．所以k ＝eln 3．三、解答题14.解：(1)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＝(2x －2)′＝－4x －3．(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x －1′＝cos x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1′＝cos x －－1(x －1)2＝cos x ＋1(x －1)2． (3)因为y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x ＝1－x x ， 所以y′＝－1·x －(1－x )·12x x ＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－(x ＋1)x 2x 2．(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，故y′＝cos x ．15.解：因为f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ．令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3． 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32．则f(x)＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f(1)＝－52．又因为f ′(1)＝－3，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0．16.解：设P (x 0，y 0)(x 0>0)，已知P 到直线y ＝x －2距离最小， 则点P 处切线与直线y ＝x －2平行．又y′＝2x－1x，令2x0－1x0＝1，x0>0，则x0＝1，故P(1,1)．所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.。
《导数的四则运算法则练习题一
《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x ＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(x－2)2；xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－2＝1－2x2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b ＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3)6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y ＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2； xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一答案 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－21－2x－2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共 2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题 cosx的导数是（）C x sinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y? 2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）A A （0，-1） B（1，0）C （0，1）D（-1，0） 3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C 2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx 4、曲线y?x?3x 上切线平行于x轴的点的坐标是（）D A（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2) 5、设y??a??x，则y/等于（）D A31 2?a?1 2?x B 1 2?xC 1 2?a?1 2?xD?1 2?x 6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44? A 6 B -6 C 2 D -2 37、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）D A y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-4 2f(x)-8x的值是（）B x?1x-1 A 5B2 C 4D 不存在 8、已知f(1)=4,f (1)=5 则lim 二、填空题 9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx 5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2 211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题 13、求函数y?sin(x? 14、求函数y? 3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
《导数的四则运算法则练习题一
《导数的四则运算法则练习题一 篇一：导数公式以及四则运算法则练习 导数的计算 一、选择题 cosx 的导数是（）C x sinxxsinx?cosxxcosx?cosx?A?2B?sinx C?D xx2x21、函数 y? 2、曲线 y?x?ex 在以下哪个点处的切线斜率等于 0 （）A A （0，-1）B（1，0）C （0，1）D（-1，0） 3、函数 y?sinx(cosx?1)的导数是（）C 2A cos2x?cosxBcos2x?sinxCcos2x?cosxDcosx?cosx 4、 曲线 y?x?3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是（ ）D A（-1，2）B（1，-2）C（1，2）D（-1，2）或(1,-2) 5、设 y??a??x，则 y/等于（）D A31 2?a?1 2?xB1 2?xC1 2?a?1 2?xD?1 2?x 6、若 f(x)?2sin(3x??)，则 f/()等于（）B 44? A6 B-6 C2D-2 37、曲线 y?x?x?2 在 P 点处的切线平行于直线 y?4x?1，则此切线方程是（ ）D Ay?4x By?4x?4Cy?4x?8Dy=4x 或 y=4x-4 2f(x)-8x 的值是（）B x?1x-1 A5B2C 4D 不存在 8、已知 f(1)=4,f'(1)=5 则 lim 二、填空题 9、函数 y?xtanx 的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx 5210、设 f(x)?x?4x?5,则 f[f/(=___________________.2 2 211、函数 y?(x?1)(x?1)在 x?1 处的导数是__________.4 12 、函数 y=log2 的导数是_________________________________. 三、解答题 1 / 1113、求函数 y?sin(x? 14、 求函数 y? 3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。
导数的四则运算法则简单复合函数的导数
导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．函数y＝1＋ln2x 的导数是()A．ln xx1＋ln2xB．121＋ln2xC．－ln xx1＋ln2x D．ln x2x1＋ln2x【解析】选A.令u＝1＋v2，v＝ln x，则y＝u12，所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝12u12－·2v·1x＝1 211＋ln2x·2ln x·1x＝ln xx1＋ln2x.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2e x f′(1)＋3ln x，则f′(1)＝()A．－3B．2e C．21－2e D．31－2e【解析】选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2e x f′(1)＋3x，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝31－2e.3．函数y＝x ln (2x＋5)的导数为()A．ln (2x＋5)－x2x＋5B．ln (2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln (2x＋5) D．x 2x＋5【解析】选B.y′＝[x ln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x·12x ＋5 ·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．已知函数f(x)＝14 x 2＋cos x ，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数，所以其导函数f′(x)＝12 x －sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，D 两项，又因为在原点右侧靠近原点的区间上，sin x ＞12 x ，所以f′(x)＜0，所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限，故选A.【补偿训练】若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )【解析】选A.由函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，得b ＜0.又f′(x)＝2x ＋b 在R 上是增函数且在y 轴上的截距小于0，所以选A. 5．若f(x)＝x 2－2x －4ln x ，则f′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)【解析】选C.因为f′(x)＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x>0，所以f′(x)>0，即x －2>0，解得x>2.【补偿训练】函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 【解析】选A.因为y′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝cos 2x·(2x)′＋ sin 2x·(2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x＝2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 . 6．(多选题)下列各函数的导数正确的是( ) A ．(x )′＝12 x －12B ．(a x )′＝a x ln xC ．(sin 2x)′＝cos 2xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝1（x ＋1）2【解析】 选AD.(x )′＝(x 12 )′＝12 x －12，A 正确； (a x )′＝a x ln a ，B 错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x ，C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝x′·（x ＋1）－x·（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－x（x ＋1）2 ＝1（x ＋1）2，D 正确． 二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝⎝⎛⎭⎫ax ＋1 e x 在点⎝⎛⎭⎫0，1 处的切线的斜率为－2，则a＝________．【解析】由y ＝(ax ＋1)e x ，所以y′＝ae x ＋(ax ＋1)e x ＝(ax ＋1＋a)e x ，故曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线的斜率为k ＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－38．已知f(x)＝13 x 3＋3xf′(0)，则f′()0 ＝________，f′(1)＝________． 【解析】由于f′(0)是一常数， 所以f′(x)＝x 2＋3f′(0)， 令x ＝0，则f′(0)＝0， 所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 答案：0 1三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的导数． (1)f(x)＝2x ＋ln x ；(2)f(x)＝ax sin x －32 (a ∈R )； (3)f(x)＝(e x －1)(2x －1)k .【解析】(1)f′(x)＝－2x 2 ＋1x ＝x －2x 2 . (2)f′(x)＝a sin x ＋ax cos x.(3)f′(x)＝(e x －1)′(2x －1)k ＋(e x －1)⎣⎡⎦⎤（2x －1）k ′＝e x (2x －1)k ＋(e x －1)·2k(2x －1)k －1＝(2x －1)k －1⎣⎡⎦⎤e x （2x －1＋2k ）－2k .10．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)·f(x)＝1.求f(x)的解析式． 【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数． 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1 得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立， 则需要a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】选D.y′＝－4e x （e x ＋1）2 ＝－4e x e 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y′＝－4t t 2＋2t ＋1 ＝－4t ＋1t ＋2 ，因为t ＋1t ≥2(t ＝1时取等号)，所以y′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π . 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x ，则f′(e)＝( ) A ．e B ．－1 C ．－e －1 D ．－e 【解析】选C.因为f′(x)＝2f′(e)＋1x ，所以f′(e)＝2f′(e)＋1e ，所以f′(e)＝－1e ＝－e －1.3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M 02－t30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【解析】选D.M′(t)＝－130 ln 2×M 02t30－， 由M′(30)＝－130 ln 2×M 023030－＝－10ln 2，解得M 0＝600，所以M(t)＝600×2t30－，所以t ＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×23030－＝600×14 ＝150(太贝克).4．已知函数f(x)＝12 x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133D ．(－∞，4)【解析】选B.f′(x)＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，当1≤x 0≤3时，f′(x 0)∈[4，5]，又k ＝f′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]. 二、填空题(每小题5分，共20分)5．设f(x)＝x(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)，则f′(0)＝________． 【解析】令g(x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)， 则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)， 所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0) ＝1×2×3×…×n. 答案：1×2×3×…×n6．已知f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝________.【解析】因为f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，所以f′(x)＝2x ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ， 所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，即f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝23 . 答案：237．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 【解析】y′＝e x ＋xe x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3， 所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1. 答案：y ＝3x ＋18．若曲线f(x)＝x·sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．【解析】因为f′(x)＝sin x ＋x cos x ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ＋π2 cos π2 ＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2 ，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2 ＝－1，解得a ＝2. 答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154 x －9都相切，求实数a的值．【解析】因为y ＝x 3，所以y′＝3x 2，设过(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30 )， 则在(x 0，x 30 )处的切线方程为y －x 30 ＝3x 20 (x －x 0).将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32 . ①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，则ax 2＋154 x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫154 2 －4a×(－9)＝0得a ＝－2564 . ②当x 0＝32 时，切线方程为y ＝274 x －274 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋154x －9，y ＝274x －274，得ax 2－3x －94 ＝0，Δ＝(－3)2－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94 ＝0，得a ＝－1.综上，a ＝－2564 或a ＝－1. 10．已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1)求曲线C 在点A(3， 2 )处的切线方程．(2)过原点O 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解析】(1)y ＞0时，y ＝2x －4 ，所以y′＝12x－4，所以x＝3时，y′＝22，所以曲线C在点A(3， 2 )处的切线方程为y－ 2 ＝22(x－3)，即x－ 2 y －1＝0.(2)设l：y＝kx，M(x，y)，则将y＝kx代入y2＝2x－4，可得k2x2－2x＋4＝0，所以Δ＝4－16k2＞0，所以1k2>4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2，所以y1＋y2＝2k，所以x＝1k2，y＝1 k，所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2＝x(x＞4).11．(1)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，求函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程．(2)已知函数f(x)＝x ln x＋mx2.若f()1＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【解析】(1)因为函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f()2＝3，f′()2＝2，因为g(x)＝x2＋f(x)，所以g′()x＝2x＋f′(x)，所以g′()2＝4＋f′()2＝6，g()2＝4＋3＝7，所以切线方程为y－7＝6⎝⎛⎭⎫x－2，即6x－y－5＝0.(2)因为f()1＝m＝1，所以m＝1，所以f(x)＝x ln x＋x2，圆学子梦想铸金字品牌所以f′(x)＝ln x＋2x＋1.所以f(1)＝1，切点为(1，1).f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.- 11 -。
《导数的四则运算法则练习题一
《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－2＝1－2x2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－21－2x－2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题cosx的导数是（）C xsinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y?2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）AA （0，-1）B（1，0）C （0，1）D（-1，0）3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx4、曲线y?x?3x上切线平行于x轴的点的坐标是（）DA（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2)5、设y??a??x，则y/等于（）DA312?a?12?x B 12?xC 12?a?12?xD?12?x6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44?A 6B -6C 2D -237、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）DA y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-42f(x)-8x的值是（）B x?1x-1A 5B2 C 4D 不存在8、已知f(1)=4,f'(1)=5 则lim二、填空题9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题13、求函数y?sin(x?14、求函数y?3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。
导数的四则运算法则
（3）
y
ex ex
1 1
.
2、已知 sin x cos x ， cos x sin x ，
利用求导法则证明：
tan
x
1 cos2
x
.
3、求曲线
f
x
1 1
x x
2x
ln
x
在点(1，0)
的切线方程。
4、(2010
年新课标)曲线
y
x x
2
在点(-1,-1)
处的切线方程为( )
A.y=2x+1
例
2、求曲线
y
x3
1 x
在点(1，0)处的
切线方程。
练习： 求下列函数的导数： (1) y 1
x
(3) y sin x 1
(5) y 3x x3
(7)
y
ex
1
1
x3
x
(2) y e x x
(4) y x2 x
1
(6) y x 3 ln x
那么 ，同理得
[ f ( x) g( x)]' f'( x) g'( x)
问题二、已知函数 f ( x) , g( x) 的导数分别为：
f
'( x) , g '( x) ,求函数
y
f (x) g( x)
(
g(
x)
0)
的导数。
结论
两个函数的商的导数，等于分子的导数 与分母的积，减去分母的导数与分子的 积，再除以分母的平方
即
f (x)
g(
x)
'
f
'(
x)g(
x) f ( g2(x)
导数的四则运算1
有了导数的积的法则，便可以简单快 捷地求一些较为复杂的函数的导数。 1. 若y=x2·sinx，则y'=___2_x_si_n_x_+_x_2_c_o_sx____. 2. 若y=3x2·(2－x)+1，则y'=____________. 3. 若y=3x2·(2－x)(1－x)+1，则 y'=_______________.
问题8：已知u(x)和v(x)为可导函数， 若函数u(x)v(x)可导，它的导数是用什么 方法去推导？
分析 : 令, y f ( x) u( x) v( x),
y u( x x) v( x x) u( x) v( x)
y u( x x) v( x x) u( x) v( x)
x
x
y lim x0 x
u( x x) v( x x) u( x) v( x)
lim
x0
x
y v u( x x) v( x) u
x x
x
因为u( x)在x处可导,所以u( x)在x处
连续,所以, lim u( x x) u( x). x0
y
v
u
lim lim u( x x) lim v( x)
v( x)
问题12：通过本节课的学习，你学 到了什么？体验到什么？掌握了什么？
知识小结
(u v)' u'v',(u v)' u'v uv' 推广: (u1 u2 ... un )' u1'u2'... un'
知识小结
(u v)' u'v',(u v)' u'v uv'
导数公式以及四则运算法则练习老师版
导数的计算一、选择题1、函数xx y cos =的导数是（ ）C A 2sin x x - B x sin - C 2cos sin x x x x +- D 2cos cos x x x x +- 2、曲线x e x y -=在以下哪个点处的切线斜率等于0 （ ）AA （0，-1）B （1，0）C （0，1）D （-1，0）3、函数)1(cos sin +=x x y 的导数是（ ）CA x x cos 2cos -B x x sin 2cos +C x x cos 2cos +D x x cos cos 2+ 4、曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是（ ）DA （-1，2）B （1，-2）C （1，2）D （-1，2）或(1,-2)5、设x a y -++=11，则/y 等于（ ）D A x a -++121121B x -121C x a --+121121D x --1216、若)43sin(2)(π+=x x f ，则)4(/πf 等于（ ）B A 6 B -6 C 2 D -27、曲线23-+=x x y 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则此切线方程是（ ）DA x y 4=B 44-=x yC 84+=x yD 444y x y x ==-或8、已知'(1)4,(1)5f f == 则12()8lim 1x f x x x ®--的值是 （ ）B A 5 B 2 C 4 D 不存在二、填空题9、函数x x y tan =的导数是_______________________.xx x x 2cos cos sin + 10、设,54)(2+-=x x x f 则/5[()]2f f =___________________.2 11、函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数是__________.412、函数2log y =的导数是_________________________________.13()ln 2x x e e x ++ 三、解答题13、求函数)1(sin 3x x y +=的导数。
最新导数的四则运算及复合函数求导运算练习题
一、选择题(共7小题,每小题5.0分,共35分) 1.函数y ＝3sin(2x －π6)的导数为( )A ．y ′＝6cos(2x －π6)B ．y ′＝3cos(2x －π6)C ．y ′＝－3cos(2x －π6)D ．y ′＝－6cos(2x －π6)2.函数f (x )＝e 2x x 的导函数是( )A ．f ′(x )＝2e 2xB ．f ′(x )＝2e 2x x C ．f ′(x )＝(2x−1)e 2xx 2D ．f ′(x )＝(x−1)e 2xx 23.下列求导运算正确的是( )A ． (x ＋1x )′＝1＋1x 2B ． (log 2x )′＝1xln2C ． [(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3)D ． (e 2x )′＝e 2x4.已知函数f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( )A ． 4x ＋3B ． 4x －1C ． 4x －5D ． 4x －35.函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ． 2x sin(1＋x 2)B ． －sin(1＋x 2)C ． －2x sin(1＋x 2)D ． 2cos(1＋x 2)6.已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ． (0,1]B ． (1，＋∞)C． (0,1)D． [1，＋∞)7.已知曲线f(x)＝x ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A． 1B． ln 2C． 2D． e二、填空题(共9小题,每小题5.0分,共45分)8.已知函数f(x)＝2sin 3x＋9x，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x________.9.函数f(x)＝x sin(2x＋5)的导数为________．10.函数y＝cos(2x2＋x)的导数是________________．11.函数y＝ln√1+x21−x2的导数为________．12.y＝x e cos x的导函数为________．13.f′(x)是f(x)＝cos x·e sin x的导函数，则f′(x)＝________.14.已知函数f(x)＝e2x·cos x，则f(x)的导数f′(x)＝________.15.已知函数f(x)＝(x＋2)e x，则f′(0)＝________.16.已知f(x)＝ln(ax2－1)，且f′(1)＝4，则a＝________.三、解答题(共0小题,每小题12.0分,共0分)答案解析1.【答案】A【解析】令y＝3sin t，t＝2x－π6，则y′＝(3sin t)′·(2x－π6)′＝3cos(2x－π6)·2＝6cos(2x－π6)．2.【答案】C【解析】对于函数f(x)＝e2xx，对其求导可得f′(x)＝(e2x)′×x−e2x×x′x2＝2x?e2x−e2xx2＝(2x−1)e2xx2.3.【答案】B【解析】因为(x＋1x )′＝x′＋(1x)′＝1－1x2，所以选项A不正确；(log2x)′＝1xln2，所以选项B正确；[(2x＋3)2]′＝2(2x＋3)·(2x＋3)′＝4(2x＋3)，所以选项C不正确；(e2x)′＝e2x·(2x)′＝2e2x，所以选项D不正确．4.【答案】A【解析】令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝2(t＋1)2－(t＋1)＝2t2＋3t＋1，所以f(x)＝2x2＋3x＋1，所以f′(x)＝4x＋3.5.【答案】C【解析】y′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin(1＋x2)．6.【答案】D【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝ax＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.7.【答案】D【解析】∵f′(x)＝ln x＋1，由曲线在某点的切线斜率为2，令y′＝ln x＋1＝2，解得x ＝e.8.【答案】6cos 3＋9【解析】f ′(x )＝(2sin 3x ＋9x )′＝6cos 3x ＋9.lim △x→0f (1+△x )−f(1)△x＝f ′(1)＝6cos 3＋9.9.【答案】sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)【解析】f ′(x )＝x ′sin(2x ＋5)＋x (sin(2x ＋5))′＝sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)．10.【答案】－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )【解析】y ′＝－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )．11.【答案】2x 1−x 4【解析】y ′＝√1+x 21−x 2(√1+x21−x2)′ ＝√21−x 2·2√21−x 2(1+x 21−x 2)′＝√1+x 21−x 2·2√1+x 21−x 2·4x(1−x 2)2＝1−x 22(1+x 2)·4x (1−x 2)2＝2x 1−x 4.12.【答案】－x sin x ·e cos x ＋e cos x【解析】y ′＝(x e cos x )′＝x ′e cos x ＋x (e cos x )′ ＝e cos x ＋x (－sin x e cos x )＝－x sin x ·e cos x ＋e cos x .13.【答案】(cos 2x －sin x )e sin x【解析】∵f (x )＝cos x ·e sin x ，∵f ′(x )＝(cos x )′e sin x ＋cos x (e sin x )′＝－sin x e sin x ＋cos x e sin x cos x ＝(cos 2x －sin x )e sin x . 14.【答案】e 2x (2cos x －sin x )【解析】由积的求导可得，f ′(x )＝(e 2x ·cos x )′＝e 2x ·2·cos x ＋e 2x (cos x )′＝2e 2x cos x －e 2x sin x＝e 2x (2cos x －sin x )．15.【答案】3【解析】∵f ′(x )＝[(x ＋2)·e x ]′＝e x ＋(x ＋2)e x ， ∵f ′(0)＝1＋2＝3.16.【答案】2【解析】∵f ′(x )＝1ax 2−1(ax 2－1)′＝2axax 2−1，∵f ′(1)＝2a a−1＝4， ∵a ＝2.。