第十四章 应力分析讲解
应力分析
10. 偏应力
σ1′＝σ1－σ
σ2 ′＝σ2－σ
σ3 ′＝σ3－σ
地壳深部一般应力状态：σ1＝σ2＝σ3＝ρgh，接近于静岩应力状态。
1. 应力场：受力物体内部各点瞬时应力状态的组合
均匀应力场：各点应力状态相同（可以按点应力方法处理）
5. 主应变和应变主方向
在均匀变形条件下，变形物体内部总是可以截取这样一个立方体，其三个相互垂直的截面上只有线应变而无剪应变，这三个线应变称为主应变，这三个主平面称为主应变面。
最大伸长方向：最大应变主方向(λ1)或最大主应变轴(X or A)
最大压缩方向：最小应变主方向(λ3)或最小主应变轴(Z or C)
3. 均匀变形和非均匀变形
均匀变形：各部分的变形性质、方向、大小均相同。特征：
变形前的平面、直线变形后仍保持平面和直线；
变形前相互平行的平面和直线变形后仍保持平行
非均匀变形：物体内部各部分变形的方向、大小和性质不一致。
非均匀连续变形可以分解成若干部分，按均匀变形的方法加以研究。
1.应力状态:过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况(18个)。
弹性力学(剪应力互等定理)证明：任何受力 主平面（主应力面）：
主应力所作用的截面：S1, S2, S3
3. 主应力：
σ1(最大)，σ2 (中间) ，σ3 (最小) ；?1- ?3 之值称为应力差。
4. 主应力轴：σ1，σ2，σ3每对主应力的方向线
5. 应力椭球：以物体内一点主应力s1， s2 ， s3为主轴的椭球体。
直观表达物体内该点受力状况。
6. 应力椭圆：应力椭球的三个主切面
《应力应变分析》课件
高分子材料
在高分子材料的制备、加工和使用过程中，应力应变分析有助于了解高
分子材料的力学性能和变化规律，优化高分子材料的应用。
03
复合材料
复合材料的性能取决于其组成材料的性能以及它们的组合方式，通过应
力应变分析可以深入了解复合材料的力学行为，为复合材料的优化设计
提供依据。
在机械工程中的应用
01
机械零件设计
实际应用展望
探讨如何将应力应变分析的理论 应用到实际问题中，如结构优化 设计，材料性能评估等。
持续学习计划
制定未来继续深入学习应力应变 分析的计划，如阅读相关文献， 参加学术交流等。
THANKS
谢谢
应力和应变的测量技术
应力的测量技术
机械式测量法
通过测量物体的形变量来计算应力，常用的仪器有杠杆式和弹性 式传感器。
光学式测量法
利用光学原理，通过观察物体的形变来计算应力，如光弹效应和 干涉法。
压电式测量法
利用压电材料的压电效应，将应力转换为电信号进行测量。
应变的测量技术
电阻应变片法
利用金属丝电阻随形变而变化的特性，将应变转换为 电阻变化进行测量。
有限元法适用于各种形状和边界条件的物体，特别是复杂形状和不规则形状的物体。
有限元法具有通用性强、精度较高、计算效率高等优点，是目前工程领域应用最广泛的应力分析方法。
实验法
01
实验法是通过实验手段测量物体的应力应变状态的方
法。
02
实验法通常需要使用各种传感器和测试设备对物体进
行实际加载和测量，以获得真实的应力应变数据。
在航空航天中的应用
飞行器设计
飞行器在飞行过程中会受到各种复杂载荷的作用，通过应力应变分析可以预测 飞行器在不同飞行状态下的应力分布和变形情况，为飞行器的优化设计提供依 据。
应力分析
应力分析应力是指在人类生活中常常出现的一种心理和生理的紧张状态。
在现代社会中，人们面临着各种各样的压力，可能来自工作、学业、家庭、人际关系等多个方面。
应对应力成为了现代人不可避免的挑战之一。
应力的产生是由于个体与环境之间的互动关系。
当个体面对外界环境的一系列要求和变化时，他们会经历一种紧张和压迫感，这种感受就是应力。
应力可以是正面的，也可以是负面的，取决于个体对于这种紧张状态的理解和处理方式。
正面的应力可以激发个体的积极性和动力，促使他们更好地应对困难和挑战；而负面的应力可能导致焦虑、抑郁等精神和身体问题。
应力对个体影响的程度取决于多种因素，包括个人的自我规划、社会支持、应变能力等。
一个有明确目标和规划的人，可能更能够解决和应对应力。
同时，拥有良好的社会支持网络的个体，也可以获得来自他人的支持和鼓励，从而减轻应力的影响。
此外，个人的应变能力也是应对应力的重要因素之一。
应变能力包括适应性思维、解决问题的能力、情绪调节等，这些能力可以帮助个体更好地应对各种压力。
应力带来的不良影响在人们的身心健康领域表现得尤为突出。
长期以来，应力与许多心理和生理疾病之间的关联已得到了广泛的研究证实。
在心理方面，应力可能导致焦虑、抑郁、失眠等问题；在生理方面，应力可以引发高血压、心脑血管疾病、免疫系统功能下降等各种身体健康问题。
因此，科学有效地管理和减轻应力对于个人的身心健康至关重要。
那么，如何有效地管理和减轻应力呢？首先，个体应该认识到应力的存在和影响，并带着积极的态度去面对它。
接着，个体可以通过一些方法来缓解和应对应力，例如积极参与体育锻炼、保持良好的作息习惯、学会放松自己、寻找适当的社交支持等。
同时，发展一些积极应对应力的策略也是很重要的，例如制定合理的目标和计划、培养良好的自我调节能力、学习应对技巧等。
此外，管理和减轻应力不应该仅仅依赖于个体的努力，社会也应该承担起责任来创造一个低压力的环境。
例如，提供更好的工作条件和学习环境，为个体提供更多的社会支持和帮助，加强压力管理教育等。
应力分析培训讲义.pptx
为什么要做管道应力分析？
• 压力、重力、风、地震、压力脉动、冲击 等外力载荷和热膨胀的存在，是管道产生 应力问题的主要原因。其中，热膨胀问题 是管道应力分析所要解决的最常见和最主 要的问题。
• 通俗来讲管道应力分析的任务，实际上是 指对管道进行包括应力计算在内的力学分 析，并使分析结果满足标准规范的要求， 从而保证管道自身和与其相连的机器、设 备以及土建结构的安全。
规范要求的载荷工况
• 规范要求使用两个主要失效方式的失效理论。 • 一次失效。(W+P+F) SUS<Sh • 二次失效。DS1-DS2(T+D)<1.25(Sh+Sc)-S1 • (第三种失效方式是偶然失效，它与一次失效相
似。）
管道应力分类（一次应力）
一次应力是由于压力、重力与其他外力荷载的 作用所产生的应力。它是平衡外力荷载所需的 应力，随外力荷载的增加而增加。一次应力的 特点是没有自限性，即当管道内的塑性区扩展 达到极限状态，使之变成几何可变的机构时， 即使外力荷载不再增加，管道仍将产生不可限 制的塑性流动，直至破坏。
总应力可以分解为垂直 于截面正应力和截面相 切剪应力的和成。
构件中的线应变
构件内各点的应 力不同。三向， 二向，单向应力 状态
基本应力
使用局部坐标系可以将管系应力 (以及产生 这些应力的载荷）the loads that cause them) 分为下面几种：
• 纵向应力 - SL
制压力脉动值； – 管道固有频率分析-----防止管道系统共振； – 管道强迫振动响应分析-----控制管道振动及应力； – 冲击荷载作用下管道应力分析-----防止管道振动和应力过
大； – 管道地震分析-----防止管道地震力过大。
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
复杂应力状态强度问题
1 2 [( 1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2 ]
适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性 材料。
(3) 强度理论的相当应力
上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作
如下形式：
r
式中，r是根据不同强度理论以危险点处主应力表
达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条
(b)
梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截 面上的中性轴处：
m a F S ,m x I z S d z * ,a m x a 2 8 x 0 1 1 8 3 6 N m 0 0 4 3 9 1 3 1 3 6 m m 0 8 0 3 8 .4 M 5
件≤[]中的拉应力，通常称r为相当应力。
表14-1 四个强度理论的相当应力表达式
强度理论名称及类型
相当应力表达式
第一类强度 第一强度理论── 理论(脆性断 最大拉应力理论 裂的理论) 第二强度理论── 最
大伸长线应变理论
r11
r 21 2 3
第三强度理论── 第二类强度 最大切应力理论 理论(塑性屈 服的理论) 第四强度理论── 形
纯剪切平面应力状态下许用应力的推算
纯剪切平面应力状态下
1 ， 2 0 ， 3 －
低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应
力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许
用应力[]按第三或第四强度理论推算许用切应力
[]。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度
条件为
－ － 亦即
2
可见
0.5
许用应力[t]按第一或第二强度理论推算许用切应力 [ ]。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条
件为
t
可见
应力分析原理
应力分析原理
应力分析原理是一种用于研究物体受力情况的方法。
应力是物体内部受到的力的分布情况，通常以单位面积上的力来描述。
应力分析原理主要包括以下几个方面。
首先，应力分析原理基于弹性力学理论。
弹性力学是研究物体在受到外力作用后，形状和尺寸发生变化的性质和规律。
它假设物体在受力后会恢复到原来的形状和尺寸，同时也假设物体的变形与受力有一定的数学关系。
其次，应力分析原理基于克希荷夫定律。
克希荷夫定律是弹性力学的基本定律之一，它描述了物体内部各点的应力与应变之间的关系。
根据克希荷夫定律，应力与应变成正比例，比例系数为物体的弹性模量。
再次，应力分析原理基于受力平衡条件。
根据受力平衡的原理，物体各点受到的合力和合力矩为零。
通过分析物体的受力平衡条件，可以得到物体内部各点的应力分布情况。
最后，应力分析原理还基于材料的力学性质。
不同的材料具有不同的力学性质，例如刚度、强度、韧性等。
根据材料的力学性质，可以预测物体在受力后的变形情况，并进一步分析应力的分布。
综上所述，应力分析原理是基于弹性力学、克希荷夫定律、受力平衡条件和材料的力学性质等基本原理，通过对物体受力情况进行分析，揭示物体内部应力的分布情况。
材料力学应力分析知识点总结
材料力学应力分析知识点总结应力是材料力学研究中的关键概念之一，它描述了物体内部的受力状态。
在材料力学中，应力分析是十分重要的，它使我们能够了解材料在受力时的行为和特性。
本文将对材料力学应力分析的相关知识点进行总结，包括概念、分类和计算方法等。
一、应力的概念应力是指材料内部单位面积上的力，用符号σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
在力学中，应力可分为正应力、剪应力和法向应力等几种形式。
正应力是垂直于截面方向的应力，常用符号σ表示；剪应力是平行于截面方向的应力，常用符号τ表示；法向应力是指垂直于截面的应力，也可称为径向应力。
二、应力的分类根据受力方向不同，应力可分为一维、二维和三维应力。
一维应力是指只在一条方向上有应力存在，例如拉伸或压缩，常用符号σ表示。
二维应力是指在平面内有应力存在，常见的有正应力和剪应力。
三维应力是指在空间内存在应力，常用符号σx、σy和σz表示。
三、应力的计算方法1. 一维应力的计算方法：对于拉伸应力，应力值可通过应力公式σ = F/A计算，其中F为作用在物体上的力，A为力作用的截面面积。
对于压缩应力，计算方法与拉伸应力相同，但结果为负值。
2. 二维应力的计算方法：对于正应力，可通过计算垂直于所考察点（x,y）的方向上的力除以相应的面积得到。
例如，正应力σx可通过计算剪断力F除以剪断面积A得到。
对于剪应力，计算方法是计算平行于所考察点的方向上的力除以相应的面积。
例如，剪应力τxy可通过计算平行于x方向的力除以垂直于该方向的长度得到。
3. 三维应力的计算方法：在三维应力情况下，应力的计算稍显复杂，在此不再详述。
但通常可以通过应力分量之间的关系进行计算，例如通过Mohr圆进行图解分析。
四、应力分析的应用应力分析在工程实践中具有广泛的应用，特别是在结构力学、材料力学和土木工程中。
通过对材料的应力分析，我们可以了解材料在不同应力下的表现，为工程设计和材料选型提供指导。
在结构力学中，应力分析是设计安全和可靠结构的关键步骤之一。
第十四章内压薄壁容器的应力分析解读
作用于微元体上的介质压力p在法线方向上的合力F为:
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章内压薄壁容器的应力分析
2.区域平衡方程 对于任意壳体，用垂直于母线的旋转法 截面切割壳体，如图所示，取截面以上 部分为研究对象，建立轴向平衡方程。
式(14-5)是承受气压作用时任意 回转壳体的经向薄膜应力计算 式，因为这是用切割部分壳体 推导出来的，故称区域平衡方 程。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章 内压薄壁容器的应力分析
主要内容： 回转壳体的几何概念 回转壳体的应力理论 无力矩理论在典型壳体中的应用
边缘应力
第十四章内压薄壁容器的应力分析
§14-1 回转壳体的几何概念
压力容器
压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。所谓厚壁与薄壁并 不是按容器厚度的大小来划分。通常根据容器外径Do与内径Di 的比值K=Do/Di来判断的。
x a,
pa 2
（14-14）
壳体顶点处:
pa a x 0, （14-15） 2 b
赤道பைடு நூலகம்:
a 2 pa a2 x a, 2 2 2 2 （14-16） b 2 b
（14-12)
由式(14-11)和式(14-12)可知:椭球壳体上的应力是随点的位置变 化而变化的，且应力值大小还受椭圆壳本身几何形状的影响， a/b值不同，应力大小也不同。下面对经向应力和周向应力的分 布情况进行讨论。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
壳体顶点处:
pa 2 pa a （14-13） x 0, 2 b 2 b
第十四章内压薄壁容器的应力分析
材料力学之应力分析与强度理论
材料力学之应力分析与强度理论引言材料力学是研究物体在外力作用下的变形与破坏行为的学科，其中应力分析与强度理论是材料力学的重要内容。
本文将介绍应力分析和强度理论的基本原理、方法和应用。
应力分析应力的定义在材料内部，由于外力作用，会产生相应的内应力。
应力是描述这种内部应力状态的物理量，定义为单位面积上的内力。
常用的应力包括正应力、剪应力和法向应力等。
应力分析的基本原理应力分析的基本原理是根据力学平衡方程和材料连续性假设，利用应力分析方法分析物体内部各点的应力分布。
应力分析可以通过数学模型、解析方法、数值方法等多种手段进行。
应力分析的方法•静力学方法：静力学方法是最常用的应力分析方法之一。
通过求解静力平衡方程，可以得到物体内部的应力分布。
•离散元方法：离散元方法是一种基于离散单元的力学分析方法，能够模拟物体内部的复杂应力分布。
•有限元方法：有限元方法是一种广泛应用的数值分析方法，通过将物体分为有限个小单元进行分析，可以得到较为精确的应力分布。
应力分析的应用应力分析在工程设计、材料研究和结构分析等领域中有着广泛的应用。
例如，在机械设计中，通过应力分析可以评估零件的强度和刚度，从而指导设计优化。
在材料研究中，应力分析可以揭示材料的断裂机理和变形行为，为材料的改进和优化提供依据。
强度理论强度的定义强度是材料抵抗破坏的能力。
材料力学中常用的强度有屈服强度、抗拉强度、抗剪强度等。
强度理论的基本原理强度理论是根据材料性质和力学原理，研究材料破坏的力学理论。
其中，最常用的强度理论有极限强度理论、能量强度理论和变形强度理论等。
常用的强度理论•极限强度理论：极限强度理论是根据材料的极限强度，判断材料的破坏情况。
例如，判断一个零件是否破坏，只需比较其最大应力与材料的极限强度。
•能量强度理论：能量强度理论是根据材料的内能和位能，判断材料的破坏情况。
例如，当材料的内能和位能达到一定的临界值时，材料会发生破坏。
•变形强度理论：变形强度理论是根据材料的屈服条件和变形状态，判断材料的破坏情况。
应力分析知识点总结
应力分析知识点总结一、引言应力分析是指在实际工程中，对物体内外受到的力在空间和时间上的分布规律进行研究，从而了解物体受力情况的一种理论和方法。
应力分析在工程领域中有着重要的应用，可以帮助工程师们更好地设计和制造各种工程结构，确保结构的安全性和稳定性。
本文将从应力分析的基本概念、应力分析的理论基础、常用的应力分析方法以及应力分析在工程中的应用等方面进行总结和介绍。
二、应力分析的基本概念1. 应力的定义应力是指物体内部分子间的相互作用所产生的一种内在力，通常表示为单位面积上的力。
在工程中，应力常常用来描述物体受力时的内部力状态，可以分为正应力和剪应力两种类型。
正应力是指垂直于物体截面的应力，可以表示为施加在物体上的正向压力或拉力。
而剪应力是指与物体截面平行的应力，通常形成剪切力。
2. 应变的定义应变是指物体在受力作用下发生的形变现象，通常用来描述物体受力后的形状和大小变化。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型，线性应变指物体在受到正应力作用下发生的长度变化，而剪切应变则是描述物体在受到剪应力作用下产生的形变。
3. 应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，这一关系通常通过材料的力学性能参数来描述。
在弹性范围内，应力与应变之间存在着线性关系，可以通过杨氏模量、泊松比等参数来描述。
而在非弹性范围内，应力和应变之间的关系则需要通过材料的本构方程来描述。
三、应力分析的理论基础1. 弹性力学理论弹性力学理论是应力分析的重要理论基础，其研究范围包括材料的应力分布规律、应力和应变的关系、材料的本构关系等内容。
弹性力学理论可以帮助工程师们更好地理解和预测物体在受力条件下的力学性能，进而设计和优化工程结构。
2. 材料力学性能参数材料力学性能参数是描述材料抗力性能的重要指标，包括杨氏模量、泊松比、屈服强度、极限强度、断裂韧性等内容。
这些参数可以帮助工程师们更好地了解材料的力学特性，从而在设计和制造过程中选择合适的材料和工艺。
构造应力分析
构造应力分析应力分析是工程学中非常重要的一环，它可以帮助工程师们更好地了解和评估结构在不同力的作用下的行为和性能。
应力分析可以通过使用数学模型和工程计算方法来推导和预测结构的应力分布和变形情况，从而指导工程实践中的设计和优化。
首先，我们需要明确什么是应力。
应力是指单位面积内的力，常用单位是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
应力分为三种类型：拉伸应力、压缩应力和剪切应力。
拉伸应力和压缩应力是由力的作用方向引起的，而剪切应力是由力的切向作用引起的。
应力分析的第一步是确定力的大小和方向。
这通常通过力的矢量分解和平衡方程来实现。
接下来，将力施加到结构上，并根据结构的几何特征和材料的力学性质，应用适当的理论和公式来计算结构的应力分布。
应力分析的一个重要概念是应力集中。
应力集中指的是在结构中存在局部应力增强的区域。
这通常是由于结构几何形状不均匀或应力传递不连续引起的。
应力集中会导致结构的强度降低，容易造成断裂和损坏。
因此，在设计和优化结构时，需要注意减轻或避免应力集中的发生。
应力分析还可以用于确定结构的变形。
变形是指结构由于受力而发生的形状或尺寸的改变。
变形可以通过应用弹性理论和材料力学性质来计算。
通过了解结构的变形情况，可以评估结构的稳定性和刚度，并进行适当的设计和调整。
应力分析在实际工程中具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，应力分析可以帮助工程师们确定房屋或桥梁的载荷承受能力，避免结构的失稳和破坏。
在机械工程中，应力分析可以用于评估机械零件的强度和寿命，以及预测在不同工作条件下的变形量和疲劳破坏。
在进行应力分析时，还需要考虑材料的力学性质。
材料的力学性质包括弹性模量、屈服强度、断裂韧度等。
工程师们需要根据结构要求和实际材料的性能来选择合适的材料，并将其用于应力分析中的计算和预测。
总之，应力分析是工程学中不可或缺的一环。
它可以帮助工程师们更好地了解和评估结构在不同力的作用下的行为和性能。
通过应力分析，工程师们可以指导工程实践中的设计和优化，确保结构的安全和可靠。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
应力分析图解
2 θ
衍射角2θ变小
在无应力状态，衍射角2θ不随晶面方位角ψ变化 而变化； 在拉应力状态，晶面方位角ψ越大，晶面间距d也 越大，相应地，衍射角2θ就越小； 相反，在压应力状态，晶面方位角ψ越大，晶面 间距d也越小，相应地，衍射角2θ就越大； 可以推想，衍射角2θ随晶面方位角ψ变化而变化 的快慢程度，直接反映出应力值的大小； 根据布拉格定律和弹性理论，可以推导出：
X 射线应力测定原理
图解
X射线应力测定原理
X射线衍射
布拉格定律
多晶体
入射线
多晶体
入射线
衍射线
多晶体
衍射峰
入射线
衍射线
多晶体
衍射峰
入射线
衍射线
2 θ 衍射角
多晶体
2d Sinθ= nλ
布拉格定律
θ
λ d
X射线波长 晶面间距 布拉格角
衍射角的1/2
2 θ 衍射角
衍射晶面法线
2 θ
试样表面法线 衍射晶面法线
2 θ 衍射角
多晶体
多晶体 无应力状态
多晶体 拉应力状态
晶面间距d变小
多晶体 拉应力状态
晶面间距d变大
多晶体 拉应力状态
确定衍射晶面法线 使之与试样表面法线重合 确 定 衍 射 晶 面 法 线
即Ψ=0°
多晶体 拉应力状态
Ψ=0° 设置X射线管
多晶体 拉应力状态
入射线
多晶体 拉应力状态
入射线
衍射线
多晶体 拉应力状态
计数管 扫描
入射线
衍射线
多晶体 拉应力状态
衍射峰
多晶体 拉应力状态
根据 2d Sinθ= nλ
晶面间距d变小 变大 衍射角 2 θ
最新应力详细分析
应力详细分析学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：1. 体力；2. 面力。
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。
例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。
为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V, 如图所示设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为.令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x,F b y,F b z表示，称为体力分量。
体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示。
设△S上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。
一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
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NOTE:
1）若1= 2= 3= + ，即球应力状态时，主切应力为零，
即：
12 = 23 = 31 =0
2） 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应
力值将保持不变。
3） m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3
4.应力球张量和应力偏张量 1）应力张量的分解
二、三维坐标系中的应力分量和应力张量
图2-5 直角坐标系中单元体上的应力分量
x xy xz yx y yz zx zy z
作用面为X 作用面为Y 作用面为Z
作
作作
用
用用
方 向
方方 向向
NOTE:
为
为为
X
YZ
12））截σi、面τ正ij 负的，命与名应规力则分量的正
负
3） 切应力互等定理
4）九个应力分量有六个独立，
能
完全确定一个应力状态
5）应力分量能在不同的坐标系
之
间进行转换
ij=
x xy xz yx y yz zx zy z
应力张量
式中：
1） ij 是二阶张量的缩写记号 2） ij 为二阶对称张量
3）张量可以合并、分解；有主方向，有主值及不变量 4〕张量可以利用圆柱坐标/球坐标表达
1 2
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
12
1
2 2
＝
x
2
y
2
2 xy
23
2
2
31
1
2
只有在σ1和σ2的大 小相等方向相反
的时候τ12才是最 大切应力
可写出主应力的方向与Ｘ轴的夹角α
＝1 arctan xy
三、任意斜面上的应力
图2-7 任意斜面上的应力
Sx=xl+yxm+zxn Sy=xyl+ym+zyn Sz=xzl+yzm+zn
Sx Sy =(l m n) ij Sz
S2=S2x+S2y+S2z =Sxl+Sym+Szn=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+zxnl) 2=S2-2
第三节 主应力和主切应力
1.主应力：
主平面上： =0 =S
故
Sx=Sl=l
Sy = Sm=m
Sz= Sn=n
代入（2-6）得齐次线性方程
（ x-）l+ yxm+ zxn=0
xyl+（ y-）m + zyn=0
xzl+ yzm+（ z-）n =0
且
l2+m2+n2=1
0 0 σ3
3.主切应力和最大切应力
1）主切应力
主切应力：主切应力平面
取σ1、σ2、σ3为坐标轴（主轴坐标系）设任意斜面法矢为l,m,n，则 该面上的切应力由（2-8a）得
2=S2-2=21l2+22m2+23n2-(1l2+2m2+3n2)2
以n2=1-l 2-m2代入上式，分别对l,m,求偏导数并令其为零，设
第一节 张量的基本知识
1.角标符号和求和约定
回忆
3
xi yi
i 1
＝x1 y1
x2
y2
x3 y3
xi y j (i、j 1，2，3) ＝x1 y1 x2 y1 x3 y1 ......
2.张量的基本概念
第二节 外力、应力和点的应力状态
一、外力和应力
作用力（拉、压、剪切） 反作用力（工具对金属作用） 摩擦力
图2-1 镦粗时的受力分析 a）在平模具间镦粗 b）在凹模内镦粗 c）在凸模内镦粗
体积力 重力 磁力 惯性力
内力：在外力的作用下， 变形体内各质点之间 产生的相互作用的力
二、直角坐标系中一点的应力状态分析 点的应力状态
一、应力分析的截面法
应力：单位面积上的内力。
单向拉伸时任意 斜面上的应力
全应力S=o cos 正应力=ocos2 切应力=0.5osin2
(2-9) (2-10)
求非零解，则 △=0 （2-11）
展开行列式△，且设
J1= x + y + z
zx x yx y
zy x
J2= —
+
+
z xy y yz z xz
J3= Tij
得到应力状态的特征方程 3-J12-J2-J3=0
三实根即为σ1、σ2、σ3 将σ1、σ2、σ3代入（2-9）中
σ1>σ2>σ3，经化简得：
l {(1-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
m{(2-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
联立l2+m2+n2=1 ，可得三组方向余弦。
同理，消去l或m ，还可解出另外三组方向余弦。
主切应力：
最大切应力：
2）主切应力平面上的正应力：
任意两式并与（2-10）联解， 即可求的三个正交的主方向
2.应力张量不变量
J1= x + y + z
zx x yx y zy x
J2= —
+
+
z xy y yz z xz
J3= Tij
J1、J2、J3为单值，不随坐标而变
主轴坐标系：
σ1 0 0
σij＝ 0 σ2 0
2
x y
3.三向应力莫尔圆
注：① 每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的
正应力σ和切应力τ的变化规律。 ② 三个圆所围绕的面积内的点，表示l、m、n都不
等于零的斜切面上的正应力σ和切应力τ的值。故应力莫 尔圆形象地表示出点的应力状态。
例题
塑性理论(塑性力学)：研究金属在塑性状态 的力学行为
假设：
1、变形体连续：可保证应力、应变、 位移等均连续
2、变形体均质且各向同性：可保证微 元体的物理性质不变
3、变形瞬间力平衡：可导出平衡方程 4、忽略体积力：可使计算简化
第一节：张量的基本知识 第二节：外力、应力和点的应力状态 第三节：主应力和主切应力 第四节：应力平衡微分方程 第五节：应力莫尔圆
5.等效应力
主轴坐标系下： 任意坐标系下：
特点 等效应力是一个不变量。 等效应力在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）
应力 等效应力并不代表某一实际平面上的应力，故不能在某一特定
平面上表示出来。 等效应力表示了三个主应力的综合效果，可以理解为代表一点
的应力状态中应力偏张量的综合作用。
平面应力状态的应力张量为
应力平衡微分方程
三个不变量： J1 = σx +σy ； J2 = -σx σy + τ2xy ； J3 = 0
主切应力
2.平面应力状态的莫尔圆
莫尔圆圆心：
C
:
x
2
y
,0
半径：
R
xBiblioteka 2y2
2 xy
由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：
应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：
2、应力球张量和应力偏张量
对于σijˊ (应力偏张量)亦有：J2ˊ、J3ˊ仿J2、J3得出
Note: 1. J1ˊ=0，应力分量中已无静水应力成分
2. J2ˊ与屈服准则有关
J3ˊ<0
3. J3ˊ决定了应变类型（J3ˊ=0属于平面应变；
属于 压缩类应变；J3ˊ>0属于伸长类应变）
第四节 应力平衡微分方程
直角坐标中一点邻区的应力平衡
质点的应力平衡微分方程式： 简记为
第五节 应力莫尔圆——表示点的应力状态
1、平面应力状态
特点：①某一作用面（如Ｚ面）上的应力为零，应力为零的方 向为主方向。
②所有应力沿Ｚ向均布。即应力分量与Ｚ轴无关，对Ｚ 轴的偏导数为零。
应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。