素数判断算法
辗转相除法求素数
辗转相除法求素数素数在数论中占有非常重要的地位。
在现代密码学、随机化算法、分解算法等领域中，素数的应用广泛而深入。
那么我们如何高效地求解素数呢？在本文中，我将介绍一种高效的求素数方法——辗转相除法。
一、什么是素数？素数又称质数，指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
例如2、3、5、7、11、13等数都是素数。
二、素数的求解方法通常我们可以用暴力枚举或试除法来求解素数，但当数值较大时，这些方法效率较低。
此时，辗转相除法成为一种更为高效的求素数方法。
三、辗转相除法的原理辗转相除法又称欧几里得算法，是一种用于求两个正整数最大公约数的算法。
它的原理是：两个正整数的最大公约数等于其中两数之间较小的那个数和两数的差值的最大公约数。
例如：56和42的最大公约数等于42和14的最大公约数，而14和42的最大公约数等于14和28的最大公约数。
以此类推，直到找到两数的公共因子1，这时两个数的最大公约数就是1。
同理，我们可以利用这个原理去判断一个数是否为素数。
四、利用辗转相除法判断素数的方法假设我们要判断一个自然数x是否为素数。
我们首先可以取一个小于等于√x的自然数k，如果x能够被k整除，那么它就不是素数。
如果x 不能被k整除，我们就在k和x/k之间寻找一个自然数p，使得p是k 和x/k中的最大公约数。
如果p等于1，那么x就是个素数；否则，x 就不是素数。
五、辗转相除法实现代码实现辗转相除法可以使用递归方法，代码如下所示：```pythondef euclid_algorithm(a, b):if a % b == 0:return belse:return euclid_algorithm(b, a % b)```六、总结辗转相除法是一种高效的求解素数的方法，其原理是用于求两个正整数最大公约数的欧几里得算法。
通过寻找两个数之间的最大公约数，判断一个数是否为素数。
学习这种求解素数的方法，不仅可以加深我们对数学知识的认识，同时也可以为我们日后的学习和工作提供帮助。
判断素数的算法流程图
判断素数的算法流程图素数，又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的数。
判断一个数是否为素数是数论中的一个重要问题，也是计算机科学中常见的算法问题。
本文将介绍判断素数的算法流程图，帮助读者更好地理解素数判断的过程。
首先，我们需要明确素数的定义，即除了1和自身外没有其他因数的数。
因此，判断一个数是否为素数，就是判断这个数能否被除了1和自身外的其他数整除。
为了简化问题，我们可以只考虑2到这个数的平方根之间的数，因为如果一个数可以被大于它的数整除，那么它一定也可以被小于它的数整除。
接下来，我们将介绍判断素数的算法流程图。
首先，我们需要输入一个待判断的数n，然后从2开始，依次判断n能否被2到sqrt(n)之间的数整除。
如果存在一个数能整除n，则n不是素数；如果所有的数都不能整除n，那么n是素数。
具体算法流程如下：1. 输入待判断的数n；2. 初始化变量i为2；3. 判断i是否小于等于sqrt(n)，如果是，则执行步骤4；如果不是，则执行步骤7；4. 判断n能否被i整除，如果能，则执行步骤6；如果不能，则执行步骤5；5. i加1，跳转到步骤3；6. 输出“n不是素数”，结束算法；7. 输出“n是素数”，结束算法。
通过以上算法流程图，我们可以清晰地看到判断素数的具体步骤。
首先，我们从2开始，依次判断n能否被2到sqrt(n)之间的数整除，如果存在能整除n的数，则n不是素数；如果所有的数都不能整除n，那么n是素数。
需要注意的是，为了提高算法的效率，我们可以在判断n能否被i整除时，将i的步长设为2，这样可以减少一半的判断次数。
另外，我们还可以对2进行特殊处理，因为2是素数中唯一的偶数素数，其他偶数均不是素数。
总之，判断素数是一个重要的数学和计算机科学问题，掌握判断素数的算法流程图对于理解素数的特性和算法设计具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解判断素数的算法流程，同时也希望读者能够在实际问题中灵活运用这一算法。
素数常见的算法
求素数的三种方法
素数的定义：
素数也叫质数。
一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其它自然数整除的数叫做素数；能被其它自然数整除的数叫做合数。
规定，1既不是质数也不是合数。
法一：试除法（判断素数）
让N被2如果N能被其中任何一个整数整除，则提前结束循环，N不是素数；如果N不能被其中任何一个整数整除，则N是素数。
代码实现：
法二：埃氏筛法（求一个范围中所有素数）
试除法可以用来判断一个数是否为素数，如果用来求某一范围内所有素数的话，效率就比较低。
埃氏筛法是用来解决这类问题的古老而简单高效的方法，可以快速找到[2,]n中的所有素数。
具体操作是这样的：从2开始寻找素数，每次找到一个素数后就将它的倍数全部筛掉，并将该素数存储到另一个数组中，不断循环，直到原数组为空。
法三：欧拉筛法（埃氏筛法的优化版）
埃氏筛法中，由于一个数可以既是一个素数的倍数，又是另一个素数的倍数，可以发现这会出现重复标记的情况，即同一个数被筛掉了不止一次，浪费操作了。
欧拉筛法就是在埃氏筛法的基础上多了判断的步骤，从而消失了这种重复标记的情况，核心思想是用合数中的一个因数筛掉这个合数。
具体操作为：利用已经求得的素数，第一重循环将区间内的数从小到大遍历，第二重循环将以求得的素数从小到大遍历，将这个数和素数的乘积标记为合数。
如果一个数能被素数整除，跳出循环。
费马小定理 素数判定 蒙哥马利算法
费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐）2009-11-07 12:42费马小定理素数判定蒙哥马利算法约定：x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x<y时，x%y=x，所有取模的运算对象都为整数。
x^y表示x的y次方。
乘方运算的优先级高于乘除和取模，加减的优先级最低。
见到x^y/z这样，就先算乘方，再算除法。
A/B，称为A除以B，也称为B除A。
若A%B=0，即称为A可以被B整除，也称B可以整除A。
A*B表示A乘以B或称A乘B，B乘A，B乘以A……都TMD的一样，靠！复习一下小学数学公因数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以整除A也可以整除B，那么C就是A和B的公因数。
公倍数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以被A整除也可以被B整除，那么C就是A和B的公倍数。
互质数：两个不同的自然数，它们只有一个公因数1，则称它们互质。
费马是法国数学家，又译“费尔马”，此人巨牛，他的简介请看下面。
不看不知道，一看吓一跳。
/BasicStudy/LearnColumn/Maths/shuxuejiashi/j12.htm费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到，原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：(N*(N^(P-1)-1))%P=0请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P因为M是整数，显然：(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1============================================积模分解公式先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z这个不用证了吧...设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：X=Z*I+A（1）Y=Z*J+B（2）不用多说了吧，这是除模运算的性质！将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。
素数的算法原理和应用
素数的算法原理和应用概述素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域具有重要的应用。
本文将介绍素数的算法原理以及在实际应用中的一些常见场景。
素数的判断算法判断一个数是否为素数是素数算法的基础。
常用的素数判定算法有两种：试除法和素数筛法。
试除法试除法是最简单直观的素数判定方法。
对于一个待判断的正整数n，只需从2开始遍历到sqrt(n)（即n的平方根）的整数m，检查是否有任何m能整除n。
若能找到能整除n的m，则n不是素数；否则，n是素数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，适用于判断大部分整数是否是素数。
然而，对于非常大的数，这种方法的效率较低。
素数筛法素数筛法通过筛选法来判断素数。
其中最常用的是埃拉托斯特尼筛法。
首先，生成一个长度为n+1的布尔类型数组，将其初始值都设为true。
然后从2开始遍历到sqrt(n)的整数m，在数组中将2的倍数、3的倍数、4的倍数…全部标记为false。
最后，数组中值为true的索引对应的数就是素数。
素数筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，虽然比试除法高效，但由于需要生成一个长度为n+1的数组，对于非常庞大的数，也存在一定的限制。
素数的应用素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的素数应用场景。
密码学中的应用素数在密码学中起到至关重要的作用，特别是在公钥密码学中。
其中一个常见的应用是RSA加密算法。
在RSA算法中，首先需要生成两个大素数p和q，然后计算它们的乘积n=p*q。
n被用作加密和解密过程中的模数，而p和q用于生成公钥和私钥。
素数的随机性应用素数的随机分布属性使其成为生成随机数的重要组成部分。
例如，质数的随机分布性质被广泛应用在随机数生成算法中，确保生成的随机数能够满足安全性和随机性的要求。
整数因子分解素数在整数因子分解中也有重要应用。
由于素数只能被1和自身整除，因此在将一个大数分解成其因子时，可以使用素数的概念来加快计算过程。
素数判定的递归算法
素数判定的递归算法素数判定是一个经典的数学问题，在计算机科学中也有着广泛的应用。
在解决这个问题时，可以使用递归算法来判断一个数是否为素数。
下面是一个使用递归算法进行素数判定的详细解释。
首先，什么是素数？素数又被称为质数，是指除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数。
比如2、3、5、7、11等都是素数。
要判断一个数n是否为素数，一种简单的方法是从2开始到√n进行遍历，判断是否存在能整除n的数。
如果存在，那么n就不是素数；如果不存在，则n是素数。
接下来，我们可以使用递归算法实现素数判定。
首先，我们编写一个辅助函数isDivisible(n, i)，用于判断n是否能被i整除。
该函数返回一个布尔值，即True表示能整除，False表示不能整除。
然后，我们编写一个递归函数isPrime(n, i)，用于判断n是否为素数。
该函数接收两个参数，n为待判定的数，i为当前的除数。
算法的基本思路是：- 如果n小于2，返回False，因为小于2的数都不是素数。
- 如果i大于√n，说明已经遍历完了所有可能的除数，返回True，即n是素数。
- 如果n能被i整除，返回False，即n不是素数。
- 如果n不能被i整除，递归调用isPrime函数，将i加1作为新的除数，继续判断。
最后，我们编写一个外部函数prime(n)，调用isPrime函数来判断n 是否为素数，并返回相应的结果。
该函数是递归算法的入口。
以下是使用Python编写的递归算法判断素数的实现代码：```pythonimport mathdef isDivisible(n, i):if i == 1:return Falseif n % i == 0:return Truereturn isDivisible(n, i-1)def isPrime(n, i=2):if n < 2:return Falseif i > math.sqrt(n):return Trueif isDivisible(n, i):return Falsereturn isPrime(n, i+1)def prime(n):if isPrime(n):print(n, "是素数")else:print(n, "不是素数")#测试prime(7) # 输出：7 是素数prime(12) # 输出：12 不是素数```在这个实现中，isDivisible函数用于判断一个数n是否能被i整除。
c语言递归求素数
c语言递归求素数在计算机编程中，递归是一种重要的编程技巧，它可以在函数体内调用自身来解决问题。
本文将为大家介绍如何使用C语言中的递归算法来判断一个数是否为素数。
什么是素数呢？素数又称质数，是指除了1和它本身之外没有其他约数的自然数。
比如2、3、5、7等都是素数。
判断一个数是否为素数通常有多种方法，其中一个比较简单和常用的方法就是试除法。
我们可以使用递归算法来实现试除法判断一个数是否为素数。
首先，我们需要一个辅助函数来判断一个数n是否能被另一个数i整除，如果能整除，则说明n不是素数；如果不能整除，则说明n可能是素数。
下面是一个示例代码：```cinclude <stdio.h>int isPrime(int n, int i) {if (i == 1) {return 1;}if (n % i == 0) {return 0;}return isPrime(n, i - 1);}int main() {int n;printf("请输入一个自然数："); scanf("%d", &n);if (isPrime(n, n - 1)) {printf("%d是素数\n", n); } else {printf("%d不是素数\n", n); }return 0;}```以上代码中，`isPrime`函数接收两个参数，分别是要判断的数n和当前的除数i。
函数首先判断是否已经试除到1，如果是则返回1，表示n是素数。
如果n能被i整除，则返回0，表示n不是素数。
否则，递归地调用`isPrime`函数，将i减1，继续试除。
在主函数中，我们首先接收一个自然数n，并调用`isPrime`函数进行判断。
如果返回值为1，则说明n是素数，否则不是素数。
通过这个简单的递归算法，我们可以判断一个数是否为素数。
当然，递归算法也有一些缺点，在处理大数时可能会导致栈溢出，所以在实际应用中，我们可能需要使用其他更高效的算法来判断素数。
高中数学关于素数的知识和算法
关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。
素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。
著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。
在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。
换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。
但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。
算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。
因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。
例如：素数的数目素数有无穷多个。
现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。
该证明方法如下：假设素数有限。
把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。
这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。
如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。
如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
c++判断素数的算法
c++判断素数的算法
在C++中，判断一个数是否为素数的算法有多种实现方式。
下
面我将从多个角度介绍几种常见的算法。
1. 埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛法）：
这是一种常见且简单的算法，用于判断一个数是否为素数。
基本思想是从2开始，将所有能被2整除的数标记为合数，然后再
从下一个未被标记的数开始，重复这个过程，直到遍历完所有小于
该数的数。
如果一个数没有被标记为合数，则它是素数。
2. 试除法：
试除法是最直观的判断素数的方法。
对于一个待判断的数n，从2开始，逐个尝试将n除以小于n的数，如果存在能整除n的数，则n不是素数；反之，如果没有能整除n的数，则n是素数。
3. 费马小定理：
费马小定理是一种基于数论的判断素数的方法。
根据费马小
定理，如果一个数n是素数，那么对于任意小于n的正整数a，a的n次方模n等于a本身。
这个定理可以用于快速判断一个数是否为素数，但在实际应用中需要注意一些特殊情况。
4. Miller-Rabin素性检验：
Miller-Rabin素性检验是一种概率性的算法，用于判断一个数是否为素数。
该算法基于费马小定理的扩展，通过多次随机选择的底数进行检验，能够在很高的概率下判断一个数是否为素数。
以上只是几种常见的判断素数的算法，每种算法都有其优缺点和适用范围。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法来判断一个数是否为素数。
埃拉托斯特尼筛法求素数
埃拉托斯特尼筛法求素数
埃拉托斯特尼筛法，又称埃氏筛法，是一种由古希腊数学家埃拉齐斯·埃拉托斯特尼发现
的求素数的方法，是素数筛选的一种算法。
埃拉托斯特尼筛法的原理非常简单，要求求出从2开始至某一数之间的全部素数：
首先，将2~N的各数列出来，把2留下，其余全部标记为可以被删去；
其次，将2这个数的倍数全部删去，3留下，其余全部标记为可以被删去；
再次，将3这个数的倍数全部删去，5留下，其余全部标记为可以被删去；
以此类推，将后面所有留下来的数的倍数全部删去，最后剩下来的就是不被其他数整除的数，也就是素数。
优点：埃拉托斯特尼筛法的实现比较容易，消耗的计算资源很少。
它的平均时间复杂度是
O(NloglogN)，主要分为把N内的数列出来，把N之内的素数筛选出来两个步骤，把N内
的数列出来
它只需要多次循环，每次把一个数的倍数筛除掉，就能求出一定范围范围内的所有素数，
因此一个与这个时间复杂度十分接近的算法就得到了，运行起来也分显迅速。
缺点：由于这种算法仅仅在某种领域有效，所以不适合多用于多种情况，而且它的时间复
杂度比较高，它要求算法的计算效率有较高的要求，较其他算法程序相比，埃拉托斯特尼
算法的计算时间比较长。
对于程序实现来说，埃拉托斯特尼筛法也需要考虑嵌套和循环方面的知识，并且计算复杂
度高，容易引起算法程序的运行变慢的问题。
总的来说，埃拉托斯特尼筛法是一种很简单的算法，但却有很高的效率，在数学上有着独
特的含义，能使素数筛选算法的计算效率大大的提升，可以说是一个重要的优化筛选算法。
判断素数的算法
判断素数的算法
一个正整数如果只能被1和它本身整除，那么它就是素数。
判断素数的算法有以下几种：
1.试除法：从2开始，依次判断该数能否被2、3、4、……、它本身-1整除，如果都不能整除，那么该数就是素数。
但是该算法效率不高，对于大数不太适用。
2.厄拉多塞筛法：首先将2到n的自然数列出来，然后把2的倍数筛掉（除2以外），把3的倍数筛掉（除3以外），把4的倍数筛掉（除4以外），以此类推，直到筛不出任何数为止。
剩下的所有数就都是素数了。
该算法效率较高。
3.米勒-拉宾素性检验（Miller-Rabin Primality Test）：该算法借助费马小定理，通过若干次随机检验判断一个数是否为素数，其效率为O(k log^3 n)，其中k 为检验次数。
该算法适用于大数的判断。
还有其他一些算法，比如Baillie-PSW素性检验、AKS测试等，但是这些算法涉及到高级数学知识，不太容易理解。
VB常用算法——素数
VB常考算法（三）素数：1、算法说明所谓素数是指只能被1和它本身整除的数。
1）判断某数是否为素数。
根据循环控制变量来判断。
算法说明：根据素数只能被1和它本身整除的性质，我们可以使用循环依次判断2到n-1（或者Sqr(n)）之间有没有被它整除的数，一旦有退出循环，退出循环后通过检验循环变量的值来判断是不是素数。
即，当循环正常退出，循环变量的值等于n时，该数是素数；当循环提前退出，循环变量的值小于等于n-1，该数不是素数。
程序代码如下：Private Sub Command1_Click()Dim n As Integer, i As Integern = Val(Text1.Text)If n < 1 ThenMsgBox "请正确输入数据"Elsen = Val(Text1.Text)For i = 2 To n - 1If n Mod i = 0 Then Exit ForNext iIf i = n ThenMsgBox n & "是素数"ElseMsgBox n & "不是素数"End IfEnd IfEnd Sub2）判断某数是否为素数。
根据标志位flg来判断。
Private Sub Command1_Click()Dim n As Integer, i As IntegerDim flg As Booleanflg = Truen = Val(Text1.Text)If n < 1 ThenMsgBox "请正确输入数据"Elsen = Val(Text1.Text)For i = 2 To n - 1If n Mod i = 0 Then flg = FalseNext iIf flg = True ThenMsgBox n & "是素数"ElseMsgBox n & "不是素数"End IfEnd IfEnd Sub3）使用函数过程。
质数算法
质数算法质素，又称素数，只能被1和自身整除。
判定一个数n是否为质数的简单方案：将n对i（2<=i<=n-1）逐一检查是否能整除。
优化（一）若i为n的因子，则n/i也必为n的因子，所以，若n没有<=n的因子，必定不会有>n的因子，所以i的范围可以缩小为(2<=i<=n)优化（二）若n为偶数，必不是质数，若n为奇数，其因子必不可能为偶数，所以i的范围可以再次缩小为(3<=i<=n；i=i+2;)优化后的判定质数的函数算法如下：int prime(int n){int i,k;if(n==1) return 0;if(n==2) return 1;if(n%2==0) return 0;k=(int)sqrt(n);for(i=3;i<=k;i=i+2)if(n%i==0) return 0;return 1;}若想判定一个区间[1,a]内有多少质数，用上述方法会超时，此时可选用筛选法例：求1到20中质数的个数将1删去，余下最小的数2为质数，将所有大于2的2的倍数删除以此类推，将整个表全部过一遍就完成了筛选。
剩余的必定全为质数#define N 10001bool isprime[N]; //布尔型，true为真，false为假int i,j;isprime[0]=isprime[1]=false;for(i=2;i<=N;i++)isprime[i]=true; //初始化原表for(i=2;i<=N;i++)if(isprime[i])for(j=i+i;j<=N;j=j+i)isprime[j]=false;若想判定区间[a,b]内（1<=a<b<=2.1*109,b-a<=1000000)，此时可用双重筛法，即在<=b的小范围内筛出质数k的同时，筛选[a,b]内>k的k倍数。
难点1：已知某质数k，[a,b]最小的大于k的k倍数为Max((a+k-1)/k,2)*k 难点2：[a,b]中的某数m，对应的big数组中的元素下标为m-a#define N 1000001bool small[50000],big[N];for(i=2;i<=sqrt(b);i++)small[i]=true;for(i=0;i<=b-a;i++)big[i]=true;for(i=2;i<=sqrt(b);i++)if(small[i]){for(j=i+i;j<=sqrt(b);j=j+i)small[j]=false;for(j=(Max(a+i-1)/i,2)*i;j<=b;j=j+i)big[j-a]=false;}。
高中数学关于素数的知识和算法
关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。
素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。
著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。
在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。
换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。
但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。
算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。
因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。
例如：素数的数目素数有无穷多个。
现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。
该证明方法如下：假设素数有限。
把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。
这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。
如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。
如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
素数判断算法
素数判断算法说起素数判断算法啊，我这一肚子的话可就得往外倒了。
你们知道吗，我以前一直觉得数学这东西吧，就像个冷冰冰的怪物，特别是那些算法，简直就像外星人的语言，看得我眼花缭乱。
但自从我自己动手尝试编写了一个素数判断算法后，嘿，我发现这数学里的乐趣还真不少呢！那天，我在家里闲得无聊，就打开了电脑，准备找点乐子。
突然，我灵光一闪，心想：不如自己编写一个素数判断算法吧！说干就干，我立马打开了编程软件，开始琢磨起来。
一开始，我信心满满，觉得不就是判断一个数是不是素数嘛，有啥难的？不就是看看它除了1和它本身以外，还有没有其他因数嘛。
于是，我很快就写出了第一个版本的算法：从2开始，一直除到要判断的那个数减1，看看有没有能整除的。
结果，我一运行，就傻眼了。
这算法也太慢了吧！我试着判断了一个稍微大点的数，结果电脑愣是卡了半天才给出结果。
我心里那个郁闷啊，就像吃了个苍蝇似的。
正当我准备放弃的时候，我突然想起以前数学老师说过的一句话：“数学里，最重要的是找到最优解。
”于是，我又开始琢磨起来。
这次，我决定优化一下算法。
我想啊，如果一个数n不是素数，那它必定有一个因数小于或等于它的平方根。
这样一来，我就不用一直除到n-1了，只需要除到sqrt(n)就行了。
嘿，这一改，效率立马就上去了！我兴奋得像个孩子似的，赶紧又试了一个大数。
这次，电脑很快就给出了结果。
我心里那个美啊，就像中了大奖一样。
不过，我并没有满足于此。
我又开始琢磨，看看能不能再优化一下。
这次，我想到了用埃拉托斯特尼筛法。
这个方法可厉害了，它能在很短的时间内找出一定范围内的所有素数。
我按照网上的教程，一步一步地实现了这个算法。
结果，效果出奇的好！我试着找出了10000以内的所有素数，结果电脑只用了几秒钟就完成了任务。
看着屏幕上那一串串的素数，我心里那个得意啊，就像自己打了个大胜仗似的。
那一刻，我突然觉得数学其实也挺有意思的。
它虽然有时候看起来很枯燥，但只要你肯钻研，总能发现其中的乐趣。
Miller-Rabin（素数测试算法）
Miller-Rabin（素数测试算法）【作⽤】⼀般素数判定⽅法有试除法和Miller-Rabin。
试除法枚举2-√n，时间复杂度为O（√n），⼀旦n特别⼤，就不适合⽤试除法进⾏判定。
这时候我们可以对其进⾏ Miller-Rabin 素数测试，可以⼤概率测出其是否为素数。
【两个基础理论】（1）：费马⼩定理：当p为质数时，有a p-1≡1(mod p).注意逆命题是假命题，⽐如卡迈克尔(Carmichael)数。
对于合数满⾜费马⼩定理的数叫伪素数，（2）：⼆次测探：如果p是⼀个素数，0<x<p,则⽅程x2≡1(mod p)的解为x = 1 或 x = p - 1.（1）对于⼀些常见的素数和⾮素数可以直接判断。
（2）设要测试的数为 x，我们取⼀个较⼩的质数 a，设 s,t，满⾜ 2s * t = x - 1（其中 t 是奇数）。
（3）我们先算出 a^t，然后不断地平⽅并且进⾏⼆次探测（进⾏ s 次）。
（4）最后我们根据费马⼩定律，如果最后不满⾜费马⼩定理，则说明 x 为合数。
（5）多次取不同的 a 进⾏ Miller-Rabin 素数测试，这样可以使正确性更⾼https:///forever_dreams/article/details/82314237https:///Antigonae/p/10226580.htmlint quickmul(int a , int b , int m){return ((a * b - (ll)(long double)(a/m*b) * m)+m)%m ;}int quickpow(int a , int b , int m){int ans = 1 ;while(b){if(b&1) ans = quickmul(ans , a , m) ;b >>= 1 ;a = quickmul(a , a , m);}return ans ;}bool Miller_Rabin(int n){if(n == 46856248255981ll || n < 2) return false;if(n == 2 || n == 3 || n == 7 || n == 61 || n == 24251) return true; if(!(n&1) || !(n%3) || !(n%61) || !(n%24251)) return false;int m = n - 1 , k = 0 ;while(!(m&1)) k++ , m>>=1 ;// 分解2^s * t = n - 1rep(i , 1 , 20){int a = rand() % (n - 1) + 1 , x = quickpow(a , m , n) , y;rep(j , 1 , k){y = quickmul(x , x , n);if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;//⼆次测探x = y ;}if(y != 1) return false;//费马⼩定理}return true;}void solve(){int x ;cin >> x ;if(Miller_Rabin(x)) cout << "Yes" << endl;else cout << "No" << endl;}。
数论基础1-统计素数c++
数论基础1-统计素数c++统计素数是数论中的一个重要问题，素数指的是只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。
在C++中，我们可以使用不同的算法来统计素数。
下面我会从几个不同的角度来讨论这个问题。
首先，最简单直接的方法是使用试除法。
我们可以写一个函数，接受一个整数n作为参数，然后从2到n-1逐个试除n，如果能被整除则n不是素数，否则n是素数。
我们可以用一个循环来遍历2到n-1，然后用取模运算来判断是否能整除。
这种方法虽然简单，但对于大数来说效率较低，因为需要遍历大量的数。
其次，更高效的方法是埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。
这是一种更加高效的算法，可以在O(n log log n)的时间复杂度内找出小于n的所有素数。
该算法的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为非素数，直到遍历完所有小于n的数。
这样剩下的没有被标记的数就是素数。
在C++中实现这个算法也比较简单，可以使用一个bool类型的数组来标记每个数是否为素数。
另外，Miller-Rabin素性测试是一个确定一个数是否为素数的概率性算法。
该算法的时间复杂度为O(k log^3 n)，其中k为测试次数。
虽然是概率性算法，但对于很大的数，通常情况下可以给出正确的结果。
最后，对于大数的素数测试，还可以使用更加复杂的算法，如AKS素数测试算法或者基于椭圆曲线的算法。
这些算法在C++中也有相应的实现。
综上所述，统计素数是一个涉及到数论和算法的重要问题，在C++中有多种方法可以实现。
根据具体的需求和数的大小，我们可以选择合适的算法来进行素数统计。
希望这些信息可以帮助你更好地理解在C++中如何进行素数统计。
c++ 10000以内素数算法
c++ 10000以内素数算法一、概述本算法是一种用于寻找10000以内素数的C语言程序。
素数是指只有两个正因数（1和它自身）的自然数。
寻找素数的方法通常包括筛选法和埃拉托斯特尼筛法等。
本算法采用筛选法，通过循环遍历每个数，判断是否为素数，最终输出所有素数。
二、算法实现1. 初始化一个数组用来存储已检查过的数（初始化为0），以及一个计数器记录当前正在检查的数。
2. 从2开始循环到10000，每次循环将计数器加1。
3. 如果当前数是素数（即除了1和它自身以外没有其他因数），则将该数添加到已检查过的数数组中，并继续检查下一个数。
4. 如果当前数不是素数，则跳过该数，继续检查下一个数。
5. 检查完所有数后，输出已检查过的数数组中所有不重复的数，即为10000以内的素数。
以下是C语言代码实现：```c#include <stdio.h>int main() {int i, j, flag;int primes[100] = {0}; // 存储已检查过的数的数组int count = 0; // 当前正在检查的数的计数器for (i = 2; i <= 10000; i++) {count++; // 初始化计数器为1flag = 1; // 假设当前数为素数for (j = 2; j < count; j++) {if (i % j == 0) { // 如果存在除1和自身以外的因数，则不是素数flag = 0; // 不是素数，将标记设为0break;}}if (flag) { // 如果最后标记为1，说明是素数primes[count-1] = i; // 将素数添加到数组中}}printf("Prime numbers between 1 and 10000 are: ");for (i = 0; i < count; i++) {printf("%d ", primes[i]);}return 0;}```三、算法评估与优化本算法采用循环遍历的方式查找素数，时间复杂度为O(n^2)，在输入规模较小时表现较好。
数学知识
6
计算a和b的最大公约数gcd(a,b)
• 根据欧几里德定理
b gcd( a, b) gcd(b,a b) mod ( a 0) 否则
7
〔证明〕
• 关键是证明gcd(a，b)与gcd(b，a mod b)可互 相整除。设ｄ＝gcd(a，b)，将a mod b 化成a 与b的线性组合 a mod b＝a－a div b*b。由 于d能整除a和b，因此d一定能整除a与b的线性 组合，即d能整除(a mod b)。又因为ｄ能整除 b和(a mod b)，显然d能整数gcd(b，a mod b)。 同理可证gcd(b，a mod b)能整除gcd(a，b)。 由于gcd(a，b)与gcd(b，a mod b)可互相整除， 蕴涵着gcd(a，b)＝gcd(b，a mod b)，因此欧 几里得公式成立。
4
（4）因子和 例题：亲和数 ( Amicable Number ) 问题描述： 某一天，tenshi看了一本趣味数学书，上面提到了亲和数： 定义数对 (x,y) 为亲和数对当且仅仅当x、y为不同正整数，且x、y 各自的所有非自身正因子之和等于另一个数。例如 (220,284) 和 (280,224) 都是亲和数对，因为： 220的所有非自身正因子之和为： 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 284的所有非自身正因子之和为：1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 数对 (x,y ) 跟 (y,x) 被认为是同一数对，所以我们只考虑 x<y 的情况。 任 务 ：tenshi对某个范围内的亲和数对的数量非常感兴趣，所 以希望你能帮她编写一个程序计算给定范围内的亲和数对的数量。 给定一个范围A到B，如果A≤ x ≤ B，则我们称 (x,y)在范围[A,B]内。 输入格式： 一行，正整数A和B，其中1 ≤ A ≤ B ≤ 108 且 B-A ≤ 105 输出格式： 输出文件只有一行，就是[A,B]内亲和数对的数量 5
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int main() {
bool p[max]={ 0,0,1,1,0,1}; int prim[max]={0}; int j,k=2; memset(p,1,sizeof(p)); for(j=2;j<max;j++)
{ if(p[j]) for(k=j*j;k<max;k+=j) p[k]=0;
首先，介绍一下求 1~n 范围内的素数的筛选法： 素数筛选法，也称“埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法”，埃拉托色尼是古希腊著名的数
学家（膜拜一下）。素数筛选法操作如下，首先从 2 开始，将 2+k（k=1，2，3，……n-2） 都对 2 进行整除运算，若（2+k）能整出 2，说明这个数一定是合数，那就将它筛掉；然后
} k=0; for(j=2;j<max;j++)
if(p[j]) prim[k++]=j; for(j=0;j<k;j++) cout<<j<<" "<<prim[j]<<endl; return 0; }
对于素数问题，历史上有许多猜想和论证，部分如下： 最大公约数只有 1 和它本身的数叫做质数（素数）。 至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。 关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力： 1.高斯猜测，n 以内的素数个数大约与 n/ln(n)相当，或者说，当 n 很大时，两者数量 级相同。这就是著名的素数定理。 2.十七世纪费马猜测，2 的 2^n 次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数， 可惜当 n=5 时，2^32+1 就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。 3.18 世纪发现的最大素数是 2^31-1，19 世纪发现的最大素数是 2^127-1，20 世纪末人 类已知的最大素数是 2^859433-1，用十进制表示，这是一个 258715 位的数字。 4.孪生素数猜想：差为 2 的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是 1159142985 ×2^2304－1 和 1159142985×2^2304＋1。 5.歌德巴赫猜想：大于 2 的所有偶数均是两个素数的和，大于 5 的所有奇数均是三个素 数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为 1+1 问题。我国 数学家陈景润证明了 1+2，即所有大于 2 的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的 和。国际上称为陈氏定理。
于 n ；如果 n 为素数，那 n 的因子只有 1 和它本身（定义）。前一部分可以用
反证法证明，在这不再赘述。 接着，我们对这个算法进行优化： 在筛选的时候，我们发现，按照上面的流程，同一个素数数会被许多个素数进行判断， 而实际上，我们通过观察发现，2 的筛选是从 4 开始的，凡是大于 2 且为 2 的倍数的数字都 被筛选掉了，3 是从 9 开始筛选的，凡是剩下的大于 3 且为 3 的倍数的数字都被筛选掉了……
找下一个没有被筛选掉的数字开始，就是从 3 开始，剩下的数字对 3 进行整除运算，如果某 一个数能整除 3，则将其筛掉，接下来，按照这个模式一直筛选，直至 n 做除数。
用表格表示一下筛选过程(1~30)：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
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17
18
19ห้องสมุดไป่ตู้
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28
29
根据前面的数学知识可以了解到，如果用小于等于 n 的素数来判断 n 是否为素数即
可。在实际操作中，假设 a 为素数，那筛选时，直接从 a 2 开始，将 a 2 +a*i（i=0，1，2，3……）
筛选掉即可，直至 i+1 后恰好使 a 2 +a*i>=n 为止。就不需要判断某一个数是否会被素数整
出了。这样每个被筛选掉的数字只用了一次计算，而那些素数并没有经过整除判断。 最后，我们按照上面的思路将代码写出来。 看代码： #include<cstring> #include<iostream> #define max 10000 using namespace std;
判断素数
一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过 sqrt(n)--n 的开方,那么我们可 以用这个性质用最直观的方法 来求出小于等于 n 的所有的素数。
num = 0; for(i=2; i<=n; i++) { for(j=2; j<=sqrt(i); j++)
if( j%i==0 ) break; if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个 prime[]是 int 型，跟下 面讲的不同。 } 这就是最一般的求解 n 以内素数的算法。复杂度是 o(n*sqrt(n))。 但我不认为这是算法。 根据定义来进行判定，无法体现出算法的魅力！既然如此，喜欢算法那就用优美的算法 来解决这个问题。
30
1， 用 2 筛选（红色的就是被筛掉的数字）：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2， 用下一个没有被没有被筛选掉的数字筛选：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
（蓝色的就是此次筛选掉的数字） ……
…… ……
最终结果：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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26
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28
29
30
剩下的黑色的就是素数（1 除外）。
这个算法相比于用定义判断素数要快很多倍。 用数学来解释：
1， n（n>1）的因子，小于等于 n ；
2， 如果 n 为合数，那 n 的所有因子中一定存在素数因子，素数因子也满足小于等