素数判断算法

首先，介绍一下求 1~n 范围内的素数的筛选法： 素数筛选法，也称“埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法”，埃拉托色尼是古希腊著名的数
学家（膜拜一下）。素数筛选法操作如下，首先从 2 开始，将 2+k（k=1，2，3，……n-2） 都对 2 进行整除运算，若（2+k）能整出 2，说明这个数一定是合数，那就将它筛掉；然后
根据前面的数学知识可以了解到，如果用小于等于 n 的素数来判断 n 是否为素数即
可。在实际操作中，假设 a 为素数，那筛选时，直接从 a 2 开始，将 a 2 +a*i（i=0，1，2，3……）
筛选掉即可，直至 i+1 后恰好使 a 2 +a*i>=n 为止。就不需要判断某一个数是否会被素数整
出了。这样每个被筛选掉的数字只用了一次计算，而那些素数并没有经过整除判断。 最后，我们按照上面的思路将代码写出来。 看代码： #include<cstring> #include<iostream> #define max 10000 using namespace std;
判断素数
一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过 sqrt(n)--n 的开方,那么我们可 以用这个性质用最直观的方法 来求出小于等于 n 的所有的素数。
num = 0; for(i=2; i<=n; i++) { for(j=2; j<=sqrt(i); j++)
if( j%i==0 ) break; if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个 prime[]是 int 型，跟下 面讲的不同。 } 这就是最一般的求解 n 以内素数的算法。复杂度是 o(n*sqrt(n))。 但我不认为这是算法。 根据定义来进行判定，无法体现出算法的魅力！既然如此，喜欢算法那就用优美的算法 来解决这个问题。
} k=0; for(j=2;j<max;j++)
if(p[j]) prim[k++]=j; for(j=0;j<k;j++) cout<<j<<" "<<prim[j]<<endl; return 0; }
对于素数问题，历史上有许多猜想和论证，部分如下： 最大公约数只有 1 和它本身的数叫做质数（素数）。 至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。 关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力： 1.高斯猜测，n 以内的素数个数大约与 n/ln(n)相当，或者说，当 n 很大时，两者数量 级相同。这就是著名的素数定理。 2.十七世纪费马猜测，2 的 2^n 次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数， 可惜当 n=5 时，2^32+1 就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。 3.18 世纪发现的最大素数是 2^31-1，19 世纪发现的最大素数是 2^127-1，20 世纪末人 类已知的最大素数是 2^859433-1，用十进制表示，这是一个 258715 位的数字。 4.孪生素数猜想：差为 2 的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是 1159142985 ×2^2304－1 和 1159142985×2^2304＋1。 5.歌德巴赫猜想：大于 2 的所有偶数均是两个素数的和，大于 5 的所有奇数均是三个素 数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为 1+1 问题。我国 数学家陈景润证明了 1+2，即所有大于 2 的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的 和。国际上称为陈氏定理。
于 n ；如果 n 为素数，那 n 的因子只有 1 和它本身（定义）。前一部分可以用
反证法证明，在这不再赘述。 接着，我们对这个算法进行优化： 在筛选的时候，我们发现，按照上面的流程，同一个素数数会被许多个素数进行判断， 而实际上，我们通过观察发现，2 的筛选是从 4 开始的，凡是大于 2 且为 2 的倍数的数字都 被筛选掉了，3 是从 9 开始筛选的，凡是剩下的大于 3 且为 3 的倍数的数字都被筛选掉了……
…… ……
最终结果：
1
2
3
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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剩下的黑色的就是素数（1 除外）。
这个算法相比于用定义判断素数要快很多倍。 用数学来解释：
1， n（n>1）的因子，小于等于 n ；
2， 如果 n 为合数，那 n 的所有因子中一定存在素数因子，素数因子也满足小于等
int main() {
bool p[max]={ 0,0,1,1,0,1}; int prim[max]={0}; int j,k=2; memset(p,1,sizeof(p)); for(j=2;j<max;j++)
{ if(p[j]) for(k=j*j;k<max;k+=j) p[k]=0;
找下一个没有被筛选掉的数字开始，就是从 3 开始，剩下的数字对 3 进行整除运算，如果某 一个数能整除 3，则将其筛掉，接下来，按照这个模式一直筛选，直至 n 做除数。
用表格表示一下筛选过程(1~30)：
1
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1， 用 2 筛选（红色的就是被筛掉的数字）：
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2， 用下一个没有被没有被筛选掉的数字筛选：
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（蓝色的就是此次筛选掉的数字） ……