数学模型应用问题(三)(含答案)
数学建模答案 (3)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答：为了某种特定的目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构成的原型替代物。
如地图。
苯分子图等。
2．数学模型答：由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
3．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。
形象模型：直观模型，物理模型，分子模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。
2．数学建模的基本步骤(1) 建模准备：确立建模课题的过程；(2) 建模假设：根据建模的目的将原型进行抽象，简化.有目的性的原则。
简明性原则，真实性原则和全面性原则。
(3) 构造模型：在模型假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻画实际问题的数学模型；(4) 模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；(5) 模型分析：根据建模的目的的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等；(6) 模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；(7) 数学应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析，研究和解决实际问题，充分发挥建模在生产和科研中的特殊作用。
3．数学模型的作用数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为简，化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。
正应为如此，数学建模在科学发展，科学预见，科学预测，科学管理，科学决策，驾控市场乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。
2020年九年级数学中考复习专题专题：函数模型的应用(含答案)
专题：函数模型的应用1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－310x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．(Ⅰ)根据题意填表：(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；(Ⅲ)根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．8.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？9.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x 之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．参考答案1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100； (2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，b ＝6，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－15x ＋6；(2)甲：当h ＝0时，得x ＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，根据题意得[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，∴x＝1000，∴(1＋50%)x＝1500元，∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．根据题意得w＝(38＋y20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝－0.1(y－60)2＋19360，当y＝60时，w有最大值19360.∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.∵－5 <0，∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；(3)根据题意得－5x＋150≥40，解得x≤22.∵w＝－5(x－23)2＋245.∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．答：商家每天销售利润的最大值是240元．5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得3120 x＝4200 x＋9，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x＋9＝26＋9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；②∵a＝－2<0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b2a＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x＋50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040.∴15＋50＝65.答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．6.解：(Ⅰ)180，900，210，850；【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），5x ＋100（x ＞50）.(Ⅲ)①100；②乙；③甲．【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500， ∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，∴y 的值随着x 的增加而减小，∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)；(2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，5k ＋b ＝5000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝7500，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500； (2)设销售收入为W ，根据题意得 W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)，整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元， 此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200； ②40，70，1800；(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m2，∵m ＞0，∴对称轴x ＝140＋m2＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。
初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。
数学建模-指数函数模型的应用(含答案解析)
数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式； （2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。
《数学模型》参考答案
《 数学模型 》试卷参考答案一、填空题（4分/题×10题=40分）1~5：A C D D C 6~10：B D C A D二、填空题（2分/空×10空=20分）1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=+。
2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)1(2+=i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为=)(T C 221rT c T c +，当=T rc c 212时，)(T C 最小。
4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。
5、一阶自治微分方程()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。
8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个钩子的概率为 (1)kk n k n C p p -- 。
三、问答题（40分）1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。
(10’)答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。
（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’) 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 4分 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) 解：令0,1,ij i j x i ⎧=⎨⎩指派第人完成第项工作不指折派第项工作目标函数：111231421222431323334414244min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++++约束条件：1121314112223242132333431424344411..11x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
五年级下册数学教案-3.1 列方程解应用题(三)-盈亏问题 ▏沪教版
五年级下册数学教案-3.1 列方程解应用题（三）-盈亏问题▏沪教版教学内容本节课将引导学生运用列方程的方法解决盈亏问题。
盈亏问题是一类经典的应用题，它通常涉及两个或多个数量的增减，通过设定未知数，列出方程，进而求解。
教学内容包括理解盈亏问题的概念，掌握列方程解盈亏问题的步骤，并能够灵活运用到实际情境中。
教学目标1. 让学生理解盈亏问题的基本概念和实际背景。
2. 培养学生通过设定未知数、列出方程解决盈亏问题的能力。
3. 引导学生将数学知识与生活实际相结合，增强数学应用意识。
教学难点教学难点在于如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，即如何将盈亏问题转化为方程，以及如何求解这些方程。
此外，如何让学生理解方程解的物理意义，并将其应用于实际问题，也是教学中的一个挑战。
教具学具准备- 教学课件或黑板，用于展示问题和方程的列写。
- 纸和笔，供学生做笔记和练习。
- 盈亏问题的实际案例，如商品买卖、水量调配等。
教学过程1. 导入：通过一个简单的盈亏问题实例引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2. 问题分析：与学生一起分析盈亏问题的特点，讨论如何将其转化为数学方程。
3. 方程列写：指导学生如何设定未知数，并列出相应的方程。
4. 方程求解：教授学生解方程的方法，并让他们尝试自己解决一些简单的盈亏问题。
5. 案例练习：提供一些实际的盈亏问题案例，让学生独立或分组解决。
6. 讨论与总结：全班讨论解决问题的方法，总结解决盈亏问题的步骤和策略。
7. 反馈与评价：对学生的理解和应用能力进行评价，并提供反馈。
板书设计板书设计将包括以下内容：- 盈亏问题的定义和例子。
- 列方程解决盈亏问题的步骤。
- 重要的公式和方程。
- 学生练习题的示例。
作业设计作业将包括几个不同难度的盈亏问题，要求学生独立完成。
这些问题将覆盖课堂教授的内容，并鼓励学生将所学应用到新的情境中。
课后反思课后反思将关注学生在解决盈亏问题时的常见错误和难点，以及如何改进教学方法以提高学生的理解和应用能力。
数学建模中的二种模型与真题训练(解析版)
数学建模中的二种模型与真题训练所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。
笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。
一、直接给出模型二、猜测建立模型 三、实际推导模型我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。
”因此，每一位数学教师都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的教学资源，让学生在做数学、体验数学的实践活动中，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣，并增强学习数学的自信心。
题型一：建立方程模型解决实际问题一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•江北区校级月考）在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能【分析】根据三角形的内角和可求解△ABC 的一内角为90°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：设这个三角形为△ABC ，且∠A ＝∠B ﹣∠C ，则∠A +∠C ＝∠B ，∵∠A +∠C +∠B ＝180°，∴∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，故选：A ．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．2．（2022春•合肥期末）在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用7000元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用8000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的1.2倍，且购进的数量比第一次少200个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为x 个，则根据题意可列方程为（ ）A ．＝× 1.2B ．×1.2＝技巧方法 题型归纳C．×1.2＝D．×1.2＝【分析】第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，由题意得．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二．填空题（共5小题）3．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有2米（影子完全落在地面）．（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是+1．【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到CE与AD的长度比即可．【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，∴四边形CESK是平行四边形，∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．故答案为：2．（2）连结FH，设DE＝a，CD＝b，由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，∴FH⊥GB，又∵MK⊥GB，∴MK∥FH，∴△MOK∽△FOH．∵FK＝MH，∴OH＝OF，∴∠OFH＝∠OHF，又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，∴∠GFO+∠OHF＝90°，又∵∠FGO+∠OHF＝90°，∴∠GFO＝∠FGO，即OG＝OF，∴OH＝OF＝OG，∴∠FGH＝45°，∴GH＝GF．即：b＝a，∴＝＝＝+1，∴CE：AD＝+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4．（2022春•南海区校级月考）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC＝，则AC2+BC2的值是19．【分析】由三角形的面积公式求得AC•BC＝3；结合完全平方公式的变形公式得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC，代入求值即可．【解答】解：∵S△ABC＝，AC•BC＝S△ABC，∴AC•BC＝，∴AC•BC＝3．∴AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC＝52﹣2×3＝19．故答案为：19．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时，利用了完全平方公式的转化公式，巧妙的得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC．5．（2022•龙岗区模拟）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，则DE的长为7m．【分析】利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．【解答】解：∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝4.2m，∴＝，则＝，解得DE＝7，即DE的长为7m．故答案是：7m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的性质，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．（2022秋•北碚区校级期中）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b 元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元．【分析】由题意可得a（50+b+c）＝3800，再由a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，求出b+c＝140，a＝20，则满足条件的有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，分别列出方程求解讨论即可．【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了1200+1200+1400＝3800（元），即a（50+b+c）＝3800，∵a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，∴185＝50+67+68≤50+b+c≤50+72+73＝195，∴50+b+c＝190，a＝20，即b+c＝140，a＝20，∴有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，①，整理得23x+6y＝520，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；②，整理得11x+2y＝240，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；③，整理得21x+2y＝440，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；④，整理得3x+y＝70，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴或或或，∴当x＝19，y＝13时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，故答案为：1350．【点评】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．7．（2022春•沙坪坝区校级期中）“如果华佗再世，崇洋都被医治，外邦来学汉字，激发我民族意识…”最近，刘畊宏的键身操刷爆全网，掀起了一股全民健身热潮，《本草纲目》健身操让众多网友直呼酸爽．最出圈的《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量之比为4：3：6，三首曲目时长之比为3：2：2．走红以后，根据众多网友的反馈，刘教练对健身操的动作与曲目时长都进行了重新编排．重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量比之前降低了，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为之前的《公公偏头疼》和《本草纲目》的卡路里每分钟消耗量总和，《龙拳》的卡路里总消耗量减少，《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量与《龙拳》减少的卡路里消耗量之比为2：3，《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，且占三首曲目卡路里消耗总量的10%，则重44：89．【分析】设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，根据题意，分别求出《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），再根据题意建立方程，求解方程即可．【解答】解：设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，∴总消耗的热量为4k•3t+3k•2t+6k•2t＝30kt，则重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量为3k•（1﹣）＝2k，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为6k•＝8k，设重新编排后，《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目三首曲目时长分别为a、b、c，∴《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，∴《龙拳》减少的卡路里的消耗量为3k•2t﹣2kb＝6kt﹣2kb，∵《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量与《龙拳》减少的卡路里的消耗量之比为2：3，∴《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量为（6kt﹣2bk）＝k（3t﹣2b），∵《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，∴《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），∴重新编排后三首曲目卡路里消耗总量为3k•2t﹣（6kt﹣2kb）+4k•3t+k（3t﹣2b）+6k•2t+k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b），∴k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b）×10%，∴t＝b，∴8kc﹣12kt＝k（3t﹣2b），解得b：c＝44：89，故答案为：44：89．【点评】本题考查了方程的实际应用，能够根据题意建立方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（202214倍，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个内角的度数都等于144°，求这个多边形的边数．【分析】由多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，（n﹣2）×180°＝4×360°，∴n＝10，答：这个多边形的边数是10．（2）∵这个多边形的每一个内角的度数都等于144°，∴这个多边形的每一个外角的度数都等于180°﹣144°＝36°，∴这个多边形的边数为：360°÷36°＝10．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．9．（2023春•潜江月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是20肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高16肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是30肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【解答】解：通过建模把距离转化为线段的长度．由题意得：AB＝20，DC＝16，BC＝30，设BE为x肘尺，EC为（30﹣x）肘尺，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2＝AB2+BE2＝202+x2，DE2＝DC2+EC2＝162+（30﹣x）2，又∵AE＝DE，∴202+x2＝162+（30﹣x）2，∴x＝12.6，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根12.6肘尺．【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．10．（2022春•锦江区期末）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．①用含a的式子表示b；②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．【分析】（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；（2）①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．【解答】解：（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，由题意得，，解得x＝150，经检验x＝150是原分式方程的根并符合实际意义，所以2x＝2×150＝300，答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．（2）①根据题意可知：300a+150b＝7500，整理得：b＝50﹣2a；②设销售利润为w元，则w＝（380﹣300）a+（180﹣150）b＝80a+30（50﹣2a）＝20a+1500，w是关于a的一次函数，a＞0，所以w随着a的增大而增大，∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，∴，解得10，a为正整数，所以当a＝16时利润最大，最大利润w＝20×16+1500＝1820，所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．11．（2022秋•宜兴市期末）好学的丽丽用所学知识测量路灯的高度．如图，丽丽和爸爸站在路灯AD下，爸爸的身高EF＝1.8m，丽丽的身高MN＝1.6m．爸爸的影子BF＝3m，丽丽的影子CN＝2m，两人相距FN＝16m，求路灯AD的高度．【分析】根据相似三角形△EBF∽△ABD的对应边成比例可得答案．【解答】解：∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD．∴．∴＝．∴．同理：，∴，∴．∴．∴AD＝7.2m．答：路灯AD的高度为7.2m．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．12．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED＝60°．（1）求证：∠ABE+∠EDC＝60°；（2）如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1﹣∠2＝16°，求∠ADC的度数；【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的外角的性质解答即可；（2）①设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；②利用①中的方法，设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的x的系数为0即可求得结论．【解答】（1）证明：∵l1∥l2，∴∠ABE＝∠ECD．∵∠BED＝∠ECD+∠EDC，∠BED＝60°，∴∠ABE+∠EDC＝60°；（2）解：①∵∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，∴设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．∴3x+3y＝60°，∴x+y＝20°．∵∠1+∠FBE＝∠BED＝60°，∠2+∠EDG＝∠BED＝60°，∴∠1+∠FBE＝∠2+∠EDG，∴∠1﹣∠2＝∠EDG﹣∠FBE，∵∠1﹣∠2＝16°，∴2y﹣x＝16°．∴，解得：．∴∠ADC＝3y＝36°．设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．由①知：x+y＝20，∴y＝20﹣x，∵∠1＝∠BED﹣∠FBE＝60﹣x，∠2＝∠BED﹣∠EDG＝60﹣2y，∴k∠1+∠2＝k（60﹣x）+60﹣2y＝60k﹣kx+60﹣2（20﹣x）＝（2﹣k）x+60k+20，∵k∠1+∠2为定值，∴2﹣k＝0，∴k＝2，∴此时k∠1+∠2＝60×2+20＝140°，∴当k＝2时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为140°．故答案为：2；140°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．题型二：建立函数模型解决实际问题一．选择题（共4小题）1．（2023度）不同而有不同的数值，某次实验测得音速y（米/秒）与气温x（℃）的部分数据如表：气温x（℃）05101520…音速y（米/秒）331334337340343…下列说法不正确的是（）A．气温是因变量，音速是自变量B．y随x的增大而增大C．当气温是25℃时，音速是346米/秒D．气温每升高5℃，音速增加3米/秒【分析】结合表格信息运用函数的概念进行求解．【解答】解：由题意得，气温是自变量，音速是因变量；而y随x的增大而增大，气温每升高5℃，音速增加3米/秒，故当气温是25℃时，音速是346米/秒，故选：A．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．2．（2022秋•亳州期中）已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50）B．y＝50﹣x（0≤x≤50）C．y＝25﹣x（0＜x＜25）D．y＝25﹣x（0≤x≤25）【分析】根据长方形周长的计算方法进行列式、求解．【解答】解：由题意得2（x+y）＝50，解得y＝25﹣x（0＜x＜25），故选：C．【点评】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能正确理解问题间数量关系进行求解．3．（2022•涧西区一模）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（）A．B．C．5D．【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．【解答】解：从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为×2π×r＝，∴点P的运动速度是÷2＝（cm/s），当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，此时点P走过的弧长为：×2π×r＝，∴m＝÷＝，故选：D．【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图3），当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是（）A．120B．121C．122D．123【分析】设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，当x＝3时，y ＝7，所以y与x满足了二次函数，然后进行计算即可．【解答】解：设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，由题意得：y＝ax2+bx+c，则，解得：，y＝x2+x+1，∴当x＝15时，代入y＝x2+x+1得，y＝121，故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据数据判断它们满足的是什么函数是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2021春•北镇市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点M，N从A点出发，点M沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设AM＝AN＝xcm，阴影部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为y＝﹣x2+48．【分析】因为空白部分面积可表示为x2，长方形ABCD的面积为8×6，则可表示出该函数解析式为y＝﹣x2+48．【解答】解：由题意得，该阴影部分的面积为6×8﹣x2＝﹣x2+48，故答案为：y＝﹣x2+48．【点评】此题考查了根据实际问题写出相关函数表达式的能力，关键是能准确理解题目间的数量关系．6．（2021春•普宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为9．【分析】连接BF，依据等边三角形的性质，即可得到点F在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，最后根据CB的长即可得到CF的长．【解答】解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6 ，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝6 ×＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．连接BF，得到点F在∠DBE的角平分线上运动是解决问题的关键．7．（2022秋•青羊区期末）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝．【分析】方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MH＝AE＝2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG＝AP＝x，推出NG＝PG﹣PN＝x﹣2，运用勾股定理可得MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P（0，t），运用中点坐标公式可得M（﹣2，），利用待定系数法求得直线AG的解析式为y＝x+4，进而可得G（t﹣4，t），再运用两点间距离公式即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴AB＝CD＝8，AD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∵PG∥AB，∴PG∥CD，∴∠APG＝∠D＝90°，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB＝2AD＝8，∴AE＝AD＝DF＝4，∵点M是PE中点，点H是AP的中点，∴MH∥AB，MH＝AE＝2，∴∠PHM＝∠BAD＝90°，∵MN⊥PG，∴∠MNP＝∠MNG＝90°＝∠PHM＝∠APG，∴四边形MNPH是矩形，∴PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，∵AD＝DF，∠D＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠AFD＝45°，∵PG∥CD，∴∠AGP＝∠AFD＝45°，∵∠APG＝90°，∴△APG是等腰直角三角形，∴PG＝AP＝x，∴NG＝PG﹣PN＝x﹣2，在Rt△MNG中，MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，∵＞0，∴当x＝时，MG2取得最小值，∵MG＝＝＝，∴MG的最小值为，故答案为：．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴A（0，4），B（﹣8，4），C（﹣8，0），D（0，0），∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴E（﹣4，4），F（﹣4，0），设P（0，t），∵点M是PE中点，∴M（﹣2，），设直线AG的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AG的解析式为y＝x+4，∵PG∥x轴交AF于G，∴G（t﹣4，t），∴MG2＝[（t﹣4）﹣（﹣2）]2+（t﹣）2＝t2﹣6t+8＝（t﹣）2+，∵＞0，∴MG2有最小值，∵MG＞0，∴MG的最小值为＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的最值等知识，解题关键是运用函数思想解决几何问题．三．解答题（共7小题）8．（2022春•顺德区校级期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：123456…通话时间t（分钟）0.150.300.450.60.750.9…电话费y（元）（1）自变量是t，因变量是y．（2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式．（3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？（4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？【分析】（1）根据函数的定义即可确定自变量与因变量；（2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果；（3）将t＝15代入该函数解析式进行求解即可；（4）将y＝6代入该函数解析式进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，自变量是t，因变量是y，故答案为：t，y；（2）由题意可得，每通话10.15元，∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是y＝0.15t；（3）当t＝15时，得y＝0.15×15＝2.25，故小明通话15分钟，则需付话费2.25元；（4）当y＝6时，得0.15t＝6，解得t＝40，故小明通话40分钟．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算．9．（2022春•云岩区期中）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为y＝0.785x；（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg；当耗电量从1kW⋅h增加到100kW•h时，二氧化碳排放从0.785kg增加到78.5kg；（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．【分析】（1）根据家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可得此题结果；（2）由家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可解得此题结果；（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．【解答】解：（1）由题意可得y＝0.785x，故答案为：y＝0.785x；（2）∵家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785，∴耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg，当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg，当耗电量100kW⋅h时二氧化碳排放量为78.5kg，故答案为：0.785kg，78.5kg；（3）110×0.785＝86.35（kg），0.19×20＝3.8（kg），0.91×5＝4.55（kg），2.7×75＝202.5（kg），答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．10．（2023春•中原区期中）已知梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，梯形的面积记为y．（1）求梯形的面积y与上底长x之间的关系式；（2）请将下面的表格补充完整，并说明当x每增加1时，y如何变化；底长x…23456…面积y…6872768084…（3）当x＝0时，y的值表示的含义是什么？【分析】（1）结合题意，运用梯形面积公式进行列式、化简；（2）分别将对应x的值代入（1）题所求函数解析式进行求解；（3）当x＝0时该梯形就变成了一个三角形，y的值表示的含义是就是该三角形的面积．【解答】解：（1）由题意得，y＝×（x+15）×8，化简得y＝4x+60，∴该梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y＝4x+60；（2）当x＝3时，y＝4×3+60＝12+60＝72；当x＝6时，y＝4×6+60＝24+60＝84，故答案为：84；（3）当x＝0时，该图形就变成了一个三角形，∴y的值表示的含义是就是一个底为15，高是8的三角形的面积．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题意，正确地列式、计算．11．（2022春•碑林区校级期中）大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张8元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款，两种方案只能选择其中一种，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别求出两种优惠方案中y与x的关系式；（2）若听音乐会的学生人数为12人，请通过计算确定选择哪种方案更优惠．【分析】（1）根据两种消费方式分别列出对应的函数解析式；（2）将x＝12分别代入两个函数解析式进行计算比较．【解答】解：（1）由题意得，方案1中y与x的关系式为：y＝20×4+8×（x﹣4），。
2020年中考数学专题复习：函数模型的应用(含答案)
2020年中考数学专题复习：函数模型的应用1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－310x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．(Ⅰ)根据题意填表：(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；(Ⅲ)根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．8. 某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x 元．每个月的销售为y 件．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？9. 某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x (x 为正整数)个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：售价x (元/件) 50 60 80 周销售量y (件) 100 80 40 周销售利润w (元)100016001600(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．参考答案1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100；(4分) (2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．(7分)2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，b ＝6，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－15x ＋6；(2)甲：当h＝0时，得x＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，根据题意得[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，∴x＝1000，∴(1＋50%)x＝1500元，∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．根据题意得w＝(38＋y20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝－0.1(y－60)2＋19360，当y＝60时，w有最大值19360.∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．(8分)4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；(2分)(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，(4分)∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.∵－5 <0，∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；(6分)(3)根据题意得－5x＋150≥40，解得x≤22.∵w＝－5(x－23)2＋245.∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．答：商家每天销售利润的最大值是240元．(10分)5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得3120 x＝4200 x＋9，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x＋9＝26＋9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(4分) (2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；(7分)②∵a＝－2<0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b2a＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x＋50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x ＝15时，y 最大＝2040. ∴15＋50＝65.答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．(10分) 6. 解：(Ⅰ)180，900，210，850；【解法提示】甲批发店花费：当x ＝30时，花费为30×6＝180；当x ＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），5x ＋100（x ＞50）.(Ⅲ)①100；②乙；③甲．【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500，∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，∴y 的值随着x 的增加而减小，∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)； (2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，5k ＋b ＝5000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝7500，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500；(2)设销售收入为W ，根据题意得W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)， 整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元，此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200；②40，70，1800；(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m 2， ∵m ＞0，∴对称轴x ＝140＋m 2＞70， ∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。
数学建模课程及答案
《数学建模课程》练习题一一、填空题1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。
2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 。
3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。
4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C ο10； （3）冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .7、若银行的年利率是x %，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 km.. A9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = .10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 .二、分析判断题1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
部编数学九年级下册专项33相似三角形一线三等角模型综合应用(解析版)含答案
专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用1.如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。
2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型1：标准“K ”型图】【典例1】已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：＝；（2）若OP 与PA 的比为1：2，求边AB 的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD +∠OPC ＝90°，CB BC A A∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的边长为6．【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9【类型2：做辅助线构造“K”型图】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案为：；（2）证明：延长EA、NF交于点M，∵点F为AD的中点，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN•MD．【变式2-1】（2021春•永川区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 ．【解答】解：过点F作FN⊥BC，垂足为N，延长NF交AD于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝90°，AD∥BC，∴FM⊥AD，∴∠AMF＝∠FNE＝∠DMF＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，由折叠得：BE＝FE＝2，AB＝AF＝6，∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∵∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠FEN＝∠AFM，∴△ENF∽△FMA，∴＝＝＝，设EN＝x，则FM＝3x，∴AM＝BN＝BE+EN＝2+x，在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，∴（2+x）2+（3x）2＝36，∴x＝或x＝﹣2（舍去），∴AM＝2+x＝，FM＝3x＝，∴DM＝AD﹣AM＝，在Rt△DMF中，DF＝＝＝，故答案为：．【变式2-2】（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：BE＝FE，AF＝AB＝5，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝FE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2，即12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，即线段BE的长为；（2）如图2，过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H，则∠FGE＝90°，四边形ABGH是矩形，∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠AFH+∠EFG＝90°，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠EFG＝∠FAH，∴△EFG∽△FAH，∴＝＝，∴AH＝5FG，设FG＝x，则BG＝AH＝5x，∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1，在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12，解得：x＝或x＝0（不符合题意舍去），∴FG＝，即点F到BC边的距离为；（3）分三种情况：①∠CFE＝90°时，如图3，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴A、F、C三点共线，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ECF＝∠CAD，AC＝＝＝，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF＝﹣5，∴△CEF∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CE＝；②点F在CD上，∠ECF＝90°时，如图4，由（1）可知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣＝；③∠CEF＝90°时，如图5，由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2；④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，如图6，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD+DF＝5+4＝9，∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°，∴∠CEF＝∠DFA，∵∠ECF＝∠ADF＝90°，∴△CEF∽△DFA，∴＝＝＝3，∴CE＝3DF＝12；综上所述，若△CEF为直角三角形，则CE的值为或或2或12．【类型2：特殊“K”型图】【典例3】（2021秋•通许县期中）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED ＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．拓展：（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B．求证：AB•FE＝BE•DE．【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，∴，故答案为：；（2）解：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠EDC＝∠BAD，∵DA＝DE，在△ADB与△DEC中，，∴△ADB≌△DEC（AAS），∴EC＝BD，AB＝DC＝b，∴BD＝BC﹣DC＝a﹣b，即CE＝a﹣b；（3）解：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE+∠BEF＝∠BEF+∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC，作CG∥FE交DE于点G，如图：∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠EGC+∠DGC＝180°，∵∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDG，∴△DGC∽△DCE，∴，∴，∴DC•FE＝BE•DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB•FE＝•BE•DE．解法二：延长BC到M，使得DC＝DM．∵DC＝DM，∵DC∥AB，∴∠DCM＝∠B，∴∠B＝∠M，∵∠BFE＝∠DEM，∴△BFE∽△MED．∴＝，∵AB＝CD＝DM，∴AB•FE＝•BE•DE．【变式3-1】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．【变式3-2】（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：过点E作EF⊥BC于点F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC的延长线于点N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，设AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四边形ABCD的面积＝．1．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE ⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）A．4B．C．D．5【答案】B【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．2．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD 的长为 ．【答案】6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案为：6．3．（2022•杭州模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝ ．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．4．（2021•海州区校级二模）如图，△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，BC ＝4，∠EDF＝90°，＝，则DF长度的最小值是 ．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC，垂足为H，∵∠EDF＝90°，tan∠EFD＝＝，∴∠EFD＝60°，∴∠AFE+∠DFC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，AC＝BC＝4，∴∠AFE+∠AEF＝120°，∴∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△CFD，∴＝，∵∠EDF＝90°，∠EFD＝60°，∴cos∠EFD＝＝，∴＝2，∴设CD＝a，则AF＝2a，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2a，在Rt△CFH中，∠C＝60°，∴CH＝CF＝2﹣a，∴FH＝CH＝2﹣a，∴DH＝CD﹣CH＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2a﹣2）2+（2﹣a）2＝7a2﹣20a+16＝7（a﹣）2+，∴DF2的最小值为，∴DF的最小值为：．5.如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB．6.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得证．（2）解：当AE＝DE时，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．7．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵半⊙O与边AD相切于点E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：连接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的长为．8．（2022•钦州一模）已知下列各图中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N．求证：△ABM∽△BCN；【基本模型应用】如图2，点P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，，求tan C的值；【灵活运用】如图3，点D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，请直接写出tan∠BEC的值．【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°．∴∠BAM+∠ABM＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°．∴∠BAM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠CNB，∴△ABM∽△BCN．（2）解：如图2，过点P作PF⊥AP交AC于点F，过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，在Rt△AFP中，tan∠PAC＝＝＝，与（1）同理得，△ABP∽△PQF．∴＝＝＝．设AB＝a，PQ＝2a（a＞0），∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，∴PF＝CF，且FQ⊥BC．∴PQ＝CQ＝2a．∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，∴△ABP∽△CBA．∴＝．∴BP⋅BC＝AB2，即BP⋅（4a+BP）＝．∴BP＝a，BC＝5a，在Rt△ABC中，tan C＝＝．（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，∵∠DEB ＝90°，∴CH ∥AG ∥DE ．∴＝＝．与（1）同理得，△ABG ∽△BCH∴＝＝＝．设BG ＝4m ，CH ＝3m ，AG ＝4n ，BH ＝3n ，∵AB ＝AE ，AG ⊥BE ，∴EG ＝BG ＝4m ．∴GH ＝BG +BH ＝4m +3n ．∴＝．∴n ＝2m ．∴EH ＝EG +GH ＝4m +4m +3n ＝8m +3n ＝8m +6m ＝14m ．在Rt △CEH 中，tan ∠BEC ＝＝．9．（2021•坪山区一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）、B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点P ，使S △BCP ＝2S △BCO ，求点P 的坐标；（3）如图2，直线y ＝x +3交抛物线于第一象限的点M ，若N 是抛物线y ＝x 2+bx +c 上一点，且∠MAN ＝∠OCB ，求点N 的坐标．【解答】解：（1）将C （0，﹣3）代入到抛物线解析式中得，c ＝﹣3，将B （﹣3，0）代入到抛物线解析式中得，9﹣3b ﹣3＝0，∴b ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∴B （1，0），∴，∵S △BCP ＝2S △BCO ，∴S △BCP ＝3，如图1，过P 作PM ∥BC 交x 轴于M ，连接MC ，则S △MBC ＝S △BCP ＝3，∴，∴MB ＝2，∴M （﹣1，0），设直线BC 为y ＝k 1x ﹣3，代入点B （1，0）得，k 1＝3，∴直线BC 为：y ＝3x ﹣3，则直线PM 设为：y ＝3x +b ，代入点M （﹣1，0）得，b ＝3，∴直线PM 为：y ＝3x +3，联立，解得，，∴P（3，12）或（﹣2，﹣3）；（3）∵直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，∴联立，解得，，∴A（﹣3，0），M（2，5），在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A（﹣3，0），M（2，5），∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q（），设直线AQ为：y＝k2（x+3），代入点Q，得，∴直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，当x＝时，y＝，∴N（），②当N在AM上方时，同理可得，N（3，12），∴N（）或（3，12）．。
数学建模试题(带答案)大全
(14 分)
得分
四、(满分 10 分) 雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘
滞系数的量纲[ ]= L1MT 1 1，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0.其量纲表达式为
[ v ]=LM0T-1，
学分 5 4 4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟 3
7
计算机编程 2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
所属类别 数学 数学 数学；运筹学
数学；计算机 数学；运筹学
计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
微积分；线性代 数 计算机编程 微积分；线性代 数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代 数
由 U 0, U 0 可得到最优价格:
p1
p2
1
T
1
3T
p1 2b [a b(q0
)] 4
P2 2b [a b(q0 4 )]
前期销售量
T、（2 a
0
bp1
)dt
后期销售量
T
T /2 (a p2 )dt
总销售量
Q0
=
aT
bT 2
(
p1
p2 )
在销售量约束条件下 U 的最大值点为
~p1
a b
Q0 bT
T 8
,
P~2
a b
Q0 bT
T 8
7. (1)雨水淋遍全身， s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2
部编数学七年级下册专题03平行线四大模型与动态角度问题专题讲练(解析版)含答案
专题03 平行线四大模型与动态角度问题专题讲练平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB则AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.方法二（添角）:连接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB +∠APB +∠PCD =360°.变式1．（2021·河南·七年级期中）如图，直线12l l P ，130Ð=°，则23Ð+Ð=（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°【答案】C 【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【解析】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l Q 1430;35180°°\Ð=Ð=Ð+Ð=245Ð=Ð+ÐQ 2+3=4+5+3=30180210°°°\ÐÐÐÐÐ+= 故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.变式2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，已知直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．【答案】17°【分析】延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB ，交两平行线与C 、D ，∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，∴4285Ð+Ð=°，13125Ð+Ð=°，34180Ð+Ð=°，∴852*******°-Ð+°-Ð=°，∴1230Ð+Ð=°，又∵∠1比∠2大4°，∴2=14ÐÐ-°，∴2134Ð=°，∴117Ð=°；故答案是17°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB ∥CD ，∠PAB =130°，∠PCD =120°，求∠APC 的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC 的度数；（2）问题迁移：如图3，AD ∥BC ，点P 在A 、B 两点之间运动时， ADP a Ð=，BCP βÐ=．请你判断CPD Ð、a 、 β之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线AB ∥CD ，点P 在两平行线之间，且BEP Ð的平分线与 ∠DFP 的平分线相交于点Q ，求2P Q Ð+Ð的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD ＝α＋β，见解析；（3）360°.【解析】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴PE ∥AB ∥CD ．∴∠A ＋∠APE ＝180°，∠C ＋∠CPE ＝180°∵∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°，∴∠APE ＝50°，∠CPE ＝60°，∴∠APC ＝∠APE ＋∠CPE ＝110°．（2）∠CPD ＝α＋β，理由如下：过P 作PE ∥AD 交CD 于E ．∵AD ∥BC ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴∠DPE ＝α，∠CPE ＝β，∴∠CPD ＝∠DPE ＋∠CPE ＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P +∠BEP +∠DFP =360° 又∵QE 平分∠PEB ，QF 平分∠PFQ∴∠BEP =2∠BEQ ，∠DFP =2∠DFQ ∴∠P +2∠Q =∠P +2（∠BEQ +∠DFQ ）=∠P +∠BEP +∠DFP =360°.变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB ∥CD ，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B ，∠P ，∠D 之间的关系？小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题情境2：如图3，AB ∥CD ，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F （1）如图4，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；（2）如图5中，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，设∠E ＝m °，用含有n ，m °的代数式直接写出∠M ＝ ．【答案】问题情境1：∠B +∠BPD +∠D ＝360°，∠P ＝∠B +∠D ；（1）140°；（2）16∠E +∠M ＝60°（3）360m 2nM °°-Ð=.【解析】（1）∵BF 、DF 分别是∠ABE 和∠CDE 的平分线，∴∠EBF ＝12∠ABE ，∠EDF ＝12∠CDE ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∵∠E ＝80°，∴∠ABE +∠CDE ＝280°，∴∠EBF +∠EDF ＝140°，∴∠BFD ＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）16∠E +∠M ＝60°，理由是：设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝2x ，∠EBF ＝3x ，∠FDM ＝2y ，∠EDF ＝3y ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝360°，即16∠E ＝60﹣x ﹣y ，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝∠M +5x +5y +∠E ，∴∠M ＝x +y ，∴16∠E +∠M ＝60°；（3）设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝（n ﹣1）x ，∠EBF ＝nx ，∠FDM ＝（n ﹣1）y ，∠EDF ＝ny ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝360°，∴x +y ＝360m 2n°°-，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝∠M +（2n ﹣1）x +（2n ﹣1）y +∠E ，∴∠M ＝360m 2n °°-；故答案为：∠M ＝360m 2n°°-．变式4．（2021·洛阳市期中）已知：如图1，12180°Ð+Ð=，Ð=ÐAEF HLN ．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，2Ð=ÐPMQ QMB ，2Ð=ÐPNQ QND ，请判断P Ð与Q Ð的数量关系，并证明．【答案】（1）AB ∥CD ，EF ∥HL ，见解析；（2）∠P =3∠Q ，见解析．【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；延长EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NA n平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n= ．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180°（n﹣1）．故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．变式5．（2021·全国初二课时练习）如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）n【答案】n180°分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．【解析】如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，…，n，故答案为180n°.第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180°点睛：平行线的性质.模型2：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB ∥CD ，结论：∠A +∠P 2+∠C =∠P 1+∠P 3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB ∥CD ，求证：∠APC =∠A +∠C ；【解析】方法一（破角）:过点P 作PQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥PQ ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC =∠2+∠3=∠1+∠4.方法二（添角）: 连接AC ，∵AB ∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC =180° ∴∠APC =∠1+∠4.变式1.（2021·山东青岛期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A Ð=°，15D Ð=°，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED Ð=°；（3）A CED D Ð=Ð+Ð；（4）45BED Ð=°A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B .【解析】解：过点E 作EF ∥AB ，（1）无法判断；（2）∵AB //CD ，AB //EF ，∴EF //CD ，∴∠AEF =70°，∠DEF =15°，∴∠AED =85°，正确；（3）由（2）得：∠A =∠CEF =∠CED +∠DEF ，∠DEF =∠D ∴∠A =∠CED +∠D ，正确；（4）无法判断；故答案为：B ．变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a Ð，βÐ，g Ð之间的关系是（ ）A ．βa gÐ=Ð+ÐB ．180a βg Ð+Ð+Ð=°C ．90a βg Ð+Ð-Ð=°D ．90βg a Ð+Ð-Ð=°【答案】C .【解析】解：分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，则AB ∥CM ∥DN ∥EF ∴∠α=∠BCM ，∠DCM =∠CDN ，∠NDE =∠γ而∠β=∠CDN +∠NDE =∠DCM +∠γ=90°－∠BCM +∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，故答案为：C ．例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D Ð，E Ð有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E Ð，D Ð又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G +∠∠与B F D ++∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E =∠B +∠D ，理由如下：过点E 作直线a ∥AB ，则a ∥AB ∥CD ，则∠B =∠1，∠D =∠2，∴∠BED =∠1+∠2=∠B +∠D .（2）∠E +∠B +∠D =360°，理由如下：过点E 作直线b ∥AB ，则b ∥AB ∥CD ∴∠B +∠3=180°，∠4+∠D =180°∴∠B +∠3+∠4+∠D =360°即∠E +∠B +∠D =360°.（3）∠B +∠F +∠D =∠E +∠G ，理由如下：过点E ，F ，G 作直线c ∥AB ，d ∥AB ，e ∥AB ，则c ∥AB ∥d ∥e ∥CD ，则∠B =∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B +∠EFG +∠D =∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF +∠FGD .变式3.（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，//EF MN ，点,A B 分别为直线,EF MN 上的一点，点P 为平行线间一点且130,120PAF PBN Ð=°Ð=°，求APB Ð度数；问题迁移：（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交,OM ON于点,A D ，直线n 分别交,OM ON 于点,B C ，点P 在射线OM 上运动．①当点P 在,A B （不与,A B 重合）两点之间运动时，设,ADP BCP a βÐ=ÐÐ=Ð．则,,CPD a βÐÐÐ之间有何数量关系？②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点,,A B O 三点都不重合），请你直接写出,,CPD a βÐÐÐ间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD =α+β；②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α；；当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β.【解析】解：（1）过P 作PG ∥EF ，则PG ∥EF ∥MN ，∴∠PAF +∠GPA =180°，∠PBN +∠GPB =180°∴∠GPA =180°－130°=50°，∠GPB =180°－∠PBN =60°∴∠APB =∠GPA+∠GPB =50°+60°=110°.（2）①∠CPD =∠α+∠β. ②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α.过P 作PE ∥AD 交AD 于E ，∵AD ∥BC ，∴∠DPE =α，∠CPE =β ∴∠CPD =β－α.当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β 过P 作PE ∥AD 交CD 于E ，同理，得：∠CPD =α－β.变式4.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺()0090,60EFG EFG EGF Ð=Ð=放在两条平行线,AB CD 之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G 放在CD 上，且221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30°角的顶点E 落在AB 上，请直接写出AEG Ð与CFG Ð的数量关系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠AEG +∠CFG =300°.【解析】解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ，∵∠2+∠FGE +∠EGD =180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)过点F 作FP ∥AB ，∵CD ∥AB ，∴FP ∥AB ∥CD ，∴∠AEF =∠EFP ，∠FGC =∠GFP .∴∠AEF +∠FGC =∠EFP +∠GFP =∠EFG ，∵∠EFG =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；(3) ∠AEG +∠CFG =300°，理由如下：∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，整理得：∠AEG +∠CFG =300°．模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB ∥CD ，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB ∥CD ，结论：∠2=∠1+∠3.例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，求证：∠1=∠2+∠3.【解析】证法1（添角）：过点P 作PQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，则：∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ∵∠EPF ＝∠QPF ﹣∠QPE ，∴∠EPF ＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠EPQ +∠1＝180°，∠FPQ +∠2＝180°，∵∠EPF ＝∠EPQ +∠FPQ ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF ＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P 在线段DC 延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ；∵∠QPE ﹣∠QPF=∠EPF ；∴∠3＝∠1﹣∠2．变式3．（2021·余干县期末）如图1，AD //BC ，BAD Ð的平分线交BC 于点G ，90BCD Ð=°．（1）求证：BAG BGA Ð=Ð；（2）如图2，若50ABC Ð=°，BCD Ð的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA ∥BC ∴∠DAG =∠AGB∵AC 平分∠BAD ∴∠BAG =∠DAG ∴∠BAG =∠AGB .（2）∵∠ABC =50°∴∠BGA =∠BAG =65°，∴∠AGC =115°∵CE 平分∠DCB ∴∠ECB =45°，∴∠AFC =180°－∠AGC －∠ECB =20°.变式4．（2021·福建三明七年级期中）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB ，CD 和一块含60°角的直角三角尺()90,60EFG EFG EGF Ð=Ð=o o ”为主题开展数学活动．操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的60o 角的顶点G 放在CD 上，若221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð之间的数量关系；结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30o 角的顶点E 落在AB 上．若AEG a Ð=，求CFG Ð的度数(用含a 的式子表示)．图1 图2 图3【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠CFG =60°－α.【解析】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD ．又∵∠FGE =60°，∴∠EGD =13（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）∵AB ∥CD ，∴∠AEG +∠CGE =180°，即∠AEF +∠FEG +∠EGF +∠FGC =180°．又∵∠FEG +∠EGF =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；（3）∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG +∠FEG +∠EFG +∠GFC =180°．又∵∠GFE =90°，∠GEF =30°，∠AEG =α，∴∠GFC =180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB ∥CD ，求证：∠1+∠3－∠2=180°.【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )A．∠BCD= ∠DCE;B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180°.【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.【解析】延长DC到H。
《数学模型》试题及参考答案
A卷2009-2010学年第2学期《数学建模》试卷专业班级姓名分组号与学号开课系室数学与计算科学学院考试日期 2010 年7月题号一二三四五六七八总分得分阅卷人数学建模试卷(1007A)一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
第一页三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q-值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四(15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r,k r．在每个生产周期T内，开始的一段时间（0 t T0）一边生产一边销售，后来的一段时间(T0t T）只销售不生产．设每次生产开工费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，（a)求出存储量q(t) 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T，讨论kr的情况．第二页五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设x0y0,b 9a条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
第三页七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x rxln N，又单位时间捕捞量为xh Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度E m 和渔场鱼量水平x0．八（10分）假设商品价格y k和供应量x k满足差分方程y k1 y0(xk1x k x0), 02xk1 x0(y k y0) 0求差分方程的平衡点，推导稳定条件第四页A卷2009-2010学年第2学期《数学模型》试题参考答案与评分标准专业班级开课系室数学与计算科学学院考试日期2010年7月数学建模试卷(1007A)参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支元，120g装的元，二者单位重量的价格比是：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
、（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：(先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
数学模型第三版)课后习题答案
《数学模型》作业解答）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车第一章作业解答第 3 页 共 57 页获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.第一章作业解答第 5 页 共 57 页量纲矩阵为A=)()()()()()()()(12001101000110k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g lt =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mgkl =π ∴)(2/12/1mgkl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1gm l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l m m '='时， 就有 ll l g g l t t '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，第一章作业解答第 7 页 共 57 页r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kT T r k r c 2)(2⋅-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c T c dT dC 2)(221-+-=. 0=dTdC令, 得)(221r k r c kc T -=*易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TTt <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β第一章作业解答第 9 页 共 57 页)(2)8322(22022bp a T T t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k )(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.925002+-=TdT dC第一章作业解答第 11 页 共 57 页直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 max S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得第一章作业解答第 13 页 共 57 页⎩⎨⎧==2020y x .max S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0.01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ .0)(lim.0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s,1,10 dtdit s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得第一章作业解答第 15 页 共 57 页()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f ()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：第一章作业解答第 17 页 共 57 页第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e e ba vaw Q v bl a vl β()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ第一章作业解答第 19 页 共 57 页⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；第一章作业解答第 21 页 共 57 页②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dt dx ．∴0x 不稳定； ③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；Ex()x f第一章作业解答第 23 页 共 57 页② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β第一章作业解答第 25 页 共 57 页（1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 212,1<⇔<∴αβλ 即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101 ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则 ,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得第一章作业解答第 27 页 共 57 页,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：第一章作业解答第 29 页 共 57∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→→→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()Te 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()T Ae S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==， ()()()T AS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()T S 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0= 数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层第一章作业解答第 31 页 共 57 页2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()1122--+=⋅+⋅n n n n npq q m npq m q m 于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n n p q q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111mn n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：第一章作业解答第 33 页 共 57 页由上知：m n E 4≈，226'mn E ≈ ∴ m n E E 32/'=，当n m 时，132 mn， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r n nr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章。
初三数学中考模型之费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°，∠HGP=60°.∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形，∠GHB=30°.∴∠PHD=30°，.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD，且同在一条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP，DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°，CG=CP，GB=PD，BC=DC，∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°，∴∠BCD=60°，∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
数学建模题目及答案解析
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
专题03 一线三等角模型证全等(解析版)
专题03 一线三等角模型证全等模型感知1．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【答案】①△BDF ；②△CFD ；③3；①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED ≌△BDF ； ②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE ≌△CFD ；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE ≌△BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；类型一 一线三直角证全等2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE 等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵ADC BECDAC BCE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB；∴DC =BE ，AD =EC ， ∵DE =DC +EC ， ∴DE =BE +AD ． (2)解：DE +BE =AD ．理由如下： 如图2，∵∠ACB =90°， ∴∠ACD +∠BCE =90°． 又∵AD ⊥MN 于点D ， ∴∠ACD +∠CAD =90°， ∴∠CAD =∠BCE ． 在△ACD 和△CBE 中， 90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）， ∴CD =BE ，AD =CE ，∴DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ． (3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下： 如图3，易证得△ADC ≌△CEB ， ∴AD =CE ，DC =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =． 【答案】(1)DE ，AE ； (2)AC ．证明见详解． 【解析】 【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．(1) 解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ， 故答案为DE ，AE ； (2)证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ， ∵90MAN ∠=︒， ∴∠CAM +∠NAG =90°， ∵BM ⊥l ， ∴∠MCA =90°， ∴∠M +∠CAM =90°， ∴∠M =∠NAG ， ∵NG l ⊥， ∴∠AGN =90°， 在△MCA 和△AGN 中， MCA AGNM GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MCA ≌△AGN （AAS ）， ∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ， ∴AC =DE ，在△NGP 和△DEP 中， 90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△NGP ≌△DEP （AAS ） ∴NP =DP ， 故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．类型二 一线非直角证全等4．（1）如图1，直线m 经过等边三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点D ，E ，使得∠ADB ＝60°，∠AEC ＝60°．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB ＝120°，∠AEC ＝120°．若BD ＝3，CE ＝7，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝4 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和已知角的度数，证明∠ABD ＝∠CAE ，利用AAS 证明△ABD ≌△CAE ，推出BD ＝AE ，AD ＝CE ，即可证明；（2）同（1）证明△ABD ≌△CAE ，推出BD ＝AE ，AD ＝CE ，则DE ＝AD －AE ＝CE －BD ．（1）证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴∠DAB ＋∠CAE ＝120° 又∠ADB ＝∠AEC ＝60°， ∴∠ABD ＋∠DAB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CAE ， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）， ∴BD ＝AE ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ． （2）解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝60° 又∠ADB ＝∠AEC ＝120°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝60°， ∴∠ABD ＝∠CAE ， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）， ∴BD ＝AE ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AD －AE ＝CE －BD ＝4． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，读懂题意，找出图形中的全等三角形是解题的关键．5．已知：CD 是经过BCA ∠的顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 是直线CD 上两点，BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，BCD ACD ∠>∠．①如图1，90BCA ∠=︒，90α∠=︒，直接写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：__________． ②如图2，α∠与BCA ∠具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出α∠与BCA ∠的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF BE AF =-；②180BCA α∠+∠=︒，证明见解析；（2）不成立，EF FA BE =+，理由见解析【解析】 【分析】（1）①根据题意，推导得ACF CBE ∠=∠，通过证明ACF CBE ∠≌△，得BE CF =，CE AF =，结合EF CF CE =-，即可得到答案；②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得CBE ACF ∠=∠，通过证明BCE CAF ≌△△，即可完成证明；（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得CBE ACF ∠=∠，通过证明BCE CAF ≌△△，得EC FA =，BE CF =；根据EF CE CF =+，即可得到答案． 【详解】（1）①∵90BCA ∠=︒，90α∠=︒∴90ACF BCE ∠+∠=︒,90CBE BCE ∠+∠=︒ ∴ACF CBE ∠=∠ ∴BEC CFA ACF CBE CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF CBE ∠≌△ ∴BE CF =，CE AF = ∵EF CF CE =- ∴EF BE AF =-；②满足180BCA α∠+∠=︒，理由如下：∵180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒，180BCA α∠+∠=︒ ∴CBE BCE BEC BCA α∠+∠+∠=∠+∠ ∴CBE BCE BCE ACF αα∠+∠+∠=∠+∠+∠ ∴CBE ACF ∠=∠∵BEC CFA ∠=∠，CA CB =， ∴BCE CAF ≌△△∴BE CF =，CE AF = ∵EF CF CE =-， ∴EF BE AF =-（2）不成立，EF BE AF =+，理由如下：∵180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒，180BCE BCA ACF ∠+∠+∠=︒，BEC CFA BCA α∠=∠=∠=∠∴CBE BCE BCE ACF αα∠+∠+∠=∠+∠+∠ ∴CBE ACF ∠=∠∵BEC CFA ∠=∠，CA CB =， ∴BCE CAF ≌△△ ∴BE CF =，CE AF = ∵EF CF CE =+， ∴EF BE AF =+ 【点睛】本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解．类型三 综合运用6．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5 【解析】【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点． 【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA =∠CEA =90°， ∵∠BAC =90°， ∴∠BAD +∠CAE =90°， ∵∠BAD +∠ABD =90°， ∴∠CAE =∠ABD ， 在△ADB 和△CEA 中， ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADB ≌△CEA （AAS ）， ∴AE =BD ，AD =CE ， ∴DE =AE +AD =BD +CE ． （2）解：成立． 理由：如图2中， ∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α， ∴∠DBA =∠CAE ， 在△ADB 和△CEA 中， BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADB ≌△CEA （AAS ）， ∴AE =BD ，AD =CE ， ∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN ∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中， GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI =GI ， ∴I 是EG 的中点． ∴S △AEI =12S △AEG =3.5． 故答案为：3.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=F A，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠F AE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF =∠F AE ． ∵BF =AF ，∴△DBF ≌△EAF （ASA ）． ∴DF =EF ，∠BFD =∠AFE ．∴∠DFE =∠DF A +∠AFE =∠DF A +∠BFD =60°． ∴△DEF 为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）（4）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG 的面积是__________．【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）＝；（42 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到答案；（2）分别过点D 和点E 作DM FG ⊥于点M ，EN FG ⊥于点N ，由（1）中结论可得到AF =DM ，AF =EN ，然后只需要证明DMG ENG △≌△即可得到答案；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 错EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，然后同（2）中证明AOD DMC △≌△，FOD DNE △≌△，ENP CMP △≌△即可得到答案；（4）同（3）中的方法可以证明GHK KBC CMD GMN S S S S =△△△△==，然后利用勾股定理得到ABKH MDEN KCMG S S S +=正方形正方形正方形即可得到答案.【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△ ∴AC DE =（2）分别过点D 和点E 作DM FG ⊥于点M ，EN FG ⊥于点N ，∴90DAM ADM ∠+∠=︒， ∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAM ∠+∠=︒， ∴BAF ADM ∠=∠ ∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，在ABF ∆和DAM ∆中，BAF ADN ∠=∠，BFA AMD ∠=∠，BA AD =，∴ABF DAM ∆∆≌， ∴AF DM = 同理AF EN = ∴DM EN =，∵DM FG ⊥，EN FG ⊥，∴DMG ENG ∠=∠，在DMG △和ENG △中，DGM EGN ∠=∠，DMG ENG ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG △≌△∴DG EG =，即点G 是DE 的中点；（3）如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形 ∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°， 又∵∠ODA +∠DCM =90° ∴∠A DO =∠DCM ∴AOD DMC △≌△ ∴AOD DMC S S =△△，OD =MC 同理可以证明FOD DNE △≌△ ∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ∴MC =NE∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ∴ENP CMP △≌△ ∴ENP CMP S S △△=∵ADF AOD FOD S S S +△△△=，DCE DCM CMP DEN ENP S S S S S -++△△△△△= ∴=DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S ++△△△△△= ∴DCE ADF S S △△=即12S S ；（4）同（3）中的方法可以证明GHK KBC CMD GMN S S S S =△△△△==，且KBC CDM △≌△ 即BC DM =由勾股定理得：222KB BC KC += ∴222KB DM KC +=∴ABKH MDEN KCMG S S S +=正方形正方形正方形∵图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4 ∴=4ABKH MDEN KCMG S S S +=正方形正方形正方形 ∴=8GHK KBC CMD GMN S S S S +△△△△++ ∴2GHK S △=【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定.9．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； （3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．①试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值． 【答案】【小问1】AD BE =，说明见解析【小问2】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；说理见解析【小问3】①BD BF CD +=，理由见解析；②AE EG +【解析】 【分析】（1）【问题情境】证明()ABD BCE AAS ∆≅∆，即可求解． （2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】①等量代换即可求解；②在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，先证明()BDF MED SAS ∆≅∆，得到EM ＝CM ，在求出22.5ECM MEC ∠=∠=︒，即可确定E 点在射线CE 上运动，当A 、E 、N 三点共线时，EA ＋EG的值最小，最小值为AN ，在Rt ANC 中求出AN 即可． 【详解】 （1）【问题情境】 AD BE =，理由如下：90ABC ∠=︒， 90ABD CBE ∴∠+∠=︒， 90BAD ABD ∠+∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，AB BC =，()ABD BCE AAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）【变式探究】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；理由如下：B FDEC ∠=∠=∠，180EDB BED EDB FDC FDC DFC EDF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，BED FDC ∴∠=∠，EDB DFC ∠=∠；（3）【拓展应用】 ①AB BC =，AF BF BD CD ∴+=+，2AF BD =，2BD BF BD CD ∴+=+， BD BF CD ∴+=；②在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，45B ∠=︒，45EDF ∠=︒，BFD EDM ∴∠=∠，DF DE =，()BDF MED SAS ∴∆≅∆，BD EM ∴=，EM BD =，45B DME ∠=∠=︒，CD BD BF =+，CM BD ∴=， EM CM ∴=，MCE MEC ∴∠=∠， 45EMD ∠=︒，22.5ECM MEC ∴∠=∠=︒，E ∴点在射线CE 上运动， G 点与N 的关于CE 对称，EG EN ∴=，EA EG EA EN AN ∴+=+，∴当A 、E 、N 三点共线时，EA EG +的值最小，最小值为AN ，45B ∠=︒，AB BC =， 67.5ACB ∴∠=︒，45ACE ∴∠=︒，由对称性可知，ACE ECN ∠=∠，90ACN ∴∠=︒，点G 是AC 的中点，2AC =，1CG ∴=， 1CN ∴=，在Rt ANC 中，AN =AE EG ∴+。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：应用题的一般处理思路是什么？
问题2：应用题中建立数学模型常见的关键词和隐含数学关系有哪些？
数学模型应用问题（三）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380箱、320箱，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱15元和30元，现甲销售点需要水果400箱，乙销售点需要水果300箱．
（1）设从A基地运往甲销售点x箱水果，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围．( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用
2.（上接第1题）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200箱，试求出最低运费．( )
A.6000
B.7600
C.18200
D.11200
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用
3.在“十一”期间，某公司组织318名员工外出旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租用甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人．
（1）旅行社的租车方案有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式组的应用
4.（上接第3题）（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，则在租车方案中最少的租金为( )
A.5800元
B.6000元
C.6200元
D.3400元
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用
5.（上接第3，4题）（3）旅行前，一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车恰好坐满，则旅行社的租车方案是( )
A.65座的1辆，45座的5辆，30座的1辆
B.65座的2辆，45座的3辆，30座的2辆
C.65座的3辆，45座的1辆，30座的3辆
D.65座的1辆，45座的4辆，30座的2辆
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：不定方程。