2020年云大附中一二一校区九年级三模数学试题

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2020年云南省昆明市九年级学业水平考试三模数学试题(含答案)

sin245°＋sin245°＝
2 2
2
＋
2 2
2
＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角 α，均有 sin2α＋sin2(90°－α)＝1
(1)当 α＝30°时，验证 sin2α＋sin2(90°－α)＝1 是否成立； (2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
17.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上．（1）求∠APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
3.一元二次方程 2x2-5x-2=0 的根的情况是__________．
4.
x

tan
60
2
时，
(
x x2
2 2x
x2
x 1 4x
4
)
x
x
4
的值为_____．
5.如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点 A，D 为圆心，以 AB 长为半径画 BE ，CE . 若 AB 1，则阴影部分图形的周长为______ ( 结果保留 π) ．
A（﹣2，0），则 k 的取值范围是（）
A. ﹣2＜k＜2
B. ﹣2＜k＜0
C. 0＜k＜4
D. 0＜k＜2
14.如图，正方形 ABCD 中， AD 4 ，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 BE ，过点 E 作 EF ED ，交 AB
于点 F ，连接 DF ，交 AC 于点 G ，将 EFG 沿 EF 翻折，得到△EFM ，连接 DM ，交 EF 于点 N ，若

2020年度中考初三数学一模试卷(含答案解析)

2020年初三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13B ．－3C ．13D ．32．函数中y ＝x2－x 自变量x 的取值范围是A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是 A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．(－2a 2)3＝8a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a －b )2＝a 2－b 25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分B ．方差C ．中位数D ．平均数6．下列图形中，主视图为①的是A ．BC ．D ．7．已知a －b ＝2，则a 2－b 2－4b 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．88．下列判断错误的是A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝k x的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20B ．－16C ．－12D ．－810．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGEB ．△B ′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表示应为． 13．若3m ＝5，3n ＝8，则32m ＋n＝．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为．（第16题图）（第15题图）ABCDFGB′O（第10题图）（第9题图）（第6题图①）17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是．18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝．三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）（1）计算：(π－3)0＋2sin45°－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1 （2）解不等式组：⎩⎨⎧1－2x ＜3x ＋13＜220．（本题满分8分）解方程：（1）x 2－8x ＋1＝0 （2）3x －2－1－x2－x＝121．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ．（1）求证：AB ＝DF ；（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．ABCDEF（第18题图）（第17题图）22．（本题满分8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90≤x ≤100；B 组：80≤x ＜90；C 组：70≤x ＜80；D 组：60≤x ＜70；E 组：x ＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？调查测试成绩扇形统计图ADFEBC23．（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A，B，C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（本题满分8分）如图，△ABC中，⊙O经过A，B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．y/千克）26．（本题满分8分）如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．27．（本题满分10分）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ．（1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EFOF的最大值．BO图3B O图2B O图128．（本题满分10分）如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒，（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．图2AB CDE图1ABC DFEG H9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC ﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1 ．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400 人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．【解答】解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤4【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．27．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H 在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。

云大附中2020年初中学业水平考试数学第一次模拟考试及答案

云大附中2020 年初中学业水平考试第一次模拟考试九年级数学试卷姓名：一．填空题（每小题3 分，满分18 分）1.2020 的绝对值是．2．已知∠A O B＝25°42′，则∠A O B的补角为．3．在函数y=中，自变量的取值范围.4．已知A(2,),(3,)是反比列函数y=(k<0)的两点，则5．如图，一张扇形纸片O A B中，半径O A为2，点C是的中点，现将这张扇形纸片沿着弦A B折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为．6．如图，在△A B C中，∠C＝90°，A C＝B C＝1，P为△A B C内一个动点，∠P A B＝∠P B C，则C P的最小值为．二．选择题（每小题4 分，满分32 分）7．如图是由六个棱长为1 的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．68．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2 月5 日中午12 点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000 元.14 亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000 用科学记数法表示应为（）A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×10109. 估算+2 的值是在（）A.5 和6 之间B.6 和7 之间C.7 和8 之间D.8 和9 之间10．A，B两地相距180k m，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为x k m/h，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝1 B．﹣＝1C．﹣＝1 D．﹣＝1﹣11．关于x的一元二次方程a x22x+1＝0 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1 且a≠0 D．a＜1 且a≠0 12．下列运算正确的是（）A．（x m）2＝x m+2 B．（﹣2x2y）3＝﹣8x5y3 C．x6÷x3＝x2D．x3•x2＝x5 13．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3 个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．914．如图，R t△A B C中，∠B C A＝90°，A C＝B C，点D是B C的中点，点F在线段A D上，D F＝C D，B F交C A于E点，过点A作D A的垂线交C F的延长线于点G，下列结论：①C F2＝E F•B F；②A G＝2D C；③A E＝E F；④A F• E C＝E F• E B．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④。

云南省昆明市五华区云大附中(一二一校区)2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷

1．共 23 题，满分 120 分，时间 120 分钟，独立完成，错解漏解均不得分．考生须知绝密★启用前云大附中（一二一校区）2020-2021 学年上学期期末考试九年级数学试卷5. 如图，△ABC 中，CE ：EB ＝1：2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为 S ，则△ADE 的面积为（）1 A.S92 B.S 91 C.S 34 D.S 9一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，满分 32 分） 1. 下列说法正确的是（）A. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上B. 天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C ．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D ．“a 是实数，|a |≥0”是不可能事件2．如果方程 x 2+4x +n ＝0 可以配方成（x +m ）2＝3，那么（n ﹣m ）2020 的值为（）．A. 2020B. 1C. 0D. -13. 把图 1 中的正方体的一角切下后摆在图 2 所示的位置，则图 2 中的几何体的主视图为（）A.B ．C ．D ．4. 如图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 绕点 B 逆时针旋转所得，若 MC ∥BP ，则∠BMC=（）°A. 100B. 110C. 120D. 1306. 如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点 A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点 A 到 OC 的距离等于（）A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x7. 二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且 a ≠0）的图象如图所示，则一次函数 y ＝ax +b 与反比例函数 y ＝的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8. 如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 是半圆弧的中点，点 D 是弧 BC 的中点，下列结论中：①∠CBD＝∠DAB ；②CG ＝CH ；③AH ＝2BD ；④BD 2+GD 2＝AG 2；⑤AG ＝DG ．其中正确的结论有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）9. 在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A （﹣2，4），B （﹣4，0），O （0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO ，则点 A 的对应点 C 的坐标是．第 1页，共 6页第 2页，共 6页2．在试卷封线内填填写姓名、座位号、联系方式、就读学校就读学校联系方式座位号名姓 … … … ○ … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … ………○…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………○…………内…………○…………10. 小蕾同学有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“ 上册、中册、下册”的概率是．11. 抛物线 y ＝（k ﹣1）x 2﹣x +1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是． 12. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝，则 sin B 的值为．13. 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，∠AMN ＝30°，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA +PB 的最小值为 .14. 如图，Rt △AOB 中，点 B 的坐标为（2,4），双曲线 y ＝经过点 C 、D ，当以 B 、C 、D 为顶点的三角形与 Rt △AOB 相似时，则 k= ．（3）在（2）的条件下，求点 A 在旋转过程中所走过的路径长（结果保留π）．17．2020 年 1 月底，武汉爆发“新冠”疫情后，全国人民同心协力，共克时艰．在““新冠”肆虐之下，防护成为了当务之急，口罩也因此成为稀缺物资，2 月份，某公益基金组织买了医用外科口罩和 N 95 防护口罩共 25000 个，全部捐赠给武汉地区．其中医用外科口罩与 N 95 防护口罩的数量之比为 4：1．已知 N 95 防护口罩的单价是医用外科口罩单价的 6 倍还多 2 元，采购这批口罩一共用了 160000 元．（1）求 2 月份 N 95 防护口罩的单价为多少元？（2）3 月份，该公益基金组织继续购买这两种口罩捐赠给武汉地区．由于市场上口罩生产供应能1力增强，与 2 月份相比，医用外科口罩的单价下降了 31，N 95 防护口罩的单价下降了 a %，购买医用外科口罩的数量减少了10，购买 N 95 防护口罩的数量增加了 3a %，采购这批口罩一共用了164000 元，求整数 a 的值．三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 70 分.解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.）15. 解方程： 2x 2- 5x +1 = 016. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点 O （0，0）、A （4，1）、B （4，4）均在格点上．（1）画出△OAB 关于 y 轴对称的△OA 1B 1，并写出点 A 1 的坐标；（2）画出△OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的△OA 2B 2，并写出点 A 2 的坐标；18. 某中学 1000 名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为 100 分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：第 3页，共 6页第 4页，共 6页… … … … ○ … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …成绩分组频数频率 50≤x ＜60 8 0.16 60≤x ＜7012 a 70≤x ＜80 ■ 0.5 80≤x ＜90 3 0.06 90≤x ≤100 b c 合计 ■1（1）写出 a ，b ，c 的值；（2）请估计这 1000 名学生中有多少人的竞赛成绩不低于 70 分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率．19. 某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间 x （时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升时，y 与 x 成正比，下降时，y 与 x 成反比．（1）求 y 与 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（2）若血液中药物浓度不低于 3 微克/毫升的持续时间超过 4 小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？20. 如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度为 i ＝1：1．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知 tan α＝2，tan β＝4， DA 交 CB 的延长线于点 M ，求山顶 A 的高度 AE ．21. 已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点 E ，分别交 AM 、BN于 D 、C 两点．（1）求证：AB 2＝4AD •BC ；（2）连接 OE 并延长交 AM 于点 F ，连接 CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．22. 在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +2 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝﹣+bx +c的图象经过 B ，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A ．（1）求二次函数的表达式；（2）如图 1，点 D 是抛物线第四象限上的一动点，连接 DC ，DB ，当 S △DCB ＝S △ABC 时，求点 D坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，点 Q 在 CA 的延长线上，连接 DQ ，AD ，过点 Q 作 QP ∥y 轴，交抛物线于 P ，若∠AQD ＝∠ACO +∠ADC ，请求出 PQ 的长．第 5页，共 6页第 6页，共 6页就读学校联系方式座位号名姓 … … … ○ … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … ………○…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………○…………内…………○…………。

2020年云南师大附中中考数学一模试卷 (解析版)

2020年云南师大附中中考数学一模试卷一、填空题1．2020的绝对值是．2．已知∠AOB＝25°42′，则∠AOB的补角为．3．在函数y＝中，自变量的取值范围．4．已知A（2，y1），（3，y2）是反比列函数y＝（k＜0）的两点，则y1y2．5．如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为．二.选择题（每小题4分，满分32分）7．如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（）A．3B．4C．5D．68．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（）A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×10109．估算的值是在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间10．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝111．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 12．下列运算正确的是（）A．（x m）2＝x m+2B．（﹣2x2y）3＝﹣8x5y3C．x6÷x3＝x2D．x3•x2＝x513．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．914．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD 上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三、解答题（共9小题，满分73分）15．（1）计算：（﹣）2﹣|﹣2|+2cos45°﹣（3﹣π）0；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．16．如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC ＝CF．17．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；（3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算A变换到A2过程中的路径是多少？（直接写出答案）18．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A 种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？19．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（如图）的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时，众数是小时；（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是；（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？（4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？（列表或树状图）20．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）21．某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（万元/件）253035销售量y（件）504030（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．23．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？参考答案一.填空题（每小题3分，满分18分）1．2020的绝对值是2020．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．解：根据绝对值的概念可知：|2020|＝2020，故答案为：2020．2．已知∠AOB＝25°42′，则∠AOB的补角为154°18′．【分析】根据补角的定义求解即可．解：∠AOB的补角为：180°﹣25°42′＝154°18′．故答案为：154°18′．3．在函数y＝中，自变量的取值范围x≤．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．解：要使函数y＝有意义，则2﹣5x≥0，解得x≤，故答案为：x≤．4．已知A（2，y1），（3，y2）是反比列函数y＝（k＜0）的两点，则y1＜y2．【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的横坐标，即可得到答案．解：∵反比列函数y＝的k＜0，∴x＞0时，y随着x的增大而增大，∵2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．5．如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为π﹣2．【分析】连接OC交AB于点P，根据折叠的性质求出OP＝PC＝1，根据勾股定理求出AP，根据垂径定理求出AB，根据扇形的面积公式和三角形的面积求出即可．解：连接OC交AB于点P，由题意知，OC⊥AB，且OP＝PC＝2＝1，在Rt△AOP中，∵OA＝2，OP＝1，∴cos∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，同理∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，AP＝＝＝，由垂径定理得：AB＝2AP＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣2S△AOB＝﹣2××21＝π﹣2，故答案为：π﹣2．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为﹣1．【分析】首先求得∠APB＝135°，点P在以AB为弦的⊙O上，然后可求得OC＝，OP＝1，当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．又∵∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB+∠PBA＝45°．∴∠APB＝135°．∴点P在以AB为弦的⊙O上．∵∠APB＝135°，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠CAO＝90°．∴四边形ACBO为矩形．∵OA＝OB，∴四边形AOBC为正方形．∴OA＝OB＝1．∴OP＝1，OC＝．当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，∴PC的最小值＝OC﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1．二.选择题（每小题4分，满分32分）7．如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，据此解答即可．解：从上面看，可以看到4个正方形，面积为4．故选：B．8．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（）A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：3 230 000 000＝3.23×109，故选：C．9．估算的值是在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间【分析】首先得出的取值范围，进而得出答案．解：∵＜＜，∴5＜＜6，∴的值是在：7和8之间．故选：C．10．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B 地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：﹣＝1．故选：A．11．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：根据题意得a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0．故选：D．12．下列运算正确的是（）A．（x m）2＝x m+2B．（﹣2x2y）3＝﹣8x5y3C．x6÷x3＝x2D．x3•x2＝x5【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．解：A、（x m）2＝x2m，故此选项错误；B、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故此选项错误；C、x6÷x3＝x3，故此选项错误；D、x3•x2＝x5，正确．故选：D．13．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．14．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD 上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据等边对等角的性质求出∠DCF＝∠DFC，然后求出DF＝DB，根据等边对等角求出∠DBF＝∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根据直角三角形的性质求出△BCF 和△CEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出∠G＝∠ACG，再根据等角对等边的性质求出AG＝AC，然后求出AG＝BC，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出∠EAF+∠ADC＝90°，∠AFE+∠DFC＝90°再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，从而得到AE≠EF，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出△CEF和△BCE相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出EC2＝EF•EB，再根据全等三角形对应边相等可得AF＝CE，从而判断出④正确．解：∵DF＝CD，∴∠DCF＝∠DFC，∵AC＝BC，点D是BC的中点，∴DF＝DB＝DC，∴∠DBF＝∠DFB，又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF＝180°，∴∠BFC＝×180°＝90°，∴CF⊥BE，∴Rt△BCF∽Rt△CEF，∴＝，∴CF2＝EF•BF，故①正确；∵AG⊥AD，∴∠G+∠AFG＝90°，又∵∠ACG+∠DCF＝90°，∠DCF＝∠DFC＝∠AFG，∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC，∵AC＝BC，∴AG＝BC，∵点D是BC的中点，∴BC＝2DC，∴AG＝2DC，故②正确；根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC＝90°，∠AFE+∠DFC＝90°，∵tan∠ADC＝2，∴∠ADC≠60°，∵∠DCF＝∠DFC，∴∠FDC≠∠DFC，∴∠EAF≠∠EFA，∴AE≠EF，故③错误；∵∠ACB＝90°，CF⊥BE，∴△CEF∽△BCE，∴＝，∴EC2＝EF•EB，∵△BCE≌△AGF（已证），∴AF＝EC，∴AF•EC＝EF•EB，故④正确；所以，正确的结论有①②④．故选：B．三、解答题（共9小题，满分73分）15．（1）计算：（﹣）2﹣|﹣2|+2cos45°﹣（3﹣π）0；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的分母有理化法则计算，得到答案．解：（1）原式＝﹣2++2×﹣1＝﹣2++﹣1＝﹣+2；（2）原式＝÷[﹣]＝÷＝×＝，当x＝+1时，原式＝＝＝．16．如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC ＝CF．【分析】欲证明DC＝CF，只要证明△ABE≌△FCE即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE；∵E为BC中点，∴EB＝EC，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF，∴DC＝CF．17．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；（3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算A变换到A2过程中的路径是多少？（直接写出答案）【分析】（1）根据网格即可画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；（2）根据网格即可画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；（3）根据弧长公式即可计算A变换到A2过程中的路径．解：如图，（1）△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（1，﹣4）；（2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（4，1）；（3）A变换到A2过程中的路径为：＝．18．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A 种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据购买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可；（2）设该商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（100﹣a）套，根据条件中的不相等关系建立不等式组求出其解即可；（3）设总利润为W元，根据总利润＝A种纪念品的利润+B种纪念品的利润就可以表示出W与a的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．解：（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，由题意，得，解得：．答：进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元；（2）设该商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（100﹣a）套，由题意，得，解得：66≤a≤73．∵a为整数，∴a＝67，68，69，70，71，72，73．∴该商店共有7种进货方案；（3）设总利润为W元，由题意，得W＝30a+20（100﹣a）＝10a+2000．∴k＝10＞0，∴W随x的增大而增大，∴该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，W最大＝10×73+2000＝2730元．19．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（如图）的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为50人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是4小时，众数是5小时；（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是144°；（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？（4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？（列表或树状图）【分析】（1）用阅读时间为3小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出阅读时间为6小时的男生人数，然后根据中位数、众数的定义求解；（2）先利用阅读时间为6小时的男生人数补全条形统计图，然后用360°乘以阅读时间为5小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数；（3）用700乘以样本中阅读时间为6小数的人数的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）（6+4）÷20%＝50，所以本次调查的学生总数为50人，课外阅读时间为6小时的男生人数为50﹣10﹣16﹣20﹣3＝1，所以被调查学生的课外阅读时间的中位数是4小时，众数是5小时；（2）课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数＝360°×＝144°，补全条形统计图为：故答案为50；4；5；144°；（3）700×＝56，所以估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8，所以恰好是一男一女的概率＝＝．20．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，∴cos37°＝＝＝0.8，∴DE＝4，∵sin37°＝＝＝0.6，∴AE＝3．在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE＝，∴AC＝2CE＝2，∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4（米）．答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米．21．某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（万元/件）253035销售量y（件）504030（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），，解得，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100；（2）由题意可得，W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000，即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+140x﹣2000；（3）∵W＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，20≤x≤40，∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35万元时获得最大利润，最大利润是450万元．22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC＝∠A＝90°，所以AC是⊙E的切线；（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，列比例式代入r可得结论；②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．【解答】证明：（1）∵CD•BC＝AC•CE，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴∠EDC＝∠A＝90°，∴ED⊥AC，∵点D在⊙E上，∴AC是⊙E的切线；（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，∴BH＝FH，∵∠A＝∠AHE＝∠ADE＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴ED＝AH，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC，设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BH＝FH＝AH﹣AF＝DE﹣AF＝r﹣4，EC＝EG+CG＝r+5，在△BHE和△EDC中，∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC＝90°，∴△BHE∽△EDC，∴，即，∴r＝20，∴⊙E的半径为20；②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，由①得：FH＝BH＝r﹣4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BH＝4+2×16＝36，BC＝2r+5＝2×20+5＝45，∴AC＝＝27，∵I是Rt△ABC的内心，∴IM＝＝＝9，∴AH＝IM＝9，∴BH＝BM＝36﹣9＝27，∴EM＝27﹣20＝7，在Rt△IME中，由勾股定理得：IE＝＝＝，故答案为：．23．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y＝x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y 轴右侧可得x＞0，则PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ＝∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG＝3PG＝3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ＝∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y 轴于N，如图3．易得AE＝EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

2020年云大附中三模数学试卷

云大附中2020年初中学业水平考试第三次模拟卷九年级数学卷（本试卷共三大题，考试时间120分钟，满分120分）一．选择题（共11小题）1．﹣的倒数是2．如图是正方体的表面展开图，则与“花”字相对的字是．3．要使代数式有意义，则x的取值范围是．4.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是5．如图，直线y＝m与反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC 的面积为．6．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD 是等腰三角形，则PE的长为．二、选择题（本大题共6小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）7．随着环境污染整治的逐步推进某经济开发区的40家化工企业中已关停，整改32家，每年排放的污水减少了167 000吨．将167000用科学记数法表示为（）A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．0.167×1068．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1D．（2a3﹣a2）÷a2＝2a﹣110．下列说法中正确的是（）A．“任意画一个六边形，其内角和为720°”这是一个随机事件B．为了解全国中学生心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差为0.4，乙组数据的方差为0.05，则甲组数据更稳定11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．312．已知a、b、c为实数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．有一根为013．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）14．如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5B．7C．8D．三、解答题（本大题共9个小题，共70分）15．（5分）已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．16.（1）（3分）计算：()21-3-218-2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+17．（9分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A ．篮球B ．乒乓球C ．羽毛球D ．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人，扇形统计图中B 部分所对应圆心角的度数为；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，请估计全校喜欢足球项目有多少人？（4）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）18．（6分）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1：2.4，AB 的长度是13米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，则二楼的层高BC 约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）19．（7分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）891011.513y1（分钟）1820222528（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2＝x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．20．（7分）某市为创建全国文明城市．开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米，自2017年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．（1）实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创建力度，市政府决定从2020年起加快绿化速度，要求不超过2年时间完成，那么平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？21．（8分）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD ＝BC ，过点D 作DG ⊥AC ，垂足为E ，DG 分别与AB 及CB 延长线交于点F 、M ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若点G 为MF 的中点，求证：BG 是⊙O 的切线；22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线32y 2--=x x 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）过点D （0，3）作直线MN ∥x 轴，点P 在直线MN 上且S △P AC ＝S △DBC ，直接写出点P 的坐标．23．（12分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AM ⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．【特例探究】（1）如图1，当tan ∠PAB ＝1，c ＝4时，a ＝，b ＝；如图2，当∠PAB ＝30°，c ＝2时，=+22b a ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的三等分点，且AD ＝3AE ，BC ＝3BF ，连接AF 、BE 、CE ，且BE ⊥CE 于E ，AF 与BE 相交点G ，AD ＝3，AB ＝3，求AF 的长．。

2020年中考初三数学一模试卷(含答案)

2020年初三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13B ．－3C ．13D ．32．函数中y ＝x2－x 自变量x 的取值范围是A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是 A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．(－2a 2)3＝8a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a －b )2＝a 2－b 25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分B ．方差C ．中位数D ．平均数6．下列图形中，主视图为①的是A ．B C ． D ．7．已知a －b ＝2，则a 2－b 2－4b 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．88．下列判断错误的是A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝kx 的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20B ．－16C ．－12D ．－810．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGEB ．△B ′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表示应为． 13．若3m ＝5，3n ＝8，则32m ＋n＝．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为．17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是．18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝．三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）ABCDEF（第18题图）（第17题图）（第16题图）（第15题图）ABCDEFGB′O（第10题图）（第9题图）（第6题图①）（1）计算：(π－3)0＋2sin 45°－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＜3x ＋13＜220．（本题满分8分）解方程：（1）x 2－8x ＋1＝0 （2）3x －2－1－x2－x＝121．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ．（1）求证：AB ＝DF ；（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．22．（本题满分8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90≤x ≤100；B 组：80≤x ＜90；C 组：70≤x ＜80；D 组：60≤x ＜70；E 组：x ＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？调查测试成绩扇形统计图ADFEBC23．（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A ，B ，C 三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（本题满分8分）如图，△ABC 中，⊙O 经过A ，B 两点，且交AC 于点D ，连接BD ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）证明BC 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为6，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w 最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p 元利润（p ≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x 增大而减小，直接写出p 的取值范围．/千克）y26．（本题满分8分）如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．27．（本题满分10分）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ．（1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EFOF的最大值．BO图3B O图2B O图128．（本题满分10分）如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒，（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．图2AB CDE图1ABC DFEG H9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠F AD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠F AD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OF AD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S，△OFG过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．【解答】解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤4【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．27．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD ＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。

2020云大附中三模数学试卷

云大附中（一二一校区）2020年初中学业水平考试第三次模拟试卷九年级数学试卷（本试卷共三大题，考试时间120分钟，满分120分）一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1.12020-的倒数是.2.如图是正方体的表面展开图，则与“花”字相对的字是.3.若代数式x 有意义，则x 的取值范围是。

4.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它制作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥地面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是。

5.如图，直线y m =与反比例函数62y y x x==-和的图像分别交于A、B 两点，点C 是x 轴上任意一点，则△ABC 的面积为。

6.矩形ABCD 中，AB=6,BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE∽△DBC。

若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为。

二、选择题（本大题共6个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）7.随着环境污染整治的逐步推进某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨。

将167000用科学记数法表示为（）A.310167⨯B.4107.16⨯C.5107.16⨯D.610167.0⨯8.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<233423x x x 的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.9.下列运算正确的是（）（第2题图）（第4题图）（第5题图）A.532a a a =+B.63262-a a -=）（C.12)12(122-=-+a a a ）（D.12)2(223-=÷-a a a a 10.列说法中正确的是()A.“任意画一个六边形，它的内角和是720度”，这是一个随机事件。

B.为了解全国中学生的心理健康情侣，应该采用普查的方式C.一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D.若甲组数据的方差为s 21=0.4,乙组数据的方差为s 21=0.05，则甲组数据更稳定11.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。

2020云附三模数学

是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是_________cm．
5.如图，直线 y=m 与反比例函数 y 6 和 y 2 的图象分别交于 A、B 两点，点 C 是 x 轴上任意一点，则 ABC
x
x
的面积为_________．
（第 2 题图）
（第 4 题图）
（第 5 题图）
6.矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足 PBE∽DBC ，若 APD
10.下列说法正确的是（）
A.“任意画一个六边形，它的内角和是 720 度”，这是一个随机事件
B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用全面调查的方式
C.一组数据 6，8，7，9，7，10 的众数和中位数都是 7
D.若甲组数据的方差 S甲2 =0.4 ，乙组数据的方差 S乙2 =0.05 ，为则甲组数据更稳定
一、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分））
1. 1 的倒数是__________. 2020
2.如图是正方体的表面展开图，则与“花”字相对的字是_________.
3.若代数式 x 1 有意义，则 x 的取值范围是_______. x
4.如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径
11.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，
较短直角边长为 b，若 a b 8 ，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（）
A.3
B.4
C.6

2020-2021学年云南大学附中一二一校区九年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年云南大学附中一二一校区九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若二次函数y=x2−mx的对称轴是x=−3，则关于x的方程x2+mx=7的解是()A. x1=0，x2=6B. x1=1，x2=7C. x1=1，x2=−7D. x1=−1，x2=73.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3：③3a+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.下列说法正确的是()A. 天气预报说“我市明天的降水概率为70%”，意味着该市明天一定下雨B. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件C. “汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是随机事件D. 甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越小的成绩越好5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①点(−72,y1)，(−32,y2)，(54,y3)是抛物线上的点，则y1<y2<y3；②3b+2c<0；③t(at+b)≤a−b(t为任意实数)，其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 36.下列方程中，是关于x的一元二次方程为()A. 3x+1=5x+7B. 1x2+x−1=0C. x2−5=0D. ax2−bx=5(a和b为常数)7.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的AB⏜多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为()A. −2B. −1C. 0D. 18.如图，△ABC中，∠A=32°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形中∠B 为()A. 77°B. 76°C. 75°D. 74°9.如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是()A. 2−π4B. 32−π4C. 2−π8D.3 2−π810.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a−b+c<0；其中正确的结论有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.点P(3,−2)关于原点中心对称的点的坐标是______ ．12.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为______cm2．13.如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是______m2．14.抛物线y=a(x−1)2+3向右平移1个单位，向上平移2个单位后经过点(1,7).则a的值是______ ．15.小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图1所示的是他了解的一款雨罩．它的侧面如图2所示，其中顶部圆弧AB的圆心O在整直边缘D上，另一条圆弧BC的圆心O.在水平边缘DC的廷长线上，其圆心角为90°，BE⊥AD于点E，则根据所标示的尺寸(单位：c)可求出弧AB所在圆的半径AO的长度为______cm．16.如图，I是△ABC的内心，∠B=60°，则∠AIC=______．17.如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽度的道路(图中阴影面积)，余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽度为______米．18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2√13，AD=4，AC⊥BC.则BD=______．19.三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为______．20.学校打算用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，小兔活动范围的最大面积是______m2．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）21.解方程：x(3x+1)=4(3x+1)22.如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A、C的坐标分别是(−4,6)，(−1,4)．(1)请在图中的网格内建立平面直角坐标系；请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C；(2)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．23.某校七、八年级各有300名学生，近期对他们“2020年新型冠状病毒”防治知识进行了线上测试，为了了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.七年级的频数分布直方图如下(数据分为5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：b.七年级学生成绩在80≤x<90的这一组是：8080.58182828383.58484858686.587888989c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七年级85.3m90八年级87.28591根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m的值为______ ；(2)在随机抽样的学生中，防治知识成绩为84分的学生，在______ 年级排名更靠前，理由是______ ；(3)若各年级防治知识的前90名将参加线上防治知识竞赛，预估七年级分数至少达到______ 分的学生才能入选；(4)若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．24. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1(元)与月份x(1≤x≤12，且x为整数)之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2(元)与月份x(1≤x≤12，且x为整数)之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…(1)求y1与x之间的函数关系式．(2)求y2与x之间的函数关系式．(3)设销售每千克猪肉所获得的利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？25. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB//OC．(1)求证：AC平分∠OAB．(2)过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=4，OP=2PE，求⊙O的半径和OP的长．26. 如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2−bx+c(b>0)的图象与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C；(1)求c与b的函数关系式；(2)点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE=DF，求此二次函数解析式；。

2020-2021学年云南大学附中一二一校区九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中数学试卷1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=35(x+12)2−3的顶点坐标是()A. (12,−3) B. (−12,−3) C. (12,3) D. (−12,3)3.若方程x2−3x−1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为()A. 3B. −3C. 13D. −134.笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1−9的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是()A. 19B. 29C. 13D. 235.抛物线y=2(x−1)2+c过(−2,y1)，(0,y2)，(52,y3)三点，则y1，y2，y2大小关系是()A. y2>y3>y1B. y1>y2>y3C. y2>y1>y3D. y1>y3>y26.关于x的一元二次方程(a+1)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A. a>−5B. a>−5且a≠−1C. a<−5D. a≥−5且a≠−17.下列说法中错误的有()①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是()A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°9.如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为()A. 2√3−2π3B. 2√3 C. 4π3−3√3 D. 2π310.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大；④b2−4ac4a<0；⑤若m，n(m<n)为方程a(x+3)(x−2)+3=0的两个根，则m<−3且n>2．其中正确的结论有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个11.在平面直角坐标系中，点P(2,3)与点Q(−2,m+1)关于原点对称，则m=______．12.已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为______．13.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有______颗．14.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y=x2+4x+5，则原抛物线的解析式是______．15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田(弦×矢+矢 2).孤田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式面积=12中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______平方米．16.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24cm，BC=10cm，则AE=______ cm．17.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程______．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为______．19.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2−8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为______．20.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为______m.21.按要求解下列方程．(1)3x2+x−5=0(公式法)；(2)(x+2)2−4(x−3)2=0(因式分解法)．22.如图所示的正方形网格中(每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点)，△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，画出△CA1B1；并求出点B在旋转过程中所经过的路径长为______；(2)作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；23.2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度(包括不了解、了解很少、基本了解和很了解)，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查(每名员工必须且只能选择一项)，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．(1)本次共调查了______名员工，条形统计图中m=______；(2)若该公可共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；(3)在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．24.某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？25.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，26.如图，抛物线y=ax2−43已知B(−1,0)，且抛物线经过点D(2,−2)．(1)求抛物线的解析式；S△ABC，求E的坐标；(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE=12(3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．27.如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E 三点在同一直线上．(1)填空：∠CDE=______(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若α=60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若α=90°，AC=5√2，且点G满足∠AGB=90°，BG=6，直接写出点C到AG的距离．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，C中图形是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】B【解析】解：∵y=35(x+12)2−3，∴抛物线y=35(x+12)2−3的顶点坐标是：(−12,−3)．故选：B．根据顶点解析式，直接求其顶点坐标．本题考查了二次函数的性质．二次函数y=a(x−ℎ)2+k的对称轴为直线x=ℎ，顶点坐标是(ℎ,k).利用配方法将一般式化为顶点式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：由根与系数的关系得：x1+x2=−ba =3，x1⋅x2=ca=−1．∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−3.故选B．已知方程x2−3x−1=0，由根与系数的关系得：x1+x2=−ba =3，x1⋅x2=ca=−1，再把所求式子通分、代值可求解．本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．4.【答案】C【解析】解：∵在标有1−9的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，∴抽到编号是3的倍数的概率是39=13，故选：C．由标有1−9的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5.【答案】D【解析】解：抛物线y=2(x−1)2+c的开口向上，对称轴是直线x=1，当x<1时，y 随x的增大而减小，∵点(−2,y1)、(0,y2)、(52,y3)是抛物线y=2(x−1)2+c上的三点，∴点(52,y3)关于对称轴x=1的对称点是(−12,y3)，∵−2<−12<0，∴y1>y3>y2，故选：D．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．关于一元二次方程有关的求根问题中，方程x2−x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足△=b2−4ac>0，即可求得．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a+1)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=16+4a+4>0，解得a>−5，∵a+1≠0，∴a≠−1．故选：B．7.【答案】C【解析】解：垂直平分弦的直线经过圆心，所以①的说法正确；平分弦(非直径)的直径一定垂直于弦，所以②的说法错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以③的说法错误；等弧所对的弦相等，所以④的说法正确；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，所以⑤的说法错误．故选：C．利用垂径定理对①②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对④⑤进行判断．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中还用到了三角形的外角的性质及正多边形的性质等，比较简单．首先根据正五边形的性质得到AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠BDC=180°−108°2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠APB=∠DBC+∠ACB=72°．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠BDC=180°−108°2=36°，∴∠APB=∠DBC+∠ACB=72°，故选：C．9.【答案】D【解析】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵CF=BF，∴AC=AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠OBF=60°，∵OF=OB，∴△OBF是等边三角形，∵∠CEF+∠AEF=180°，∠AEF+∠ABF=180°，∴∠CEF=∠ABF=60°，∵∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∵CF=BF，∴△CEF≌△BOF，∴S阴=S扇形OBF=60⋅π⋅22360=2π3，故选：D．如图，取AB的中点O，连接AF，OF.证明△ABC是等边三角形，把问题转化为S阴=S 扇形OBF ，由此即可解决问题．本题考查扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.【答案】B【解析】解：由抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x =−12可得， 9a −3b +c =0，−b 2a =−12，即a =b ，与x 轴的另一个交点为(2,0)，4a +2b +c =0，抛物线开口向下，a <0，b <0，抛物线与y 轴交于正半轴，因此c >0，所以，abc >0，因此①正确；由9a −3b +c =0，而a =b ，所以6a +c =0，又a <0，因此3a +c >0，所以②正确；抛物线的对称轴为x =−12，a <0，因此当x <−12时，y 随x 的增大而增大，所以③不正确；由于抛物线的顶点在第二象限，所以4ac−b 24a >0，因此④正确；抛物线与x 轴的交点为(−3,0)(2,0)，因此当y =−3时，相应的x 的值应在(−3,0)的左侧和(2,0)的右侧，因此m <−3，n >2，所以⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤，故选：B ．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a 、b 、c 之间的关系，进行综合判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握抛物线的位置与系数a 、b 、c 的关系是正确判断的前提．11.【答案】−4【解析】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m+1=−3，∴m=−4．故答案为−4．平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．12.【答案】30【解析】解：设圆锥的母线长为l，⋅2π⋅20⋅l=600π根据题意得12解得l=30，即这个圆锥的母线长为30．故答案为30．设圆锥的母性长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面⋅2π⋅20⋅l=600π，然后的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】14【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白珠子的频率得到相应的等量关系．【解答】解：由题意可得，66+n=0.3，解得n=14．故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．14.【答案】y=x2−2x【解析】解：y=x2+4x+5=(x+2)2+1，将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式为：y=(x+2−3)2+1−2=(x−1)2−1，即y=x2−2x．故答案是：y=x2−2x．把y=x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．15.【答案】10【解析】解：∵弦AB=8米，半径OC⊥弦AB，∴AD=4，∴OD=√OA2−AD2=3，∴OA−OD=2，∴弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12×(8×2+22)=10，故答案为：10．根据垂径定理得到AD=4，由勾股定理得到OD=√OA2−AD2=3，求得OA−OD=2，根据弧田面积=12(弦×矢+矢 2)即可得到结论．此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．16.【答案】2【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，设AF=AE=x；BD=BF=y；CE=CD=z，根据题意得：{2x +2y +2z =24y +z =10，解得x =2，∴AE =2．由切线长定理，可知：AE =AF ，CD =CE ，BF =BD ，设AF =AE =x ；BD =BF =y ；CE =CD =z ，利用已知数据建立方程组即可求出AE 的长．此题主要是考查了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解．17.【答案】(30−2x)(20−x)=6×78【解析】解：设道路的宽为xm ，由题意得：(30−2x)(20−x)=6×78，故答案为：(30−2x)(20−x)=6×78．设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为(30−2x)m ，宽为(20−x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30−2x)(20−x)=6×78．此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．18.【答案】√10 【解析】解：在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，∴AB =5，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AED ，∴∠DEA =∠C =90°，AE =AC =4，DE =BC =3，∴BE =AB −AE =5−4=1，连接BD ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD =√DE 2+BE 2=√32+12=√10，即B 、D 两点间的距离为√10，故答案为：√10．由旋转的性质可求得AE 、DE ，由勾股定理可求得AB ，则可求得BE ，连接BD ，在Rt △BDE中可求得BD 的长．本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．19.【答案】19或21或23【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．【解答】解：由方程x2−8x+15=0得：(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3<9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为19或21或23．20.【答案】10√2【解析】解：如右图所示，点C为抛物线顶点，坐标为(0,6)，则点A的坐标为(−10,0)，点B的坐标为(10,0)，设抛物线ACB的函数解析式为y=ax2+6，∵点A在此抛物线上，∴0=a×102+6，，解得，a=−6100x2+6，即抛物线ACB的函数解析式为y=−6100当y =3时，3=−6100x 2+6，解得，x =±5√2，∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5√2−(−5√2)=10√2(m)，故答案为：10√2．根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y =3，求出相应的x 的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．21.【答案】解：(1)∵a =3，b =1，c =−5，∴b 2−4ac =1−4×3×(−5)=61>0，∴x 1=−1+√616，x 2=−1−√616；(2)∵(x +2)2−4(x −3)2=0，∴[(x +2)+(2x −6)][(x +2)−(2x −6)]=0，∴(3x −4)(−x +8)=0，则3x −4=0或−x +8=0∴x 1=43，x 2=8．【解析】(1)利用公式法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22.【答案】√52π【解析】解：(1)如图，△CA 1B 1即为所求．点B 在旋转过程中所经过的路径长=90⋅π⋅√5180=√52π. 故答案为：√52π.(2)如图，△AB2C2即为所求．(1)分别作出A，B的对应点A1，B1即可，利用弧长公式计算即可．(2)分别作出点B，C的对应点B2，C2即可．本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．23.【答案】60 20【解析】解：(1)本次调查的员工总人数为24÷40%=60(名)，条形统计图中m=60−(12+24+4)=20，故答案为：60，20；=200(名)；(2)估计不了解防护措施的人数为1000×1260(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下：女男1男2男3女女，男女，男女，男男1男，女男，男男，男男2男，女男，男男，男男3男，女男，男男，男由表格可知，从4名学生中，随机抽取2名学生，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有6种，所以恰好抽中一男一女的概率为1．2(1)用“了解很少”的人数除以其对应的百分比可得总人数，根据四种了解程度的人数之和等于总人数可得m的值；(2)用总人数乘以样本中不了解防护措施的人数所占比例；(3)用列表法表示所有可能出现的结果，找出“一男一女”的结果数，即可求出相应的概率．本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、列表法树状图法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)当x =25时，y =2000÷(25−15)=200(千克)，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把(20,250)，(25,200)代入得：{20k +b =25025k +b =200，解得：{k =−10b =450， ∴y 与x 的函数关系式为：y =−10x +450；(2)设每天获利W 元，W =(x −15)(−10x +450)=−10x 2+600x −6750=−10(x −30)2+2250，∵a =−10<0，∴开口向下，∵对称轴为x =30，∴在x ≤28时，W 随x 的增大而增大，∴x =28时，W 最大值=−10×4+2250=2210(元)，答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；(2)首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．25.【答案】解：(1)直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连接OD ，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°−90°=90°，∵OD为圆的半径，∴直线DE与⊙O相切；(2)连接OE，∵OA=2，AC=6，则OD=2，OC=4，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+(8−x)2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握直线与圆相切的判定是解本题的关键．(1)直线DE与圆O相切，连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，再利用线段垂直平分线的性质得到∠B=∠EDB，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；(2)连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，在直角三角形OCE和ODE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程得到x的值，即可确定出DE的长．26.【答案】解：(1)把B(−1,0)，D(2,−2)代入y =ax 2−43x +c 得{a +43+c =04a −83+c =−2，解得：{a =23c =−2．故抛物线的解析式为y =23x 2−43x −2；(2)当y =0时，23x 2−43x −2=0，解得x 1=−1，x 2=3，∴A(3,0)，∴AB =4，当x =0时，y =−2，∴C(0,−2)，∴OC =2，∴S △ABC =12×4×2=4，设AC 的解析式为y =kx +b ，把A(3,0)，C(0,−2)代入y =kx +b 得{3k +b =0b =−2，解得{k =23b =−2． ∴y =23x −2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F(a,23a −2)，点E(a,23a 2−43a −2)，其中−1<a <3，∴S △ACE =12EF|x A −x C |=32|23a 2−a|={a 2−3a(−1<a <0)−a 2+3a(0<a <3)， ∵S △ACE =12S △ABC ，∴a 2−3a =2或−a 2+3a =2，解得a 1=3+√172(舍去)，a 2=3−√172，a 3=1，a 4=2， ∴E 1(3−√172,1−√173)，E 2(1,−83)，E 3(2,−2)；(3)在y =ax 2+bx −2中，当x =0时，y =−2，∴C(0,−2)，∴OC =2，如图2，设P(0,m)，则PC=m+2，OA=3，AC=√22+32=√13，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，∴P1(0,2)；②当PC=CA=√13时，即m+2=√13，∴m=√13−2，∴P2(0,√13−2)；③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴√13P3C =√132，∴P3C=134，∴m=54，∴P3(0,54)，④当PC=CA=√13时，m=−2−√13，∴P4(0,−2−√13).综上所述，P点的坐标(0,2)或(0,√13−2)或(0,54)或(0,−2−√13).【解析】(1)根据待定系数法可求抛物线的解析式；(2)在y=23x2−43x−2中，当y=0时，23x2−43x−2=0，可得A(3,0)，当x=0时，y=−2，得到OC=2，根据待定系数法可求AC的解析式，如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，设点F(a,23a−2)，点E(a,23a2−43a−2)，其中−1<a<3根据S△ACE=12S△ABC，得到关于a的方程，解方程即可求解；(3)如图2，设P(0,m)，则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC=√22+32=√13，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，②当PC=CA=√13时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P3(0,54)，④当PC=CA=√13时，于是得到结论．本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：(1)180−α2;(2)AE=BE+2√33CF;理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE，∴DF=EF=√33CF，∵AE=AD+DF+EF，∴AE=BE+2√33CF;(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB=90°，AC=BC=5√2，∴∠CAB=∠ABC=45°，AB=10，∵∠ACB=90°=∠AGB，∴点C，点G，点B，点A四点共圆，∴∠AGC=∠ABC=45°，且CE⊥AG，∴∠AGC=∠ECG=45°，∴CE=GE，∵AB=10，GB=6，∠AGB=90°，∴AG=√AB2−GB2=8，∵AC2=AE2+CE2，∴(5√2)2=(8−CE)2+CE2，∴CE=7(不合题意舍去)，CE=1，若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF=7，∴点C到AG的距离为1或7．【解析】【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．(1)由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=α，即可求解；(2)由旋转的性质可得AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=EF=√33CF，即可求解；(3)分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：(1)∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE=α∴CD=CE∴∠CDE=180−α2故答案为：180−α2(2)AE=BE+2√33CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF=EF=√33CF∵AE=AD+DF+EF∴AE=BE+2√33CF(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB=90°，AC=BC=5√2，∴∠CAB=∠ABC=45°，AB=10∵∠ACB=90°=∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC=∠ABC=45°，且CE⊥AG∴∠AGC=∠ECG=45°∴CE=GE∵AB=10，GB=6，∠AGB=90°∴AG=√AB2−GB2=8∵AC2=AE2+CE2，∴(5√2)2=(8−CE)2+CE2，∴CE=7(不合题意舍去)，CE=1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF=7∴点C到AG的距离为1或7．。