全等三角形的判定方法SAS
全等三角形的判定sss和sas
A B C A ’ B ’ C ’全等三角形的判定（一）（一） 知识要点一、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''C B BC C A AC B A AB∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SSS ） 规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。
（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。
典型例题例1．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 例2.如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，且AD =BC ， AE =BF ，CE= DF.求证:DF//CE.例6. 已知：如图，四边形ABCD 中，AB= CB ，AD= CD ，求证：∠A=∠C ．例4.如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，且AC=BD ，AM= CN ，BM= DN.求证：AM∥CN，BM∥DN．例5．如图所示，AB=AE ．BC= ED ，CF=FD ．AC=AD ，求证：∠BAF= ∠EAF.B C DEFAA B C A ’ B ’ C ’A BC DE二、三角形全等的判定方法二：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠='''''C A AC A A B A AB ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SAS ）知识延伸：“SAS ”中的“A ”必须是两个“S ”所夹的角。
全等三角形的判定定理SAS
三角形全等的判定定理2SAS1.掌握“边角边”定理的内容.2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.让学生探索三角形全等的条件,体验操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边角边”定理的理解和应用.【难点】指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件,直尺、圆规和剪刀.【学生准备】直尺、圆规和剪刀.导入一:【提出问题】(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的内容是什么?(2)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示.[设计意图]复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.导入二:如图所示,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点间的距离.你能设计一种量出A,B两点之间距离的方案吗?说明你的设计理由.[设计意图]这样设计既交代了本节课要研究和学习的主要问题,将数学问题与实际生活相结合,又能较好地激发学生求知与探索的欲望.同时让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.导入三:某同学不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.如果只准带一块碎片,那么应该带哪一块去?能试着说明理由吗?利用今天要学的“边角边”知识可知带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.[设计意图]通过现实生活中的实际问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.一、“边角边”定理的探究思路一1.先任意画一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)点拨:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.解:如图所示,(1)画∠DA'E=∠A;(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;(3)连接B'C'.肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.【得出结论】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.用符号语言表示为:在ΔABC与ΔA'B'C'中,∵∠∠∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SAS).[易错提示]“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.3.问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例说明)思路二1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30°.(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ΔABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ΔABD.这个试验说明了什么?教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角相等时,这两个三角形不一定全等.2.画一个ΔABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°.比较小组内成员所画的三角形是否全等.(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而使学生发现“边角边”定理)【提出问题】通过刚才的操作,你能得出什么结论?学生交流后得出基本事实,即“如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等”.简记为“边角边”或“SAS”.二、例题讲解(教材例2)如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形.〔解析〕如果能证明ΔABC≌ΔDEC就可以得出AB=DE.由题意可知ΔABC和ΔDEC具备“边角边”的条件.证明:在ΔABC和ΔDEC中,∵∠∠∴ΔABC≌ΔDEC(SAS).∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).【小结】从上例可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.注意:三角形全等的条件中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.1.如图所示,已知AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 ()A.1对B.2对C.3对D.4对解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,又∵AB=CD,AE=FD,∴ΔABE≌ΔDCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,∴∠BEF=∠CFE,又∵EF=FE,∴ΔBEF≌ΔCFE(SAS),∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE,∴ΔABF≌ΔDCE(SSS),∴全等三角形共有三对.故选C.2.如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,补充下列哪一个条件后,能应用“SAS”判定ΔABC≌ΔDEF()A.BE=CFB.∠ACB=∠DFEC.AC=DFD.∠A=∠D解析:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).∠B的两边是AB,BC,∠DEF的两边是DE,EF,而BC=BE+CE,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BE=CF.故选A.3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ΔABD≌ΔACE,需补充的条件是()A.∠B=∠CB.∠D=∠EC.∠1=∠2D.∠CAD=∠DAC解析:已知AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的夹角,∴A不可以;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可以;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以为补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,D不可以.故选C.4.看图填空.如图所示,已知BC∥EF,AD=BE,BC=EF.试说明ΔABC≌ΔDEF.解:∵AD=BE,∴=BE+DB,即=.∵BC∥EF,∴∠=∠(两直线平行,同位角相等).在ΔABC和ΔDEF中,,∴ΔABC≌ΔDEF(SAS).解析:由AD=BE,利用等式性质可得AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质可得∠ABC=∠DEF,再加上BC=EF,利用“SAS”说明ΔABC≌ΔDEF.答案:AD+DB AB DE ABC DEF AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF第2课时一、“边角边”定理的探究二、例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第39页练习第1,2题.【选做题】教材第43页习题12.2第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,根据“SAS”,如果AB=AC,,即可判定ΔABD≌ΔACE.2.如图所示,已知∠1=∠2,要使ΔABC≌ΔADE,还需条件()A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD3.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明ΔAOB≌ΔDOC,还需()A.AB=DCB.OB=OCC.∠BAD=∠ADCD.∠AOB=∠DOC4.完成下面的证明过程.如图所示,已知:AD∥BC,AD=CB,AE=CF.求证:∠D=∠B.证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠(两直线平行,相等).∵AE=CF,∴AF=.在ΔAFD和ΔCEB中,∠∠∴ΔAFD≌ΔCEB(SAS),∴=.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC和ΔABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证AC=BD.【拓展探究】6.(1)如图所示,方格纸中的ΔABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.在图(1)中画出与ΔABC全等且有一个公共顶点的格点三角形A'B'C';在图(2)中画出与ΔABC全等且有一条公共边的格点三角形A″B″C″.(2)先阅读,然后回答问题.如图所示,D是ΔABC中BC边上一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,∠BAE=∠CAE,试说明ΔAEB≌ΔAEC.解:在ΔABE和ΔACE中,因为AB=AC,∠BAE=∠CAE,EB=EC, (1)所以根据“SAS”可知ΔABE≌ΔACE (2)请问上面解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.【答案与解析】1.AD=AE(解析:AB=AC,∠A为两三角形公共角,又AD=AE,∴ΔABD≌ΔACE(SAS).答案不唯一.)2.D(解析:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE,A,B不是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故错误;C.三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故本选项错误;D是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故本选项正确.故选D.)3.B(解析:还需OB=OC.∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴ΔAOB≌ΔDOC(SAS).故选B.)4.C 内错角CE ∠D ∠B5.证明:在ΔADB和ΔBCA中,∵∠∠∴ΔADB≌ΔBCA(SAS),∴AC=BD.6.解:(1)答案不唯一,如下图所示. (2)上面解题过程错误,错在第1步.在ΔAEB和ΔAEC中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,EA=EA,∴ΔAEB≌ΔAEC(SAS).这节课是三角形全等判定的第二节课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边一角时”三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯.比较成功的地方有以下几处: (1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好.1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不够认真,导致在观察比较的时候发生偏差.2.学生在探讨两边一对角的两个三角形不一定全等的时候,理解得不够好,教师指导点拨不到位.在探究“边边角”时,明确要求学生要用圆规和直尺来画,用圆规来确定第三个顶点时,很容易就能使学生发现有两种不同的情况,从而可以判定满足“边边角”的两个三角形不一定全等.在此可以适当少用些时间,这样可以给学生多留出一些练习的时间,让学生加深对定理的印象.练习(教材第39页)1.解:相等.因为在ΔDAB和ΔCAB中,公共边∠∠所以ΔDAB≌ΔCAB(SAS),所以DB=CB,所以C,D到B的距离相等.2.证明:因为BE=CF,所以BE+EF=EF+CF,即BF=CE.在ΔABF和ΔDCE中,∠∠所以ΔABF≌ΔDCE(SAS),所以∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).(2014·吉林中考)如图所示,ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ΔABD≌ΔAEC.〔解析〕根据∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE,再根据全等三角形的条件可得出结论.证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE.在ΔABD和ΔAEC中,∠∠∴ΔABD≌ΔAEC(SAS).(2014·漳州中考)如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使ΔABC≌ΔDEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)〔解析〕先得出BC=EF,添加条件答案不唯一.AC=DF,根据“SAS”推出两三角形全等即可.答案不唯一.解:添加AC=DF.证明如下:∵BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,∴BC=EF.在ΔABC和ΔDEF中,∠∠∴ΔABC≌ΔDEF.。
八年级数学上册《全等三角形的判定SAS》教案、教学设计
（四）课堂练习
1.教师出示几道具有代表性的习题，要求学生独立完成。
a.判断以下两个三角形是否全等，并说明理由。
b.运用SAS判定方法，证明以下两个三角形全等。
c.运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。
2.教师对学生的解答进行点评，针对错误进行讲解，帮助学生掌握正确的方法。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作解决问题的能力，提高学生的数学表达和逻辑推理能力。
4.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。
（三）情感态度与价值观
在本章节的学习中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生主动探索、积极思考的学习热情。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的需求进行分层教学，注重培养学生的几何直观和逻辑思维能力，提高学生对全等三角形判定方法的掌握和应用。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.全等三角形的定义及判定方法SAS的理解与应用。
2.对应边和对应角的识别，以及如何运用SAS判定等三角形。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结全等三角形的判定方法SAS及其应用。
2.学生分享自己在学习本节课过程中的收获和感悟，以及遇到的困难和问题。
3.教师针对学生的总结，进行补充和强调，确保学生对本节课的知识点有全面、深入的理解。
4.教师布置课后作业，要求学生完成相关的练习题，巩固所学知识。
八年级数学上册《全等三角形的判定SAS》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的判定方法SAS（边角边）。
全等三角形的判定(SAS)
三角形全等的判定（SAS）【教学目标】1．经历几何图形的基本变换：平移、旋转、轴反射，理解判定三角形全等的第一种方法：“边角边”；(难点)2．掌握用“边角边”证明两个三角形全等．(重点)【教学过程】一、情境导入如图，在△ABO中，延长AO到点C，使CO＝AO，延长BO到点D，使DO＝BO，连接CD，那么△ABO与△CDO 全等吗？二、合作探究探究点：用“SAS”判定两个三角形全等【类型一】利用“边角边”添加条件，判定三角形全等例1：如图，已知∠ABC＝∠BAD，只需添加条件____________，就可以用“SAS”判定△ABC≌△BAD.解析：由于公共边AB＝AB，又∠ABC＝∠BAD，用“SAS”判定△ABC≌△BAD，添加的条件应当是夹角的另一边对应相等，故填BC＝AD.方法总结：利用“边角边”判定两个三角形全等，“角”是两边的夹角，“两边”是夹这个角的两边，而不能是这个角的对边．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等例2：下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．【类型三】利用“边角边”证明两个三角形全等例3：如图，AC∥BD，AC＝BD，E、F在AB上，且AE＝BF.求证：△ACF≌△BDE.解析：因为AC ∥BD ，所以有∠A ＝∠B ，由AE ＝BF ，可得AF ＝BE .有两边及一夹角对应相等，故可根据SAS 判定两三角形全等．证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B .∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF 即AF ＝BE .在△ACF 和△BDE 中，AC ＝BD ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ACF ≌△BDE (SAS)．方法总结：①在全等三角形中，常把两直线的平行关系转化为角之间的关系(相等或互补)．②“边角边”中的边必须是全等三角形中的边，而不能是边上的一部分． 【类型四】 利用“SAS ”证明三角形全等与等腰三角形性质的综合运用例4：如图所示，∠BAC ＝∠ABD ，AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系，并给出证明．解析：首先进行判断：OE ⊥AB ，由已知条件不难证明△BAC ≌△ABD ，得∠OBA ＝∠OAB 再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．解：OE ⊥AB .证明：在△BAC 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠BAC ＝∠ABD BA ＝AB ，，∴△BAC ≌△ABD (SAS)．∴∠OBA ＝∠OAB ，∴OA ＝OB .又∵AE ＝BE ，∴OE ⊥AB .方法总结：①本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识．②根据全等三角形可得对应边相等，对应角相等，所以要证明线段相等或角相等时，常常可转化为证明三角形全等．【类型五】 “边角边”的实际应用例5：如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量什么？为什么？解析：利用边角边可判定△AOB ≌△COD ，从而有CD ＝AB ，所以只要测量出CD 的长即可．解：只要测量CD .理由：连接AB ，CD .∵点O 分别是AC 、BD 的中点，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .在△AOB 和△COD 中，OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ，∴△AOB ≌△COD (SAS)．∴CD ＝AB .答：需要测量CD 的长度，即为工件内槽宽AB .方法总结：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形把需要测量的线段转化到容易测量的边上或者已知边上来，从而求解．【板书设计】边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等(如图)．【教学反思】在课本情景引入中，采用了探究的方式，让学生经历几何图形的基本变换：平移、旋转、轴反射，学会了用观察、猜想等方法来得出结论，培养学生分析问题、解决问题的能力．用边角边判定两个三角形全等时，注意条件中的角必须是这两边的夹角．。
全等三角形判定一ASA,SAS基础知识讲解
全等三角形的判定一（ASA SAS （基础）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法1 “角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】【全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定1―― “角边角”全等三角形判定1―― “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA）.要点诠释：如图，如果/ A=Z A', AB= A'B'，/ B=Z B'，则△A'B'C'.要点二、全等三角形判定2―― “边角边”1.全等三角形判定2―― “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“ SAS）要点诠释：如图，如果AB = A'B'，/ A=Z A' , AC = A'C',则厶ABC^A A'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ ABC W^ABD中, AB= AB AC= AD / B=Z B,但△ ABC 与厶ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1 -------- “角边角【高清课堂：379110全等三角形判定二，例5】01、（优质试题？渝中区模拟）如图，已知AQBC相交于点QOB=O D / ABD M CDB【思路点拨】由0B=0,得出/ OBD h ODB进而得出，/ ABO h CDO 再利用ASA证明即可.【答案与解析】解：T OB=O,:丄 OBD h ODBvZ ABD h CDB:丄 ABO Z CDO在厶AOB^ COD中f ZAB0=ZCD0\ OB^OD ,[Z AOB=Z COD•••△AOB2A COD( ASA.【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出Z ABO Z CDO 举一反三：【变式】如图，AB// CD AF// DE BE= CF.求证：AB= CD.【答案】证明：v AB// CD •••/ B=Z C.v AF// DE,「・Z AFB=Z DEC.又v BE= CF,「. B日EF= CF+ EF,即卩BF= CE.在厶ABF^ DCE中,B - . C* BF =CENAFB =NDEC•••△ABF^A DCE（ ASA••• AB= CD （全等三角形对应边相等）.类型二、全等三角形的判定2―― “边角边”02、（优质试题？泉州）如图，△ ABC>△ CDE均为等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90° 点 E 在AB 上.求证：△ CDACEB.【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD, BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可.【答案与解析】证明：•/△ ABC、△ CDE均为等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90 °•CE=CD, BC=AC,•/ ACB -Z ACE= / DCE -Z ACE ,•/ ECB=Z DCA ,BC=AC[■ -： -■ •:,EC=DC03、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A 、B 、D【答案】AE = CD 并且AE1 CD证明：延长AE 交CD 于 F ，•••△ ABC ffi^ DBE 是等腰直角三A B D 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的 性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质, 等量加等量，还是等量三点共线，AB= CB EB= DB / ABG=Z EBD= 90 ° ），连接AE CD 试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结 ••• AB= BC BD= BE在厶 ABE ffiA CBD 中AB = BCABE 二 CBD =90BE 二 BD• △ ABE^A CBD （ SAS• AE = CD / 1 = Z 2又T/ 1 + / 3= 90°，/ 3=Z 4 （对顶角相等）• /2+/4= 90°，即/ AFC= 90°• AE! CD。
全等三角形的判定方法SAS公开课获奖课件省赛课一等奖课件
用符号语言体现为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
AA A B
SSA不能 鉴定全等
BBB
CC
DD
B
C A
D
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
1.若AB=AC，则添加什么条件可得
△ABD≌ △ACD?
A
△ABD≌ △ACD
B
S
SA
S
AD=AD ∠BABD=C∠DCAD AB=AC
D C
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可 证得△ACB≌ △ADB
§12.2 三角形全等旳鉴定(二)
知识回忆: 三角形全等鉴定措施1
三边相应相等旳两个三角形全等（能够简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言体现为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
注重书写格式
三步走： ①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
C A
△ACB≌ △ADB
S
SA
S
B AB=AB ∠CBACB==B∠D DAB AC=AD
D
3.如图:己知 AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在 直线ＡＣ上，试阐明ＤＥ∥ＢＦ。
A
●
D
●
E F
●
11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解
全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。
全等三角形sas判定方法
全等三角形sas判定方法
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。
判定两个三角形是否全等可以使用不同的方法，其中之一是SAS
（Side-Angle-Side）判定方法。
SAS判定方法是通过比较两个三角形的两边和夹角是否完全相等来确定它们是否全等。
具体步骤如下：
1. 比较两个三角形的第一条边。
如果它们的长度相等，则继续下一步。
如果不相等，那么两个三角形不全等。
2. 比较两个三角形的第一个夹角。
如果它们的大小相等，则继续下一步。
如果不相等，那么两个三角形不全等。
3. 比较两个三角形的第二条边。
如果它们的长度相等，则可以得出结论说两个三角形是全等的。
如果不相等，那么两个三角形不全等。
使用SAS判定方法时需要注意以下几点：
- 在比较两个三角形的边长时，必须确保对应边的顺序相同。
例如，如果第一个三角形的第一条边是AB，第二条边是AC，那么在比较时，第二个三角形的对应边也必须是AB和AC。
- 在比较两个三角形的夹角时，必须确保对应角的位置相同。
例如，如果第一个三角形的第一个夹角是∠A，那么在比较时，第二个三角形的对应角也必须是∠A。
- SAS判定方法只能确定两个三角形是否全等，不能确定它们的形状或大小。
除了SAS判定方法，还有其他方法可以判定三角形的全等关系，例如SSS（Side-Side-Side）判定方法和ASA（Angle-Side-Angle）判定方法。
不同的判定方法适用于不同的情况，选择合适的方法可以更准确地判定三角形的全等关系。
12.2.2三角形全等的判定(SAS)最新
A
△BOD≌ △COE
D E
S
A
S
O
B C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
在△COA与△COB中 ∠COA=∠COB OC=OC
∴△COA≌△COB（ SAS）
∵直线 l ⊥AB
∴∠COA=∠BOC=90° A OA=OB
O
B
∴CA=CB（全等三角形对应边相等）
垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分 这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等。
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
注重书写格式
三步走：
①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边
不能! SSS ?
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相 等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一） 三边对应相等的两个三角形全等。 简称“边边边”或“SSS”
知识回顾:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
全等三角形的判定(SAS)
2.如图 与BD相交于点 ， 如图AC与 相交于点O， 如图 相交于点 已知OA=OC，OB=OD， ， 已知 ， 求证:△ 求证 △AOB≌△COD ≌
A O D C
B
证明: 证明
AOB和 COD中 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD ∠ ______________ OB=OD
A
∠B=∠E ∠ BC=EF
B
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） ≌ （ ）
E
F
基础练习（填空题） 基础练习（填空题） 1.如图 AB=EF,AC=DE,问△ABC≌△EFD 吗？ 如图, 如图 问 ABC≌△
为什么？ 为什么？ A
40°
D B F
答:△ABC≌△EFD △ ≌
C
E
证明: 证明:在△ABC和△EFD 中, 和
B
E
F
C
2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到： 如图，已知 应填什么条件就得到： 如图 应填什么条件就得到 只允许添加一个条件) △AOC≌ △BOD(只允许添加一个条件 ≌ 只允许添加一个条件
B
C O A D
小结： 小结： 两边和它们的夹角对应相等的两个三 边角边” 角形全等。 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 与 中 AB=DE
作业 P15 习题3 习题 P16 习题 ，10 习题9，
B 1 2 C A
D
变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= 变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2 1:已知 求证:(1) (2)BD 平分∠ ADC 平分∠ 求证:(1) AD=CD (2)
19.2.2 三角形全等的判定(SAS)-
小明的设计方案： 小明的设计方案：先在池塘 旁取一个能直接到达A 旁取一个能直接到达A和B处的 连结AC并延长至D AC并延长至 点C，连结AC并延长至D点， AC=DC，连结BC并延长至E BC并延长至 使AC=DC，连结BC并延长至E BC=EC，连结CD CD， 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长， DE的长 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A 两点的距离。 等于A，B两点的距离。请你说 AC=DC 明理由。 明理由。
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， ∠ BC=EF=5 ㎝ 则它们完全重合吗？ 则它们完全重合吗？即 △ABC≌△ DEF ？ ≌
A 3㎝ ㎝
300
D 3㎝ ㎝
300
B
5㎝ ㎝
CE
5㎝ ㎝
F
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， ∠ BC=EF=5 ㎝ 则它们完全重合,即 则它们完全重合 即 △ABC≌△ DEF . ≌
∴△ABC≌△DEF（SAS） ABC≌△DEF（SAS）
AB=DE
B
C D
E
F
分别找出各题中的全等三角形
A
40° °
B A D C D (2) C B
F (1)
根据“ △ADC≌△CBA 根据“SAS” ADC≌△
E
根据“ △ABC≌△EFD 根据“SAS” ABC≌△
例1
如图， 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分 ABC中 AB=AC，AD平分 BAC，试说明△ABD≌△ ∠BAC，试说明△ABD≌△ACD
D A 3㎝ ㎝
300
全等三角形判定一(ASA,SAS)(提高)知识讲解
【学习目标】全等三角形判定一（ASA ，SAS ）1. 理解和掌握全等三角形判定方法 1——“角边角”，和判定方法 2——“边角边”；2. 能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定 1——“角边角”全等三角形判定 1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠ A ' ，AB ＝ A ' B ' ，∠B＝∠ B ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .要点二、全等三角形判定 2——“边角边”1. 全等三角形判定 2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果 AB ＝ A ' B ' ，∠A＝∠ A ' ，A C ＝ A 'C ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合， 故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1——“角边角”1、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的平分线 BF ，交AC 于点 F ；然后证明：当 AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.⎨ ⎩【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎧∠ADG = ∠CBF ⎪ AD = BC⎪∠DAC = ∠C ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例 7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和 NR 是△MPN 的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，⎨ ⎩⎧∠1 = ∠2 ⎪MQ = NQ ⎪∠MQP = ∠NQH ∴△MPQ≌△NHQ（ASA ）∴PM＝HN类型二、全等三角形的判定 2——“边角边”2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长 AD 到点 E ，使 AD ＝DE ，连接 CE ．通过证全等将 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了 2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长 AD 到点 E ，使 AD ＝DE ，连接 CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB＝∠EDC，BD ＝CD ．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE ．∵AC＋CE ＞AE ，∴AC＋AB ＞AE ＝2AD ．即 AC ＋AB ＞2AD ．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明 AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED，也就把 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了 2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．3、（2016•济宁二模）已知：如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且 AC ∥DF,求证：△ABC≌△DEF．⎪ ⎩【思路点拨】求出 BC=FE ，∠ACB=∠DFE，再根据 SAS 推出全等即可．【答案与解析】证明：∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC∴BC=FE∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE，在△ABC 和△DEF 中，⎧ AC = DF ⎨∠ACB = ∠DFE ，⎪BC = EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等量加等量，和相等. 举一反三：【变式】（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF ；③∠B=∠E，BC=EF ，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF ，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（ ）A.1 组B.2 组C.3 组D.4 组【答案】C ．解：第①组满足 SSS ，能证明△ABC≌△DEF． 第②组满足 SAS ，能证明△ABC≌△DEF． 第③组满足 ASA ，能证明△ABC≌△DEF． 第④组只是 SSA ，不能证明△ABC≌△DEF． 所以有 3 组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有 3组． 故选：C ．类型三、全等三角形判定的实际应用⎨ ⎩4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD ，其中 AB∥CD，在 AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳 E ，M ，F ，且 BE ＝CF ，M 在 BC 的中点.试判断三个石凳 E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行 CD （已知）∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵M 在 BC 的中点（已知）∴BM＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中⎧BE = CF ⎪∠B = ∠C⎪BM = CM ∴△BME≌△CMF（SAS ）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）∴E，M ，F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝ ∠BMC＝180°得到 E ，M ，F 在同一直线上.。
14.2三角形全等的判定SAS
△ABC≌△DEF
A
D
B
CE
F
小结：
判定两个三角形全等的第一种方法就是下面 的基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角 形全等，简记为“边角边”或“SAS”(S 表示边，A表示角)
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
F
全等三角形的判定
三角形全等判定方法1
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(可以
简记为“边角边”或“SAS”)
14.2 三角形全等的判定
探究1:
形状 1
在圆规的两脚上各取一点A、C，转动其 一个脚，△ABC的形状、大小随之改变，
那么还需要增加什么条件才可以确定 △ABC的形状呢？
A
形状
2
形状 1
形状 3
B
C
》进入 探究2
14.2 三角形全等的判定
探究1:
形状 1
在圆规的两脚上各取一点A、C，转动其 一个脚，△ABC的形状、大小随之改变，
14.2 三角形全等的判定
—SAS（边角边）
相关知识回顾:
什么叫全等三角形？
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。
全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
F
想一想：
三角形有六个基本元素（三边三角),要确定 一个三角形的形状与大小，至少需要几个元素呢？
角板，△ABC的形状发生变化。还需
要增加什么条件，才可以使△ABC的
形状确定呢？ 形状 2
A
形状 3
B
全等三角形的判定方法SAS
精品课件
②摆齐条件 ③得结论
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有 四种情况:
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 ?
(4) 两角一边
精品课件
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
C
△ABC的形状与大小是唯 一确定的吗?
10cm 8cm
8cm
45°
A B
B′
精品课件
探索边边角
C
10cm 8cm
8cm
45° A
显然： △ABC与△AB’C不全等 精品课件
B
B′
SSA不存在
知识梳理:
A
A
B
C
SSA不能
A
判定全等
B
C
D
B D
知识梳理:
A
A
B
C
SSA不能
A
判定全等
B
C
D
B D
精品课件
C
D
A
B
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD (已知)
∠CAB=∠DBA (已知)
AB=BA (公共边) ∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
精品课件
因为全等三角形的对应角相等，对应边 相等，所以，证明分别属于两个三角形的线 段相等或角相等的问题，常常通过证明两个 三角形全等来解决。
形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
2.5 第2课时 全等三角形判定方法1(SAS)
证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE，即∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中，
A∠BB＝ACAD＝，∠DAE， AC＝AE，
.
2．[2018·衡阳]如图2-5-22，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝ CE.
证：∠B＝∠E.
图2-5-16
证明：∵∠EAC＝∠DAB＝90°， ∴∠EAC＋∠CAD＝∠DAB＋∠CAD， 即∠EAD＝∠BAC. 在△BAC与△EAD中，
A∠BB＝ACAE＝，∠EAD， AC＝AD，
∴△BAC≌△EAD(SAS)． ∴∠B＝∠E.
【点悟】 当题目中的已知条件没有明确给出所需要的相等关系时，要善于 利用线段或角度的和或差进行转化．
第2章 三角形
2.5 全等三角形 第2课时 全等三角形判定方法1(SAS)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等 此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例题；【当堂测评】和 【分层作业】中的习题．
★课堂导入★ 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗(如图)，那么，老师 应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所 有的边长和所有的角度吗？
∴∠DBN＝∠DEM，BD＝ED， ∴∠DBM＝∠DEM， ∴∠DBM＝∠DBN， ∴BD平分∠ABC.
分层作业
点击进入word链接
求证：BD平分∠ABC.
图2-5-25
证明：如答图，在AB上截取ME＝BN，并连接DE. ∵∠BMD＋∠EMD＝180°，∠BMD＋∠BND＝180°， ∴∠EMD＝∠BND. 在△BND和△EMD中，
12-2-2 三角形全等的判定SAS(解析版)
12.2.2三角形全等的判定SAS瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进 SAS 的概念题型一：SAS 的概念【例题1】（2021·河北邢台市·九年级一模）已知：在ABC 中，AB AC =，求证：B C ∠=∠ 证明：如图，作______ 在ABD △和ACD △中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△ B C ∴∠=∠其中，横线应补充的条件是（ ） A ．BC 边上高ADB ．BC 边上中线AD知识点管理 归类探究 基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． 几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中， AB ＝DE ，∠B ＝∠E ， BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．ABCDEFC ．A ∠的平分线AD D ．BC 边的垂直平分线【答案】C【分析】根据全等三角形判定SAS ，即可选出． 【详解】证明：如图，作A ∠的平分线AD 在ABD △和ACD △中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△B C ∴∠=∠故选C【点睛】本题型考查了全等三角形的判定及角平分线的定义的应用，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 变式训练【变式1-1】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，AC 、BD 相交于O ，∠1=∠2，若用“SAS”说明ACB BDA ≌，则还需加上条件（ ）A ．AD ＝BCB ．∠D ＝∠C C ．OA ＝ABD ．BD ＝AC【答案】D【分析】根据“SAS”判定ACB BDA △≌△定理即可得出结论． 【详解】解：ACB BDA △≌△已具有∠1=∠2，AB=BA ， 用“SAS”证ACB BDA △≌△需添加夹∠1，∠2的边BD=AC ，A. AD ＝BC 与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；B. ∠D ＝∠C 与已知构成AAS 判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；C. OA ＝AB 能推出三角形OAB 为等边三角形，证ACB BDA △≌△缺条件，故本选项错误；D. BD ＝AC 与已知构成SAS 证ACB BDA △≌△，故本选项正确． 故选择：D ．【变式2-1】．（2020·江苏月考）如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE =【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS ”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案． 【详解】解：需要补充的条件是BF =CE ， ∠BF +FC =CE +CF ，即BC =EF ，在∠ABC 和∠DEF 中，12AC DFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC ∠∠DEF （SAS ）． 故选：D ．【变式3-1】（2020·贵州期末）如图，已知AD ＝AE ，AF 是公共边，用“SAS ”证明∠ADF 和∠AEF 全等，给出条件正确的是（ ）A ．AF 平分∠BACB ．DF ＝EFC ．BF ＝CFD ．∠B ＝∠C【答案】A【分析】题中要求用“SAS”证明两三角形全等，而其中AD=AE ，AF 为公共边为已知条件，由此可知只需添加∠BAF=∠CAF ，即AF 平分∠BAC 即可． 【详解】解：∠AD=AE ，AF 为公共边， 当所给条件为AF 平分∠BAC ， ∠∠BAF=∠CAF ， ∠∠ADF∠∠AEF （SAS ）， 故选：A ．题型二：直接利用SAS 三角形全等【例题2】（2021·广西中考）如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ，连接AC 并延长到点D ，使CD CA =，连接BC 并延长到点E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在DEC 和ABC 中，__________________________CD CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠()DEC ABC SAS ≌ ∠____________【答案】CA ，DCE ACB ∠=∠，AB ，ED AB =【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明ED AB =． 【详解】证明：在DEC 和ABCCD CA DCE ACB CE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DEC ABC ≌()SAS ∠ED AB =【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．【变式2-1】（2021·北京九年级二模）如图，AB AD =，BAC DAC ∠=∠，70D ∠=︒，求B ∠的度数 【答案】70B ∠=︒【分析】先证明∠ABC ∠∠ADC （SAS ）得到∠B ＝∠D ，即可求解． 【详解】证明：在∠ABC 与∠ADC 中，.AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∠∠ABC ∠∠ADC ， ∠B D ∠=∠， ∠70D ∠=︒， ∠70B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的SAS 判定和性质，掌握SAS 判定方法是关键. 题型三：利用SAS 与线段的和差证三角形全等【例3】（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，已知B ，D 在线段AC 上，且AB ＝CD ，AE ＝CF ，∠A ＝∠C ，求证：BF∠DE.【分析】根据全等三角形的判定“SAS”证明∠AED∠∠CFB(SAS)，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定证明即可. 【详解】 解：∠AB ＝CD ， ∠AB ＋BD ＝CD ＋BD ， 即AD ＝CB ， 在∠AED 和∠CFB 中，AE CF A C AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AED∠∠CFB(SAS) ∠∠BDE ＝∠DBF ， ∠BF∠DE变式训练【变式3-1】（2009·辽宁大连市·中考真题）如图9，在∠ABC 和∠DEF 中，AB = DE ，BE = CF ，∠B =∠1． 求证：AC = DF (要求：写出证明过程中的重要依据)【分析】因为BE=CF ，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF ，再由AB = DE ，∠B =∠1根据“SAS”证得∠ABC∠∠DEF ，从而得出AC=DF ．【详解】证明：∠BE=CF ， ∠BE+EC=CF+EC ，即 BC=EF ． 在∠ABC 和∠DEF 中，∠∠ABC∠∠DEF （SAS ）∠AC="DF" （全等三角形对应边相等）【3-2】（2020·卓尼县第一中学八年级期中）完成下列证明过程如图，已知//AB DE ，AB DE =，D ，C 在AF 上，且AD CF =，求证：ABC DEF ∆≅∆． 证明：//AB DE∴∠_________EDF =∠（_________________________）AD CF =∵AD DC CF DC ∴+=+即______________________在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE =，____________，AC DF =ABC DEF ≅∆∆∴（_____________）【答案】A ；两直线平行，同位角相等；AC DF =；A EDF ∠=∠；SAS【分析】利用平行线的性质、线段的和差等知识证出A EDF ∠=∠、AC DF =，再根据已知条件AD CF =，凑够三个条件后即可根据SAS 即可得证 【详解】 解：∠//AB DE∠A EDF ∠=∠(两直线平行，同位角相等) ∠AD CF =∠AD DC CF DC +=+即AC DF = ∠在ABC ∆和DEF ∆中 AB DEA EDF AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABC DEF SAS ≌题型四：利用SAS 与角度的和差证三角形全等【例4】（2019·江苏扬州市·八年级月考）如图，AB=AE ，∠B=∠AED ，∠1=∠2．求证：∠ABC∠∠AED ． 【分析】利用“AAS”即可得证． 【详解】试题解析：∠∠1=∠2， ∠∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ， 即∠BAC=∠EAD ， 在∠ABC 和∠AED 中，AB AE BAC EAD C D =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC∠∠AED 变式训练【变式4-1】（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图所示，AE=AC ，AB=AD ，∠EAB=∠CAD ．求证：∠B=∠D ． 【分析】要证明∠B=∠D ，只需要证明∠ABC∠∠ADE ．根据已知提供的条件通过SAS 定理即可证得． 【详解】证明:∠∠EAB=∠CAD ，∠∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD ， 即∠EAD=∠BAC ． 在∠ABC 和∠ADE 中，AB ADBAC DAE AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABC∠∠ADE （SAS ），∠∠B=∠D ．（全等三角形的对应角相等）【变式4-2】（2021·四川中考）如图，已知OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ．求证：∠AOB ∠∠COD ． 【详解】解：由图可知：DOC AOC AOD ∠=∠-∠，BOA BOD AOD ∠=∠-∠，∠AOC BOD ∠=∠， ∠DOC BOA ∠=∠，在AOB ∆和COD ∆中：OA OCBOA DOC OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AOB COD SAS ∆∆≌．3.（2019·浙江期末）如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =，则ABC ADE △≌△，请将下列说理过程补充完整． 解：BAD CAE ∠=∠，BAD DAC ∴∠+∠=______+______．即BAC ∠=______． 在ABC 和ADE 中，()()____________(AB BAC AC AE ⎧=⎪∠=⎨⎪=⎩已知已证） ()ABC ADE ∴≌ 【答案】∠CAE ，∠DAC ，∠DAE ，AD ，∠DAE ，已知，SAS ．【分析】根据等式的性质求出∠BAC =∠DAE ，根据AB =AD ，∠BAC =∠DAE ，AC =AE 推出∠ABC ∠∠ADE 即可．【详解】∠∠BAD =∠CAE ， ∠∠BAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC ， 即∠BAC =∠DAE ．∠在∠ABC 和∠ADE 中，()AB ADBAC DAE AC AE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知，∠∠ABC ∠∠ADE (SAS)．故答案为：∠CAE ，∠DAC ，∠DAE ，AD ，∠DAE ，(已知)，(SAS)．题型五：SAS证三角形全等的应用【例5】（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）如图，要测量池塘两端M，N的距离，在池塘外找一点O，连接MO，NO并分别延长，使QO=MO，PO=NO，连接PQ．则只需测出线段PQ的长度，即可得池塘两端M，N的距离，则证明两个三角形全等的理由是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．∠=∠,PO=NO,满足边角边的条件，故选A.【详解】解：在∠PQO和∠NMO中，QO=MO，POQ NOM变式训练【变式5-1】（2020·山西九年级专题练习）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定∠OAB∠∠OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【解析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定∠OAB∠∠OA′B′．【变式5-2】（2020·安徽淮南市·八年级期中）如图，公园里有一座假山，要测假山两端 A ， B 的距离，先在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C ，分别延长AC ，BC 到 D ，E ，使CD =CA ，CE =CB ，连接DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出DE 的长得到假山两端 A ，B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】D【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．【详解】解：根据题意可得：在∠ABC和∠DEC中，CD CA ACB DCE CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC∠∠DCE （SAS ），∠AB=DE ， ∠依据是SAS ， 故选：D ． 题型六：SAS 证全等的动点问题【例6】1．（2019·天津市滨海新区大港第十中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 秒后，∠BPE∠∠CQP ； （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPE 与∠CQP 全等？【答案】（1）1；（2）点Q 的运动速度为245厘米/秒. 【分析】（1）分析题意可知当BE=CP 时，∠BPE∠∠CQP ，即6=10-4t ，求解即可；（2）根据点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，可知要使∠BPE 与∠OQP 全等，只要BP ＝PC ＝5厘米，CQ ＝BE ＝6厘米即可，然后可先求出点P ，Q 运动的时间，再求点Q 的运动速度. 【详解】解：（1）∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等， ∠BP=CQ ， 又∠∠B=∠C=90°，∠当BE=CP 时，∠BPE∠∠CQP ， ∠BE=6厘米，BP=4t ， ∠CP=10-4t ， ∠6=10-4t ， 解得：t=1，即经过1秒后，∠BPE∠∠CQP ；（2）∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∠BP≠CQ ， ∠∠B ＝∠C ＝90°，∠要使∠BPE 与∠OQP 全等，只要BP ＝PC ＝5厘米，CQ ＝BE ＝6厘米即可，∠点P ，Q 运动的时间t ＝54秒， ∠点Q 的运动速度为：624554厘米/秒，即当点Q 的运动速度为245厘米/秒时，能够使∠BPE与∠CQP 全等.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题要求掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题时注意方程思想的运用．灵活运用三角形全等的判定、一元一次方程的求解和力学中的运动知识是解题关键． 变式训练【变式6-1】（2021·郑州市第七十九中学七年级期中）如图，已知在四边形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，14CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为___________厘米/秒时，能够使BPE 与以C ，P ，Q 三点所构成的三角形全等． 【答案】3或92【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度． 【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ， ∠∠B ＝∠C ，∠∠当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，∠BPE 与∠CQP 全等， 此时，6＝8﹣3t ， 解得t 23=， ∠BP ＝CQ ＝2，此时，点Q 的运动速度为223÷=3厘米/秒； ∠当BE ＝CQ ＝6，BP ＝CP 时，∠BPE 与∠CQP 全等， 此时，3t ＝8﹣3t ， 解得t 43=， ∠点Q 的运动速度为64932÷=厘米/秒； 故答案为：3或92． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式6-2】（2019·山东枣庄市·七年级期末）如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，5AD =厘米，B C ∠=∠，8BC =厘米.若点P 在线段BC 上以每秒3厘米的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段CA 上从点C向终点A 运动.（1）若点Q 的速度与点P 的速度相等，经1秒钟后，请说明BPD CQP ∆≅∆；（2）若点Q 的速度与点P 的速度不相等，当点Q 的速度为多少时，能够使BPD CPQ ∆≅∆.【答案】（1）见解析；（2）当点Q 的速度每秒154厘米，能够使BPD CPQ ∆≅∆. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断∠BPD 与∠CQP 全等； （2）设点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP=3t ，CQ=xt ，CP=8-3t ，当∠BPD∠∠CQP ，则BP=CQ ，CP=BD ；然后分别建立关于t 和v 的方程，再解方程即可； 【详解】解：（1）∠运动1秒，∠3BP =，5CP =，3CQ =， ∠D 为AB 的中点，5AD =厘米， ∠5BD =厘米， ∠3BP CQ ==，B C ∠=∠，5BD CP ==，∠BPD CQP ∆≅∆（SAS ）； （2）设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为vcm/s ， ∠∠BPD∠CPQ ， ∠BP=CP=4，CQ=5， ∠t 433BP ==， ∠v=CQt =415534÷=厘米/秒， ∠当点Q 的速度每秒154厘米，能够使BPD CPQ ∆≅∆.【变式6-3】（2020·辽宁省抚顺市抚顺县房申初级中学八年级月考）如图，在ABC 中，20AB AC cm ==，B C ∠=∠，16BC cm =，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BP 上以6/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向点A 运动，设点P 运动的时间为t ．（1）用含t 的式子表示PC 的长度为______cm ．（2）若点P 运动的速度与点Q 运动的速度相等经过多少秒后，BPD △与CQP 全等？ 请说明理由．【答案】（1）16-6t ；（2）经过1秒后∠BPD 与 ∠CQP 全等，理由见解析． 【分析】（1）由题意根据P 运动的方向、速度及BC 的长度可以得解；（2）根据SAS 定理，在∠B=∠C 的条件下，∠BPD 与 ∠CQP 全等有两种情况：BD=PC 、BP=CQ 和BD=CQ 、BP=PC ，对两种情况作出讨论可以得到解答． 【详解】解：（1）由题意得：PC=BC -BP=16-6t （cm ）， 故答案16-6t ；（2）经过1秒后，∠BPD 与 ∠CQP 全等，理由如下：∠在∠BPD 与 ∠CQP 中，若BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 则∠BPD 与∠∠CQP ，此时由题意不管t 为何值，BP=CQ 是一定的， ∠由BD=PC 得16-6t=10，∠t=1； ∠在∠BPD 与 ∠CQP 中，若BD CQB C BP PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 则∠BPD 与∠∠CQP ， 即6106166t t t=⎧⎨=-⎩，可知t 无解；综上所述，经过1秒后，∠BPD 与 ∠CQP 全等．【真题1】（2021·福建中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点，,⊥⊥DE AC DF AB ，垂足分链接中考别为E ，F ，且,DE DF CE BF ==．求证：B C ∠=∠．【分析】由,⊥⊥DE AC DF AB 得出90DEC DFB ∠=∠=︒，由SAS 证明DEC DFB ≌，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∠,⊥⊥DE AC DF AB ， ∠90DEC DFB ∠=∠=︒．在DEC 和DFB △中，,,,DE DF DEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DEC DFB ≌， ∠B C ∠=∠． 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．【拓展1】（2020·江苏扬州市·）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O 为卡钳两柄交点，且有OA OB OC OD ===，如果圆形工件恰好通过卡钳AB ，则此工件的外径必是CD 之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件()A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B【分析】连接AB 、CD ，然后利用“边角边”证明∠ABO 和∠DCO 全等，根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】如图，连接AB 、CD ，在∠ABO 和∠DCO 中，满分冲刺OA OD AOB DOC OB OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABO∠∠DCO （SAS ）， ∠AB=CD ； 故答案为：B ．【拓展2】（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．【答案】28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∠点E 在∠BAC 的平分线上 ∠∠BAD=∠CAD 在∠ABD 和∠ACD 中，AB ACBAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD∠∠ACD （SAS ）， ∠a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…， ∠a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∠a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键．【拓展3】（2021·全国七年级单元测试）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板∠COD 和∠AOB 如图∠摆放，连结AC ，BD ．（1）如图∠，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图∠中的∠COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图∠），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC 与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图∠中的∠COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图∠），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC 与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD，AC∠BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC∠BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC∠BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；（3）BD交AC于点H，AO于M，可证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．【点睛】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．【详解】（1）AC=BD，AC∠BD，证明：延长BD交AC于点E．∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠∠OAC=∠OBD，∠∠ADE=∠BDO，∠∠AED=∠BOD=90º，∠AC∠BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∠∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∠∠AOC=∠BOD，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠∠AGF=∠BGO，∠∠AFG=∠BOG=90º，∠AC∠BD；（3）AC=BD，AC∠BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∠∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∠∠AOC=∠BOD，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠∠AMH=∠BMO，∠∠AHM=∠BOH=90º，∠AC∠BD．。
全等三角形的判定(SAS)
与HL判定方法的比较
01 02
应用条件
HL判定方法是直角三角形特有的全等判定方法，要求斜边和一条直角 边分别相等。而SAS判定方法对三角形形状没有特殊要求，只要满足两 边和夹角分别相等即可。
适用场景
HL判定方法仅适用于直角三角形，而SAS判定方法适用于所有类型的三 角形。
03
证明过程
HL判定方法的证明依赖于勾股定理和边长的完全重合，而SAS判定方法
第一步，根据已知条件，画出两个三角形，使它们有两边相等，并且夹角也相等。
第二步，通过已知的两边和夹角，利用余弦定理或正弦定理，可以求出第三边。
第三步，由于两个三角形的三边分别相等，根据SSS全等判定，可以得出这两个三 角形全等。
已知两角和夹边证明全等
第一步，根据已知条件，画出两 个三角形，使它们有两角相等，
"全等"用符号"≌"表 示，读作"全等于"
判定全等三角形的重要性
在几何学中，研究图形的形状 、大小和位置关系是基本任务 之一
全等三角形的判定是研究图形 性质的基础，对于后续学习相 似三角形、四边形等复杂图形 具有重要意义
掌握全等三角形的判定方法， 有助于理解几何图形的变换和 性质，提高几何推理能力
并且夹边也相等。
第二步，通过已知的两角和夹边 ，利用正弦定理或余弦定理，可
以求出另外两边。
第三步，由于两个三角形的三边 分别相等，根据SSS全等判定， 可以得出这两个三角形全等。
已知三边证明全等
第一步，根据已知条件，画出两个三角形，使它们的三边分 别相等。
第二步，由于两个三角形的三边分别相等，根据SSS全等判 定，可以直接得出这两个三角形全等。这一步的证明较为直 接，无需引入其他定理或公式。
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
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B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
1.在下列图中找出全等三角形
30º
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅴ
30º
探索边边角
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 ? 已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
C △ABC的形状与大小是唯
一确定的吗?
§12.2 三角形全等的判定(二)
知识回顾:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
注重书写格式
三步走：
①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
解：在△AEC和△ADB中
C
D
AE AD 已知) ____=____( ∠A= ∠A( 公共角)
AC AB 已知) _____=____(
A
E
B
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
1.若AB=AC，则添加什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
D C
B S S A S AD=AD ∠BAD= BD=CD ∠CAD AB=AC
●
F
●
B
C
例.如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF， 还需增加一个什么条件？
A
D
B
E
C
F
知识梳理:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
SSS, SAS
例.
如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你 C 能判断BC=AD吗？说明理由。 A (已知)
(已知)
D
证明:在△ABC与△BAD中
B
AC=BD
∠CAB=∠DBA
(公共边) AB=BA ∴△ABC≌△BAD（SAS） ∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
因为全等三角形的对应角相等，对应边 相等，所以，证明分别属于两个三角形的线 段相等或角相等的问题，常常通过证明两个 三角形全等来解决。
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边
不能! SSS ?
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A A
A B A ′ B′
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？
D
思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
10cm 8cm 8cm
A
45° B B′
探索边边角
C
10cm
8cm
8cm
45° A B B′
显然： △ABC与△AB’C不全等
SSA不存在
知识梳理:
A
A
B SSA不能 判定全等 A C
B
D
C
B
D
两两 个边 三及 角一 形角 全对 等应 吗相 ？等 的
①两边及夹角对应相等的 两个三角形全等（SAS)； ②两边及其中一边的的对角对应相 等的两个三角形不一定全等． ③ 现在你知道哪些三角形全等的 判定方法？
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可 证得△ACB≌ △ADB
△ACB≌ △ADB
C
A A S S S B AB=AB ∠CAB= BC=BD ∠ DAB AC=AD D
3.如图:己知 AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在直 线ＡＣ上，试说明ＤＥ∥ＢＦ。
A
●
D
●
E
在下列推理中填写需要补充
A O B
D
的条件，使结论成立：
(1)如图,在△AOB和△DOC中 AO=DO(已知) ∠______=________( AOB ∠ DOC 对顶角相等 ) BO=CO(已知) ∴ △AOB≌△DOC（ SAS ）
C
(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知 AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB 的理由。
图一 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图一的条件，它 可称为“两边夹角”。
B
C
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边对角”
探索边角边
已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′。 画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； 2.在射线A′ D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截 取A ′C ′=AC; E C ′ 3. 连接B ′C′. C
F
知识梳理:
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D