八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定习题课件新版冀教版
《等腰三角形》教学设计
《等腰三角形》教学设计《等腰三角形》教学设计作为一名优秀的教育工作者，通常会被要求编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
我们该怎么去写教学设计呢？下面是店铺收集整理的《等腰三角形》教学设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
教材分析：《等腰三角形》是冀教版八年级数学上册第十七章第一节内容。
是在学习了轴对称之后编排的，是轴对称知识的延伸和应用。
等腰三角形的性质及判定是探究线段相等、角相等、及两条直线互相垂直的重要工具，在教材中起着承上启下的作用。
学情分析学生在本节课学习之前，已经知道了全等三角形和轴对称相关知识，那么等腰三角形又有怎样性质呢？鉴于八年级学生的年龄、心理特点及认知水平，有进一步探究新知的愿望。
本节课采用层层递进的问题启发学生的思考，让学生自主探究、合作交流中获取知识。
教学目标：知识目标：掌握等腰三角形的有关概念和相关性质。
并能用其解决有关问题。
能力目标：通过对性质的探究活动和例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感目标：在探究对等腰三角形性质活动中，让学生多动手、多思考，培养学生之间的合作精神。
教学重难点：教学重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。
教学难点：利用等腰三角形的性质解决有关问题。
教学方法：本课立足于学生的“学”，采用小组合作探究,师生互动,突出“学生是学习的主体”,让他们在感受知识的过程中,提高他们的知识运用能力。
学习中要求学生多动手、多观察、多思考，激发学生学习数学的兴趣，更好的让学生处在“做中学”“学中做”的良好学习氛围之中。
教学过程：课前准备:课前安排学生带着五个问题预习课本140页和141页的教材内容，同时让学生做一个等腰三角形的纸片，各小组长负责预习等工作。
（一）、导入先复习“轴对称图形”的相关知识，根据本节课的特点，让学生带着问观察图片，找出图片里面的轴对称图形。
(二)、思考1、自主学习，独立思考问题：（1）什么是等腰三角形？（2）等腰三角形各边都叫什么名称？各角呢？（3）等腰三角形的性质？（4）如何证明等腰三角形的性质？（5）等边三角形的概念及性质？2、动手操作、演示探究——等腰三角形的性质请同学们把等腰三角形纸片对折,让两腰重合!(电脑演示)发现什么现象?请尽可能多的写出结论.（从构成要素：边、角；相关要素：线、对称性方面考虑）(三)、议展1、探讨交流、得出结论：重合的线段重合的角AB＝AC∠B＝∠CBD＝CD∠BAD＝∠CAD∠ADB＝∠ADC由这些重合的部分，猜想等腰三角形的性质。
相似三角形模块知识点及题型整理
特殊三角形和相似一、章节目录二、地位和作用构成三角形的是边和角, 全等三角形涉及的是等边等角的三角形, 相似三角形涉及的则是等角的三角形. 全等是相似的特殊情况, 相似是对全等关系条件放宽, 按照相似关系将三角形进行分类,同一类三角形只有大小不一样,但保留了边与边之间的比值关系(形状). 因此本模块内容主要是两部分, 一是相似的基本概念,性质与判定; 二是特殊三角形(每一类特殊三角形都是相似关系)和三角函数(在相似的关系下一个角的三角函数是不变量) 考点上,相似三角形和全等在分布和难度上都类似, 选择题和填空题主要考察基本概念,判定以及性质; 大题综合考察, 也会与函数结合, 需要总结方法和思路; 特殊三角形单独考察一般是小题, 更多的是结合在其他证明题中作为条件出现, 需要对特殊三角形的性质烂熟于心; 解直角三角形会有一道大题, 主要是勾股定理应用, 方程法等等.三、知识点总结（一）特殊三角形1、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”）等腰三角形关于顶角中线对称.（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个等角所对的边相等.2、等边三角形（1）概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. （2）性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.（3）等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形（1）性质：直角三角形的两个锐角互余.（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）三角形斜边的中线性质：三角形斜边上的中线是斜边的一半.证明：倍长中线构造全等.（4）两个特殊直角三角形：30°，60°，90°：30°所对直角边是斜边的一半.45°，45°，90°：等腰直角三角形，顶角中线把三角形又分为两个等腰直角三角形4、勾股定理（1）定理内容：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方. （a2+b2=c2）.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形中有两个边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形是直角三角形.5、直角三角形全等判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.6、反证法证明一个命题是真命题：①假设命题的结论不成立；②从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果，知假设不能成立，从而说明命题的结论是正确的.讲反证法这类逻辑上的内容,可以多结合生活中的例子,从现实中体会其核心思想.（二）图形的相似1、比例线段（1）四条线段之间的关系:在四条线段a,b,c,d 中, 如果线段a 与b 的比等于线段c 与d 的比, 即a b=c d, 就称这四条线段为成比例线段, 简称比例线段, 我们也称这四条线段成比例.（2）比例线段的基本性质①如果ab=c d, 那么ad =bc .②如果ad=bc , 那么ab=cd(b,d =≠0)（3）黄金分割C 是线段AB 上的一个点，如果有ACAB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点，ACAB称为黄金分割比.黄金分割比即：全线段：较长边=较长边：较短边. 黄金分割比为常数√5−12, 约为0.618.2、平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的线段成比例. 如图所示l1//l2//l3, 则AB:BC=DE:EF.将这个事实应用于三角形后：（2）推论：平行于三角形的一边截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.（ADAB =AEEC）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形对应边成比例.（ADAB =AEAC=DEBC，第三边证明方法是过D作AC平行线.）3、相似三角形（1）概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. 若△ABC与△DEF相似，记作△ABC∼△DEF, A和D，B和E，C和F是对应点.（2）相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线与另外两边构成的三角形与原三角形相似.思路指导：遇平行找相似.②三条边分别成比例③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两组角对应相等的两三角形相似.注意课本中后四个判定的证明方法，判定①是最简单、基本的那个，后三个相似判定都是通过转化为①的情况加以证明的，由平行构造出的相似三角形也是最简单的相似模型.（“A”字形和“8”字形）（3）相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例.②对应的中线、高线、角平分线之比为相似比，周长之比也为相似比.③面积比为相似比的平方.（4）相似模型：①“A”字形相似和“8”字形相似.（一组等角和两条邻边判定.）A字形相似是由直线截得的相似，在已知一个三角形的情况下，用一条直线截这个三角形，使得直线与三角形边的夹角等于已知三角形的一个角，进而通过两个角对应相等判定截得的三角形与原三角形相似.8字形也是由直线截得的，与A字形不同的是，在这里直线截的是△ABC的两条边所在的直线，最终截得的图如下：②射影定理（三个直角三角形三组相似）如图所示△ABC是直角三角形，CD⊥AB, 则三个直角三角形两两相似，根据相似关系可得：AC2=AD⋅ABCB2=BD⋅BACD2=AD⋅DB③共线三等角（两组角对应相等）共线三等角是如图给出的相似，由∠ACB+∠DCE=180○−α=∠ACB+∠A，得∠A=∠DCE, 从而△ABC∼△CED.④旋转相似如上图,△AED,△ACB是任意三角形,ED//CB,将△AED经过旋转至图2后,形成的△ACE∼△ABD.旋转相似是前面全等三角形手拉手模型的推广,可以看到,当AC=AB时,相似比为1,也就是两个三角形全等.4、相似三角形的应用：间接测量（测旗杆）利用△ABO∼△CBD,测量BD,BO得相似比，通过CD求得OA.（测河宽）由C作AB平行线构造相似.（三）解直角三角形1、锐角三角函数锐角三角函数：在相似的意义下，三角形自身边的比值是一个不变量，因此定义一个研究这类比值的量，就是三角函数.（1）概念在直角三角形中，A是其中一个锐角：)①正弦函数sin ∠A：∠A的对边与斜边的比.(sin∠A=ac②余弦函数cos ∠A:∠A的邻边与斜边的比.(cos∠A=b)c)③正切函数tan∠A: ∠A的对边与邻边的比.(tan∠A=ab注意：2sin∠A2=sin(∠A2),sin2∠A=(sin∠A)（2）锐角三角函数的值当锐角A确定，所有以A为一个锐角的直角三角形都是相似的关系，因此他们三边之间的比值都是相等的, 因此A的角度唯一决定了三角函数的值. 即sin∠A,cos∠A,tan∠A都是A的函数.（3）锐角三角函数的性质设∠A与∠B互余，放在同一个直角三角形内，由它们各自三角函数的定义可得：①sin∠A=cos∠B②tan∠A ⋅tan∠B=1同角的三角函数有两个常用性质：①tan∠A=sin∠Acos∠A②sin2∠A+cos2∠A=1（4）几个特殊角度的三角函数值.2、锐角三角函数的计算这里涉及到计算的考点主要是上面特殊角的三角函数值，与正常的实数计算没有区别，把其中的三角函数换成对应的值就是一个普通的计算题了.3、解三角形直角三角形中，三条边和两个锐角共五个元素，知道其中两个（至少一个是边，一边一角或两边就可以确定这个直角三角形）就可以求出另外三个元素. 求解的过程就叫做解三角形.（1）斜三角形内作高构造直角三角形向外高构造直角三角形（2）俯仰角、方位角、坡度仰角：进行测量时，向上看时视线与水平线夹角α.俯角：向下看时视线与水平线夹角β.方位角：指的是南或北方向线与目标方向线所成的锐角.名称如图所示.坡度（坡比）：坡面的垂直高度（h）和水平宽度（l）的比叫坡度，以i表示.坡角：坡面与水平面的夹角（α）i=tanα四、常考题型（一）特殊三角形1、等腰三角形和等边三角形出题方向：填空题或者选择题，一般为图形计算，等腰作为条件出现，需要利用等腰所具有的性质进行计算. 或者在证明题中作为条件, 利用等腰三角形的性质构造辅助线.A若等腰三角形的周长为10cm, 其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为:_____ 考点:等腰三角形;分类讨论;三边关系.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36○, BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC考点: 等腰三角形的性质,以及判定. 顶角为36°的等腰三角形也是常考的一个图形.AB的长为半径画圆,两弧如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3, 以A,B两点为圆心, 大于12相交于M,N,连接MN与AC相交于点D,则ΔBDC的周长为:_____.考点:等腰三角形的性质; 尺规作图. 在计算ΔBDC周长时,需要通过分析转化为求AC与BC的和, 这也是在三角形计算中经常会考到的一个思想.如图,已知AD⊥BC于点D, AE⊥CE于E, ∠ACE =∠B, AD=AE,求证: D是BC的中点.考点: 结合全等等腰三角形判定; 三线合一性质如图,点D、E在Δ ABC的BC边上, AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.考点：三线合一,利用中线性质作辅助线进行证明. 不需要证明全等.在等腰三角形中三线合一,因此顶角中线(高线/角平分线)是一条重要的辅助线.如图:RtΔABC中, ∠BAC=90○, AB=AC, D是BC的中点,AE=BF.求证:DE=DF.考点:全等三角形证明;其中等腰是条件,需要想到作出高线构造全等.如图:已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=_____度.考点：等边三角形和等腰三角形的性质;外角性质.B如图, 在ΔABC中,AB=AC, AD,CE是两条中线,P是AD上的一个动点, 则BP+EP的最小值是:_____.考点: 三角形顶角中线的性质(对称性), 与将军饮马模型结合.如图,ΔABC是等边三角形, 延长BC到D, 使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为_____.考点:等腰、等边三角形; 特殊三角形已知2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为（）A. 10B.14C.10或14D.8或10.考点:等腰三角形和方程结合;分类讨论;三边关系.AC, 则等腰ΔABC底角的度数等腰ΔABC中, BD⊥AC, 垂足为点D, 且BD=12为:_____.考点:等腰三角形;分类讨论;特殊三角形等腰三角形中分类讨论的特点: ①没有图. ②若给出三角形的两个边,则这两个边都可以作为腰, 因此分类讨论; 又同时必须满足三边关系, 得出结果也要进行取舍.如图,已知点O是∠APB内的一点,M、N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A，PB分别相交于点E、F,已知MN=6cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM、PN，若∠APB=α, 求∠MPN(用含α的代数式表示)(3)在(2)的条件下,若α=30°,判定△PMN的形状,并说明理由.考点:几何证明大题,其中涉及了等边三角形的判定. 也是一类动点题的经典考法.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE, AD与CE交于点F.(1)求证AD=CE(2)求∠DFC的度数考点: 正多边形中的“弦图”，利用的是正多边形中心旋转对称性.2、直角三角形A如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_____.考点：涉及到直角三角形的简单计算题.已知：在△ABC中，AD⊥BC,∠1=∠B, 求证：△ABC是直角三角形.考点：直角三角形判定如图，在△ABC中，∠ACB=90○,∠ABC=60○，BD平分∠ABC,P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为_____.考点：直角三角形中线的性质.如图所示，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，BD ⊥ AC，若∠DBC=20○,则∠BED 为______考点：应用直角三角形中线的性质，连接中线后构造出等腰三角形.B如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=_____°（点A,B,P是网格线交点）考点：直角三角形判定；外角性质. 作法是加倍延长AP后连接终点与B，构造出的三角形是等腰直角三角形.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A’与点A重合，点C’落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90○，AC=BC=3,则B′C的长为_____.考点：主要是勾股定理的应用.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90○，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN；（2）若∠BAD=60○,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.考点:直角三角形中线性质;中位线性质;等腰直角三角形性质.如图,在Rt△ABC中, ∠A=90○,AB=AC,BC=√2+1,点M、N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B, 使点B的对应点B’始终落在边AC上. 若△MB′C为直角三角形，则BM的长为：_____.考点:动点问题,一般有两个特征:一是列代数式,列方程的思想; 二是分类讨论.本题还与折叠问题相结合.看似M、N都是动点，实际上N是随M取定而确定的.3、勾股定理勾股定理在三角形的计算中起着非常重要的作用，前面给出的部分例题也有涉及，勾股定理最常见的是作为一个方法与直角三角形相关的问题紧密结合.在一个直角三角形中，如果其中两条边分别是6和10，那么第三条边的长度是：_____.考点：直角三角形的勾股定理已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式√c2−a2−b2+|a−b|=0,则△ABC 的形状为_____.考点：勾股定理的逆定理，判定直角三角形如图，△BCD中，AB=4，AD=3, BC=13, CD=12, 且∠BAD=90○, 求△BCD的面积.考点：勾股定理的逆定理. 首先求出BD，得出△BDC是直角三角形.（二）相似三角形1、几类经典的相似模型（1）A字形相似和8字形相似如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为:_____.注意是“截得”的三角形，那么对应前面的总结，应当考虑的是截线与边的夹角∠AMN 与∠B 或∠C对应，要分类讨论,两种情况下对应关系不同，就能求出两个结果.如图，已知在△ABC中，AB=20,BC=12,D是AC上一点，过点D作DE//BC交AB于E，作DF//AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形.①求菱形的边长②求菱形BEDF面积与△ABC的面积之比.如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若AFEF =3，求CDCG的值.①尝试探究：在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则易求ABEH 的值是:_____,CGEH的值是:_____, CDCG的值是:_____.②类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFEF =m(m>0), 则CDCG的值是:_____(用含m的代数式表示)，写出解答过程;③拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若ABCD =a,BCBE=b(a>0,b>0),则AFEF的值是：_____（用含a、b的代数式表示.）写出解答过程构造相似，其思路是结合已知条件（线段的比），使之称为相似三角形中的对应边.（2）射影定理已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图，求证:△CEF∼△CBA.如图，在△ABC中，∠ACB=90○,AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：AD⋅PB=AB⋅BD.3、共线三等角（1）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60○,则AE的长为：_____.将条件标上，应该就能找到相似模型了.（2）△ABC中，∠C=90°, AC=3, BC=4,O是AB上的一个点,且AOAB =25,点P是AC上的一个动点,PQ⊥OP交线段BC于点Q(不与B、C重合)，已知AP=2，求CQ的长.思路是由O作垂线构造三等角模型.4、旋转相似（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=∠CAD.证明：①△ACE∼△ADF②EA=EF.（2）1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB;3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB=HA:AE=m:n，此时HD:GC:EB 的值与2）中结果相比有变化吗？如果有，写出变化后的结果.（三）解三角形1、锐角三角函数（1）如图所示小正方形网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cosA的值为：_____.（2）在△ABC中，∠C=90°，AB=√6,BC=√3,则∠A的度数为：_____.（3）计算题在△ABC中，若,∠A、∠B都是锐角，求∠C的度数.2、解三角形（1）如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,∠A=120°，求BC的长.解三角形的一个重要方法是作高线构造直角三角形，然后利用勾股定理..求BC和AC的长.（2）如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=2√2,tanC=23（3）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面水平放置一个平面镜E，使得B，E，D处在同一水平线上，如图所示. 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）,在F处观测旗杆顶A 的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3○≈10.02）（4）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A,C两港之间的距离为：_____（5）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD=60°,坡长AB=20米,为增强水坝强度,将坡底从A处向后水平延伸到E处,使新的背水坡的坡度为1:2,求AE 的长度.(结果精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732).。
等腰三角形的性质定理
教学设计教学环节（注明教师活学生活设计意个环节设的时间让学生一设置问题情过欣赏让学生观察生活（投影显示学生在实际丽的图片这些图片中抽的一些美丽的图片境中进入对感受几出哪种平面几何图形形的研究与图形在人字型衣架（金字塔、斜拉桥活中的顶的）泛应用、共同回忆等腰三角形、等腰直角2 画图给出等腰三角形三角形的概念，学生在小中的有关概念并给出几何语言学已经初并剪、把一张长方形的纸片对折，3步了解过得到一个等下一部分使它展开后，，等腰三角腰三角形形，一起回忆，体会到在剪裁过程中学生会出现多种方式，学生动手操数学学习要给予展示作，的连续性，对折--分析—在同一问剪裁题的不断学生独立深入探讨二、猜想与探究思考回答出对思深化中通过我们得到等腰三角形的过程，1、折后重合的线维品质你对这种图形有什么新的认识？段和角通过对折的学生回答过程中，教师板书之后继续让学过程学生不如果学生有困难可以继续引导学生生带着问题2开难发现是轴从边和角的方面去发现展讨论，分组讨对称图形 2、观察折痕的作用论，采用“中心在此过程中教师要关注到学生是否学生在此过发言人”制，综能用规范清晰的数学语言表达自己程中发展自述表达小组同的猜想，主探究的品学的观点质和对学习活动的强烈．的参与意识三、作图与证、两底角相性条件和结论分别是什么引导学生用数学符号规范的写出学生作的语言转知条件，和证明过程图，写出已知求证换能力，对在此性质证明过程中发现所做辅助及证明过几从而为性质二的顺线和折痕的关系，何语言程的应利推导做好铺垫用更规范性，2性质、三线合一学生亲自验在此环节中，教师要关注证了猜想，1、学生几何语言的规范性学生的应用意识和模仿能力认识到性质的正确性，提高了演绎推理能力四、整体认知让学生体三角形三边长度的变化投影展示学生通过观察会到事物三角当三边不同时，引起角的变化，思图形的变化，当有两边相等即等腰三角形不相等，考边与角之间之间的内当三边相等时三个角时两个角相等，的关系在联系。
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 目标二 等腰三角形的“三线合一”性质
证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∴∠C＝∠BAD.
(2)求证：AC＝EF.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB. ∴∠B＝∠EAF. 又∵BA＝AE，∠BAC＝∠AEF＝90°， ∴△BAC≌△AEF(ASA)． ∴AC＝EF.
5 如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若
∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为( )
A．60°
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B．63°
C．67°
D．70°
6 【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC 的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.
∠BED＝∠CFD， 在△BED 和△CFD 中，∠B＝∠C，
BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF.
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
解：连接AD. 由(1)可知AD平分∠BAC.由“AAS”可证△ABD≌△ACD， ∴AB＝AC.∴AD⊥BC. ∴∠BAD＋∠B＝∠BDE＋∠B＝90°. ∴∠BAD＝∠BDE＝40°. ∴∠BAC＝2∠BAD＝80°.
7 【2019·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC， AD⊥BC于点D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°. ∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
河北省2024八年级数学上册第十七章等腰三角形第1课时等腰三角形及其性质课件新版冀教版
17.1
第1课时
特殊三角形
等腰三角形
等腰三角形及其性质
CONTENTS
目
录
01
1星题
夯实基础
02
2星题
提升能力
03
3星题
发展素养
知识点1
等腰三角形
1. 已知等腰三角形的腰长为3，则底边长可能是(
A. 4
B. 6
1
2
3
4
5
C. 8
6
7
8
9
10
11
A )
D. 10
12
13
14
15
16
2. [2024承德期末]已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，
则它的周长为(
B )
A. 9
B. 12
C. 9或12
D. 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2
等腰三角形的性质
3. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(
D )
A. 过顶点的直线
B. 腰上的垂直平分线
C. 腰上的高所在的直线
D. 底边上的高所在的直线
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
13
14
15
16
16. 【学科素养·推理能力】【问题】已知：如图，在△ ABC
中，点 D 为 BC 边上一点， BD ＝ BA . EF 垂直平分
AC ，交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F ，连接 AD ， AF .
2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第17章特殊三角形
第十七章特殊三角形17.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标教学反思1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；2.探索并证明等边三角形的性质定理；3.能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.教学重难点重点：探索并证明等腰、等边三角形的性质定理；难点：能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.教学过程旧知回顾1.回忆在前面学过哪些特殊的三角形？等腰三角形、等边三角形等.2.回忆你所知道的等腰三角形、等边三角形有哪些性质？等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相等.导入新课欣赏图片引入“等腰三角形”：——生活中的“等腰三角形”在这些图片中，你发现了哪个特殊的三角形？教师引入课题：等腰三角形探究新知一、认识等腰三角形1.概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2.进一步认识等腰三角形各部分的名称.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.二、等腰三角形的性质定理探究活动：1.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？等腰三角形是轴对称图形.底边的垂直平分线是它的对称轴.2.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角AC与AB∠CAD与∠BADCD与BD∠C与∠BAD与AD∠ADC与∠ADB问题2：等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？发现1：等腰三角形的两个底角相等.如何证明两个底角相等呢？学生分析：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.思考：如何构造两个全等的三角形？教师指导，学生讨论，展示成果：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.证明：方法一：作底边上的中线作底边的中线AD，则BD＝CD.在△BAD和△CAD中，AB＝AC ( 已知 )，BD＝CD ( 已作 )，AD＝AD (公共边)，∴△BAD≌△CAD (SSS).∴∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线作顶角的平分线AD，则有∠1＝∠2.在△BAD和△CAD中，,1AB ACAD AD=⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠2，＝（公共边），∴△BAD≌△CAD(SAS)．∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．你能用一句话来叙述这个结论吗？等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.发现2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合.思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B＝∠C之外，还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现.教学反思解：∵△BAD ≌△CAD ，由全等三角形的性质易得BD ＝CD ,∠ADB ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠CAD . 又∵ ∠ADB +∠ADC ＝180°， ∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90° ，即AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边BC 上的高线 .归纳：等腰三角形的性质定理性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）. 练习：判断正误：1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或钝角.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. 学生独立完成，教师评价：1.×2.×3. ×4. √5. ×6.√例 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线.求证：BD ＝CE .证明：∵ BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， ∴ ∠ABD ＝21∠ABC ，∠ACE ＝21∠ACB . ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB (等边对等角)，∴ ∠ABD ＝∠ACE (等量代换).又∵ ∠A ＝∠A (公共角)， ∴ △ABD ≌△ACE (ASA ).∴ BD ＝CE (全等三角形的对应边相等). 三、等边三角形的定义及性质1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2.等边三角形的性质问题1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？结论1：等腰三角形的两个底角相等等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC . 求证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C (等边对等角) . 同理 ∠A ＝∠C . ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C .∵ ∠A +∠B +∠C ＝180°, ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ＝60 °.问题2： 等腰三角形“三线合一”的性质同样存在于等边三角形中吗?等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（一条对称轴）等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（三条对称轴） 归纳： 等边三角形的性质：等边三角形的三个角都_相等_，并且每一个角都等于_60°.等边三角形顶角的__平分线__、底边上的_中线___及底边上的_高__重合(__三线合一__）.练习：1.如图，等边三角形ABC 与互相平行的直线a ，b 相交，若∠1＝25°，教学反思则∠2的大小为( )教学反思A.25°B.35°C.45°D.55°2.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．学生自主完成，教师进行评价.答案：1.B2.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.课堂练习1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°2.如图，四边形ABCD是正方形，△PCD是等边三角形，连接BP，则∠BPC等于( )A.15°B.20°C.25°D.30°3.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为( )A.180°B.220°C.240°D.300°4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________.5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．参考答案1.A2.A3.C4.24°5.证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝180°-90°-30°＝60°，∴∠F AE＝∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．课堂小结1.等腰三角形的性质定理：性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）. 2.等边三角形的性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.布置作业 完成教材143页习题A 组、B 组. 板书设计17.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质教学反思第十七章特殊三角形17.1 等腰三角形第2课时等腰三角形的判定教学目标教学反思1.理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；2.运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算；3.会利用尺规作图完成：已知底边及底边上的高线作等腰三角形.教学重难点重点：理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；难点：运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.教学过程旧知回顾1.回忆等腰三角形的性质定理性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）.2.回忆等边三角形的性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.导入新课生活事件引入“等腰三角形的判定”：——海上救援位于海上B，C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠ABC＝∠ACB.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪等因素）？建立数学模型：如图，在△ABC中, ∠B＝∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?你能验证你的结论吗？教师引入课题：等腰三角形的判定探究新知一、等腰三角形的判定定理已知：如图，在△ABC中, ∠B＝∠C.求证：AB＝AC.教师引导提示,学生分析：构造两个全等的三角形，利用全等三角形的对应边相等来证得AB＝AC.证明：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D.在△ABD 和△ACD 中， 12B C AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝， ∴ △ABD ≌ △ACD ，∴ AB ＝AC . 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简写成“等角对等边”） 几何语言： 在△ABC 中， ∵ ∠B ＝∠C ，∴ AC ＝AB ， 即△ABC 为等腰三角形. 练习：1.在△ABC 中，∠A 与∠B 的度数如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是( ) A .∠A ＝60°，∠B ＝50° B .∠A ＝70°，∠B ＝60° C .∠A ＝40°，∠B ＝70° D .∠A ＝40°，∠B ＝80° 2.辨一辨：如图,下列推理正确吗?∵ ∠1＝∠2，∴ BD ＝DC .∵. 学生自主完成，教师进行评价. 答案：1.C 2.错，因为都不是在同一个三角形中. 二、等边三角形的判定定理 大家讨论： 1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？说出你的理由. 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？说出你的理由. 学生自主讨论，得出结论： 1.是，连续用两次等角对等边，等量代换可得三角形的三边相等. 2.是，（1）若60°是顶角，根据内角和定理，可求得另外两个底角都等于60°； （2）若60°是底角，根据内角和定理可求得顶角也为60°，所以有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 归纳： 等边三角形的判定方法： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 例1 如图,在等边三角形ABC 中，DE ∥BC ,分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 是等边三角形. 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C . ∵ DE ∥BC , ∴ ∠ADE ＝∠B , ∠AED ＝∠C . 教学反思∴∠A＝∠ADE＝∠AED.教学反思∴△ADE是等边三角形.练习：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.(1)(2) (3) (4) (5) (6)答案：（2）（3）（5）（6）是，（1）不是，（4）不一定是.三、尺规作等腰三角形例2已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图(1)所示,已知线段a和h.求作等腰三角形ABC,使BC＝a,高AD＝h.（1）（2）教师指导，学生分析：先作出线段BC＝a，再作出BC的垂直平分线.在这条垂直平分线上截取点A，使点A到BC的距离＝h，连接相关点即得.解：作法：(1)作线段BC＝a.(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.(3)在DM上截取DA＝h.(4)连接AB,AC.则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.学生通过例2的学习,自主探究作图方法.课堂练习1.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD＝8cm，则CD等于( )A.8cmB.4cmC.15cmD.20cm2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )A．5个B．4个C．3个D．2个3.在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )教学反思①②③ ④A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.5.如图，在△ABC中，AB＝AC,D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.参考答案1.A2.A3.D4.185.解：△ADF是等腰三角形.理由：在△ABC中.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC,∴∠DEB＝∠DEC＝90°,∴∠BDE+∠B＝90°,∠F+∠C＝90°,∴∠BDE＝∠F.∵∠BDE＝∠ADF,∴∠ADF＝∠F,∴AF＝AD,∴△ADF是等腰三角形.课堂小结1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)说明：(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆；(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线；(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.2.等边三角形的判定定理(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.布置作业完成教材146页习题A组、B组.板书设计17.1 等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定教学反思第十七章特殊三角形17.2 直角三角形教学目标教学反思1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余；2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形；3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学重难点重点：掌握直角三角形的性质定理和判定定理.难点：初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.教学过程旧知回顾1.回忆三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.2.回忆直角三角形的概念及其表示：（1）直角三角形定义：有一个角等于90°的三角形叫直角三角形；（2）符号：Rt△，直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC.导入新课实际生活引入“直角三角形”：——三角板.这是教师经常使用的两个三角板，同学们手中也有一副这样的三角板，观察一下看看它们三个内角之间有什么规律.教师引入课题：直角三角形.探究新知一、直角三角形的性质定理1和判定定理互助探究一：直角三角形的两个锐角关系.学生自主完成证明：直角三角形的两个锐角互余.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A+∠B＝90°.证明：∵在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°-∠C＝180°-90°＝90°.小结：直角三角形的两个锐角互余 .符号语言：在△ABC中，∠C＝90°,∴∠A+∠B＝（90°）.教学反思直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.探讨：1.是否存在这样的三角形，它既是等腰三角形，又是直角三角形？等腰直角三角形.2.等腰直角三角形的两个锐角各是多少度呢？45°.例如图，∠C＝∠D＝90°,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？教师指导，学生分析：通过观察∠CAE与∠CEA互余，∠DBE与∠DEB互余.解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90 °-∠AEC.在Rt△BDE中, ∠DBE＝90 °-∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.互助探究二：直角三角形的判定定理如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.已知：在△ABC中，∠A+∠B＝90°.求证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°,∵∠A+∠B＝90°,∴∠C＝180°-（∠A+∠B）＝180°-90°＝90°,∴△ABC是直角三角形.符号语言：在△ABC中，∠A+∠B＝（90°）,∴△ABC是（直角）三角形.直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.练习：1.如图1，图中直角三角形共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个图1 图22.如图2，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°，则△AOB是三角形.答案：1.C 2.直角二、直角三角形性质定理2互助探究三：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(1)(2) (3)在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C＝90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）.完成下列问题：(1)∠ECF 与∠B 有怎样的关系？线段EC 与线段EB 有怎样的关系？ ∠ECF ＝∠B ，EC ＝EB .(2)由发现的上述关系以及∠A +∠B ＝∠ACB ，∠ACE +∠ECF ＝∠ACB ，你能判断∠ACE 与∠A 的大小关系吗？线段AE 与线段CE 呢? ∠ACE ＝∠A ，AE ＝CE .(3)由发现的上述关系，你能猜想线段CE 与线段AB 的关系吗? 猜想：CE ＝AE ＝EB ，即CE 是AB 的中线，且CE ＝21AB . 即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 下面就来证明上面的“猜想”已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的中线. 求证：CD ＝12AB . 证明：如图，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ； 作DF ∥AC ，交BC 于点F . 在△AED 和△DFB 中，A FDBAD DB ADE B ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠（两直线平行，同位角相等）,∵＝（中线的概念），∠＝∠（两直线平行，同位角相等）， ∴ △AED ≌△DFB (ASA ).∴ AE ＝DF ，ED ＝FB .(全等三角形的对应边相等）同理可证，△CDE ≌△DCF . 从而，ED ＝FC ，EC ＝FD .∴ AE ＝EC ，CF ＝FB .(等量代换） 又∵ DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴ DE 为AC 的垂直平分线，DF 为BC 的垂直平分线. ∴AD ＝CD ＝BD (线段垂直平分线的性质定理). ∴ CD ＝12AB . 直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.练习：1.如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2 km ，则M 、C 两点间的距离为( ) A .0.5 km B .0.6 km C .0.9 km D .1.2 km2.在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．学生自主完成，教师评价 答案：1. D 2. 4互助探究四： 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.求证：BC ＝12AB . 教学反思证明：作斜边上的中线CD ，则CD ＝AD ＝BD ＝12AB. ∵ ∠A ＝30°,∴ ∠B ＝60°.∴ △CDB 是等边三角形，∴ BC ＝BD ＝ 12AB .还可以这样证明：延长BC 到D ,使CD ＝BC , 连接AD . 在△ABC 和△ADC 中,{AC ＝AC ，∠ACB ＝∠ ACD ＝90°，BC ＝DC ，∴ △ABC ≌△ADC (SAS ), ∴ AB ＝AD . ∵ ∠BAC ＝30°,∴ ∠B ＝90°-30°＝60°, ∴ △ABD 是等边三角形, ∴ AB ＝BD ,∴ BC ＝21AB .含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 课堂练习1.具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 ( )A.∠A +∠B ＝∠CB.∠A -∠B ＝∠CC.∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D.∠A ＝∠B ＝3∠C2.如图1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是( )A .26°B .38°C .42°D .52°图1 图23.如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，则AB 等于( )A .9 cmB .8 cmC .7 cmD .6 cm4.如图3，E 是△ABC 中AC 边上的一点，过E 作ED ⊥AB ,垂足为D .若∠1＝∠2，则△ABC 是______三角形.图3 图45.如图4，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．求证：△ACD 是直角三角形．教学反思参考答案1.D2.D3.B4.直角5.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形.课堂小结1.直角三角形的性质定理1和判定定理：性质定理1：直角三角形的两个锐角互余；判定定理：如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.布置作业完成教材149页习题A组、B组.板书设计17.2直角三角形教学反思第十七章特殊三角形17.3 勾股定理第1课时勾股定理教学目标教学反思1.理解如何用面积法证明勾股定理，并掌握勾股定理的内容.2.会初步应用勾股定理进行简单的计算.教学重难点重点：掌握勾股定理的内容.难点：会用勾股定理进行简单的计算.教学过程旧知回顾回顾直角三角形的性质定理和判定定理.师生活动：教师找一个学生回答，如果回答不全，再请别的同学进行补充.性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.导入新课数学故事引入“勾股定理”：——毕达哥拉斯相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？（教师引导学生从面积角度观察图形）本节课我们就来学习勾股定理.板书课题探究新知一、猜想直角三角形的三边关系师生互动：问题1：图中每个小方格都是边长为1的小正方形，完成下列内容：(1) BC＝,AC＝, AB＝.(2) 以AC 为边的正方形的面积是 ；以BC 为边的正方形的面积是 ； 以AB 为边的正方形的面积是 .(3)三个正方形的面积之间的关系是 + ＝ . (4)能不能用直角三角形ABC 的三边表示三个正方形面积的等量关系？ 问题2：如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB ＝.完成下列内容，并试着探究其中规律.（1）以AC 为边的正方形的面积是 平方厘米 （2）以BC 为边的正方形的面积是 平方厘米 （3）以AB 为边的正方形的面积是 平方厘米. 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 问题3：（1）在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A ，B ，C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：（2）填表： 【对于C 的面积的求法，教师做好指导工作（补形法、分割法）】思考 正方形A ，B ，C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 通过探究师生共同猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 二、实验操作 验证结论 1.传统拼图验证：给学生进行分组，让学生课前自己准备材料. 步骤如下：（1）随意确定两条线段a 、b ；（2）剪4个以a 、b 为直角边的直角三角形； （3）用这4个直角三角形拼成一个正方形；（4）思考：你拼的正方形中是否含有以斜边c 为边的正方形? （5）你能否就你拼出的图说明222c b a =+？（小组合作，进行拼图，在黑板上将拼图粘贴进行演示说明）教学反思2.展示成果：图2图1证明：∵S大正方形＝2c，S小正方形＝2)ab-（,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，∴222214()2c ab b a a b=⨯+-=+.图2证明：∵S大正方形＝2)ba+（，S小正方形＝2c，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，222221)4,2.a b ab ca b c+=⨯++=∴（∴三、定理归纳如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222cba=+.几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴222cba=+（勾股定理）.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系：222cba=+，222bca-=，222acb-=.四、例题解析例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝1，b＝2,求c.（2）若a＝15,c＝17,求b.学生分析：使用勾股定理前找准哪条边是直角边，哪条边是斜边，然后套上对应的公式进行计算.解：(1)根据勾股定理,得22222215,0,c a bc c=+=+=>=∵∴(2)根据勾股定理，得222221715(1715)(171564,08.b c ab b=-=-=-+=>=）∵，∴教学反思【变式题】例2 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长.教师指导，学生分析：此题没有指明哪条边是斜边，所以要分情况讨论，即讨论AB 是直角边或斜边. 解：当AB 为斜边时，如图, 2221697,7.BC AB AC BC =-=-==∴当BC 为斜边时，如图, 22216925,5.BC AB AC BC =+=+==∴教师点睛：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.课堂练习1.直角三角形ABC 的两直角边BC ＝12,AC ＝16,则△ABC 的斜边AB 的长是( ) A .20 B .10 C .9.6 D .82.在△ABC 中，边AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是( ) A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．不能确定3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 _________.4.在△ABC 中，∠C ＝90°.（1）若a ＝15，b ＝8，则c ＝_________ . （2）若c ＝13，b ＝12，则a ＝ _________ .5.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.6.已知∠ACB ＝90°,CD ⊥AB ,AC ＝3,BC ＝4，求CD 的长. 参考答案1.A2.C3.64 cm ²4.17 155.74或246.解：因为∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， 所以22225AB AC BC =+=，即AB ＝5.根据三角形面积公式，11,22AC BC AB CD ⨯=⨯所以CD ＝125. 课堂小结1.勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+.教学反思2.利用勾股定理计算边长.注意：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.布置作业完成教材152页习题A组、B组.板书设计第1课时勾股定理教学反思第十七章特殊三角形17.3 勾股定理第2课时勾股定理的实际应用教学反思本题已知直角三角形的一直角边和斜边,求另一直角边,可以利用勾股定理解决.教学反思(3)请同学们在练习本上完成,指一名学生板演,教师指导步骤.(4)对学生的解题过程进行讲评.解：在△ABC中,∵∠ACB＝90°,∴AC2+BC2＝AB2(勾股定理).∵AB＝200m,BC＝160m,∴AC＝√AB2-BC2＝√2002-1602＝120(m).答：点A和点C间的距离是120m.点睛：基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范．练一练：如图是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB＝AC＝17m,AD⊥BC,垂足为D,AD＝8m,求BC的长.学生独立完成,指一名学生板演.解：在Rt△ABD中,∵AB＝17m,AD＝8m,∴BD2＝AB2-AD2＝172-82＝225,∴BD＝15m,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BC＝2BD＝30m.例2如图所示,在长为50mm,宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.教师引导学生分析题意,提问：(1)在直角三角形中怎样求斜边的长度?(2)AC,BC的长度怎样求?(3)在练习本上写出求解过程.学生独立思考交流,得出：要求斜边AB的长度,就要求出两直角边AC和BC的长度,这样就可以根据勾股定理的变形AB＝√AC2+BC2求出AB的长度.利用线段的平移可求出AC＝50-15-26＝9(mm),BC＝40-18-10＝12(mm).解：∵△ABC是直角三角形,∴AB2＝AC2+BC2.∵AC＝50-15-26＝9(mm),BC＝40-18-10＝12(mm),∴AB＝√AC2+BC2＝√92+122＝15(mm).答：孔中心A和B间的距离是15mm.例3在水平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B为红莲被吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺.设水深AC为x尺，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2（勾股定理）.又∵AB＝AD＝（x+3）尺,∴（x+3）2＝x2+62，解得x＝4.5.答：湖水深4.5尺.通过上面几个例题的分析，师生共同归纳：勾股定理的实际应用的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.课堂练习1.如图1，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距( )A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里图1 图2 图32.如图2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米3.如图3是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4.如图所示的是在机器人创意大赛中，一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路教学反思转化数学问题实际问题勾股定理直角三角形。
新冀教版数学八年级上册同步练习：17.1 第1课时 等腰三角形及其性质
第十七章特殊三角形17.1第1课时等腰三角形及其性质知识点1等腰三角形的有关概念1．如图17－1－1，在△ABC中，AB＝AC，其中________和________是腰，________是底边，__________是顶角，__________和________是底角，等腰三角形是__________图形，它的对称轴是________________________．图17－1－12．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11 B．16 C．17 D．16或173．在数学课上，老师请同学们思考这样一个问题：“已知一个等腰三角形的一边长为3，周长为15，求其他两边的长．”小梅回答说：“其他两边的长分别为3，9或6，6.”你认为小梅回答的结果是否正确？答：________(填“正确”或“不正确”)，你的理由是________________________________________________________________________．4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为________．知识点2等腰三角形的性质5．如图17－1－2，在△ABC中，AB＝AC.图17－1－2(1)∵AB＝AC，∴∠B＝________．(2)①∵AD平分∠BAC，∴BD＝________，AD⊥________；②∵BD＝CD，∴AD平分________，________⊥BC；③∵AD⊥BC，∴________平分∠BAC，________＝CD.6．2018·唐山路南区期中如图17－1－3，在△ABC中，已知AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为()图17－1－3A．25°B．30°C．40°D．45°6．教材习题A组第1题变式如图17－1－4，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()图17－1－4A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE8．2018·成都等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．9．已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是边BC的中点，那么∠CAD＝________°.10．2018·吉林我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝12，则该等腰三角形的顶角为________°.知识点3等边三角形的概念及性质11．2018·湘潭如图17－1－5，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠BAD ＝________°.图17－1－5 图17－1－612．如图17－1－6所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为________．13．已知：如图17－1－7，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：∠DBE＝∠DEB.图17－1－714．2018·宿迁若实数m，n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则等腰三角形ABC的周长是()A．12 B．10 C．8 D．615．2018·遵义如图17－1－8，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为________°.图17－1－816．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是________．17．2018·绥化已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为________．18．如图17－1－9，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：AD＝BE.图17－1－919．已知：如图17－1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC 于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.图17－1－1020．2018·孝感如图17－1－11，在△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC.请你观察图形解答下列问题：(1)线段PA，PB，PC之间的数量关系是________________；(2)若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．图17－1－1121．在△ABC中，AB＝AC.(1)如图17－1－12①，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC＝________°；(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC ＝________°；(3)通过以上两题，你发现在△ABC中，若AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD ＝AE，则∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？用式子表示为________；(4)如图③，如果AD不是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由．图17－1－12教师详解详析1．AB AC BC ∠A ∠B ∠C 轴对称 底边的垂直平分线(底边上的中线所在的直线或顶角的平分线所在的直线)2．D [解析] 当腰长为5时，周长为5＋5＋6＝16；当腰长为6时，周长为6＋6＋5＝17，所以周长为16或17.故选D.3．不正确 三角形的任意两边之和要大于第三边[解析] 当另外两条边长为3，9时，∵3＋3＜9，不能构成三角形，∴另外两条边长为3，9的说法是错误的；当另外两条边长为6，6时，6＋3＞6，能构成三角形，∴另外两条边长为6，6，不能为3，9.4．7或11 [解析] 根据题意，①当15是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝15，解得AC ＝10，所以底边长为12－12×10＝7；②当12是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝12，解得AC ＝8，所以底边长为15－12×8＝11.所以底边长为7或11.5．(1)∠C (2)①CD BC ②∠BAC AD ③AD BD6．A [解析] ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠DAB ＝∠B ＋∠C ＝50°，∴∠B ＝25°. 7．C [解析] ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB .∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ， ∴BE ＝BC ， ∴∠ACB ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠EBC ＝∠BAC .8．80° [解析] ∵等腰三角形的两个底角相等，∴顶角的度数为180°－50°×2＝80°. 9．50 [解析] ∵AB ＝AC ，∠B ＝40°， ∴∠C ＝∠B ＝40°.∵D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝50°.10．36 [解析] 根据题意，该等腰三角形的顶角与底角的度数之比为1∶2.设顶角为x °，则底角为2x °，x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36.11．30 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .∵D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝30°.12．120° [解析] 因为PQ ＝AP ＝AQ ，所以△APQ 是等边三角形， 所以∠P AQ ＝∠APQ ＝∠AQP ＝60°. 因为BP ＝AP ，所以∠BAP ＝∠B . 又因为∠BAP ＋∠B ＝∠APQ ＝60°， 所以∠BAP ＝30°，同理∠QAC ＝30°，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AQ ＋∠QAC ＝120°. 13．证明： ∵△ABC 为等边三角形，D 是AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝60°，且∠ACB 为△CDE 的外角，∴∠CDE ＋∠E ＝60°，∴∠CDE ＝∠E ＝30°，∴∠DBE ＝∠DEB .14．B [解析] ∵|m －2|＋n －4＝0，∴m －2＝0，且n －4＝0，解得m ＝2，n ＝4. 当m ＝2作腰时，三边长为2，2，4，不符合三角形的三边关系； 当n ＝4作腰时，三边长为2，4，4，符合三角形的三边关系， 周长为2＋4＋4＝10.15．37 [解析] ∵AD ＝AC ，E 为CD 的中点，∴∠DAC ＝2∠CAE ＝32°，∴∠ADC ＝12(180°－∠DAC )＝74°.∵BD ＝AD ，∴∠B ＝12∠ADC ＝37°.16．70°或110° [解析] 当等腰三角形为锐角三角形时，顶角为70°；当等腰三角形为钝角三角形时，顶角为110°.17．50°或80° [解析] 因为等腰三角形的一个外角为130°，所以该等腰三角形有一个内角为50°.当50°的角为顶角时，其他两角为65°，65°；当50°的角为底角时，其他两角为50°，80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.18．证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝CA ， ∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠EAB ＝∠DCA ＝120°.在△EAB 和△DCA 中，⎩⎨⎧AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCA ，AB ＝CA ，∴△EAB ≌△DCA (SAS)，∴AD ＝BE .19．证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD .又∵BE ⊥AC ，∴∠CBE ＋∠C ＝∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∴∠CBE ＝∠BAD .20．解：(1)∵AB ＝AC ，AM 平分∠BAC ，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，∴PB ＝PC .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴P A ＝PB ，∴P A ＝PB ＝PC .(2)∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝70°，∴∠BAC ＝180°－2×70°＝40°.∵AM 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°.∵P A ＝PB ，∴∠ABP ＝∠BAP ＝20°，∴∠BPD ＝∠ABP ＋∠BAP ＝40°，同理，得∠CPD ＝40°，∴∠BPC ＝∠BPD ＋∠CPD ＝40°＋40°＝80°21．解：(1)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－30°2＝75°，∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－75°＝15°.(2)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝40°. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－40°2＝70°， ∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－70°＝20°.(3)∠BAD ＝2∠EDC (或∠EDC ＝12∠BAD )． (4)仍有上述关系．理由如下：∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠BAD ＋∠B ＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠AED ＋∠EDC ＝(∠EDC ＋∠C )＋∠EDC ＝2∠EDC ＋∠C .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠BAD ＝2∠EDC .。
冀教版八年级上册 第十七章《特殊三角形》导学案(无答案)
课题17.1等腰三角形第1课时备课教师学习目标1.理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形和等边三角形的性质.2.在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．重点等腰三角形的定义及性质难点等腰三角形的三线合一一、预习案1.全等三角形的5种判定方法。
2.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫(请在图中标出来）3.如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称二、探究案探究一：等腰三角形的性质。
问题一：△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC.∠B和∠C有怎样的关系？问题二：底边上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系？问题解决提示：等腰三角形是轴对称图形，如果把等腰三角形沿着某条直线对折，哪些边和角是相互重合的？这说明什么？（等腰三角形的两个底角相互重合，所以两底角相等.三线互相重合）归纳等腰三角形的性质定理3.探究二：等边三角形的性质。
探究活动：中，如果AB=BC=AC。
那么∠A=∠B=∠C.提示：等边三角形是等腰三角形的一种特殊形式，它具有等腰三角形所有的性质，因此可以从等腰三角形的性质定理入手。
归纳：三、训练案(1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝；若∠B＝72°，则∠A＝.（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝.（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。
∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝度.（5）如图①∵AB=BC∴= (等边对等角)②∵AB=BC，AD是角平分线∴⊥，= （三线合一）③∵AB=BC ，AD是中线∴⊥，∠=∠（三线合一）④∵AB=BC ，AD是高∴= ，∠=∠（三线合一）三、训练案1.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定课件
13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当 点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰 三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三 角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角 形有 ( D )
人教版 八年级数学讲义 等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)
第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
冀教版数学八年级上册第17章特殊三角形学案
等腰三角形的性质学习目标：1. 知道等腰三角形的有关概念，会画等腰三角形，能利用等腰三角形的性质进行有关的计算和证明.2 . 经历等腰三角形学习过程，积累数学活动经验，体会数学的基本思想.3．学会从数学角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的多样性.学习过程一 .学习准备1.已知等腰三角形的一边等于6cm，另一边等于8cm，则此三角形的周长为 .2．等腰三角形中，一个角是40°，那么它的顶角度数为 .3．等腰三角形腰为5cm，底边为6 cm，面积是 .4．证明:等腰三角形两底角相等.（用规范的格式证明）（通过上面的练习，说一说等腰三角形有那些性质）二．学习探究活动一（1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= .（2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？说明理由.（3）如图3在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，过C点做腰AB 上的高CF，你能发现PD，PE和CF存在什么数量关系，提出你的猜想并证明.（4）如图4，若P点在BC的延长线上，那么PD，PE和CF的数量关系又有何变化？写出你的猜想并证明.活动二如图，点O 是等边△ABC 内一点， ∠AOB= 110°,∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转得△ADC ，连接OD探究：当α为多少度时， △AOD △是等腰三角形？活动三在边长为3、4、5的直角三角形周围拼接一个直角三角形,使它们拼成一个等腰三角形,请画出图形并写出你拼成的等腰三角形的周长.3备用图三．学习反思通过今天的学习，你认为等腰三角形中常用的辅助线是什么？常用的数学方法是什么？四．学习评价1．已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此等腰三角形底角的余弦值为 .2已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为（思考 ：若去掉腰长为5的条件情况又如何）ABCDO1103．已知等腰三角形一边长为20 , 且面积为120,求等腰三角形的周长.等腰三角形的判定导学活动过程教学目标：知识与能力1、了解等腰三角形的边角定义。
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第一课时等腰三角形及其性质课件
解析 ∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=∠O+ ∠DCE=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∴∠CDE=180°-∠BDE-∠ODC=76°.
16.(2023山东威海中考改编,24,★★☆)回顾:用数学的思维思考. (1)如图1,在△ABC中,AB=AC. ①BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE. ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE,求证:BD=CE. 从①②两题中选择一题加以证明. 猜想:用数学的眼光观察. 经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,点D为边 AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位
2
AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= 180=75°,BAD
2
∴∠EDB=90°-∠ADE=15°,故选A.
11.(2024河南新ຫໍສະໝຸດ 获嘉一中期中)如图,△ABC是等边三角形, CB=CD,若∠ABD=12°,则∠BAD的度数为 ( C )
A.10°
B.15°
C.18°
D.20°
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠ABD=12°, ∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-
冀教版数学八年级上册 等腰三角形的判定
证明：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D. 在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD，∴ AB＝AC.
学生活动三 【总结判定方法】
等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰 三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简写成 “等角对等边”）
等边三角形的判定定理： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.已知:如图，AD //BC，BD平分∠ABC. 求证:△ABD是等腰三角形.
学生活动五 【动手练习】
已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.如图17-1-8， 已知线段a和h.
作法:如图17-1-9. (1) 作线段BC=a. (2)作BC的垂直平分线MD，垂足为D. (3)在DM上截取DA=h. (4)连接AB，AC.△ABC即为所求.
1.等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 （“等角对等边”）
2.等边三角形的判定定理：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
学生活动一 【一起探究】
已知：如图17-1-5，在△ABC中，∠B=∠C （1）请你作出∠BAC的平分线AD. （2） 将△ABC沿 AD 所在直线折叠，△ABC被直线AD分 成的两部分能够重合吗？
已知：如图17-1-5，在△ABC中，∠B=∠C （3）由上面的操作，你是否发现了边AB和边AC之间的数 量关系?
冀教版数学八上17.(等腰三角形的判定)课件
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、
∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( A )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
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3.在如图所示的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等 腰三角形的是( D )
第十七章 特殊三角形
17.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；（重点） 2 运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算；（难点） 3 会利用尺规作图完成：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；
（重点）
新课导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测 得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出 事地点（不考虑风浪因素）？
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
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4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆 OA=OB=18 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之 间的距离是__1_8____cm.
A
B
C
新课导入
建立数学模型：
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什
么数量关系?
AB=AC
A
你能验证你的结论吗？
B
C
知识讲授
等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C. 求证：AB=AC 证明：作∠A的平分线，交BC于点D.