第3章321知能优化训练

1．若16－x 2≥0，则( )

A ．0≤x ≤4

B ．－4≤x ≤0

C ．－4≤x ≤4

D ．x ≤－4或x ≥4

答案：C

2．不等式(x －2)(2x ＋1)＞0的解集是( )

A ．(－12，2)

B ．(－2，12

) C ．(－∞，－2)∪(12，＋∞) D ．(－∞，－12

)∪(2，＋∞) 答案：D

3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是__________．

答案：{x |1＜x ＜3}

4．解不等式0≤x 2－x －2≤4.

解：原不等式等价于

⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4， 解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；

解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.

所以原不等式的解集为

{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}

＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．

一、选择题

1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：B

2．不等式x (2－x )＞3的解集是( )

A ．{x |－1＜x ＜3}

B ．{x |－3＜x ＜1}

C ．{x |x ＜－3或x ＞1}

D ．∅

解析：选D.将不等式化为标准形式x 2－2x ＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x (2－x )＞3的解集为∅.

3．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 是( )

A ．{1,2,3}

B ．{1,2}

C ．{4,5}

D ．{1,2,3,4,5}

解析：选B.A ＝{x |－12

＜x ＜3}，B ＝{1,2,3,4,5}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选B.

4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－1<0x 2－3x <0的解集是( )

A ．{x |－1

B ．{x |0

C ．{x |0

D ．{x |－1

解析：选C.原不等式组等价于： ⎩⎨⎧ x 2<1x (x －3)<0⇔⎩⎨⎧

－1

⇒0

A ．{x |x ＞3或x ＜－2}

B ．{x |x ＞2或x ＜－3}

C ．{x |－2＜x ＜3}

D ．{x |－3＜ x ＜2}

解析：选C.二次函数的图象开口向下，故不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}． 6．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )(x －1t )＜0的解集为( )

A ．{x |1t ＜x ＜t }

B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }

C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }

D ．{x |t ＜x ＜1t }

解析：选D.∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t

∴(x －t )(x －1t )＜0⇔t ＜x ＜1t .

二、填空题

7．函数y ＝x 2－2x －8的定义域为__________．

解析：由题意知x 2－2x －8≥0，

∴x ≥4或x ≤－2，

∴定义域为{x |x ≥4或x ≤－2}．

答案：{x |x ≥4或x ≤－2}

8．当a ＜0时，关于x 的不等式(x －5a )(x ＋a )＞0的解集是________．

解析：∵a ＜0，∴5a ＜－a ，

由(x －5a )(x ＋a )＞0

得x ＜5a 或x ＞－a .

答案：{x |x ＜5a 或x ＞－a }

9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析：由题意，k 2－6k ＋8≥0，

解得k ≥4或k ≤2.

又k ≠0，

∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0.

答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)

三、解答题

10. 求下列关于x 的不等式的解集：

(1)－x 2＋7x ＞6；

(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0.

解：(1)∵－x 2＋7x ＞6，

∴－x 2＋7x －6＞0，

∴x 2－7x ＋6＜0，

∴(x －1)(x －6)＜0.

∴1＜x ＜6，

即不等式的解集是{x |1＜x ＜6}．

(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0，

因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]＜0.

∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1.

即不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．

11．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12

和2. (1)求a 、b 的值；

(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.

解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12

和2， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧

－12＋2＝－b a －12×2＝2a ， 解得a ＝－2，b ＝3.

(2)由(1)知，

ax 2＋bx －1＞0变为－2x 2＋3x －1＞0， 即2x 2－3x ＋1＜0，

解得12

＜x ＜1. ∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12

＜x ＜1}． 12．求不等式ax ＋1＜a 2＋x (a ∈R )的解集． 解：将原不等式化为(a －1)x ＜a 2－1.

①当a －1＞0，即a ＞1时，x ＜a ＋1. ②当a －1＜0，即a ＜1时，x ＞a ＋1.

③当a －1＝0，即a ＝1时，不等式无解． 综上所述，

当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＜a ＋1}； 当a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a ＋1}； 当a ＝1时，不等式的解集为∅.