《线性代数》模拟试卷B及答案

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《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排列7352164的逆序数为（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）（A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（）（A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换（B ）左乘初等矩阵（C ）左右同乘初等矩阵（D ）和一个单位矩阵相加 5、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示（B ）2β可由143,,βββ 线性表示（C ）3β可由124,,βββ 线性表示（D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、以下结论正确的是（）（A ）一个零向量一定线性无关；（B ）一个非零向量一定线性相关；（C ）含有零向量的向量组一定线性相关；（D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（）（A ）实对称矩阵（B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵（C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵（D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）（请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）15。

郑州师范学院-线性代数-试题B卷-参考答案及评分标准

的秩为 r .
【】
5. 已知 A, B 为 n 阶方阵，A 可逆，且 A B ，则 B 也可逆.
【】
四、证明题（10 分）设向量组 α1，α2，α3 线性无关，令 β1 α1 α3 ， β2 2α2 2α3 ， β3 2α1-5α2 3α3 ，试证明向量组 β1, β2 , β3 的线性无关.
（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后
括号内。）
1.D 2．A 3.C 4．B 5. D
二、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1． 0 2． 0
3.
42016
2 4
1
2
6. -2 7. a1 a2 a3 a4 0 8. 3
三、判断题（每题 2 分，共 10 分）
(
A
2I
A)
1 1
1 2
0 1 1 1
1 2
0 3
00
1 1
32 10
5 3
33
1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 3 3
0 0
1 0
10 22
3 2
3 0
0 0
1 0
01 11
2 1
3 0
………………………7 分
0 3 3
得
B
(
A
2I
) 1
A
1
2
3
1 1 0
………………………………9 分
【】
A. I A 可逆， I A 可逆 C. I A 不可逆， I A 可逆
B. I A 可逆， I A 不可逆 D. I A 不可逆， I A 不可逆
3. 设 A 为 m n 矩阵，且 r( A) m＜n ，则

线性代数(B)及答案详细解析

学分： 2 教学大纲编号：
一.填空题(3 ' 12 =36 ' ) 1. x 1 2
x
1 2 1 1 ； 2 0 1 x2 x 1 3 2 1
四. 求向量组α 1 =(1,1,3,1), α 2 =(-1,1,-1,3),α 3 =(5,-2,8,-9)的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. (12' ) 五. 用基础解系表示出线性方程组
x1 2 x2 x3 x4 1 2 x x 4 x 5 x 7 1 2 3 4 x1 x2 x3 2 x4 2 x1 x2 5 x3 4 x4 8
2. 已知 A 1 2 , B 1 2 ,则 2A-B ； A B 3 4 0 3 3. 设 A 是 3 阶方阵，|A|=3，则 |-2A|
3 2
7 2
(12' )
3 2 0 0 3 5 1 3 (6 ' ) 0 0 0 0
满分分值： 100 沐雨芳
10 日组卷教师：学生学号：
审定人(签字)：学生姓名：
一. 填空题(3 ' 12 =36 ' ) 1.
x 3 x 2 1；
-4
2. 4.
3. -24 5. 2 7. 线性无关 9. 1 1 ， 2 3
共
1 页
南京理工大学课程考试答案（ A）
课程名称：
试卷编号：组卷日期： 2006 年学生班级： 6 月线性代数考试方式：闭卷学分 2 教学大纲编号：考试时间： 120 分钟
α 1 ，α 2 为其一个极大无关组，且α 3 = α 1 - α 2 . 五.

2015-2016-1线性代数 B卷参考答案

拟题学院（系）：数理学院适用专业：全校 2015-2016学年 1 学期线性代数（必修）B 卷试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟题人：周红燕书写标准答案人：周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案

线性代数B 部分复习题答案一、填空题1、的符号为（正）项在四阶行列式中42342311a a a a ，；注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。

2、由自然数1～9组成的排列213i 69j 85为偶排列，试确定i =7，j =4.3、;1)(21243)(2）项的系数是（的，则函数x x f xx x x xx f -=用对角线法则，仅挑出项2x ，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。

4、若;21041211112）或（，则==x x x这是范德蒙行列式，套用其结果5、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=012,121y x B A ，若AB =BA ，则1=x ，y=2； 6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3142A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1212231A ； 7、;81214 **-=-=A A A A ，则的伴随阵，且阶方阵是设8、设n 阶行列式D =det(a ij )中，元素a ij 的代数余子式是A i j ，则⎩⎨⎧≠==∑=j i ji D a jk nk ik 01A ；这是代数余子式重要性质。

9、若n 元齐次线性方程组Ax =O 有n 个线性无关的解向量，则A =O ；因Ax =O 有n 个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n ，从而R(A)=0 10、若()()()T3T2T1,3,5,1,3,1,0,1,1t =-==ααα 线性相关，则1=t11、设A 是5×6阶矩阵，如果A 有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A 的秩是3；12、设齐次线性方程组AX =O 的同解方程组为⎩⎨⎧=++=--042052432431x x x x x x ，则方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1045,0122. 13、当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==321321321)1(k k k A 时，的秩为1. 14.设方阵A 满足O E A A =--322，则；331EA -=-A 据教材P 43推论15、在矩阵A 的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A 施行了一次相应的初等行变换. 16、=-=-*1*73313 A A A A A ）（，计算的伴随阵，若阶方阵是设-2417、()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-=8041,8,4,4,12,02,0,12T21T1ααa a 则，二、是非题1、设A 、B 为n 阶方阵，且AB =O ，则必有0=A 或0=B ；（ √ ）据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。

线性代数试题答案及评分细则B卷

0
1
1 1

0
0
0
0

1 0 0 1

0
1
0
3
0 0 1 2

0
0
0
0

所以， r(1,2,3,4 ) 3
（2）1,2,3 为向量组的一个极大无关组
且3 1 32 24
六、计算（12 分）
解：对方程组的增广矩阵施与初等变换，得

其导出组的基础解系为：
3

2

3 4

1

3 2

，
2

7 4

1

0

0
1
所以该方程组的通解为
x k11 k22 （ k1, k2 为任意常数）七、计算（10 分）
解：因为 A2 A E 0
解: 设 k11 k2 2 k3 3
展开可得关于 k1 , k2 , k3 为未知量的线性方程组
k1 k2 k3 1 k1 2k2 k3 0 2k1 k2 4k3 3 2k1 3k2 1
不难发现，若方程组有解，则可由1, 2 ,3 线性表示，且其解就是组合系数。若方程组有唯一解，则表达式唯一；若方程组有无穷多解，则表达式也有无穷多种形式，若方程组无解，则不可由1, 2 ,3 线性表示.
k1 3 2 于是解方程组得： k2 k 2 1
k3 1 0
( k 为任意常数)

《线性代数B》模拟试卷五参考答案

《线性代数B 》模拟试卷五参考答案一、填空题（每空3分，共18分）1．设(1,1,1)α=，(1,1,1)T β=-，则T T βα= 1 ；解：1(1,1,1)111T Tβα⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭2．设(1,1,1,2)T α=-，(1,2,1,1)T β=--，则向量αβ+与αβ-的夹角为 2π；解：因为(1,1,1,2)(1,2,1,1)(0,3,2,3)T T T αβ-+--=-+=，(1,1,1,2)(1,2,1,1)(2,1,0,1)T T T αβ----=---=，而[,]023(1)20(3)(1)0αβαβ+-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，所以αβ+与αβ-正交，即αβ+与αβ-的夹角为2π（或者090） 3．设向量组1230224571:1,,1A ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的一个最大线性无关组为：12,αα；解：因为21212331321021021022(,,)1240220115157055000r r r A r r r r ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪==−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2R A =，从而A 的一个最大线性无关组为：12,αα（或者13,αα，或者23,αα） 4．已知 3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2，则 22A A +=24-。

解：因为2()2f A A A =+，则22()x f x x +=，因为3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2 所以12(1)1f --==-，223(1)1f +==，2228(2)2f +⨯== 从而2(1)(1)(2)242f f f A A =-=-+5．设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3 , 且它的三个解向量123,,ηηη 满足1(1,1,1,1)Tη=，23(1,2,1,1)Tηη+=,则Ax b =的通解为：；解：因为()3R A =，所以0Ax =的基础解系含向量的个数为：4()431R A -=-=，又Ax b =的三个解向量123,,ηηη，所以12322(1,1,1,1)()(1,2,1,1)(1,0,1,1)TT Tξηηη==-+-=是0Ax =的一个非零解，从而可作为其基础解系。

线性代数B答案

线性代数模拟B卷答案（课程代码：04184）一、单项选择题：（在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案。

本大题共15小题，每小题3分，共45分。

）1．若C=AB，则（）A.A与B的阶数相同;B.A与B的行数相同;C.A与B的列数相同;D.C与A的行数相同。

答案：D2．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1=（）。

A.AA*B.|A|A*C.；D.A'A*答案：C3．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（）A.|A|≠0B.A＝OC.|A|＝0D.A≠0答案：A4．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果AC T B有意义，则C应是（）矩阵。

A.s×nB.s×mC.m×tD.t×m答案：C5．设A是m×k矩阵,B是m×n矩阵,C是s×k矩阵,D是s×n矩阵,且k≠n,则下列结论错误的是（）.A.B T A是n×k矩阵B.C T D是n×k矩阵C.BD T是m×s矩阵D.D T C是n×k矩阵答案：B6．设A、B为n阶方阵，则（）.A.B.C.D.AB=O时，A=O或B=O答案：A7．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（）A.A=0B.A3=0C.R(A)=0D.R(A)=3答案：B8．在下列命题中，正确的是（）A.B.若A B，则；C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D.答案：D9．如果两个同维的向量组可以相互线性表示,则这两个向量组（）.A.相等B.所含向量的个数相等C.不相等D.秩相等答案：D10．设α1,α2,α3是AX=B的三个线性无关的解,其中A是秩为1的4×3矩阵,B是4维列向量，则下列（）是AX=O的基础解系.A.α1+α2+α3B.α1+α2－2α3C.α1，α2，α3D.α2－α1，α3－α2答案：D11．当A是正交阵时，下列结论错误的是（）.A.A-1=A TB.A-1也是正交阵C.A T也是正交阵D.A的行列式值一定为1答案：D12．设λ=－4是方阵A的一个特征值,则矩阵A－5E的一个特征值是（）.A.1B.－9C.－1D.9答案：B13．当（C）时，A=是正交阵.A.a=1,b=2,c=3B.a=b=c=1C.D.14．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（B）A.A=0B.A3=0C.R(A)=0D.R(A)=315．在下列命题中，正确的是（D）A.B.若A B，则；C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

【线性代数】05-06-1线性代数(B类)及答案

线性代数(B)试卷----A 卷一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 向量组s ααα，，， 21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

2. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有(A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且； (C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或。

3. 设α是n 维非零实列向量,矩阵T E A αα+=,3≥n ，则___________(A) A 至少有n －1个特征值为1； (B) A 只有1个特征值为1；(C) A 恰有1-n 个特征值为1； (D) A 没有1个特征值为1。

4. ______________)()(,则，且，阶方阵为设B r A r n B A = (A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A r B A r =+； (C) )(2)(A r B A r =，； (D) )()()(B r A r B A r +≤，。

5. 设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则(A) A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B) T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C) A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D) T AA 是m 阶单位矩阵。

二、填空题（每题3分，共15分）1．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A 。

线性代数B模拟试卷参考答案

线性代数B模拟试卷参考答案线性代数B 模拟试卷参考答案模拟试卷⼀⼀、（15分）填空题：1.设123456110A ??=-，则 |A|= , A*=,A -1=.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= , 夹⾓<α,β>= .3.齐次线性⽅程组123412341234123423024025200ax x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-+-=??+--=??+++=?有⾮零解，则a= . （由系数⾏列式为0推得） 4.设矩阵123456A ??=??-??，1224510B ??=??-??，初等矩阵P 满⾜：AP=B,则P=.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 5. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性关. （ch3/Th7/推论2）⼆、（15分）选择题： 1.设3阶⾏列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+；（B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++. (ch1/⾏列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（）.(A)A 中只有⼀个r 阶⼦式不为零，其余的r 阶⼦式全为零；(B) A 中存在⼀个r 阶⼦式不为零，所有的r+1阶⼦式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶⼦式均不为零，⽽⾼阶⼦式全为零.3. 设线性⽅程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?有唯⼀解，则（）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（）.(A) α1⼀定可由α2,α3,…，αs 线性表⽰； (B) α1⼀定不可由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(C) 其中⾄少有⼀个向量可由其余s-1个向量线性表⽰. 5.n 阶⽅阵A 与对⾓阵相似，则（）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性⽆关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT = (1/2,0,…,0,1/2),⼜A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合. 五、（14分）求⾮齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.六、（18分）设⼆次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.⽤正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q. 七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵.模拟试卷⼆⼀、（15分）填空题：1.在4阶⾏列式det[aij]中，含有因⼦a 11a 32的项有：.130121A ??=A T 为A 的转置矩阵，则矩阵乘积AA T = ，A T A= .3. 矩阵103211000000A =??的秩= . 4.设B,C 为可逆矩阵，分块矩阵O B A C O ??=??, 则A -1= 5. ⽤矩阵形式表⽰⼆次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ?? ?，.⼆、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21；（C ）10101010101011123221()333()12. .2.设线性⽅程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=?++-+=??-++=-?有⽆穷多组解，则（）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性⽆关的充要条件为（）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(B)α1,α2,…，αs 的秩⼩于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s. 4.设b A a ??=为正交矩阵，则（）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶⽅阵A 与对⾓阵100020003??-??相似，则（）.(A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A=，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E-?--1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r--→→---???---, ∴A -1=0001001301/21/211025-?--??-??. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T ,α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合.六、（20分）设对称矩阵A=2000120211.求A 的特征值与特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q 和对⾓阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.模拟试卷三⼀、（15分）填空题：1.设n 阶⽅阵A 的⾏列式|A|=2,则A 的伴随阵的⾏列式|A*|= .123110,111A =--??121111,110B ??=--矩阵X 满⾜： AX=B,则X=A -1B=3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T 为线性⽅程组1231231232112225x x x x x x ax bx cx ++=??-+=??++=? 的两个解向量，则⽅程的通解为 .（⽅程解不唯⼀，故系数⾏列式|A|=0，R （A ）=2，AX=0基础解系有n- R （A ）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T 为基础解系）4. 向量组α1=(1,2,-3)T , α2=(-2,1, 0)T , α3=(0,5,-6)T ,线性关.5. 设n 阶⽅阵A 与B 相似，A 有特征值1，2，-3,则 B -1+E 有特征值 . ⼆、（15分）多项选择题：1.设A,B 均为n 阶可逆⽅阵,则（）.(A)齐次线性⽅程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A -1+B -1; (C) A 的特征值全不为零.2.设A,B 均为n(n ≠1)阶矩阵则（）. (A)(AB)T =A T B T ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.3.设λ为n 阶可逆矩阵A 的特征值，则（）. (A)1/λ为A -1的特征值；(B) λ2为A 2的特征值； (C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x)为x 的多项式.4.n 阶⾏列式.....................a b b b a bb b a的值为（）. (A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n +nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α1=(1,-2,5)T , α2=(-2,4,-10)T ,则（）.(A)(α1,α2)= -60；(B) α1 与α2正交；(C) α1,α2线性相关. 三、（10分）求⾮齐次线性⽅程组四、（10分）求向量组α1= (1,1,2,3)T , α2=(1,-1, 1,1)T , α3=(1,3,3,5)T , α4=(4,4,8,12)T ,的秩及五、（15分）问a,b 为何值时，线性⽅程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有唯⼀解？有⽆穷多组解？⽆解？六、（20分）设对称矩阵A=120 220 001-1.求A的特征值与全部特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q和对⾓阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.七、证明题：1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性⽆关，⼜β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性⽆关.。

08-09-1线代B(含答案)

………………………..4分
， ………………..6分
-------------------------------------9分
-----13分
法二：设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B.
------------------------------------3分
（1）；………6分
(2)当，
知故方程组无解；---------------------------------------------9分
解答：
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1、D；2、B；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、B；9、C；10、B
二、填空题（每题4分，共20分）
1．0；2. 3；3. ；4. ；5. ；
三、（12分）
解：法一： ------------------------------------2分
5.四阶行列式展开式中的项的符号是（B）.
A．正号B．负号C．无法确定
6.设线性无关,若线性相关,则应满足条件(C).
A. B. C. D.
7.设是两个n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（D）.
A. B. 是正交矩阵C.AB是正交矩阵D.AFra bibliotek行列式等于 .
8.设A是n阶可逆矩阵，则下面说法不正确的是(B).
1.已知行列式，则 =（）.
2.若D= =1，则D1= =（）.
3.设，则 =（）.
4.设是线性方程组的解，且R（A）=2，
则的通解为（）.
5.设3阶方阵A与B相似,且A的特征值是 ,则行列式 =(24).
三.（12分）求解矩阵方程，其中 .
四.（13分）考虑下列关于未知数的线性方程组

2009-2010广工大线性代数试题B卷参考答案

1 C 2 A 3 C 4 B 5 D
三、（10 分）计算行列式：
1
a
1
1 1 a2 1

0 0 0 0
1 1 1 an
0 0 0 0
n 1
解： D n
1 1
c1 c 2 , c 2 c 3 c3 c4 ,
a1 a2 0 0 0 0
( a 1 a 2 a n )( 1

i 1
n
1 ai
) ………………………………………………………………10 分
注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。四、（10 分）解：由 ( 2 E C
1
B )A
T
T
C
1
，
两边同时左乘 C，得 ( 2 C B ) A
1 0 而 (2C B ) 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
E， ………………………………………………2 分
4 3 …………………………………………………………3 分 2 1
1
两边再同时左乘 ( 2 C B )
，得到 A
T
(2C B )
1
1
或者对 2 C B , E E , ( 2 C B )
R ( A) R ( B ) ,
1 1 1
1 1 1
0 1 r 3 0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
方程组无解…………………………………………………………7 分
当 3 时，增广矩阵为
2 B 1 1 1 2 1 1 1 2 0 3 3 1 0 0 1 1 0 2 1 0 3 2 0

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则（ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ，求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。

《线性代数》模拟试卷B与答案

《线性代数》模拟试卷 B 及答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）（1）若 A 为 4 阶矩阵，则 3A =（）(A)4 A(B)34 A(C)43A(D)3 A （ 2）设 A ，B 为 n 阶方阵，A0且 AB0，则（）(A)B 0(B) BA0(C) (A B)2A2B2(D) A0或 B0（ 3） A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列命题正确的是（）(A)AB BA(B)A0, B 则AB0 0(C)AB A B(D)若AB AC,则B C（4） (A B)2A2 2 AB B2成立的充要条件是（）(A) AB BA(B) A E(C) B E(D)A B（ 5）线性方程组( k1)x 2 y a有唯一解，则 k 为（）2x(k1)y b(A) 任意实数(B)不等于5(C)等于5(D) 不等于 0（6）若 A 为可逆阵，则 (A ) 1 =（）(A) AA(B)AA(C) A 11 A(D)A A（ 7）含有 4 个未知数的齐次方程组AX0，如果 R( A)1，则它的每个基础解系中解向量的个数为（）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3（ 8）设A为 m n 矩阵，齐次方程组AX0 仅有零解的充要条件是 A 的（）(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C) 行向量线性无关(D)行向量线性相关（ 9）已知矩阵A=31）1,下列向量是 A 的特征向量的是（1(A)1(B)11(D)1 02(C)12（ 10）二次型 f (x1, x2 , x3 )x124x224x322x1x22x1x3 4x2 x3为正定二次型，则的取值范围是（）(A)21(B)12(C)32(D)2二、计算题（第1、2 小题每题 5 分，第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分）x a a a1、计算行列式D4a x a a。

（5 分）a a x aa a a x3 212、设A= 3 1 5，求A的逆A-1。