第27讲(椭圆中两直线斜率之和为定值的问题)(原卷版)

第27讲（椭圆中两直线斜率之和为定值的问题）

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圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 【例题导读】

例1、已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:1

43x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆

则

22

OA OB

+的值是（ ）

A ．4

B ．7

C ．3

D ．不能确定

例2、已知A ，B 分别是双曲线C ：2

2

y x 12

-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线

PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为（ ） A ．()1,1 B ．41,

3⎛⎫

⎪⎝⎭

C ．4,13⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．44,33⎛⎫

⎪⎝⎭

例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l

过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；

(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．

例4、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为3

3

.

(1) 求椭圆E 的标准方程；

(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PB

PC ·PD

为定值．

例5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的

长轴长之比为2∶1，离心率相同．

(1) 求椭圆C 2的标准方程；

(2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．

①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PA

PB

为定值；

②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．

例6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，左焦点F(－2，0)，

直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．

(1) 求椭圆E 的方程；

(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．

例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的短轴端点，P 是椭圆上异于

点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．

例8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2，焦点到相应准线的距

离为1.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求

1OP 2

＋1

OQ

2的值．

例9、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2

，且过点P(2，－1)．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．

． 【反馈练习】

1、如图，抛物线M ：2

8y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F

为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD

⋅值的说法正确的是

（ ）

A ．等于4

B ．大于4

C ．小于4

D ．不确定

2、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，交l 于D ，过A ，B 分别作x 轴的平行线，分别交l 于M ，N 两点.若4AB FB =u u u v u u u v

，AND ∆的面积等于323

，则C 的方程为（ ）

A ．2y x =

B ．22y x =

C ．24y x =

D ．28y x =

3、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22

143

x y +=，左右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x

轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，设直线MN 与y 轴交于点(0,)D d ，则d 的取值范围为____．

4、已知P 为双曲线221x y -=右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则

12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v

__________．

5、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2

e =)

2,1

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v

，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

6、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

221(15)x y a a

+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50

x y -+=