二项式定理

二项式定理

主标题：二项式定理

副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：二项式定理，二项式系数，项系数

难度：2

重要程度：4

考点剖析：

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

命题方向：

1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：

(1)求二项展开式中的第n项；

(2)求二项展开式中的特定项；

(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．

规律总结：

1个公式——二项展开式的通项公式

通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：

(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；

(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；

(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．

3个注意点——二项式系数的三个注意点

(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；

(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；

(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知识梳理

1．二项式定理

二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)二项展开式

的通项公式

T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项

二项式系数二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n

2.二项式系数的性质

(1)0≤k≤n时，C k n与C n－k n的关系是C k n＝C n－k n.

(2)二项式系数先增后减中间项最大

当n为偶数时，第n

2＋1项的二项式系数最大，最大值为2

n

n

C；当n为奇数时，第

n＋1

2项和n＋3

2项的二项式系数最大，最大值为2

1-n

n

C或2

1+n

n

C.

(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n，

C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.

导数在研究函数中的应用

主标题：导数在研究函数中的应用备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：导数，极值，最值，备考策略

难度：4

重要程度：5

内容

考点一利用导数研究函数的单调性

【例1】设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2.

(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．

解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2，

∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)．

令f′(x)>0，即x(e x－2)>0，

∴x>ln2或x<0.

令f′(x)<0，即x(e x－2)<0，∴0

因此函数f(x)的递减区间是(0，ln2)；

递增区间是(－∞，0)和(ln2，＋∞)．

(2)易知f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2kx＝x(e x－2k)．∵f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，

∴当x≥0时，f′(x)＝x(e x－2k)≥0恒成立．∴e x－2k≥0，即2k≤e x恒成立．

由于e x≥1，∴2k≤1，则k≤1 2 .

又当k＝1

2时，f′(x)＝x(e

x－1)≥0当且仅当x＝0时取等号．

因此，实数k －∞，

1

2.

【备考策略】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

考点二利用导数研究函数的极值

【例2】设f(x)＝a ln x＋1

2x＋

3

2

x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的

切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．

(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．

解(1)由f(x)＝a ln x＋1

2x＋

3

2

x＋1，

∴f′(x)＝a

x－

1

2x2＋

3

2

由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，

∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.

从而a －12＋32

＝0，∴a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32

x ＋1(x >0)，∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x

2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13

(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.

∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．

【备考策略】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．

(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

考点三利用导数求函数的最值

【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.

(1)求a ，b 的值；

(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．

审题路线(2)＝0，

2)＝c －16⇒a ，b 的值；

(2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，

由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，

(2)＝0，

2)＝c －16，a ＋b ＝0，a ＋2b ＋c ＝c －16.

a ＋

b ＝0，

a ＋

b ＝－8，＝1，

＝－12.