小波变换-完美通俗解读
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换完美通俗解读
小波变换完美通俗解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠这小波变换！这玩意儿可神奇啦！
你看啊，就好比我们听音乐。
那音乐里有各种不同的声音吧，高音、低音啥的。
小波变换呢，就像是一个超级厉害的音乐分析师，能把这音乐里的各种成分给分得清清楚楚！比如我们平时说话的声音，有高有低，语调也不一样，小波变换就能把这些不同的部分准确地分辨出来。
再想想看，我们看一幅画，上面有各种色彩和线条。
小波变换就像是一个能把这些元素都拆解开来的大师！它可以把画里的细节，什么线条的走向啦，颜色的分布啦，都弄得明明白白。
那这小波变换到底有啥牛的呢？嘿，你想啊，我们在生活中，有时候会遇到很复杂的信息，就像一团乱麻。
而小波变换就能像一把神奇的剪刀，把这团乱麻给理清咯！
比如说医生要看 X 光片，那么多复杂的影像，小波变换就能帮忙找出关键的地方，难道这还不厉害吗？或者是在气象研究中，那么多变幻莫测的气候数据，小波变换就能从中找出规律！你说神不神奇！
“哎呀，那这小波变换也太了不起了吧！”这时候可能有人就问了，“那咱普通人能用它干啥呀？”嘿，用处可大了去了！如果你喜欢摄影，它可以帮你更好地处理照片，让照片更清晰更漂亮。
要是你对声音处理感兴趣，它能让你的音乐听起来更棒！这不就是让我们的生活变得更美好嘛！
总之，小波变换真的是一个超级神奇又超级实用的东西！大家可得好好去了解了解它，说不定就能给你的生活带来意想不到的惊喜呢！别小瞧它哦，它真的超厉害！。
小波变换的原理
小波变换的原理小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
小波变换的原理传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波变换的应用小波是多分辨率理论的分析基础。
而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关，其优势很明显--某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。
从多分辨率的角度来审视小波变换，虽然解释小波变换的方式有很多，但这种方式能简化数学和物理的解释过程。
对于小波的应用很多，我学习的的方向主要是图像处理，所以这里用图像的应用来举例。
对于图像，要知道量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像越是清晰，图像的分辨率就高。
小波变换特征
小波变换特征一、引言小波变换是信号处理领域中的一种重要工具，它能够提供信号的时频分析能力，揭示信号在不同频率和时间尺度上的特性。
由于其独特的性质，小波变换在许多领域都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、机器学习等。
本文将重点探讨小波变换的特征，以期为相关研究和应用提供指导。
二、小波变换的定义小波变换是一种时间-频率分析方法，它通过将信号分解成不同频率和时间尺度的分量来描述信号的特性。
在数学上，小波变换可以定义为将一个有限的持续时间函数f(t)转换为一个时间-频率平面上的函数Wf(t,ω)，其中t表示时间，ω表示频率。
这个转换是通过一个被称为小波基函数的函数来实现的，该函数在时间和频率域上都具有一定的局部性。
三、小波变换的特征1.多分辨率分析：小波变换具有多分辨率分析的特性，能够将信号分解成不同频率和时间尺度的分量。
这种特性使得小波变换能够适应不同的应用场景，从低频和高频到任意的时间尺度。
2.时频局部性：小波变换在时频平面上具有良好的局部性，能够同时揭示信号在时间和频率两个维度的特性。
这使得小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。
3.灵活性：小波变换可以通过选择不同的小波基函数来适应不同的应用需求。
这为研究者提供了更大的灵活性，可以根据实际问题的特点选择合适的小波基函数。
4.反变换：与傅里叶变换一样，小波变换也具有反变换，可以将时频平面上的信息还原成原始的时间域信号。
这使得小波变换成为一种可逆的信号处理方法。
5.高效算法：小波变换可以通过使用快速算法（如快速傅里叶变换FFT）进行计算，大大提高了信号处理的效率。
这使得小波变换在实际应用中具有较高的实用性。
四、应用领域1.信号处理：小波变换在信号处理领域中的应用广泛，包括信号去噪、压缩、滤波等。
通过小波变换的多分辨率分析和时频局部性，可以有效地提取信号中的特征信息，实现信号的处理和分析。
2.图像处理：小波变换在图像处理中也有广泛应用，如图像压缩、去噪、增强等。
第3章小波变换简介
j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )
f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )
f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。
生物信号处理中的小波变换
生物信号处理中的小波变换生物信号是指人体内部自然产生或者受到外界刺激产生的任何电、声、光、磁等信号。
这些信号反映了人体生理和病理状态的信息，对于医学诊断和治疗具有重要意义。
生物信号处理是将这些信号进行采集、处理和分析，提取出有用的信息。
小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的技术。
它是一种基于信号局部特征的时频分析方法，适用于非平稳信号分析。
小波变换可以将信号分解成不同尺度和不同频率的成分，从而更好地描述信号的时域和频域特征。
小波变换具有跟踪信号瞬态性质、时域与频域分析相结合、多分辨率表达能力好等特点，在生物信号处理中应用广泛，包括生物医学领域的脑电、心电、肌电、血压、血液流量等信号的分析和识别。
小波变换与生物信号处理的结合，可以实现以下几个方面的应用。
1.生物信号去噪生物信号在采集和传输过程中会受到各种噪声的影响，这些噪声会干扰信号的分析和诊断。
小波变换可以将信号分解成多个尺度，选择较低尺度的细节系数进行滤波，保留较高尺度的近似系数，从而实现去除噪声和保留重要信息的目的。
2.生物信号特征提取生物信号中蕴含着重要的特征信息，如心电信号的R波、P波和T波，肌电信号的肌肉收缩时间等。
小波变换可以将生物信号分解成不同频率和尺度的成分，从中提取有用的特征信息，为后续的分析和判断提供支持。
3.生物信号分类和识别生物信号的分类和识别是生物医学领域中的重要问题，对于疾病的早期诊断和治疗具有重要意义。
小波变换可以将生物信号分解成多尺度和多频率的成分，对于不同类型的生物信号进行特征提取和分类识别。
在生物信号处理中，小波变换是一种有效的工具，可用于生物信号去噪、特征提取和分类识别。
小波变换的局部特征表达、多分辨率表达和时域与频域分析相结合的特点，使它成为处理生物信号的理想技术。
小波变换原理
小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种用于数字信号处理的实用技术，它是在1980年代由Yves Meyer等人提出的。
它是一种基于振动信号的就地分析方法，它允许将一个信号分解成多个不同尺度上的分量，该分量描述了信号的不同特性。
小波变换的基本概念是将源信号分解成低频与高频成分的线性变换，也就是将源信号分解为几个子信号，这几个子信号的能量衰减速度明显不同，从而减少了信号的复杂性，使信号的处理变得更容易。
波变换的正变换（Analysis）逆变换（Synthesis）的原理基本类似于傅立叶变换，在经过变换后，信号可以通过多维度，从而更加清晰地表示它的特性。
小波变换由一组小波函数组成，这些小波函数是根据条件确定的，由一系列称为基带小波函数的可以拓展组合而成。
小波函数具有多种特性，它们可以有不同的时频特性，它们可以有不同的宽度和峰值，从而允许不同的尺度和信号特性。
此外，小波变换也可以用来实现数字信号的时域处理和频域处理，从而可以提取信号的实时特征，增强仅在部分局部中存在的细节信息，从而更好地提取和处理信号。
小波变换可以用于图像处理、语音信号处理，以及不同类型的数据压缩。
近些年，小波变换得到了越来越多的应用，已经成为了许多研究的重要基础。
例如，在脑电信号分析中，小波变换可以用来发现脑电记录的一些有趣的特征；在图像处理中，小波变换可以用来估计传输的损失；在语音信号处理中，小波变换可以用来消除噪声等等。
小波变换有许多优势，如抗噪性强，它可以控制噪声影响，保持信号的质量。
另外，它可以节约计算时间，具有快速计算的特性，而且可以实现多维特征提取，可以节省存储空间，具有很高的算法效率。
总之，小波变换是一种非常有用的信号处理技术，它的出现推动了信号处理领域的发展，为许多应用领域带来了许多优点，具有广泛的应用前景。
小波变换和数字图像处理中的应用
小波变换和数字图像处理中的应用什么是小波变换？小波变换是目前数字信号处理领域中比较常用的一种分析方法，它是利用小波函数作为基函数来描述复杂信号的一种变换方法。
小波函数和傅里叶基函数一样也可以作为一个完备集，用来表示任意信号。
小波变换可以将信号分解成一系列尺度不同、频率不同的小波分量。
和傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域的局部性质，能够更有效地描述信号的分析特征和边缘信息。
小波变换在数字图像处理中的应用小波变换作为一种分析和处理信号的方法，在数字图像处理中也有着广泛的应用。
主要应用于图像的压缩、去噪、边缘检测、特征提取等方面。
图像压缩图像在传输和存储过程中需要压缩，小波变换可以通过选择不同的阈值方法，将信号的高频系数去掉，从而达到压缩的目的。
小波变换压缩图像的方法有很多种，如基于阈值的小波压缩、基于零树编码的小波压缩、基于小波系数统计特性的压缩方法等。
图像去噪图像中通常会存在一些噪声，噪声会影响到图像的质量和可视效果。
小波变换可以将信号分解成多个尺度的小波系数，从中选择高频小波系数，并进行阈值处理，达到去噪的目的。
小波去噪方法中常用的有软阈值和硬阈值方法，实验表明，小波去噪方法可以在一定程度上提高信噪比，使图像更加清晰。
图像边缘检测小波变换在图像边缘检测中的应用也比较广泛。
由于小波变换具有时域和频域的局部性质，可以在提取高频小波分量时，更加准确地提取出图像中的边缘。
小波变换边缘检测方法中，常用的有Canny算子和Sobel算子。
特征提取小波变换在特征提取中也具有独特的优势，可以通过对图像进行小波变换，获取多尺度的频谱信息，从而提取出图像的纹理和特征。
小波变换特征提取方法主要包括小波纹理特征、小波熵特征、小波矩和小波小震荡等。
小波变换作为一种分析和处理信号的方法，在数字图像处理中具有广泛的应用。
通过对图像进行小波变换，可以实现图像的压缩、去噪、边缘检测和特征提取等多方面的目的。
小波变换在数字图像处理中的应用还有很大的发展空间，未来将会有更多的改进和创新。
傅里叶变换 小波变换 通俗解释
傅里叶变换小波变换通俗解释
傅里叶变换和小波变换是数字信号处理中常用的两种技术，它们可以用来分析和处理信号的频率和时间特征。
傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的方法。
它通过将信号分解成一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加，来揭示信号的频率成分。
傅里叶变换的结果是一个频率谱，它表示了信号在不同频率上的能量分布。
小波变换是一种时频分析方法，它可以同时分析信号的时间和频率特征。
小波变换通过将信号分解成一系列不同尺度和位置的小波函数的叠加，来揭示信号的时频特征。
小波变换的结果是一个时频图，它表示了信号在不同时间和频率上的能量分布。
简单来说，傅里叶变换和小波变换都是将信号分解成一系列基本函数的叠加，以揭示信号的频率和时间特征。
傅里叶变换主要关注信号的频率特征，而小波变换则同时关注信号的时间和频率特征。
小波变换-完美通俗解读汇报
小波变换和motion信号处理（一）这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。
第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。
记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。
当然后来也退学了，不过这是后话。
当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。
我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。
当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。
对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。
后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。
比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。
但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。
这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。
后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。
看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。
同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。
牢骚就不继续发挥了。
在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
[数学]数字图像处理 第7章_小波变换
![[数学]数字图像处理 第7章_小波变换](https://img.taocdn.com/s3/m/3369735c31b765ce05081498.png)
(a)重构近似信号； (b) 重构细节信号
第七章 频域处理 2） 重构出信号的近似值 A1 与细节值 D1 之后，则原信号可用 A1 ＋
D1 ＝ S 重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构
如图所示。重构过程为： A3 ＋ D3=A2； A2＋ D2=A1 ； A1+D1=S。 信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意 的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（H）及重 构滤波器组（L′和H′）构成一个系统， 这个系统称为正交镜像滤 波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统。
而小波包分析的细节与近似部分一样，也可以分解，对于N
层分解，它产生2N个不同的途径。
S A1 AA2 AAA 3 DAA3 ADA3 DA2 DDA3 AAD 3 AD2 DAD3 ADD3 D1 DD2 DDD3
小波包分解示意图
第七章 频域处理
小波包分解也可得到一个分解树， 称其为小波包分解树 （Wavelet Packet Decomposition Tree）， 这种树是一个完整 的二叉树。小波包分解方法是小波分解的一般化， 可为信号分 析提供更丰富和更详细的信息。信号S可表示为AA2＋ADA3＋ DDA3＋D1等。
S cA1 cD1 cD2 cD3 (c)
Lo_ D：低通滤波器；Hi_ D： Lo_ D 高通滤波器 A3
Hi_ D cA2 D3 cA3
(a)
第七章 频域处理
D
1 00 0 个 采 样 点
cD
约 5 00 个 DW T系 数
S
1 00 0 个 采 样 点
S
1 00 0 个 采 样 点
A
小波变换分解层数
小波变换分解层数一、什么是小波变换小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号分析和处理的数学工具，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。
与傅里叶变换相比，小波变换不仅可以提供频域信息，还可以提供时域信息。
小波变换的基本思想是将信号与一系列母小波进行卷积，通过不同尺度和位置的卷积运算，得到信号在不同频率范围内的分解系数。
通过对这些分解系数的分析，可以提取出信号中的重要特征，并进行相应的信号处理。
二、小波变换的分解层数在进行小波变换时，我们可以选择不同的分解层数。
分解层数是指通过一系列的低通和高通滤波器对信号进行递归分解的次数。
较高的分解层数可以提供更详细的频域和时域信息，但也会导致分解系数的数量增加和计算复杂度的增加。
因此，在选择分解层数时需要综合考虑信号的特性和分析的需求。
一般来说，较低的分解层数适用于分析高频成分占主导的信号，如尖峰信号或高频振动信号。
较高的分解层数则适用于分析低频成分占主导的信号，如低频振动信号或长期趋势信号。
三、选择合适的分解层数的依据选择合适的分解层数的依据主要有以下几点：1. 信号的频率范围当信号的频率范围较大时，我们可以选择较高的分解层数，以便更好地捕捉信号的细节特征。
如果信号的频率范围较窄，则可以选择较低的分解层数，以减少计算量。
2. 信号的长度当信号的长度较长时，较高的分解层数可以提供更详细的时域信息。
如果信号的长度较短，则可以选择较低的分解层数。
3. 分析的目的根据分析的目的选择合适的分解层数也是非常重要的。
如果我们关注信号的整体趋势和大致特征，则较低的分解层数足够；如果我们关注信号的细节和局部特征，则需要选择较高的分解层数。
4. 计算效率较高的分解层数会导致分解系数的数量增加，从而增加计算的复杂度。
如果对计算效率要求较高，可以选择较低的分解层数。
四、小波变换分解层数的影响选择合适的分解层数对于小波变换的结果具有重要影响。
不同的分解层数会得到不同精度的频域和时域信息，从而影响到对信号的分析和处理。
小波变换_完美通俗解读.
小波变换完美通俗解读要讲小波变换,我们必须了解傅立叶变换。
要了解傅立叶变换,我们先要弄清楚什么是”变换“。
很多处理,不管是压缩也好,滤波也好,图形处理也好,本质都是变换。
变换的是什么东西呢?是基,也就是basis。
如果你暂时有些遗忘了basis的定义,那么简单说,在线性代数里,basis是指空间里一系列线性独立的向量,而这个空间里的任何其他向量,都可以由这些个向量的线性组合来表示。
那basis在变换里面啥用呢?比如说吧,傅立叶展开的本质,就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来,要这样表示的原因,是因为傅立叶变换的本质,是。
小波变换自然也不例外的和basis有关了。
再比如你用Photoshop去处理图像,里面的图像拉伸,反转,等等一系列操作,都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基,那我们自然就容易想到,这个basis的选取非常重要,因为basis的特点决定了具体的计算过程。
一个空间中可能有很多种形式的basis,什么样的basis比较好,很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。
比如如果我们希望选取有利于压缩的话,那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号,这样即使把别的向量给砍了,信号也不会损失很多。
而如果是图形处理中常见的线性变换,最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了,因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n=av_n,a是eigenvalue。
总的来说,抛开具体的应用不谈,所有的basis,我们都希望它们有一个共同的特点,那就是,容易计算,用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好,现在我们对变换有了基本的认识,知道他们其实就是在搞基。
当然,搞基也是分形式的,不同的变换,搞基的妙处各有不同。
接下来先看看,傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的,他发现,这个basis不仅仅存在与vector space,还存在于function space。
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种有用的数字图像处理方法，可以将图像的信号分解为几个不同的小部分，使得处理变得更容易、更简单。
小波变换原理是指将图像信号分解为若干可分解的子信号，并通过分析这些子信号来获取有关图像特征的信息。
小波变换原理的基本概念是将图像分解为“系数”和“尺度”，
即将图像分解为不同的尺度空间，每个空间中的像素信号表示为系数和尺度之间的关系。
小波变换是一种矩阵分解技术，利用图像的小波变换系数将图像的像素信号分为多个彼此具有相似特征的图像尺度，这样就可以建立一个有效的图像像素空间，用于分解和重构图像信号。
小波变换是一种非线性技术，可以实现数字图像处理中常用的空间域，空间频率域，时域，时频域等图像域的转换，从而实现图像处理功能。
通常情况下，小波变换采用一组正交函数构成变换系数，比如Haar，Symmlet，Coiflet和Biorthogonal等，将图像信号分解为一系列子信号。
此外，小波变换还包括从子信号重构图像信号的过程，使用正交函数来实现。
小波变换的优点是可以有效的提取图像信号中的属性，例如低频信号，以及高频信号，从而进行更精细的图像分析、提取、滤波、压缩等。
同时，小波变换也可以有效的减少图像信号的噪声，实现图像去噪，这对于图像分析和提取有重要意义。
总之，小波变换原理是将图像信号分解为若干可分解的子信号，利用正交函数构成的变换系数将图像的像素信号分为多个彼此具有
相似特征的图像尺度，从而提取图像信号中的特征，进行更精细的图像分析、提取、滤波、压缩等。
小波变换是一种有效的数字图像处理方法，可以有效进行图像处理，有助于人们更加深入的理解图像，提高图像分析的效率。
中值滤波 小波变换
中值滤波小波变换
中值滤波和小波变换是数字信号处理中常用的两种技术，它们在图像处理、信号去噪和特征提取等方面有着广泛的应用。
首先，让我们来谈谈中值滤波。
中值滤波是一种非线性滤波方法，它的原理是用像素点邻域灰度值的中值来代替该像素点的灰度值，从而达到去除噪声的目的。
中值滤波对于椒盐噪声和斑点噪声有很好的去除效果，因为它不受噪声干扰的影响，能够有效保留图像的边缘信息。
然而，中值滤波也有一些局限性，比如在去除高斯噪声方面效果不如线性滤波器。
接下来是小波变换。
小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，从而可以对信号进行多尺度的分析。
小波变换可以用于信号压缩、去噪、特征提取等领域。
与傅立叶变换相比，小波变换具有更好的局部性质，能够更准确地定位信号中的瞬时变化和突变点。
此外，小波变换还有离散小波变换和连续小波变换两种形式，分别适用于离散信号和连续信号的处理。
综上所述，中值滤波和小波变换是两种不同的信号处理技术，
它们各自在去噪和特征提取方面有着独特的优势和应用场景。
在实际应用中，可以根据具体的问题和要求选择合适的方法进行处理。
小波变换原理
小波变换原理小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的成分，从而揭示出信号的局部特征。
小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的原理及其在实际应用中的一些特点。
小波变换的原理可以通过分析其数学表达式来理解。
假设我们有一个连续信号f(t)，我们希望将其分解成不同尺度的成分。
我们可以使用一组小波函数ψ(a, b)来对信号进行分解，其中a表示尺度参数，b表示平移参数。
小波函数具有一定的特性，比如局部化、平滑性等，这使得它可以很好地描述信号的局部特征。
小波变换可以通过对信号与小波函数进行内积运算来实现，即。
W(a, b) = ∫f(t)ψ(a, b)dt。
其中W(a, b)表示小波系数，ψ(a, b)表示小波函数的共轭。
通过对不同尺度和平移参数下的小波系数进行计算，我们可以得到信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现信号的分解和分析。
小波变换的一个重要特点是多尺度分析能力。
传统的傅里叶变换只能提供信号在全局尺度下的频谱信息，而小波变换可以提供信号在不同尺度下的频谱信息，这使得它可以更好地捕捉信号的局部特征。
这种多尺度分析的能力使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，比如地震信号、心电图信号等。
另外，小波变换还具有一定的局部化特性。
小波函数在时域和频域上都具有一定的局部化特性，这使得小波变换可以更好地描述信号的局部特征。
相比之下，傅里叶变换在频域上具有全局性，这在一定程度上限制了其对信号局部特征的描述能力。
除了信号分析之外，小波变换还在图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的去噪、边缘检测等任务；在数据压缩中，小波变换可以将信号的能量集中在少数重要的小波系数上，从而实现对信号的高效压缩。
总之，小波变换是一种重要的信号分析方法，它具有多尺度分析能力和局部化特性，适用于处理非平稳信号和具有局部特征的信号。
在实际应用中，小波变换有着广泛的应用前景，可以帮助我们更好地理解和处理各种类型的信号和数据。
小波变换 原理
小波变换原理
小波变换是一种数学工具，通过将信号分解成一系列基于不同尺
度和频率的小波，以提取信号的时域和频域信息。
与傅里叶变换不同，小波变换的基函数具有有限长度，因此不仅能捕捉信号的时间变化，
也能对信号的瞬时特征进行分析。
小波变换的原理可以用以下的步骤描述：
1. 将原始信号表示为一组离散的数据点，称为离散时间序列。
2. 选择适当的小波作为基函数，将离散时间序列进行小波分解，
得到一组小波系数。
3. 根据小波系数，可以重构原始信号并提取不同尺度和频率的信息。
小波变换可以用来处理不同类型的信号，例如语音、图像、视频
以及生物医学信号等。
在这些应用中，小波变换可以通过提取信号的
特征来实现信号的分析和处理。
例如，在音频处理中，小波变换可以
用来将语音信号分为不同的频带，并对这些频带进行更精细的处理；
在图像处理中，小波变换可以用来分析图像的纹理和形态，并提取出
不同频率的图像细节。
除了常见的小波变换之外，还有一些其他类型的小波变换，例如
小波包变换和连续小波变换。
这些方法在应用中有各自的优势和适用性。
小波变换作为一种通用的信号分析和处理工具，在许多实际应用中发挥了重要作用。
通过深入理解小波变换的原理和应用，可以更加有效地处理和分析各种类型的信号，提高信号处理的准确性和效率。
浅析小波变换
引言---短时傅里叶变换
❖ 缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，保 持固定不变，对于分析时变信号不利！ （高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用
小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。）
STFT无能为力了！ 不能构成正交基，给数值计算带来不便。
三、小波信号
❖ 1984年法国的年轻的地球物理学家Jean Morlet在 进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国理论物 理学家A.Grossman一起提出了小波变换(wavelet transform, WT)的概念 。
总
结
4 小波分析的一个主要优点就是能够分析信号 的局部特征。
5 利用小波分析可以非常准确地分析出信号在 什么时刻发生畸变。
6 在二维情况下，小波分析除了“显微”能力外还具 有“极化”能力(即方向选择性)。
应用到了越来越多的领域
Terms
Wavelet: 小波 Ondelettes: 小波 Compact support: 紧支撑 Wavelet transform (WT): 小波变换 Continuous Wavelet transform (CWT): 连续小波 变换 Discrete Wavelet transform (DWT): 离散小波变 换 Filter bank: 滤波器族
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
根据耐奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样的方 法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的 离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示
三、小波重构
将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根 据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分解 的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构 （ Wavelet Reconstruction ） 或 叫 做 小 波 合 成 （Wavelet Synthesis）。
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小波变换和motion信号处理（一）这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。
第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。
记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。
当然后来也退学了，不过这是后话。
当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。
我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。
当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA 这些东西了。
对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。
后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。
比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。
但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。
这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。
后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。
看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国真TNND不是一个档次的。
同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。
牢骚就不继续发挥了。
在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。
另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。
我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。
我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。
最后说明，我不是研究信号处理的专业人士，所以文中必有疏漏或者错误，如发现还请不吝赐教。
要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。
要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。
很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。
变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。
如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。
那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。
小波变换自然也不例外的和basis 有关了。
再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。
一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。
比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。
而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。
总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。
当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。
接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于function space。
这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function 了，而对应的标量就是实数或者复数。
在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。
你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。
唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。
好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。
我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样again，这是一个无限循环的函数。
其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。
傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。
为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的积为0。
那对于function basis呢？function basis 怎么求积呢？现在先复习一下vector正交的定义。
我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector求积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。
那移过来，就是对每一个x 点，对应的f和g做乘积，再累加。
不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。
怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是…….积分！我们知道函数积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。
证明过程这里就不展开了。
好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。
我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0, a1, a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。
我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的积都是0！所有就简化为这样，a1就求解出来了。
到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:) 好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。
傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients 的。
但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。
有了傅立叶变换的基础，接下来，我们就看看什么是小波变换。
首先来说说什么是小波。
所谓波，就是在时间域或者空间域的震荡方程，比如正弦波，就是一种波。
什么是波分析？针对波的分析拉（囧）。
并不是说小波分析才属于波分析，傅立叶分析也是波分析，因为正弦波也是一种波嘛。
那什么是小波呢？这个”小“，是针对傅立叶波而言的。
傅立叶所用的波是什么？正弦波，这玩意以有着无穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡，像下面这样：那小波是什么呢？是一种能量在时域非常集中的波。
它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。
比如下面这样：这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。
它有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。
恩，以上就是通常情况下你能在国上搜到的小波变换文章告诉你的。
但为什么呢？这是我希望在这个系列文章中讲清楚的。
不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优点cover了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。
小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。
任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。
下面这附图就是某种小波的示意图：从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。
对于这点，我们会在之后详细阐述。
小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参考第二篇）：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。
这个和傅立叶级数有很大区别。
后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。
2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。
这个特性是得益于小波变换是二维变换。
我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。
3. 从信号算出展开系数a需要很方便。
普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。
有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。