清华大学姜启源 数学建模共29页
数学模型姜启源-第三章(第五版)
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
一周期
贮存费
c2
T1 q(t)dt
0
c2 A
一周期
缺货费
c3
T T1
q(t ) dt
c3B
一周期总费用
C
c1
c2
QT1 2
c3
r(T
T1)2 2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用
C
c1
1 2 c2QT1
1 2 c3r(T
T1 )2
每天总费用 平均值
C(T ,Q) C c1 c2Q2 c3 (rT Q)2
建立数学模型——描述啤酒杯的重心变化的规律， 找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素.
问题分析与模型假设
x
最简单的啤酒杯 ~ 高度为1的圆柱体.
1
假设：啤酒和杯子材料均匀.
沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时 液面高度从x=0到x=1.
重心位置沿x轴变化，记作s(x).
xs(x) 液面 0
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
经济批量订货公式(EOQ公式)
不允许缺货的存贮模型
允许缺货的存贮模型
q
当贮存量降到零时仍有需求r, Q
出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时
数学模型_第3版_姜启源_高等教育出版社_课后答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次n r 的上界”(如=5时上界为1)是n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是,i j 两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠i i k k j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,以外的2k r 支球队参赛,于是,注意到32+≥r n r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, =9可以得到: n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 193A 5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 177A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 178A25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17w w w .k h d a w .c o m 课后答案网1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A 6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 234,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 193,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 144,4,3,3,3,3 23 7A16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A21 17 25 13 29 9 33 × 53,3,3,3,3,3,3, 21 9A 1 32 10 23 19 14 28 5 × 3,4,3,4,3,4,3 24 可以看到, =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即为偶数时每两场比赛相隔场次数只有n n n 22-n ,12-n ,2n ,n 数时只有为奇23-n ,21-n . 量赛程优劣其他指标如(4)衡的平均相隔场次 记第i 队第j 个ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,间隔场次数为则平均相隔场次为∑∑=n i 1-=n r 21 =-j n n 1)2(ij c r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算=8,=9的n n r ,并讨论它是否达到上界. 相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑---=2)2(|n r n c Max g =1|j ijw w w .k h d a w .c o m 课后答案网f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算=8,=9的,g ,并讨论它是否达到上界.g n n f 参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,取尽量简单的形式,h 如αα=)(g ;0)(=βh (),030≤β0)(h h =β)30(0>β.(1)可将作为必要条件,以030≤βα最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处.又通过计算或分析可知030=βα也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔(如0.5m), l x 从0(或处)到030≤βd D -按离散,对于计算l )20~0(00θα的平均值,得时其值最大. 020=θ(3)可设地板线是x 的二次曲线,寻求,b 使2bx ax +a α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和. w w w .k h da w .c o m 课后答案网假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数.~初始污水量,第轮加水量,~第k 轮脱水量c 0x ~k u k k x ),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x u c x n n n =+==--111,,, c x 2c x +21u x 10, 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++= . 在最终污物量与初始污物量之比小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量,使总用水量最小,即0/x x n k u ),,1(n k =∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n 等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++ α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第轮加水量n ~2u u k =(常数),第1轮加水量.c u u +=1令,问题简化为cx u =nx Min u n , ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x t s 11.. 其解为,即,而0→x 0→u ∞→n n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:.则得n ,其中 21v u v ≤≤max min n n ≤≤max min n n ≤≤,1+)/1ln(2min ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n αn 这样,为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,1997w w w .k h d a w .c o m 课后答案网4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxI d .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的. 按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，20015. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题）设为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即ij a )8arcsin(ij ij r a =其中为这两架飞机连线的长度），ij r ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量. 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网∑=61i i Min θ s.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i 为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ：1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: 10] (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endataEND计算结果如下：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网ij a j=1 2 3 4 5 6i=1 0.000 0 5.3912 32.231 05.091 8 20.963 4 2.234 5 2 5.391 2 0.000 0 4.8046.613 5 5.807 9 3.815 9 3 32.231 0 4.804 0 0.0004.364 7 22.833 7 2.125 5 45.091 86.613 5 4.36470.000 0 4.4.537 2.989 8 5 20.963 4 5.807 922.8337 4.537 70.000 0 2.309 8 6 2.234 5 3.815 9 2.125 5 2.989 82.309 80.000 0 ij β也可类似地利用LINGO 求得，计算结果如下： ij β j=1 2 3 4 5 6 i=1 0.000 0 109.263 6 -128.250 0 24.1798173.065 1 14.474 9 2 109.263 6 0.000 0-88.871 1 -42.2436-92.304 8 9.000 03 -128.250 0 -88.871 1 0.000 012.4763-58.786 2 0.310 84 24.179 8 -42.243 6 12.476 30.000 0 5.969 2-3.525.65 173.065 1 -92.304 8 -58.78625.969 20.000 0 1.914 4614.474 9 9.000 00.310 8-3.5256 1.914 4 0.000 0w w w .k h d a w .c o m 课后答案网于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO 求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2….. …2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddata END[注] alpha,beta 中数据略去，见上面表格. 求解结果如下： OPTIMUM FOUND AT STEP 197 SOLUTION OBJECTIVE V ALUE= 3.630 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST CITA(1) 0.2974033E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.1424833E-05 -0.715 033 4 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.3856641E-04 0.0000000E+00CITA(5) 0.2098838E-05 -1.000 000CITA(6) 1.071 594 0.0000000E+00………. (以下略)由此可知最优解为： （其它调整角度为0）. ︒︒≈≈07.1,56.263θθ 评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，19966. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整. 目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用与伞的半径r 的关系。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
清华大学数学建模讲义
城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，
为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具 工程咨询公司
有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。 附加费用
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千 米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布 置方案及相应的费用。
1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱 体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如 附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高 度间隔为1cm的罐容表标定值。
2.对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与 油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体 变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变 位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
成绩评定和课程要求
• 总评成绩＝平时作业＋期末作业 ± 印象分 • 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。
共交3次平时作业，每次20分。 • 期末作业：七日内完成所布置的建模题目，
写成一篇小论文，占40分。 • 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
数学模型姜启源答案
数学模型姜启源答案【篇一：姜启源课后习题】xt>第1章建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的logistic模型为dn11dt?25n?25?106n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当t??时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
数学建模ppt课件-文档资料
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假 设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两 三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学 在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与 应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我 国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学 建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模 以平均年增长25%以上的速度发展。
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙 T 建模 热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞 赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名 大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。
《数学建模(一)》课程教学大纲-公选课
《数学建模（一）》课程教学大纲【课程基本情况】一、课程代码：000373二、课程类别及性质：公共选修课三、课程学时学分：54学时（教学：24 实践：30）2学分四、教学对象：12、13级学生五、课程教材：《数学模型》、姜启源谢金星叶俊等、高等教育出版社六、开设系（部）：信科系七、先修课：高等数学、线性代数【教学目的】通过本课程的学习，使学生能够较好地理解数学模型、数学建模的含义，了解数学建模的重要性。
通过示例的学习使同学们基本掌握建立数学模型的方法和步骤，并能通过数学方法、数学软件求解模型，而且能够对模型的精准性进行分析。
通过学习，培养了同学们的把实际问题表述成数学问题的能力，从而提高了他们的抽象思维能力。
并且通过MATLAB、LINGO 数学软件的应用，提高了他们的计算机应用水平。
【教学内容、基本要求及学时分配】第一章建立数学模型教学时数：2学时第一节从现实对象到数学模型基本要求：掌握数学模型、数学建模的含义。
第二节数学建模的重要意义基本要求：了解数学建模的重要性。
第三节数学建模的示例（不讲授）基本要求：掌握三个示例的建模过程；重点：模型的建立、模型的求解。
第四节数学建模的基本方法和步骤基本要求：掌握数学建模的基本方法和步骤；重点：建模的基本方法和步骤。
第五节数学模型的特点和分类基本要求：了解数学模型的特点和分类。
第六节数学建模能力的培养（不讲授）基本要求：了解建立数学模型所需要的能力。
第二章初等模型教学时数：4学时第一节公平的席位分配基本要求：掌握公平席位的建模方法；重点：建立数量指标。
第二节录像机计数器的用途基本要求：掌握录像机计数器的建模方法；重点：模型的假设及模型的构成。
难点：建立模型的过程。
第三节双层玻璃的功效基本要求：掌握双层玻璃的功效的建模方法及模型应用；重点：模型的构成。
第四节汽车刹车距离基本要求：掌握t秒准则的建立方法；重点：模型建立的过程。
第五节划艇比赛的成绩（不讲授）第六节动物的身长和体重（不讲授）第七节实物交换（不讲授）第八节核军备竞赛（不讲授）第九节扬帆远航（不讲授）第十节量纲分析与无量纲化（不讲授）第三章简单的优化模型教学时数：4学时第一节存贮模型基本要求:掌握存贮模型在两种情况下的建模方法；重点：模型假设。
数学建模课件讲课资料
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2005年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2005年竞赛的选手达到25000多名。 2006年竞 赛的选手达到25000多名。
• (2)模型假设：根据实际对象的特征和建 模的目的，对问题进行必要的简化，并用 精确的语言提出一些恰当的假设。
• (3)模型建立：在假设的基础上，利用适 当的数学工具来刻划各变量之间的数学关 系，建立相应的数学结构。(尽量用简单的 数学工具)
• (4)模型求解：利用获取的数据资料，对模 型的所有参数做出计算(估计)。
y
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm ,ym )
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
乙安全线y=f(x)不变 y 甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
0
P(xm,ym)
x=2y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。
甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,
sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。
y0=sx+y–x
y= y0+(1-s)x
y0=sy
y=y0/s
乙的x–y个被攻击2次，s2(x–y)个未摧毁；
y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁
数学建模 姜启源ppt
一、CUMCM历年赛题的分析
3、从问题的解决方法上分析
从问题的解决方法上分析， 从问题的解决方法上分析，涉及到的数学 建模方法： 建模方法： 几何理论、组合概率、统计(回归 分析、 回归)分析 几何理论、组合概率、统计 回归 分析、 优化方法（规划）、图论与网络优化、 ）、图论与网络优化 优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分 插值与拟合、差分方法、微分方程、 析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队 模糊数学、随机决策、多目标决策、 论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机 模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、 模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、 综合评价、机理分析等方法。 综合评价、机理分析等方法。
数学建模竞赛准备的（培训） 数学建模竞赛准备的（培训）内容
3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的 ）合适的数学软件的用法。 软件， 软件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINDO等。 等 4）历届赛题的研讨。 ）历届赛题的研讨。 5）撰写数学建模论文的练习。 ）撰写数学建模论文的练习。
参考书
• 数学模型(第3版),姜启源等(高等教育出版社,2003年) 数学模型( ),姜启源等 高等教育出版社,2003 姜启源等( ,2003年 • 大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年) 大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年 • 竞赛优秀论文,见<工程数学学报>(2001年起)及 <数 竞赛优秀论文, 工程数学学报>(2001年起) >(2001年起 学的实践与认识> (2001年前 年前) 学的实践与认识> (2001年前)
数学建模竞赛 优秀论文评析
• 每年出两道题(甲组:A,B题; 乙组:C,D题), 任选一题. • A,C 为连续型题目; B,D为离散型题目
数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第一章-建立数学模型
数学模型程序代码-M a t l a b-姜启源-第一章-建立数学模型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1章 建立数学模型1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：d ,(0)1100d (,0)d ,(0)0d xx x ty x y y tλλμλμ⎧=-=⎪⎪>⎨⎪=-=⎪⎩ 其中，x (t )为t 时刻胃肠道中的药量，y (t )为t 时刻血液系统中的药量，t =0为服药时刻。
1.1（求解）模型求解p10~11要求：① 用MATLAB 求解微分方程函数dsolve 求解该微分方程（符号运算）。
② 用MATLAB 的化简函数simplify 化简所得结果。
③ 结果与教材P11上的内容比较。
提示：dsolve 和simplify 的用法可用help 查询。
建议在命令窗口中操作。
1.2（编程）结果分析p11已知λ=0.1386, μ=0.1155，将上题中得到x (t )和y (t )两条曲线画在同一个图形窗口内。
参考图形如下。
MATLAB命令plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text 。
★ 编写的程序和运行结果：2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？[模型构成]决策：每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。
要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
x k第k次渡河前此岸的商人数y k第k次渡河前此岸的随从数x k , y k=0,1,2,3; k=1,2,⋯过程的状态s k=(x k , y k)允许状态集合S={(x, y)|x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}u k第k次渡船上的商人数v k第k次渡船上的随从数u k , v k=0,1,2; k=1,2,⋯决策d k=(u k , v k)允许决策集合D={(u , v)|u+v =1, 2}状态转移律s k+1=s k+(-1)k d k[多步决策问题]求d k∈D(k=1, 2, ⋯, n), 使s k∈S, 并按转移律由s1=(3,3) 到达s n+1=(0,0)。
姜启源数学模型课后答案(3版)
《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++03032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲i P 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g l t =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mg kl =π ∴)(2/12/1mg kl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1gm l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l mm '='时， 就有 ll l g g l tt '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==**与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00QCTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022))()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TT t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β)(2)8322(22022bp a T T t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100kk T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.925002+-=TdT dC直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s（2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0.01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ .0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f ()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te V kD k k e e k k V D k t C kt t k kt3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；Ex()x f② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β（1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101 ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-=则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→→→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()Te 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()TAe S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==，()()()TAS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()TS 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0=数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为nq ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()1122--+=⋅+⋅n n n nnpq q m npqm q m于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npqq m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n npq q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111mn n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：由上知：mnE 4≈，226'm n E ≈∴ m n E E 32/'=，当n m 时，132 mn， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r n nr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章。
数学建模
物品分组排序问题摘要文主要研究物体的排序问题，从两方面进行考虑，一是考虑重量，二是考虑体积。
在物品满足这两个条件时，不需要更换物品，否则需要更换。
通过不同的算法，我们确定如何安装和排序的问题。
问题1运用了0-1整数规划模型，通过求解得到各个象限的物品。
问题2同时考虑了重量和体积的问题，使模型更复杂化了。
问题3利用了灵敏度分析，能够很快地解答出重量和体积的取值范围。
问题一中，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，不能出现过重或过轻的情况。
由以上的均匀分布可得：每个物品必须在规划的指派问题模且只能在其中的一个象限域内，这样，我们就很容易想到01型。
从而利用lingo软件优化模型，得到结果。
问题二中，要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积上的，所以要同时考虑重量和体积。
体积的要求是相邻两个组，即相邻两个象限之间比较，而重量的要求是相邻象限之间的比较，所以将体积的要求优先考虑，进而再去考虑体积的要求,利用lingo优化模型，得到结果。
问题三中，综合考虑重量和体积时，分为以下3种：①当体积满足条件时，重量不满足条件；②当重量满足条件时，体积不满足条件；③体积和重量都不满足条件；最后，本文给出了模型的评价与推广。
关键词：0-1规划的指派问题模型网络搜索物品更换一、问题提出现有物品16件，每件物品的重量G和体积V互不相同，下面的附件数据提供了相关数据。
试解决下列问题。
（1）按照要求需要将16件物品分成四组，每组4件。
如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小，试建立数学模型，给出求解算法和最优分配方案。
（2）如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小的同时，每组之间的总体积差也要尽可能小，并且重量差优先，试建立数学模型，并给出最优分配方案。
（3）如果要求分组后每组之间的总重量差不能大于2，每组之间的总体积差不能大于3，请验证附件数据不能满足以上要求。
数学建模通识第一讲简介
建模过程示意图
数学模型的分类
◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、 几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型 、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人 口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理 模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。
2011年 PROBLEM A: Snowboard Course PROBLEM B: Repeater Coordination PROBLEM C: How environmentally and economically sound are electric vehicles? Is their widespread use feasible and practical?
2012年 PROBLEM A: The Leaves of a Tree PROBLEM B: Camping along the Big Long River PROBLEM C: Modeling for Crime Busting
2013年 A(MCM): The Ultimate Brownie Pan B(MCM)：Water,Water, Everywhere C(ICM): Network Modeling of Earth's Health
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱” 系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统 的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析 方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选 出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法 也叫做系统辩识。（例如：房价问题） 将这两种方法结合起来使用，即用机理分 析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确 定模型的参数，也是常用的建模方法．