高考复习资料：不等式问题的题型与方法
高考数学23题不等式多种题型及解法
高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。
不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。
1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。
2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。
高中数学不等式解题方法全归纳
高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。
这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。
我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。
最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。
比如，3 < 5，这里表示3小于5。
其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。
1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。
比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。
举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。
比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。
乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。
但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。
比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。
2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。
比如，2x + 3 < 7。
这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。
步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。
2x < 7 3。
2. 化简：化简右边的数值。
2x < 4。
3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。
这时候，不等式就解出来了。
简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。
假如有一个不等式x^2 4 < 0。
解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。
这个方程的解是x = ±2。
2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。
然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解44---基本不等式
高考数学复习考点知识与题型专题讲解基本不等式 考试要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．(×) (2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是() A ．1B ．2C ．22D ．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x )≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2；②ab ≤a 2＋b 22；③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b≤ab . 答案②③解析当b a 为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为()A.94B ．4C.92D ．9答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号，∴当x ＝34时，y max ＝92.(2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23，∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________． 答案 －1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1， 当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”， 所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是()A ．1B ．2C.94D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x＋y＋xy＝3得y＝3－x x＋1，∵x>0，y>0，∴0<x<3，∴x＋y＝x＋3－xx＋1＝x＋4x＋1－1＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)·4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解∵x＋y＋xy＝3，∴3－xy＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，令t＝xy，则t>0，∴3－t2≥2t，即t2＋2t－3≤0，即0<t≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1. 教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝10＋2×4＝18， 当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝6时取等号， 所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案52解析∵2x >1，∴x －12>0，f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”．∴f (x )的最小值为52.(2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D 解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b ，故选项B 错误； 对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a 都是正数，根据基本不等式求最值，a b ＋b a ≥2a b ×ba ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4， ∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2ab D.2a 2＋b 2 答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab＝1ab <2ab ，2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b .柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则：(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9， 所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437.例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2 ＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A ．2B.12C ．4D.14答案A解析4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时等号成立． 4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是()A ．1B ．4C ．7D ．3＋17答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是() A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝x x 2－x ＋4(x >0)，则() A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D解析f (x )＝x x 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， ∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab 2ab ＝ab 2≤162＝2，故必要性成立； 当a ＝2，b ＝10，此时ab a ＋b≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立， 因此“ab a ＋b≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①②B．①③C．①②④D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当a＝b时取等号，∴③错误；∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0<a<1，∵a＋1a≥2a·1a＝2，当且仅当a＝1时取等号，∴a＋1a>2，④正确．9．若0<x<2，则x4－x2的最大值为________．答案2解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b 2＋b 的最小值为________． 答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b>ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4. 答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab， 即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，即a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数， 所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174.16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2yy －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2yy －1的最小值为3＋2 2.。
不等式题型及解题方法
不等式题型及解题方法不等式是数学中常见的一种问题，其解题方法也多种多样。
不同的不等式题型需要采用不同的解题方法才能得出正确的答案。
下面将介绍一些常见的不等式题型及其解题方法。
一、一次不等式一次不等式是指只含有一次项的不等式，如：ax + b > c。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 移项，将不等式中的常数项移到右边，将未知数的系数移到左边，得到ax > c - b。
2. 如果a > 0，则解为x > (c - b)/a；如果a < 0，则解为x <(c - b)/a。
二、二次不等式二次不等式是指含有二次项的不等式，如：ax + bx + c > 0。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将不等式化为标准形式，即将常数项移到左边，得到ax + bx + c - 0 > 0。
2. 求出方程的根，即x1和x2，根据二次函数的性质可知，当x < x1或x > x2时，函数值大于0。
3. 根据a的正负性分别讨论，如果a > 0，则解为x < x1或x > x2；如果a < 0，则解为x1 < x < x2。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值的不等式，如：|x - a| > b。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将绝对值拆开，得到x - a > b或x - a < -b。
2. 分别解出不等式两边的未知数，得到x > a + b或x < a - b。
四、分式不等式分式不等式是指不等式中含有分式的不等式，如：(ax + b)/(cx + d) > 0。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将不等式转化为分子和分母的符号相同的形式，即当分子和分母同为正数或同为负数时，不等式成立。
2. 分别讨论分子和分母的正负性，得到不等式的解集。
以上是一些常见的不等式题型及其解题方法，当然，不同的不等式题型还有其他的解题方法，需要根据实际情况进行分析和求解。
高考数学不等式考点,高考数学不等式题及解析
考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。
在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。
【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。
【复习建议】 集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。
考向一 比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a <b .(2)作商法{ab >1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a <b (a ∈R ，b >0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ， 故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（ ） A ．P Q < B ．P Q =C ．P Q >D ．,P Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二 不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确； 由0a b <<，得11a b>，B 正确； 由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<， 则0a b -<， 所以330a b -<，C 正确.由0a b <<， 得0b ->， 所以0a b a >->， 则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（ ） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ． 因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（ ）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（ ）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（ ） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立； 因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立； 对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立； 对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立； 对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。
高中不等式经典题型
高中不等式经典题型
1.均值不等式：在实数范围内，对于任意正数a，b，总有2a+b≥ab，当且仅当
a=b时等号成立。
例如，求函数y=x+4/x的最小值。
2.绝对值不等式：对于任意实数x，y，总有∣x+y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣，当且
仅当x，y同号时等号成立。
例如，求函数f(x)=|x-1|-|x+2|的最大值。
3.柯西不等式：对于任意实数a，b，c，总有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅
当c=ad时等号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
4.排序不等式：对于任意实数a，b，c，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等
号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
这些不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决一些最优化问题、比较大小等问题。
在解决不等式问题时，需要灵活运用这些不等式，结合具体的题目条件进行求解。
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。
通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。
通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
(完整版)不等式常见题型分析
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法规： a ba cbc ； a b,c da c bd ( 同向可加 )(4) 乘法法规： ab, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c dacbd ( 同向同正可乘 )(5)倒 数 法 则 ：a b, ab1 1(6)乘 方 法 则 ：baa b 0a nb n (n N * 且 n 1)(7) 开方法规： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c0 a 0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况以下表：y ax 2bxcy ax 2bx cyax 2 bx c二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cx 1 x 2b a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2 bx c 0x x 1 x x 2(a0)的解集2、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。
解分式不等式时， 一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f (x)f ( x) f ( x) g(x) 0f ( x) g(x) 0;g(x)g ( x)g( x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地域二元一次不等式 Ax +By +C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面地域 . （虚线表示地域不包括界线直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面地域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同， 所以 只需在此直线的某一侧取一特别点 （ x 0, y 0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面地域 . （特别地，当 C ≠ 0 时，常把 原点 作为此特别点） 3、线性规划的有关看法：①线性拘束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数 ：关于 x 、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、 y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解 ： 满足线性拘束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的会集叫做可行域．使目标函数获取最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（ 1）搜寻线性拘束条件，列出线性目标函数； （ 2）由二元一次不等式表示的平面地域做出可行域；（ 3）依照线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优 解（四）基本不等式ab ab21．若 a,b ∈ R ,则 a 2+b 2≥ 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .ab b 时取 " " 号).2．若是 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a2变形： 有 :a+b ≥ 2 ab ；ab ≤a b2,当且仅当 a=b 时取等号 .23．若是 a,b ∈ R+,a ·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;若是 a,b ∈ R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值S 2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1） a 2 b 2a bab2( 依照目标不等式左右的运算结构2211a b采纳 ) ；（ 2） a 、b 、 c R ， a 2 b 2 c 2 ab bc ca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则bb m（糖水的浓度问题）。
高中不等式题型及解题方法
高中不等式题型及解题方法高中不等式是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中必考的考点之一。
不等式的题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式等。
本文将介绍高中不等式的各个题型及解题方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最基础的不等式。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有配方法、求根式、绝对值法等。
三、二元一次不等式二元一次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
四、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有分段讨论法、绝对值法等。
总之，高中数学中的不等式是一个需要掌握的重要知识点，需要通过大量的练习来熟练掌握各种不等式的解法，才能在高考数学中得到高分。
【高中数学】高考数学不等式题型及解题方法总结
【高中数学】高考数学不等式题型及解题方法总结不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
数学网整理了不等式题型及解题方法，请考生在平时解题中多注意。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
科学知识资源整合1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要就是一次、二次不等式)的数学分析就是求解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归入整式不等式(组)就是求解不等式的基本思想，分类、换元、数形融合就是求解不等式的常用方法。
方程的木、函数的性质和图象都与不等式的求解密切相关，必须擅于把它们有机地联系出来，相互转变和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
4。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍就是证明不等式的最为基本方法。
高考数学中的不等式求解方法
高考数学中的不等式求解方法数学中的不等式是我们学习的一个重要知识点，它不仅在我们的学习中经常出现，在日常生活中也有着广泛的应用。
高考数学中的不等式求解方法更是需要我们深入研究的一个方向。
在这篇文章中，我将向大家介绍几种高考数学中常用的不等式求解方法，希望能帮助大家在数学高考中取得好成绩。
一、一次不等式的求解方法一次不等式是我们学习中最基础的不等式，通式为ax+b>0。
它的求解方法十分简单，只需要把这个不等式看成一个一元一次方程即可。
将b移到等式的另一边，然后用x将a除掉即可得到x>b/a。
这个结果就是不等式的根。
如果不等式的系数a小于零，则根的符号需要取反。
二、二次不等式的求解方法二次不等式的求解方法则要复杂一些。
它的方程应该长这样：ax²+bx+c>0。
这个不等式可以通过方程的根来求解。
如果我们把这个不等式看成一个一元二次方程，那么它的解就是x1和x2的值。
让我们来看一个例子。
假设我们有一个二次不等式5x²-5x+1>0。
我们需要求的是这个不等式的根。
根据二次函数的求根公式，我们可以得出：Δ=b²-4ac=25-20=5x1=(-b+√Δ)/2a=（5+√5）/10x2=(-b-√Δ)/2a=（5-√5）/10因为不等式中的系数是正数，我们只需要关注其中一个根x1。
所以，我们得到了这个不等式的根，x>x1。
这就是这个不等式的解。
三、分式不等式的求解方法分式不等式是高考数学中比较复杂的一个不等式形式，它的形式可以写成f(x)/g(x)>0。
其中，f(x)和g(x)都是多项式函数。
它的求解方法采用分段法进行。
具体的步骤如下：1. 找出f(x)和g(x)的所有零点，也就是它们的根。
2. 根据这些零点将数轴分成几个部分。
3. 接下来，我们需要对每一个分段分别进行判断。
首先将f(x)和g(x)的符号标记在分段的两个端点上。
如果f(x)和g(x)的符号相同，那么这个分段就符合不等式。
高中不等式所有知识及典型例题(超全)
一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
八种方法解决高中数学不等式问题
八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。
【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。
建议从数形结合角度理解。
【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。
【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。
【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。
【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。
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第10讲不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
一、知识整合1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．二、方法技巧1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。
如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
三、例题分析b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1≤y≤3时，x= 4．所以当y=1时，min简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式例2．已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D例3．数列{}n x 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥≥总有,2,（2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有．证明：（1）)()(21,0)(210111*∈=⋅≥+=>+=>=++N n a x a x x a x x x x a x x a x nn n n n n n n n 从而知及 成立时当a x n n ≥≥∴2（2）当2≥n 时，)(21),(21,011n n n n n n n n x x a x x x a x x a x -=-∴+=>≥++ =成立时12,2.021+≥≥∴≤-∙n n nn x x n x x a 。
例4．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a aa x a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。
例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax 2+bx ．于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(Ⅰ)变形得(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．解法二(数形结合)建立直角坐标系aob ，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b ，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①所以 3≤3f(-1)≤6． ②①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．例6．设函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相交.试证明对一切x R ∈都有214ax bx c a++>. 分析：因为x ∈R ，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x 0)2+f(x0)． 证明：由题意知，a ≠0．设f(x)=a(x-x 0)2+f(x 0)，则又二次方程ax 2+bx+c=±x 无实根，故Δ1=(b+1)2-4ac ＜0，Δ2=(b-1)2-4ac ＜0．所以(b+1)2+(b-1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即b 2-4ac ＜-1，所以|b 2-4ac|＞1．简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。
为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆。
由题意得)06.0(94.006.094.011xa xa x a a n n n n -=-+=++即万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06.0)94.013030(,6006.094.0)06.030(11≤≤∞→⨯-+≤≤+-=--x a n n n x a xxa n n n n n。