Financial Econometrics

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我们把所有的特征根整理到一个对角矩阵里：
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矩阵和行列式有其空间几何的背景。以下维基百科有这方面的有趣讨论： /wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
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1 0 0 2 Λ 0 0
0 0 K
c2 c K 。显然 C' C I ， C 和
同时把所有的特征向量都整理在一个矩阵里 C c 1
它 的 转 置 互 为 逆 矩 阵 。 根 据 特 征 根 和 特 征 向 量 的 定 义 ， 我 们 有 AC CΛ ， 从 而 ACC' CΛC ' ， A CΛC ' 。 定理 1.5：任何一个对称矩阵 A 可以做如下的谱分解： A CΛC ' 结合定理 1.4 和 1.5，我们很容易得出如下有用的结论： 定理 1.6：任何一个对称矩阵的行列式等于其特征根之积； 定理 1.7：任何一个对称矩阵的迹等于其特征根之和； 定理 1.8：任何一个对称矩阵的秩等于其非零特征根的个数； 定理 1.9：正定的对称矩阵的特征根都大于 0；负定的对称矩阵的特征根都小于 0； 定 理 1.10 ：一个方形矩 阵 A ，如果满 足 AA A ，则这个 矩阵被称为 幂等矩阵 （Idempotent Matrix） ，幂等实对称矩阵的特征根全部为 0 或者 1。 练习：证明定理 1.6~1.10。 关于实对称矩阵，利用它的谱分解，我们还可以定义它的平方根矩阵。 A CΛC ' ，
f ( x ) 并不是对 x 的转置求导，相反，是 x'
一阶导列向量的转置，
f ( x ) f ( x ) ' ，即我们横着排列偏一阶导。 x ' x
二阶导是一阶导函数对自变量列向量的再次求导， 因而表述比较复杂。 本身一阶导函数 已经是列向量，所以再次求导的时候，我们横向排列，因而二阶导是一个矩阵，而且是一个 方形矩阵：
xi 都等于 0 的时候） ，这个函数取得最小值。此时，一阶导： f ( x1 , x 2 , , x k ) / xi 2 xi 0, i 1,2, , k 。
同样的，我们把这个一阶导条件写成列向量形式：
g(x)
f ( x ) 2x 0 x
我们用梯度向量函数 g(x) 来表述，是因为英文里面 gradient 表示斜率、梯度。注意到因为这 是个列向量，因而函数是粗体字。同时也要注意，
f ' ' ( x ) 2 f ( x ) / x 2 2 0 。
一阶导和二阶导的条件可以这样子直观来理解， 当自变量增加微小一丁点， 一阶导增加， 由 0 变正（中值定理） ；因为一阶导变正，所以函数也增加一点。相反，当自变量减少微小 量时，一阶导变负，但是函数还是增加（函数的变化量大约是 x f ' 'x 0 ：变化的量会 有偏差，但是变化的方向是和这个值一致的） 。因而这是一个最小值点。 现在考虑多元函数，
f ( x1 , x 2 , , x k ) xi2
。 从现在开始我们慢慢使用矩阵以达到简
洁表述的目的。把所有的自变量用一个列向量 x 表示，因而函数为 f ( x ) x ' x 。为了记述 的清晰，在这个课程里，我们用小写的不加粗体的字母（如 x ）表示常数，小写的粗体字母 （如 x ）表示列向量，而大写的粗体字母（如 A ）表示矩阵。类似的我们知道当 x 0 （即 所有的a' x ) ( x ' a ) a； x x
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( Ax ) A； x
(x'Ax) （A 是方形矩阵） (A A')x ； x
2(x' Ax ) （A 是方形矩阵） (A A')。 xx'
练习：假定矩阵 A 和海森矩阵并求极值。 接下来我们关心的是， 如何辨别一个矩阵是正定 （或者负定） 。 一种很简单的情况如下： 定理 1.3：对于任何一个满秩的矩阵 B ，方形矩阵 B' B 是正定的。 练习：证明定理 1.3。
1.2 概率和统计
1.2.1 多元随机变量
多元随机变量，或者说一个随机（列）向量，其实并不复杂，关键在于它的期望以及方 差如何表述。显然随机列向量的期望也是一个列向量：
1 E[ x1 ] E[ x ] 2 μ 2 E [x ] n E[ xn ]
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计量经济学课件
(颜文业)
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第 1 章 预备知识
1.1 线性代数
1.1.1 最优化与矩阵求导
从一个最简单的例子说起。考虑一元函数 f ( x ) x 2 。我们知道在 x 0 的时候，函数 取得它的最小值。此时，一阶导和二阶导条件都满足：
f ' ( x ) f ( x ) / x 2 x 0 ，
2 f (x) x x 21 1 2 f (x) f ( x ) H(x) xx' x2 x1 2 f (x) xk x1
二阶导矩阵也叫做海森矩阵（Hessian Matrix） ，因而用 H(x) 来表述。在我们这个简单的多 元函数的例子里：
1.1.2 实对称矩阵的若干知识
大学的线性代数里面已经详细的介绍了矩阵的秩、迹、行列式1、特征根和特征向量的概 念，以及如下两个适用于方形矩阵简单定理，这里不再赘述： 定理 1.4：
AB A B ，
trace( ABC) trace( BCA) trace(CAB) trace(CBA ) trace( BAC) trace( ACB)
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g1 ( x ) x 1 g ( x) 2 g(x) H(x) x1 x' g k ( x ) x1
或者：
g1 ( x ) x2 g 2 ( x ) x2 g k ( x ) x2
2 f (x) x1x2 2 f (x) x2 x2 2 f (x) xk x2
A 1 / 2 CΛ 1 / 2 C '（中间的矩阵是由特征根的平方根组成的一个对角矩阵） 。实对称矩阵的
平方根也是一个实对称矩阵，同时：
A 1 / 2 A ( A 1 / 2 )' I 。
1.1.3 Matlab 里的矩阵运算
熟悉线性代数的最佳手段就是应用。 而其中涉及到的矩阵计算， 不可避免的需要应用到 计算软件：繁冗的矩阵运算几乎不可能通过手工来完成。Matlab 是一个在各个领域非常流 行的基于矩阵的计算软件。不管在工程或者是经济金融，都有人在成功的运用 Matlab 来解 决问题。在我们这个课程里，SAS 是主要的应用软件，但是在这里，我们将通过应用 Matlab 来做一些矩阵运算（甚至计量分析）并且熟悉线性代数相关知识。 在 Matlab 里面，大写的字母和小写的字母是不同符号。通行的做法是，用小写的字母 表示一个常数函数，而用大写的字母表示矩阵或者向量。 矩阵的赋值有两种方法，一种是通过手动输入矩阵中每个元素的数值: >> A=[1 2;3 4]
g1 ( x ) xk g 2 ( x ) xk g k ( x ) xk
2 f (x) x1xk 2 f (x) x2 xk 2 f (x) xk xk
x1 1 2 ，自变量为 x ，写出函数 f (x) x ' Ax 的梯度向量 3 4 x2
除此之外，我们很难找到一个一般性的准则来快捷的辨认一个普通方形矩阵是否正定 （或者负定） 。如果这个方形矩阵也是对称的，那么问题要简单的很多。接下去的小节我们 探讨对称矩阵的一些有意义的规律。幸运的是，计量经济学中用得到的矩阵知识，大部分是 关于对称矩阵的，而且这些知识比较直观、易懂。
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注意到这个命令包含了以下几个要素： “>>”是 Matlab 的命令提示符；建议按照约定俗成用 大写字母代表矩阵函数；用等号赋值；用方括号表示矩阵；行与行之间用分号隔开，列与列 之间用空格隔开；回车键代表一个命令的结束。这个时候，Matlab 会保存这次赋值直至下 一次赋值。并且，Matlab 会给出赋值结果： A= 1 2 3 4 同时注意到一些特殊矩阵的赋值如下：n 阶单位矩阵的赋值是“A=eye(n)”；0 矩阵的赋值为 “A=zeros(m,n)” ；1 矩阵的赋值为“A=ones(m,n)” 。 另外一种赋值方式是读取数据。在这里我们主要介绍如何把一个 Excel 文件里的数据赋 值给一个函数。Matlab 用“xlsread”这个命令来实现 EXCEL 文件数据的读入。在 Matlab 命令提示符下键入“ help xlsread” 并且回车， Matlab 就会给出详细的解释。顺带提一下， “xlswrite”可以把一个矩阵数据存成 EXCEL 文件。 当矩阵 A 得到赋值后， “A(m,n)”表示该矩阵第 m 行第 n 列的元素；而“A(i:j,k:l)”则 是指该矩阵的一个子阵， 它包括了矩阵 A 对应的从第 i 行到第 j 行、 第 k 列到第 l 列的元素。 当然两个矩阵也可以拼成一个新的较大的矩阵： “A=[B C]”表示把矩阵 B 和 C 在横的方向 拼起称为一个较大的矩阵 A，而“A=[B;C]”则表示把矩阵 B 和 C 在竖的方向拼起称为一个 较大的矩阵 A。 至于矩阵运算， 记住以下最常用的即可： “log(A)” 表示对每个元素取自然对数； “2*A” 是矩阵 A 中每个元素乘 2； “A/2”是矩阵 A 中每个元素除以 2； “A+B”是同样型号的两个 矩阵对应元素的相加； “A-B”是同样型号的两个矩阵对应元素的差; “A.*B”是同样型号 的两个矩阵对应元素的积（点乘） ； “A./B”是同样型号的两个矩阵对应元素的商（点除）; “A*B”是一个 m*n 矩阵和一个 n*k 矩阵的内积； “A’”是一个矩阵的转置； “A^-1”是一 个矩阵的逆矩阵； “det(A)”计算矩阵 A 的行列式； “trace(A)”计算矩阵 A 的迹；而“[V D]=eig(A)”则计算矩阵 A 的特征向量矩阵和相应的特征根（对角矩阵） ，如果 A 是一个实 对称矩阵，那么应该有 A=V*D*V’。