2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科A卷)

2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A 卷）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.若复数i
i z -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -1
2.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A ( )
A ．)3,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,1(-
D ．)1,3(-
3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．5
26 D ．19- 4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(
πf 的值为( ) A ．26- B ．23- C ．2
2- D ．1- 5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )
A ．8
1 B ．1 C ．
2 D ．4 6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
甲 乙 9 8 2 6 8 9
2 1
0 3 1 1 ①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线192
2
=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数
8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )
A ．4229
B ．107
C ．24
17 D ．10273 9.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)4
1(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>
10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )
A ．4
B ．316
C ．3
20 D ．12 11.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )
A ．)1,0(
B ．),1(+∞
C ．]2,1(
D ．)0,1(-
12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A ．415
B ．51
C ．562
D ．4
1 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.6)41(x
x -的展开式中常数项为 . 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=1
0),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则
CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为
2
1，则m 的值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，
30=∠BAD ， 45=∠BAC ，
将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；
（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.
19.（本小题满分12分） 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图： （Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.
21. （本小题满分12分）
已知b x ax e x f x +--=2)(2
（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.
（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；
（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b .
①
②
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.
（Ⅰ）证明：CD AE //；
（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|1|||)(-+=x x x f .
（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.
2016届高三数学一模理科答案
一．选择题：
A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCB
B 11-12 BA
B 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB
二．填空题：
13.. 516- 14. 13
- 15. 6 16.
32 三、解答题：
17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002
a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分
解得112
a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分
所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分
（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，
所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①
35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分 ①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯
352121
22(222)(21)23
n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 121
628(14)(63)29
n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 21
10(65)29
n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，
在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又2C D '=
∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分
又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD
C O '∴⊥平面AB
D ，…………………4分
又C O '⊂平面ABC '
∴平面C AB '⊥平面DAB
…………5分
（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则31(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2
A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(
,1)2AC BC C D '''∴==-=-…………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即1100
n AC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，
1111103102
y z x y z +=⎧+-=，令11z =，则11y =-，13x = 1(3,1,1)n ∴=-…………8分
设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即2200
n BC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，
2222203102
y z x y z -+=⎧+-=，令21z =，则21y =，23x =， 23(n ∴=………………10分 1233(1)1111053cos ,1731111533
n n ⨯
+-⨯+⨯∴===++⋅++⋅， 二面角A C D B '--的余弦值为35105-
.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，
∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，
∴]5,4[∈x …………………2分
随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分
()4
21645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
，625216)53()52()2(3134===C X P 625
216)53()52()0(2224===C X P ；
-4 -2 0 2 4 …………………10分
…………………12分
20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2
p x =-， ()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=
||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2
p p =---------------------2分 抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分
（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+
联立24y kx t y x
=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =
代入222120x x t t
-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122
y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =
≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1
t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分
当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .
综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分
思路2：直线AF 的斜率为22(1)1
AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111
BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分
当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分
21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2x
g x e a '=-
因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =
所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分
则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a e a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >
当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增
当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减
所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分
（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立
令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x
g x e a '=-
因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，
又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；
所以02min 000()()20x
f x f x e ax x b ==--+>恒成立.........(1) 且00220x
e ax --=...........(2) 由（1）（2）,0
00
02
0000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00
202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2
x x
m x e x x =-+∈ 1()02
x n x xe '=>， 所以021)0()(>=
>n x n ，所以()m x 单调递增，
1)1()0()(0-=-=>e m x m ，
22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分
所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分
法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分 现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可
令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x
g x e a '=-
因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，
又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =
则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；
所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1)
且00220x e ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22
x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00
202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2
x x
p x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02
x q x xe '=-<， 所以02
1)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分
所以=0b 是符合条件的. -------------12分 选做题：
22.解：（I ）连接AB,
P 、B 、F 、A 四点共圆，
PAB PFB ∴∠=∠． ．
．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分
//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分
（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，
由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，
四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，
∴OP 是该外接圆的直径. ．
．．．．．．．．．．．．7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分
222725213OP PA OA ∴=+=+=. ∴四边形PBFA 13. ．
．．．．．．．．．．．10分 23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分
2C 的直角坐标方程为3x =；
．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A, PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),
设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩
为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，
可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分
代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=
， 可知/1||||||cos AQ t θ
==．．．．．．．．．．．．8分 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ
=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为2.．．．．．．．．．．．．10分
24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩
，
所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分
所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，
02m ∴≤≤，
所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分
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- 11 - （II ）法一：综合法
1ab ≤，当且仅当a b =时取等号，①．
．．．．．．．．．．．7分 又2
a b ab +≤ 2
ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，21≤+∴
b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,
所以要证2a b ab +≥，只需证222
()4a b a b +≥，
即证222224a b ab a b ++≥，
22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，
．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，
即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，
因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，
所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。