电磁场期中考试试卷答案2005-4-20

V
由 Φ 0 满足方程和边界条件，可知
∫
又 即有 即 即 即
V
| ∇Φ 0 | dV = 0
2
| ∇Φ 0 | 2 ≥ 0 | ∇Φ 0 | 2 = 0 ∇Φ 0 = 0 Φ 0 = 常数
Φ 1 = Φ 2 + 常数
又将上式代入边界 S 1 ，且在边界 S 1 上， Φ 0 满足边界条件 Φ 0 ( r ) |s1 = 0 即
in • (ε 0 E1 − ε 0 E2 ) = η
物理意义：
若在边界上有面电荷分布，则在越过边界时，电通矢量在边界法线方向上的分量要改变，改变的值 等于面电荷密度。
磁场法向边界条件：
in • ( µ0 H1 − µ 0 H 2 ) = 0
物理意义：在越过边界时，磁通矢量在边界法线方向上的分量不改变。
2、写出微分形式麦克斯韦方程组及边界条件，并解释微分形式麦克斯韦方程 组及边界条件的物理意义。 微分形式麦克斯韦方程组：
r r ∂µ 0 H ∇× E = − ∂t
法拉第电磁感应定律
物理意义：时变的磁场是电场的涡旋源，可以在空间产生非保守（或涡旋）的电场
r r r ∂ε 0 E ∇× H = J + ∂t
in × ( E1 − E 2 ) = 0
物理意义：
当越过边界时，电场强度在边界的切向方向上的分量是不改变的。
磁场强度切向边界条件：
in × ( H1 − H 2 ) = K
物理意义：
边界上存在面电流时，边界两边磁场强度在边界切线方向的分量是不相等的，它们差值的模等于面 电流密度的模。
电场法向边界条件：
Φ 1 − Φ 2 = 常数 = 0 Φ1 = Φ 2
即在该区域内
在该区域中， Φ 有唯一确定的解。
5、对下图中三个带电系统，判断可以使用静电场标量电位拉普拉斯分离变量 法求解的区域，写出判断依据，边界条件，并选取最简的试探解。
修改为：
（1） 在求解区域（ 0 < x < a,0 < y < b,−∞ < z < ∞ ）内，没有电荷分布。因此，在这个区域内，可 以使用静电场标量电位拉普拉斯分离变量法求解 边界条件：
φ1 (r ), φ 2 (r ), φ 3 (r ) 都满足拉普拉斯方程
（1） （2） （3）
rs = a, φ1 (r ) = φ 2 (r ) = 常数 rs = b, φ 2 (r ) = φ 3 (r ) = 常数 rs → ∞, φ 3 (r ) → 0
rs → 0, φ1 (r ) → p 4πε 0 rs
边界上 Φ 满足如下边界条件，
⎧ Φ | s1 = Φ s (r ) ⎪ ⎨ ∂Φ | = f (r ) s2 ⎪ ⎩ ∂n
该区域边界 S 由 S1 + S 2 组成，则在该区域中， Φ 有唯一确定的解。
证明：
设在区域 V 内， Φ 存在两个不唯一的电位解 Φ 1 ( r ) 和 Φ 2 ( r ) ，它们满足方程
(0 < rs < a ) (a < rs < b) (b < rs )
rs p 1 ⎧ q a−b 1 ⎪ 4πε ( ab + r ) + 4πε ( − a 3 + 2 ) cos θ rs s 0 0 ⎪ q ⎪ φ (r ) = ⎨ 4πε 0 b ⎪ q ⎪ ⎪ 4πε 0 rs ⎩
⎧ x = 0,0 ≤ y ≤ b, Φ (r ) = 0 ⎪ x = a ,0 ≤ y ≤ b , Φ ( r ) = 0 ⎪ ⎨ ⎪ y = 0,0 ≤ x ≤ a, Φ (r ) = 0 ⎪ ⎩ y = b,0 < x ≤ a, Φ (r ) = Vs ( x)
选取的最简试探解：
Φ n (r ) = An sin K x xshK y y = An sin
因为静电场是保守场，因此可以用一个标量场梯度来表示一个静电场。即令： E ( r ) = −∇Φ ( r ) 将标量位 Φ ( r ) 称为静电场 E(r)的标量位。
意义：使用标量位可以使对静电场的讨论变得较为容易和方便。 物理意义：在数值上，空间一点的电位值就等于将一个单位点电荷由电位参考点移至该点时，
（1） （2） （3）
rs = a, φ1 (r ) = φ 2 (r ) = 常数 rs = b, φ 2 (r ) = φ 3 (r ) = 常数 rs → ∞, φ 3 (r ) → 0 rs → 0, φ1 (r ) → q 4πε 0 rs
B3 q q B3 = φ 3 (r ) = rs ， 4πε 0 ，则 4πε 0 rs
A1 =
可以得到
−p 4πε 0 a 3
因此由偶极子产生的电位分布为
rs 1 ⎧ p ⎪ 4πε (− a 3 + r 2 ) cosθ 0 s ⎪ φ (r ) = ⎨ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎩
1） ：考虑点电荷产生的场 将空间分为 3 个区，区域 1 的电位分别为
(0 < rs < a) (a < rs < b) (b < rs )
选取的最简试探解：
Φ 2 (r ) = ( Arc +
B ) sin ϕ rc
（3） 在区域 y > 0,0 < x < a 内，没有电荷分布，因此在此区域电位满足拉普拉斯方程，可用分离变 量法求解。 边界条件：
⎧ x = 0,0 ≤ y < ∞, Φ (r ) = 0 ⎪ x = a,0 ≤ y < ∞, Φ (r ) = 0 ⎪ πx ⎨ ⎪ y = 0,0 ≤ x ≤ a, Φ (r ) = V0 sin a ⎪ y → ∞,0 ≤ x ≤ a, Φ (r ) → 0 ⎩
（4）
φ 2 (r ) = C , φ 3 (r ) =
不难发现 代入边界条件（2）
C=
q 4πε 0 b ，则
φ 3 (r ) =
q 4πε 0 b
由边界条件（4）可以得到
φ1 (r ) = A1 +
B1 rs 为试探解 B1 q B1 = rs ，则 4πε 0
rs → 0, φ1 (r ) →
与交链的电通量增加率之和。
∫ ε 0 E ⋅ da = ∫ ρdv = Qnet
s v
r
r
电场高斯定律
物理意义：在自由空间中，由一个闭合曲面内穿出的电通量（电通密度通量）等于曲面所包围
的全部体积内的净电荷量。
∫ µ0 H ⋅ da = 0
s
r
r
磁场高斯定律
物理意义：在自由空间中，由任何一个闭合曲面内传出的净磁通量都为零。
电磁场期中考试试卷
姓名
班级
学号
题号 1 2 3 4 5 6 7 10 15 10 15 20=7+6+7 20 10 100
成绩
1、写出积分形式麦克斯韦方程组及其物理意义。 积分形式麦克斯韦方程组：
r r r r d ⋅ = − µ H ⋅ da E d s 0 ∫ dt ∫ c s
法拉第电磁感应定律
选取的最简试探解：
Φ (r ) = A sin K x xe
−K y y
= A sin
πx
a
e
−
πy
a
6、一个外半径为 a、 内半径为 b 的金属球壳， 球心处放置了一个偶极矩为 p 的 电偶极子和一个电荷量为 q 的点电荷 （如右图所示） 。 请使用静电场分离变量 法求解三个区域中的电位和电场，并求 解空间电荷分布。
令
Φ 0 = Φ1 − Φ 2
∇ 2 Φ 0 (r ) = 0
设在区域 V 内， Φ 满足如下方程：
边界条件：
⎧ Φ 0 (r ) | s1 = 0 ⎪ ⎨ ∂Φ 0 (r ) | = 0 s2 ⎪ ⎩ ∂n
在边界 S 2 上，由格林第一定理：取 φ = f = Φ 0 则
∫Φ
s
0
∇Φ 0 • da = ∫ Φ 0 ∇ 2 Φ 0 +∇Φ 0 • ∇Φ 0 dV
根据场的叠加性原理， 空间的的场可以分解成偶极子 产生的场以及点电荷产生的场。 1） ：考虑偶极子产生的场 将空间分为 3 个区，区域 1 的电位分别为
r
（0 < rs < a) ，区域 2 （a < rs < b) ，区域 3 （b < rs ) ，着三个区域内
φ1 (r ), φ 2 (r ), φ 3 (r ) ， 由 于 三 个 区 域 内 均 不 包 含 电 荷 分 布 的 部 分 ， 因 此
ρ (r ) ⎧ 2 ∇ Φ 1 (r ) = − ⎪ ε0 ⎪ ⎨ ρ (r ) ⎪∇ 2 Φ 2 (r ) = − ⎪ ε0 ⎩
在 V 的边界 S1+S2 上，满足如下边界条件：
⎧ Φ 1 (r ) | s1 = Φ 2 (r ) | s1 = Φ s (r ) ⎪ ⎨ ∂Φ 1 (r ) | = ∂Φ 2 (r ) | = f (r ) s2 s2 ⎪ ∂n ⎩ ∂n
rs → 0, φ1 (r ) →
再由
q 4πε 0 ，得到
A1 =
q 4πε 0
(
a−b ) ab
因此由点电荷产生的电位分布为
⎧ q a−b 1 + ) ( ⎪ πε 4 ab rs 0 ⎪ q ⎪ φ (r ) = ⎨ 4πε 0 b ⎪ q ⎪ ⎪ 4πε 0 rs ⎩
所以空间总的电位分布为：
B3 = 0
由（2） ， （3）由 φ 2 ( r ) = 0 由（4）可以设定 φ1 ( r ) 的试探解为
φ1 ( r ) = （A1 rs +
B1 rs
2
) cos θ B1 rs
2
rs → 0, φ1 (r ) →