2020朝阳区高三一模有答案(数学理)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷（理工类） 2020.3 （考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）

注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，选出符合题目要求的一项.

1. 复数10i

12i

=-

A. 42i -+

B. 42i -

C. 24i -

D. 24i + 2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为

A.

6π B. 3π C. 32π D.

65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =

A. 16-

B. 16

C. 31

D. 32

4. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一

一测试，

直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是

（ ）

A. 16

B. 24

C. 32

D. 48 6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.

当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是

A.0

B. 0或12-

C. 14-或12-

D. 0或1

4

-

7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一

年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种

产品

征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年

增加了70%

1%

x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收

取的

管理费不少于14万元，则x 的取值范围是

A. 2

B. 6.5

C. 8.8

D. 10 8.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}

(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是

A. 1

B. 2

C.

D. 4 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.

9. 已知双曲线的方程为2

213

x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点

到渐近线的距离为 . 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

（第10题图） （第11题图）

正视图 侧视图

11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 . 12.在极坐标系中，

曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点

E

到极点的距离是 .

13.已知函数213

(),

2,()24

log ,0 2.

x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .

14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为

1

4

的圆在△ABC

内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分）

已知函数π

()cos()4f x x =-.

（Ⅰ）若()10

f α=

，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值.

16. （本小题满分13分）

某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规

定85分及其以上为优秀.

a, b

40绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的 分布列与数学期望.

17. （本小题满分14分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB

，==1EB EF

，=BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；

（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P

， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.

18. （本小题满分13分）

设函数2e (),1

ax

f x a x R =∈+.

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点

(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆

C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若

1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.

20．（本小题满分13分）

已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a L ()n *∈N ，满足00a =，

1n a a n ++=L ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换

C

A F

E

B

M

D