数学建模_湖水污染问题(1)
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湖水污染问题
一.问题提出
下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图,通过小河A水以 /s的速度流入,以相同的流量湖水通过B流出。在上午8:00,因交通事故,一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻,在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后,于上午9:00事故得到控制,但数量不详的化学物质Z已泻入湖中,初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。
(1)请建立一个数学模型,通过它来估计湖水污染程度随时间的变化;
(2)估计湖水何时到达污染高峰;
(3)何时污染程度可降至安全水平(<=%)。
二.模型假设
1、湖水流量为常量,湖水体积为常量;
2、流入流出湖水水污染浓度为常量
三.问题分析
分析:湖水在时间t时污染程度,可用污染度F(t)表示,即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和(1-F)m3的清洁水。用分钟作为时间t 的单位。在0 四.模型的建立 湖水中含污染物的变化率=污染物流入量-污染物排出量 2000*(dF/dt)=Z/ F(0)=0; 2000F’=Z/ 2000F’+=Z/60 F’+2000=Z/120000 所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000; y= [] =[(Z/120000)(2000/)*+C] =Z/432+C* 又因为:F(0)=0 所以:C=-Z/432 所以:y=Z/432[1- ] 求得以特解为: F(t)= Z/432[1- ] 在0 显然是t=60时,污染达到高峰。此时污染浓度为:F(60)=Z/432(1-) = *10-4Z 然后污染物被截断,故方程为: 2000*dF/dt=, F(t)=F(60); 当它达到安全水平时,即F(t)=%,可求出t=D。F(60)=% .=Z (t-60)/2000=lnZ) t=-(2000/lnZ)+60 所以:D=-(2000/lnZ)+60