立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1]

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立体几何之外接球问题含答案

立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ? )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（??）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ? ?)A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（?）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（? ）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（?）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ? )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ?)A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ? )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________． 16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课 1课时总第课时月日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（??? ） A.B.C.D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ? ?）A.B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（?? ） A. B. C.D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( ???) A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（?? ） A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（?? ） A. B.C. D. 10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（?? ）A.B.C.D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（?? ） A.B.C.D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（?? ）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（?）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（?）A.D.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（?）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知?，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为?，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A第9题解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.?第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案第12题解析设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。

多面体的外接球问题(word文档良心出品)

多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．答案 8解析由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=，故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6，则三棱锥ABC S -的体积（）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4π题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=．故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形，设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=．故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。

第5讲竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体的外接球，则球O 的球心O 在多面体的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体，则球O 的球心到多面体各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9，则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习）编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

【知识点分析】：一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

求外接球半径的原理是：在Rt △OAO ’中，OA 2=OO ’2+O ’A 2二、常见平面几何图形的外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长）（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=2c 。

（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

由图可得：22)2()(a r h r +-=（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2sin sin sin a b c R C===A B 。

rrAD=h ，BD=12a B CO2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。

外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。

结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

【相似题练习】2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【知识点分析】：类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即121'AA OO =，从而R 可求.【相似题练习】1．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，且AA 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC 切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形ABC 的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’ ⊥平面ABC ，同时：OP=OA ，故，过O 作OM ⊥PA 于M ，此时M 必为PA 中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以PA AM OO 21'==，在直角三角形OO’A 中有：222'OO r R +=.【相似题练习】2．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，若PA ⊥底面ABC 且PA ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．32πB ．28πC ．24πD ．20π3．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝（）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r ，在直角三角形OO’A 中，222'OO r R +=，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R ，代入222)(R H r R -+=即可求解.【相似题练习】3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 .2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）【知识点分析】：类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’，则PM⊥AB，球心设为O，则OO’ ⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在Rt△OO’C中用勾股定理求解.【讲透例题】1．在四面体A﹣BCD中，AB＝5，BC＝CD＝3，DB＝2，AC＝4，∠ACD＝60°，则该四面体的外接球的表面积为．解析：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD cos60°＝13，在△ABD中，∵AB2＝BD2+AD2，∴∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OD，在△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R＝AB＝，∴S球＝4πR2＝4π（）2＝25π．故答案为：25π．【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π课后作业：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．参考答案与解析12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．1．1．一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（）A．B．C．πD．2π解析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝1．将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体，可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线，∴V外接球＝＝．故选：B．1．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．故选：D．1．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为2，高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：＝，所以球的半径为r＝＝．外接球的表面积为：4πr2＝π故选：D．2．已知在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，若PA⊥底面ABC且PA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．32πB．28πC．24πD．20π【解答】解：由正弦定理可知，正△ABC的外接圆的直径为，∵PA⊥平面ABC，所以，该三棱锥的外接球的直径为，则．因此，该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝20π．故选：D．3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，∠BAC＝，∴由余弦定理可得BC＝，∴△ABC外接圆的半径r＝，设球心到平面ABC的距离为d，则d＝PA＝1．由勾股定理可得R ＝，故选：D ．3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 1 ．【解答】解：过点P 作PH ⊥平面ABC 于H ，则∵AH 是PA 在平面ABC 内的射影 ∴∠PAH 是直线PA 与底面ABC 所成的角，得∠PAH ＝60°， ∴Rt △PAH 中，AH ＝PA cos60°＝，PH ＝PA sin60°＝设三棱锥外接球的球心为O ，∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在平面ABC 内的射影H 是△ABC 的外心由此可得，外接球心O 必定在PH 上，连接OA 、OB 、OC ∵△POA 中，OP ＝OA ， ∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，可得PA ＝OA ＝，∴三棱锥外接球的半径R ＝OA ＝1故答案为：1．2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．16πB ．12πC ．9πD ．8π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O ，外接球的半径为OA ＝r ，则：，解得．故S ＝．故选：C ．4.在三棱锥P-ABC 中，面PAB ⊥面ABC ，三角形ABC 和三角形PAB 均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.由题可得：333,2331'''=====AB r PM M O OO ,所以215'22=+=OO r R2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，；如图，由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，∴DG＝⇒cos∠GDA＝⇒∠GDA＝⇒∠ADC＝；∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，可得OE＝OF＝DG＝．∴DE＝DG﹣GE＝．∴OD＝＝＝．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（）2＝．故选：C．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π．【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cos B＝，⇒sin B＝，由正弦定理得：，解得R＝，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，故答案为：10π．1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD 中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD，又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD＝AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB＝A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD＝＝＝4，设C为BD中点，∴AM＝2，OM＝AP＝1，∴OA＝＝＝3，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是＝36π．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE,所以AB∥平面PDE．因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG．（2）解：连接AD，EM，相交于O′，易得AO′＝，PO′＝．由正四棱锥P﹣AMDE的对称性，得正四棱锥P﹣AMDE得外接球球心在线段PO′上，不妨设为O点．设OA＝OP＝R，则OO′＝﹣R，∵AO2＝AO′2+OO′2，∴R2＝2+（﹣R）2，∴R＝∴S＝4πR2＝，∴正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积为．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．【解答】解：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．（II）过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD＝90°，∴PE＝＝1．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴V棱锥P﹣ABD＝S△ABD•PE＝••2•4•1＝．（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，连接AM，则AM＝＝．∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．∵四棱锥P﹣ABCD内接于球，，∴OA＝＝．∴S⊙O＝4πOA2＝20π．∴E为外心，∴OM＝1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D＝＝，几何体的外接球的半径为：OD＝＝，该四棱锥的外接球的表面积是：4＝π．故选：A．课后作业答案：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π【解答】解：设正三棱柱的外接球的半径为R，则∵俯视图是边长为的正三角形∴底面三角形外接圆的半径为＝1，∵正三棱柱的高为2∴正三棱柱的外接球的半径为＝∴正三棱柱的外接球的表面积等于4π×＝8π故选：C．2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长＝．∴此四面体的外接球的表面积为表面积＝＝3π．故选：B．3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：是四棱锥D1﹣ABCD，是棱长为1的正方体的一部分，外接球奇数正方体的外接球，取得直径是体对角线，r＝，外接球的表面积为：4＝3π．故选：A．4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．【解答】证明：（1）设AD的中点为E，则∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵PA在平面ABCD内的射影为AE，AE⊥CD，∴PA⊥CD，∵PA⊥PD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD∴PA⊥PC；解：（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，PE＝，EF＝1．假设OF＝x，则由OA2＝x2+4＝1+得x＝0，∴球的半径为2，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为＝．。

高考数学专题突破：外接球题型总结

高考数学专题突破：外接球模型模板一：即一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。

二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。

那么问题来了？这个式子怎么来的。

那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。

在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。

2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。

那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。

3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。

它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。

接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。

可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。

立体几何中球与几何体的切接问题

立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28 (三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型2R=③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，． ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则Error!解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)AB C D A 1B 1C 1D 12h 2224h R r ∴=+O 1C 1AA 1B 1O B CRrh2hO 22h 2224h R r ∴=+r h C DB R A O 1O2h r hC D BR A O 1O2h O 2D 2B 2⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)⑦内切球思路：以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC SO －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3V S 表．【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．类型Ⅰ类型Ⅱ类型ⅢABCDO 1O R rm h －m R dd 类型Ⅳ因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为则正四面体为，设球的半径为R ，则，解得，所以则正方体的棱长为，【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，，ABCD 外接球的体积为（）A ．B CD ．则故11A CB D -2436R ππ=3R =16AC =23AB CD ==AC BD ==AD BC ==45π22222220,29,41,a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22a b R +=【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（） A ．B ．C ．D ．【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．111ABC A B C -40π1,120AB AC AA BAC ∠===16+8+8+16+-P ABC 4PA =-P ABC 28πABC PA ⊥ABC ABC PA的中点，的外接圆半径为所以球的半径为所以四面体外接球的表面积为故答案为：．【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取与的外心的球心，由ABC r AN =R OA ==-P ABC 28πABC ABC BC DBC △ABC ⊥BCD D ABC -ABC DBC A BCD -AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-=⎪⎝⎭【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．，显然正四棱锥令，则在中，所以该四棱锥的外接球体积为【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（）A B C．DP ABCD-221133PO PA AO=-=PO AO R==1|33OO=1Rt AO O△22R AOA O==1π6设正四面体的内切球半径为由等体积法可得因此，该正四面体的内切球的体积为【题型训练1-刷真题】一、单选题322144243A BCDB ACE V V --⎛⎫=-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ABCD (21123A BCD V r S -==2．（2022·全国·统考高考真题）已知球上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A ．B ．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点1312，底面所在圆的半径为[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为则，所以，所以正四棱锥的体积2a 2222l a h =+2232(3a =+26h l =2222a l h =-13V Sh =二、填空题【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．【题型训练2-刷模拟】一、单选题）故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱直三棱柱的外接球的体积为（）A ．B ．【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解8π316π34．（2023秋·四川眉山的球面上，则该圆柱的体积为（A ．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为 A ．B ．【答案】B π12π外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案因为由于平面平面故平面，又M 为的外心，⊥22AB BC AC ===ACD ⊥ABC BM ⊥ACD DM ADC △的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径接球，设四面体的外接球的球心为，半径为，，则，的外接球表面积为.AEF A BCD -O R 132AB ==22217R O O r =+=24π28πR =8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥平面，若三棱锥A ．【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心【详解】的中点为，连接，因为，又因为平面平面，平面PAC ⊥ABC 231O 1PO AC ⊥112AO AC ==221(26)PA AO =-=PAC ⊥ABC是边长为 10．（2023春·四川绵阳底面是正方形，（）A ．【答案】CABCD 89π【详解】的边长为，在等边三角形平面，∴平面是等边三角形，则，设四棱锥外接球的半径为，为正方形为四棱锥P －ABCD 外接球球心，则易知ABCD 2x PAB ⊥ABCD PE ⊥PAB 3PE x =()211233633ABCD S PE x x ⋅⋅=⨯⨯=R 1O故选：C12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥平面，则三棱锥A．B．⊂ABC-P ABC π4【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球，.若由，则，即又，故，仅当BCD BD CD ⊥BD =24π9πR =32R =1BD =22BD CD ++4CD AC ⋅≤AC所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，形内角，的外接球的直径，要想体积最设，则，，所以当时，，则有三棱锥所以．故选：A16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为的体积为V 1，它的内切球的体积为V A ． B ．AB x =PA x =6BC x =-PC 2x =min 26PC =3min 4π86π3V R ==2:3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为半径为（）A．C．313+ () 2313-【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥A ． C ．【答案】B所以故其内切圆表面积为故选：B ．19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为(823)π-(863)π-1133P ABCD ABCD V S PH S -=⋅=表面积24π(8r =-将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为故外接球的的表面积为. 故选：D.21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥221232+29π故选：A.22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台则该圆台的体积为（）A ．B ．【答案】B72π3143设上底面半径易知，作，垂足为1O B r =1BC O B r ==AC 2BD O A ⊥故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（26323R +B ACD -因为，所以当平面平面时，平面平面，所以此时四面体的高最大为因为，所以BA BC =BO ⊥BAC ⊥DAC BO ⊂BAC BO B ACD -DA DC =二、填空题故答案为：26．（2023秋·四川眉山，则该三棱柱的外接球的表面积为【答案】又由三棱柱的高为，则球心因此球半径R 满足：所以外接球的表面积故答案为：4π2360π322R r d =+24πS R ==60π【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，目是求球的表面积还是求体积28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABC16【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则由，以为坐标原点，设内切圆半径，易知由等面积可得，解得设四面体外接球球心为所以易知在平面射影为4,3AB BC ==AB ⊥B ,BA BC ABC r 12S lr =PABC O 'ABC31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）底面，，若【答案】32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为段，的中点，连接ABCD AC BD O = 163π-AB BC DE【答案】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积【详解】由题意可知两两垂直，且 33．（2023秋·河南周口这个圆台的体积为【答案】【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可6π,,OD OE OF ,,OD OE OF OD =1423π故答案为： 34．（2023·全国·高三专题练习）【答案】【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可设该内切球的球心为所以，由已知得所以，在中，142π38πO OE OF OB ===2,BD DF ==AOF AO【答案】【分析】根据题意利用余弦定理求得方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则，解得又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，23π222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩a b c ⎧⎪⎨⎪⎩A BCD -'因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面最大即可，而且；，当时，取得最大值因为，，所以由余弦定理知所以，易得. =ABC -ADC ABC DCB DAB S S = sin DCB DC BC ∠⋅⋅π2DCB ∠=DBC S △2DB =32EB ED ==22sin 3DED '∠=63DD '=设，高，则,在Rt 中，所以正四棱锥的体积，故当调递减，2AB a =PO h =2OD a =MOD 13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--。

立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1]

⽴体⼏何多⾯体与外接球问题专项归纳--[1]⽴体⼏何多⾯体与外接球问题专项归纳1、⼀个四棱柱的底⾯是正⽅形,侧棱与底⾯垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在⼀个球⾯上,则这个球的表⾯积是()ππππ2、⼀个正四⾯体的所有棱长都为2,四个顶点在同⼀个球⾯上,则此球的表⾯积为()ππ3ππ;3.在半球内有⼀个内接正⽅体,试求这个半球的体积与正⽅体的体积之⽐.4.⼀个正四⾯体的所有棱长都为2,四个顶点在同⼀个球⾯上,则此球的表⾯积为( ) ππ3ππ~历届⾼考外接球内切球问题1. （陕西理?6）⼀个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球⾯上，其中底⾯的三个顶点在该球的⼀个⼤圆上，则该正三棱锥的体积是（）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同⼀球⾯上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表⾯积等于。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得3BC =由正弦定理,可得ABC ?/外接圆半径r=2,设此圆圆⼼为O '，球⼼为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =故此球的表⾯积为2420R ππ=.3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球⾯距离为π，则正三棱柱的体积为．答案 84.表⾯积为的正⼋⾯体的各个顶点都在同⼀个球⾯上，则此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 答案 A^【解析】此正⼋⾯体是每个⾯的边长均为a 的正三⾓形，所以由8=1a =，故选A 。

5.已知正⽅体外接球的体积是π332，那么正⽅体的棱长等于（）2 B.332 C.324 D.334答案 D6.（2006⼭东卷）正⽅体的内切球与其外接球的体积之⽐为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶9、答案 C7.（2008海南、宁夏理科）⼀个六棱柱的底⾯是正六边形，其侧棱垂直底⾯．已知该六棱柱的顶点都在同⼀个球⾯上，且该六棱柱的体积为98，底⾯周长为3，则这个球的体积为．答案34π8. （2007天津理?12）⼀个长⽅体的各顶点均在同⼀球的球⾯上，且⼀个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表⾯积为．答案 14π —9.（2007全国Ⅱ理?15）⼀个正四棱柱的各个顶点在⼀个直径为2 cm 的球⾯上。

专题--多面体的外接球问题

一. 多面体外接球的相关定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：如果空间中一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体外接
球的球心。公式3：球体的体积与表面积
4 V球 R 3 3
A 1B 1C 1, ∠B AC ＝∠A 1B 1C 1 ＝ 90° , A C ＝ A B ＝A 1A ＝ B 1C 1 ＝ 2,则多面体 A B C － A 1B 1C 1 的外接球的表面积为
(
C
) A. 2π B. 4π C. 6π
D. 8π
4. （2018 ?南岗区三模）三棱锥P - ABC中，底面 ABC满足BA BC，ABC
5.侧棱长都相等的棱锥
题型：侧棱长都相等的棱锥的外接球问题. P
l
A
方法一：利用定义找球心，其外接球的球心在它的高所在直线上
h
O
l C 方法二：
D
B
2
h 2R
M
6.折叠模型
题型: 1.两个全等三角形或等腰三角形拼在一起的三棱锥外接球； 2.一个直角三角形与一个等边三角形或等腰三角形拼在一起的三棱锥外接球等； 3.菱形沿着对角线折叠形式的三棱锥外接球
方法：如图，分别过多边形外心做平面垂线，垂线交点即为外接球球心.
三. 例题分析
1. (2018 江西宜春模拟 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( B ) A ．36π 9 C. π 2 B ．8π 27 D. π 8
2.(2017年江西五校调研)如图（1），五边形 PABC D 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中

数学-一个公式搞定外接球问题10种题型(解析版)

外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。

可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。

针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一．正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。

则高SE=32a,斜高SD=43a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE,则在 r=a 126。

R=SO=OB=a 46 特征分析：1．由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。

2． R=3r. r=a 126 R=a 46。

此结论可以记忆。

例题一。

1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）分析：借助结论，R=a 46=462=23,所以S=42R π=3π。

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（）C分析：借助R=3r ，答案为9：1。

二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。

SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。

所以R=2SC 。

三．正方体与球。

1．正方体的外接球即正方体的8个定点都在球面上。

关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。

设正方体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ，AD=a ， R=23a 。

C2．正方体的内切球。

（1）与正方体的各面相切。

如图：ABCD 为正方体的平行侧面的正方形。

R=2a（2）与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形ABCD的外接圆。

CBDBAAB=CD=a ， R=22a 。

3．在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。

例题：1。

多面体的外接球问题

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A
D1 A1
C
B O
中截面
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
D A
D1 A1
小结2
求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）（2）勾股定理法（通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。
D
O
A
E
C
B
A C
B
D
谢谢
谢谢观赏！
2020/11/5
30
A
O C
P
B
变题：
2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC ，且 PA=2，则此三棱锥外接球的表面积为___________
3.正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径法1.勾股定理法P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
变式
1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．

外接球问题方法总结

外接球问题方法总结外接球问题方法总结外接球问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点，当然这热点不是“重点”，接下来小编搜集了外接球问题方法总结，欢迎查看。

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键。

（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的'中点处。

以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。

（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。

数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结

1 多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点考查的一个热点..研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用法在解题中往往会起到至关重要的作用. .公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =ìì=ïï\íí=´ïï=îî．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V p\=球.小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式..多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为1616，则这个球的表面，则这个球的表面积是A.16pB.20pC.24pD.32p解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴222222426,6R R =++=\=.∴这个球的表面积是2424R p p =.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的这一性质来求解的..补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是则其外接球的表面积是 . . 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. . 设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R=++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R p p ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为同一球面上，则此球的体积为 . .解设正四棱锥的底面中心为设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示所示..∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ^平面.又1SO ABCD ^平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上所在的直线上. . ∴ASC D 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径是外接球的半径. .在ASC D 中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC D D 是以为斜边的为斜边的Rt Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径是外接圆的半径，也是外接球的半径..故43V p=球.小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径..本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究转化为平面几何问题来研究..这种等价转化的数学思想方法值得我们学习这种等价转化的数学思想方法值得我们学习..确定球心位置法例5 在矩形在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为的外接球的体积为 A.12512p B.1259p C.1256p D.1253p 解设矩形对角线的交点为设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示所示..∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R p p ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面^，°=Ð120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。

多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。

解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。

多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。

一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。

解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。

由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。

故表面积为27π。

例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。

由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。

2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。

例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。

3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。

由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。

高中数学立体几何外接球问题

【例 7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）
A． 12
B．16
C． 20
D． 24
【解析】法一：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，
底面两直角边长分别为 2， 2 2 ，故斜边长为 2 3 ，过斜边的侧面与底面垂直，
且高为 3 的等腰三角形，设其外接球的半径为 R，则 R2 3 R2
中，
DAB
60
，
AB
3
，三角形
ABD
的外接圆的半径为
r
3 2sin 60
3，
高 h 3 3 ，对角线 AC 与 BD 的交点为 O ，使得 AOC 90 ，则折得的几何体的外接球的半径为： 2
R
3
2
33 2
3
2
tan 2
45
15 2
，外接球的表面积为
S
4
15 2
2
15
，故选
A．
法二：直二面角符合双半径单交线模型，R1
R
R2
或
R
R1 ．
此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！
双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为 R1 和 R2 ，两半平面交线长度
为 l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二
面角不是 90 时，此公式将不再适用．
3 、 6 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为（） 22
A． 6
B． 2 6
C． 3 6
D． 4 6
【解析】因为
ab
2S1 , bc

简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.2．构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.3.由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心）内切球半径为：r =外接球半径为：a R 46=三：常见题型1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法图1图2图 32.，则其外接球的表面积是 . 解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =3.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解析：寻求轴截面圆半径法4. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A O DB图4CDABSO 1图3解析：确定球心位置法四：练习1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为.若PA =，则OAB ∆的面积为多少？2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？3、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？4、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为多少？5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为.6、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -，求此正四棱锥外接球的体积.8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .9、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，则球O 的体积等于 .Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

专题多面体的外接球问题

专题多面体的外接球问题一、考点分析：有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。

二、教学目标1、了解多面体与其外接球的关系2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。

三、教学重点、难点不同类型的多面体与其外接球半径的求法四、教学过程（一）球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -=（二）球体的体积与表面积：3413球、V R π=224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切1.外接球球心到各顶点的距离相等(R )2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型：(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（）(二)对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱；AA1C 1B BC1A()222222222222222a b x x y z b c y R a b c R a c z ⎧+=⎪+++=⇒=++==⎨⎪+=⎩222第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程，例3：三棱锥A-BCD 中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（）（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：()2222R a b c R =++⇒=2例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，其外接球的表面积是（）（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积 .(四) 垂面模型PA ABC ⊥题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（平面）步骤：ABC ∆将画在小圆面上，以A 为小第一步：圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心OCBDA1111O ABC OO ABC O O D r∆⊥=为的外心，所以平面，计算出小圆的半径第二步：()r 利用正弦定理计算可得利用勾股定第三步：理即可：2221R r OO =+,S ABC SA ABC ABC SA -⊥例5：三棱锥中，侧棱平面底面则该三棱锥的外接球体积等于（）P ABC -题型二：三棱锥的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上 ∆11确定球心O 的位置，取ABC 的外心O ，则P,第一O,O 三步：点共线； 11,;AO r PO =1第二步：先计算出小圆O 的半径，再算出棱锥的高()22222211,OA O A O O R h R r R =+⇒=-+勾股定理第三步：：解出 ()2sin aR a θθ=为棱长，为侧棱与底方法二：面所成角2S ABC ABC -例6：正三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球体积等于（）(五)折叠模型题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠BCD ∆先画出如图所示的图形，将画在第一步：小圆上， 12'BCD A BD H H ∆∆找出和的外心和12过H 和H 分别作平面BCD 和平面A'BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OE 第二步：,OC;1OCH R ∆∆1122211解OEH ，算出OH ，在RT 中，勾股第三步：OH +即CH 定理=可：60,BAD BCD ∠=⊥例7：棱形ABCD 的边长为2，且,将棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面A'BD 平面则三棱锥A'-BCD 的外接球的半径为（）120BCD BCD ⊥“平面A'BD 平面”改为“平面A'BD 与平面所成角为”则三棱锥 A'-BCD 的外接球的半径为（变式：）ASCBASCBCDBA六、课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？111();O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径利用正弦定理第：计算可得一步1111=()2O OO O O O h h ⊥第二步：过作底面，为球心且为椎体的高利用勾股定第三步：理即可：5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？111();O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心（顶点在底面的投影），计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O （2）在高线上取一点作为球心；利用勾股定理求出（3）半径即可6、折叠问题（对称性）12();O O r r 找两底面多边形外接圆的圆心、，计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O 12在过小圆圆心O ,O 作两面的垂线，两高线交点为（）球心2；利用勾股定理求出（3）半径即可七、课后作业,,,,S ABCD S A B C D -1、正四棱锥都在同一个球面上，则该球的体积是（）2、在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC= ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为( )八、教学反思ABCDP。

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