高一上学期期末考试数学试卷

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山东省济南市高一上学期期末数学试题(解析版)

高一年级数学期末考试一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知，，则集合（） {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣A B = A. B.C.D.()2,2-[)1,2-[]1,0-()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为，， {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣所以. []1,0A B =- 故选：C .2. 命题“”的否定为（） 20,10x x x ∃>++>A. B. 20,10x x x ∀>++≤20,10x x x ∀≤++≤C. D.20,10x x x ∃>++≤20,10x x x ∃≤++≤【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【详解】由于特称命题的否定为全称命题，故命题“”的否定为“” 20,10x x x ∃>++>20, 10x x x ∀>++≤故选：A ．3. 已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）α34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos αA.B. C.D. 3535-4543-【答案】B 【解析】【分析】由余弦函数的定义计算．【详解】由已知，所以． 1r OP ==cos 53x r α==-故选：B ．4. 设，则“”是“”的（） x ∈R ||1x >01xx >-A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的概念分析题中命题进而判断出结果.【详解】时，或；时，或 1x >1x >1x <-01xx >-1x >0x <成立时，也成立，但成立时，不一定成立1x ∴>01x x >-01xx >-1x >是的充分不必要条件，选项A 正确 “1”x ∴>“0”1xx >-故选：A.5. 若，则下列正确的是（） 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B.C.D.33a b <ac bc >11a b<b c a c -<-【答案】D 【解析】【分析】先根据题干条件和函数的单调性得到，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b >BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断.【详解】因为在R 上单调递减，若，则，13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b >对于选项A ：若，因为单调递增，所以，故A 错误；a b >()3f x x =33a b >对于选项B ：当时，若，则，故B 错误； a b >0c =ac bc =对于选项C ：由，不妨令，，则此时，故C 错误； a b >1a =2b =-11a b>对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.6. 下列区间包含函数零点的为（）()2log 5=+-f x x xA. B.C.D.()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.【详解】，，()211log 1540f =+-=-<()222log 2520f =+-=-<，， ()22333log 35log 04f =+-=<()244log 4510f =+-=>，又为上单调递增连续函数()2255log 55log 50f =+-=>()f x (0,)+∞故选：C .7. 将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来()πsin(2)3f x x =-π3的，那么所得图像的函数表达式为( ) 12A. B. C. D. sin y x =πsin(43y x =+2sin(4)π3y x =+πsin()3y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数图像的变换即可得到结果. 【详解】将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的的解析式为 ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π3；sin[2()]sin(2)333y x x πππ=+-=+再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，所得图像对应的解析式为12．sin[2(2)]sin(4)3ππ3y x x =+=+故选:B ．8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：()f x (,0)(0,)-∞+∞ 1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，且，则不等式的解集为（）()()2211210x f x x f x x x ->-(2)4f =8()0f x x->A. B. (2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C.D.(,4)(0,4)-∞-⋃(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单()()2211210x f x x f x x x ->-()y xf x =(0,)+∞调性即可求出的解集. 8()0f x x->【详解】解：对任意的，都有，1212,(0,),x x x x ∈+∞≠()()2211210x f x x f x x x ->-在上是增函数，()y xf x ∴=(0,)+∞令，()()F x xf x =则，()()()()F x xf x xf x F x -=--==为偶函数，()F x ∴在上是减函数，()F x ∴(,0)-∞且，(2)2(2)8F f ==， 8()8()(2)()0xf x F x F f x x x x--∴-==>当时，，0x >()(2)0F x F ->即，解得：， 2x >2x >当时，， 0x <()(2)0F x F -<即，解得：， 2x <20x -<<综上所述：的解集为：. 8()0f x x->(2,0)(2,)-+∞ 故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多项选择题（每小题5分，部分选对2分，有错误选项0分，共20分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数的定义域为 y =()1,1-B. 函数在其定义域上是单调递增函数 tan y x =C. 函数的值域是2xy -=()0,∞+D. 函数的图像过定点 ()()log 120,1a y x a a =-+>≠()2,2【答案】CD 【解析】【分析】选项A 根据函数有意义求出定义域即可，选项B 正切函数的定义域与单调递增的关系，选项C 根据函数单调性求值域即可，D 将代入即可验证. 2x =【详解】函数， y =210x -≥解得，故定义域为，故A 错误，11x -≤≤[]1,1-因为函数为周期函数，在内单调递增，tan y x =()πππ,πZ 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭但是在定义域内不是单调递增的函数，故B 错误，因为函数在上的值域为，故C 正确， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭R ()0,∞+当时，， 2x =()()log 12log 2122a a y x =-+=-+=所以函数过定点，故D 选项正确， ()2,2故选：CD.10. 以下结论正确的是（）A. 若，，，则的最小值为1；B. 若且，则； 0x >0y >4x y xy +=x y +,R x y ∈0xy >2y xx y+≥C. 函数的最大值为0.D. 的最小值是2；12(0)y x x x=++<y =【答案】ABC 【解析】【分析】根据均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐个验证选项是否正确.【详解】对于A ，由，由均值不等式可得（当且仅当0,0,4x y x y xy >>+=242x y x y xy ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭时，等号成立），解得，所以的最小值为1，故A 正确； 12x y ==1x y +≥x y +对于B ，由知，根据均值不等式可得，（当且仅当0xy >0,0y x x y >>2y x x y +≥=0x y =≠时，等号成立），故B 正确；对于C ，由，有，由均值不等式可得，（当且仅当0x <0x ->1()2x x ⎛⎫-+≥=⎪-⎝⎭时，等号成立），1x y ==-有，当且仅当时取等号，所以函数112(220y x x x x=++=--++≤-+=-=1x -的最大值为0，故C 正确.12(0)y x x x=++<对于D ，，等号成立的条件是2y ==≥=，而不成立，所以等号不成立，因此的最小值不=231x +=231x +=y =是2，故D 错误；故答案为：ABC11. 下列各式的值为1的是（）A. tan20tan25tan20tan251+-B.13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C. sin72cos18cos108sin18-D. 22cos 2251⋅- 【答案】BC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】错误； ()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---对；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B 8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== ，D 错误. 22cos 22.51cos45-==故选：BC.12. 已知函数，以下结论正确的是（）()()2ln 1f x x ax a =---A. 存在实数a ，使的定义域为R ()f x B. 函数一定有最小值()f x C. 对任意正实数a ，的值域为R()f x D. 若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围 ()f x [)2,+∞(),1-∞【答案】CD 【解析】【分析】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立，利用判别式运算分析；对()f x 210x ax a --->B 、C ：根据的值域结合对数函数的性质运算分析；对D ：根据复合函数的单调性以及21u x ax a =---对数函数的定义域运算求解.【详解】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立， ()f x 210x ax a --->则不成立， ()()()224120a a a ∆=----=+<故不存在实数a ，使的定义域为R ，A 错误；()f x 对B 、C ：∵，且，()()2222221244a a a u x ax a x ++⎛⎫=---=--≥-⎪⎝⎭()2204a +-≤故能取到全部正数，则的值域为R ，B 错误，C 正确；21u x ax a =---()()2ln 1f x x ax a =---对D ：若函数在区间上单调递增，则在上单调递增， ()f x [)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞故，解得， 22a≤4a ≤又∵在区间上恒成立，且在上单调递增， 210x ax a --->[)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞∴，解得， 22210a a --->1a <故实数a 的取值范围，D 正确. (),1-∞故选：CD.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________． AOB 23AOB π∠=2π【答案】 3π【解析】【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以， AOB r 2π2233r r ππ=⋅⇒=扇形的面积为：， 12332ππ⋅⋅=故答案为：3π14. 已知函数为奇函数，且时，，则_________．()f x 0x ≥()2xf x x =+()1f -=【答案】 3-【解析】【分析】利用奇偶性得出，即可代入求解. ()()11f f -=-【详解】函数为奇函数，()f x ，()()11f f ∴-=-时，，0x ≥ ()2xf x x =+，()1213f ∴=+=，()13f ∴-=-故答案为:.3-15. 已知函数(其中)，其部分图象如图所示，则()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈0,0,<2A πωϕ>>________.()f x =【答案】2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据图象的最大值和最小值得到，根据图象得到周期从而求出，再代入点得到的值可得答案. A ω()3,0ϕ【详解】由图象可得函数的最大值为，最小值为，故22-2A =根据图象可知， 7342T=-=，28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将代入，得，()3,03sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 32,4k k Z πϕππ+=+∈，解得，3||,24ππϕϕπ<∴+= 4πϕ=.()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故答案为：. 2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到，A 根据图象得到周期，从而求出，再代入图象过的特殊点得到的值，考查了学生识图的能力及对基础知ωϕ识的掌握情况.16. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()3,2121,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()0f x a -=_________．【答案】 (0,1)【解析】【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，将方程有三个不同的实数根转化为()0f x a -=与的图象有三个不同的交点，分析求解即可.()y f x =y a =【详解】因为函数，作出函数的图象如图所示，3,21()21,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()fx因为方程有三个不同的实数根，所以函数与的图象有三个不同的交点，由图()0f x a -=()y f x =y a =可知：实数的取值范围是， a (0,1)故答案为：.(0,1)四、解答题（共70分）17. 设集合，集合，其中. ()(){}150A x x x =+-<{}212B x a x a =-≤≤+R a ∈（1）当时，求；1a =A B ⋃（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}15x x -<<（2） (),2-∞【解析】【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可B 【小问1详解】由题意得：{}15A x x =-<<当时，1a ={}13B x x =≤≤故{}15A B x x ⋃=-<<【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件x A ∈x B ∈可得：B A Ü当时，得B =∅212a a ->+解得：； 13a <当时，，解得. B ≠∅1312521a a a ⎧≥⎪⎪+<⎨⎪->-⎪⎩123a ≤<综上，的取值范围为：a (),2-∞18. （1）求值：若，求的值；3log 21x =22x x -+（2）化简：.()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）. 10312-【解析】【分析】（1）由题意，，得，代入可得值；3log 21x =23x =（2）运用诱导公式，可化简求值.【详解】解：（1）由题意，，得，得； 3log 21x =23x =11022333x x -+=+=（2）. ()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-19. 已知，且是第二象限角． 12sin 13α=α（1）求和的值；sin2αtan2α（2）求的值． πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1），； 120sin2169α=-120tan2119α=（2. 【解析】【分析】(1)先根据角所在的象限和同角三角函数的基本关系得到，再利用二倍角公式即可求5cos 13α=-解；(2)结合（1）的中的结论，利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为，且是第二象限角． 12sin 13α=α所以， 5cos 13α==-则，， 125120sin 22sin cos 2()1313169ααα==⨯⨯-=-2225144119cos 2cos sin 169169169ααα=-=-=-所以. sin 2tan 2cos 2120119ααα==【小问2详解】由（1）知：，， 5cos 13α=-12sin 13α=所以. πcos(4ααα-==20. 已知函数是定义在R 上的二次函数，且满足：，对任意实数x ，有()y f x =()01f =成立.()()122f x f x x +-=+（1）求函数的解析式；()y f x =（2）若函数在上的最小值为，求实数m 的值.()()()()121g x f x m x m R =-++∈3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2-【答案】（1）2()1f x x x =++（2）2m =【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可，（2）由（1）得，，然后分和两种情况求解即可 ()222g x x mx =-+32m ≤32m >【小问1详解】设，2()(0)f x ax bx c a =++≠因为，所以，()01f =1c =所以，2()1f x ax bx =++因为，()()122f x f x x +-=+所以22(1)(1)1(1)22a x b x ax bx x ++++-++=+整理得，所以，得， 222ax a b x ++=+222a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=⎩所以2()1f x x x =++【小问2详解】由（1）得，， ()222g x x mx =-+对称轴为直线，x m =当时，在上单调递增，所以， 32m ≤()g x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭39()32224min g x g m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭解得（舍去）， 2512m =当时，，解得（舍去），或， 32m >()22()222min g x g m m m ==-+=-2m =-2m =综上，2m =21. 已知函数 ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期;()f x （2）求函数图象的对称轴方程、对称中心的坐标;()f x （3）当时,求函数的最大、最小值及相应的x 的值． π02x ≤≤()f x 【答案】（1）π（2）对称轴;对称中心 3ππ,Z 82k x k =+∈ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（3）时,;时, 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =【解析】【分析】(1)根据和解析式即可求得最小正周期; 2πT ω=()f x (2)整体将代入的对称轴、对称中心即可求得结果; π24x -sin y x =(3)换元法,令,求出的范围,即可求得的最值,根据求出最值时x 的值即可. π24t x =-t ()f x t 【小问1详解】解:由题知, ()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以周期, 2ππ2T ==故最小正周期为;π【小问2详解】令, ππ2π,Z 42x k k -=+∈解得: , 3ππ,Z 82k x k =+∈故对称轴方程为; ()f x 3ππ,Z 82k x k =+∈令, π2π,Z 4x k k -=∈解得: , ππ,Z 82k x k =+∈故对称中心的坐标为; ()f x ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【小问3详解】因为, π02x ≤≤令, ππ3π2,444t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故在时, sin y t =π4t =-min y =即,解得,, ππ244x -=-0x =()()min 0f x f ==在时,, π2t =max 1y =即,解得,, ππ242x -=3π8x =()max 3π18f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上: 时,;时,. 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =22. 已知函数是偶函数． ()()()2log 412R x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦（1）求k 的值；（2）设，证明函数在上的单调递增；()()2f x g x =()g x [)0,∞+（3）令，若对恒成立，求实数m 的取值范围．()(2)2()=-⋅h x g x m g x ()0h x >[1,)x ∞∈+【答案】（1）；1k =-（2）证明见解析；（3）的取值范围是． m 17(,)20-∞【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，知对恒成2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦()()0f x f x --=x ∈R 立，化简即得的值；k （2）由（1）知，，利用函数单调性的定义证明即可； 2log (22)()222x x x x g x -+-==+，设，则，()()()()()2232222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+22x x t -=+222y t mt =--，对分类讨论，结合二次函数的性质，可得实数的取值范围． 5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭m m 【小问1详解】∵函数是偶函数，2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦对恒成立，()()0f x f x ∴--=x ∈R 又， ()22log (41)2log (41)x kx x f x kx ⎡⎤=+⋅=++⎣⎦∴， 22log (41)log (41)220x x kx kx x kx -+--+-=--=．1k ∴=-【小问2详解】由（1）知，， 22241()log (41)2log log (22)2x x xx x x f x --+⎡⎤=+⋅==+⎣⎦所以， ()2log (22)222x x x x g x -+-==+任取，且设， [)12,0,x x ∈+∞12x x < ()()()()22112121211122222222x x x x x x x x g x g x --∴-=+-+=-+-， ()1221211212221222212222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，，且，1x [)20,x ∈+∞12x x <，，， 21221x x ∴>≥21220x x ∴->1211022x x ->，()()210g x g x ∴->函数在上为单调递增函数．∴()g x [)0,∞+【小问3详解】， ()()()()222222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+设，22x x t -=+由（2）知，当时， [)1,x ∈+∞5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭， 222y t mt ∴=--5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭当时，，解得； 52m ≤min 255204y m =-->1720m <当时，，无解， 52m >22min 220y m m =-->实数的取值范围是． ∴m 17(,)20-∞。

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

A．{x∣0 x 1} C．{x∣1 x 5}
B．{x∣1 x 0} D．{x∣0 x 4}
2．已知函数 f x 2x 3x 7 ，则该函数零点所在区间为（）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2, 3
3．函数 f x x sin x 的图象大致为（）
cos x 2
D．3, 4
4
10．已知 f x, g x 是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x ex,e 2.71828 ，
试卷第 2 页，共 5 页
下列选项正确的是（）
A． g x 的最小值为 1
B． f 2x 2 f x g x
C． g x]2 f x]2 1
D． xR ，恒有 f 2x 1 f ax2 2x 的充分不必要条件为 a 4
(1)求函数 f x 在 R 上的解析式；
(2)若对任意的 x 1, ，都有不等式 f x2 m f 2x2 mx 1 0 恒成立，求实数 m
的取值范围. 20．近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足 3 t 18,t N* ，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔 t 相关，当10 t 18时地铁可达到满载状态，载客量为 1250 人，当 3 t 10
(1)求 f x 的解析式及对称中心；
(2)先将 f x 的图象横坐标缩短为原来的 1 倍，再向右平移 π 个单位后得到 g x 的图
2
12
象，求函数
y
g

湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

湖北省部分学校 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A {x∣x x 4 0}, B x∣log3x 1 ，则 AI B （）
A． 4,
12．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，直线 x 1是函数 y f x 的图象的一条对
称轴，当 x 0,1 时， f x x3 ，则（）
A． f x f x 4
B． f 2024 1
C． f x 在 1,3 上单调递减
D．方程 f x lgx 0 恰有 10 个解
A． 2 3
B． 2 3
C． 3
D． 3
6．已知 0, π ，且 sin cos 7 ，则 tan （）
13
试卷第 1 页，共 4 页
A． 5 12
B． 5 12
C． 12 5
7．已知 a log163,b lg2lg5, c log9 2 ，则 a,b, c 的大小关系为（
于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到100mg /100ml ，然后血液酒精
含量会以每小时 20% 的速度减少，则按照新规他至少经过小时后才能开车（. 参考数据：
lg2 0.3 ）
16．已知函数 f x m 2ex x2 nx ，若 x∣f x 0 ⫋ x∣f f x 0 ，则 m ，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x x sinx 的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落

浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案

杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确；故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为，所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案；（2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以，又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。

贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试数学含答案

贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。

,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气，，，，，，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（）图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝＝＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。

2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}ln 1A x x =<，{}1,0,1,2,3,4B =-，则A B =（） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】解对数不等式化简集合A ，再由交集运算即可求解.【详解】由ln 1x <得0e x <<，所以{}0e A x x =<<，所以{}1,2A B =，故选：A.2．命题“0x ∃>，sin 1x x =”的否定是（）A ．0x ∃>，sin 1x x ≠B ．0x ∀>，sin 1x x =C ．0x ∀>，sin 1x x ≠D ．0x ∀≤，sin 1x x ≠【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，根据命题“x M ∃∈，()p x ”的否定是“x M ∀∈，()p x ⌝”解决即可.【详解】由题知，命题“0x ∃>，sin 1x x =”是特称命题，于是其否定是“0x ∀>，sin 1x x ≠”，故选：C3．若0,0a b >>，则“4a b +=”是“4ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的概念验证题中的命题即可得出答案. 【详解】0,0a b >>，4a b +=，根据基本不等式可得，242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当 2a b ==时取等号∴“4a b +=”是“4ab ≤”充分条件；4ab ≤时，显然4a b +=不一定成立，∴“4a b +=”不是“4ab ≤”的必要条件.∴“4a b +=”是“4ab ≤”的充分不必要条件，选项A 正确.故选：A.4．下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（） A ．cos y x = B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x =【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A ：cos y x =为偶函数，但是在()0,∞+上不具有单调性，故A 错误；对于B ：2y x =-为偶函数，但是在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ：1y x=为奇函数，故C 错误；对于D ：()y f x x ==，则()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数，且当0x >时y x =，则函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D5．已知函数()()()1,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意10,01,log 122,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩解得203a <≤，所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C.6．已知lg9x =，0.13y =，1ln 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是（）A ．y x z <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．x y z <<【答案】B【分析】由对数、指数得运算性质，分别将,,x y z 与0,1比较大小，即可得到结果.【详解】0lg1lg9lg101x =<=<=，即01x <<； 00.1133y =<=，即1y >；1ln ln103z =<=，即0z <.故y x z >>. 故选：B.7．在ABC 中,若tan tan tan B C B C +=且sin 2B =则C =（） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°【答案】C【分析】根据tan tan tan B C B C ++=利用两角和的正切公式可得60B C +=,即可得120A =,根据sin 2B =B 的范围可得30B =,进而可求得30C =.【详解】解:因为tan tan tan B C B C +=所以)tan tan 1tan tan B C B C +-,即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==-因为B ,C 为ABC 的内角,所以60B C +=,即120A =,所以060B <<,02120B <<,因为sin 2B =所以260B =, 即30B =,所以30C =. 故选:C8．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的13，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为()0k k >，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则()*0.9x y k x N =⋅∈，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（）（参考数据：lg30.477≈） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】由题意得30.9(0)x k k k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得30.9(0)xk k k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，因为lg 0.90<，所以11130.477310.37lg 0.92lg310.046gg x -->=≈≈--，则至少通过11块玻璃. 故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．若,a b ∈R ，则2ab b a +≥B ．若0a b >>，0m n >>，则b b m a a n+<+ C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，c d >，则22a c b d ->- 【答案】BC【分析】当a ，b 异号时即可判断A ；利用作差法得()b m b ma nba n a a n a+--=++，再根据题意判断ma nb -的符号即可判断B ；根据0a b >≥，两边平方后不等式也成立即可判断C ；利用特殊值法即可判断D ．【详解】对于A ，a ，b 异号时，不等式不成立，故A 错误；对于B ，由()()()()b m a b a n b m b ma nba n a a n a a n a+-++--==+++，又0a b >>，0m n >>，所以0ma nb ->，即b b ma a n+<+，故B 正确；对于C ，由0a b >≥，所以22a b >，故C 正确；对于D ，2a =，1b =，1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故D 错误．故选：BC ．10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．2A =，2ω=，π3ϕ=B ．函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于坐标原点对称C ．函数()f x 的图象关于直线17π12x =-对称 D ．函数()f x 在ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域为(]1,2【答案】ABC【分析】最值求A ，周期求ω，特殊点求ϕ，观察图像找出特征值即可求出函数()f x ，后根据()f x 的性质可作出判断.【详解】A 选项：由图象知2A =；设()f x 的最小正周期为T ，7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以2πT πω==得2ω=，当7π12x =时，函数()f x 取得最小值，则()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z ，即()52ππ3k k ϕ=-∈Z ，又π2ϕ<，则当1k =时，π3ϕ=符合题意．所以2A =，2ω=，π3ϕ=，所以A 正确． B 选项：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以B 正确．C 选项：令()ππ2π32x k k Z +=+∈，解得()ππ212k x k Z =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 212k x k =+∈，当3k =-时，17π12x =-，所以C 正确． D 选项：因为ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈，所以D 不正确．故选：ABC11．已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列说法正确的是（） A ．((0))3f f =B ．函数()y f x =的值域为[2,)+∞C ．函数()y f x =的单调递增区间为[0,)+∞D ．设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是[2,2]- 【答案】ABD【解析】作出函数()f x 的图象，先计算(0)f ，然后计算((0))f f ，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．【详解】画出函数()f x 图象.如图，A 项，(0)2f =，((0))(2)3f f f ==，B 项，由图象易知，值域为[2,)+∞C 项，有图象易知，[0,)+∞区间内函数不单调D 项，当1x ≥时，22xx a x +≥+恒成立，所以222x x a x x x --≤+≤+即32222x x a x x--≤≤+在[)1,+∞上恒成立，由基本不等式可得222x x +≥，当且仅当2x =时等号成立，32232x x +≥23x = 所以32a -≤≤. 当1x <时，22x x a +≥+恒成立，所以222xx a x --≤+≤+在(),1∞-上恒成立，即2222x xx a x ---≤≤+-在(),1∞-上恒成立令()32,02222,012x x x g x x xx ⎧-+≤⎪⎪=+-=⎨⎪+<<⎪⎩，当0x ≤时，()2g x ≥，当01x <<时，()322g x <<，故()min 2g x =；令()12,022322,012x x x h x x xx ⎧-≤⎪⎪=---=⎨⎪--<<⎪⎩，当0x ≤时，()2h x ≤-，当01x <<时，()722h x -<<-，故()max 2h x =-；所以22a -≤≤. 故()2xf x a ≥+在R 上恒成立时，有22a -≤≤. 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[]2.83-=-，[]2.52=，已知函数()sin sin f x x x =+，()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦，下列结论中正确的是（）A ．函数()x ϕ是周期函数B ．函数()x ϕ的图象关于直线π2x =对称 C ．函数()x ϕ的值域是{}0,1,2D ．函数()()π2g x x x ϕ=-只有一个零点【答案】CD【分析】首先判断函数()f x 的性质，奇偶性和周期性，对x 的取值范围讨论，进而得出函数()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦的解析式并且画出()x ϕ的图象，由()x ϕ的图象分别对选项ABC 进行判断，对于D选项，函数()()π2g x x x ϕ=-的零点个数可由2πy x =与函数()y x ϕ=交点个数确定.【详解】∵()sin sin f x x x =+，x ∈R ，∴()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=， ∴函数()sin sin f x x x =+为偶函数，sin y x =不是周期函数，sin y x =是周期函数.对于0x ≥，当2π2ππk x k ≤≤+，k ∈Z 时，()2sin f x x =. 当2ππ2π2πk x k +<<+，k ∈Z 时，()0f x =，∴当0x ≥时，()()π2,2π,Z 2π5π0,2π2π,2π2π2π,Z,66π5ππ1,2π2π,2π,Z 662x k k x f x k x k k x k k k x k x k k ϕ⎧=+∈⎪⎪⎪⎡⎤==≤<++<<+∈⎨⎣⎦⎪⎪+≤≤+≠+∈⎪⎩ 由函数()sin sin f x x x =+为偶函数，可得()x ϕ的图象如图所示，由图易知函数()x ϕ不是周期函数，所以A 错误；∵ππ222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π02ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴函数()x ϕ的图象不关于直线π2x =对称，故B 错误；由上述可知函数()x ϕ的值域是{}0,1,2，故C 正确；由()()π02g x x x ϕ=-=可得()2πx x ϕ=，当20πx =时，0x =，()00ϕ=；当21πx =时，π2x =，π22ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当22πx =时，πx =，()π0ϕ=，故直线2πy x =与()y x ϕ=的图象只有一个交点，即函数()()π2g x x x ϕ=-只有一个零点，故D 正确. 故选：CD.三、填空题13．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()43P ,-，则sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.31225【分析】根据角α终边过点()43P ,-，可求出角α三角函数值，再利用正弦和余弦的和差角公式，以及同角三角函数的平方关系，即可求出结果. 【详解】∵α的终边过点()43P ,-， ∴3sin 5α=，4cos 5=-α（三角函数的概念），∴3131sin cos cos sin 6622ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫+-=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭)2212sin cos sin cos 25αααα=++=，1225. 14．已知tan 3α=，则sin cos 2sin cos αααα=-___________.【答案】65-【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为sin ,cos αα的齐次分式形式，用tan α表示，代入即可求解.【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos sin cos αααααααααααα-==-+--()222222sin cos sin tan tan 336sin cos tan 1315αααααααα+++=-=-=-=-+++. 故答案为：65-15．已知lg5a =，104b =，则22a ab b ++=______. 【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答. 【详解】因104b =，则lg42lg2b ==，又lg5a =，所以22(2)lg5(2lg52lg2)2lg22(lg5lg2)lg52lg2a ab b a a b b ++=++=⋅++=+⋅+2lg52lg22=+=. 故答案为：2四、双空题16．已知函数()f x 满足()()226412f x f x x x +-=-+，则()f x =_________；若函数()2816g x x x m =+-，若对任意[]3,3x ∈-，()()f x g x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________.【答案】 2244x x ++ [)86,+∞【分析】将原式中的x 代换成x -，再消去()f x -即可得到()f x 的解析式；若对任意[]3,3x ∈-，()()f x g x ≥恒成立，利用参变分离，得到26124m x x ≥+-，转化为()2max 6124m x x ≥+-，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由()()226412f x f x x x +-=-+知，将原式中的x 代换成x -得()()226412f x f x x x -+=++()()()()222641226412f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩，消去()f x -得()2244f x x x =++；由()()f x g x ≥，得22244816x x x x m ++≥+-，即26124m x x ≥+-对任意[]3,3x ∈-，恒成立，∴()2max6124m x x ≥+-，当3x =时，26124x x +-取得最大值86. ∴实数m 的取值范围为[)86,+∞. 故答案为：2244x x ++；[)86,+∞五、解答题17．已知集合()(){}110A x x a x a =-+--<，{}1139x B x -=≤≤.(1)若1a =，求A B ⋃；(2)若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的值. 【答案】(1){}03A B x x ⋃=<≤ (2)2【分析】（1）将1a =代入集合A ，解不等式求出集合A 与集合B ，再求并集即可；（2）由x B ∈是x A ∈的必要不充分条件确定集合A 是集合B 的真子集，由此求实数a 的值即可. 【详解】（1）∵不等式1139x -≤≤等价于012333x -≤≤，且函数3x y =在R 上单调递增，∴012x ≤-≤，即13x ≤≤，∴{}{}113913x B x x x -=≤≤=≤≤，若1a =，则(){}{}2002A x x x x x =-<=<<， ∴{}03A B x x ⋃=<≤.（2）不等式()()110x a x a -+--<即()()110x a x a ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∵11a a -<+，∴解得11a x a -<<+，∴()(){}{}11011A x x a x a x a x a =-+--<=-<<+，由（1）知，{}13B x x =≤≤若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，即x B ∈x A ∈，x A ∈⇒x B ∈，∴集合A 是集合B 的真子集， ∴1311a a +≤⎧⎨-≥⎩，即22a a ≤⎧⎨≥⎩， ∴2a =.18．已知函数()222sin sin 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()g x m =在7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有四个根，从小到大依次为1234x x x x <<<，求123422x x x x +++的值. 【答案】(1)()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)92π.【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.【详解】（1）()222sin cos 623f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ))2sin cos cos 21sin 2cos 21663x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 令()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意知：()sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()sin 23y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为512x π=和1112π=x 是sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的对称轴，由对称性可知：1256x x π+=，34116x x π+=，所以12349222x x x x π+++=. 19．已知函数()21log 3f x ax a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（0a ≥）. (1)当0a =时，解关于x 的不等式：()2f x >；(2)若()f x 在0x >时都有意义，求实数a 的取值范围.【答案】(1)107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ (2){}1a a >.【分析】（1）由0a =时得到()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据()2f x >结合对数函数的单调性得到130134x x⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，即可求解. （2）根据对数函数的定义域，得到()f x 在0x >时都有意义，转化为()2310ax a x +-+>在0x >时恒成立，分离参数得到22313111x x x a x x x -->=++在0x >时恒成立，构造函数令()23111x x g x x-=+（0x >），则只需()max a g x >即可，利用换元法令10t x =>，得到()()2341511t t h t t t t -==-+-+++，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当0a =时，()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且2log 42=，由()2f x >得130134x x⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得：107x <<，即不等式解集为107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）()f x 在0x >时都有意义，即130ax a x++->在0x >上恒成立，即()2310ax a x +-+>在0x >时恒成立，即22313111x x x a x x x-->=++在0x >时恒成立，令()23111x x g x x-=+，0x >，则只需()max a g x >即可，令10t x =>，()()2341511t t h t t t t -==-+-+++， ∵0t >，()4141t t ++≥+，当且仅当，411t t +=+，且0t >，即1t =时等号成立， ∴()()44151545111h t t t t t ⎛⎫=-+-+=-+++≤-+= ⎪++⎝⎭， ∴()1g x ≤，即()g x 最大值为1，∴1a >，∴a 的取值范围为{}1a a >.20．已知函数()124212x x xa a f x +-⋅++=，a ∈R . (1)判断()f x 是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；(2)若函数()f x 在[]1,3x ∈上为单调递增函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)没有，理由见解析(2){a a【分析】（1）将问题转化为124210x x a a +-⋅++=是否有解，设2x t =，判断22210t at a -++=在0t >时是否有解即可；（2）设1213x x ≤<≤，利用()f x 在[]1,3x ∈上为单调递增函数得12211022x x a +->恒成立，常数分离后得a 的取值范围. 【详解】（1）设()f x 有零点，则方程()0f x =有解，即124210x x a a +-⋅++=有解，设2x t =，0t >，得22210t at a -++=（*），()224410a a ∆=-+<，（*）方程无正解，所以()f x 没有零点.（2）()12242112222x x x x x a a a f x a +-⋅+++==++，设1213x x ≤<≤，()()210f x f x ->恒成立，()()()2121211222221111222212222x x x x x x x x a a a f x f x ⎛⎫+++-=+--=-- ⎪⎝⎭，因为21220x x ->，所以12211022x x a +->恒成立，所以112221222x x x x a +=+<恒成立，又12121326x x x x ≤<≤⇒<+<，所以214+≤a ，所以a的取值范围为{a a ≤≤.21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x x =+.(1)求()f x 的解析式；(2)若正数m ，n 满足22ln ln m m n n +=+，求n m -的最大值.【答案】(1)()()ln ,0,0,0,ln ,0.x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩ (2)14.【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求出函数解析式；（2）根据题意，由（1）得()()2f m f n =，利用函数的单调性得20m n =>，则21124n m n ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）当0x <时，则0x ->，()()ln f x x x -=-+-，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x =--，所以，当0x <时()()ln f x x x =--，当0x =时()0f x =，()ln ,00,0ln(),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩. （2）因为22ln ln m m n n +=+，由,m n 都为正数，得()()2f m f n =，设120x x <<，则1111212122()()ln ln ()ln x f x f x x x x x x x x -=-+-=-+，因为11220,ln ln10x x x x -<<=，所以11()()0f x f x -<，故()ln f x x x =+为单调递增的函数，所以20m n =>，221124n m n n n ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当12n =时，n m -求得最大值14. 22．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ,满足()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且当1x >时,()0f x >. (1)讨论函数()f x 的单调性,并说明理由;(2)若()21f =,解不等式()()333f x f x +->.【答案】(1)()f x 在()0,∞+上单调递增,理由见解析 (2)30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)取21,m x n x ==,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果;(2)先根据()21f =,求得83f ,再利用抽象函数的式子化为()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭,根据(1)中的单调性结论,列出不等式,解出即可.【详解】（1）解:()f x 在()0,∞+上单调递增,理由如下: 因为()f x 定义域为()0,∞+,不妨取任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则211x x >, 由题意()()22110x f f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,即()()21f x f x >, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）因为,0m n ≠,令mn m n =,由()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得: ()()()mn f m f f mn f n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 即()()()f mn f m f n =+,由()21f =,可得()()()4222f f f =+=, 令4m =,2n =,则()()()8423f f f =+=,所以不等式()()333f x f x +->,即()()()338f x f x f +->,即()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由(1)可知()f x 在定义域内单调递增, 所以只需3030383x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪>⎩,解得0323x <<, 所以不等式()()333f x f x +->的解集为30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。

(−∞,3)∪(5,+∞)B。

(−∞,3)∪[5,+∞)C。

(−∞,3]∪[5,+∞)D。

(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。

a^3B。

a^3/2C。

a^3/4D。

都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。

e=1与ln1=0B。

8^（1/3）=2与log2^8=3C。

log3^9=2与9=3D。

log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。

x^2B。

x^3C。

e^xD。

1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。

log2B。

−1/lg2C。

lg2D。

−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。

y=−3x^−2B。

y=3^xC。

y=log_3xD。

y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。

高一数学第一学期期末测试题和答案

高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分）已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。

湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

(1)设 f1(x) log4 x ， f2 (x) log1 x ， a 2 ， b 1，生成函数 h(x) .若不等式 4
2
2 h x
3h (x ) t
0
在
x 4,16 上有解，求实数 t
的取值范围；
(2)设函数 g1(x) log3 (9 x1 1) ， g2 (x) x 1，是否能够生成一个函数 h(x) .且同时满足：
C． b c a
D． c b a
二多选题
9．下列说法错误的是（）
A． 330 与 750 的终边相同
B． 120 化成弧度是 5 π 6
C．经过 4 小时时针转了120
D．若角与终边关于 y 轴对称，则 π 2kπ ， k Z
2
10．已知 cos
3 5
，
π 2
, 0
，则（
mf
( x)
1
0
恒成立，则实数 m (,1]
C．函数
y
f
(x)
在[π, a] 内有
5
个零点，则 a
4 3
,11 6
D．若 F(x) f (x) 在[0, nπ] n N* 上恰有 2024 个零点，则 n 2024
12．已知定义在 R 上的函数 f (x) ，对任意的 x, y R ，都有 f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y) ，
．
15．函数 y log8x cosx 的零点个数为
.
16．已知定义在 R 上的函数 f x 满足， f x1 x2 f x1 f x2 ，且当 x 0 时，
f x 0 ， f 1 1，则关于 x 的不等式 21 f x 21 f x 2 f x2 7 的解集为

重庆市第一中学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

L(x)
1
q
,
x
p q
( p, q Z ,
p, q 互质)
，下列关于黎曼函数的说法正确的是（
）
0，x 0或1或(0,1)内的无理数
A． L x L 1 x
C． La b La Lb
1
为
2
B． La Lb Lab D．关于 x 的不等式 L x 1 x 1 的解集
55
三、填空题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13．函数 y 1 4 sin 2x cos 2x 的最小正周期为
.
14．函数 y ( 1 )x2 2x3 的值域是
.
4
15．已知定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于点 (0, 2) 成中心对称，且当 x (, 0] 时，
试卷第 2页，共 4页
f (x) a(sin x 1) （其中 a 为待定常数），则 f (x)
.
16．若
f
(x)
4 4 2x
1 2
f
( x ), 2
3 x
,1 2
x
2
，则方程
xf
x
6
0
在 1, 32
内的所有实根之和
为
.
四、解答题
17．设集合 A x 1 ex1 e ，若关于 x 的不等式 x2 mx n 0的解集为 A .
(1)求函数 f x x2 mx n 的解析式；
D．不等式 f (x)
3
的解集是
x
kπ
7π 24
x
k
π
3π 8
,k
Z
D． ab a b
11．下列说法正确的是（）
A．函数 y sinx cosx sinxcosx 的最大值为

安徽省六安2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案

六安2023年秋学期高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知命题P ：0x ∃∈R ，0302xx >，则它的否定形式为（）A.0x ∃∈R ，0302x x ≤ B.x ∀∈R ，32>x x C.0x R ∃∉，0302x x ≤ D.x ∀∈R ，32≤xx 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0:P x R ∃∈，0302xx >”的否定为：“:P x R ⌝∀∈，32≤x x ”.故选：D.2.π3α=是1cos 2α=的（）条件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可.【详解】若π3α=，故可得1cos 2α=，满足充分性；若π3α=-，显然满足1cos 2α=，但无法推出π3α=，故必要性不成立；故π3α=是1cos 2α=的充分不必要条件.故选：C .3.函数2()log f x x x =+的零点所在区间为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.【详解】2,log y x y x ==在()0,+∞上都是单调增函数，故()y f x =在()0,+∞上是单调增函数；又21111log 308888f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 204444f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()211log 110f =+=>；故()f x 的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.4.设2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，sin37c =︒，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】通过三个数与0，1的关系即可解出.【详解】由题意，22log 0.3log 10a =<=，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，0sin 37sin 451c <=︒<︒<，∴01a c b <<<<.故选：D.5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的大致图象是A. B.C. D.【解析】【详解】函数()=sin ln f x x x ⋅是奇函数，图像关于原点对称，故排除,A B 当2x =时，()2sin 2ln 20f =⨯>，故排除D 故选C点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；（3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．6.若43m =，则3log 12=（）A.1m m+ B.21m m+ C.2m m+ D.212m m+【答案】A 【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m=得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+=故选：A7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.32BC B.34BC uu u r C.32BC-D.34BC - 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出BC 为外接圆的直径，且AOC 是等边三角形，从而求出向量BA 在向量BC上的投影向量.【详解】∵ABC 的外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴90BAC ∠=︒．∵OA AC = ，∴AOC 是等边三角形.设D 为OC 的中点，则34BD BC =.∴向量BA 在向量BC上的投影向量为3cos 4BD BC BA ABC BC BC BC BC∠⋅=⋅=.故选:B.8.已知函数()cos ]2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的值域为{0,1}C.()f x 为周期函数，且最小正周期2T =D.()f x 与7|1og |l y x =-的图像恰有一个公共点【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除AC ，根据余弦函数的性质可求出函数的值域进而判断B ，根据函数的值域判断D .【详解】对于A ，由于1cos 012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1πcos 022f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()y f x =不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()ππZ 22x k k =⋅∈，而πcos 2k ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-，故B 错误；对于C ，由于()[]()π1.1cos 1.1cos 12f π⎛⎫-=⨯-=-=-⎪⎝⎭，()[]π0.9cos 0.9cos 012f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()1.10.9f f -≠，故C 错误；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 11x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.）A.sin15cos15︒+︒B.222cossin 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1tan151tan15+︒-︒D.2sin15cos15︒︒【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可.【详解】对于A 选项，原式45)2=︒+︒=，故A 选项错误；对于B 选项，原式2cosπ6==，故B 选项正确；对于C 选项，原式tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒==︒=-︒︒C 选项正确；对于D 选项，原式1sin 302=︒=，故D 选项错误.故选：BC.10.若0a b >>，0c <，则下列不等式中正确的是（）A.c c a b< B.ac bc< C.b c ba c a +>+ D.2b a a b+>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质看判断B 选项；利用作差法可判断ACD 选项.【详解】因为0a b >>，0c <，对于A 选项，()0c b a c c a b ab--=>，所以，c c a b >，A 错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 对；对于C 选项，()()()()()a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，a c +的符号不确定，无法得出b c a c ++与ba的大小关系，C 错；对于D 选项，()222220a b b a a ab b a b ab ab--++-==>，则2b a a b +>，D 对.故选：BD.11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论正确的是（）A.CB OA=B.0OA OB OC ++=C.OF OD OC OB+=-D.OA FA DE BC⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】利用相等向量的定义可判断A 选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项；利用平面向量线性运算可判断C 选项；利用平面向量数量积的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正六边形的几何性质可知，60AOB OBC BOC ABO ∠=∠=∠=∠= ，所以，//OA BC ，//AB OC ，则四边形OABC 为平行四边形，故CB OA =，A 对；对于B 选项，因为四边形OABC 为平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得20OA OB OC OB ++=≠，B 错；对于C 选项，由正六边形的几何性质可知，OF OD DE EF ===，则四边形ODEF 为菱形，所以，OF OD OE += ，OC OB BC -=，易知ODE 为等边三角形，则OE DE BC == ，故OF OD OC OB +=-，C 对；对于D 选项，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，易知CB EF =，则21cos 602OA FA AO AF AO AF a ⋅=⋅=⋅=，21cos1202DE BC DE CB DE EF ED EF ED EF a ⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=- ，所以，OA FA DE BC ⋅≠⋅，D 错.故选：AC.12.已知函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.若1ω=，则()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.若()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则232966ω<≤C.若把()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的函数为偶函数，则ω的最小值为2D.若2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()()sin f x x ωϕ=+与()()tan g x x ωϕ=+有3个交点【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件求出π6ϕ=，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项；利用函数()f x 在()0,π上的零点个数可得出关于实数ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断B 选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，解方程()()f x g x =，可判断D 选项.【详解】因为函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 20==f φ，又因为ππ22ϕ-<<，所以，π6ϕ=，对于A 选项，若1ω=，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则πππ26x <+<，所以，函数()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 对；对于B 选项，因为()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω<+<+，因为()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则π4ππ5π6ω<+≤，解得232966ω<≤，B 对；对于C 选项，把()f x 的图象向左平移π6个单位，可得到函数ππππsin sin 6666y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，则()ππππ662k k ω+=+∈Z ，可得()62k k ω=+∈Z ，因为0ω>，故当0k =时，ω取最小值2，C 对；对于D 选项，因为2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且0ω>，则πππ262x ω-<+<，由πsin ππ6sin tan π66cos 6x x x x ωωωω⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，可得πsin 06x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π06x ω+=，故当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()πta 6n g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭只有1个交点，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）【答案】2π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.【详解】设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2π3α=，9r =.故答案为：2π314.已知简谐运动ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相ϕ为________．【答案】π6##1π6【解析】【分析】将点代入函数中，结合所求量范围求解即可.【详解】将(0,1)代入函数中，可得()12sin ϕ=，解得π2πZ 6k k =+∈，ϕ，已知π||2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=.故答案为：π615.求值：()cos 40110︒+︒=__________．【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】()sin10cos10cos 40110cos 401cos 40cos10cos10︒︒+︒⎛⎫︒+︒=︒+=⨯︒ ⎪︒︒⎝⎭()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒．故答案为：1．16.已知方程12sin π01x x-=-，则当[2,4]x ∈-时，该方程所有实根的和为________．【答案】8【解析】【分析】作出1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.【详解】方程12sin π01x x -=-，即12sin π1x x=-，令1()1f x x =-，()2sin πg x x =，1()1f x x =-的图象可由1y x=-的图象向右平移1个单位得到，故关于点(1,0)对称，同时(1,0)也是()2sin πg x x =的一个对称中心；作图可得()f x ，()g x 的图象，观察它们在[2,4]x ∈-时的图象，可知二者的图象都关于(1,0)点成中心对称且()f x ，()g x 图象在[2,4]-上共有8个交点，这8个交点两两成对关于点(1,0)对称，每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2，故所有8个交点的横坐标的和为248⨯=，即方程12sin π01x x-=-所有实根的和为8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程12sin π01x x-=-的根的问题，转化为1()1f x x =-，()2sin πg x x=的图象的交点问题；（2）数形结合：作出函数1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，判断其对称性，从而求解问题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{30}A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20A B x x ⋂=-<<（2）{}2a a >【解析】【分析】（1）计算{}21B x x =-<<，再计算交集得到答案.（2）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，根据集合的包含关系得到答案.【小问1详解】{}{}2221B x x x x x =->=-<<，{}20A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】当C =∅时，22a a >+，即2a >，满足条件；当C ≠∅时，22a a ≤+且2220a a >-⎧⎨+<⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围{}2a a >.18.如图，以Ox 为始边作角α与(0π)<<<ββα，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3sin()5sin 22cos()cos 2ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）若5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()αβ+的值．【答案】（1）32（2）3365【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可.（2）利用两角和的正弦公式处理即可.【小问1详解】由题得3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-，所以433sin()5sin 353sin 5cos 3255342cos sin 22cos()cos 2255ααααααααπ⎛⎫⎛⎫π-+-⨯+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===π+⎛⎫⎛⎫--+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题得，5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13β=，所以4123533sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭19.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；23x π-3π-2ππ32π53πx6π512π23π1112ππ()f x 1211-12（2）将()y f x =的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移π2个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．【答案】（1）表格及图象见解析（2）ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；（2）先通过图象变换得到()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令πππ62x k +=+可得对称中心．【小问1详解】π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：π23x -π3-π2π3π25π3xπ65π122π311π12π()f x 1211-012图象如图：【小问2详解】()f x 的图象横坐标扩大为原来的2倍得πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位后，得()cos cos 236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ62x k +=+，()k ∈Z ，得ππ3x k =+，()k ∈Z ，所以函数()g x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k ∈Z ．20.已知函数2()2sin cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）π，π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎣⎦()k ∈Z ；（2）[1,2].【解析】【分析】（1）将()f x 化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；（2）根据x 的取值范围，求得23x π+的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果.【小问1详解】2π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期为22ππ=；由ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得单调递减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问2详解】当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，又sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；则π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值1，ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2，故当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]．21.六安一中新校区有一处矩形地块ABCD ，如图所示，50AB =米，BC =米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE ，EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且π2EOF ∠=．（1）设BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试将OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE 和OF 上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m 元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求α大小（备注：7πsin124+=）【答案】（1）25(1sin cos )sin cos l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π4【解析】【分析】（1）分别在Rt BOE 和Rt AOF △中，表示出,OE OF ，即可求出EF ，从而求得OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）结合（1）可得出OE OF +的表达式，利用三角代换，令sin cos t αα+=，化简OE OF +的表达式，即为501t tOE OF +=-，再结合函数1y t t =-的单调性，即可确定OE OF +何时取得最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知50AB =，O 是边AB 的中点，在Rt BOE 中，由BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得25cos OE α=，由于π2EOF ∠=，故在Rt AOF △中，π2AOF α∠=-，AFO α∠=，可得25sin OF α=，又在Rt EOF △中，由勾股定理得25sin cos EF αα===，所以25252525(1sin cos )cos sin sin cos sin cos l αααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】根据题意，要使费用最低，只需OE OF +最小即可，由（1）得25(sin cos )sin cos OE OF αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，得2225(sin cos )25505011sin cos 12t t OE OF t t t t αααα++===---=，由于πsin cos )4t ααα=+=+，5ππ7π12412α≤+≤，而5π7πsinsin 12124+==，故312t +≤≤，令1()f t t t=-，则1()f t t t=-在(0,)+∞上为增函数，则max 2()2f t f ==，所以当t =时，501t tOE OF +=-最小，此时π4α=，即当新加装的智能照明装置的费用最低时，π4α=．22.已知函数1()log 1a x f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当12a =时，函数()()g x f x b =-在()1,∞+有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.,1(),)1(-∞-⋃+∞23.()0,+∞24.存在，03a <<-【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知()f x b =在(1,)+∞上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得01a <<，且1m n <<，结合单调性分析可知2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-．所以()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞．【小问2详解】令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在()1,∞+上为增函数，可得()()10t x t >=，且()1t x <，可知()t x 的值域为()0,1，因为12a =，则12log y x =在定义域内为减函数，可得()12log 10f x >=，所以函数()f x 在()1,+∞上的值域为()0,+∞，又因为函数()()g x f x b =-在()3,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()3,∞+上有且只有一个解，所以b 的范围是()0,+∞．【小问3详解】存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log 1log +<+a a n m ，可得01a <<，且1m n <<．令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在(1,)+∞上为增函数，因为01a <<，则log a y x =在定义域内为减函数，所以()f x 在(1,)+∞上为减函数，可得()()()()1log log 11log log 1a a aa m f m am m n f n an n -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，可知11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根，可得2(1)10ax a x +-+=，即2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根．则()()2Δ14011210a a a a h ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-，所以实数a的取值范围(0,3-.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；。

高一上学期期末考试数学试卷

高一上学期数学期末试卷一、选择题(5′×12=60′）1．设集合},2,1,0,2{}2,0,2{},1,0{}1,0,1{-=-⋃=-⋂A A 则满足上述条件的集合A 的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若)21(),0(1)]([,21)(22g x x x x f g x x f 则≠-=-=的值为（）A ．1B ．3C ．15D ．303．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为 f (x )= （） A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+- D ．x x --- 4．设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在)(log ,0)31(,),0[81>>+∞x f f 则不等式且上为增函数的解集为（）A ．)21,0(B ．（2，+∞）C ．),2()1,21(+∞⋃D ．),2()21,0(+∞⋃5．已知a x ax y a则的减函数上为在,]1,0[)2(log -=的取值范围为（）A ．（0,1)B ．（1，2）C ．(0，2)D ．),2[+∞6．在等差数列｛a n ｝中，公差4231731,,,,0a aa aa a a d ++≠则成等比数列且的值为（） A ．43B ．32C ．65D ．1 7．等差数列｛a n }中，a 10〈0， a 11〉0， a 11〉｜a 10｜， S n 为前n项和，则有（）B ．S 1，S 2，…，S 19都小于0,S 20,S 21,…都大于0C ．S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6,S 7，…都大于0D ．S 1，S 2,…，S 20都大于0，S 21，S 22，…都小于08．某商品零售价2000年比1999年上涨25%，欲控制2001年比1999年上涨10%，则2001年比2000年应降价 ( )A ．15%B ．12%C ．10％D ．5%9．设)()()(,0,0,0,,,,)(3211332213213x f x f x f x x x x x x R xx x x x x f ++>+>+>+∈--=则且的值（） A ．一定大于零 B ．一定小于零 C ．小于等于零D ．正负均有可能10．一等比数列｛a n }的首项a 1=2-5，前11项的几何平均数为25，现从这11项中抽去一项，下余的十项的几何平均数为24,则抽去的一定是（）A ．第8页B ．第9页C ．第10页D ．第11页11．从1998年到2001年期间,甲每年5月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄,若年利率为t 保持不变且计复利，到2002年5月1日，甲仅去取款,则可取回本息共（）A ．元4)1(t m + B ．元5)1(t m + C ．元)]1()1[(4t t t m +-+ D ．元)]1()1[(5t t tm +-+12．设函数f （x ）是实数集上的奇函数,且满足),1(log )(,)1,0(),()1(21x x f x x f x f -=∈-=+时当则f （x )在（1，2）上是 ( ）A ．增函数且f (x ）〈0B ．增函数且f （x )〉0C ．减函数且f （x ）<0D ．减函数且f (x )〉013．已知函数⎩⎨⎧<+≥=)4()2()4(2)(x x f x x f x，那么)3(log 21f 的值为 .14．已知y =f （x )为偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f （1－x 2）的增函数区间为。

2023-2024学年广东省深圳中学高一学期期末数学试题及答案

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨（3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。

高一数学第一学期期末考试试卷(共5套,含参考答案)

高一第一学期期末考试数学试卷满分：150分时间: 120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则AB 的元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( ) A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α⊂3.方程的1xe x =的根所在的区间是（）． A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,23(4.函数y=x （x 2-1）的大致图象是( )5.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A.90°B.60°C.45°D.30°6.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.57.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1角为60°9.若方程1ln 02xx a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是（）A.65B.6C.2D.511.已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()120f x f +-<的解集为（）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()()3,11,1--⋃-D. ()()1,11,3-⋃12.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p = .14.2lg 2＝ _________15.函数()lg 21y x =+的定义域是______________________. 16.函数x21f x =-log x+23⎛⎫⎪⎝⎭（）（）在区间[－1,1]上的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ．（1）求U A ð；（2）若A B A = ,求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集.19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠A ＝90°，BD ⊥DC ，将△ABD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面BDC. (1) 求证:平面EBD ⊥平面EDC ； (2) 求ED 与BC 所成的角．20．(1２分)一块边长为10 cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数； (2)若x ＝6，求图2的正视图的面积．21.（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB .（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离.1A A1B B1C COD22．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )，且满足(1)(1)f f -=．（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围；（3）若函数1()2()421f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.高一第一学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 1 14. 2 15. 16. 316.解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴23x -<<…………………………………3分∴A=(-2,3) ∴(][)23u C A =-∞-+∞，，……………………………5分（2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A = ……………………………6分当0>a 时，)(a a B ，-= ∵AB A = ∴A B ⊆[]∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a ， ∴40≤<a ……………………………9分综上所述：实数a 的范围是4≤a ……………………………………10分18.解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1..................................6分（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >.所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}.................................12分19.(1) 证明：∵平面EBD ⊥平面BDC ，且平面EBD ∩平面BDC ＝BD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面EBD ， ∵CD 平面EDC ，∴平面EBD ⊥平面EDC.……………………………6分 (2) 解：如答图，连接EA ，取BD 的中点M ，连接AM ，EM ， ∵AD ∥BC ，∴∠EDA 即为ED 与BC 所成的角．又∵AD ＝AB ，∴ED ＝EB. ∴EM ⊥BD ，∴EM ⊥平面ABCD.设AB ＝a ，则ED ＝AD ＝a ，EM ＝MA ， ∴AE ＝a ，∴∠EDA ＝60°.即ED 与BC 所成的角为60°……………………………１２分20.(12分)解 (1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm. 在Rt △EOF 中，EF ＝5 cm ，OF ＝12x cm ，所以EO ＝25－14x 2.于是V ＝13x225－14x 2(cm 3)．依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．……………………………６分(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB ＝6，底边上的高为四棱锥的高＝EO ＝25－14x 2＝4，S ＝4×62＝12(cm 2)．……………………………１２分21.解：(1),由得又即又又BD 与CO 交于O 点，又……………………………６分(2),,又AB=1，可得，由得……………………………１２分22．解析：（1）(1)(1)f f -=，即144log (41)log (41)k k -+-=++444512log log 5log 144k ∴=-==- ∴12k =- ………………………………………………………………………… ………5分（2）由题意知方程411log (41)22x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解, 令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点444411()log 41)log log (1)44x x x xg x x +=+-==+（任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，121144x x ∴>. 12124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.1114x +>， 41()log 104xg x ⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0.-∞ ……………………………………………………………… 9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分。

2023-2024学年酒泉市高一数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年酒泉市高一数学上学期期末考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修第一册第1章至第5章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列各角中，与760︒角终边相同的角是（）A.60︒B.360︒C.320-︒D.440-︒2.已知集合{}1A x x =<，{}2280B x x x =--≤，则A B ⋂=（）A.[]1,4B.[2,1)-C.(2,4]D.(,4]-∞3.函数ln(4)y x =+-的定义域为（）A.[2,4)B.(2,4)C.[2,4]D.[2,)+∞4.函数3()20f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.已知0.12a =，2log 0.1b =，0.13c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.c a b>> B.a c b>> C.b a c>> D.b c a>>6.将函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x =πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为（）A.π6B.π4C.π3D.2π37.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压.为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.0374≈，lg20. 3010≈，lg30.4771≈.A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.已知函数()2f x ax =-，122,13,()1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩对1[3,3]x ∀∈-，2[3,3]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A.[1,1]- B.[]0,4 C.[]1,3 D.[2,2]-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若sin cos 0αα⋅>，则α终边可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.设函数()||2f x x x x =-，则()f x （）A.是奇函数B.是偶函数C.在(1,1)-上单调递减D.在(,1)-∞-上单调递减11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.2ω=B.函数π6y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称D.函数()y f x =在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12.若242log 42log a ba b +=+，则下列结论错误的是（）A.2a b >B.2a b< C.2a b > D.2a b <三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的终边经过点(5,12)P -，则sin α=__________.14.如果函数()f x 对任意的正实数a ，b ，都有()()()f ab f a f b =+，则()f x 的解析式可以是()f x =__________.（写出一个即可）15.建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻､气韵生动､极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知1m AD =，弧 πm 3AB =，弧 2πm 3CD =，则此扇环形砖雕的面积为__________2m.16.已知函数()|lg |f x x =，()()f a f b =，a b <，则2023a b +的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知命题:p x ∃∈R ，2260x x a -+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .（1）求集合A ；（2）设非空集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.（12分）已知幂函数()23()69m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减.（1）求实数m 的值；（2）若11(32)(4)m m a a -----<+，求实数a 的取值范围.19.（12分）（1）已知4cos 5α=-，且α为第二象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.20.（12分）已知函数1()(,)f x a b ax b =∈+R ，且1(1)3f =，(1)1f -=-.（1）求a ，b 的值；（2）试判断函数()f x 在(2,)+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在[2,6]x ∈上的最大值和最小值.21.（12分）已知函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式1(2)0xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上有解，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数π())0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭图象上的任意两点，(0)1f =，且当()()12f x f x -=时，12x x -的最小值为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）当ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2[()]()0f x mf x m --≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案､提示及评分细则1.C 与760 角终边相同的角为()360760k k ⋅+∈Z.当1k =时，3607601120+= ；当1k =-时，360760300-+= ；当2k =-时，236076040-⨯+= ；当3k =-时，3360760320-⨯+=- ，所以320- 角的终边与760 角的终边相同.2.B 由2280x x -- ，得24x - ，所以{}24,{21}B xx A B x x =-⋂=-<∣∣ .3.A 由题知20,40,x x -⎧⎨->⎩ 得24x < .4.C()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上递增，而()()()020,118,210f f f =-=-=-，()()310,448f f ==，可得()()230f f ⋅<，满足零点存在性定理，故()f x 零点所在的区间是()2,3.5.A 因为函数0.1y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.10.1023<<，即a c <，又22log 0.1log 10<=，所以c a b >>.6.B 函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数为ππsin 2sin 263y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，()ππsin 2sin 2123g x x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ2π123k ϕ-+=-+，得π2π,4k k ϕ=+∈Z ，因为0πϕ<<，所以π4ϕ=.7.C 设2020年后第n 年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由120(19%)n ⨯+>200，得5(1.09)3n，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg3 5.93lg1.09lg1.09n --->=≈，所以6n ，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.8.D 当[]3,3x ∈-时，记()f x 和()g x 的值域分别为集合,A B .当13x 时，[]121,4x -∈，当31x -< 时，[]218,1x -+∈-，所以函数()g x 的值域为[]8,4B =-.因为对[][]123,3,3,3x x ∀∈-∃∈-，使得()()12f x g x =成立，所以A B ⊆.当0a =时，{}2A =-，满足题意；当0a >时，[]32,32A a a =---，则328,324,a a ---⎧⎨-⎩ 解得02a < ；当0a <时，[]32,32A a a =---，则324,328,a a --⎧⎨--⎩解得20a -< .综上，实数a 的取值范围是[]2,2-.9.AC 因为sin cos 0αα⋅>，若sin 0,cos 0αα>>，则α终边在第一象限；若sin 0,cos 0αα<<，则α终边在第三象限.10.AC11.ACD 由题意ππ2,4π312A T ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭，则2π2T ω==，A 正确；ππ22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()ππ2sin 2,2sin236f x x y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，B 错误；5ππ2sin 22123⎡⎤⎛⎫⨯-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称，C 正确；ππ,312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,336x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以min π()3f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭D 正确.12.ACD 设()22log xf x x =+，则()f x 在()0,∞+上为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+，所以()()()()22222222122log 2log 22log 2log 2log 102a b b b f a f b a b b b -=+-+=+-+==-<，所以()()2f a f b <，所以2a b <，故B 正确；()()()()22222222222222log 2log 2log 2log 22log a b b b b b f a f b a b b b b -=+-+=+-+=--，当1b =时，()()220f a f b -=>，此时()()2f a f b >，有2a b >；当2b =时，()()21f a f b -=-<0，此时()()2f a f b <，有2a b <，所以A ､C ､D 均错误.13.1213点()5,12P -在角α的终边上，所以12sin 13α==.14.()lg f x x =（答案不唯一）由题意，函数()f x 对任意的正实数,a b ，都有()()()f ab f a f b =+，可考虑对数函数()lg f x x =，满足()()()()lg lg lg f ab ab a b f a f b ==+=+，故()lg f x x =.15.π2设圆心角为α，则 CDAB OD OA α==，所以2ππ331OA OA=+，解得1m OA =，所以2m OD =，所以此扇环形砖雕的面积为 21112π1ππ21m 2223232CD OD AB OA ⋅⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=.16.()2024,∞+函数()lg f x x =的定义域为()0,∞+，由()(),f a f b a b =<，得lg lg a b =，即有lg lg 0a b +=，解得1ab =，即1a b =，又0b a >>，因此110,20232023b a a b b b>>>+=+，而函数12023y x x =+在()1,∞+上单调递增，于是120232023120232024a b b b+=+>+=，所以2023a b +的取值范围是()2024,∞+.17.解：（1）因为p 为真命题，所以方程2260x x a -+=有解，即2Δ3640a =- 得33a -<<，所以{}33A aa =-∣ .（2）因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，且B ≠∅，则321,323,13,m m m m --⎧⎪--⎨⎪-⎩解得1132m - ，综上，实数m 的取值范围11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.解：（1）由幂函数的定义可得2691m m ++=，即2680m m ++=，解得2m =-或4m =-.因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以30m +<，即3m <-，则4m =-.（2）设()()3,g x x g x =是R 上的增函数.由（1）可知11(32)(4)m m a a -----<+，即33(32)(4)a a -<+，则324a a -<+，解得3a <，即实数a 的取值范围为(),3∞-.19.解：（1）因为4cos 5α=-，且α为第二象限角，则3sin 5α==，即sin α的值为35.（2）因为tan 3α=，则4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.20.解：（1）因为()1f x ax b =+，且()()11,113f f =-=-，所以11,311,a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪-+⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩（2）函数()121f x x =+在()2,∞+上为减函数，证明如下：任取()12,2,x x ∞∈+，且12x x <，则()()()()()2112121221121212121x x f x f x x x x x --=-=++++因为()12,2,x x ∞∈+，且12x x <，所以21120,210,210x x x x ->+>+>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()121f x x =+在()2,∞+上为减函数，（3）由（2）可知()121f x x =+在[]2,6上为减函数，所以当2x =时，函数取得最大值，即max 11()2215f x ==⨯+，当6x =时，函数取得最小值，即min 11()26113f x ==⨯+.21.解：（1）由图象可知函数()xf x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以100,1,a b a b -⎧+=⎨+=-⎩解得1,22,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12,24b a=-=，根据题意知240x x m +- ，即24x x m + 在[)1,∞+上有解，设()24x xg x =+，则min ()g x m ，因为2x y =和4x y =在[)1,∞+上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,∞+上是单调递增函数，故()min ()16g x g ==，所以6m ，实数m 的取值范围是[)6,∞+.22.解：（1）由()01,π02f ϕϕ⎧==⎪⎨<<⎪⎩得π,4ϕ=又因为当()()12f x f x -=12x x -的最小值为π2，所以1ππ22T ω==，即2,ω=所以故()π24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）由ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得ππ20,42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是[]πsin 20,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x ⎡∈⎣，令(),t f x t ⎡=∈⎣，不等式()()2[]0f x mf x m -- 恒成立，即20t mt m -- 恒成立，设()2,0h t t mt m t =--，因此()00,20,h m h m ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩解得2m ，所以实数m的取值范围是)2,∞⎡-+⎣.。

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19.（本题 12 分）
r
ur
已知 a (3, 4)，|b| 3 .
r
rr r
（1）设 e 为单位向量，且 e / /a ，求 e 的坐标；
rr
r r rr
（2）若 a 与 b 的夹角为 60o ， a b 与 a b 的夹角为锐角，求的取值范围.
20.（本题 12 分）
已知函数 f (x) sin( x ) b( 0, 0 ) 的图象两对称轴之间的距离是，若 2
f(
) =（）
3
6
A．0
B． 4 或 0
C． 4或0
D． 4或4
7．函数
y
|
log2
x
|
(
1 )|x| 2
的零点个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．4
8..已知函数
f
(x)
log2 x, (x 0)
log
1 2
(
x),
(
x
0)
，则不等式
f
(x)
f
(x) 的解集是（）
A．（- , - 1] U[ 1, +） C（. -1, 0）U（1, + ）
将 f (x) 的图象先向由平移个单位，再向上平移 3 个单位，所得函数 g(x) 为奇函数.
6
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）求 f (x) 的单调递减区间；
（3）若对任意的 x [0, ] ， f 2 (x) (2 m) f (x) 2 m 0 恒成立，求实数 m 的取值 3
离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC 中，设 O、H、G 分别是外心、垂心和重心.
下列四个选项错误的是（）
A. GH 2OG
C.设 BC 边中点为 D，则有 AH=3OD
uuur uuur uuur r B. GA GB GC 0
D. S ABG S BCG S ACG
12.甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程
④ 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲。
其中，不正确的序号为（
）．
A.①② B.①②③④
C.③④⑤ D. ②③④⑤
二、填空题（20 分，每小题 5 分，把正确答案填在相应位置）
ur
uv
ur
13.力 F (1， 2) 作用于质点 P ，使 P 产生的位移为 S =（3, 4），则力 F 质点 P 做的功
5
① 的正弦线与正切线的方向相同；
3
②若函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
(x)
cos x(
0)
在
x [
,
] 上的最大、最小值之和为
0，则
的最小
34
值为 3；
uuuv uuuv ③在 ABC 中，若 AB BC 0 ，则 ABC 是钝角三角形；
④定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x)=f (x 5) ，且 f (3)=0 ，则在（0,10）内 f (x) 至
为__________;
14.已知
1 tan 1 tan
2016 ，则 1 cos 2
tan 2 _______；
15. 若函数 f (x) (ax+1) 在[1, ) 上有意义，则实数 a 的取值范围是_______；
16.下列说法正确的是__________（填入你认为所有正确的序号）
B. y | x 1|
C. y ex ex
vv
v vv v v
5.已知|a|=2|b| 0, 且 b (a b) ，则 a 与 b 的夹角是（）
)
D. y ln 1 x 1 x
A．
4
B．
3
2
C．
3
3
D．
4
6.若函数
f (x) 4sin(x ) 对任意的 x 都有
f
(
x)
f (x) ，则
高一数学期末考试卷
一、选择题（60 分，每小题 5 分，每题只有一个正确答案）
1. cos 2 tan 7 的值为（）
3
4
A. 1 2
B. 3 2
1
3
C.
D.
2
2
2.下列关系正确的是（）
A. 0 N
uuur B. 0AB=0
C. cos 0.75o cos 0.75
D. lg e (lg e)2 lg e
B. [ -1, 0] U[ 1, +） D.（- 1, 0）U（0，1）
9.关于函数 f (x) log2 | sin x | ，正确的是（）
A．定义域为 R
B．值域为（- ，0 ）
C．在[k , k ](k Z ) 上为减函数 2
D．最小正周期为
10. 如图所示，A,B,C 是圆 O 上的三点，CO 的延长线与线段
uuur uuur uuur AB 交于圆内一点 D，若 OC xOA yOB ，则（）
A． x y 1
B. 1 x y 0
C. 0 x y 1
D.
x y 1
第 10 题图
11.生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：
“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距
有
解得
对
恒成立
即
对
恒成立
令 22、解：
对
恒成立，即对
，
恒成立
（1）当
时，
恒成立，则有
对
恒成立
令
，
（2）令
，得
函数的零点个数，即
和
在同一坐标系中作出函数图像，如图所示：
，的交点个数.
①
时，有一个零点；
②
时，有两个零点；
③
时，有三个零点；
一、选择题题号 1 2 答案 C C 二、填空题
13、三、解答题 17、解：
34 AD
14、
参考答案
5678 B DC C
15、
9 10 11 12 DAC A
16、①②④
18、解：
19、解： 20、解：
21、解：是奇函数，且在 R 上单调递增
由（1）是奇函数，且在 R 上单调递增，对
，
范围
21.（本题 12 分）
已知函数
f
(log2
x)
x
1 x
（1）求函数 f (x) 的表达式，并说明函数的单调性、奇偶性（无需证明）；
（2）设集合 A {x | x sin cos , ( , 0)}，若函数 y f (x) x A，且
2
f (1 m) f (1 m2 ) 0 ，求实数 m 的取值范围；
fi (x)(i 1, 2,3, 4) 关于时间 x(x 0) 的函数关系式分别为 f1(x) 2x 1， f 2 (x) x3 ， f3 (x) x ， f4 (x) log2 (x 1) ，有以下结论：
①当 x 1 时，甲走在最前面； ② 当 x 1 时，乙走在最前面； ③ 当 0 x 1时,丁走在最前面，当 x 1 时，丁走在最后面；
（3）若不等式 2t f (2t) mf (t) 0 对于 t [1, 2] 恒成立，求实数 m 的取值范围；
22.（本题 12 分）
已知函数 f (x) | x | m 1(x 0) x
（1）若对任意的 x R+ ，不等式 f (x) 0 恒成立，求 m 的取值范围；（2）试讨论函数 f (x) 零点的个数.
少有 7 个零点. 三、解答题（70 分，每题需写出详细过程） 17.（本题 10 分）
已知 sin 5 ,sin 10 ，且、均为锐角，求 + 的值.
5
10
18.（本题 12 分）
（1）已知 log18 9 a,18b 5, 用 a, b 表示 log36 45 ；
r
r
rr
（2）已知 a (sin x,1),b (sin x, cos x), f (x) a b ，求 f (x) 的最大值.
3.设全集 U=R，集合 A={ x |1 2 x 4 }，B={ x | log 2 x 0 }，则 (CU A) I B ( )
A. [2,) B. (1,2] C. (,0] U[2,) D. (,0] U(1,)
4.下列函数中既是奇函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是(
A. y sin x

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